Hem › Salong › Grigory Perelman bevisade att det inte finns någon Gud. Matematiker Perelman Yakov: bidrag till vetenskapen

Grigory Perelman bevisade att det inte finns någon Gud. Matematiker Perelman Yakov: bidrag till vetenskapen

« Millennium Challenge”, löst av ett ryskt matematiskt geni, är relaterat till universums ursprung. Inte varje matematiker får förstå essensen av gåtan ...

MINNESPEL

Tills nyligen lovade matematiken inte vare sig ära eller rikedom till sina "präster". De till och med Nobelpriset gav inte. Det finns ingen sådan nominering. I själva verket, enligt en mycket populär legend, var Nobels fru en gång otrogen mot honom med en matematiker. Och som vedergällning berövade den rike mannen alla deras chicane bröder hans respekt och prispengar.

Situationen förändrades år 2000. Det privata Clay Mathematics Institute har valt ut sju av de flesta svåra uppgifter och lovade att betala en miljon dollar för varje beslut.

Matematiker behandlades med respekt. 2001 släppte skärmarna till och med filmen "A Beautiful Mind", vars huvudperson var en matematiker.

Nu är bara människor långt från civilisationen inte medvetna: en av de utlovade miljonerna - den allra första - har redan tilldelats. Priset delades ut till en rysk medborgare, bosatt i S:t Petersburg Grigory Perelman. Han bevisade Poincaré-förmodan, ett pussel som trotsade vem som helst i över 100 år och som genom hans ansträngningar blev ett teorem.

Vår söta 44-åriga skäggiga man torkade sig över näsan runt om i världen. Och fortsätter nu att hålla den - världen - i spänning. Eftersom det inte är känt om matematikern ärligt talat kommer att förtjäna en miljon dollar eller vägra. Den progressiva allmänheten i många länder är naturligtvis upprörd. Åtminstone tidningar på alla kontinenter krönika finansiella och matematiska intriger.

Och mot bakgrunden av dessa fascinerande aktiviteter - spådom och delning av andras pengar - gick innebörden av Perelmans prestation på något sätt förlorad. Ordföranden för Clay Institute, Jim Carlson, uttalade naturligtvis en gång, säger de, målet prisfond– inte så mycket ett sökande efter svar som ett försök att höja den matematiska vetenskapens prestige och att intressera unga människor för det. Men ändå, vad är poängen?

Grisha i sin ungdom - redan då var han ett geni.

POINCARE HYPOTES - VAD ÄR DET?

Gåtan, löst av det ryska geniet, påverkar grunderna för den sektion av matematik som kallas topologi. Det - topologi - kallas ofta "geometri på en gummiduk." Det handlar om fastigheter geometriska former, som bevaras om formen sträcks, vrids, böjs. Det är med andra ord deformerat utan brott, skärningar och lim.

Topologi är viktig för matematisk fysik eftersom den tillåter oss att förstå rymdens egenskaper. Eller utvärdera det utan att kunna se formen på detta utrymme utifrån. Till exempel vårt universum.

När de förklarar Poincare-förmodan börjar de så här: föreställ dig en tvådimensionell sfär - ta en gummiskiva och dra den över bollen. Så att skivans omkrets samlas vid en punkt. På samma sätt kan du till exempel dra av en sportryggsäck med sladd. Resultatet är en sfär: för oss - tredimensionell, men ur matematikens synvinkel - bara tvådimensionell.

Sedan erbjuder de sig att dra samma skiva på en munk. Det verkar fungera. Men kanterna på skivan kommer att konvergera till en cirkel, som inte längre kan dras in i en punkt - det kommer att skära munken.

Som han skrev i sin populär bok annan Rysk matematiker, Vladimir Uspensky, "Till skillnad från tvådimensionella sfärer är tredimensionella sfärer otillgängliga för vår direkta observation, och det är lika svårt för oss att föreställa oss dem som det är för Vasilij Ivanovitj från det välkända anekdotkvadrattrinomialet."

Så, enligt Poincaré-hypotesen, är en tredimensionell sfär den enda tredimensionella sak vars yta kan dras in i en punkt av någon form av hypotetisk "hypercord".

Grigory Perelman: - Tänk bara, Newtons binomial ...

Jules Henri Poincare föreslog detta 1904. Nu har Perelman övertygat alla som förstår att den franske topologen hade rätt. Och förvandlade hans hypotes till ett teorem.

Beviset hjälper till att förstå vilken form vårt universum har. Och det låter oss ganska rimligt anta att det är samma tredimensionella sfär.

Men om universum är den enda "figuren" som kan dras samman till en punkt, då kan den förmodligen också sträckas från en punkt. Vilket fungerar som en indirekt bekräftelse på Big Bang-teorin, som hävdar att universum har sitt ursprung bara från punkten.

Det visar sig att Perelman tillsammans med Poincare upprörde de så kallade kreationisterna – supportrar gudomlig början universum. Och de spillde vatten på materialistiska fysikers kvarn.

Den geniale matematikern från S:t Petersburg, Grigory Perelman, som blev känd över hela världen för att bevisa Poincaré-förmodan, förklarade slutligen sitt avslag på miljonpriset som delades ut för detta. Som det står" TVNZ", avslöjade den tillbakadragna vetenskapsmannen sig själv i ett samtal med en journalist och producent av filmbolaget "President-Film", som, med Perelmans samtycke, kommer att spela in långfilmen "Formula of the Universe" om honom.

