Penrose figuras impossíveis. triângulo impossível

O triângulo impossível é um dos surpreendentes paradoxos matemáticos. À primeira vista, você não pode duvidar dele por um segundo. existência real. No entanto, isso é apenas uma ilusão, um engano. E a própria possibilidade de tal ilusão nos será explicada pela matemática!

Descoberta dos Penroses

Em 1958, o British Psychological Journal publicou um artigo de L. Penrose e R. Penrose, no qual eles levaram em consideração novo tipo ilusão de ótica, que eles chamavam de " triângulo impossível».

Um triângulo visualmente impossível é percebido como uma estrutura que realmente existe no espaço tridimensional e é composta por barras retangulares. Mas isso é apenas uma ilusão de ótica. É impossível construir um modelo real de um triângulo impossível.

O artigo de Penrose continha várias opções para representar um triângulo impossível. - sua apresentação "clássica".

Quais elementos compõem um triângulo impossível?

Mais precisamente, a partir de que elementos nos parece construído? O design é baseado em um canto retangular, que é obtido conectando duas barras retangulares idênticas em ângulo reto. Esses cantos requerem três peças e as barras, portanto, seis peças. Esses cantos devem estar visualmente “conectados” uns aos outros de uma certa maneira para que formem uma cadeia fechada. O que acontece é o triângulo impossível.

Coloque o primeiro canto em um plano horizontal. Vamos anexar o segundo canto a ele, direcionando uma de suas bordas para cima. Por fim, adicionamos um terceiro canto a esse segundo canto, de modo que sua aresta fique paralela ao plano horizontal original. Nesse caso, as duas arestas do primeiro e terceiro cantos serão paralelas e direcionadas em direções diferentes.

Se considerarmos a barra como um segmento de comprimento unitário, as extremidades das barras do primeiro canto têm coordenadas e, o segundo canto - , e, o terceiro - , e. Temos uma estrutura "torcida" que realmente existe no espaço tridimensional.

E agora vamos tentar olhar mentalmente de pontos diferentes espaço. Imagine como fica de um ponto, de outro, de um terceiro. Ao alterar o ponto de observação, parecerá que as duas bordas "finais" de nossos cantos se movem uma em relação à outra. Não é difícil encontrar uma posição em que eles se conectem.

Mas se a distância entre as nervuras for muito menor que a distância dos cantos até o ponto de onde estamos vendo nossa estrutura, então ambas as nervuras terão a mesma espessura para nós, e surgirá a ideia de que essas duas nervuras são na verdade uma continuação um do outro. Esta situação é mostrada em 4.

A propósito, se olharmos simultaneamente para o reflexo da estrutura no espelho, não veremos um circuito fechado ali.

E do ponto de observação escolhido, vemos com nossos próprios olhos um milagre que aconteceu: há uma cadeia fechada de três cantos. Só não mude o ponto de observação para que essa ilusão não desmorone. Agora você pode desenhar um objeto que vê ou colocar uma lente de câmera no ponto encontrado e tirar uma fotografia de um objeto impossível.

Os Penroses foram os primeiros a se interessar por esse fenômeno. Eles usaram as possibilidades que surgem ao mapear o espaço tridimensional e objetos tridimensionais em um plano bidimensional e chamaram a atenção para algumas incertezas de design - uma construção aberta de três cantos pode ser percebida como uma cadeia fechada.

Prova da impossibilidade do triângulo de Penrose

Analisando as características de uma imagem bidimensional de objetos tridimensionais em um plano, entendemos como as características dessa tela levam a um triângulo impossível. Talvez alguém esteja interessado em uma prova puramente matemática.

É extremamente fácil provar que não existe um triângulo impossível, porque cada um de seus ângulos é reto e sua soma é 270 graus em vez dos 180 graus "colocados".

Além disso, mesmo se considerarmos um triângulo impossível colado a partir de cantos menores que 90 graus, nesse caso podemos provar que o triângulo impossível não existe.

Vemos três faces planas. Eles se cruzam em pares ao longo de linhas retas. Os planos que contêm essas faces são ortogonais emparelhados, de modo que se cruzam em um ponto.

Além disso, linhas de interseção mútua dos planos devem passar por este ponto. Portanto, as retas 1, 2, 3 devem se cruzar em um ponto.

Mas isso não. Portanto, a construção apresentada é impossível.

