Penrose umulige figurer. Umulig trekant

Den umulige trekanten er et av de fantastiske matematiske paradoksene. Ved første øyekast på ham kan du ikke tvile på ham et sekund. ekte eksistens. Dette er imidlertid bare en illusjon, et bedrag. Og selve muligheten for en slik illusjon vil bli forklart for oss av matematikk!

Oppdagelsen av Penrosene

I 1958 publiserte British Psychological Journal en artikkel av L. Penrose og R. Penrose, der de introduserte i betraktning ny type optisk illusjon, som de kalte " umulig trekant».

En visuelt umulig trekant oppfattes som en struktur som faktisk eksisterer i tredimensjonalt rom og består av rektangulære stolper. Men dette er bare en optisk illusjon. Det er umulig å bygge en ekte modell av en umulig trekant.

Penrose-artikkelen inneholdt flere alternativer for å skildre en umulig trekant. - dens "klassiske" presentasjon.

Hvilke elementer utgjør en umulig trekant?

Mer presist, fra hvilke elementer virker det for oss bygget? Designet er basert på et rektangulært hjørne, som oppnås ved å koble to identiske rektangulære stenger i rett vinkel. Disse hjørnene krever tre stykker, og stengene derfor seks stykker. Disse hjørnene må visuelt "kobles" til hverandre på en bestemt måte slik at de danner en lukket kjede. Det som skjer er den umulige trekanten.

Plasser det første hjørnet i et horisontalt plan. Vi vil feste det andre hjørnet til det, og rette en av kantene opp. Til slutt legger vi til et tredje hjørne til dette andre hjørnet slik at kanten er parallell med det opprinnelige horisontale planet. I dette tilfellet vil de to kantene til det første og tredje hjørnet være parallelle og rettet i forskjellige retninger.

Hvis vi betrakter stangen som et segment av lengdeenhet, har endene av stolpene i det første hjørnet koordinater, og det andre hjørnet - , og, det tredje - , og. Vi fikk en "vridd" struktur som faktisk eksisterer i tredimensjonalt rom.

Og la oss nå prøve å mentalt se på det fra forskjellige punkter rom. Se for deg hvordan det ser ut fra ett punkt, fra et annet, fra et tredje. Når du endrer observasjonspunktet, vil det se ut til at de to "ende" kantene på hjørnene våre beveger seg i forhold til hverandre. Det er ikke vanskelig å finne en posisjon de vil koble seg til.

Men hvis avstanden mellom ribbeina er mye mindre enn avstanden fra hjørnene til punktet vi ser på strukturen vår, vil begge ribbeina ha samme tykkelse for oss, og ideen vil oppstå at disse to ribbeina faktisk er en fortsettelse av hverandre. Denne situasjonen er vist i 4.

Forresten, hvis vi samtidig ser på refleksjonen av strukturen i speilet, vil vi ikke se en lukket krets der.

Og fra det valgte observasjonspunktet ser vi med egne øyne et mirakel som har skjedd: det er en lukket kjede av tre hjørner. Bare ikke endre observasjonspunktet slik at denne illusjonen ikke kollapser. Nå kan du tegne et objekt du ser eller plassere en kameralinse på det funnet punktet og få et fotografi av et umulig objekt.

Penrosene var de første som ble interessert i dette fenomenet. De brukte mulighetene som oppstår når man kartlegger tredimensjonale rom og tredimensjonale objekter på et todimensjonalt plan og trakk oppmerksomheten til en viss designusikkerhet – en åpen konstruksjon av tre hjørner kan oppfattes som en lukket kjede.

Bevis på umuligheten av Penrose-trekanten

Ved å analysere funksjonene til et todimensjonalt bilde av tredimensjonale objekter på et plan, forsto vi hvordan funksjonene til denne skjermen fører til en umulig trekant. Kanskje noen vil være interessert i et rent matematisk bevis.

Det er ekstremt enkelt å bevise at en umulig trekant ikke eksisterer, fordi hver av vinklene er rett, og summen deres er 270 grader i stedet for de "plasserte" 180 grader.

Dessuten, selv om vi vurderer en umulig trekant limt sammen fra hjørner mindre enn 90 grader, kan vi i dette tilfellet bevise at den umulige trekanten ikke eksisterer.

Vi ser tre flate ansikter. De krysser seg i par langs rette linjer. Planene som inneholder disse flatene er parvis ortogonale, så de krysser hverandre på ett punkt.

I tillegg må linjer med gjensidig skjæring av flyene passere gjennom dette punktet. Derfor må rette linjer 1, 2, 3 krysse i ett punkt.

Men det er det ikke. Derfor er den presenterte konstruksjonen umulig.

