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Grigory Perelman은 신이 없다는 것을 증명했습니다. 수학자 Perelman Yakov: 과학에 대한 기여

« 밀레니엄 챌린지”는 러시아의 수학적 천재가 풀어낸 것으로 우주의 기원과 관련이 있다. 모든 수학자가 수수께끼의 본질을 이해하도록 주어진 것은 아닙니다 ...

마인드 게임

최근까지 수학은 "성직자"에게 영광이나 부를 약속하지 않았습니다. 그들은 심지어 노벨상주지 않았다. 그런 공천은 없습니다. 실제로 매우 유명한 전설에 따르면 노벨의 아내는 한때 수학자와 바람을 피웠다. 그리고 보복으로 그 부자는 치케인 형제들 모두에게 존경과 상금을 박탈했습니다.

2000년 상황이 달라졌다. 사립 Clay Mathematics Institute는 가장 많은 7개를 선정했습니다. 어려운 작업각 결정에 대해 백만 달러를 지불하겠다고 약속했습니다.

수학자들은 존중을 받았습니다. 2001년 스크린은 수학자를 주인공으로 한 영화 '뷰티풀 마인드'도 개봉했다.

이제 문명에서 멀리 떨어진 사람들 만이 알지 못합니다. 약속 된 수백만 중 하나 인 최초의 사람이 이미 수여되었습니다. 이상은 상트 페테르부르크 거주자 인 러시아 시민에게 수여되었습니다. 그레고리 페렐만.그는 푸앵카레 추측을 증명했는데, 이 퍼즐은 100년 넘게 누구에게도 도전되지 않았고 그의 노력을 통해 정리가 되었습니다.

44세의 귀여운 수염 난 남자가 전 세계에서 코를 닦았습니다. 그리고 지금 계속해서 세계를 긴장 상태로 유지하고 있습니다. 수학자가 정직하게 백만 달러를 받을 자격이 있는지 아니면 거절할지 알 수 없기 때문입니다. 많은 나라의 진보적 대중은 당연히 동요한다. 적어도 모든 대륙의 신문은 금융 및 수학적 음모를 기록합니다.

그리고 이러한 매혹적인 활동의 배경-운세 및 다른 사람의 돈 공유-Perelman의 업적의 의미는 어떻게 든 사라졌습니다. Clay Institute의 회장인 Jim Carlson은 물론 한 번에 다음과 같이 말했습니다. 상금-수학 과학의 명성을 높이고 젊은이들의 관심을 끌기위한 시도만큼 답을 찾는 것이 아닙니다. 그러나 여전히 요점은 무엇입니까?

어린 시절의 그리샤 - 그때도 그는 천재였습니다.

POINCARE 가설 - 그것이 무엇인가?

러시아의 천재가 풀었던 수수께끼는 토폴로지라는 수학 섹션의 기초에 영향을 미칩니다. 그것 - 토폴로지 -는 종종 "고무 시트의 기하학"이라고합니다. 속성을 다룬다 기하학적 모양, 양식이 늘어나거나 뒤틀리거나 구부러져도 보존됩니다. 즉, 파손, 절단 및 접착제 없이 변형됩니다.

위상수학은 공간의 특성을 이해할 수 있게 해주기 때문에 수리물리학에서 중요합니다. 또는 외부에서 이 공간의 형태를 보지 않고 평가한다. 예를 들어, 우리 우주.

Poincare 추측을 설명할 때 그들은 다음과 같이 시작합니다. 2차원 구를 상상해 보세요. 고무 디스크를 가져와 공 위로 당깁니다. 디스크의 둘레가 한 지점에 모이도록. 마찬가지로, 예를 들어 코드로 스포츠 백팩을 벗을 수 있습니다. 결과는 구체입니다. 우리에게는 3차원이지만 수학의 관점에서는 2차원입니다.

그런 다음 그들은 도넛에서 동일한 디스크를 가져오도록 제안합니다. 작동하는 것 같습니다. 그러나 디스크의 가장자리는 원으로 수렴되어 더 이상 점으로 당겨질 수 없습니다. 도넛이 잘립니다.

그가 그의 글에 쓴 것처럼 인기 있는 책또 다른 러시아 수학자, 블라디미르 우스펜스키(Vladimir Uspensky)는 "2차원 구체와 달리 3차원 구체는 우리가 직접 관찰할 수 없으며 잘 알려진 일화 제곱 삼항식에서 바실리 이바노비치(Vasily Ivanovich)의 경우처럼 상상하기 어렵습니다."

따라서 Poincaré 가설에 따르면 3차원 구는 일종의 가상의 "하이퍼코드"에 의해 표면이 한 점으로 당겨질 수 있는 유일한 3차원 물체입니다.

Grigory Perelman: - 생각해보세요, 뉴턴의 이항 ...

Jules Henri Poincare는 1904년에 이것을 제안했습니다. 이제 Perelman은 프랑스 토폴로지가 옳았다는 것을 이해하는 모든 사람을 설득했습니다. 그리고 그의 가설을 정리로 바꾸었습니다.

그 증거는 우리 우주가 어떤 모양인지 이해하는 데 도움이 됩니다. 그리고 그것은 우리가 그것이 동일한 3차원 구라고 꽤 합리적으로 가정할 수 있게 합니다.

그러나 우주가 한 점으로 축소될 수 있는 유일한 "형상"이라면 아마도 우주는 한 점에서 늘어날 수도 있습니다. 이것은 우주가 바로 그 지점에서 시작되었다고 주장하는 빅뱅 이론을 간접적으로 확인하는 역할을 합니다.

Poincare와 함께 Perelman은 소위 창조론자-지지자들을 화나게 한 것으로 밝혀졌습니다. 신성한 시작우주. 그리고 그들은 물질주의 물리학자들의 맷돌에 물을 쏟았습니다.

푸앵카레 추측을 증명한 것으로 전 세계적으로 유명해진 상트페테르부르크 출신의 천재 수학자 그레고리 페렐만(Grigory Perelman)이 이에 대해 100만 달러의 상금을 거절한 이유를 마침내 해명했다. " TVNZ", 은둔 과학자는 Perelman의 동의하에 장편 영화 "우주의 공식"을 촬영할 영화 회사 "President-Film"의 기자이자 프로듀서와의 대화에서 자신을 밝혔습니다.

Alexander Zabrovsky는 위대한 수학자와 이야기 할 수있어서 운이 좋았습니다. 그는 몇 년 전에 이스라엘로 모스크바를 떠났고 그녀를 도운 상트 페테르부르크의 유대인 공동체를 통해 Grigory Yakovlevich의 어머니와 먼저 연락 할 것이라고 추측했습니다. 그녀는 그녀의 아들과 이야기를 나누었고 그녀의 좋은 특성을 확인한 후에 그는 회의에 동의했습니다. 이것은 진정으로 성취라고 할 수 있습니다. 기자들은 그의 입구에 앉아 며칠을 보냈지 만 과학자를 "잡을"수 없었습니다.

Zabrovsky가 신문에 말했듯이 Perelman은 "완전히 건전하고 건강하며 적절하고 정상적인 사람"이라는 인상을주었습니다. , 그가 "정신이 나간"것처럼,-말도 안되는 소리! 그는 자신이 원하는 것을 정확히 알고 목표를 달성하는 방법을 알고 있습니다. "

수학자가 연락을 취하고 도움을 주기로 한 영화는 자신에 관한 것이 아니라 공부의 길에서 가장 앞선 러시아, 중국, 미국의 세 가지 주요 수학 학교의 협력과 대결에 관한 것입니다. 우주를 관리합니다.

Perelman이 백만 달러를 거부한 이유를 묻자 그는 이렇게 대답했습니다.

"나는 우주를 관리하는 방법을 알고 있습니다. 그리고 말해주십시오. 왜 내가 백만을 쫓아야 합니까?"

과학자는 러시아 언론에서 부름을 받아 기분이 상했습니다.

Perelman은 언론인이 과학에 관심이 없기 때문에 언론인과 의사 소통하지 않고 백만 달러를 거부하는 이유에서 머리카락과 손톱 절단 문제에 이르기까지 개인 및 국내 문제에 대해 설명했습니다.

특히 그는 자신에 대한 무례한 태도 때문에 러시아 언론과 접촉하고 싶지 않습니다. 예를 들어, 언론에서는 그를 Grisha라고 부르며 그러한 친근함은 기분을 상하게 합니다.

Grigory Perelman은 학년소위 "두뇌 훈련"에 익숙합니다. 그가 소련의 "대표"가 된 방법을 기억하면서 금메달부다페스트에서 열린 수학 올림피아드에서 그는 이렇게 말했습니다.