Alexander Zabrovsky hade turen att prata med den store matematikern - han lämnade Moskva för Israel för några år sedan och gissade först att kontakta Grigory Yakovlevichs mamma genom det judiska samhället i St. Petersburg, efter att ha hjälpt henne. Hon pratade med sin son, och efter hennes goda karaktärisering tackade han ja till ett möte. Detta kan verkligen kallas en prestation - journalisterna kunde inte "fånga" vetenskapsmannen, även om de tillbringade dagar med att sitta vid hans ingång.

Som Zabrovsky berättade för tidningen, gav Perelman intrycket av "en absolut sansad, frisk, adekvat och normal person": "Realistisk, pragmatisk och förnuftig, men inte utan sentimentalitet och spänning ... Allt som tillskrevs honom i pressen , som om han var "från sitt sinne", - fullständigt nonsens! Han vet precis vad han vill och vet hur han ska uppnå målet. "

Filmen, för vilken matematikern tog kontakt och gick med på att hjälpa till, kommer inte att handla om honom själv, utan om samarbetet och konfrontationen mellan de tre största matematiska skolorna i världen: ryska, kinesiska och amerikanska, som är de mest avancerade i studievägen och hantera universum.

På frågan varför Perelman vägrade en miljon svarade han:

"Jag vet hur man hanterar universum. Och säg mig - varför ska jag springa efter en miljon?"

Vetenskapsmannen är kränkt, som han kallas i rysk press

Perelman förklarade att han inte kommunicerar med journalister, eftersom de inte är intresserade av vetenskap, utan med personliga och inhemska frågor - från skälen till att vägra en miljon till frågan om att klippa hår och naglar.

Konkret vill han inte kontakta rysk media på grund av den respektlösa attityden mot honom. Till exempel i pressen kallar de honom Grisha, och sådan förtrogenhet kränker.

Grigory Perelman sa det sedan dess skolår van vid det som kallas "hjärnträning". Kom ihåg hur han, som en "delegat" från Sovjetunionen, tog emot guldmedalj vid den matematiska olympiaden i Budapest sa han: ”Vi försökte lösa problem där förmågan att tänka abstrakt var en oumbärlig förutsättning.

Det var i denna abstraktion från matematisk logik som huvudpoäng dagliga träningspass. För att hitta rätt lösning var det nödvändigt att föreställa sig en "bit av världen".

Som exempel på en sådan "svår" uppgift nämnde han följande: "Kom ihåg biblisk legend om hur Jesus Kristus gick på vattnet, som på torra land. Så jag var tvungen att räkna ut hur snabbt han var tvungen att röra sig genom vattnet för att inte ramla igenom.

Sedan dess har Perelman ägnat all sin verksamhet åt att studera problemet med att studera egenskaperna hos universums tredimensionella rymd: "Detta är väldigt intressant. Jag försöker omfamna det oerhörda.

Forskaren skrev sin avhandling under ledning av akademiker Aleksandrov. "Ämnet var enkelt: 'Sadelytor i euklidisk geometri'. Kan du föreställa dig ytor som är lika stora och ojämnt åtskilda från varandra i oändligheten? Vi måste mäta 'håligheterna' mellan dem", förklarade matematikern.

Vad betyder Perelmans upptäckt att skrämma världens underrättelsetjänster

"Universums formel" Poincares uttalande kallas på grund av dess betydelse i studiet av komplexa fysiska processer i teorin om universum och för att det ger ett svar på frågan om universums form. Dessa bevis kommer att spela en stor roll i utvecklingen av nanoteknik."

"Jag lärde mig hur man beräknar tomrum, tillsammans med mina kollegor kommer vi att lära oss mekanismerna för att fylla sociala och ekonomiska "tomrum", sa han. "Tomrum finns överallt. De kan beräknas, och detta ger stora möjligheter ...

Enligt publikationen har omfattningen av vad Grigory Yakovlevich upptäckte, som faktiskt går före dagens världsvetenskap, gjort honom till föremål för ständigt intresse för specialtjänster, inte bara ryska utan också utländska.

Han förstod en del superkunskap som hjälper till att förstå universum. Och här uppstår frågor av det här slaget: "Vad kommer att hända om hans kunskap finner praktisk tillämpning?"

Faktum är att underrättelsetjänsten måste veta - är Perelman, eller snarare hans kunskap, ett hot mot mänskligheten? När allt kommer omkring, om det med hjälp av hans kunskap är möjligt att förvandla universum till en punkt och sedan veckla ut det, kan vi dö eller återfödas i en annan egenskap? Och då blir vi det? Och behöver vi överhuvudtaget hantera universum?

OCH PÅ DENNA TID

Genial mamma: "Ställ inte frågor till oss om pengar!"

När det blev känt att matematikern belönades med Millenniepriset samlades en skara journalister framför hans dörr. Alla ville personligen gratulera Perelman och ta reda på om han skulle ta sin legitima miljon.

Vi knackade på den tunna dörren länge (om vi bara kunde ersätta den med premiumpengar), men matematikern öppnade den inte. Men hans mamma prickade "i" ganska förståeligt direkt från korridoren.

Vi vill inte prata med någon och kommer inte att ge några intervjuer, - skrek Lyubov Leibovna. – Och ställ inte frågor till oss om det här priset och pengarna.

Folk som bodde i samma entré blev mycket förvånade över att se ett plötsligt intresse för Perelman.