Arte "impossível"

O destino desta ou daquela ideia - científica, técnica, política - depende de muitas circunstâncias. E não menos importante na forma como essa ideia será apresentada, em que imagem ela aparecerá para o público em geral. Quer a forma de realização seja seca e difícil de perceber, ou, pelo contrário, a manifestação da ideia será brilhante, captando a nossa atenção mesmo contra a nossa vontade.

O triângulo impossível tem um destino feliz. Em 1961 pintor holandês Moritz Escher completou a litografia que chamou de A Cachoeira. O artista percorreu um longo mas rápido caminho desde a própria ideia de um triângulo impossível até sua incrível incorporação artística. Lembre-se de que o artigo de Penrose apareceu em 1958.

No centro da "Cachoeira" estão mostrados dois triângulos impossíveis. Um triângulo é grande, outro triângulo está localizado dentro dele. Pode parecer que três triângulos impossíveis idênticos são representados. Mas esse não é o ponto, o design apresentado é bastante complicado.

À primeira vista, seu absurdo não será imediatamente visível para todos, pois todas as conexões apresentadas são possíveis. como se costuma dizer, localmente, ou seja, em uma pequena área do desenho, tal desenho é viável ... Mas em geral é impossível! Suas peças individuais não se encaixam, não concordam umas com as outras.

E para entender isso, devemos despender certos esforços intelectuais e visuais.

Vamos fazer uma viagem ao longo das bordas da estrutura. Este caminho é notável porque ao longo dele, ao que parece, o nível em relação ao plano horizontal permanece inalterado. Movendo-nos por este caminho, não subimos nem descemos.

E tudo ficaria bem, familiar, se no final do caminho - ou seja, no ponto - não descobríssemos que, em relação ao ponto de partida, de alguma forma misteriosamente subíamos na vertical!

Para chegar a esse resultado paradoxal, devemos escolher esse caminho, e até monitorar o nível em relação ao plano horizontal... Não é uma tarefa fácil. Em sua decisão, Escher veio em auxílio de ... água. Vamos relembrar a canção sobre movimento do maravilhoso ciclo vocal de Franz Schubert "The Beautiful Miller's Woman":

E primeiro na imaginação, e depois nas mãos de um mestre maravilhoso, estruturas nuas e secas se transformam em aquedutos, por onde correm correntes de água limpas e rápidas. O seu movimento capta o nosso olhar, e agora, contra a nossa vontade, corremos rio abaixo, seguindo todas as voltas e curvas do caminho, junto com o riacho quebramos, caímos nas lâminas de um moinho de água, depois corremos rio abaixo novamente. .

Percorremos esse caminho uma, duas, um terço ... e só então percebemos: descendo e s, de alguma forma de uma forma fantástica vamos subir ao topo! A surpresa inicial evolui para uma espécie de desconforto intelectual. Parece que nos tornamos vítima de algum tipo de brincadeira, objeto de algum tipo de piada que ainda não foi compreendida.

E novamente repetimos este caminho por um estranho conduto, agora devagar, com cautela, como que temendo uma captura de uma imagem paradoxal, percebendo criticamente tudo o que acontece neste misterioso caminho.

Estamos tentando desvendar o mistério que nos surpreendeu e não podemos escapar de seu cativeiro até encontrarmos a fonte oculta que está em sua base e coloca o redemoinho inimaginável em movimento incessante.

O artista enfatiza especificamente, impõe-nos a percepção de suas pinturas como imagens de objetos tridimensionais reais. A tridimensionalidade é realçada pela imagem de poliedros bastante reais nas torres, alvenaria com a mais fiel representação de cada tijolo nas paredes do aqueduto, terraços elevados com jardins ao fundo. Tudo é projetado para convencer o espectador da realidade do que está acontecendo. E graças à arte e à excelente tecnologia, esse objetivo foi alcançado.

Quando saímos do cativeiro em que nossa consciência cai, começamos a comparar, comparar, analisar, descobrimos que a base, a fonte dessa imagem está oculta nas características do design.

E obtivemos mais uma - prova "física" da impossibilidade do "triângulo impossível": se tal triângulo existisse, também existiria a "Cachoeira" de Escher, que é essencialmente uma máquina de movimento perpétuo. Mas uma máquina de movimento perpétuo é impossível, portanto, o "triângulo impossível" também é impossível. E, talvez, essa "evidência" seja a mais convincente.

O que fez de Moritz Escher um fenômeno, uma pessoa única que não teve predecessores óbvios na arte e que não pode ser imitada? Esta é uma combinação de planos e volumes, muita atenção às formas bizarras do microcosmo - vivas e não vivas, a pontos de vista incomuns sobre coisas comuns. O principal efeito de suas composições é o efeito do surgimento de relações impossíveis entre objetos familiares. Essas situações à primeira vista podem assustar e causar um sorriso. Você pode olhar alegremente para a diversão que o artista oferece ou pode mergulhar seriamente nas profundezas da dialética.

