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O que você precisa saber sobre o Triângulo de Penrose? Triângulo de Penrose. Crie um Triângulo Impossível Como Criar uma Ilusão de Triângulo Impossível

Saudações queridos leitores site de blog. Rustam Zakirov está em contato e tenho outro artigo para você, cujo tema é como desenhar um triângulo de Penrose. Hoje quero mostrar como é fácil desenhar um triângulo impossível. Faremos dois desenhos desse triângulo, um será comum e o segundo será um desenho 3D real. E tudo isso será surpreendentemente simples. Você pode obter um desenho 3D real deste triângulo. Duvido que isso seja mostrado para você em outro lugar, então leia o artigo até o fim e com muita atenção.

Para nossos desenhos, como sempre, precisamos de: um pedaço de papel lápis simples(de preferência um "médio", "outro macio") e alguns lápis de cor ou canetas hidrográficas.

Como é fácil desenhar qualquer desenho 3D.

Tirei esse triângulo impossível dessa foto comum, que acabei de encontrar na Internet. Aqui está ela.

E então, em alguns minutos, com a ajuda, traduzi para 3D . Então você pode traduzir quase qualquer imagem em 3D. Para quem quiser aprender o mesmo, clique aqui.

E passamos ao nosso desenho.

Desenhamos o desenho usual de um triângulo.

PASSO 1. Nós traduzimos da tela do monitor.

Para desenhar um triângulo, você precisará fazer o seguinte. Você pega seu pedaço de papel e o encosta no triângulo na tela do monitor e simplesmente o traduz.

E como nosso triângulo não é nada complicado, basta colocar apenas os pontos principais em todos os seus cantos.

E então olhamos para o original e conectamos esses pontos com uma régua. Eu entendi assim.

Todo o nosso triângulo está pronto. Pode deixar assim, mas vamos decorar um pouco mais. Eu fiz isso com lápis de cor. Depois de pintarmos completamente nosso triângulo, novamente o contornamos completamente com um simples lápis macio.

Com isso, nosso triângulo de Penrose usual está completamente pronto e passamos para o mesmo triângulo.

Desenhamos um desenho 3D de um triângulo.

PASSO 1. Nós traduzimos.

Agimos de acordo com o mesmo esquema do padrão usual. Apresento a vocês um triângulo pronto já traduzido para o formato 3D. Aqui está ele.

E você traduz. Fazemos tudo da mesma forma que com um desenho normal. Você pega sua folha, encosta-a na tela do monitor, a folha brilha e você simplesmente transfere o desenho 3D finalizado para sua folha.

Aqui está o que aconteceu comigo.

O tamanho do triângulo pode ser aumentado ou diminuído. Para fazer isso, você só precisa alterar a escala do seu monitor. Mantenha pressionada a tecla Ctrl e role a roda do mouse.

Podemos dizer com segurança que nosso desenho 3D já está pronto. Levei cerca de 3 minutos para fazê-lo. Com isso, em princípio, podemos terminar com segurança, mas vamos decorar nosso triângulo novamente.

Dmitry Rakov

Nossos olhos não podem ver
a natureza dos objetos.
Então não os force
delírios mentais.

Carro Tito Lucrécio

A expressão comum "engano do olho" é essencialmente errada. Os olhos não podem nos enganar, pois são apenas um elo intermediário entre o objeto e o cérebro humano. O engano óptico geralmente surge não por causa do que vemos, mas porque raciocinamos inconscientemente e erramos involuntariamente: "através do olho, e não com o olho, a mente sabe como olhar o mundo".

Uma das tendências mais espetaculares no fluxo artístico da arte óptica (op-art) é a imp-art (imp-art, arte impossível), baseada na imagem de figuras impossíveis. Objetos impossíveis são desenhos em um plano (qualquer plano é bidimensional), representando estruturas tridimensionais, cuja existência é impossível no mundo tridimensional real. A forma clássica e uma das mais simples é o triângulo impossível.

Num triângulo impossível, cada canto é ele próprio possível, mas surge um paradoxo quando o consideramos como um todo. Os lados do triângulo são direcionados tanto para o observador quanto para longe dele, de modo que suas partes individuais não podem formar um objeto tridimensional real.

Na verdade, nosso cérebro interpreta um desenho no plano como um modelo tridimensional. A consciência define a "profundidade" em que cada ponto da imagem está localizado. Nossas ideias sobre o mundo real estão em conflito, com alguma inconsistência, e temos que fazer algumas suposições:

linhas retas 2D são interpretadas como linhas retas 3D;
bidimensional linhas paralelas interpretadas como linhas paralelas tridimensionais;
ângulos agudos e obtusos são interpretados como ângulos retos em perspectiva;
linhas externas considerado como o limite da forma. Este limite externo é extremamente importante para a construção de uma imagem completa.

A mente humana primeiro cria uma imagem geral do objeto e depois examina as partes individuais. Cada ângulo é compatível com a perspectiva espacial, mas quando reunidos formam um paradoxo espacial. Se você fechar qualquer um dos cantos do triângulo, a impossibilidade desaparece.

História de figuras impossíveis

Erros na construção espacial foram encontrados por artistas há mil anos. Mas o primeiro a construir e analisar objetos impossíveis é considerado o artista sueco Oscar Reutersvärd, que em 1934 pintou o primeiro triângulo impossível, que consistia em nove cubos.


		"Moscou", gráficos (tinta, lápis), 50x70 cm, 2003

Independentemente do Reutersvaerd, o matemático e físico inglês Roger Penrose redescobre o triângulo impossível e publica sua imagem no British Psychology Journal em 1958. A ilusão usa "perspectiva falsa". Às vezes, essa perspectiva é chamada de chinesa, já que uma maneira semelhante de desenhar, quando a profundidade do desenho é "ambígua", foi frequentemente encontrada nas obras de artistas chineses.