Är vår Grisha gift? en av grannarna skrattade. - Åh, jag fick en utmärkelse. Igen. Nej, han tar det inte. Han behöver ingenting alls, lever på en slant, men är lycklig på sitt sätt.

De säger att på tröskeln till matematikern sågs med fulla paket av produkter från butiken. Han förberedde sig för att "behålla belägringen" med sin mor. Förra gången, när hajpen om priset började i pressen, lämnade Perelman inte lägenheten på tre veckor.

FÖRRESTEN

För vad mer ska de ge en miljon dollar ...

År 1998, med medel från miljardären Landon T. Clay, grundades Clay Mathematics Institute i Cambridge (USA) för att popularisera matematik. Den 24 maj 2000 valde institutets experter ut de sju mest förbryllande problemen, enligt deras mening. Och de utsåg en miljon dollar för var och en.

Listan är namngiven .

1. Kockens problem

Det är nödvändigt att avgöra om verifieringen av riktigheten av lösningen av ett problem kan vara längre än att få själva lösningen. Denna logiska uppgift är viktig för specialister inom kryptografi - datakryptering.

2. Riemanns hypotes

Det finns så kallade primtal, som 2, 3, 5, 7, etc. som bara är delbara med sig själva. Hur många det är är inte känt. Riemann trodde att detta kunde fastställas och regelbundenhet i deras distribution kunde hittas. Den som hittar den kommer också att tillhandahålla kryptografitjänster.

3. Birch och Swinnerton-Dyer-hypotes

Problemet är relaterat till att lösa ekvationer med tre okända upphöjda till en potens. Vi måste ta reda på hur vi ska lösa dem, hur svårt det än är.

4. Hodge-hypotes

På 1900-talet upptäckte matematiker en metod för att studera formen komplexa objekt. Tanken är att använda enkla "tegelstenar" istället för själva föremålet, som limmas ihop och bildar dess likhet. Vi måste bevisa att detta alltid är tillåtet.

5. Navier - Stokes ekvationer

Det är värt att komma ihåg dem på planet. Ekvationerna beskriver luftströmmarna som håller den i luften. Nu löses ekvationerna ungefär, enligt ungefärliga formler. Det är nödvändigt att hitta exakta och bevisa att det i tredimensionellt utrymme finns en lösning av ekvationerna, vilket alltid är sant.

6. Yang-Mills ekvationer

Det finns en hypotes i fysikens värld: om en elementarpartikel har en massa, så finns även dess nedre gräns. Men vilken är inte klart. Du måste komma till honom. Detta är kanske den svåraste uppgiften. För att lösa det är det nödvändigt att skapa en "teori om allting" - ekvationer som kombinerar alla krafter och växelverkan i naturen. Den som lyckas kommer säkerligen att få Nobelpriset.

Den sista stora bedriften av ren matematik är beviset på Poincaré-förmodan, uttryckt 1904 och som säger: "varje sammankopplade, enkelt sammankopplade, kompakta tredimensionella grenrör utan gräns, är homeomorf till sfären S 3" av Grigory Perelman från St. Petersburg 2002–2003.

Det finns flera termer i denna fras som jag ska försöka förklara på ett sådant sätt att deras allmänna betydelse blir tydlig för icke-matematiker (jag antar att läsaren har slutat gymnasium och kommer fortfarande ihåg något från skolmatematiken).

Låt oss börja med begreppet homeomorfism, som är centralt i topologin. I allmänhet definieras topologi ofta som "gummigeometri", det vill säga som vetenskapen om egenskaperna hos geometriska bilder som inte förändras under jämna deformationer utan mellanrum och limning, eller snarare, om det är möjligt att etablera en en-till- en och en-till-en överensstämmelse mellan två objekt .

Huvudidén är lättast att förklara med det klassiska exemplet med en mugg och en bagel. Den första kan förvandlas till den andra genom kontinuerlig deformation.

Dessa figurer visar tydligt att muggen är homeomorf till munken, och detta faktum är sant både för deras ytor (tvådimensionella grenrör, kallade torus) och för fyllda kroppar (tredimensionella grenrör med gräns).

Låt oss ge en tolkning av resten av termerna som förekommer i formuleringen av hypotesen.

Ett tredimensionellt grenrör utan gräns. Detta är ett sådant geometriskt objekt, där varje punkt har en grannskap i form av en tredimensionell boll. Exempel på 3-grenrör är för det första hela det tredimensionella rummet, betecknat med R 3 , samt ev. öppna set punkter i R3, till exempel, det inre av en solid torus (munk). Om vi betraktar en sluten solid torus, d.v.s. lägger till dess gränspunkter (ytan på en torus), så får vi redan ett grenrör med en gräns - gränspunkterna har inte grannskap i form av en boll, utan bara i form av en halva av bollen.
Ansluten. Konceptet med anslutning är det enklaste här. Ett grenrör är anslutet om det består av ett stycke, eller, vad som är detsamma, vilka två av dess punkter som helst kan kopplas samman med en kontinuerlig linje som inte går utöver dess gränser.
Helt enkelt uppkopplad. Föreställningen om singelanslutningen är mer komplicerad. Det betyder att varje kontinuerlig stängd kurva som ligger helt och hållet inom ett givet grenrör smidigt kan dras ihop till en punkt utan att lämna detta grenrör. Till exempel är en vanlig tvådimensionell sfär i R 3 helt enkelt ansluten (ett elastiskt band, godtyckligt fäst vid ytan av ett äpple, kan dras samman genom en jämn deformation till en punkt utan att slita det elastiska bandet från äpplet). Å andra sidan är cirkeln och torus inte bara sammankopplade.
Kompakt. Ett grenrör är kompakt om någon av dess homeomorfa bilder har avgränsade dimensioner. Till exempel är ett öppet intervall på en linje (alla punkter i ett segment utom dess ändar) inte kompakt, eftersom det kontinuerligt kan förlängas till en oändlig linje. Men ett slutet segment (med ändar) är ett kompakt grenrör med en gräns: för varje kontinuerlig deformation går ändarna till några specifika punkter, och hela segmentet måste gå in i en avgränsad kurva som förbinder dessa punkter.