Moritz Escher mostrou que o mundo pode não ser do jeito que vemos e estamos acostumados a percebê-lo - você só precisa olhar para ele de um novo ângulo de visão diferente!

Moritz Escher

Moritz Escher teve mais sorte como cientista do que como artista. Suas gravuras e litografias eram vistas como chaves para provar teoremas ou contra-exemplos originais que desafiavam o senso comum. Na pior das hipóteses, eles foram vistos como excelentes ilustrações para tratados científicos sobre cristalografia, teoria de grupos, psicologia cognitiva ou computação gráfica. Moritz Escher trabalhou no campo das relações espaço-temporais e sua identidade, usou padrões básicos de mosaicos, aplicando-lhes transformações. Esse Grande mestre ilusões de ótica. As gravuras de Escher retratam não o mundo das fórmulas, mas a beleza do mundo. Seu depósito intelectual se opõe fundamentalmente às criações ilógicas dos surrealistas.

O artista holandês Moritz Cornelius Escher nasceu em 17 de junho de 1898 na província da Holanda. A casa onde Escher nasceu é agora um museu.

Desde 1907, Moritz estuda carpintaria e toca piano, estudando na ensino médio. As notas de Moritz em todas as disciplinas eram ruins, exceto desenho. A professora de arte percebeu o talento do menino e o ensinou a fazer xilogravuras.

Em 1916, Escher realiza sua primeira obra gráfica, uma gravura sobre linóleo roxo - um retrato de seu pai G. A. Escher. Ele visita a oficina do artista Gert Stiegemann, que tinha uma gráfica. As primeiras gravuras de Escher foram impressas nesta máquina.

Em 1918-1919, Escher frequentou o Technical College na cidade holandesa de Delft. Ele recebe um adiamento do serviço militar para continuar seus estudos, mas devido a problemas de saúde, Moritz não aguentou currículo, e foi expulso. Como resultado, ele nunca recebeu ensino superior. Ele estuda na Escola de Arquitetura e Ornamentação em Haarlem, onde recebe aulas de desenho de Samuel Jeserin de Mesquite, que teve uma influência formativa na vida e obra de Escher.

Em 1921 a família Escher visitou a Riviera e a Itália. Fascinado pela vegetação e flores do clima mediterrâneo, Moritz fez desenhos detalhados de cactos e oliveiras. Ele esboçou muitos esboços de paisagens montanhosas, que mais tarde formaram a base de seu trabalho. Mais tarde, retornaria constantemente à Itália, que lhe serviria de fonte de inspiração.

Escher começa a experimentar uma nova direção para si mesmo, mesmo assim em suas obras há imagens espelhadas, figuras de cristal e esferas.

O final dos anos vinte foi um período muito frutífero para Moritz. Seu trabalho foi exibido em muitas exposições na Holanda e, em 1929, sua popularidade atingiu tal nível que cinco exposições individuais foram realizadas em um ano na Holanda e na Suíça. Foi durante este período que as pinturas de Escher foram chamadas pela primeira vez de mecânicas e "lógicas".

Asher viaja muito. Vive na Itália e na Suíça, Bélgica. Ele estuda mosaicos mouriscos, faz litografias, gravuras. Com base em esboços de viagem, ele cria sua primeira pintura da realidade impossível Still Life with Street.

No final dos anos trinta, Escher continuou a experimentar mosaicos e transformações. Ele cria um mosaico em forma de dois pássaros voando um em direção ao outro, que serviu de base para a pintura "Dia e Noite".

Em maio de 1940, os nazistas ocuparam a Holanda e a Bélgica e, em 17 de maio, Bruxelas também caiu na zona de ocupação, onde Escher e sua família viviam na época. Eles encontram uma casa em Varna e se mudam para lá em fevereiro de 1941. Até o fim de seus dias, Escher viverá nesta cidade.

Em 1946, Escher se interessou pela tecnologia de impressão em rotogravura. E embora essa tecnologia fosse muito mais complicada do que a usada por Escher antes e exigisse mais tempo para criar uma imagem, os resultados foram impressionantes - linhas finas e reprodução precisa de sombras. Um dos mais trabalho famoso na impressão de rotogravura "Dewdrop" foi concluída em 1948.