"Umulig" Art

Skjebnen til denne eller den ideen - vitenskapelig, teknisk, politisk - avhenger av mange omstendigheter. Og ikke minst på i hvilken form denne ideen vil bli presentert, i hvilket bilde den vil fremstå for allmennheten. Enten legemliggjørelsen vil være tørr og vanskelig å oppfatte, eller tvert imot, manifestasjonen av ideen vil være lys, og fange oppmerksomheten vår selv mot vår vilje.

Den umulige trekanten har en lykkelig skjebne. I 1961 nederlandsk maler Moritz Escher fullførte litografien han kalte The Waterfall. Kunstneren har kommet en lang, men rask vei fra selve ideen om en umulig trekant til dens fantastiske kunstneriske legemliggjøring. Husk at Penrose-artikkelen dukket opp i 1958.

I hjertet av "fossen" vises to umulige trekanter. En trekant er stor, en annen trekant er plassert inne i den. Det kan virke som om tre identiske umulige trekanter er avbildet. Men dette er ikke poenget, det presenterte designet er ganske komplisert.

Med et overfladisk blikk vil dets absurditet ikke umiddelbart være synlig for alle, siden hver forbindelse som presenteres er mulig. som de sier, lokalt, det vil si i et lite område av tegningen, er et slikt design mulig ... Men generelt er det umulig! Dens individuelle stykker passer ikke sammen, stemmer ikke med hverandre.

Og for å forstå dette, må vi bruke visse intellektuelle og visuelle anstrengelser.

La oss ta en reise langs kantene av strukturen. Denne banen er bemerkelsesverdig ved at langs den, som det ser ut for oss, forblir nivået i forhold til horisontalplanet uendret. Når vi beveger oss langs denne stien, går vi verken opp eller ned.

Og alt ville være greit, kjent, hvis vi ved enden av stien - nemlig ved punktet - ikke ville finne at vi, i forhold til utgangspunktet, på en eller annen mystisk ufattelig måte klatret opp vertikalen!

For å komme til dette paradoksale resultatet, må vi velge denne veien, og til og med overvåke nivået i forhold til horisontalplanet ... Ikke en lett oppgave. I sin avgjørelse kom Escher til hjelp for ... vann. La oss huske sangen om bevegelse fra Franz Schuberts fantastiske vokalsyklus "The Beautiful Miller's Woman":

Og først i fantasien, og deretter i hånden til en fantastisk mester, blir nakne og tørre strukturer til akvedukter, gjennom hvilke rene og raske vannstrømmer renner. Bevegelsen deres fanger blikket vårt, og nå, mot vår vilje, skynder vi oss nedstrøms, følger alle svingene og svingene på stien, sammen med strømmen bryter vi ned, faller på bladene til en vannmølle, og skynder oss nedstrøms igjen. .

Vi går rundt denne stien en gang, to ganger, en tredje ... og først da skjønner vi at vi beveger oss nedover og på en eller annen måte på en fantastisk måte la oss stige til toppen! Den første overraskelsen utvikler seg til et slags intellektuelt ubehag. Det ser ut til at vi har blitt offer for en slags spøk, gjenstand for en slags spøk som ennå ikke er forstått.

Og igjen gjentar vi denne veien langs en merkelig kanal, nå sakte, med forsiktighet, som om vi frykter en fangst fra et paradoksalt bilde, kritisk oppfatter alt som skjer på denne mystiske veien.

Vi prøver å løse mysteriet som har forbløffet oss, og vi kan ikke flykte fra dets fangenskap før vi finner den skjulte våren som ligger til grunn for den og bringer den ufattelige virvelvinden i uavbrutt bevegelse.

Kunstneren understreker spesifikt, pålegger oss oppfatningen av maleriene hans som bilder av ekte tredimensjonale objekter. Tredimensjonaliteten understrekes av bildet av ganske ekte polyeder på tårnene, murverk med den mest nøyaktige representasjonen av hver murstein i akveduktens vegger, stigende terrasser med hager i bakgrunnen. Alt er designet for å overbevise seeren om virkeligheten om hva som skjer. Og takket være kunst og utmerket teknologi er dette målet nådd.

Når vi bryter ut av fangenskapet der vår bevissthet faller, begynner vi å sammenligne, sammenligne, analysere, vi finner at grunnlaget, kilden til dette bildet er skjult i designtrekkene.

Og vi fikk ett til - "fysisk" bevis på umuligheten av den "umulige trekanten": hvis en slik trekant fantes, så ville også Eschers "Vasserfall" eksistere, som i hovedsak er en evighetsmaskin. Men en evighetsmaskin er umulig, derfor er den "umulige trekanten" også umulig. Og kanskje er dette "beviset" det mest overbevisende.

