hjem › Motor › Hva du trenger å vite om Penrose Triangle? Penrose trekant. Lag en umulig trekant Hvordan lage en umulig trekant-illusjon

Hva du trenger å vite om Penrose Triangle? Penrose trekant. Lag en umulig trekant Hvordan lage en umulig trekant-illusjon

Hilsener kjære lesere bloggside. Rustam Zakirov tar kontakt, og jeg har en annen artikkel til deg, hvis emne er hvordan tegne en Penrose-trekant. I dag vil jeg vise deg hvor enkelt det er å tegne en umulig trekant. Vi vil tegne to tegninger av denne trekanten, den ene vil være vanlig, og den andre vil være en ekte 3D-tegning. Og alt dette vil være overraskende enkelt. Du kan få en ekte 3D-tegning av denne trekanten. Jeg tviler på at dette vil bli vist til deg et annet sted, så les artikkelen til slutten og veldig nøye.

Til tegningene våre trenger vi som alltid: et stykke papir enkle blyanter(helst en "medium", "annet myk") og noen fargeblyanter eller tusj.

Hvor enkelt det er å tegne 3D-tegninger.

Jeg trakk denne umulige trekanten fra dette vanlige bildet, som jeg nettopp fant på Internett. Her er hun.

Og så på et par minutter med hjelpen oversatte jeg det til 3D . Så du kan oversette nesten alle bilder til 3D. For de som ønsker å lære det samme, klikk her.

Og vi går videre til tegningen vår.

Vi tegner den vanlige tegningen av en trekant.

TRINN 1. Vi oversetter fra LCD-skjermen.

For at du skal tegne en trekant, må du gjøre følgende. Du tar et stykke papir og lener det mot trekanten på skjermen og oversetter det ganske enkelt.

Og siden trekanten vår ikke er komplisert i det hele tatt, er det nok å sette bare hovedpunktene i alle hjørnene.

Og så ser vi på originalen og kobler disse punktene med en linjal. Jeg fikk det slik.

Hele trekanten vår er klar. Du kan la det være slik, men la oss pynte det litt mer. Jeg gjorde dette med fargeblyanter. Etter at vi har malt trekanten vår fullstendig, skisserer vi den igjen fullstendig med en enkel myk blyant.

På denne er vår vanlige Penrose-trekant helt klar, og vi går videre til den samme trekanten.

Vi tegner en 3D-tegning av en trekant.

TRINN 1. Vi oversetter.

Vi handler etter samme opplegg som med vanlig mønster. Jeg gir deg en ferdig trekant som allerede er oversatt til 3D-format. Her er han.

Og du oversetter det. Vi gjør alt på samme måte som med en vanlig tegning. Du tar arket ditt, lener det mot skjermen, arket skinner gjennom, og du overfører ganske enkelt den ferdige 3D-tegningen til arket ditt.

Her er hva som skjedde med meg.

Størrelsen på trekanten kan økes eller reduseres. For å gjøre dette trenger du bare å endre skalaen på skjermen. Hold nede Ctrl-tasten og rull med musehjulet.

Vi kan trygt si at 3D-tegningen vår allerede er klar. Det tok meg ca 3 minutter å gjøre det. På dette kan vi i prinsippet trygt fullføre, men la oss dekorere trekanten vår igjen.

Dmitrij Rakov

Øynene våre kan ikke se
gjenstandenes natur.
Så ikke tving dem
mentale vrangforestillinger.

Titus Lucretius bil

Det vanlige uttrykket "bedrag av øyet" er i hovedsak feil. Øynene kan ikke lure oss, fordi de bare er et mellomledd mellom objektet og den menneskelige hjernen. Optisk bedrag oppstår vanligvis ikke på grunn av det vi ser, men fordi vi ubevisst resonnerer og ufrivillig feiler: «gjennom øyet, og ikke med øyet, vet sinnet hvordan det skal se på verden».

En av de mest spektakulære trendene i den kunstneriske flyten av optisk kunst (op-art) er imp-art (imp-art, umulig kunst), basert på bildet av umulige figurer. Umulige objekter er tegninger på et plan (hvilket som helst plan er todimensjonalt), som viser tredimensjonale strukturer, hvis eksistens er umulig i den virkelige tredimensjonale verden. Den klassiske og en av de enkleste formene er den umulige trekanten.

I en umulig trekant er hvert hjørne i seg selv mulig, men et paradoks oppstår når vi ser på det som en helhet. Sidene av trekanten er rettet både mot betrakteren og bort fra ham, slik at dens individuelle deler ikke kan danne et ekte tredimensjonalt objekt.

Faktisk tolker hjernen vår en tegning på et plan som en tredimensjonal modell. Bevissthet setter "dybden" der hvert punkt i bildet befinner seg. Våre ideer om den virkelige verden er i konflikt, med en viss inkonsekvens, og vi må gjøre noen antagelser:

rette 2D-linjer tolkes som rette 3D-linjer;
todimensjonal parallelle linjer tolket som tredimensjonale parallelle linjer;
spisse og stumpe vinkler tolkes som rette vinkler i perspektiv;
ytre linjer betraktet som grensen for skjemaet. Denne ytre grensen er ekstremt viktig for å bygge et komplett bilde.

Menneskesinnet lager først et generelt bilde av objektet, og undersøker deretter de enkelte delene. Hver vinkel er forenlig med romlig perspektiv, men når de gjenforenes, danner de et romlig paradoks. Hvis du lukker noen av hjørnene i trekanten, forsvinner umuligheten.

Historien om umulige figurer

Feil i romlig konstruksjon ble møtt av kunstnere for tusen år siden. Men den første til å bygge og analysere umulige gjenstander regnes for å være den svenske kunstneren Oscar Reutersvärd, som i 1934 malte den første umulige trekanten, som besto av ni kuber.


		"Moskva", grafikk (blekk, blyant), 50x70 cm, 2003

Uavhengig av Reutersvaerd gjenoppdager den engelske matematikeren og fysikeren Roger Penrose den umulige trekanten og publiserer bildet i British Psychology Journal i 1958. Illusjonen bruker «falskt perspektiv». Noen ganger kalles et slikt perspektiv kinesisk, siden en lignende måte å tegne på, når dybden på tegningen er "tvetydig", ofte ble funnet i verkene til kinesiske kunstnere.