Em 1950, Moritz Escher ganhou popularidade como palestrante. Então, em 1950, sua primeira exposição individual foi realizada nos Estados Unidos e sua obra começou a ser comprada. 27 de abril de 1955 Moritz Escher é nomeado cavaleiro e se torna um nobre.

Em meados da década de 1950, Escher combina mosaicos com figuras que alcançam o infinito.

No início dos anos 60, foi publicado o primeiro livro com as obras de Escher, Grafiek en Tekeningen, no qual o próprio autor comentou 76 obras. O livro ajudou a ganhar entendimento entre matemáticos e cristalógrafos, incluindo alguns na Rússia e no Canadá.

Em agosto de 1960, Escher deu uma palestra sobre cristalografia em Cambridge. Os aspectos matemáticos e cristalográficos do trabalho de Escher estão se tornando muito populares.

Em 1970 depois nova série As operações da Escher mudaram-se para casa nova em Laren, que tinha um estúdio, mas problemas de saúde impossibilitavam o trabalho duro.

Moritz Escher morreu em 1971, aos 73 anos. Escher viveu o suficiente para ver The World of M.C. Escher traduzido para o língua Inglesa e ficou muito satisfeito com isso.

Várias imagens impossíveis são encontradas nos sites de matemáticos e programadores. maioria versão completa dos que vimos, em nossa opinião, é o site de Vlad Alekseev

Este site apresenta não só uma vasta gama de pinturas famosas, incluindo M. Escher, mas também imagens animadas, desenhos engraçados de animais impossíveis, moedas, selos, etc. Este site vive, é atualizado periodicamente e reabastecido com desenhos incríveis.

Hoje estou abrindo uma nova seção chamada “Corte”, onde postarei desenhos, moldes, além de um padrão de ilusões de ótica. Hoje vamos fazer um triângulo impossível de papel. Como não podemos criar um triângulo impossível, criaremos um modelo que consideraremos de um determinado ângulo.

1. Baixe e imprima
2. Siga as instruções na imagem

Como considerar corretamente um triângulo impossível?

Como a ilusão se baseia no desenho ambíguo do cubo em vista isométrica. Então, nesta orientação, os cantos mais próximos do visualizador e o canto mais distante do visualizador irão coincidir. Isso significa que ao descer pela aresta mais próxima do cubo, e pelas duas arestas inferiores, voltamos a ponto de partida onde o caminho realmente termina no canto mais distante.

Este impossível triângulo de Penrose

Em tal área Arte pictórica como pintar pele humana, última tendência hoje existem figuras de ilusões de ótica, em particular o triângulo de Penrose, ou tribar, que também é chamado de impossível. Pela primeira vez esta forma foi descoberta, ou inventada, pelo pintor sueco Oscar Reutersvärd, que a apresentou ao mundo na forma de um conjunto de cubos na virada de 1935. Mais tarde, já na década de 80 do nosso século, o padrão tribar foi impresso na Suécia em um selo postal.

No entanto, a imagem do impossível triângulo de Penrose, que pertence à categoria das ilusões de ótica, tornou-se amplamente conhecida em 1958, após a publicação da publicação do matemático inglês Roger Penrose sobre figuras impossíveis, publicada no British Journal of Psychology. Inspirado por esta postagem, pintor famoso da Holanda Maurits Escher criou em 1961 uma de suas obras mais populares "Waterfall".

Ilusão de óptica

As ilusões de ótica na pintura são uma ilusão visual de percepção. imagem real, feito por artistas um certo arranjo de linhas em um plano. Ao mesmo tempo, o espectador avalia incorretamente o tamanho dos ângulos da figura ou o comprimento de seus lados, que é objeto de estudo de subseções da psicologia como, por exemplo, terapia gestalt. Além de Escher, outro gostava de criar ilusões de ótica. grande artista- mundialmente famoso El Salvador Dalí. Uma ilustração vívida de sua paixão é, por exemplo, a pintura "Cisnes refletidos em elefantes".

O triângulo acima também se refere a ilusões de ótica, mais precisamente àquela parte delas, que é chamada figuras impossíveis. Eles são chamados assim por causa do sentimento que surge ao olhar para tal forma que sua existência em mundo real simplesmente impossível.

Aplicação de ilusões

Devido à sua forma única, objetos ilusórios servem como um assunto muita atenção não apenas artistas e tatuadores - um triângulo feito por você ou com a ajuda de profissionais também pode funcionar como logotipo de empresa. Grandes exemplos desse uso de formas ilusórias são: o logotipo de uma banda musical psicodélica tocando música folk, Conundum in Deed, que é um cubo impossível, ou a marca do fabricante de chips Digilent Inc, que é a clássica imagem triangular de Penrose.