No desenho "Três Caracóis", os cubos pequenos e grandes não são orientados na visão isométrica normal. O cubo menor acasala com o maior na frente e atrás, o que significa que, seguindo a lógica tridimensional, ele tem as mesmas dimensões de alguns lados que o grande. A princípio, o desenho parece ser uma representação real de um corpo sólido, mas à medida que a análise avança, as contradições lógicas desse objeto são reveladas.

Desenhar "Três caracóis" continua as tradições da segunda famosa figura impossível - o cubo impossível (caixa).


"QI", gráficos (tinta, lápis), 50x70 cm, 2001		"Para cima e para baixo", M. Escher

A combinação de diferentes objetos também pode ser encontrada na figura não tão séria do "QI" (quociente de inteligência). É interessante que algumas pessoas não percebam objetos impossíveis devido ao fato de sua consciência não ser capaz de identificar imagens planas com objetos tridimensionais.

Donald E. Simanek opinou que entender paradoxos visuais é uma das marcas desse tipo. criatividade possuído pelos melhores matemáticos, cientistas e artistas. Muitos trabalhos com objetos paradoxais podem ser atribuídos a "jogos matemáticos intelectuais". Ciência moderna fala de um modelo de 7 dimensões ou 26 dimensões do mundo. É possível modelar tal mundo apenas com a ajuda de fórmulas matemáticas, uma pessoa simplesmente não consegue imaginá-lo. E aqui eles são úteis. figuras impossíveis. Do ponto de vista filosófico, eles servem como um lembrete de que quaisquer fenômenos (em análise de sistemas, ciência, política, economia, etc.) devem ser considerados em todas as relações complexas e não óbvias.

Uma variedade de objetos impossíveis (e possíveis) são apresentados na pintura "O Alfabeto Impossível".

A terceira figura impossível popular é a incrível escadaria criada por Penrose. Você irá continuamente subir (sentido anti-horário) ou descer (sentido horário) ao longo dele. O modelo de Penrose formou a base pintura famosa M. Escher "Para cima e para baixo" ("Ascendente e descendente").

Há outro grupo de objetos que não podem ser implementados. A figura clássica é o tridente impossível, ou "garfo do diabo".

Após um estudo cuidadoso da imagem, você pode ver que três dentes gradualmente se transformam em dois em uma única base, o que leva a um conflito. Comparamos o número de dentes de cima e de baixo e chegamos à conclusão de que o objeto é impossível.

Existe algum uso maior para desenhos impossíveis do que jogos mentais? Em alguns hospitais, imagens de objetos impossíveis são especialmente penduradas, pois seu exame pode ocupar os pacientes por muito tempo. Seria lógico pendurar esses desenhos nas bilheterias, na polícia e em outros lugares onde a espera às vezes demora uma eternidade. Os desenhos poderiam funcionar como uma espécie de "cronófagos", ou seja, desperdiçadores de tempo.

O triângulo impossível é um dos surpreendentes paradoxos matemáticos. À primeira vista, você não pode duvidar dele por um segundo. existência real. No entanto, isso é apenas uma ilusão, um engano. E a própria possibilidade de tal ilusão nos será explicada pela matemática!

Descoberta dos Penroses

Em 1958, o British Psychological Journal publicou um artigo de L. Penrose e R. Penrose, no qual eles levaram em consideração novo tipo ilusão de ótica, que eles chamaram de "triângulo impossível".

Um triângulo visualmente impossível é percebido como uma estrutura que realmente existe no espaço tridimensional e é composta por barras retangulares. Mas isso é apenas uma ilusão de ótica. É impossível construir um modelo real de um triângulo impossível.

O artigo de Penrose continha várias opções para representar um triângulo impossível. - sua apresentação "clássica".

Quais elementos compõem um triângulo impossível?

Mais precisamente, a partir de que elementos nos parece construído? O design é baseado em um canto retangular, que é obtido conectando duas barras retangulares idênticas em ângulo reto. Esses cantos requerem três peças e as barras, portanto, seis peças. Esses cantos devem estar visualmente “conectados” uns aos outros de uma certa maneira para que formem uma cadeia fechada. O que acontece é o triângulo impossível.

Coloque o primeiro canto em um plano horizontal. Vamos anexar o segundo canto a ele, direcionando uma de suas bordas para cima. Por fim, adicionamos um terceiro canto a esse segundo canto, de modo que sua aresta fique paralela ao plano horizontal original. Nesse caso, as duas arestas do primeiro e terceiro cantos serão paralelas e direcionadas em direções diferentes.

Se considerarmos a barra como um segmento de comprimento unitário, então as extremidades das barras do primeiro canto têm coordenadas, e, o segundo canto - , e, o terceiro - , e. Temos uma estrutura "torcida" que realmente existe no espaço tridimensional.

E agora vamos tentar olhar mentalmente de pontos diferentes espaço. Imagine como fica de um ponto, de outro, de um terceiro. Ao alterar o ponto de observação, parecerá que as duas bordas "finais" de nossos cantos se movem uma em relação à outra. Não é difícil encontrar uma posição em que eles se conectem.

Mas se a distância entre as nervuras for muito menor que a distância dos cantos até o ponto de onde estamos vendo nossa estrutura, então ambas as nervuras terão a mesma espessura para nós, e surgirá a ideia de que essas duas nervuras são na verdade uma continuação um do outro. Esta situação é mostrada em 4.

A propósito, se olharmos simultaneamente para o reflexo da estrutura no espelho, não veremos um circuito fechado ali.

E do ponto de observação escolhido, vemos com nossos próprios olhos um milagre que aconteceu: há uma cadeia fechada de três cantos. Só não mude o ponto de observação para que essa ilusão não desmorone. Agora você pode desenhar um objeto que vê ou colocar uma lente de câmera no ponto encontrado e tirar uma fotografia de um objeto impossível.