I "Tre snegler"-tegningen er de små og store kubene ikke orientert i den normale isometriske visningen. Den mindre kuben passer sammen med den større på for- og baksiden, noe som betyr at den, etter tredimensjonal logikk, har samme dimensjoner på noen sider som den store. Til å begynne med ser tegningen ut til å være en ekte representasjon av en solid kropp, men etter hvert som analysen fortsetter, avsløres de logiske motsetningene til dette objektet.

Tegning "Tre snegler" fortsetter tradisjonene til den andre berømte umulige figuren - den umulige kuben (boks).


"IQ", grafikk (blekk, blyant), 50x70 cm, 2001		"Opp og ned", M. Escher

Kombinasjonen av forskjellige objekter kan også finnes i den ikke så seriøse "IQ" (intelligenskvotienten) figuren. Det er interessant at noen mennesker ikke oppfatter umulige objekter på grunn av det faktum at deres bevissthet ikke er i stand til å identifisere flate bilder med tredimensjonale objekter.

Donald E. Simanek mente at forståelse av visuelle paradokser er et av kjennetegnene for den typen kreativitet besatt av de beste matematikere, vitenskapsmenn og kunstnere. Mange arbeider med paradoksale objekter kan tilskrives «intellektuelle matematiske spill». moderne vitenskap snakker om en 7-dimensjonal eller 26-dimensjonal modell av verden. Det er mulig å modellere en slik verden bare ved hjelp av matematiske formler; en person er rett og slett ikke i stand til å forestille seg det. Og her er de nyttige. umulige tall. Fra et filosofisk synspunkt tjener de som en påminnelse om at ethvert fenomen (i systemanalyse, vitenskap, politikk, økonomi, etc.) bør vurderes i alle komplekse og ikke-åpenbare forhold.

En rekke umulige (og mulige) gjenstander presenteres i maleriet "Det umulige alfabetet".

Den tredje populære umulige figuren er den utrolige trappen skapt av Penrose. Du vil kontinuerlig enten stige (mot klokken) eller ned (med klokken) langs den. Penrose-modellen dannet grunnlaget kjent maleri M. Escher "Opp og ned" ("Stigende og synkende").

Det er en annen gruppe objekter som ikke kan implementeres. Den klassiske figuren er den umulige treforken, eller "djevelens gaffel".

Ved å studere bildet nøye, kan du se at tre tenner gradvis blir til to på en enkelt basis, noe som fører til en konflikt. Vi sammenligner antall tenner ovenfra og nedenfra og kommer til den konklusjon at objektet er umulig.

Er det noen større bruk for umulige tegninger enn tankespill? På noen sykehus er bilder av umulige gjenstander spesielt hengt opp, siden deres undersøkelse kan oppta pasienter i lang tid. Det ville vært logisk å henge opp slike tegninger i kassa, i politiet og andre steder der det å vente på sin tur noen ganger tar evigheter. Tegningene kunne fungere som en slags «kronofager», d.v.s. Tid sløsere.

Den umulige trekanten er et av de fantastiske matematiske paradoksene. Ved første øyekast på ham kan du ikke tvile på ham et sekund. ekte eksistens. Dette er imidlertid bare en illusjon, et bedrag. Og selve muligheten for en slik illusjon vil bli forklart for oss av matematikk!

Oppdagelsen av Penrosene

I 1958 publiserte British Psychological Journal en artikkel av L. Penrose og R. Penrose, der de introduserte i betraktning ny type optisk illusjon, som de kalte den "umulige trekanten".

En visuelt umulig trekant oppfattes som en struktur som faktisk eksisterer i tredimensjonalt rom og består av rektangulære stolper. Men dette er bare en optisk illusjon. Det er umulig å bygge en ekte modell av en umulig trekant.

Penrose-artikkelen inneholdt flere alternativer for å skildre en umulig trekant. - dens "klassiske" presentasjon.

Hvilke elementer utgjør en umulig trekant?

Mer presist, fra hvilke elementer virker det for oss bygget? Designet er basert på et rektangulært hjørne, som oppnås ved å koble to identiske rektangulære stenger i rett vinkel. Disse hjørnene krever tre stykker, og stengene derfor seks stykker. Disse hjørnene må visuelt "kobles" til hverandre på en bestemt måte slik at de danner en lukket kjede. Det som skjer er den umulige trekanten.

Plasser det første hjørnet i et horisontalt plan. Vi vil feste det andre hjørnet til det, og rette en av kantene opp. Til slutt legger vi til et tredje hjørne til dette andre hjørnet slik at kanten er parallell med det opprinnelige horisontale planet. I dette tilfellet vil de to kantene til det første og tredje hjørnet være parallelle og rettet i forskjellige retninger.

Hvis vi betrakter stangen som et segment av lengdeenhet, har endene av stolpene i det første hjørnet koordinater, og det andre hjørnet - , og, det tredje - , og. Vi fikk en "vridd" struktur som faktisk eksisterer i tredimensjonalt rom.

Og la oss nå prøve å mentalt se på det fra forskjellige punkter rom. Se for deg hvordan det ser ut fra ett punkt, fra et annet, fra et tredje. Når du endrer observasjonspunktet, vil det se ut til at de to "ende" kantene på hjørnene våre beveger seg i forhold til hverandre. Det er ikke vanskelig å finne en posisjon de vil koble seg til.

Men hvis avstanden mellom ribbeina er mye mindre enn avstanden fra hjørnene til punktet vi ser på strukturen vår, vil begge ribbeina ha samme tykkelse for oss, og ideen vil oppstå at disse to ribbeina faktisk er en fortsettelse av hverandre. Denne situasjonen er vist i 4.

Forresten, hvis vi samtidig ser på refleksjonen av strukturen i speilet, vil vi ikke se en lukket krets der.