Você pode criar seu próprio logotipo sem recorrer a profissionais. Para fazer isso, basta seguir as instruções, seguindo as quais você pode fazer um desenho simples no papel ou em um tablet e fazer figura volumétrica. Pode ser colocado como letreiro ou publicidade exterior da sua loja.

Como fazer você mesmo

Instruções passo a passo sobre como desenhar uma tribar usando o Adobe Illustrator:

1. Primeiro você precisa fazer 3 quadrados com a ferramenta Retângulo. Para fazer isso, primeiro você precisa ir ao menu Exibir e habilitar Guias Inteligentes.
2. Agora você precisa selecionar tudo e ir para o menu Object, depois para Transform e abrir Transform each, onde na janela Scale você precisa colocar o valor Vertical Scale = 86,6% e clicar em OK.
3. Agora você precisa definir cada face com seu próprio ângulo de rotação e, para isso, vá para Janela aberta Transformar. Lá, primeiro coloque o valor para o chanfro (Shear) e depois para a rotação (Rotate): a superfície superior do cubo é Shear +30 °, Rotate -30 °; superfície direita - Cisalhamento +30°, Rotação +30°; superfície esquerda — cisalhamento -30°, rotação -30°.
4. Agora, usando as linhas Smart Guides, você precisa unir todas as partes do cubo: para isso, prenda o canto de um dos lados com o mouse e puxe-o para o outro, alinhando-os.
5. Nesta fase, você precisa girar o cubo em 30°: para fazer isso, vá para Object, selecione Transform and Rotate, defina o valor do ângulo para 30° e clique em OK.
6. Como você precisa de 6 cubos para obter um tri-bar, você deve selecionar o cubo, pressionar Alt e Shift e arrastar o objeto selecionado para o lado com o mouse, esticando-o na direção horizontal. Sem remover a seleção, pressione CMD + D 6 vezes, temos 6 cubos.
7. Deixando a seleção no último cubo, pressione Enter e na janela Mover altere o valor do ângulo para 240 ° e pressione Copiar. Em seguida, pressione novamente CMD + D até obter 6 cópias.
8. Agora repita tudo: pressione Enter novamente, selecione o último cubo, apenas defina o ângulo para 120 ° e faça apenas 5 cópias.
9. Usando a Ferramenta de Seleção, você precisa selecionar a superfície superior da forma (você pode recolori-la para torná-la mais clara), abrir o menu Objeto - Organizar - Enviar para trás. Agora selecione a superfície pintada do cubo superior, vá para Object - Arrange - Bring to Front.

A ilusão de Penrose está pronta. Pode ser postado em sua página em redes sociais ou blog, ou usado para negócios.

Triângulo de Penrose- uma das principais figuras impossíveis, também conhecidas pelos nomes triângulo impossível E tribar.

Triângulo de Penrose (em cores)

História

Essa figura ganhou grande popularidade após a publicação de um artigo sobre figuras impossíveis no British Journal of Psychology pelo matemático inglês Roger Penrose em 1958. Também neste artigo, o triângulo impossível foi retratado em sua forma mais geral - em três feixes conectados uns aos outros em ângulos retos. Influenciado por este artigo, o artista holandês Maurits Escher criou uma de suas famosas litografias Waterfall.

Impressão 3D do triângulo de Penrose

esculturas

A escultura de 13 metros de um triângulo impossível feita de alumínio foi erguida em 1999 na cidade de Perth (Austrália)

A mesma escultura ao mudar o ponto de vista

outras figuras

Embora seja perfeitamente possível construir análogos do triângulo de Penrose com base em polígonos regulares, o efeito visual deles não é tão impressionante. À medida que o número de lados aumenta, o objeto parece simplesmente dobrado ou torcido.