Os Penroses foram os primeiros a se interessar por esse fenômeno. Eles usaram as possibilidades que surgem ao mapear espaço tridimensional e objetos tridimensionais em um plano bidimensional e chamaram a atenção para algumas incertezas de design - uma construção aberta de três cantos pode ser percebida como uma cadeia fechada.

Prova da impossibilidade do triângulo de Penrose

Analisando as características de uma imagem bidimensional de objetos tridimensionais em um plano, entendemos como as características dessa tela levam a um triângulo impossível. Talvez alguém esteja interessado em uma prova puramente matemática.

É extremamente fácil provar que não existe um triângulo impossível, porque cada um de seus ângulos é reto e sua soma é 270 graus em vez dos 180 graus "colocados".

Além disso, mesmo se considerarmos um triângulo impossível colado a partir de cantos menores que 90 graus, nesse caso podemos provar que o triângulo impossível não existe.

Vemos três faces planas. Eles se cruzam em pares ao longo de linhas retas. Os planos que contêm essas faces são ortogonais emparelhados, de modo que se cruzam em um ponto.

Além disso, linhas de interseção mútua dos planos devem passar por este ponto. Portanto, as retas 1, 2, 3 devem se cruzar em um ponto.

Mas isso não. Portanto, a construção apresentada é impossível.

Arte "impossível"

O destino desta ou daquela ideia - científica, técnica, política - depende de muitas circunstâncias. E não menos importante na forma como essa ideia será apresentada, em que imagem ela aparecerá para o público em geral. Quer a forma de realização seja seca e difícil de perceber, ou, pelo contrário, a manifestação da ideia será brilhante, captando a nossa atenção mesmo contra a nossa vontade.

O triângulo impossível tem um destino feliz. Em 1961 pintor holandês Moritz Escher completou a litografia que chamou de A Cachoeira. O artista percorreu um longo mas rápido caminho desde a própria ideia de um triângulo impossível até sua incrível incorporação artística. Lembre-se de que o artigo de Penrose apareceu em 1958.

No centro da "Cachoeira" estão mostrados dois triângulos impossíveis. Um triângulo é grande, outro triângulo está localizado dentro dele. Pode parecer que três triângulos impossíveis idênticos são representados. Mas esse não é o ponto, o design apresentado é bastante complicado.

À primeira vista, seu absurdo não será imediatamente visível para todos, pois todas as conexões apresentadas são possíveis. como se costuma dizer, localmente, ou seja, em uma pequena área do desenho, tal desenho é viável ... Mas em geral é impossível! Suas peças individuais não se encaixam, não concordam umas com as outras.

E para entender isso, devemos despender certos esforços intelectuais e visuais.

Vamos fazer uma viagem ao longo das bordas da estrutura. Este caminho é notável porque ao longo dele, ao que parece, o nível em relação ao plano horizontal permanece inalterado. Movendo-nos por este caminho, não subimos nem descemos.

E tudo ficaria bem, familiar, se no final do caminho - ou seja, no ponto - não descobríssemos que, em relação ao ponto de partida, de alguma forma misteriosamente subíamos na vertical!

Para chegar a esse resultado paradoxal, devemos escolher esse caminho, e até monitorar o nível em relação ao plano horizontal... Não é uma tarefa fácil. Em sua decisão, Escher veio em auxílio de ... água. Vamos relembrar a canção sobre movimento do maravilhoso ciclo vocal de Franz Schubert "The Beautiful Miller's Woman":

E primeiro na imaginação, e depois nas mãos de um mestre maravilhoso, estruturas nuas e secas se transformam em aquedutos, por onde correm correntes de água limpas e rápidas. O seu movimento capta o nosso olhar, e agora, contra a nossa vontade, corremos rio abaixo, seguindo todas as voltas e curvas do caminho, junto com o riacho quebramos, caímos nas lâminas de um moinho de água, depois corremos rio abaixo novamente. .

Percorremos esse caminho uma, duas, um terço ... e só então percebemos: descendo e s, de alguma forma de uma forma fantástica vamos subir ao topo! A surpresa inicial evolui para uma espécie de desconforto intelectual. Parece que nos tornamos vítima de algum tipo de brincadeira, objeto de algum tipo de piada que ainda não foi compreendida.

E novamente repetimos este caminho por um estranho conduto, agora devagar, com cautela, como que temendo uma captura de uma imagem paradoxal, percebendo criticamente tudo o que acontece neste misterioso caminho.

Estamos tentando desvendar o mistério que nos surpreendeu e não podemos escapar de seu cativeiro até encontrarmos a fonte oculta que está em sua base e coloca o redemoinho inimaginável em movimento incessante.

O artista enfatiza especificamente, impõe-nos a percepção de suas pinturas como imagens de objetos tridimensionais reais. A tridimensionalidade é realçada pela imagem de poliedros bastante reais nas torres, alvenaria com a mais fiel representação de cada tijolo nas paredes do aqueduto, terraços elevados com jardins ao fundo. Tudo é projetado para convencer o espectador da realidade do que está acontecendo. E graças à arte e à excelente tecnologia, esse objetivo foi alcançado.

Quando saímos do cativeiro em que nossa consciência cai, começamos a comparar, comparar, analisar, descobrimos que a base, a fonte dessa imagem está oculta nas características do design.

E obtivemos mais uma - prova "física" da impossibilidade do "triângulo impossível": se tal triângulo existisse, também existiria a "Cachoeira" de Escher, que é essencialmente uma máquina de movimento perpétuo. Mas uma máquina de movimento perpétuo é impossível, portanto, o "triângulo impossível" também é impossível. E, talvez, essa "evidência" seja a mais convincente.