Dimensionera grenrör är antalet frihetsgrader vid den punkt som "lever" på den. Varje punkt har en grannskap i form av en skiva med motsvarande dimension, dvs ett intervall av en linje i det endimensionella fallet, en cirkel på planet i det tvådimensionella fallet, en boll i det tredimensionella fallet , etc. Ur topologins synvinkel finns det bara två endimensionella sammankopplade grenrör utan gräns: detta är linjen och cirkeln. Av dessa är endast cirkeln kompakt.

Ett exempel på ett utrymme som inte är ett grenrör är till exempel ett par korsande linjer - trots allt, vid skärningspunkten mellan två linjer har vilket område som helst formen av ett kors, det har inte ett område som skulle i sig vara bara ett intervall (och alla andra punkter har sådana kvarter). Matematiker säger i sådana fall att vi har att göra med en singular mångfald, som har en singular punkt.

Tvådimensionella kompakta grenrör är välkända. Om vi bara tänker orienterad mångfalder utan gräns, sedan bildar de från topologisk synpunkt en enkel, om än oändlig, lista: och så vidare. Varje sådant grenrör erhålls från en sfär genom att limma flera handtag, vars nummer kallas ytans släkte.

Figuren visar ytor av släkten 0, 1, 2 och 3. Hur skiljer sig en sfär från alla ytor i denna lista? Det visar sig att det helt enkelt hänger ihop: på en sfär kan vilken sluten kurva som helst dras ihop till en punkt, och på vilken annan yta som helst är det alltid möjligt att indikera en kurva som inte kan dras ihop till en punkt längs ytan.

Det är konstigt att tredimensionella kompakta grenrör utan gräns också kan klassificeras i en viss mening, d.v.s. ordnade i en viss lista, även om de inte är lika okomplicerade som i det tvådimensionella fallet, men har en ganska komplex struktur. 3D-sfären S 3 sticker dock ut i denna lista på exakt samma sätt som 2D-sfären i listan ovan. Det faktum att vilken kurva som helst på S 3 drar ihop sig till en punkt är lika lätt att bevisa som i det tvådimensionella fallet. Men det omvända påståendet, nämligen att denna egenskap är unik just för sfären, d.v.s. att det finns icke-sammandragbara kurvor på alla andra tredimensionella grenrör, är mycket svårt och utgör exakt innehållet i Poincare-förmodan vi talar om .

Det är viktigt att förstå att grenröret kan leva på egen hand, det kan ses som ett oberoende objekt, inte kapslat någonstans. (Föreställ dig levande tvådimensionella varelser på ytan av en vanlig sfär, omedvetna om existensen av en tredje dimension.) Lyckligtvis kan alla de tvådimensionella ytorna från listan ovan bäddas in i det vanliga R 3-utrymmet, vilket gör dem lättare att visualisera. För 3-sfären S 3 (och i allmänhet för alla kompakta 3-grenrör utan gräns) är detta inte längre fallet, så en viss ansträngning krävs för att förstå dess struktur.

Tydligen enklaste sättet att förklara den tredimensionella sfärens topologiska struktur S 3 är med hjälp av enpunktskomprimering. Den tredimensionella sfären S3 är nämligen en enpunktskomprimering av det vanliga tredimensionella (obegränsade) utrymmet R3.

Låt oss först förklara denna konstruktion enkla exempel. Låt oss ta en vanlig oändlig rät linje (en endimensionell analog av rymden) och lägga till en "oändligt avlägsen" punkt till den, förutsatt att när vi rör oss längs en rät linje till höger eller vänster, kommer vi så småningom till denna punkt. Ur topologisk synvinkel är det ingen skillnad mellan en oändlig linje och ett avgränsat öppet segment (utan ändpunkter). Ett sådant segment kan böjas kontinuerligt i form av en båge, föra ändarna närmare varandra och limma den saknade punkten i korsningen. Vi får uppenbarligen en cirkel - en endimensionell analog av en sfär.

På liknande sätt, om jag tar ett oändligt plan och lägger till en punkt vid oändligheten, till vilken alla linjer i det ursprungliga planet, som passerar i vilken riktning som helst, tenderar, så får vi en tvådimensionell (vanlig) sfär S 2 . Denna procedur kan observeras med hjälp av en stereografisk projektion, som tilldelar varje punkt P i sfären, med undantag för nordpolen av N, en viss punkt i planet P.

Således är en sfär utan en punkt topologiskt densamma som ett plan, och om man lägger till en punkt förvandlas planet till en sfär.

I princip är exakt samma konstruktion tillämplig på en tredimensionell sfär och ett tredimensionellt utrymme, bara för dess genomförande är det nödvändigt att gå in i den fjärde dimensionen, och detta är inte så lätt att avbilda på ritningen. Så jag kommer att begränsa mig verbal beskrivning enpunktskomprimering av utrymmet R 3 .