Og fra det valgte observasjonspunktet ser vi med egne øyne et mirakel som har skjedd: det er en lukket kjede av tre hjørner. Bare ikke endre observasjonspunktet slik at denne illusjonen ikke kollapser. Nå kan du tegne et objekt du ser eller plassere en kameralinse på det funnet punktet og få et fotografi av et umulig objekt.

Penrosene var de første som ble interessert i dette fenomenet. De brukte mulighetene som oppstår når man kartlegger tredimensjonale rom og tredimensjonale objekter på et todimensjonalt plan og trakk oppmerksomheten til en viss designusikkerhet – en åpen konstruksjon av tre hjørner kan oppfattes som en lukket kjede.

Bevis på umuligheten av Penrose-trekanten

Ved å analysere funksjonene til et todimensjonalt bilde av tredimensjonale objekter på et plan, forsto vi hvordan funksjonene til denne skjermen fører til en umulig trekant. Kanskje noen vil være interessert i et rent matematisk bevis.

Det er ekstremt enkelt å bevise at en umulig trekant ikke eksisterer, fordi hver av vinklene er rett, og summen deres er 270 grader i stedet for de "plasserte" 180 grader.

Dessuten, selv om vi vurderer en umulig trekant limt sammen fra hjørner mindre enn 90 grader, kan vi i dette tilfellet bevise at den umulige trekanten ikke eksisterer.

Vi ser tre flate ansikter. De krysser seg i par langs rette linjer. Planene som inneholder disse flatene er parvis ortogonale, så de krysser hverandre på ett punkt.

I tillegg må linjer med gjensidig skjæring av flyene passere gjennom dette punktet. Derfor må rette linjer 1, 2, 3 krysse i ett punkt.

Men det er det ikke. Derfor er den presenterte konstruksjonen umulig.

"Umulig" Art

Skjebnen til denne eller den ideen - vitenskapelig, teknisk, politisk - avhenger av mange omstendigheter. Og ikke minst på i hvilken form denne ideen vil bli presentert, i hvilket bilde den vil fremstå for allmennheten. Enten legemliggjørelsen vil være tørr og vanskelig å oppfatte, eller tvert imot, manifestasjonen av ideen vil være lys, og fange oppmerksomheten vår selv mot vår vilje.

Den umulige trekanten har en lykkelig skjebne. I 1961 nederlandsk maler Moritz Escher fullførte litografien han kalte The Waterfall. Kunstneren har kommet en lang, men rask vei fra selve ideen om en umulig trekant til dens fantastiske kunstneriske legemliggjøring. Husk at Penrose-artikkelen dukket opp i 1958.

I hjertet av "fossen" vises to umulige trekanter. En trekant er stor, en annen trekant er plassert inne i den. Det kan virke som om tre identiske umulige trekanter er avbildet. Men dette er ikke poenget, det presenterte designet er ganske komplisert.

Med et overfladisk blikk vil dets absurditet ikke umiddelbart være synlig for alle, siden hver forbindelse som presenteres er mulig. som de sier, lokalt, det vil si i et lite område av tegningen, er et slikt design mulig ... Men generelt er det umulig! Dens individuelle stykker passer ikke sammen, stemmer ikke med hverandre.

Og for å forstå dette, må vi bruke visse intellektuelle og visuelle anstrengelser.

La oss ta en reise langs kantene av strukturen. Denne banen er bemerkelsesverdig ved at langs den, som det ser ut for oss, forblir nivået i forhold til horisontalplanet uendret. Når vi beveger oss langs denne stien, går vi verken opp eller ned.

Og alt ville være greit, kjent, hvis vi ved enden av stien - nemlig ved punktet - ikke ville finne at vi, i forhold til utgangspunktet, på en eller annen mystisk ufattelig måte klatret opp vertikalen!

For å komme til dette paradoksale resultatet, må vi velge denne veien, og til og med overvåke nivået i forhold til horisontalplanet ... Ikke en lett oppgave. I sin avgjørelse kom Escher til hjelp for ... vann. La oss huske sangen om bevegelse fra Franz Schuberts fantastiske vokalsyklus "The Beautiful Miller's Woman":

Og først i fantasien, og deretter i hånden til en fantastisk mester, blir nakne og tørre strukturer til akvedukter, gjennom hvilke rene og raske vannstrømmer renner. Bevegelsen deres fanger blikket vårt, og nå, mot vår vilje, skynder vi oss nedstrøms, følger alle svingene og svingene på stien, sammen med strømmen bryter vi ned, faller på bladene til en vannmølle, og skynder oss nedstrøms igjen. .

Vi går rundt denne stien en gang, to ganger, en tredje ... og først da skjønner vi at vi beveger oss nedover og på en eller annen måte på en fantastisk måte la oss stige til toppen! Den første overraskelsen utvikler seg til et slags intellektuelt ubehag. Det ser ut til at vi har blitt offer for en slags spøk, gjenstand for en slags spøk som ennå ikke er forstått.

Og igjen gjentar vi denne veien langs en merkelig kanal, nå sakte, med forsiktighet, som om vi frykter en fangst fra et paradoksalt bilde, kritisk oppfatter alt som skjer på denne mystiske veien.

Vi prøver å løse mysteriet som har forbløffet oss, og vi kan ikke flykte fra dets fangenskap før vi finner den skjulte våren som ligger til grunn for den og bringer den ufattelige virvelvinden i uavbrutt bevegelse.

Kunstneren understreker spesifikt, pålegger oss oppfatningen av maleriene hans som bilder av ekte tredimensjonale objekter. Tredimensjonaliteten understrekes av bildet av ganske ekte polyeder på tårnene, murverk med den mest nøyaktige representasjonen av hver murstein i akveduktens vegger, stigende terrasser med hager i bakgrunnen. Alt er designet for å overbevise seeren om virkeligheten om hva som skjer. Og takket være kunst og utmerket teknologi er dette målet nådd.

Når vi bryter ut av fangenskapet der vår bevissthet faller, begynner vi å sammenligne, sammenligne, analysere, vi finner at grunnlaget, kilden til dette bildet er skjult i designtrekkene.

Og vi fikk ett til - "fysisk" bevis på umuligheten av den "umulige trekanten": hvis en slik trekant fantes, så ville også Eschers "Vasserfall" eksistere, som i hovedsak er en evighetsmaskin. Men en evighetsmaskin er umulig, derfor er den "umulige trekanten" også umulig. Og kanskje er dette "beviset" det mest overbevisende.