수학적 논리로부터의 이 추상화에서 주요 포인트매일 운동. 올바른 솔루션을 찾으려면 "세계의 일부"를 상상해야 했습니다.

그러한 "어려운" 작업의 예로 그는 다음을 인용했습니다. 성경의 전설예수 그리스도 께서 마른 땅처럼 물 위를 어떻게 걸으 셨는지에 대해. 그래서 나는 그가 물에 빠지지 않기 위해 물을 얼마나 빨리 통과해야 하는지 계산해야 했습니다.

그 이후로 Perelman은 우주의 3차원 공간의 속성을 연구하는 문제를 연구하는 데 모든 활동을 바쳤습니다.

과학자는 Academician Alexandrov의지도하에 논문을 썼습니다. "주제는 '유클리드 기하학의 안장 표면'으로 간단했습니다. 크기가 같고 서로 간격이 무한대인 표면을 상상할 수 있습니까? 우리는 표면 사이의 '빈 공간'을 측정해야 합니다."라고 수학자는 설명했습니다.

Perelman의 발견은 무엇을 의미하며 세계의 정보 서비스를 두려워합니다.

"우주의 공식" Poincare의 진술은 우주 이론에서 복잡한 물리적 과정을 연구하는 데 중요하고 우주의 모양에 대한 질문에 대한 답을 제공하기 때문에 호출됩니다. 이 증거는 나노기술의 발전에 큰 역할을 할 것입니다."

"나는 공허함을 계산하는 방법을 배웠고, 동료들과 함께 사회적, 경제적 "공허함"을 채우는 메커니즘을 배울 것입니다. 공허함은 어디에나 있습니다. 그들은 계산할 수 있으며 이것은 큰 기회를 제공합니다 ...

간행물에 따르면 Grigory Yakovlevich가 발견한 것의 규모는 실제로 오늘날의 세계 과학보다 한발 앞서서 그를 러시아인뿐만 아니라 외국의 특별 서비스에 대한 끊임없는 관심의 대상으로 만들었습니다.

그는 우주를 이해하는 데 도움이 되는 초지식을 이해했습니다. 그리고 여기에 이런 종류의 질문이 생깁니다. "그의 지식이 실제 구현을 찾으면 어떻게 될까요?"

사실, 비밀 서비스는 알아야합니다. Perelman 또는 오히려 그의 지식이 인류에 대한 위협입니까? 결국 그의 지식의 도움으로 우주를 한 점으로 바꾸고 펼칠 수 있다면 우리는 죽거나 다른 능력으로 다시 태어날 수 있습니까? 그러면 우리는 될까요? 그리고 우주를 전혀 관리해야 합니까?

그리고 이 시간에

천재 엄마: "돈에 대해 묻지 마세요!"

수학자가 밀레니엄 상을 받았다는 사실이 알려지자 많은 언론인들이 그의 문 앞에 모였습니다. 모두가 개인적으로 Perelman을 축하하고 그가 정당한 백만 달러를 가져갈 것인지 알아보고 싶었습니다.

허술한 문을 오랫동안 두드렸지만(프리미엄 머니로 대체할 수만 있다면) 수학자는 문을 열지 않았다. 그러나 그의 어머니는 복도에서 바로 "i"에 점을 찍었습니다.

우리는 누구와도 이야기하고 싶지 않으며 인터뷰도하지 않을 것입니다. -Lyubov Leibovna가 소리 쳤습니다. - 그리고 이 상과 상금에 대해 묻지 마세요.

같은 입구에 사는 사람들은 Perelman에 대한 갑작스러운 관심에 매우 놀랐습니다.

우리 Grisha는 결혼 했습니까? 이웃 중 한 명이 웃었다. - 아, 상을 받았습니다. 다시. 아니오, 그는 그것을 받아들이지 않을 것입니다. 그는 아무것도 필요하지 않고 한 푼도 살지 않지만 나름대로 행복합니다.

그들은 수학자 직전에 상점의 전체 제품 패키지와 함께 보았다고 말합니다. 그는 어머니와 함께 "포위를 계속할" 준비를 하고 있었다. 마지막으로 수상에 대한 과대 광고가 언론에서 시작되었을 때 Perelman은 3 주 동안 아파트를 떠나지 않았습니다.

그런데

그들은 또 무엇을 위해 백만 달러를 줄까요 ...

1998년 억만장자 Landon T. Clay의 자금으로 Clay Mathematics Institute가 수학 대중화를 위해 미국 케임브리지에 설립되었습니다. 2000년 5월 24일, 연구소의 전문가들은 그들의 의견으로는 가장 난해한 7가지 문제를 선택했습니다. 그리고 그들은 각각 백만 달러를 지정했습니다.

목록의 이름은 .

1. 쿡의 문제

문제 해결의 정확성에 대한 검증이 솔루션 자체를 얻는 것보다 더 오래 걸릴 수 있는지 여부를 결정할 필요가 있습니다. 이 논리적 작업은 암호화 전문가인 데이터 암호화에게 중요합니다.

2. 리만 가설

2, 3, 5, 7 등과 같이 자기 자신으로만 나누어지는 소위 소수가 있습니다. 얼마나 많은지는 알려져 있지 않습니다. Riemann은 이것이 결정될 수 있고 분포의 규칙성을 찾을 수 있다고 믿었습니다. 그것을 찾는 사람은 암호화 서비스도 제공할 것입니다.

3. 자작나무와 Swinnerton-Dyer 가설

문제는 세 개의 미지수를 거듭제곱한 방정식을 푸는 것과 관련이 있습니다. 아무리 어렵더라도 해결 방법을 찾아야 합니다.

4. 호지 가설

20세기에 수학자들은 형태를 연구하는 방법을 발견했습니다. 복잡한 객체. 물체 자체 대신 단순한 "벽돌"을 사용하여 서로 접착되어 유사성을 형성하는 것이 아이디어입니다. 이것이 항상 허용 가능하다는 것을 증명해야 합니다.

5. Navier - 스톡스 방정식

비행기에서 그들을 기억할 가치가 있습니다. 방정식은 공기 중에 유지하는 기류를 설명합니다. 이제 대략적인 공식에 따라 방정식이 대략 해결됩니다. 정확한 것을 찾고 3차원 공간에서 항상 참인 방정식의 해가 있음을 증명해야 합니다.

6. 양밀스 방정식

물리학 세계에는 가설이 있습니다. 기본 입자에 질량이 있으면 하한도 존재합니다. 그러나 어느 것이 명확하지 않습니다. 당신은 그에게 가야합니다. 이것은 아마도 가장 어려운 작업입니다. 이를 해결하려면 자연의 모든 힘과 상호 작용을 결합하는 방정식인 "모든 것의 이론"을 만들어야 합니다. 성공하는 사람은 반드시 노벨상을 받게 될 것입니다.

순수 수학의 마지막 위대한 업적은 1904년 상트페테르부르크의 Grigory Perelman이 "연결된, 단순하게 연결된, 경계 없는 콤팩트한 모든 3차원 다양체는 구 S 3에 동형적이다"라고 표현한 푸앵카레 추측의 증명입니다. 2002~2003년 상트페테르부르크.

이 문구에는 수학자가 아닌 사람들이 일반적인 의미를 이해할 수 있도록 설명하려는 몇 가지 용어가 있습니다. 고등학교여전히 학교 수학에서 무언가를 기억합니다).

토폴로지의 핵심인 동형상(homeomorphism)의 개념부터 시작하겠습니다. 일반적으로 토폴로지는 종종 "고무 기하학"으로 정의됩니다. 두 개체 사이의 일대일 대응 .

주요 아이디어는 머그와 베이글의 고전적인 예를 사용하여 설명하는 것이 가장 쉽습니다. 첫 번째는 지속적인 변형에 의해 두 번째로 바뀔 수 있습니다.

이 그림은 머그가 도넛과 동형임을 분명히 보여주며, 이 사실은 머그의 표면(토러스라고 하는 2차원 다양체)과 채워진 몸체(경계가 있는 3차원 다양체) 모두에 대해 사실입니다.

가설의 정식화에 나타나는 나머지 용어에 대한 해석을 해보자.