Föreställ dig att till vårt fysiska rum (som vi, efter Newton, anser vara ett obegränsat euklidiskt rum med tre koordinater x, y, z) har en punkt "i oändligheten" lagt till på ett sådant sätt att när vi rör oss längs en rät linje i någon riktning, faller du (dvs varje rumslig linje sluter sig till en cirkel). Då får vi ett kompakt tredimensionellt grenrör, som per definition är sfären S 3 .

Det är lätt att se att sfären S 3 helt enkelt är ansluten. Faktum är att varje stängd kurva på denna sfär kan förskjutas något så att den inte passerar genom den tillagda punkten. Då får vi en kurva i det vanliga utrymmet R 3 , som lätt dras ihop till en punkt med hjälp av homoteter, dvs kontinuerlig kontraktion i alla tre riktningarna.

För att förstå hur grenröret S 3 är uppbyggt är det mycket lärorikt att överväga dess uppdelning i två solida tori. Om den solida torusen utelämnas från utrymmet R 3, så återstår något som inte är särskilt tydligt. Och om utrymmet kompakteras till en sfär, förvandlas detta komplement också till en solid torus. Det vill säga, sfären S3 är uppdelad i två solida tori som har en gemensam gräns - en torus.

Så här kan det förstås. Låt oss bädda in torusen i R 3 som vanligt, i form av en rund munk, och rita en vertikal linje - rotationsaxeln för denna munk. Vi ritar ett godtyckligt plan genom axeln, det kommer att skära vår solida torus i två cirklar som visas i figuren i grönt, och den ytterligare delen av planet är uppdelad i en kontinuerlig familj av röda cirklar. Bland dem är den centrala axeln, markerad med fetare, eftersom i sfären S 3 sluter linjen till en cirkel. En tredimensionell bild erhålls från denna tvådimensionella genom att rotera runt en axel. En komplett uppsättning roterade cirklar kommer sedan att fylla en tredimensionell kropp, homeomorf till en solid torus, som bara ser ovanlig ut.

I själva verket kommer den centrala axeln att vara en axiell cirkel i den, och resten kommer att spela rollen som paralleller - cirklar som utgör den vanliga solida torusen.

För att ha något att jämföra 3-sfären med ska jag ge ytterligare ett exempel på ett kompakt 3-grenrör, nämligen en tredimensionell torus. En tredimensionell torus kan konstrueras enligt följande. Låt oss ta en vanlig tredimensionell kub som källmaterial:

Den har tre par ansikten: vänster och höger, topp och botten, fram och bak. I varje par parallella ytor identifierar vi i par de punkter som erhållits från varandra genom att överföra längs kanten på kuben. Det vill säga, vi kommer att anta (rent abstrakt, utan att tillämpa fysiska deformationer) att till exempel A och A "är samma punkt, och B och B" också är en punkt, men skiljer sig från punkt A. Alla inre punkter i kub kommer vi att överväga som vanligt. Själva kuben är ett grenrör med en gräns, men efter gjord limning sluter gränsen sig själv och försvinner. Faktum är att kvarteren för punkterna A och A" i kuben (de ligger på vänster och höger skuggade ytor) är halvorna av bollarna, som, efter att ha limmat ihop ytorna, smälter samman till en hel boll, som fungerar som en närheten av motsvarande punkt på den tredimensionella torusen.

För att känna strukturen hos en 3-torus baserad på vanliga idéer om fysiskt utrymme måste du välja tre ömsesidigt vinkelräta riktningar: framåt, vänster och uppåt - och mentalt överväga, som i science fiction-berättelser, att när du rör dig i någon av dessa riktningar, en ganska lång, men begränsad tid, kommer vi att återvända till utgångspunkten, men från motsatt riktning. Detta är också en "komprimering av rymden", men inte en enpunkts sådan, som tidigare användes för att konstruera en sfär, utan mer komplex.

Det finns icke-kontrakterbara vägar på 3-torus; till exempel är detta segmentet AA" i figuren (på torusen visar det en stängd bana). Det kan inte dras ihop, eftersom för varje kontinuerlig deformation måste punkterna A och A" röra sig längs sina ytor, förbli strikt mittemot varje annat (annars öppnas kurvan).

Således ser vi att det finns helt enkelt anslutna och icke-enkelt anslutna kompakta 3-grenrör. Perelman bevisade att ett enkelt sammankopplat grenrör är exakt en.

Utgångspunkten för beviset är användningen av det så kallade "Ricci-flödet": vi tar ett enkelt anslutet kompakt 3-grenrör, utrustar det med en godtycklig geometri (d.v.s. introducerar någon metrik med avstånd och vinklar) och överväger sedan dess utveckling längs Ricci-flödet. Richard Hamilton, som föreslog denna idé 1981, hoppades att med denna evolution skulle vårt mångfald förvandlas till en sfär. Det visade sig att detta inte är sant - i det tredimensionella fallet kan Ricci-flödet förstöra grenröret, d.v.s. göra det lite grenrör (något med singulära punkter, som i exemplet ovan med korsande linjer). Perelman, genom att övervinna otroliga tekniska svårigheter, med hjälp av den tunga apparaturen med partiella differentialekvationer, lyckades ändra Ricci-flödet nära singulära punkter på ett sådant sätt att under evolutionen förändras grenrörets topologi inte, det finns inga singulära punkter, och i i slutet förvandlas den till en rund sfär. Men det är nödvändigt att slutligen förklara vad detta flöde av Ricci är. Flödena som används av Hamilton och Perelman hänvisar till en förändring i den inneboende metriken på ett abstrakt grenrör, och detta är ganska svårt att förklara, så jag kommer att begränsa mig till att beskriva det "externa" Ricci-flödet på endimensionella grenrör inbäddade i ett plan .