Veja também

• Três lebres (inglês) três lebres)

Ilusionismo (filosofia)

Ilusionismo - em sentido amplo, é o nome de uma posição filosófica em relação a determinados fenômenos; pela forma como tais fenômenos são considerados; em sentido estrito, é um nome para várias teorias filosóficas específicas.

ilusão da parede do café

A ilusão da parede do café é uma ilusão de ótica criada pela ação combinada de diferentes níveis de mecanismos neurais: neurônios da retina e neurônios do córtex visual.

figura impossível

Uma figura impossível é um dos tipos de ilusões de ótica, uma figura que à primeira vista parece ser a projeção de um objeto tridimensional comum, após um exame mais detalhado do qual se tornam visíveis as conexões contraditórias dos elementos da figura. Cria-se uma ilusão da impossibilidade da existência de tal figura no espaço tridimensional.

cubo impossível

O cubo impossível é uma figura impossível inventada por Escher para sua litografia Belvedere. Esta é uma figura bidimensional que se parece com uma perspectiva de cubo tridimensional, incompatível com um cubo real. Na litografia de Belvedere, um menino sentado na base de um prédio segura um cubo impossível. Um desenho de um cubo de Necker semelhante está a seus pés, enquanto o próprio edifício contém as mesmas propriedades de um cubo impossível.

O cubo impossível empresta a ambigüidade do cubo de Necker, no qual as bordas são desenhadas como segmentos de linha e que podem ser interpretadas em uma das duas orientações tridimensionais diferentes.

O cubo impossível é geralmente desenhado como um cubo de Necker, com arestas (segmentos) substituídas por barras aparentemente sólidas.

Na litografia de Escher, as quatro junções superiores das barras e a interseção superior das barras correspondem a uma das duas interpretações do cubo de Necker, enquanto as quatro junções inferiores e a interseção inferior correspondem à outra interpretação. Outras variações do cubo impossível combinam essas propriedades de outras maneiras. Por exemplo, um dos cubos na figura contém todas as oito conexões de acordo com uma interpretação do cubo de Necker, e ambas as interseções correspondem a outra interpretação.

A aparente solidez das barras dá ao cubo impossível mais ambiguidade visual do que o cubo Necker, que é menos provável de ser percebido como um objeto impossível. A ilusão joga com a interpretação do olho humano de um desenho bidimensional como um objeto tridimensional. Objetos tridimensionais podem parecer impossíveis quando vistos de um certo ângulo e fazendo cortes no objeto no lugar certo ou usando uma perspectiva alterada, mas a experiência humana com objetos retangulares torna percepções impossíveis mais prováveis ​​do que ilusões na realidade.

Outros artistas, incluindo Jos De Mey, também pintaram peças cúbicas impossíveis.

Uma fotografia fabricada do cubo supostamente impossível foi publicada na edição de junho de 1966 da Scientific American, onde foi chamada de "gaiola Frimisch". O cubo impossível foi apresentado em um selo postal austríaco.

Tridente Impossível

Blyweth, também conhecido como poyut ou forcado do diabo, é uma figura inexplicável ilusão de óptica e uma figura impossível. Parece que três hastes cilíndricas se transformam em duas barras.

Ruthersward, Oscar

Oskar Rutersvärd (a grafia do sobrenome aceita na literatura de língua russa; mais corretamente, Reutersverd), sueco. Oscar Reutersvärd (29 de novembro de 1915, Estocolmo, Suécia - 2 de fevereiro de 2002, Lund) - "o pai da figura impossível", um artista sueco que se especializou em retratar figuras impossíveis, ou seja, aquelas que podem ser retratadas (dadas as inevitáveis ​​violações de perspectiva ao representar o espaço tridimensional no papel), mas não pode ser criado. Uma de suas figuras recebeu desenvolvimento adicional como "triângulo de Penrose" (1934). O trabalho de Ruthersward pode ser comparado com o trabalho de Escher, mas se este usou figuras impossíveis como "espinha dorsal" para retratar mundos fantásticos, então Ruthersward estava interessado apenas em figuras como tais. Durante sua vida, Rutersvärd retratou cerca de 2.500 figuras em projeção isométrica. Os livros de Rutersvärd foram publicados em vários idiomas, incluindo russo.

Escher, Maurits Cornelis

Maurits Cornelis Escher (holandês. Maurits Cornelis Escher [ˈmʌu̯rɪts kɔrˈneːlɪs ˈɛʃər̥]; 17 de junho de 1898, Leeuwarden, Holanda - 27 de março de 1972, Hilversum, Holanda) foi um artista gráfico holandês. Conhecido principalmente por suas litografias conceituais, xilogravuras e gravuras em metal, nas quais explorou com maestria os aspectos plásticos dos conceitos de infinito e simetria, bem como as características da percepção psicológica de objetos tridimensionais complexos, os mais representante brilhante arte imp.

ilusões	Penrose Triângulo

Também conhecido pelos nomes triângulo impossível E tribar.