경계가 없는 3차원 다양체.이것은 각 점이 3 차원 공 형태의 이웃을 갖는 기하학적 객체입니다. 3-다양체의 예는 첫째, R 3 으로 표시되는 전체 3차원 공간뿐만 아니라 열린 세트 R 3 의 포인트, 예를 들어 솔리드 토러스(도넛)의 내부. 닫힌 솔리드 토러스를 고려하면, 즉 경계점(토러스의 표면)을 추가하면 이미 경계가 있는 매니폴드를 얻습니다. 경계점에는 공 형태의 이웃이 없지만 공의 절반 형태.
연결되었습니다.여기에서 연결의 개념이 가장 간단합니다. 매니폴드는 하나의 조각으로 구성되어 있거나 동일한 것으로 두 지점이 한계를 넘지 않는 연속선으로 연결될 수 있으면 연결됩니다.
간단하게 연결됩니다.단일 연결의 개념은 더 복잡합니다. 이는 주어진 다양체 내에 완전히 위치한 연속 폐곡선이 이 다양체를 벗어나지 않고 점으로 부드럽게 수축될 수 있음을 의미합니다. 예를 들어, R 3의 일반적인 2차원 구는 단순히 연결됩니다(사과 표면에 임의로 부착된 탄성 밴드는 사과에서 탄성 밴드가 찢어지지 않고 한 지점으로 부드러운 변형으로 수축될 수 있음). 반면에 원과 토러스는 단순히 연결되어 있지 않습니다.
콤팩트.동종 이미지에 경계 차원이 있는 경우 다양체가 컴팩트합니다. 예를 들어, 선의 열린 간격(끝을 제외한 세그먼트의 모든 점)은 무한 선으로 연속적으로 확장될 수 있기 때문에 콤팩트하지 않습니다. 그러나 닫힌 세그먼트(끝 포함)는 경계가 있는 콤팩트한 다양체입니다. 연속 변형의 경우 끝이 특정 지점으로 이동하고 전체 세그먼트가 이러한 지점을 연결하는 유계 곡선으로 이동해야 합니다.

치수다양체는 그 위에 "존재하는" 지점에서의 자유도의 수입니다. 각 점은 해당 차원의 디스크 형태의 이웃, 즉 1차원의 경우 선의 간격, 2차원의 경우 평면 위의 원, 3차원의 경우 공의 간격을 가집니다. 등. 토폴로지의 관점에서 볼 때 경계가 없는 1차원으로 연결된 다양체는 두 개뿐입니다. 이것이 바로 선과 원입니다. 이 중 원만 콤팩트합니다.

다양체가 아닌 공간의 예는 예를 들어 교차하는 한 쌍의 선입니다. 결국 두 선의 교차점에서 모든 이웃은 십자 모양을 갖습니다. 자체는 간격일 뿐입니다(다른 모든 지점에는 이러한 이웃이 있습니다). 그러한 경우에 수학자들은 우리가 하나의 특이점을 갖는 특이 다양체를 다루고 있다고 말합니다.

2차원 콤팩트 매니폴드는 잘 알려져 있습니다. 만 고려한다면 지향경계가 없는 다양체, 그런 다음 위상학적 관점에서 무한하지만 단순한 목록을 형성합니다. 그러한 각각의 매니폴드는 표면의 속(genus of the surface)이라고 하는 수를 가진 여러 개의 핸들을 접착하여 구에서 얻습니다.

이 그림은 속 0, 1, 2 및 3의 표면을 보여줍니다. 이 목록의 모든 표면에서 구체가 어떻게 두드러집니까? 간단하게 연결되어 있는 것으로 나타났습니다. 구에서는 닫힌 곡선이 점으로 축소될 수 있고, 다른 표면에서는 표면을 따라 점으로 축소될 수 없는 곡선을 표시하는 것이 항상 가능합니다.

경계가 없는 3차원 콤팩트 다양체도 2차원의 경우만큼 간단하지는 않지만 다소 복잡한 구조를 가지고 있지만 어떤 의미로 분류될 수 있다는 것, 즉 어떤 목록으로 배열될 수 있다는 것이 궁금합니다. 그러나 3D 구 S 3는 위 목록의 2D 구와 정확히 동일한 방식으로 이 목록에서 두드러집니다. S 3의 모든 곡선이 한 점으로 수축한다는 사실은 2차원 사례에서처럼 쉽게 증명할 수 있습니다. 그러나 반대의 주장, 즉 이 속성이 구에 대해 정확히 고유하다는 것, 즉 다른 3차원 다양체에는 수축할 수 없는 곡선이 있다는 것은 매우 어렵고 정확히 우리가 말하는 푸앵카레 추측의 내용을 구성합니다. .

매니폴드는 독립적으로 존재할 수 있으며 어디에도 중첩되지 않는 독립된 객체로 생각할 수 있다는 점을 이해하는 것이 중요합니다. (평범한 구체의 표면에 살아 있는 2차원 존재가 3차원의 존재를 알지 못한다고 상상해 보십시오.) 다행히도 위 목록의 모든 2차원 표면은 일반적인 R 3 공간에 내장될 수 있습니다. 시각화하기가 더 쉽습니다. 3구 S 3(및 일반적으로 경계가 없는 모든 소형 3-다양체)의 경우 더 이상 그렇지 않으므로 구조를 이해하는 데 약간의 노력이 필요합니다.

보기에 가장 간단한 방법 3차원 구 S3의 토폴로지 구조를 설명하기 위해 1점 압축을 사용합니다. 즉, 3차원 구 S 3 는 일반적인 3차원(무제한) 공간 R 3 의 1점 압축입니다.

이 구성을 먼저 설명하겠습니다. 간단한 예. 직선을 따라 오른쪽이나 왼쪽으로 이동할 때 결국이 지점에 도달한다고 가정하여 일반적인 무한 직선 (공간의 1 차원 유사체)을 가져 와서 "무한한 거리"점 하나를 추가합시다. 토폴로지 관점에서 무한 선과 경계가 있는 열린 세그먼트(끝점 없음) 사이에는 차이가 없습니다. 이러한 세그먼트는 호 형태로 지속적으로 구부러지고 끝을 더 가깝게 만들고 누락 된 점을 접합부에 붙일 수 있습니다. 우리는 분명히 구의 1차원 유사체인 원을 얻습니다.

마찬가지로 무한 평면을 취하고 원래 평면의 모든 선이 어떤 방향으로든 향하는 무한대에 한 점을 추가하면 2차원(일반) 구 S 2 를 얻습니다. 이 절차는 평면 P의 특정 지점인 N의 북극을 제외하고 구의 각 지점 P에 할당하는 입체 투영을 통해 관찰할 수 있습니다.

따라서 한 점이 없는 구는 위상학적으로 평면과 동일하며, 한 점을 추가하면 평면이 구가 됩니다.

원칙적으로 정확히 동일한 구성이 3차원 구와 3차원 공간에 적용할 수 있으며 구현을 위해서만 4차원으로 들어가야 하며 이는 도면에 묘사하기가 쉽지 않습니다. 그래서 나는 나 자신을 제한 할 것입니다 구두 설명공간의 1점 압축 R 3 .

우리의 물리적 공간(뉴턴을 따라 세 개의 좌표 x, y, z가 있는 무제한 유클리드 공간으로 간주함)에 "무한대"에 한 점이 추가되어 직선을 따라 이동할 때 방향으로 떨어지면 넘어집니다(즉, 각 공간 선이 원으로 닫힙니다). 그런 다음 정의에 따라 구 S 3 인 컴팩트한 3차원 다양체를 얻습니다.

구 S3가 단순히 연결되어 있는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 실제로 이 구의 닫힌 곡선은 추가된 점을 통과하지 않도록 약간 이동할 수 있습니다. 그런 다음 일반적인 공간 R 3 에서 곡선을 얻습니다. 이 곡선은 동종성, 즉 세 방향 모두에서 연속적인 수축을 통해 한 점으로 쉽게 수축됩니다.

매니폴드 S 3의 구조를 이해하려면 두 개의 솔리드 토리로 파티션을 고려하는 것이 매우 유익합니다. 솔리드 토러스가 공간 R 3에서 생략되면 명확하지 않은 것이 남습니다. 그리고 공간이 구형으로 압축되면 이 보완물도 단단한 토러스로 바뀝니다. 즉, 구 S3는 공통 경계인 토러스를 갖는 두 개의 솔리드 토러스로 나뉩니다.

이해하는 방법은 다음과 같습니다. 평소와 같이 둥근 도넛 형태로 토러스를 R 3에 삽입하고 이 도넛의 회전축인 수직선을 그립니다. 축을 통해 임의의 평면을 그리면 그림에 표시된 두 개의 원에서 솔리드 토러스와 교차합니다. 녹색으로, 평면의 추가 부분은 연속적인 빨간색 원으로 나뉩니다. 그중에는 구 S 3에서 선이 원으로 닫히기 때문에 더 굵게 강조 표시된 중심 축이 있습니다. 이 2차원 그림에서 축을 중심으로 회전하여 3차원 그림을 얻습니다. 그러면 회전된 원의 완전한 세트가 3차원 몸체를 채우고 단단한 원환체에 동형적이며 특이하게 보입니다.