O que fez de Moritz Escher um fenômeno, uma pessoa única que não teve predecessores óbvios na arte e que não pode ser imitada? É uma combinação de planos e volumes, muita atenção a formas bizarras do micromundo - vivas e não vivas, a pontos de vista incomuns sobre coisas comuns. O principal efeito de suas composições é o efeito do surgimento de relações impossíveis entre objetos familiares. Essas situações à primeira vista podem assustar e causar um sorriso. Você pode olhar alegremente para a diversão que o artista oferece ou pode mergulhar seriamente nas profundezas da dialética.

Moritz Escher mostrou que o mundo pode não ser do jeito que vemos e estamos acostumados a percebê-lo - você só precisa olhar para ele de um novo ângulo de visão diferente!

Moritz Escher

Moritz Escher teve mais sorte como cientista do que como artista. Suas gravuras e litografias eram vistas como chaves para provar teoremas ou contra-exemplos originais que desafiavam o senso comum. Na pior das hipóteses, eles foram vistos como excelentes ilustrações para tratados científicos sobre cristalografia, teoria de grupos, psicologia cognitiva ou computação gráfica. Moritz Escher trabalhou no campo das relações espaço-temporais e sua identidade, usou padrões básicos de mosaicos, aplicando-lhes transformações. Esse Grande mestre ilusões de ótica. As gravuras de Escher retratam não o mundo das fórmulas, mas a beleza do mundo. Seu depósito intelectual se opõe fundamentalmente às criações ilógicas dos surrealistas.

O artista holandês Moritz Cornelius Escher nasceu em 17 de junho de 1898 na província da Holanda. A casa onde Escher nasceu é agora um museu.

Desde 1907, Moritz estuda carpintaria e toca piano, estudando na ensino médio. As notas de Moritz em todas as disciplinas eram ruins, exceto desenho. A professora de arte percebeu o talento do menino e o ensinou a fazer xilogravuras.

Em 1916, Escher realiza sua primeira obra gráfica, uma gravura sobre linóleo roxo - um retrato de seu pai G. A. Escher. Ele visita a oficina do artista Gert Stiegemann, que tinha uma gráfica. As primeiras gravuras de Escher foram impressas nesta máquina.

Em 1918-1919, Escher frequentou o Technical College na cidade holandesa de Delft. Ele recebe um adiamento do serviço militar para continuar seus estudos, mas devido a problemas de saúde, Moritz não aguentou currículo, e foi expulso. Como resultado, ele nunca recebeu ensino superior. Ele estuda na Escola de Arquitetura e Ornamentação em Haarlem, onde recebe aulas de desenho de Samuel Jeserin de Mesquite, que teve uma influência formativa na vida e obra de Escher.

Em 1921 a família Escher visitou a Riviera e a Itália. Fascinado pela vegetação e flores do clima mediterrâneo, Moritz fez desenhos detalhados de cactos e oliveiras. Ele esboçou muitos esboços de paisagens montanhosas, que mais tarde formaram a base de seu trabalho. Mais tarde, retornaria constantemente à Itália, que lhe serviria de fonte de inspiração.

Escher começa a experimentar uma nova direção para si mesmo, mesmo assim em suas obras há imagens espelhadas, figuras de cristal e esferas.

O final dos anos vinte foi um período muito frutífero para Moritz. Seu trabalho foi exibido em muitas exposições na Holanda e, em 1929, sua popularidade atingiu tal nível que cinco exposições individuais foram realizadas em um ano na Holanda e na Suíça. Foi durante este período que as pinturas de Escher foram chamadas pela primeira vez de mecânicas e "lógicas".

Asher viaja muito. Vive na Itália e na Suíça, Bélgica. Ele estuda mosaicos mouriscos, faz litografias, gravuras. Com base em esboços de viagem, ele cria sua primeira pintura da realidade impossível Still Life with Street.

No final dos anos trinta, Escher continuou a experimentar mosaicos e transformações. Ele cria um mosaico em forma de dois pássaros voando um em direção ao outro, que serviu de base para a pintura "Dia e Noite".

Em maio de 1940, os nazistas ocuparam a Holanda e a Bélgica e, em 17 de maio, Bruxelas também caiu na zona de ocupação, onde Escher e sua família viviam na época. Eles encontram uma casa em Varna e se mudam para lá em fevereiro de 1941. Até o fim de seus dias, Escher viverá nesta cidade.

Em 1946, Escher se interessou pela tecnologia de impressão em rotogravura. E embora essa tecnologia fosse muito mais complicada do que a usada por Escher antes e exigisse mais tempo para criar uma imagem, os resultados foram impressionantes - linhas finas e reprodução precisa de sombras. Um dos mais trabalho famoso na impressão de rotogravura "Dewdrop" foi concluída em 1948.

Em 1950, Moritz Escher ganhou popularidade como palestrante. Então, em 1950, sua primeira exposição individual foi realizada nos Estados Unidos e sua obra começou a ser comprada. 27 de abril de 1955 Moritz Escher é nomeado cavaleiro e se torna um nobre.

Em meados da década de 1950, Escher combina mosaicos com figuras que alcançam o infinito.

No início dos anos 60, foi publicado o primeiro livro com as obras de Escher, Grafiek en Tekeningen, no qual o próprio autor comentou 76 obras. O livro ajudou a ganhar entendimento entre matemáticos e cristalógrafos, incluindo alguns na Rússia e no Canadá.

Em agosto de 1960, Escher deu uma palestra sobre cristalografia em Cambridge. Os aspectos matemáticos e cristalográficos do trabalho de Escher estão se tornando muito populares.

Em 1970 depois nova série As operações da Escher mudaram-se para casa nova em Laren, que tinha um estúdio, mas problemas de saúde impossibilitavam o trabalho duro.

Moritz Escher morreu em 1971, aos 73 anos. Escher viveu o suficiente para ver The World of M.C. Escher traduzido para o língua Inglesa e ficou muito satisfeito com isso.