Hva gjorde Moritz Escher til et fenomen, en unik person som ikke hadde noen åpenbare forgjengere innen kunsten og som ikke lar seg etterligne? Dette er en kombinasjon av fly og volumer, nøye oppmerksomhet på de bisarre formene til mikrokosmos - levende og ikke-levende, til uvanlige synspunkter på vanlige ting. Hovedeffekten av komposisjonene hans er effekten av fremveksten av umulige forhold mellom kjente objekter. Disse situasjonene ved første blikk kan både skremme og forårsake et smil. Du kan med glede se på moroa som artisten byr på, eller du kan for alvor stupe ned i dypet av dialektikk.

Moritz Escher viste at verden kanskje ikke er slik vi ser den og er vant til å oppfatte den – du trenger bare å se den fra en annen, ny vinkel!

Moritz Escher

Moritz Escher var mer heldig som vitenskapsmann enn som kunstner. Hans graveringer og litografier ble sett på som nøkler til å bevise teoremer eller originale moteksempler som trosset sunn fornuft. I verste fall ble de oppfattet som utmerkede illustrasjoner for vitenskapelige avhandlinger om krystallografi, gruppeteori, kognitiv psykologi eller data-grafikk. Moritz Escher jobbet innen rom-tid-relasjoner og deres identitet, han brukte grunnleggende mønstre av mosaikk, og brukte transformasjoner på dem. Dette Stor mester optiske illusjoner. Eschers graveringer skildrer ikke formlenes verden, men verdens skjønnhet. Deres intellektuelle lager er fundamentalt i motsetning til surrealistenes ulogiske kreasjoner.

Den nederlandske kunstneren Moritz Cornelius Escher ble født 17. juni 1898 i provinsen Holland. Huset der Escher ble født er nå et museum.

Siden 1907 har Moritz studert tømrerfaget og spilt piano, studert på videregående skole. Moritz sine karakterer i alle fag var dårlige bortsett fra tegning. Kunstlæreren la merke til guttens talent og lærte ham å lage tresnitt.

I 1916 utfører Escher sitt første grafiske verk, en gravering på lilla linoleum - et portrett av faren G. A. Escher. Han besøker verkstedet til kunstneren Gert Stiegemann, som hadde trykkeri. Eschers første graveringer ble trykt på denne maskinen.

I 1918-1919 gikk Escher på Technical College i den nederlandske byen Delft. Han får utsettelse fra militærtjeneste for å fortsette studiene, men på grunn av dårlig helse klarte ikke Moritz å takle læreplan, og ble utvist. Som et resultat fikk han aldri høyere utdanning. Han studerer ved School of Architecture and Ornamentation i Haarlem, hvor han tar tegnetimer fra Samuel Jeserin de Mesquite, som hadde en formende innflytelse på Eschers liv og arbeid.

I 1921 besøkte familien Escher Rivieraen og Italia. Fascinert av vegetasjonen og blomstene i middelhavsklimaet, laget Moritz detaljerte tegninger av kaktus og oliventrær. Han skisserte mange skisser av fjellandskap, som senere dannet grunnlaget for hans arbeid. Senere ville han stadig vende tilbake til Italia, noe som ville tjene som en inspirasjonskilde for ham.

Escher begynner å eksperimentere i en ny retning for seg selv, selv da er det speilbilder, krystallfigurer og kuler i verkene hans.

Slutten av tjueårene viste seg å være en svært fruktbar periode for Moritz. Arbeidene hans ble vist på mange utstillinger i Holland, og i 1929 hadde hans popularitet nådd et slikt nivå at det ble holdt fem separatutstillinger på ett år i Holland og Sveits. Det var i denne perioden at Eschers malerier først ble kalt mekaniske og "logiske".

Asher reiser mye. Bor i Italia og Sveits, Belgia. Han studerer mauriske mosaikker, lager litografier, graveringer. Basert på reiseskisser lager han sitt første maleri av den umulige virkeligheten Still Life with Street.

På slutten av trettitallet fortsatte Escher å eksperimentere med mosaikk og transformasjoner. Han lager en mosaikk i form av to fugler som flyr mot hverandre, som dannet grunnlaget for maleriet «Dag og natt».

I mai 1940 okkuperte nazistene Holland og Belgia, og 17. mai falt også Brussel inn i okkupasjonssonen, der Escher og hans familie bodde på den tiden. De finner et hjem i Varna og flytter dit i februar 1941. Til slutten av sine dager skal Escher bo i denne byen.