실제로 중심 축은 그 안에 축 원이 될 것이고 나머지는 일반적인 단단한 토러스를 구성하는 원인 평행선의 역할을 할 것입니다.

3-구와 비교할 무언가를 갖기 위해 나는 컴팩트한 3-다양체, 즉 3차원 토러스의 또 다른 예를 들겠습니다. 3차원 토러스는 다음과 같이 구성할 수 있습니다. 일반적인 3차원 큐브를 소스 자료로 사용하겠습니다.

왼쪽과 오른쪽, 위와 아래, 앞과 뒤의 세 쌍의 면이 있습니다. 각 쌍의 평행면에서 큐브의 가장자리를 따라 전송하여 서로 얻은 점을 쌍으로 식별합니다. 즉, 예를 들어 A와 A는 "같은 점이고 B와 B"도 하나의 점이지만 점 A와는 다르다고 (물리적 변형을 적용하지 않고 순전히 추상적으로) 가정합니다. 평소와 같이 고려할 큐브. 입방체 자체는 경계가 있는 다양체이지만 접착이 완료되면 경계가 자체적으로 닫히고 사라집니다. 사실, 입방체의 점 A와 A"의 이웃(그들은 왼쪽과 오른쪽 음영 면에 있음)은 공의 반쪽이며, 면을 함께 붙인 후 전체 공으로 병합되어 3차원 토러스의 대응점 부근.

물리적 공간에 대한 일상적인 생각을 바탕으로 3토러스의 구조를 느끼기 위해서는 서로 직교하는 세 방향(앞, 왼쪽, 위)을 선택하고 공상과학 소설에서처럼 정신적으로 고려해야 합니다. 이 방향, 다소 길지만 유한한 시간 , 우리는 반대 방향에서 출발점으로 돌아갈 것입니다. 이것은 또한 "공간의 압축"이지만 이전에 구를 구성하는 데 사용되었지만 더 복잡한 1점은 아닙니다.

3-토러스에는 수축할 수 없는 경로가 있습니다. 예를 들어, 이것은 그림에서 세그먼트 AA"입니다(토러스에서 닫힌 경로를 나타냄). 연속 변형의 경우 점 A와 A"가 면을 따라 이동해야 하고 서로 정확히 반대 방향으로 유지되어야 하므로 수축할 수 없습니다. 기타(그렇지 않으면 곡선이 열립니다).

따라서 단순 연결형과 단순 연결형이 아닌 소형 3-다양체가 있음을 알 수 있습니다. Perelman은 단순 연결 다양체가 정확히 하나라는 것을 증명했습니다.

증명의 시작점은 소위 "Ricci 흐름"을 사용하는 것입니다. 우리는 단순하게 연결된 컴팩트 3-다양체를 취하여 임의의 기하학을 부여하고(즉, 거리와 각도가 있는 일부 메트릭을 도입) 다음을 고려합니다. Ricci 흐름에 따른 진화. 1981년에 이 아이디어를 제안한 리차드 해밀턴은 이 진화를 통해 우리의 다양체가 구체로 변하기를 희망했습니다. 이것은 사실이 아님이 밝혀졌습니다. 3차원의 경우 Ricci 흐름은 다양체를 망칠 수 있습니다. Perelman은 엄청난 기술적 어려움을 극복하고 편미분 방정식의 무거운 장치를 사용하여 진화 중에 다양체의 토폴로지가 변경되지 않고 특이점이 없는 방식으로 특이점 근처의 Ricci 흐름을 수정했습니다. 끝은 둥근 구로 변합니다. 그러나 마지막으로 이러한 리치의 흐름이 무엇인지 설명할 필요가 있다. Hamilton과 Perelman이 사용하는 흐름은 추상 다양체에서 고유 메트릭의 변화를 의미하며 이는 설명하기가 다소 어렵기 때문에 평면에 포함된 1차원 다양체에서 "외부" Ricci 흐름을 설명하는 것으로 제한하겠습니다. .

유클리드 평면에서 완만하게 닫힌 곡선을 상상하고 그 위에서 방향을 선택하고 각 점에서 단위 길이의 접선 벡터를 고려하십시오. 그런 다음 선택한 방향으로 곡선을 돌 때 이 벡터는 곡률이라고 하는 각속도로 회전합니다. 곡선이 더 가파르면 곡률(절대값)이 더 커지고 더 부드러우면 곡률이 더 작아집니다.

곡률은 속도 벡터가 곡선에 의해 두 부분으로 나누어진 평면의 내부 부분을 향하면 양수로 간주되고 바깥쪽으로 향하면 음수로 간주됩니다. 이 규칙은 곡선이 통과하는 방향과 무관합니다. 회전 방향이 바뀌는 변곡점에서 곡률은 0이 됩니다. 예를 들어 반지름이 1인 원은 일정한 양의 곡률 1(라디안으로 측정)을 가집니다.

이제 접선 벡터를 잊어 버리고 반대로 곡선의 각 점에 수직 인 벡터를 부착하고 주어진 점에서 곡률과 길이가 같고 곡률이 양수이면 안쪽으로 향하고 음수이면 바깥쪽으로 향합니다. 그런 다음 각 점이 길이에 비례하는 속도로 해당 벡터의 방향으로 이동하도록 강제합니다. 다음은 예입니다.

평면의 모든 폐곡선은 이러한 진화 과정에서 유사한 방식으로 행동한다는 것이 밝혀졌습니다. 즉, 결국에는 원으로 변합니다. 이것은 Ricci 흐름을 사용하여 Poincare 추측의 1차원 아날로그의 증명입니다(그러나 이 경우의 진술 자체는 이미 명백합니다. 증명 방법은 차원 3에서 일어나는 일을 설명합니다).

결론적으로 우리는 Perelman의 주장이 Poincaré 추측뿐만 아니라 훨씬 더 일반적인 Thurston 기하학 추측도 증명한다는 점에 주목합니다. 어떤 의미에서일반적으로 모든 소형 3-다양체의 구조를 설명합니다. 그러나 이 주제는 이 기본 기사의 범위를 벗어납니다.

공간이 부족하기 때문에 자기교차 없이 공간에 삽입될 수 없는 표면인 유명한 Klein 병이 그 예인 비방향성 다양체에 대해서는 이야기하지 않겠습니다.

Clay Institute of Mathematics는 Grigory Perelman에게 밀레니엄상을 수여하여 러시아 수학자에 의해 수행된 Poincaré 추측의 증명이 정확함을 공식적으로 인정했습니다. 그렇게 함으로써 연구소가 자체 규칙을 깨야 했다는 점은 주목할 만합니다. 그들에 따르면 동료 검토 저널에 자신의 작품을 출판한 저자만이 약 백만 달러를 받을 수 있다고 주장할 수 있습니다. 상. Grigory Perelman의 작업은 공식적으로 빛을 보지 못했습니다. arXiv.org 웹 사이트(1, 2 및 3)에 여러 사전 인쇄 세트로 남아 있습니다. 그러나 연구소의 결정을 초래 한 원인은 그다지 중요하지 않습니다. Millennium Prize 수상은 100 년 이상의 역사를 종식시킵니다.

머그잔, 도넛 및 일부 토폴로지

Poincaré 추측이 무엇인지 알아 내기 전에 바로이 가설이 속한 수학 (위상학)의 종류를 이해하는 것이 필요합니다. 매니폴드의 토폴로지는 특정 변형에서 변경되지 않는 표면의 특성을 다룹니다. 고전적인 예를 들어 설명해 보겠습니다. 독자 앞에 도넛과 빈 컵이 있다고 가정해 봅시다. 기하학과 상식의 관점에서 볼 때 도넛에서 커피를 마음껏 마실 수 없기 때문에 이것들은 다른 대상입니다.

그러나 토폴로지는 컵과 도넛이 같은 것이라고 말할 것입니다. 그리고 그는 이것을 이렇게 설명할 것입니다: 컵과 도넛이 내부가 비어 있고 매우 탄력 있는 재료로 만들어진 표면이라고 상상해 보십시오(수학자는 한 쌍의 조밀한 2차원 다양체가 있다고 말할 것입니다). 투기 실험을 해 봅시다. 먼저 컵의 바닥을 부풀린 다음 손잡이를 부풀린 다음 토러스로 바꿉니다 (도넛 모양을 수학적으로 부르는 방식입니다). 이 프로세스가 어떻게 생겼는지 볼 수 있습니다.