Hva gjorde Moritz Escher til et fenomen, en unik person som ikke hadde noen åpenbare forgjengere innen kunsten og som ikke lar seg etterligne? Det er en kombinasjon av fly og volumer, nøye oppmerksomhet til bisarre former for mikroverdenen - levende og ikke-levende, til uvanlige synspunkter på vanlige ting. Hovedeffekten av komposisjonene hans er effekten av fremveksten av umulige forhold mellom kjente objekter. Disse situasjonene ved første blikk kan både skremme og forårsake et smil. Du kan med glede se på moroa som artisten byr på, eller du kan for alvor stupe ned i dypet av dialektikk.

Moritz Escher viste at verden kanskje ikke er slik vi ser den og er vant til å oppfatte den – du trenger bare å se den fra en annen, ny vinkel!

Moritz Escher

Moritz Escher var mer heldig som vitenskapsmann enn som kunstner. Hans graveringer og litografier ble sett på som nøkler til å bevise teoremer eller originale moteksempler som trosset sunn fornuft. I verste fall ble de oppfattet som utmerkede illustrasjoner for vitenskapelige avhandlinger om krystallografi, gruppeteori, kognitiv psykologi eller datagrafikk. Moritz Escher jobbet innen rom-tid-relasjoner og deres identitet, han brukte grunnleggende mønstre av mosaikk, og brukte transformasjoner på dem. Dette Stor mester optiske illusjoner. Eschers graveringer skildrer ikke formlenes verden, men verdens skjønnhet. Deres intellektuelle lager er fundamentalt i motsetning til surrealistenes ulogiske kreasjoner.

Den nederlandske kunstneren Moritz Cornelius Escher ble født 17. juni 1898 i provinsen Holland. Huset der Escher ble født er nå et museum.

Siden 1907 har Moritz studert tømrerfaget og spilt piano, studert på videregående skole. Moritz sine karakterer i alle fag var dårlige bortsett fra tegning. Kunstlæreren la merke til guttens talent og lærte ham å lage tresnitt.

I 1916 utfører Escher sitt første grafiske verk, en gravering på lilla linoleum - et portrett av faren G. A. Escher. Han besøker verkstedet til kunstneren Gert Stiegemann, som hadde trykkeri. Eschers første graveringer ble trykt på denne maskinen.

I 1918-1919 gikk Escher på Technical College i den nederlandske byen Delft. Han får utsettelse fra militærtjeneste for å fortsette studiene, men på grunn av dårlig helse klarte ikke Moritz å takle læreplan, og ble utvist. Som et resultat fikk han aldri høyere utdanning. Han studerer ved School of Architecture and Ornamentation i Haarlem, hvor han tar tegnetimer fra Samuel Jeserin de Mesquite, som hadde en formende innflytelse på Eschers liv og arbeid.

I 1921 besøkte familien Escher Rivieraen og Italia. Fascinert av vegetasjonen og blomstene i middelhavsklimaet, laget Moritz detaljerte tegninger av kaktus og oliventrær. Han skisserte mange skisser av fjellandskap, som senere dannet grunnlaget for hans arbeid. Senere ville han stadig vende tilbake til Italia, noe som ville tjene som en inspirasjonskilde for ham.

Escher begynner å eksperimentere i en ny retning for seg selv, selv da er det speilbilder, krystallfigurer og kuler i verkene hans.

Slutten av tjueårene viste seg å være en svært fruktbar periode for Moritz. Arbeidene hans ble vist på mange utstillinger i Holland, og i 1929 hadde hans popularitet nådd et slikt nivå at det ble holdt fem separatutstillinger på ett år i Holland og Sveits. Det var i denne perioden at Eschers malerier først ble kalt mekaniske og "logiske".

Asher reiser mye. Bor i Italia og Sveits, Belgia. Han studerer mauriske mosaikker, lager litografier, graveringer. Basert på reiseskisser lager han sitt første maleri av den umulige virkeligheten Still Life with Street.

På slutten av trettitallet fortsatte Escher å eksperimentere med mosaikk og transformasjoner. Han lager en mosaikk i form av to fugler som flyr mot hverandre, som dannet grunnlaget for maleriet «Dag og natt».

I mai 1940 okkuperte nazistene Holland og Belgia, og 17. mai falt også Brussel inn i okkupasjonssonen, der Escher og hans familie bodde på den tiden. De finner et hjem i Varna og flytter dit i februar 1941. Til slutten av sine dager skal Escher bo i denne byen.

I 1946 ble Escher interessert i dyptrykkteknologi. Og selv om denne teknologien var mye mer komplisert enn den som ble brukt av Escher før og krevde mer tid for å lage et bilde, var resultatene imponerende - tynne linjer og nøyaktig skyggegjengivelse. En av de mest kjente verk i dyptrykk ble "Dewdrop" ferdigstilt i 1948.

I 1950 ble Moritz Escher populær som foreleser. Så, i 1950, ble hans første separatutstilling holdt i USA og arbeidet hans begynte å bli kjøpt. 27. april 1955 Moritz Escher blir slått til ridder og blir adelsmann.

På midten av 1950-tallet kombinerer Escher mosaikk med figurer som strekker seg ut i det uendelige.

På begynnelsen av 60-tallet kom den første boken med Eschers verk, Grafiek en Tekeningen, der forfatteren selv kommenterte 76 verk. Boken har bidratt til å få forståelse blant matematikere og krystallografer, inkludert noen i Russland og Canada.

I august 1960 holdt Escher et foredrag om krystallografi ved Cambridge. De matematiske og krystallografiske aspektene ved Eschers arbeid blir svært populære.

I 1970 etter ny serie Eschers virksomhet flyttet til nytt hus i Laren, som hadde atelier, men dårlig helse gjorde det umulig å jobbe hardt.

Moritz Escher døde i 1971 i en alder av 73. Escher levde lenge nok til å se The World of M.C. Escher oversatt til engelske språk og var veldig fornøyd med det.