Várias imagens impossíveis são encontradas nos sites de matemáticos e programadores. maioria versão completa dos que vimos, em nossa opinião, é o site de Vlad Alekseev

Este site apresenta não só uma vasta gama de pinturas famosas, incluindo M. Escher, mas também imagens animadas, desenhos engraçados de animais impossíveis, moedas, selos, etc. Este site vive, é atualizado periodicamente e reabastecido com desenhos incríveis.

Várias figuras impossíveis foram inventadas - uma escada, um triângulo e um x-prong. Essas figuras são realmente bastante reais em uma imagem tridimensional. Mas quando um artista projeta volume no papel, os objetos parecem impossíveis. O triângulo, também chamado de "tribar", tornou-se um exemplo maravilhoso de como o impossível se torna possível quando você faz um esforço.

Todas essas figuras são belas ilusões. As realizações do gênio humano são usadas por artistas que pintam no estilo da arte imp.

Nada é impossível. O mesmo pode ser dito sobre o Triângulo de Penrose. Esta é uma figura geometricamente impossível, cujos elementos não podem ser conectados. Ainda assim, o triângulo impossível tornou-se possível. O pintor sueco Oscar Reutersvärd apresentou ao mundo um triângulo impossível de cubos em 1934. O. Reutersvärd é considerado o descobridor dessa ilusão visual. Em homenagem a este evento, selo A Suécia imprimiu este desenho mais tarde.

E em 1958, o matemático Roger Penrose publicou uma publicação em um jornal inglês sobre números impossíveis. Foi ele quem criou o modelo científico da ilusão. Roger Penrose era um cientista incrível. Ele pesquisou a teoria da relatividade, bem como a fascinante teoria quântica. Ele recebeu o Prêmio Wolf juntamente com S. Hawking.

Sabe-se que o artista Maurits Escher, sob a influência deste artigo, pintou sua incrível obra - a litografia "Cachoeira". Mas é possível fazer um triângulo de Penrose? Como fazer se possível?

Tribar e realidade

Embora a figura seja considerada impossível, fazer um triângulo de Penrose com as próprias mãos é mais fácil do que nunca. Pode ser feito de papel. Os amantes do origami simplesmente não podiam ignorar as três barras e, no entanto, encontraram uma maneira de criar e segurar em suas mãos algo que antes parecia uma fantasia ultrajante de um cientista.

No entanto, somos enganados por nossos próprios olhos quando olhamos para a projeção de um objeto tridimensional a partir de três linhas perpendiculares. Parece ao observador que ele vê um triângulo, embora na verdade não seja.

geometria faça você mesmo

Triângulo tribar, como dito, não é realmente um triângulo. O Triângulo de Penrose é uma ilusão. Somente em um determinado ângulo o objeto se parece com um triângulo equilátero. No entanto, o objeto em sua forma natural é de 3 faces de um cubo. Em tal projeção isométrica, 2 ângulos coincidem no plano: o mais próximo do observador e o mais distante.

A ilusão de ótica, é claro, é revelada rapidamente, assim que você pega esse objeto. E a sombra também revela a ilusão, pois a sombra do tribar mostra claramente que os ângulos não coincidem na realidade.

Tribar de papel. Esquema

Como fazer um triângulo de Penrose com as próprias mãos sem papel? Existe algum esquema para este modelo? Até o momento, 2 layouts foram inventados para dobrar um triângulo tão impossível. Os fundamentos da geometria dizem exatamente como dobrar um objeto.

Para dobrar o triângulo Penrose com suas próprias mãos, você precisará alocar apenas 10 a 20 minutos. Você precisa preparar cola, tesoura para vários cortes e papel no qual o diagrama é impresso.

A partir desse espaço em branco, o triângulo impossível mais popular é obtido. O artesanato de origami não é muito difícil de fazer. Portanto, com certeza vai sair da primeira vez, e até mesmo para um estudante que acaba de começar a estudar geometria.

Como você pode ver, acaba sendo um artesanato muito bom. O segundo espaço em branco parece diferente e se dobra de maneira diferente, mas o próprio triângulo de Penrose acaba parecendo o mesmo.

Etapas para criar um triângulo de Penrose de papel.

Escolha um dos 2 espaços em branco convenientes para você, copie o arquivo e imprima. Damos aqui um exemplo do segundo modelo de layout, que é executado de forma um pouco mais fácil.

O próprio blank de origami Tribar já contém todas as dicas necessárias. Na verdade, as instruções para o circuito não são necessárias. Basta baixá-lo em um transportador de papel grosso, caso contrário, será inconveniente trabalhar e a figura não funcionará. Se for impossível imprimir imediatamente em papelão, é necessário anexar um esboço ao novo material e recortar o desenho ao longo do contorno. Por conveniência, você pode prender com clipes de papel.

o que fazer a seguir? Como dobrar o triângulo Penrose com as próprias mãos em etapas? Você precisa seguir este plano de ação:

nós dirigimos lado reverso tesoura aquelas linhas onde você quer dobrar, de acordo com as instruções. Dobre todas as linhas
Sempre que necessário, fazemos cortes.
Colamos com a ajuda do PVA aqueles retalhos que se destinam a fixar a peça em um único todo.

O modelo acabado pode ser repintado em qualquer cor, ou você pode levar papelão colorido para trabalhar com antecedência. Mas mesmo que o objeto seja feito de papel branco, de qualquer forma, todos que entrarem pela primeira vez na sua sala certamente ficarão desanimados com tal artesanato.

Padrão de triângulo

Como desenhar um triângulo de Penrose? Nem todo mundo gosta de origami, mas muitas pessoas adoram desenhar.

Para começar, um quadrado regular de qualquer tamanho é representado. Em seguida, um triângulo é desenhado no interior, cuja base é o lado inferior do quadrado. Um pequeno retângulo se encaixa em cada canto, todos os lados são apagados; apenas os lados adjacentes ao triângulo permanecem. Isso é necessário para manter as linhas retas. Acontece um triângulo com cantos truncados.