물론 호기심 많은 독자라면 질문이 있습니다. 표면이 구겨질 수 있는데 어떻게 구별할 수 있습니까? 결국, 예를 들어 직관적으로 명확합니다. 토러스를 어떻게 상상하든 간격과 접착 없이는 구를 얻을 수 없습니다. 여기서 소위 불변량(변형 상태에서 변하지 않는 표면 특성)이 작용합니다. 이 개념은 푸앵카레 가설을 공식화하는 데 필요한 개념입니다.

상식적으로 구멍은 원환체와 구를 구별합니다. 그러나 구멍은 수학적 개념과는 거리가 멀기 때문에 공식화할 필요가 있습니다. 이것은 다음과 같이 수행됩니다-표면에 루프를 형성하는 매우 얇은 탄성 실이 있다고 상상해보십시오 (이 추측 실험에서는 이전 실험과 달리 표면 자체가 단단한 것으로 간주합니다). 표면에서 찢어지지 않고 깨지지 않고 루프를 이동합니다. 스레드가 매우 작은 원(거의 점)으로 수축될 수 있으면 루프가 수축 가능하다고 합니다. 그렇지 않으면 루프를 철회 불가능이라고 합니다.

토러스의 기본 그룹은 n 1(T 2)로 표시됩니다. 사소하지 않기 때문에 마우스의 팔은 접을 수 없는 루프를 형성합니다. 동물 얼굴의 슬픔은 이 사실을 깨달은 결과이다.

따라서 구의 모든 루프가 수축 가능하다는 것을 쉽게 알 수 있지만(대략적인 모양을 볼 수 있음) 토러스의 경우 더 이상 그렇지 않습니다. 도넛에는 두 개의 루프가 있습니다. 구멍, 그리고 다른 하나는 당길 수 없는 "주변을 따라" 구멍을 우회합니다. 이 그림에서 수축 불가능한 루프의 예는 빨간색으로 표시되고 보라각기. 표면에 고리가 있으면 수학자들은 "변종의 기본 군은 사소하지 않다"고 말하며 그러한 고리가 없으면 사소한 것입니다.

이제 푸앵카레 추측을 정직하게 공식화하기 위해 호기심 많은 독자는 조금 더 인내심을 가져야 합니다. 일반적으로 3차원 다양체와 특히 3차원 구가 무엇인지 알아낼 필요가 있습니다.

위에서 논의한 표면으로 잠시 돌아가 보겠습니다. 그들 각각은 비행기 조각과 거의 비슷한 작은 조각으로자를 수 있습니다. 평면은 2차원이기 때문에 다양체도 2차원이라고 합니다. 3차원 다양체는 작은 조각으로 자를 수 있는 표면으로, 각 조각은 일반적인 3차원 공간의 조각과 매우 유사합니다.

셰프" 배우"가설은 3차원 구체입니다. 3차원 구체를 4차원 공간의 일반적인 구체와 유사하게 생각하는 것은 아마도 정신을 잃지 않고는 불가능할 것입니다. 그러나 이 물체를 설명하는 것은 상당히 쉽습니다. 아주 쉽게 "부분적으로" 말하세요. 지구본을 본 사람이라면 누구나 평범한 구체가 북쪽과 남반구적도를 따라. 따라서 적도와 유사한 구를 따라 두 개의 공(북쪽과 남쪽)에서 3차원 구가 함께 접착됩니다.

3차원 다양체에서는 일반 표면에서 사용한 것과 동일한 루프를 고려할 수 있습니다. 따라서 Poincaré 추측은 다음과 같이 말합니다. 비공식 언어로 번역된 이해할 수 없는 문구 "구체에 대한 동형"은 표면이 구형으로 변형될 수 있음을 의미합니다.

약간의 역사

일반적으로 수학에서는 많은 수의 복잡한 문장을 공식화하는 것이 가능합니다. 그러나 무엇이 이것 또는 저 가설을 위대하게 만들고 나머지와 구별합니까? 이상하게도 큰 가설은 많은 수의 잘못된 증명으로 구별되며 각 증명에는 큰 오류가 포함되어 있습니다. 부정확성으로 인해 종종 완전히 새로운 수학 섹션이 등장합니다.

그래서 처음에는 훌륭한 실수를 저지르는 능력으로 구별되는 Henri Poincaré가 위에서 쓴 것과 약간 다른 형태로 가설을 공식화했습니다. 얼마 후, 그는 Homological Poincaré 3-sphere로 알려지게 된 그의 주장에 반례를 제시했고, 1904년에 이미 다음과 같은 추측을 공식화했습니다. 현대적인 형태. 그건 그렇고, 아주 최근에 과학자들은 천체 물리학에서 구를 적용했습니다. 우주가 동종 Poincaré 3 구로 판명 될 수 있음이 밝혀졌습니다.

이 가설은 동료 기하학자들 사이에서 큰 흥분을 불러일으키지 못했다고 말해야 합니다. 1934년 영국 수학자 존 헨리 화이트헤드(John Henry Whitehead)가 자신의 가설 증명 버전을 발표하기 전까지는 그랬습니다. 그러나 얼마 지나지 않아 그는 추론에서 오류를 발견했고 나중에 전체 화이트헤드 다양체 이론의 출현으로 이어졌습니다.

그 후 극도로 어려운 작업의 영광이 점차 가설에 자리 잡았습니다. 많은 위대한 수학자들은 그것을 폭풍으로 받아들이려고 노력했습니다. 예를 들어, (절대적으로 공식적으로) 문서에 이름 대신 이니셜을 쓴 수학자 R.H.Bing이 있습니다. 그는 가설을 증명하기 위해 여러 번 실패했으며, 이 과정에서 소위 "속성 P 추측"(Property P 추측)이라는 자신의 진술을 공식화했습니다. Bing이 중간 단계로 간주한 이 진술이 Poincaré 추측 자체의 증명보다 거의 더 복잡한 것으로 판명되었다는 점은 주목할 만합니다.

이것을 증명하기 위해 목숨을 바친 과학자들과 사람들이 있었습니다. 수학적 사실. 예를 들어 그리스 출신의 유명한 수학자 Christos Papakiriakopoulos가 있습니다. 10년 이상 동안 프린스턴에서 일하면서 그는 추측을 증명하려고 노력했지만 실패했습니다. 1976년 암으로 세상을 떠났다.

3보다 큰 차원의 다양체에 대한 Poincaré 추측의 일반화가 원본보다 눈에 띄게 더 간단하다는 것이 밝혀졌습니다. 추가 차원은 다양체를 조작하기 더 쉽게 만들었습니다. 따라서 n차원 다양체(n이 적어도 5일 때)에 대해 추측은 1961년 Stephen Smale에 의해 증명되었습니다. n=4인 경우 1982년 Michael Friedman에 의해 Smale의 것과는 완전히 다른 방법으로 추측이 증명되었다. 그의 증거로 후자는 필즈 메달을 받았습니다. 최고의 상수학자용.

설명된 작품은 멀리 떨어져 있습니다. 전체 목록 100년이 넘는 가설을 풀기 위한 시도. 그리고 각각의 작업이 수학의 전체 방향의 출현으로 이어졌고 이러한 의미에서 성공적이고 중요한 것으로 간주 될 수 있지만 러시아 Grigory Perelman만이 마침내 Poincaré 추측을 증명했습니다.

Perelman과 증명

1992년 당시 Mathematical Institute의 직원이었던 Grigory Perelman이 발견했습니다. Steklov는 Richard Hamilton의 강의에 참석했습니다. 미국 수학자는 Thurston의 기하학적 추측을 연구하기 위한 새로운 도구인 Ricci 흐름에 대해 이야기했습니다. 이로부터 Poincaré 추측이 간단한 결과로 얻어졌다는 사실입니다. 열 전달 방정식과 유추하여 구성된 이러한 흐름은 이 기사의 시작 부분에서 2차원 표면을 변형한 것과 거의 같은 방식으로 시간이 지남에 따라 표면을 변형시킵니다. 어떤 경우에는 그러한 변형의 결과가 구조를 이해하기 쉬운 대상인 것으로 밝혀졌습니다. 가장 큰 어려움은 변형 중에 무한 곡률을 가진 특이점이 발생하여 어떤 의미에서 천체 물리학의 블랙홀과 유사하다는 것입니다.

강의가 끝난 후 Perelman은 Hamilton에게 접근했습니다. "그는 미소를 지었고 매우 참을성이 있었습니다. 그는 심지어 불과 몇 년 후에 발표된 몇 가지 사실을 나에게 말했습니다. 그는 주저 없이 이것을 했습니다. 그의 개방성과 친절은 나를 놀라게 했습니다. 나는 말할 수 없습니다. 대부분의 현대 수학자들은 이렇게 행동합니다."