I 1946 ble Escher interessert i dyptrykkteknologi. Og selv om denne teknologien var mye mer komplisert enn den som ble brukt av Escher før og krevde mer tid for å lage et bilde, var resultatene imponerende - tynne linjer og nøyaktig skyggegjengivelse. En av de mest kjente verk i dyptrykk ble "Dewdrop" ferdigstilt i 1948.

I 1950 ble Moritz Escher populær som foreleser. Så, i 1950, ble hans første separatutstilling holdt i USA og arbeidet hans begynte å bli kjøpt. 27. april 1955 Moritz Escher blir slått til ridder og blir adelsmann.

På midten av 1950-tallet kombinerer Escher mosaikk med figurer som strekker seg ut i det uendelige.

På begynnelsen av 60-tallet kom den første boken med Eschers verk, Grafiek en Tekeningen, der forfatteren selv kommenterte 76 verk. Boken har bidratt til å få forståelse blant matematikere og krystallografer, inkludert noen i Russland og Canada.

I august 1960 holdt Escher et foredrag om krystallografi ved Cambridge. De matematiske og krystallografiske aspektene ved Eschers arbeid blir svært populære.

I 1970 etter ny serie Eschers virksomhet flyttet til nytt hus i Laren, som hadde atelier, men dårlig helse gjorde det umulig å jobbe hardt.

Moritz Escher døde i 1971 i en alder av 73. Escher levde lenge nok til å se The World of M.C. Escher oversatt til engelske språk og var veldig fornøyd med det.

Ulike umulige bilder finnes på nettsidene til matematikere og programmerere. mest fullversjon fra de vi så på, er etter vår mening stedet til Vlad Alekseev

Denne siden presenterer ikke bare et bredt spekter av kjente malerier, inkludert M. Escher, men også animerte bilder, morsomme tegninger av umulige dyr, mynter, frimerker m.m. Denne siden lever, den oppdateres med jevne mellomrom og etterfylles med fantastiske tegninger.

I dag åpner jeg en ny seksjon kalt "Skjæring", hvor jeg vil legge ut tegninger, maler, samt et mønster av optiske illusjoner. I dag skal vi lage en umulig trekant fra papir. Siden vi ikke kan lage en umulig trekant, vil vi lage en modell som vi vil vurdere fra en bestemt vinkel.

1. Last ned og skriv ut
2. Følg instruksjonene på bildet

Hvordan vurdere en umulig trekant riktig?

Siden illusjonen er basert på den tvetydige tegningen av kuben inn isometrisk visning. Så i denne orienteringen vil hjørnene nærmest betrakteren og det fjerne hjørnet fra betrakteren falle sammen. Dette betyr at når vi går ned den nærmeste kanten av kuben, og de to nederste kantene, går vi tilbake til Utgangspunktet der stien faktisk ender i det lengste hjørnet.

Denne umulige Penrose-trekanten

I et slikt område billedkunst som å male menneskehud, siste trend i dag er det figurer av optiske illusjoner, spesielt Penrose-trekanten, eller tribar, som også kalles umulig. For første gang ble denne formen oppdaget, eller oppfunnet, av den svenske maleren Oscar Reutersvärd, som presenterte den for verden i form av et sett med kuber ved årsskiftet 1935. Senere, allerede på 80-tallet av vårt århundre, stammemønster ble trykt i Sverige på et frimerke.

Imidlertid ble bildet av den umulige Penrose-trekanten, som tilhører kategorien optiske illusjoner, viden kjent i 1958, etter publiseringen av publikasjonen av den engelske matematikeren Roger Penrose om umulige figurer, publisert i British Journal of Psychology. Inspirert av dette innlegget, kjent maler fra Holland Maurits Escher skapte i 1961 et av sine mest populære verk "Waterfall".

Optisk illusjon

Optiske illusjoner i maleri er en visuell illusjon av persepsjon. ekte bilde, kunstnerskapt et bestemt arrangement av linjer på et fly. Samtidig vurderer betrakteren feil størrelsen på vinklene til figuren eller lengden på sidene, som er gjenstand for studier av slike underseksjoner av psykologi som for eksempel gestaltterapi. I tillegg til Escher, var en annen glad i å skape optiske illusjoner. stor kunstner- verdensomspennende berømte El Salvador Dali. En levende illustrasjon av lidenskapen hans er for eksempel maleriet «Svaner reflektert i elefanter».

Trekanten ovenfor refererer også til optiske illusjoner, mer presist til den delen av dem, som kalles umulige tall. De kalles det på grunn av følelsen som oppstår når man ser på en slik form som dens eksistens i virkelige verden bare umulig.