A próxima etapa é a imagem da segunda dimensão. Uma linha estritamente reta é desenhada do lado esquerdo do canto superior inferior. A mesma linha é desenhada a partir do canto inferior esquerdo e ligeiramente não trazida para a primeira linha de medição 2. Outra linha é desenhada a partir do canto direito paralelo ao lado inferior da figura principal.

A etapa final é desenhar a terceira dimensão dentro da segunda dimensão usando mais três pequenas linhas. Pequenas linhas partem das linhas da segunda dimensão e completam a imagem do volume tridimensional.

Outras figuras de Penrose

Pela mesma analogia, você pode desenhar outras formas - um quadrado ou um hexágono. A ilusão será mantida. Mas ainda assim, esses números não são mais tão surpreendentes. Esses polígonos parecem ser fortemente torcidos. Os gráficos modernos permitem que você faça versões mais interessantes do famoso triângulo.

Além do triângulo, a escada Penrose também é mundialmente famosa. A ideia é enganar o olho para que pareça que a pessoa está constantemente se movendo para cima quando se move no sentido horário, e se se move no sentido anti-horário, então para baixo.

A escada contínua é mais conhecida pela associação com a pintura Ascending and Descent de M. Escher. Curiosamente, quando uma pessoa percorre todos os 4 lances dessa escada ilusória, ela invariavelmente termina onde começou.

Outros objetos são conhecidos por enganar a mente humana, como uma barra impossível. Ou uma caixa feita de acordo com as mesmas leis da ilusão com arestas que se cruzam. Mas todos esses objetos já foram inventados com base em um artigo de um notável cientista - Roger Penrose.

Triângulo impossível em Perth

A figura que leva o nome do matemático é homenageada. Ela ergueu um monumento. Em 1999, em uma das cidades da Austrália (Perth), foi instalado um grande triângulo Penrose de alumínio, com 13 metros de altura. Os turistas ficam felizes em tirar fotos ao lado do gigante do alumínio. Mas se você escolher um ângulo de visão diferente para a fotografia, o engano se tornará óbvio.

Supervisor

professor de matemática

1. Introdução ………………………………………………….……3

2. Antecedentes históricos……………………………………..…4

3. Parte principal………………………………………………….7

4. Prova da impossibilidade do triângulo de Penrose ...... 9

5. Conclusões………………………………………………..……………11

6. Literatura…………………………………………….…… 12

Relevância: A matemática é uma disciplina estudada do primeiro ao turma de formatura. Muitos alunos acham difícil, desinteressante e desnecessário. Mas se você olhar além das páginas do livro didático, ler literatura adicional, sofismas matemáticos e paradoxos, então a ideia de matemática mudará, haverá um desejo de estudar mais do que é estudado no curso de matemática da escola.

Objetivo do trabalho:

para mostrar que a existência de figuras impossíveis amplia os horizontes de alguém, desenvolve a imaginação espacial, é usado não apenas por matemáticos, mas também por artistas.

Tarefas :

1. Estude a literatura sobre este tópico.

2. Considere figuras impossíveis, faça um modelo de um triângulo impossível, prove que um triângulo impossível não existe em um plano.

3. Desdobre o triângulo impossível.

4. Considere exemplos do uso do triângulo impossível nas artes plásticas.

Introdução

Historicamente, a matemática desempenhou um papel importante nas artes visuais, em particular na representação da perspectiva, que envolve retratar realisticamente uma cena tridimensional em uma tela plana ou folha de papel. De acordo com as visões modernas, matemática e arte disciplinas muito distantes umas das outras, a primeira - analítica, a segunda - emocional. A matemática não desempenha um papel óbvio na maioria dos empregos arte contemporânea e, de fato, muitos artistas raramente ou nunca usam a perspectiva. No entanto, existem muitos artistas que se concentram na matemática. Várias figuras significativas nas artes visuais abriram caminho para esses indivíduos.

Na verdade, não há regras ou restrições quanto ao uso vários tópicos nas artes matemáticas, como figuras impossíveis, a faixa de Möbius, distorção ou sistemas incomuns de perspectiva e fractais.

História de figuras impossíveis

Figuras impossíveis são um certo tipo de paradoxo matemático, consistindo em peças regulares conectadas em um complexo irregular. Se você tentar formular uma definição do termo "objetos impossíveis", provavelmente soaria algo assim - figuras fisicamente possíveis montadas em uma forma impossível. Mas olhar para eles é muito mais agradável, traçar definições.

Erros na construção espacial foram encontrados por artistas há mil anos. Mas o primeiro a construir e analisar objetos impossíveis é considerado o artista sueco Oscar Reutersvärd, que pintou em 1934. o primeiro triângulo impossível, composto por nove cubos.

Triângulo de Reutersvärd

Independente da Reutersvaerd, o matemático e físico inglês Roger Penrose redescobre o triângulo impossível e publica sua imagem no British Psychological Journal em 1958. A ilusão usa "perspectiva falsa". Às vezes, essa perspectiva é chamada de chinesa, já que uma maneira semelhante de desenhar, quando a profundidade do desenho é “ambígua”, era frequentemente encontrada nas obras de artistas chineses.

Escher Falls

Em 1961 O holandês M. Escher, inspirado triângulo impossível Penrose, cria a famosa litografia "Cachoeira". A água na imagem flui sem parar, depois que a roda d'água passa mais longe e cai de volta ao ponto inicial. Na verdade, esta é a imagem de uma máquina de movimento perpétuo, mas qualquer tentativa na realidade de construir esse design está fadada ao fracasso.

Outro exemplo de figuras impossíveis é apresentado no desenho "Moscou", que retrata um esquema incomum do metrô de Moscou. A princípio, percebemos a imagem como um todo, mas traçando com os olhos as linhas individuais, nos convencemos da impossibilidade de sua existência.