미국 여행 후 Perelman은 러시아로 돌아와 Ricci 흐름의 특이점 문제를 해결하고 기하학 가설 (Poincaré 가설이 아님)을 비밀리에 증명하기 시작했습니다. 2002년 11월 11일에 Perelman의 첫 번째 프리프린트가 수학계에 충격을 준 것은 놀라운 일이 아닙니다. 얼마 후 몇 가지 작품이 더 나타났습니다.

그 후 Perelman은 증거 논의에서 물러났고 심지어 수학을 중단했다고 합니다. 수학자에게 가장 권위 있는 상인 필즈상을 수상한 2006년에도 그는 고독한 생활을 멈추지 않았다. 저자의 이러한 행동에 대한 이유를 논의하는 것은 의미가 없습니다. 천재는 이상하게 행동 할 권리가 있습니다 (예를 들어, 미국에있는 Perelman은 손톱을 자르지 않아 자유롭게 자랄 수 있습니다).

그럴지라도 Perelman의 증명은 그 자체로 생명을 얻었습니다. 세 개의 사전 인쇄물이 현대 수학자들을 괴롭혔습니다. 러시아 수학자의 아이디어를 테스트 한 첫 번째 결과는 2006 년에 나타났습니다. 미시간 대학의 주요 기하학자 Bruce Kleiner와 John Lott는 사전 인쇄를 발표했습니다. 자신의 일, 크기가 213 페이지 인 책과 비슷합니다. 이 작업에서 과학자들은 Perelman의 모든 계산을 신중하게 확인하여 러시아 수학자의 작업에 간략하게 표시된 다양한 진술을 자세히 설명했습니다. 연구원들의 평결은 분명했습니다. 증거가 절대적으로 정확합니다.

같은 해 7월 이 이야기에 예상치 못한 반전이 찾아왔다. 저널에서 아시아 수학 저널중국 수학자 Xiping Zhu와 Huaidong Cao의 "Thurston 기하학 추측과 Poincaré 추측의 완전한 증명"이라는 제목의 기사가 나타났습니다. 이 작업의 틀 내에서 Perelman의 결과는 중요하고 유용한 것으로 간주되었지만 중간 수준에 불과했습니다. 이 일서양의 전문가들에게는 놀라움을 안겨주었지만 동양에서는 매우 호평을 받았습니다. 특히 끈이론의 기초가 된 깔라비야우 이론의 창시자 중 한 명인 신탄 야우와 카오와 주 스승의 지지를 받았다. 우연의 일치로 잡지의 편집장이 Yau였습니다. 아시아 수학 저널작품이 발표된 곳.

그 후 수학자는 중국 수학자들의 업적에 대해 이야기하는 인기 강의로 전 세계를 여행하기 시작했습니다. 결과적으로 Perelman과 Hamilton의 결과가 곧 배경으로 밀려날 위험이있었습니다. 이것은 수학의 역사에서 한 번 이상 일어났습니다. 특정 수학자의 이름을 가진 많은 정리는 완전히 다른 사람들에 의해 발명되었습니다.

그러나 이것은 일어나지 않았으며 아마 지금도 일어나지 않을 것입니다. Perelman에게 Clay Award를 수여하는 것은 (그가 거절하더라도) 영원히 굳어졌습니다. 대중 의식사실: 러시아 수학자 Grigory Perelman이 푸앵카레 추측을 증명했습니다. 사실 그가 Ricci 흐름의 특이점에 대한 완전히 새로운 이론을 발전시키면서 보다 일반적인 사실을 증명했다는 것은 중요하지 않습니다. 비록 그렇다 하더라도. 이상은 영웅을 찾았습니다.

N. Chetverikova의 사진 순수 수학의 마지막 위대한 업적은 1904년에 표현된 Poincaré 추측의 증명입니다. 2002-2003년 상트페테르부르크의 Grigory Perelman.

이 문구에는 몇 가지 용어가 있는데, 수학자가 아닌 사람들에게 일반적인 의미가 명확해지는 방식으로 설명하려고 노력할 것입니다(독자가 고등학교를 졸업했지만 여전히 학교 수학에서 무언가를 기억한다고 가정합니다).

주요 아이디어는 머그와 베이글의 고전적인 예를 사용하여 설명하는 것이 가장 쉽습니다. 첫 번째는 연속 변형에 의해 두 번째로 바뀔 수 있습니다. 이 그림은 머그가 도넛과 동종임을 분명히 보여 주며 이 사실은 머그의 표면(토러스라고 하는 2차원 다양체)과 채워진 몸체( 경계가 있는 3차원 다양체).

가설의 정식화에 나타나는 나머지 용어에 대한 해석을 해보자.

1. 경계가 없는 3차원 다양체.이것은 각 점이 3 차원 공 형태의 이웃을 갖는 기하학적 객체입니다. 3-다양체의 예는 먼저 R 3 으로 표시되는 전체 3차원 공간과 R 3 의 열린 점 집합, 예를 들어 솔리드 토러스(도넛)의 내부입니다. 닫힌 솔리드 토러스를 고려하면, 즉 경계점(토러스의 표면)을 추가하면 이미 경계가 있는 매니폴드를 얻습니다. 경계점에는 공 형태의 이웃이 없지만 형식만 있습니다. 공의 절반.

2. 연결됨.여기에서 연결의 개념이 가장 간단합니다. 매니폴드는 하나의 조각으로 구성되어 있거나 동일한 것으로 구성된 경우 연결되어 있으며 두 지점은 한계를 넘지 않는 연속선으로 연결될 수 있습니다.

3. 간단하게 연결됩니다.단일 연결의 개념은 더 복잡합니다. 이는 주어진 다양체 내에 완전히 위치한 연속 폐곡선이 이 다양체를 벗어나지 않고 점으로 부드럽게 수축될 수 있음을 의미합니다. 예를 들어, R 3의 일반적인 2차원 구는 단순히 연결됩니다(사과 표면에 임의로 부착된 탄성 밴드는 사과에서 탄성 밴드가 찢어지지 않고 한 지점으로 부드러운 변형으로 수축될 수 있음). 반면에 원과 토러스는 단순히 연결되어 있지 않습니다.

4. 컴팩트.동종 이미지에 경계 차원이 있는 경우 다양체가 컴팩트합니다. 예를 들어, 선의 열린 간격(끝을 제외한 세그먼트의 모든 점)은 무한 선으로 연속적으로 확장될 수 있기 때문에 콤팩트하지 않습니다. 그러나 닫힌 세그먼트(끝 포함)는 경계가 있는 콤팩트한 다양체입니다. 연속 변형의 경우 끝이 특정 지점으로 이동하고 전체 세그먼트가 이러한 지점을 연결하는 유계 곡선으로 이동해야 합니다.

치수다양체는 그 위에 "살아 있는" 지점에서의 자유도의 수입니다. 각 점은 해당 차원의 디스크 형태의 이웃, 즉 1차원의 경우 선의 간격, 2차원의 경우 평면 위의 원, 3차원의 경우 공의 간격을 가집니다. 등. 토폴로지의 관점에서 볼 때 경계가 없는 1차원으로 연결된 다양체는 두 개뿐입니다. 이것이 바로 선과 원입니다. 이 중 원만 콤팩트합니다.

2차원 콤팩트 매니폴드는 잘 알려져 있습니다. 만 고려한다면 지향 1경계가 없는 다양체, 그런 다음 위상학적 관점에서 무한하지만 단순한 목록을 형성합니다. 그러한 각각의 매니폴드는 표면의 속(genus of the surface)이라고 하는 수를 가진 여러 개의 핸들을 접착하여 구에서 얻습니다.

1 공간이 부족하기 때문에 자기교차 없이 공간에 삽입될 수 없는 표면인 유명한 Klein 병이 그 예인 비방향성 다양체에 대해서는 이야기하지 않겠습니다.

분명히 3차원 구 S3의 토폴로지 구조를 설명하는 가장 간단한 방법은 1점 압축을 사용하는 것입니다. 즉, 3차원 구 S 3 는 일반적인 3차원(무제한) 공간 R 3 의 1점 압축입니다.

먼저 간단한 예를 들어 이 구성을 설명하겠습니다. 직선을 따라 오른쪽이나 왼쪽으로 이동할 때 결국이 지점에 도달한다고 가정하여 일반적인 무한 직선 (공간의 1 차원 유사체)을 가져 와서 "무한한 거리"점 하나를 추가합시다. 토폴로지 관점에서 무한 선과 경계가 있는 열린 세그먼트(끝점 없음) 사이에는 차이가 없습니다. 이러한 세그먼트는 호 형태로 지속적으로 구부러지고 끝을 더 가깝게 만들고 누락 된 점을 접합부에 붙일 수 있습니다. 우리는 분명히 구의 1차원 아날로그인 원을 얻습니다.