Anvendelse av illusjoner

På grunn av deres unike form fungerer illusoriske objekter som et subjekt nøye oppmerksomhet ikke bare artister og tatovører - en trekant laget av deg selv eller med hjelp av profesjonelle kan også fungere som en firmalogo. Gode ​​eksempler på denne bruken av illusoriske former er: logoen til et psykedelisk musikalsk band som spiller folkemusikk, Conundum in Deed, som er en umulig kube, eller merket til brikkeprodusenten Digilent Inc, som er det klassiske trekantbildet av Penrose.

Du kan lage din egen logo uten å ty til profesjonelle. For å gjøre dette, følg bare instruksjonene, hvorpå du kan utføre både en enkel tegning på papir eller i et nettbrett, og lage volumetrisk figur. Den kan plasseres som skilt eller utendørsreklame for butikken din.

Hvordan gjøre det selv

Trinnvise instruksjoner om hvordan du tegner en tribar ved hjelp av Adobe Illustrator:

1. Først må du lage 3 firkanter med rektangelverktøyet. For å gjøre dette, må du først gå til Vis-menyen og aktivere Smart Guides.
2. Nå må du velge alt og gå til Objekt-menyen, deretter til Transform og åpne Transform hver, hvor du i Scale-vinduet må sette ned verdien Vertical Scale = 86,6% og klikke OK.
3. Nå må du sette hvert ansikt sin egen rotasjonsvinkel, og for dette gå til Window open Transform. Der, legg først ned verdien for skråkanten (Skjær), og deretter for rotasjonen (Roter): den øvre overflaten av kuben er Skjær +30 °, Roter -30 °; høyre overflate - Skjær +30°, Roter +30°; venstre overflate — Skjær -30°, Roter -30°.
4. Nå, ved å bruke Smart Guides-linjene, må du slå sammen alle delene av kuben: For å gjøre dette, hekt hjørnet på en av sidene med musen og trekk det til den andre, juster dem.
5. På dette stadiet må du rotere kuben med 30°: for å gjøre dette, gå til Objekt, velg Transformer og roter, sett vinkelverdien der til 30° og klikk OK.
6. Siden du trenger 6 kuber for å få en tri-bar, bør du velge kuben, trykke Alt og Shift og dra det valgte objektet til siden med musen, og strekke det i horisontal retning. Uten å fjerne markeringen, trykk 6 ganger på CMD + D. Vi fikk 6 kuber.
7. Forlater utvalget på den siste kuben, trykk Enter og endre vinkelverdien til 240 ° i Flytt-vinduet, og trykk deretter Kopier. Trykk deretter på CMD + D igjen til du får 6 kopier.
8. Gjenta nå alt: trykk Enter igjen, velg den siste kuben, sett bare vinkelen til 120° og lag bare 5 kopier.
9. Ved å bruke markeringsverktøyet må du velge den øvre overflaten av formen (du kan farge den om for å gjøre den klarere), åpne menyen Objekt - Ordne - Send til baksiden. Velg nå den malte overflaten til den øverste kuben, gå til Objekt - Ordne - Bring foran.

Penrose-illusjonen er klar. Den kan legges ut på siden din i sosiale nettverk eller blogger, eller brukes i forretninger.

Penrose trekant- en av de viktigste umulige figurene, også kjent under navnene umulig trekant Og stamme.

Penrose trekant (i farger)

Historie

Denne figuren fikk stor popularitet etter publiseringen av en artikkel om umulige figurer i British Journal of Psychology av den engelske matematikeren Roger Penrose i 1958. Også i denne artikkelen ble den umulige trekanten avbildet i sin mest generelle form - i tre bjelker koblet til hverandre i rette vinkler. Påvirket av denne artikkelen skapte den nederlandske kunstneren Maurits Escher en av sine berømte Waterfall-litografier.

3D-utskrift av Penrose-trekanten

skulpturer

Den 13 meter lange skulpturen av en umulig trekant laget av aluminium ble reist i 1999 i byen Perth (Australia)

Den samme skulpturen når du endrer synspunkt

Andre figurer

Selv om det er fullt mulig å konstruere analoger av Penrose-trekanten basert på vanlige polygoner, den visuelle effekten av dem er ikke så imponerende. Etter hvert som antall sider øker, virker objektet ganske enkelt bøyd eller vridd.

se også

• Tre harer (engelsk) tre harer)

Illusionisme (filosofi)

Illusjonisme - i vid forstand er dette navnet på en filosofisk posisjon i forhold til visse fenomener; for måten slike fenomener vurderes på; i snever forstand er det et navn på flere spesifikke filosofiske teorier.

kaféveggillusjon

Kaféveggillusjonen er en optisk illusjon skapt av den kombinerte virkningen av forskjellige nivåer av nevrale mekanismer: retinale nevroner og visuelle cortex-neuroner.

umulig figur

En umulig figur er en av typene optiske illusjoner, en figur som ved første øyekast ser ut til å være en projeksjon av et vanlig tredimensjonalt objekt, ved nærmere undersøkelse av hvilke motstridende forbindelser mellom elementene i figuren som blir synlige. Det skapes en illusjon om umuligheten av eksistensen av en slik figur i tredimensjonalt rom.