« Moscou”, grafismo (tinta, lápis), 50x70 cm, 2003

Desenhar "Três caracóis" continua as tradições da segunda famosa figura impossível - um cubo impossível (caixa).

"Três caracóis" Cubo impossível

A combinação de vários objetos também pode ser encontrada na figura não tão séria do "QI" (quociente de inteligência). É interessante que algumas pessoas não percebam objetos impossíveis devido ao fato de sua consciência não ser capaz de identificar imagens planas com objetos tridimensionais.

Donald Simanek opinou que a compreensão dos paradoxos visuais é uma das marcas do tipo de criatividade que os melhores matemáticos, cientistas e artistas possuem. Muitos trabalhos com objetos paradoxais podem ser classificados como "jogos matemáticos intelectuais". A ciência moderna fala de um modelo de 7 dimensões ou 26 dimensões do mundo. É possível modelar tal mundo apenas com a ajuda de fórmulas matemáticas, uma pessoa simplesmente não consegue imaginá-lo. É aqui que números impossíveis são úteis.

A terceira figura impossível popular é a incrível escadaria criada por Penrose. Você irá continuamente subir (sentido anti-horário) ou descer (sentido horário) ao longo dele. O modelo Penrose formou a base da famosa pintura de M. Escher "Up and Down" As incríveis escadas de Penrose

Tridente Impossível

"Maldito Garfo"

Há outro grupo de objetos que não podem ser implementados. A figura clássica é o tridente impossível, ou "garfo do diabo". Após um estudo cuidadoso da imagem, você pode ver que três dentes gradualmente se transformam em dois em uma única base, o que leva a um conflito. Comparamos o número de dentes de cima e de baixo e chegamos à conclusão de que o objeto é impossível. Se você fechar a parte superior do tridente com a mão, veremos completamente a imagem real- três dentes redondos. Se fecharmos a parte inferior do tridente, também veremos uma imagem real - dois dentes retangulares. Mas, se considerarmos toda a figura como um todo, verifica-se que três dentes redondos gradualmente se transformam em dois retangulares.

Assim, pode-se ver que a frente e fundo esta figura está em conflito. Ou seja, o que foi originalmente primeiro plano vai para trás e o fundo (dente do meio) rasteja para a frente. Além de alterar o primeiro plano e o plano de fundo, esse desenho tem outro efeito - as bordas planas da parte superior do tridente ficam arredondadas na parte inferior.

Parte principal.

Triângulo- uma figura composta por 3 partes adjacentes, que, com a ajuda de conexões inaceitáveis dessas partes, cria a ilusão de uma estrutura impossível do ponto de vista matemático. De outra forma, esta barra de três também é chamada quadrado Penrose

O princípio gráfico dessa ilusão deve sua formulação a um psicólogo e a seu filho Roger, um físico. O quadrado de Penrouze consiste em 3 barras seção quadrada localizados em 3 direções mutuamente perpendiculares; cada um se conecta ao próximo em ângulos retos, todos os quais se encaixam no espaço tridimensional. Aqui está uma receita simples de como desenhar esta vista isométrica de um quadrado de Penrose:

Apare os cantos de um triângulo equilátero ao longo de linhas paralelas aos lados;

Desenhe paralelos aos lados dentro do triângulo recortado;

Apare os cantos novamente

Mais uma vez, desenhe dentro dos paralelos;

· Imagine um dos dois cubos possíveis em um dos cantos;

· Continue com uma “coisa” em forma de L;

Execute este projeto em um círculo.

Se escolhêssemos outro cubo, então o quadrado seria “torcido” na outra direção .

Desenvolvimento de um triângulo impossível.

quebra de linha

Linha de corte

Quais elementos compõem um triângulo impossível? Mais precisamente, de que elementos nos parece (ao que parece!) Construído? O design é baseado em um canto retangular, que é obtido conectando duas barras retangulares idênticas em ângulo reto. Esses cantos requerem três peças e as barras, portanto, seis peças. Esses cantos devem estar visualmente “conectados” uns aos outros de uma certa maneira para que formem uma cadeia fechada. O que acontece é o triângulo impossível.

E agora vamos tentar olhar com sabão a figura de diferentes pontos no espaço (ou fazer um modelo real de arame). Imagine como fica de um ponto, de outro, de um terceiro ... Ao mudar o ponto de observação (ou - o que é o mesmo - quando a estrutura é girada no espaço), parecerá que as duas bordas "finais" de nossos cantos se movem um em relação ao outro. Não é difícil encontrar uma posição em que eles se conectem (é claro que, neste caso, o canto próximo nos parecerá mais grosso do que o mais longo).

A propósito, se olharmos simultaneamente para a exibição da estrutura no espelho, não veremos um circuito fechado ali.

E do ponto de observação escolhido, vemos com nossos próprios olhos um milagre que aconteceu: há uma cadeia fechada de três cantos. Só não mude o ponto de observação para que essa ilusão (na verdade, é uma ilusão!) Não desmorone. Agora você pode desenhar um objeto que vê ou colocar uma lente de câmera no ponto encontrado e tirar uma fotografia de um objeto impossível.

Os Penroses foram os primeiros a se interessar por esse fenômeno. Eles usaram as possibilidades que surgem ao mapear espaço tridimensional e objetos tridimensionais em um plano bidimensional (ou seja, ao projetar) e chamaram a atenção para algumas incertezas de design - um design aberto de três cantos pode ser percebido como um fechado o circuito.

Como já mencionado, o modelo mais simples pode ser facilmente feito de arame, o que explica em princípio o efeito observado. Pegue um pedaço reto de arame e divida-o em três partes iguais. Em seguida, dobre as partes extremas para que formem um ângulo reto com a parte do meio e gire uma em relação à outra em 900. Agora vire esta estatueta e observe-a com um olho. Em uma determinada posição, parecerá que é formado por um pedaço de arame fechado. Acendendo o abajur, você pode observar a sombra caindo sobre a mesa, que também se transforma em triângulo em uma determinada posição da figura no espaço.