Föreställ dig en slät stängd kurva på det euklidiska planet, välj en riktning på den och betrakta vid varje punkt en tangentvektor av enhetslängd. Sedan, när man går runt kurvan i den valda riktningen, kommer denna vektor att rotera med någon vinkelhastighet, vilket kallas krökning. Där kurvan är brantare blir krökningen (i absolut värde) större och där den är jämnare blir krökningen mindre.

Krökningen kommer att betraktas som positiv om hastighetsvektorn vänder mot den inre delen av planet delat av vår kurva i två delar, och negativ om den vänder utåt. Denna konvention är oberoende av i vilken riktning kurvan korsas. Vid böjningspunkter där rotationen ändrar riktning blir krökningen 0. Till exempel har en cirkel med radie 1 en konstant positiv krökning på 1 (mätt i radianer).

Låt oss nu glömma tangentvektorer och fästa till varje punkt i kurvan, tvärtom, en vektor vinkelrät mot den, lika lång med krökningen vid en given punkt och riktad inåt om krökningen är positiv och utåt om den är negativ , och sedan kommer vi att tvinga varje punkt att röra sig i riktningen för motsvarande vektor med hastighet proportionell mot dess längd. Här är ett exempel:

Det visar sig att varje stängd kurva på planet beter sig på liknande sätt under en sådan utveckling, det vill säga att den så småningom förvandlas till en cirkel. Detta är beviset på den endimensionella analogen av Poincare-förmodan med Ricci-flödet (dock är själva påståendet i detta fall redan uppenbart, bara bevismetoden illustrerar vad som händer i dimension 3).

Avslutningsvis noterar vi att Perelmans argument inte bara bevisar Poincaré-förmodan, utan också den mycket mer allmänna Thurston-geometriseringsförmodan, som i i viss mening beskriver strukturen för alla kompakta 3-grenrör i allmänhet. Men detta ämne ligger utanför ramen för denna elementära artikel.

I brist på utrymme kommer jag inte att prata om icke-orienterbara grenrör, ett exempel på det är den berömda Klein-flaskan - en yta som inte kan bäddas in i ett utrymme utan självkorsningar.

Clay Institute of Mathematics tilldelade Grigory Perelman Millennium-priset, vilket officiellt erkände beviset på Poincaré-förmodan, utfört av en rysk matematiker, som korrekt. Det är anmärkningsvärt att institutet därigenom var tvunget att bryta mot sina egna regler - enligt dem är det bara en författare som har publicerat sitt arbete i peer-reviewed tidskrifter som kan göra anspråk på att få cirka en miljon dollar, detta är exakt storleken på pris. Grigory Perelmans verk såg aldrig formellt dagens ljus - det fanns kvar som en uppsättning av flera förtryck på webbplatsen arXiv.org (ett, två och tre). Det är dock inte så viktigt vad som orsakade institutets beslut – utdelningen av Millenniumpriset sätter punkt för den mer än 100 år långa historien.

Mugg, munk och lite topologi

Innan man tar reda på vad Poincaré-förmodan är, är det nödvändigt att förstå vilken typ av gren av matematiken - topologi - som just denna hypotes tillhör. Topologin för grenrör handlar om egenskaperna hos ytor som inte förändras under vissa deformationer. Låt oss förklara med ett klassiskt exempel. Anta att läsaren har en munk och en tom kopp framför sig. Ur geometrins och sunt förnuftssynpunkt är det olika föremål, om än bara för att du inte kommer att kunna dricka kaffe från en munk med all din lust.

Topologen kommer dock att säga att koppen och munken är samma sak. Och han kommer att förklara det så här: föreställ dig att en kopp och en munk är ytor som är ihåliga inuti, gjorda av ett väldigt elastiskt material (en matematiker skulle säga att det finns ett par kompakta tvådimensionella grenrör). Låt oss genomföra ett spekulativt experiment: först blåser vi upp botten av koppen och sedan dess handtag, varefter den förvandlas till en torus (så här kallas munkformen matematiskt). Du kan se hur denna process ser ut.

Naturligtvis har en nyfiken läsare en fråga: eftersom ytor kan vara skrynkliga, hur kan de urskiljas? När allt kommer omkring är det till exempel intuitivt tydligt - hur du än föreställer dig en torus kan du inte få en sfär från den utan luckor och limningar. Här spelar de så kallade invarianterna in - ytegenskaper som inte förändras under deformation - ett begrepp som är nödvändigt för formuleringen av Poincaré-hypotesen.

Sunt förnuft säger oss att ett hål skiljer en torus från en sfär. Ett hål är dock långt ifrån ett matematiskt koncept, så det behöver formaliseras. Detta görs på följande sätt - tänk dig att vi har en mycket tunn elastisk tråd på ytan som bildar en ögla (i detta spekulativa experiment anser vi, till skillnad från det föregående, själva ytan som solid). Vi kommer att flytta öglan utan att riva den av ytan och utan att bryta den. Om tråden kan dras ihop till en mycket liten cirkel (nästan en punkt), så sägs öglan vara sammandragbar. Annars kallas slingan icke-indragbar.