Umulig kube

Den umulige kuben er en umulig figur oppfunnet av Escher for hans Belvedere-litografi. Dette er en todimensjonal figur som ser ut som et tredimensjonalt kubeperspektiv, uforenlig med en ekte kube. I Belvedere-litografien holder en gutt som sitter ved bunnen av en bygning en umulig kube. En tegning av en lignende Necker-kube ligger ved føttene hans, mens selve bygningen inneholder de samme egenskapene til en umulig kube.

Den umulige kuben låner tvetydigheten til Necker-kuben, der kantene er tegnet som linjestykker, og som kan tolkes i en av to forskjellige tredimensjonale orienteringer.

Den umulige kuben er vanligvis tegnet som en Necker-kube, med kanter (segmenter) erstattet av tilsynelatende solide stolper.

I Eschers litografi tilsvarer de fire øverste sammenføyningene av stolpene og det øverste skjæringspunktet til stolpene en av de to tolkningene av Necker-kuben, mens de fire nederste sammenføyningene og det nederste krysset tilsvarer den andre tolkningen. Andre varianter av den umulige kuben kombinerer disse egenskapene på andre måter. For eksempel inneholder en av kubene i figuren alle åtte forbindelsene i henhold til en tolkning av Necker-kuben, og begge skjæringspunktene tilsvarer en annen tolkning.

Den tilsynelatende soliditeten til stolpene gir den umulige kuben mer visuell tvetydighet enn Necker-kuben, som er mindre sannsynlig å bli oppfattet som et umulig objekt. Illusjonen spiller på det menneskelige øyets tolkning av en todimensjonal tegning som et tredimensjonalt objekt. Tredimensjonale objekter kan virke umulige når de sees fra en bestemt vinkel og enten ved å kutte objektet på rett sted eller ved å bruke et endret perspektiv, men menneskelig erfaring med rektangulære objekter gjør umulige oppfatninger mer sannsynlige enn illusjoner i virkeligheten.

Andre kunstnere, inkludert Jos De Mey, malte også umulige kubestykker.

Et fabrikkert fotografi av den antatt umulige kuben ble publisert i juni 1966-utgaven av Scientific American, der den ble kalt "Frimisch-buret". Den umulige kuben ble vist på et østerriksk frimerke.

Umulig Trident

Blyweth, også kjent som poyut eller djevel høygaffel, er en uforklarlig figur optisk illusjon og en umulig figur. Det ser ut til at tre sylindriske stenger blir til to stenger.

Ruthersward, Oscar

Oskar Rutersvärd (stavemåten til etternavnet akseptert i russiskspråklig litteratur; mer korrekt, Reutersverd), svensk. Oscar Reutersvärd (29. november 1915, Stockholm, Sverige - 2. februar 2002, Lund) - "den umulige figurens far", en svensk kunstner som spesialiserte seg på å skildre umulige figurer, det vil si de som kan avbildes (gitt uunngåelige brudd på perspektivet når du representerer 3-dimensjonalt rom på papir), men kan ikke opprettes. En av hans figurer mottatt videre utvikling som "Penrose-triangel" (1934). Arbeidet til Ruthersward kan sammenlignes med arbeidet til Escher, men hvis sistnevnte brukte umulige figurer som "ryggrader" for å skildre fantastiske verdener, så var Ruthersward bare interessert i figurer som sådan. I løpet av sin levetid avbildet Rutersvärd rundt 2500 figurer i isometrisk projeksjon. Rutersvärds bøker er utgitt på mange språk, inkludert russisk.

Escher, Maurits Cornelis

Maurits Cornelis Escher (nederlandsk Maurits Cornelis Escher [ˈmʌu̯rɪts kɔrˈneːlɪs ˈɛʃər̥]; 17. juni 1898, Leeuwarden, Nederland – 27. mars 1972, Hilversum, Nederland) var en nederlandsk grafiker. Kjent først og fremst for sine konseptuelle litografier, tresnitt og metallgraveringer, der han mesterlig utforsket de plastiske aspektene ved begrepene uendelighet og symmetri, så vel som trekkene til den psykologiske oppfatningen av komplekse tredimensjonale objekter, de mest lys representant imp art.

Illusjoner	Penrose Triangel

Også kjent under navnene umulig trekant Og stamme.