No entanto, esse recurso de design pode ser observado em outra situação. Se você fizer um anel de arame e depois espalhá-lo em direções diferentes, obterá uma volta de uma espiral cilíndrica. Este loop é, obviamente, aberto. Mas ao projetá-lo em um plano, você pode obter uma linha fechada.

Vimos mais uma vez que na projeção sobre o plano, segundo o desenho, a figura tridimensional é restaurada de forma ambígua. Ou seja, a projeção contém algumas ambiguidades, eufemismos, que dão origem ao “triângulo impossível”.

E pode-se dizer que o "triângulo impossível" dos Penroses, como tantos outros ilusões de ótica, está de acordo com paradoxos lógicos e trocadilhos.

Prova da impossibilidade do triângulo de Penrose

Analisando as características de uma imagem bidimensional de objetos tridimensionais em um plano, entendemos como as características dessa tela levam a um triângulo impossível.

É extremamente fácil provar que não existe um triângulo impossível, porque cada um de seus ângulos é reto, e sua soma é 2700 em vez dos 1800 “colocados”.

Além disso, mesmo se considerarmos um triângulo impossível colado de cantos menores que 900, então, neste caso, pode-se provar que o triângulo impossível não existe.

Considere outro triângulo, que consiste em várias partes. Se as partes que o compõem estiverem dispostas de maneira diferente, será obtido exatamente o mesmo triângulo, mas com uma pequena falha. Vai faltar um quadrado. Como isso é possível? Ou é apenas uma ilusão.

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Usando o fenômeno da percepção

Existe alguma maneira de aumentar o efeito de impossibilidade? Alguns objetos são "impossíveis" do que outros? E aqui os recursos vêm em socorro. percepção humana. Os psicólogos estabeleceram que o olho começa a examinar o objeto (imagem) a partir do canto inferior esquerdo, depois o olhar desliza para a direita até o centro e desce até o canto inferior direito da imagem. Tal trajetória pode ser devida ao fato de que nossos ancestrais, ao se encontrarem com o inimigo, primeiro olharam para a mão direita mais perigosa, e depois seu olhar se moveu para a esquerda, para o rosto e a figura. Por isso, percepção artística dependerá significativamente de como a composição da imagem é construída. Essa característica na Idade Média se manifestava claramente na fabricação de tapeçarias: seu padrão era reflexo do espelho original, e a impressão feita por tapeçarias e originais é diferente.

Esta propriedade pode ser utilizada com sucesso ao criar criações com objetos impossíveis, aumentando ou diminuindo o "grau de impossibilidade". Também abre a perspectiva de composições interessantes usando tecnologia de computador ou de várias pinturas giradas (talvez usando tipo diferente simetrias) uma em relação à outra, criando uma impressão diferente do objeto e uma compreensão mais profunda da essência do conceito, ou de uma que gira (constante ou bruscamente) com a ajuda de um mecanismo simples em determinados ângulos.

Essa direção pode ser chamada de poligonal (poligonal). As ilustrações mostram imagens rotacionadas uma em relação à outra. A composição foi criada da seguinte forma: um desenho sobre papel, feito a nanquim e lápis, foi escaneado, digitalizado e processado em editor gráfico. Podemos notar uma regularidade - a imagem girada tem um "grau de impossibilidade" maior do que a original. Isso é facilmente explicado: no processo de trabalho, o artista inconscientemente se esforça para criar a imagem "correta".

Conclusão

O uso de várias figuras e leis matemáticas não se limita aos exemplos acima. Ao estudar cuidadosamente todas as figuras acima, você pode encontrar outras não mencionadas neste artigo, corpos geométricos ou interpretação visual de leis matemáticas.

As artes visuais matemáticas estão florescendo hoje, e muitos artistas criam pinturas no estilo de Escher e em seu próprio estilo. estilo próprio. Esses artistas trabalham em uma variedade de mídias, incluindo escultura, pintura em superfícies planas e tridimensionais, litografia e computação gráfica. E os tópicos mais populares da arte matemática são poliedros, figuras impossíveis, faixas de Möbius, sistemas distorcidos de perspectiva e fractais.

Conclusões:

1. Assim, a consideração de figuras impossíveis desenvolve nossa imaginação espacial, ajuda a “sair” do plano para o espaço tridimensional, o que ajudará no estudo da estereometria.

2. Modelos de figuras impossíveis ajudam a considerar projeções no plano.

3. A consideração de sofismas e paradoxos matemáticos estimula o interesse pela matemática.

Ao fazer este trabalho

1. Aprendi como, quando, onde e por quem as figuras impossíveis foram consideradas pela primeira vez, que existem muitas dessas figuras, os artistas estão constantemente tentando retratar essas figuras.

2. Junto com meu pai, fiz um modelo de um triângulo impossível, examinei suas projeções em um plano, vi o paradoxo dessa figura.

3. Examinou as reproduções de artistas, que retratam essas figuras

4. Meus estudos interessaram aos meus colegas.

No futuro, vou usar os conhecimentos adquiridos nas aulas de matemática e fiquei interessado, mas há outros paradoxos?

LITERATURA

1. Candidato ciências técnicas D. RAKOV História de figuras impossíveis

2.Rutesward O. Números impossíveis.- M.: Stroyizdat, 1990.

3. Site de V. Alekseev Illusions · 7 Comentários

4. J. Timothy Anrach. - Figuras surpreendentes.
(LLC "Publishing House AST", LLC "Publishing House Astrel", 2002, 168 p.)

5. . - Artes gráficas.
(Art-Primavera, 2001)

6. Douglas Hofstadter. - Gödel, Escher, Bach: esta guirlanda sem fim. ( Editora"Bahrakh-M", 2001)

7. A. Konenko - Segredos de figuras impossíveis
(Omsk: Canhoto, 199)