Grundgruppen i en torus betecknas med n 1 (T 2). Eftersom det är icke-trivialt bildar musens armar en icke-indragbar slinga. Sorgen i djurets ansikte är resultatet av insikten om detta faktum.

Så det är lätt att se att vilken ögla som helst på en sfär är sammandragbar (du kan se ungefär hur den ser ut), men för en torus är detta inte längre fallet: det finns så många som två öglor på en munk - en är gängad i ett hål, och det andra går förbi hålet "längs omkretsen", - som inte kan dras. På den här bilden visas exempel på icke kontraktsbara slingor i rött och lila respektive. När det finns slingor på ytan säger matematiker att "den grundläggande gruppen av en sort är icke-trivial", och om det inte finns några sådana slingor, så är det trivialt.

Nu, för att på ett ärligt sätt formulera Poincare-förmodan, måste den nyfikna läsaren ha lite mer tålamod: vi måste ta reda på vad en tredimensionell mångfald i allmänhet och en tredimensionell sfär är i synnerhet.

Låt oss för ett ögonblick gå tillbaka till ytorna vi diskuterade ovan. Var och en av dem kan skäras i så små bitar att var och en nästan kommer att likna en del av planet. Eftersom planet bara har två dimensioner sägs grenröret också vara tvådimensionellt. Ett tredimensionellt grenrör är en yta som kan skäras i små bitar, som var och en är mycket lik en del av vanligt tredimensionellt utrymme.

chef" skådespelare"Hypotesen är en tredimensionell sfär. Det är förmodligen omöjligt att föreställa sig en tredimensionell sfär som en analog till en vanlig sfär i det fyrdimensionella rummet utan att tappa förståndet. Det är dock ganska lätt att beskriva detta objekt, så att tala, "i delar" ganska lätt Alla som sett en jordglob, de vet att en vanlig sfär kan limmas ihop från norra och södra halvklotet längs ekvatorn. Så en tredimensionell sfär limmas ihop från två bollar (norra och södra) längs en sfär, som är en analog till ekvatorn.

På tredimensionella grenrör kan man överväga samma slingor som vi tog på vanliga ytor. Så, Poincaré-förmodan säger: "Om grundgruppen i ett tredimensionellt grenrör är trivialt, så är det homeomorf till en sfär." Den obegripliga frasen "homeomorphic to a sfär" översatt till ett informellt språk betyder att ytan kan deformeras till en sfär.

Lite historia

Generellt sett är det inom matematiken möjligt att formulera ett stort antal komplexa påståenden. Men vad gör den eller den hypotesen stor, skiljer den från resten? Märkligt nog, men den stora hypotesen kännetecknas av ett stort antal felaktiga bevis, som var och en innehåller ett stort fel - felaktighet, vilket ofta leder till uppkomsten av en helt ny sektion av matematik.

Så till en början formulerade Henri Poincaré, som bland annat utmärkte sig genom förmågan att göra briljanta misstag, hypotesen i en lite annan form än vi skrev ovan. En tid senare gav han ett motexempel till sitt påstående, som blev känt som den homologiska Poincaré 3-sfären, och formulerade 1904 en gissning redan i modern form. Förresten, ganska nyligen anpassade forskare sfären inom astrofysik - det visade sig att universum mycket väl kan visa sig vara en homolog Poincaré 3-sfär.

Det måste sägas att hypotesen inte väckte mycket spänning bland andra geometrar. Så var det fram till 1934, när den brittiske matematikern John Henry Whitehead presenterade sin version av hypotesens bevis. Mycket snart fann han dock själv ett fel i resonemanget, vilket senare ledde till uppkomsten av hela teorin om Whiteheads grenrör.

Efter det förankrades gradvis äran av en extremt svår uppgift i hypotesen. Många stora matematiker försökte ta det med storm. Till exempel amerikanen R.H.Bing, en matematiker som (absolut officiellt) lät skriva initialer istället för ett namn i dokument. Han gjorde flera misslyckade försök att bevisa hypotesen och formulerade sitt eget uttalande under denna process - den så kallade "egenskapen P-förmodan" (Property P-förmodan). Det är anmärkningsvärt att detta uttalande, som ansågs av Bing som ett mellanliggande, visade sig vara nästan mer komplicerat än beviset för själva Poincaré-förmodan.

Det fanns bland forskare och människor som lade ner sina liv för att bevisa detta matematiskt faktum. Till exempel den berömda matematikern av grekiskt ursprung Christos Papakiriakopoulos. I mer än tio år, medan han arbetade på Princeton, försökte han utan framgång bevisa gissningen. Han dog i cancer 1976.

Det är anmärkningsvärt att generaliseringen av Poincaré-förmodan till grenrör med dimensioner över tre visade sig vara märkbart enklare än originalet - extra dimensioner gjorde det lättare att manipulera grenrör. Således, för n-dimensionella grenrör (när n är minst 5), bevisades gissningen av Stephen Smale 1961. För n = 4 bevisades gissningen med en helt annan metod än Smales 1982 av Michael Friedman. För sitt bevis fick den senare Fields-medaljen - högsta utmärkelsen för matematiker.

De beskrivna verken är långt ifrån full lista försök att lösa mer än ett sekel av hypoteser. Och även om vart och ett av verken ledde till uppkomsten av en hel riktning i matematik och kan anses vara framgångsrik och betydelsefull i denna mening, lyckades bara den ryska Grigory Perelman äntligen bevisa Poincaré-förmodan.