Historie

Denne figuren fikk stor popularitet etter publiseringen av en artikkel om umulige figurer i British Journal of Psychology av den engelske matematikeren Roger Penrose i 1958. I denne artikkelen ble den umulige trekanten avbildet i sin mest generelle form - i form av tre bjelker koblet til hverandre i rette vinkler. Påvirket av denne artikkelen skapte den nederlandske kunstneren Maurits Escher en av sine berømte Waterfall-litografier.

skulpturer

Den 13 meter lange skulpturen av en umulig trekant laget av aluminium ble reist i 1999 i byen Perth (Australia)

Deutsches Technikmuseum Berlin februar 2008 0004.JPG

Den samme skulpturen når du endrer synspunkt

Andre figurer

Selv om det er fullt mulig å bygge analoger av Penrose-trekanten basert på vanlige polygoner, er den visuelle effekten av dem ikke så imponerende. Etter hvert som antall sider øker, virker objektet ganske enkelt bøyd eller vridd.

se også

• Tre harer (engelsk) tre harer )

Skriv en anmeldelse om artikkelen "Penrose Triangle"

Et utdrag som karakteriserer Penrose-triangelet

Etter å ha sagt alt han ble beordret, sa Balashev at keiser Alexander ønsket fred, men ikke ville starte forhandlinger unntatt på betingelse av at ... Her nølte Balashev: han husket de ordene som keiser Alexander ikke skrev i et brev, men som han beordret absolutt Saltykov til å sette dem inn i reskriptet og som han beordret Balashev å overlate til Napoleon. Balashev husket disse ordene: "inntil ikke en eneste væpnet fiende er igjen på russisk jord," men en slags kompleks følelse holdt ham tilbake. Han kunne ikke si de ordene selv om han ville. Han nølte og sa: under forutsetning av at de franske troppene trekker seg tilbake utenfor Neman.
Napoleon la merke til Balashevs forlegenhet da han sa siste ord; ansiktet hans skalv, venstre legg på leggen begynte å skjelve målt. Uten å flytte seg fra setet begynte han å snakke med en stemme høyere og mer forhastet enn før. Under den påfølgende talen observerte Balashev, mer enn en gang, senket øynene, ufrivillig skjelvingen av kalven i Napoleons venstre ben, som forsterket seg jo mer han hevet stemmen.
"Jeg ønsker fred ikke mindre enn keiser Alexander," begynte han. «Har jeg ikke gjort alt i atten måneder for å få det til? Jeg har ventet i atten måneder på en forklaring. Men hva kreves av meg for å starte forhandlinger? sa han, rynket pannen og gjorde en energisk spørrende gest med sin lille hvite og fyldige hånd.
- Tilbaketrekningen av troppene for Neman, suverene, - sa Balashev.
- For Neman? gjentok Napoleon. – Så nå vil du trekke deg tilbake bak Neman – bare for Neman? gjentok Napoleon og så direkte på Balashev.
Balashev bøyde hodet respektfullt.
I stedet for å kreve for fire måneder siden å trekke seg tilbake fra Numberania, krevde de nå å trekke seg tilbake bare utenfor Neman. Napoleon snudde seg raskt og begynte å gå rundt i rommet.
– Du sier at jeg er pålagt å trekke meg tilbake utover Neman for å starte forhandlinger; men for to måneder siden krevde de av meg å trekke meg tilbake over Oder og Vistula på nøyaktig samme måte, og til tross for dette samtykker du i å forhandle.
Han gikk stille fra det ene hjørnet av rommet til det andre og stoppet igjen foran Balashev. Ansiktet hans så ut til å være forsteinet i det strenge uttrykket, og venstre ben skalv enda raskere enn før. Napoleon kjente denne skjelvingen på venstre legg. La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [Skælven på min venstre legg er flott tegn,] sa han senere.

Det umulige er fortsatt mulig. Og en levende bekreftelse på dette er den umulige Penrose-trekanten. Oppdaget i forrige århundre, er den fortsatt ofte funnet i vitenskapelig litteratur. Og uansett hvor overraskende det høres ut, kan du til og med lage det selv. Og det er ganske enkelt å gjøre det. Mange elskere av å tegne eller samle origami har vært i stand til å gjøre dette i lang tid.

Betydningen av Penrose-trekanten

Det er flere navn på denne figuren. Noen kaller det en umulig trekant, andre bare en tribar. Men oftest kan du finne definisjonen av nøyaktig "Penrose-trekanten".