História

Essa figura ganhou grande popularidade após a publicação de um artigo sobre figuras impossíveis no British Journal of Psychology pelo matemático inglês Roger Penrose em 1958. Neste artigo, o triângulo impossível foi representado em sua forma mais geral - na forma de três vigas conectadas umas às outras em ângulos retos. Influenciado por este artigo, o artista holandês Maurits Escher criou uma de suas famosas litografias Waterfall.

esculturas

A escultura de 13 metros de um triângulo impossível feita de alumínio foi erguida em 1999 na cidade de Perth (Austrália)

Deutsches Technikmuseum Berlin fevereiro de 2008 0004.JPG

A mesma escultura ao mudar o ponto de vista

outras figuras

Embora seja perfeitamente possível construir análogos do triângulo de Penrose com base em polígonos regulares, o efeito visual deles não é tão impressionante. À medida que o número de lados aumenta, o objeto parece simplesmente dobrado ou torcido.

Veja também

• Três lebres (inglês) três lebres )

Escreva uma resenha sobre o artigo "Triângulo de Penrose"

Um trecho caracterizando o Triângulo de Penrose

Tendo dito tudo o que lhe foi ordenado, Balashev disse que o imperador Alexandre queria a paz, mas não iniciaria negociações exceto com a condição de que ... Aqui Balashev hesitou: lembrou-se daquelas palavras que o imperador Alexandre não escreveu em uma carta, mas que ele certamente ordenou que Saltykov os inserisse no rescrito e que ele ordenou que Balashev entregasse a Napoleão. Balashev lembrou-se destas palavras: "até que nenhum inimigo armado permaneça em solo russo", mas algum tipo de sentimento complexo o deteve. Ele não poderia dizer essas palavras mesmo que quisesse. Ele hesitou e disse: com a condição de que as tropas francesas se retirem para além do Neman.
Napoleão percebeu o constrangimento de Balashev ao dizer últimas palavras; seu rosto tremia, a panturrilha esquerda de sua perna começou a tremer moderadamente. Sem se mover de seu assento, ele começou a falar em voz mais alta e mais apressada do que antes. Durante o discurso subsequente, Balashev, mais de uma vez baixando os olhos, observou involuntariamente o tremor da panturrilha da perna esquerda de Napoleão, que se intensificava quanto mais ele erguia a voz.
“Desejo paz não menos que o imperador Alexandre”, começou ele. “Não tenho feito de tudo por dezoito meses para obtê-lo? Estou esperando dezoito meses por uma explicação. Mas, para iniciar as negociações, o que é exigido de mim? ele disse, franzindo a testa e fazendo um gesto enérgico de questionamento com sua pequena mão branca e gorducha.
- A retirada das tropas para o Neman, soberano, - disse Balashev.
- Para o Neman? repetiu Napoleão. - Então agora você quer recuar para trás do Neman - apenas para o Neman? repetiu Napoleão, olhando diretamente para Balashev.
Balashev curvou a cabeça respeitosamente.
Em vez de exigir quatro meses atrás a retirada da Numberania, agora eles exigiam a retirada apenas além do Neman. Napoleão virou-se rapidamente e começou a andar pela sala.
- Você diz que sou obrigado a recuar além do Neman para iniciar as negociações; mas há dois meses eles exigiram que eu recuasse pelo Oder e pelo Vístula exatamente da mesma maneira e, apesar disso, você concorda em negociar.
Ele caminhou silenciosamente de um canto da sala para o outro e novamente parou na frente de Balashev. Seu rosto parecia petrificado em sua expressão severa, e sua perna esquerda tremia ainda mais rápido do que antes. Napoleão conhecia esse tremor de sua panturrilha esquerda. La vibração de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [O tremor da minha panturrilha esquerda é grande sinal,] ele disse mais tarde.

O impossível ainda é possível. E uma confirmação vívida disso é o impossível triângulo de Penrose. Descoberto no século passado, ainda é frequentemente encontrado em Literatura científica. E não importa o quão surpreendente possa parecer, você mesmo pode fazer. E é bem fácil fazer isso. Muitos amantes de desenhar ou colecionar origami conseguem fazer isso há muito tempo.

O significado do triângulo de Penrose

Existem vários nomes para esta figura. Alguns chamam de triângulo impossível, outros apenas tribar. Mas na maioria das vezes você pode encontrar a definição exatamente do "triângulo de Penrose".

Sob essas definições, uma das principais figuras impossíveis é entendida. A julgar pelo nome, é impossível obter tal figura na realidade. Mas, na prática, foi comprovado que ainda é possível fazer isso. Só vai tomar forma se você olhar de um certo ponto no ângulo certo. De todos os outros lados, a figura é bastante real. Representa três arestas de um cubo. E é fácil fazer esse design.