Ulike umulige bilder finnes på nettsidene til matematikere og programmerere. mest fullversjon fra de vi så på, er etter vår mening stedet til Vlad Alekseev

Denne siden presenterer ikke bare et bredt spekter av kjente malerier, inkludert M. Escher, men også animerte bilder, morsomme tegninger av umulige dyr, mynter, frimerker m.m. Denne siden lever, den oppdateres med jevne mellomrom og etterfylles med fantastiske tegninger.

Flere umulige figurer ble oppfunnet - en stige, en trekant og en x-spiss. Disse figurene er faktisk ganske ekte i et tredimensjonalt bilde. Men når en kunstner projiserer volum på papir, virker objekter umulige. Trekanten, som også kalles «tribar», er blitt et fantastisk eksempel på hvordan det umulige blir mulig når man gjør en innsats.

Alle disse figurene er vakre illusjoner. Prestasjonene til det menneskelige geni brukes av kunstnere som maler i stil med imp art.

Ingenting er umulig. Det samme kan sies om Penrose-triangelet. Dette er en geometrisk umulig figur, hvis elementer ikke kan kobles sammen. Likevel ble den umulige trekanten mulig. Den svenske maleren Oscar Reutersvärd presenterte verden for en umulig trekant av kuber i 1934. O. Reutersvärd regnes som oppdageren av denne visuelle illusjonen. Til ære for denne begivenheten, frimerke Sverige trykket denne tegningen senere.

Og i 1958 publiserte matematikeren Roger Penrose en publikasjon i et engelsk tidsskrift om umulige tall. Det var han som skapte den vitenskapelige modellen for illusjonen. Roger Penrose var en utrolig vitenskapsmann. Han forsket i relativitetsteorien, så vel som den fascinerende kvanteteorien. Han ble tildelt Ulveprisen sammen med S. Hawking.

Det er kjent at kunstneren Maurits Escher, under påvirkning av denne artikkelen, malte sitt fantastiske arbeid - litografien "Waterfall". Men er det mulig å lage en Penrose-trekant? Hvordan gjøre det hvis mulig?

Tribar og virkelighet

Selv om figuren anses som umulig, er det enklere enn noen gang å lage en Penrose-trekant med egne hender. Den kan lages av papir. Origami-elskere kunne rett og slett ikke ignorere tri-barene og fant likevel en måte å skape og holde i hendene en ting som tidligere virket som en opprørende fantasi fra en vitenskapsmann.

Imidlertid blir vi lurt av våre egne øyne når vi ser på projeksjonen av et tredimensjonalt objekt fra tre vinkelrette linjer. Det virker for observatøren at han ser en trekant, selv om den faktisk ikke er det.

DIY geometri

Tribar trekant, som sagt, er egentlig ikke en trekant. Penrose-triangelet er en illusjon. Bare i en viss vinkel ser objektet ut som en likesidet trekant. Imidlertid er objektet i sin naturlige form 3 flater av en kube. På en slik isometrisk projeksjon faller 2 vinkler sammen på planet: den nærmeste fra betrakteren og den fjerneste.

Den optiske illusjonen blir selvfølgelig raskt avslørt, så snart du plukker opp dette objektet. Og skyggen avslører også illusjonen, siden skyggen av tribaren tydelig viser at vinklene ikke stemmer overens i virkeligheten.

Papir stamme. Opplegg

Hvordan lage en Penrose-trekant med egne hender av papir? Finnes det noen skjemaer for denne modellen? Til dags dato har 2 layouter blitt oppfunnet for å brette en så umulig trekant. Det grunnleggende om geometri forteller deg nøyaktig hvordan du bretter et objekt.

For å brette Penrose-trekanten med egne hender, må du bare tildele 10-20 minutter. Du må forberede lim, saks for flere kutt og papir som diagrammet er trykt på.

Fra et slikt emne oppnås den mest populære umulige trekanten. Origami-håndverket er ikke så vanskelig å lage. Derfor vil det definitivt vise seg første gang, og til og med for en skolegutt som nettopp har begynt å studere geometri.

Som du kan se, blir det et veldig fint håndverk. Det andre emnet ser annerledes ut og brettes annerledes, men selve Penrose-trekanten ender opp med å se lik ut.

Trinn for å lage en Penrose-trekant av papir.

Velg ett av 2 emner som passer for deg, kopier filen og skriv ut. Vi gir her et eksempel på den andre layoutmodellen, som utføres litt enklere.

Selve Tribar origami-emnet inneholder allerede alle nødvendige tips. Faktisk er instruksjoner for kretsen ikke nødvendig. Det er nok bare å laste det ned på en tykk papirbærer, ellers vil det være upraktisk å jobbe og figuren vil ikke fungere. Hvis det er umulig å umiddelbart skrive ut på papp, må du feste en skisse til det nye materialet og kutte ut tegningen langs konturen. For enkelhets skyld kan du feste med binders.

Hva skal jeg gjøre videre? Hvordan brette Penrose-trekanten med egne hender i etapper? Du må følge denne handlingsplanen:

Vi dirigerer motsatt side saks de linjene der du ønsker å bøye, i henhold til instruksjonene. Bøy alle linjer
Der det er nødvendig, foretar vi kutt.
Vi limer ved hjelp av PVA de strimlene som er ment å feste delen til en enkelt helhet.

Den ferdige modellen kan males på nytt i hvilken som helst farge, eller du kan ta farget papp til arbeid på forhånd. Men selv om gjenstanden er laget av hvitt papir, vil uansett alle som kommer inn i stuen din for første gang bli motet av et slikt håndverk.

Trekanttegning

Hvordan tegne en Penrose-trekant? Ikke alle liker origami, men mange elsker å tegne.

Til å begynne med er en vanlig firkant av hvilken som helst størrelse avbildet. Deretter tegnes en trekant på innsiden, hvis grunnlag er den nedre siden av firkanten. Et lite rektangel passer inn i hvert hjørne, alle sider som er slettet; bare de sidene som er ved siden av trekanten gjenstår. Dette er nødvendig for å holde linjene rette. Det viser seg en trekant med avkortede hjørner.