Under disse definisjonene er en av de viktigste umulige figurene forstått. Etter navnet å dømme er det umulig å få en slik figur i virkeligheten. Men i praksis er det bevist at det fortsatt er mulig å gjøre dette. Det vil bare ta form hvis du ser på det fra et bestemt punkt i riktig vinkel. Fra alle andre sider er figuren ganske ekte. Den representerer tre kanter av en kube. Og det er enkelt å lage et slikt design.

Oppdagelseshistorie

Penrose-triangelet ble oppdaget tilbake i 1934 av den svenske kunstneren Oscar Reutersvärd. Figuren ble presentert i form av kuber satt sammen. I fremtiden begynte kunstneren å bli kalt "faren til umulige figurer."

Kanskje Reutersvärd-tegningen ville ha forblitt lite kjent. Men i 1954 skrev den svenske matematikeren Roger Penrose et papir om umulige tall. Dette var trekantens andre fødsel. Riktignok presenterte forskeren det i en mer kjent form. Han brukte ikke kuber, men bjelker. Tre bjelker ble koblet til hverandre i en vinkel på 90 grader. Forskjellen var også at Reutersvärd brukte parallellperspektiv mens han malte. Og Penrose brukte et lineært perspektiv, som gjorde tegningen enda mer umulig. En slik trekant ble publisert i 1958 i et britisk psykologitidsskrift.

I 1961 skapte kunstneren Maurits Escher (Holland) en av sine mest populære litografier, Waterfall. Den ble til under inntrykket av artikkelen om umulige tall.

På åttitallet av forrige århundre ble tribar og andre umulige figurer avbildet på staten frimerker Sverige. Dette pågikk i flere år.

På slutten av forrige århundre (mer presist i 1999) ble det laget en aluminiumsskulptur i Australia, som skildrer den umulige Penrose-trekanten. Den nådde en høyde på 13 meter. Lignende skulpturer, bare mindre i størrelse, finnes også i andre land.

Umulig i virkeligheten

Som du kanskje har gjettet, er ikke Penrose-trekanten egentlig en trekant i vanlig forstand. Det er tre sider av en kube. Men hvis du ser fra en viss vinkel, får du en illusjon av en trekant på grunn av at 2 vinkler faller helt sammen på planet. Det nære fra betrakteren og de fjerne hjørnene er visuelt kombinert.

Hvis du er forsiktig, kan du gjette at stammen ikke er noe mer enn en illusjon. Selve utseendet til figuren kan gi en skygge fra den. Det viser at hjørnene faktisk ikke henger sammen. Og selvfølgelig blir alt klart hvis du tar opp figuren.

Lag en figur med egne hender

Penrose trekant kan settes sammen uavhengig. For eksempel fra papir eller papp. Og diagrammene vil hjelpe i dette. De må bare skrives ut og limes. Det er to diagrammer på Internett. En av dem er litt enklere, den andre er vanskeligere, men mer populær. Begge er vist på bildene.

Penrose-trekanten vil være et interessant produkt som gjestene definitivt vil like. Det vil absolutt ikke gå ubemerket hen. Det første trinnet for å lage det er å forberede skjemaet. Den overføres til papir (papp) ved hjelp av en skriver. Og da er det enda enklere. Det må bare kuttes rundt omkretsen. Diagrammet har allerede alle nødvendige linjer. Det vil være mer praktisk å jobbe med tykkere papir. Hvis diagrammet er trykt på tynt papir, men du vil ha noe tettere, påføres emnet ganske enkelt på det valgte materialet og kuttes ut langs konturen. For å hindre at kretsen beveger seg, kan den festes med binders.

Deretter må du bestemme linjene som arbeidsstykket skal bøye seg langs. Som regel er det representert i diagrammet Vi bøyer delen. Deretter bestemmer vi stedene som er gjenstand for liming. De er belagt med PVA-lim. Delen er kombinert til en enkelt figur.

Detalj kan males. Og du kan i utgangspunktet bruke farget papp.

Tegn en umulig figur

Penrose-trekanten kan også tegnes. Til å begynne med tegnes en enkel firkant på arket. Størrelsen spiller ingen rolle. Med basen på undersiden av firkanten tegnes en trekant. Små rektangler er tegnet i hjørnene på innsiden. Sidene deres må slettes, og etterlater bare de som er felles med trekanten. Resultatet skal være en trekant med avkortede hjørner.

En rett linje er tegnet fra venstre side av øvre nedre hjørne. Den samme linjen, men litt kortere, er tegnet fra nedre venstre hjørne. En linje som strekker seg fra høyre hjørne tegnes parallelt med trekantens base. Det viser seg den andre dimensjonen.

I henhold til prinsippet til den andre tegnes den tredje dimensjonen. Bare i dette tilfellet er alle linjer basert på vinklene til figuren, ikke den første, men den andre dimensjonen.