마찬가지로 무한 평면을 취하고 원래 평면의 모든 선이 어떤 방향으로든 향하는 무한대에 한 점을 추가하면 2차원(일반) 구 S 2 를 얻습니다. 이 절차는 평면 P "의 특정 지점 인 N의 북극을 제외하고 구의 각 지점 P에 할당하는 입체 투영을 사용하여 관찰 할 수 있습니다.

따라서 한 점이 없는 구는 위상학적으로 평면과 동일하며, 한 점을 추가하면 평면이 구가 됩니다.

원칙적으로 정확히 동일한 구성이 3차원 구와 3차원 공간에 적용할 수 있으며 구현을 위해서만 4차원으로 들어가야 하며 이는 도면에 묘사하기가 쉽지 않습니다. 따라서 나는 공간 R 3 의 1점 압축에 대한 구두 설명으로 자신을 제한합니다.

이해하는 방법은 다음과 같습니다. 평소와 같이 둥근 도넛 형태로 토러스를 R 3에 삽입하고 이 도넛의 회전축인 수직선을 그립니다. 축을 통해 임의의 평면을 그리면 그림에서 녹색으로 표시된 두 개의 원을 따라 솔리드 토러스와 교차하고 평면의 추가 부분은 연속적인 빨간색 원으로 나뉩니다. 그중에는 구 S 3에서 선이 원으로 닫히기 때문에 더 굵게 강조 표시된 중심 축이 있습니다. 이 2차원 그림에서 축을 중심으로 회전하여 3차원 그림을 얻습니다. 그러면 회전된 원의 완전한 세트가 3차원 몸체를 채우고 단단한 원환체에 동형적이며 특이하게 보입니다.

실제로 중심 축은 그 안에 축 원이 될 것이고 나머지는 일반적인 단단한 토러스를 구성하는 원인 평행선의 역할을 할 것입니다.

왼쪽과 오른쪽, 위와 아래, 앞과 뒤의 세 쌍의 면이 있습니다. 각 쌍의 평행면에서 큐브의 가장자리를 따라 전송하여 서로 얻은 점을 쌍으로 식별합니다. 즉, 예를 들어 A와 A는 "같은 점이고 B와 B"도 하나의 점이지만 점 A와는 다르다고 (물리적 변형을 적용하지 않고 순전히 추상적으로) 가정합니다. 평소와 같이 고려할 큐브. 큐브 자체는 가장자리가 있는 매니폴드이지만 접착이 완료되면 가장자리가 자체적으로 닫히고 사라집니다. 사실, 입방체의 점 A와 A"의 이웃(그들은 왼쪽과 오른쪽 음영 면에 있음)은 공의 반쪽이며, 면을 함께 붙인 후 전체 공으로 병합되어 3차원 토러스의 대응점 부근.

물리적 공간에 대한 일상적인 생각을 바탕으로 3토러스의 구조를 느끼기 위해서는 서로 직교하는 세 방향(앞, 왼쪽, 위)을 선택하고 공상과학 소설에서처럼 정신적으로 고려해야 합니다. 이 방향은 다소 길지만 유한한 시간 , 우리는 시작점으로 돌아갈 것이지만 반대 방향에서 이것은 또한 "공간의 압축"이지만 이전에 구를 구성하는 데 사용된 1점 공간이 아닙니다. 그러나 더 복잡합니다.

따라서 단순 연결형과 단순 연결형이 아닌 소형 3-다양체가 있음을 알 수 있습니다. Perelman은 단순 연결 다양체가 정확히 하나라는 것을 증명했습니다.

증명의 초기 아이디어는 소위 "Ricci 흐름"을 사용하는 것입니다. 간단하게 연결된 컴팩트 3-다양체에 임의의 기하학을 부여한 다음(즉, 거리와 각도가 있는 일부 메트릭 도입) Ricci 흐름에 따른 진화를 고려하십시오. 1981년에 이 아이디어를 제안한 리차드 해밀턴은 이 진화를 통해 우리의 다양체가 구체로 변하기를 희망했습니다. 이것은 사실이 아님이 밝혀졌습니다. 3차원의 경우 Ricci 흐름은 다양체를 망칠 수 있습니다. Perelman은 엄청난 기술적 어려움을 극복하고 편미분 방정식의 무거운 장치를 사용하여 진화 중에 다양체의 토폴로지가 변경되지 않고 특이점이 없는 방식으로 특이점 근처의 Ricci 흐름을 수정했습니다. 끝은 둥근 구로 변합니다. 그러나 우리는 Ricci의 이러한 흐름이 무엇인지 마침내 설명해야 합니다. Hamilton과 Perelman이 사용하는 흐름은 추상 다양체에서 고유 메트릭의 변화를 의미하며 이는 설명하기가 다소 어렵기 때문에 평면에 포함된 1차원 다양체에서 "외부" Ricci 흐름을 설명하는 것으로 제한하겠습니다. .

곡률은 속도 벡터가 곡선에 의해 두 부분으로 나누어진 평면의 내부 부분을 향하면 양수로 간주되고 바깥쪽으로 향하면 음수로 간주됩니다. 이 규칙은 곡선이 통과하는 방향에 의존하지 않습니다. 회전 방향이 바뀌는 변곡점에서 곡률은 0이 됩니다. 예를 들어 반지름이 1인 원은 일정한 양의 곡률 1(라디안으로 측정)을 가집니다.

결론적으로, 우리는 Perelman의 주장이 Poincaré 추측뿐 아니라 훨씬 더 일반적인 Thurston 기하 추측도 증명한다는 점에 주목합니다. 그러나 이 주제는 이 기본 기사의 범위를 벗어납니다.

세르게이 두진,
물리 및 수학 박사 과학,
상위 연구원
상트페테르부르크 지점
러시아 과학 아카데미 수학 연구소

Poincaré의 정리는 "우주"의 수학 공식입니다. 그레고리 페렐만. 파트 1(시리즈 " 상 남자과학")

가장 위대한 수학자 중 한 명인 앙리 푸앵카레(1854-1912)는 1904년에 변형된 3차원 구라는 유명한 아이디어를 공식화했으며, 완전히 다른 문제, "글쎄, 이 질문은 우리를 너무 멀리 데려 갈 수 있습니다"라는 단어와 함께 다소 이상한 추측의 몇 줄을 휘갈겨 썼습니다 ...

옥스퍼드 대학의 마커스 뒤 소토이는 푸앵카레의 정리가 "이것은 핵심 문제수학과 물리학, 이해하려고 어떤 형태아마도 우주그녀와 가까워지기가 매우 어렵습니다."

일주일에 한 번 Grigory Perelman은 Institute for Advanced Study에서 열리는 세미나에 참석하기 위해 Princeton을 방문했습니다. 세미나에서 Harvard University 수학자 중 한 명이 Perelman의 질문에 답합니다. 3차원 표면이며 Poincaré 가설과 비교하여 한 단계 발전된 것입니다. William Thurston의 가정을 증명하면 Poincare 추측이 모든 문을 열어줄 것입니다. 그 해결책은 현대 과학의 전체 위상학적 지형을 바꿀 것입니다.».

2003년 3월 미국의 6개 주요 대학에서 Perelman에게 그의 작업을 설명하는 일련의 강의를 낭독하도록 초대했습니다. 2003년 4월 Perelman은 과학 투어를 합니다. 그의 강의는 뛰어난 과학 행사가 됩니다. John Ball(International Mathematical Union 회장), Andrew Wiles(수학자, 타원 곡선의 산술 분야에서 일함, 1994년 Fermat의 정리 증명), John Nash(게임 이론 및 미분 기하학 분야에서 일하는 수학자) 그의 말을 듣는 프린스턴.

Grigory Perelman은 밀레니엄의 일곱 가지 과제 중 하나를 해결했습니다.그리고 수학적으로 설명하다소위 우주의 공식, Poincaré 추측을 증명하기 위해. 100년 이상 이 가설을 놓고 가장 명석한 사람들이 싸웠고, 이를 증명하기 위해 세계 수학 공동체(Clay Mathematical Institute)가 100만 달러를 약속했습니다. 2010년 6월 8일에 발표되었습니다. , 그리고 세계 수학 커뮤니티 "턱이 떨어졌습니다."

2006년 푸앵카레 추측을 풀기 위해 수학자에게 최고의 수학적 상인 필즈상(필드 메달)이 수여되었습니다. John Ball은 그가 상을 받도록 설득하기 위해 개인적으로 St. Petersburg를 방문했습니다. 그는 "사회가 내 작업을 진지하게 평가할 수 없다"는 말로 받아들이기를 거부했다.