Det neste trinnet er bildet av den andre dimensjonen. En strengt rett linje er tegnet fra venstre side av det øvre nedre hjørnet. Den samme linjen er tegnet fra nedre venstre hjørne, og er litt ikke ført til den første målelinjen 2. En annen linje er tegnet fra høyre hjørne parallelt med undersiden av hovedfiguren.

Det siste trinnet er å tegne den tredje dimensjonen inne i den andre dimensjonen ved å bruke tre små linjer til. Små linjer starter fra linjene i den andre dimensjonen og fullfører bildet av det tredimensjonale volumet.

Andre Penrose-figurer

Ved samme analogi kan du tegne andre former - en firkant eller en sekskant. Illusjonen vil opprettholdes. Men likevel er disse tallene ikke lenger så fantastiske. Slike polygoner ser bare ut til å være sterkt vridd. Moderne grafikk lar deg lage mer interessante versjoner av den berømte trekanten.

I tillegg til trekanten er Penrose-trappen også verdenskjent. Tanken er å lure øyet slik at det ser ut til at personen hele tiden beveger seg oppover når den beveger seg med klokken, og hvis den beveger seg mot klokken, så nedover.

Den sammenhengende trappen er mer kjent ved assosiasjon med M. Eschers maleri Ascending and Descent. Interessant nok, når en person går gjennom alle 4 flyene i denne illusoriske trappen, ender han alltid opp der han startet.

Andre gjenstander er kjent for å villede menneskesinnet, for eksempel en umulig bar. Eller en boks laget etter de samme illusjonslovene med kryssende kanter. Men alle disse gjenstandene er allerede oppfunnet på grunnlag av en artikkel av en bemerkelsesverdig vitenskapsmann - Roger Penrose.

Umulig trekant i Perth

Figuren oppkalt etter matematikeren blir hedret. Hun reiste et monument. I 1999, i en av byene i Australia (Perth), ble det installert en stor Penrose-trekant i aluminium, som er 13 meter høy. Turister tar gjerne bilder ved siden av aluminiumsgiganten. Men hvis du velger en annen synsvinkel for fotografering, så blir bedraget åpenbart.

veileder

matematikklærer

1.Innledning ………………………………………………………….……3

2. Historisk bakgrunn………………………………………………..…4

3. Hoveddel……………………………………………………….7

4. Bevis på umuligheten av Penrose-trekanten ...... 9

5. Konklusjoner………………………………………………………..…………………11

6. Litteratur……………………………………………….…… 12

Relevans: Matematikk er et fag som studeres fra første til avgangsklasse. Mange elever synes det er vanskelig, uinteressant og unødvendig. Men hvis du ser utover sidene i læreboken, leser tilleggslitteratur, matematiske sofismer og paradokser, vil ideen om matematikk endres, det vil være et ønske om å studere mer enn det som studeres i matematikkkurset på skolen.

Målet med arbeidet:

å vise at eksistensen av umulige figurer vil utvide ens horisont, utvikle romlig fantasi, brukes ikke bare av matematikere, men også av kunstnere.

Oppgaver :

1. Studer litteraturen om dette emnet.

2. Vurder umulige figurer, lag en modell av en umulig trekant, bevis at en umulig trekant ikke eksisterer på et plan.

3. Brett ut den umulige trekanten.

4. Tenk på eksempler på bruken av den umulige trekanten i kunst.

Introduksjon

Historisk sett har matematikk spilt en viktig rolle i billedkunsten, spesielt i skildringen av perspektiv, som innebærer en realistisk skildring av en tredimensjonal scene på et flatt lerret eller et papirark. I følge moderne syn, matematikk og Kunst svært fjernt fra hverandre disipliner, den første - analytisk, den andre - emosjonell. Matematikk spiller ikke en åpenbar rolle i de fleste jobber Moderne kunst og faktisk bruker mange kunstnere sjelden eller aldri perspektiv. Imidlertid er det mange kunstnere som fokuserer på matematikk. Flere betydningsfulle skikkelser innen billedkunst banet vei for disse personene.

Faktisk er det ingen regler eller restriksjoner på bruken ulike emner i matematisk kunst, som umulige figurer, Möbius-stripen, forvrengning eller uvanlige perspektivsystemer, og fraktaler.

Historien om umulige figurer

Umulige figurer er en viss type matematisk paradoks, bestående av vanlige brikker koblet sammen i et uregelmessig kompleks. Hvis du prøver å formulere en definisjon av begrepet «umulige gjenstander», vil det sannsynligvis høres omtrent slik ut – fysisk mulige figurer satt sammen i en umulig form. Men det er mye hyggeligere å se på dem, å lage definisjoner.

Feil i romlig konstruksjon ble møtt av kunstnere for tusen år siden. Men den første til å bygge og analysere umulige gjenstander regnes for å være den svenske kunstneren Oscar Reutersvärd, som malte i 1934. den første umulige trekanten, bestående av ni kuber.

Reutersvärd-trekanten

Uavhengig av Reutersvaerd gjenoppdager den engelske matematikeren og fysikeren Roger Penrose den umulige trekanten og publiserer bildet i British Psychological Journal i 1958. Illusjonen bruker "falsk perspektiv". Noen ganger kalles et slikt perspektiv kinesisk, siden en lignende måte å tegne på, når dybden på tegningen er "tvetydig", ofte ble funnet i verkene til kinesiske kunstnere.

Escher Falls

I 1961 Nederlenderen M. Escher, inspirert umulig trekant Penrose, lager den berømte litografien "Waterfall". Vannet på bildet renner uendelig, etter vannhjulet passerer det videre og faller tilbake til utgangspunktet. Faktisk er dette et bilde av en evighetsmaskin, men ethvert forsøk i virkeligheten på å bygge dette designet er dømt til å mislykkes.

Et annet eksempel på umulige figurer er presentert i tegningen "Moskva", som skildrer et uvanlig opplegg av Moskva-metroen. Til å begynne med oppfatter vi bildet som en helhet, men ved å spore de enkelte linjene med øynene våre, er vi overbevist om umuligheten av deres eksistens.