Histórico de descoberta

O Triângulo de Penrose foi descoberto em 1934 pelo artista sueco Oscar Reutersvärd. A figura foi apresentada na forma de cubos montados juntos. No futuro, o artista passou a ser chamado de "pai das figuras impossíveis".

Talvez o desenho de Reutersvärd permanecesse pouco conhecido. Mas em 1954, o matemático sueco Roger Penrose escreveu um artigo sobre números impossíveis. Este foi o segundo nascimento do triângulo. É verdade que o cientista o apresentou de uma forma mais familiar. Ele não usou cubos, mas vigas. Três vigas foram conectadas entre si em um ângulo de 90 graus. A diferença também era que Reutersvärd usava perspectiva paralela ao pintar. E Penrose aplicou uma perspectiva linear, o que tornou o desenho ainda mais impossível. Tal triângulo foi publicado em 1958 em uma revista de psicologia britânica.

Em 1961, o artista Maurits Escher (Holanda) criou uma de suas litografias mais populares, Waterfall. Foi criado sob a impressão causada pelo artigo sobre números impossíveis.

Nos anos oitenta do século passado, tribar e outras figuras impossíveis foram retratadas no estado selos postais Suécia. Isso continuou por vários anos.

No final do século passado (mais precisamente em 1999), foi criada na Austrália uma escultura de alumínio representando o impossível triângulo de Penrose. Atingiu uma altura de 13 metros. Esculturas semelhantes, apenas em tamanho menor, também são encontradas em outros países.

impossível na realidade

Como você deve ter adivinhado, o triângulo de Penrose não é realmente um triângulo no sentido usual. São três lados de um cubo. Mas se você olhar de um certo ângulo, terá a ilusão de um triângulo devido ao fato de que 2 ângulos coincidem completamente no plano. O próximo do visualizador e os cantos distantes são visualmente combinados.

Se você for cuidadoso, pode adivinhar que o tribar nada mais é do que uma ilusão. A aparência real da figura pode dar uma sombra dela. Isso mostra que, de fato, os cantos não estão conectados. E, claro, tudo fica claro se você pegar a figura.

Fazendo uma figura com suas próprias mãos

O triângulo de Penrose pode ser montado de forma independente. Por exemplo, de papel ou papelão. E os diagramas ajudarão nisso. Eles só precisam ser impressos e colados. Existem dois diagramas na Internet. Um deles é um pouco mais fácil, o outro é mais difícil, mas mais popular. Ambos são mostrados nas fotos.

O triângulo Penrose será um produto interessante que certamente agradará aos convidados. Certamente não passará despercebido. O primeiro passo para criá-lo é preparar o esquema. É transferido para papel (papelão) usando uma impressora. E então é ainda mais fácil. Só precisa ser cortado ao redor do perímetro. O diagrama já possui todas as linhas necessárias. Será mais conveniente trabalhar com papel mais grosso. Se o diagrama for impresso em papel fino, mas você quiser algo mais denso, basta aplicar a peça em branco no material selecionado e recortar ao longo do contorno. Para evitar que o circuito se mova, ele pode ser preso com clipes de papel.

Em seguida, você precisa determinar as linhas ao longo das quais a peça de trabalho será dobrada. Via de regra, é representado no diagrama, dobramos a peça. A seguir, determinamos os locais sujeitos à colagem. Eles são revestidos com cola PVA. A parte é combinada em uma única figura.

Detalhe pode ser pintado. E você pode inicialmente usar papelão colorido.

Desenhe uma figura impossível

O Triângulo de Penrose também pode ser desenhado. Para começar, um quadrado simples é desenhado na folha. Seu tamanho não importa. Com a base no lado inferior do quadrado, um triângulo é desenhado. Pequenos retângulos são desenhados em seus cantos internos. Seus lados precisarão ser apagados, deixando apenas aqueles que têm em comum com o triângulo. O resultado deve ser um triângulo com cantos truncados.

Uma linha reta é desenhada do lado esquerdo do canto superior inferior. A mesma linha, mas um pouco mais curta, é desenhada no canto inferior esquerdo. Uma linha que se estende do canto direito é traçada paralelamente à base do triângulo. Acontece que a segunda dimensão.

De acordo com o princípio da segunda, a terceira dimensão é desenhada. Somente neste caso, todas as linhas são baseadas nos ângulos da figura, não na primeira, mas na segunda dimensão.