“필즈상(및 메달)은 수학 발전에 지대한 공헌을 한 젊은 과학자(40세 미만)에게 매 4년마다 한 번씩 열리는 국제 수학 대회에서 수여됩니다. 메달 외에도 수상자에게는 15,000 캐나다 달러($13,000)가 수여됩니다.”

푸앵카레 추측의 원래 공식은 다음과 같습니다. 공통 언어로 번역하면, 예를 들어 유리와 같은 3차원 물체는 변형만으로 공으로 변형될 수 있습니다. 즉, 자르거나 붙일 필요가 없습니다. 즉, Poincaré는 다음과 같이 제안했습니다. 공간은 3차원이 아니지만 훨씬 더 많은 차원을 포함합니다., 그리고 Perelman 100년 후 수학적으로 증명했다.

Grigory Perelman이 물질을 다른 상태로 변환하는 Poincaré 정리에 대한 표현, 형태는 Anastasia Novykh의 저서 "Sensei IV": 바늘"에 설명된 지식과 유사합니다. 옵저버가 도입한 변형을 통해 물질 우주를 제어할 수 있는 능력은 6차원(7에서 72까지 포함)을 제어하는 것입니다("PRIMARY ALLATRA PHYSICS" 주제 "Ezoosmic grid" 보고).

Grigory Perelman은 삶의 긴축, 자신과 타인 모두에 대한 윤리적 요구 사항의 심각성으로 구별되었습니다. 그를 보면 그가 단지 육체적 거주다른 모든 동시대인들과 마찬가지로 공간, ㅏ 영적으로 다른 어떤, 심지어 100만 달러에 가지 마세요가장 "순진한" 양심과 타협. 그리고 이곳은 어떤 공간이며, 곁눈질로 바라보는 것조차 가능한 것일까..

수학자 Poincaré가 약 100년 전에 제시한 가설의 예외적인 중요성은 3차원 구조에 관한 것이며 다음과 같습니다. 중요 요소현대 연구 우주의 기초. Clay Institute의 전문가에 따르면 이 수수께끼는 미래의 수학 발전에 근본적으로 중요한 7가지 수수께끼 중 하나입니다.

메달과 상을 거부하는 Perelman은 다음과 같이 묻습니다. “왜 필요한가요? 그들은 나에게 절대적으로 쓸모가 없습니다. 증명이 정확하면 다른 인정이 필요하지 않다는 것을 모두가 이해합니다. 의심이 생길 때까지 나는 낮은 도덕 수준으로 인해 수학 공동체 전체의 붕괴에 대해 큰 소리로 말하거나 아무 말도하지 않고 나 자신을 가축처럼 취급하도록 허용하는 선택권을 가졌습니다. 이제 내가 의심을 넘어섰을 때 나는 가축으로 남아 있을 수 없고 계속해서 침묵할 수 없으므로 떠날 수 밖에 없습니다.

현대 수학을 하기 위해서는 그것을 분해하고, 방향을 잃고, 가치를 대체하는 약간의 혼합 없이 완전히 순수한 마음을 가져야 하며, 이 상을 받는 것은 나약함을 보여주는 것을 의미합니다. 이상적인 과학자는 과학에만 종사하고 다른 것 (권력과 자본)에 관심이 없으며 순수한 마음을 가져야하며 Perelman에게는이 이상에 따라 사는 것보다 더 중요한 것은 없습니다. 수백만 명의 아이디어가 수학에 유용하고 실제 과학자에게 그러한 인센티브가 필요합니까? 그리고 이 세상의 모든 것을 사고 예속시키려는 자본의 욕망이 모욕적이지 않습니까? 아니면 팔 수 있습니다. 그것의 순결백만을 위해? 돈은 아무리 많아도 똑같다. 영혼의 진실? 결국, 우리는 단순히 돈과 관련되어서는 안 되는 문제에 대한 선험적 평가를 다루고 있는 것입니다. 이 모든 것을 로또 백만 또는 토트와 같은 것으로 만드는 것은 과학의 붕괴에 빠지는 것을 의미하며 실제로 인간 공동체 전체("PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS" 보고서와 "AllatRa"라는 책에서 창조적인 사회를 구축하는 방법에 대한 마지막 50페이지를 참조하십시오). 그리고 현금(에너지), 사업가가 과학에 기부 할 준비가되어있는 경우 사용이 필요한 경우 굴욕없이 정확하거나 무언가입니다. 진정한 봉사의 정신, 어떤 사람이 말하든, 귀중한 금전적 등가물: “ 100만이란 무엇인가에 비해, 순수성 또는 폐하 그 구체들(글로벌 우주의 차원과 약 영적 세계책을 보다"알랏라" 보고"PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS")에서 관통할 수 없다심지어 인간 상상(마음)?! 백만이 뭔데 별이 빛나는 하늘시간을 위해?

가설의 공식화에 나타나는 나머지 용어에 대한 해석을 제공하겠습니다.

토폴로지 - (그리스 토포스 - 장소 및 로고 - 가르침에서) - 그림의 토폴로지 속성을 연구하는 수학의 한 분야, 즉 불연속성 및 접착 없이 생성된 변형 하에서 변경되지 않는 속성(보다 정확하게는 일대일 및 연속 매핑 하에서). 그림의 토폴로지 속성의 예로는 치수, 주어진 영역을 묶는 곡선의 수 등이 있습니다. 따라서 원, 타원, 정사각형 등고선은 동일한 위상 특성을 갖습니다. 이 선들은 위에서 설명한 방식으로 서로 변형될 수 있습니다. 동시에 링과 원은 서로 다른 토폴로지 속성을 갖습니다. 원은 하나의 윤곽선으로, 링은 두 개의 윤곽선으로 둘러싸여 있습니다.

동종형(그리스어 ομοιο - 유사, μορφη - 모양)은 두 위상 공간 사이의 일대일 대응이며, 이 대응에 의해 정의된 상호 역 매핑이 연속적입니다. 이러한 매핑을 동형(homeomorphic) 또는 위상 매핑(topological mapping)이라고 하며 동형(homeomorphism)이라고 하며, 동일한 위상 유형에 속하는 공간을 동형(homeomorphic) 또는 위상 등가(topologically equivalent)라고 합니다.

경계가 없는 3차원 다양체. 이것은 각 점이 3 차원 공 형태의 이웃을 갖는 기하학적 객체입니다. 3-다양체의 예는 먼저 R3 로 표시되는 전체 3차원 공간과 R3 의 열린 점 세트(예: 솔리드 토러스(도넛)의 내부)입니다. 닫힌 솔리드 토러스를 고려한다면, 즉 경계점(토러스의 표면)을 추가하면 경계가 있는 매니폴드를 얻게 됩니다. 경계점에는 공 형태의 이웃이 없고 공의 절반 형태만 있습니다.

솔리드 토러스(solid torus)는 2차원 원반과 원 D2*S1의 곱에 동형인 기하학적 몸체이다. 비공식적으로 솔리드 토러스는 도넛이고 토러스는 표면일 뿐입니다(바퀴의 속이 빈 공간).

간단하게 연결됩니다. 이는 주어진 다양체 내에 완전히 위치한 연속 폐곡선이 이 다양체를 벗어나지 않고 점으로 부드럽게 수축될 수 있음을 의미합니다. 예를 들어, R3의 일반적인 2차원 구는 단순히 연결됩니다(사과 표면에 임의로 적용된 탄성 밴드는 사과에서 탄성 밴드를 제거하지 않고도 부드러운 변형으로 한 지점으로 수축될 수 있음). 반면에 원과 토러스는 단순히 연결되어 있지 않습니다.

콤팩트. 동종 이미지에 경계 차원이 있는 경우 다양체가 컴팩트합니다. 예를 들어, 선의 열린 간격(끝을 제외한 세그먼트의 모든 점)은 무한 선으로 연속적으로 확장될 수 있기 때문에 콤팩트하지 않습니다. 그러나 닫힌 세그먼트(끝 포함)는 경계가 있는 콤팩트한 다양체입니다. 연속 변형의 경우 끝이 특정 지점으로 이동하고 전체 세그먼트가 이러한 지점을 연결하는 유계 곡선으로 이동해야 합니다.

계속하려면...

일나즈 바샤로프

문학:

– ALLATRA International Public Movement의 국제 과학자 그룹의 "PRIMARY ALLATRA PHYSICS" 보고서, ed. 아나스타샤 노비크, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- 새 것. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- 새 것. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013, 632 p. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, 물리학 및 수학 박사 Sci., 러시아 과학 아카데미 수학 연구소 상트페테르부르크 지부 선임 연구원