« Moskva", grafikk (blekk, blyant), 50x70 cm, 2003

Tegning "Tre snegler" fortsetter tradisjonene til den andre berømte umulige figuren - en umulig kube (boks).

"Tre snegler" Umulig kube

Kombinasjonen av ulike objekter kan også finnes i den ikke så seriøse "IQ" (intelligenskvotienten) figuren. Det er interessant at noen mennesker ikke oppfatter umulige objekter på grunn av det faktum at deres bevissthet ikke er i stand til å identifisere flate bilder med tredimensjonale objekter.

Donald Simanek mente at forståelse av visuelle paradokser er et av kjennetegnene på den typen kreativitet som de beste matematikerne, vitenskapsmennene og kunstnerne besitter. Mange arbeider med paradoksale objekter kan klassifiseres som "intellektuelle matematiske spill". Moderne vitenskap snakker om en 7-dimensjonal eller 26-dimensjonal modell av verden. Det er mulig å modellere en slik verden bare ved hjelp av matematiske formler; en person er rett og slett ikke i stand til å forestille seg det. Det er her umulige tall kommer godt med.

Den tredje populære umulige figuren er den utrolige trappen skapt av Penrose. Du vil kontinuerlig enten stige (mot klokken) eller ned (med klokken) langs den. Penrose-modellen dannet grunnlaget for det berømte maleriet av M. Escher "Up and Down" The Incredible Penrose Stairs

Umulig Trident

"Jævla gaffel"

Det er en annen gruppe objekter som ikke kan implementeres. Den klassiske figuren er den umulige treforken, eller "djevelens gaffel". Ved å studere bildet nøye, kan du se at tre tenner gradvis blir til to på en enkelt basis, noe som fører til en konflikt. Vi sammenligner antall tenner ovenfra og nedenfra og kommer til den konklusjon at objektet er umulig. Hvis du lukker den øvre delen av treforken med hånden, så vil vi se helt det virkelige bildet- tre runde tenner. Hvis vi lukker den nedre delen av tridenten, vil vi også se et ekte bilde - to rektangulære tenner. Men hvis vi ser på hele figuren som en helhet, viser det seg at tre runde tenner gradvis blir til to rektangulære.

Dermed kan man se at fronten og bakgrunn denne figuren er i konflikt. Altså det som opprinnelig var forgrunnen går tilbake, og bakgrunnen (mellomtann) kryper fremover. I tillegg til å endre forgrunn og bakgrunn, har denne tegningen en annen effekt - de flate kantene på den øvre delen av treforken blir runde nederst.

Hoveddel.

Triangel- en figur som består av 3 tilstøtende deler, som ved hjelp av uakseptable koblinger av disse delene skaper en illusjon av en umulig struktur fra et matematisk synspunkt. På en annen måte kalles også denne tretakten torget Penrose

Det grafiske prinsippet bak denne illusjonen skylder sin formulering til en psykolog og hans sønn Roger, en fysiker. Penrouze-plassen består av 3 barer kvadratisk seksjon plassert i 3 gjensidig vinkelrette retninger; hver av dem kobles til den neste i rette vinkler, som alle passer inn i tredimensjonalt rom. Her er en enkel oppskrift på hvordan du tegner denne isometriske visningen av en Penrose-firkant:

Trim hjørnene av en likesidet trekant langs linjer parallelle med sidene;

Tegn paralleller til sidene inne i den beskårede trekanten;

Trim hjørnene igjen

Igjen, trekk inn i parallellene;

· Se for deg en av de to mulige kubene i et av hjørnene;

· Fortsett det med en L-formet "ting";

Kjør dette designet i en sirkel.

Hvis vi valgte en annen kube, ville firkanten bli "vridd" i den andre retningen .

Utvikling av en umulig trekant.

bryte linje

skjærelinje

Hvilke elementer utgjør en umulig trekant? Mer presist, fra hvilke elementer virker det for oss (ser det ut som!) Bygget? Designet er basert på et rektangulært hjørne, som oppnås ved å koble to identiske rektangulære stenger i rett vinkel. Disse hjørnene krever tre stykker, og stengene derfor seks stykker. Disse hjørnene må visuelt "kobles" til hverandre på en bestemt måte slik at de danner en lukket kjede. Det som skjer er den umulige trekanten.

Og la oss nå prøve å se på figuren fra forskjellige punkter i rommet (eller lage en ekte modell av ledning). Tenk deg hvordan det ser ut fra ett punkt, fra et annet, fra et tredje ... Når du endrer observasjonspunktet (eller - som er det samme - når strukturen roteres i rommet), vil det se ut til at de to "ende"-kantene på hjørnene våre beveger seg i forhold til hverandre. Det er ikke vanskelig å finne en posisjon der de vil koble seg til (selvfølgelig, i dette tilfellet vil det nære hjørnet virke tykkere for oss enn det lengre).

Forresten, hvis vi samtidig ser på visningen av strukturen i speilet, vil vi ikke se en lukket krets der.

Og fra det valgte observasjonspunktet ser vi med egne øyne et mirakel som har skjedd: det er en lukket kjede av tre hjørner. Bare ikke endre observasjonspunktet slik at denne illusjonen (faktisk er det en illusjon!) ikke kollapser. Nå kan du tegne et objekt du ser eller plassere en kameralinse på det funnet punktet og få et fotografi av et umulig objekt.

Penrosene var de første som ble interessert i dette fenomenet. De brukte mulighetene som oppstår når man kartlegger tredimensjonale rom og tredimensjonale objekter på et todimensjonalt plan (det vil si når man designer) og trakk oppmerksomheten til en viss designusikkerhet – en åpen utforming av tre hjørner kan oppfattes som en lukket krets.

Som allerede nevnt, kan den enkleste modellen enkelt lages av ledning, noe som i prinsippet forklarer den observerte effekten. Ta en rett tråd og del den i tre like deler. Bøy deretter de ekstreme delene slik at de danner en rett vinkel med midtdelen, og roter i forhold til hverandre med 900. Snu nå denne figuren og observer den med ett øye. I en viss posisjon vil det se ut til at det er dannet av et lukket stykke ledning. Når du slår på bordlampen, kan du se skyggen falle på bordet, som også blir til en trekant ved en bestemt posisjon av figuren i rommet.

Imidlertid kan denne designfunksjonen observeres i en annen situasjon. Hvis du lager en ring av tråd, og deretter sprer den i forskjellige retninger, får du en omdreining av en sylindrisk spiral. Denne sløyfen er selvfølgelig åpen. Men når du projiserer den på et fly, kan du få en lukket linje.

Vi har nok en gang sett at projeksjonen på flyet, ifølge tegningen, er den tredimensjonale figuren gjenopprettet tvetydig. Det vil si at projeksjonen inneholder en viss tvetydighet, underdrivelse, som gir opphav til den "umulige trekanten".

Og det kan sies at den "umulige trekanten" av Penroses, som mange andre optiske illusjoner, er i tråd med logiske paradokser og ordspill.

Bevis på umuligheten av Penrose-trekanten

Ved å analysere funksjonene til et todimensjonalt bilde av tredimensjonale objekter på et plan, forsto vi hvordan funksjonene til denne skjermen fører til en umulig trekant.

Det er ekstremt enkelt å bevise at en umulig trekant ikke eksisterer, fordi hver av vinklene er rett, og summen deres er 2700 i stedet for de "plasserte" 1800.

Dessuten, selv om vi vurderer en umulig trekant limt sammen fra hjørner mindre enn 900, kan det i dette tilfellet bevises at den umulige trekanten ikke eksisterer.

Tenk på en annen trekant, som består av flere deler. Hvis delene den består av er ordnet annerledes, vil nøyaktig samme trekanten oppnås, men med en liten feil. En rute vil mangle. Hvordan er dette mulig? Eller er det bare en illusjon.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt=" Umulig trekant" width="298" height="161">!}

Bruke fenomenet persepsjon

Er det noen måte å øke umulighetseffekten på? Er noen gjenstander "umulige" enn andre? Og her kommer funksjoner til unnsetning. menneskelig oppfatning. Psykologer har slått fast at øyet begynner å undersøke objektet (bildet) fra nedre venstre hjørne, deretter glir blikket til høyre til midten og går ned til nedre høyre hjørne av bildet. En slik bane kan skyldes det faktum at våre forfedre, da de møtte fienden, først så på den farligste høyre hånden, og deretter flyttet blikket deres til venstre, mot ansiktet og figuren. Dermed, kunstnerisk oppfatning vil i vesentlig grad avhenge av hvordan komposisjonen av bildet er bygget opp. Denne funksjonen i middelalderen ble tydelig manifestert i produksjonen av billedvev: deres mønster var speilbilde original, og inntrykket av billedvev og originaler er forskjellig.

Denne egenskapen kan med hell brukes når du lager kreasjoner med umulige objekter, øker eller reduserer "umulighetsgraden". Det åpner også for utsiktene til interessante komposisjoner ved hjelp av datateknologi eller fra flere malerier rotert (kanskje ved hjelp av annen type symmetrier) den ene i forhold til den andre, og skaper et annet inntrykk av objektet og en dypere forståelse av essensen av konseptet, eller fra en som roterer (konstant eller rykkvis) ved hjelp av en enkel mekanisme i visse vinkler.

En slik retning kan kalles polygonal (polygonal). Illustrasjonene viser bilder rotert i forhold til hverandre. Komposisjonen ble laget som følger: en tegning på papir, laget med blekk og blyant, ble skannet, digitalisert og bearbeidet i grafikk editor. Vi kan notere en regelmessighet - det roterte bildet har en større "grad av umulighet" enn det originale. Dette er lett forklart: i arbeidsprosessen streber kunstneren ubevisst etter å skape det "riktige" bildet.

Konklusjon

Bruken av ulike matematiske figurer og lover er ikke begrenset til eksemplene ovenfor. Ved å studere alle tallene ovenfor nøye, kan du finne andre som ikke er nevnt i denne artikkelen, geometriske legemer eller visuell tolkning av matematiske lover.

Matematisk billedkunst blomstrer i dag, og mange kunstnere lager malerier i stil med Escher og i sin egen stil. egen stil. Disse kunstnerne arbeider i en rekke medier, inkludert skulptur, maleri på flate og tredimensjonale overflater, litografi og data-grafikk. Og de mest populære temaene innen matematisk kunst er polyedre, umulige figurer, Möbius-striper, forvrengte perspektivsystemer og fraktaler.

Konklusjoner:

1. Så, hensynet til umulige figurer utvikler vår romlige fantasi, hjelper til med å "komme ut" av planet til tredimensjonalt rom, noe som vil hjelpe i studiet av stereometri.

2. Modeller av umulige figurer hjelper til med å vurdere projeksjoner på flyet.

3. Betraktning av matematiske sofismer og paradokser vekker interesse for matematikk.

Når du gjør dette arbeidet

1. Jeg lærte hvordan, når, hvor og av hvem umulige figurer først ble vurdert, at det er mange slike figurer, kunstnere prøver hele tiden å skildre disse figurene.

2. Sammen med faren min laget jeg en modell av en umulig trekant, undersøkte projeksjonene på et fly, så paradokset til denne figuren.

3. Undersøkt reproduksjoner av kunstnere, som skildrer disse figurene

4. Studiene mine interesserte klassekameratene mine.

I fremtiden vil jeg bruke den tilegnete kunnskapen i matematikktimene og jeg var interessert, men er det andre paradokser?

LITTERATUR

1. Kandidat tekniske vitenskaper D. RAKOV Historien om umulige figurer

2. Rutesward O. Umulige tall.- M.: Stroyizdat, 1990.

3. Nettstedet til V. Alekseev Illusions · 7 kommentarer

4. J. Timothy Anrach. - Fantastiske figurer.
(LLC "Publishing House AST", LLC "Publishing House Astrel", 2002, 168 s.)

5. . - Grafisk kunst.
(Art-Spring, 2001)

6. Douglas Hofstadter. - Gödel, Escher, Bach: denne endeløse kransen. ( Forlag"Bahrakh-M", 2001)

7. A. Konenko - Hemmelighetene til umulige figurer
(Omsk: Lefty, 199)