Perelman och bevis

År 1992, Grigory Perelman, då anställd vid Mathematical Institute. Steklov, kom till Richard Hamiltons föreläsning. Den amerikanske matematikern talade om Ricci-flöden - ett nytt verktyg för att studera Thurstons geometriseringsförmodan - ett faktum från vilket Poincaré-förmodan erhölls som en enkel konsekvens. Dessa flöden, konstruerade i en mening i analogi med värmeöverföringsekvationerna, fick ytorna att deformeras med tiden på ungefär samma sätt som vi deformerade tvådimensionella ytor i början av denna artikel. Det visade sig att resultatet av en sådan deformation i vissa fall var ett föremål vars struktur är lätt att förstå. Den största svårigheten var att under deformationen uppstod singulariteter med oändlig krökning, analogt i någon mening med svarta hål i astrofysiken.

Efter föreläsningen kontaktade Perelman Hamilton. Han sa senare att Richard glatt överraskade honom: "Han log och var väldigt tålmodig. Han berättade till och med några fakta som publicerades bara några år senare. Han gjorde detta utan att tveka. Hans öppenhet och vänlighet förvånade mig. Jag kan inte säga att de flesta moderna matematiker beter sig så här."

Efter en resa till USA återvände Perelman till Ryssland, där han började arbeta med att lösa problemet med singulariteter hos Ricci-flöden och bevisa geometriseringshypotesen (och inte alls på Poincaré-hypotesen) i hemlighet. Det är inte förvånande att uppkomsten av Perelmans första förtryck den 11 november 2002 chockade den matematiska gemenskapen. Efter en tid dök ytterligare ett par verk upp.

Efter det drog sig Perelman ur bevisdiskussionen och till och med, säger de, slutade med matematik. Han avbröt inte sin ensamma livsstil ens 2006, då han tilldelades Fields-medaljen, det mest prestigefyllda priset för matematiker. Det är meningslöst att diskutera orsakerna till detta beteende hos författaren - ett geni har rätt att bete sig konstigt (till exempel när han var i Amerika, klippte Perelman inte sina naglar, så att de kunde växa fritt).

Hur det än må vara, Perelmans bevis fick sitt eget liv: tre förtryck hemsökte moderna matematiker. De första resultaten av att testa idéerna från den ryska matematikern dök upp 2006 - stora geometrar Bruce Kleiner och John Lott från University of Michigan publicerade ett förtryck eget arbete, mer som en bok i storlek - 213 sidor. I detta arbete kontrollerade forskare noggrant alla beräkningar av Perelman, och förklarade i detalj de olika uttalandena som endast kortfattat angavs i den ryska matematikerns arbete. Forskarnas dom var otvetydig: bevisen är helt korrekta.

En oväntad vändning i den här historien kom i juli samma år. I journalen Asian Journal of Mathematics En artikel av de kinesiska matematikerna Xiping Zhu och Huaidong Cao med titeln "A Complete Proof of the Thurston Geometrization Conjecture and the Poincaré Conjecture" dök upp. Inom ramen för detta arbete ansågs Perelmans resultat vara viktiga, användbara, men bara mellanliggande. detta jobb orsakade överraskning bland specialister i väst, men fick mycket positiva recensioner i öst. I synnerhet stöddes resultaten av Shintan Yau - en av grundarna av Calabi-Yau-teorin, som lade grunden för strängteorin - samt läraren i Cao och Ju. Av en lycklig slump var det Yau som var tidningens chefredaktör. Asian Journal of Mathematics där verket publicerades.

Efter det började matematikern resa runt i världen med populära föreläsningar och pratade om de kinesiska matematikernas prestationer. Som ett resultat fanns det en fara att mycket snart resultaten av Perelman och till och med Hamilton skulle hänvisas till bakgrunden. Detta har hänt mer än en gång i matematikens historia - många satser som bär namnen på specifika matematiker uppfanns av helt andra människor.

Detta hände dock inte och kommer förmodligen inte att hända nu. Utdelningen av Clay Award till Perelman (även om han vägrar) cementerade för alltid in allmänhetens medvetande faktum: Den ryske matematikern Grigory Perelman bevisade Poincarés gissning. Det spelar ingen roll att han faktiskt bevisade ett mer allmänt faktum, och utvecklade på vägen en helt ny teori om singulariteter hos Ricci-flöden. Ändå. Priset har hittat en hjälte.

Foto av N. Chetverikova Den sista stora bedriften av ren matematik är beviset på Poincaré-förmodan, uttryckt 1904 och som säger: "varje ansluten, enkelt ansluten, kompakt tredimensionell grenrör utan gräns, är homeomorf till sfären S 3 " av Grigory Perelman från S:t Petersburg 2002-2003.

Det finns flera termer i denna fras, som jag ska försöka förklara på ett sådant sätt att deras allmänna innebörd blir tydlig för icke-matematiker (jag antar att läsaren har gått ut gymnasiet och fortfarande minns något från skolmatematiken).

Huvudidén är lättast att förklara med det klassiska exemplet med en mugg och en bagel. Den första kan förvandlas till den andra genom en kontinuerlig deformation: Dessa figurer visar tydligt att muggen är homeomorf till munken, och detta faktum är sant både för deras ytor (tvådimensionella grenrör, kallade torus) och för fyllda kroppar ( tredimensionella grenrör med gräns).

Låt oss ge en tolkning av resten av termerna som förekommer i formuleringen av hypotesen.

1. Tredimensionellt grenrör utan gräns. Detta är ett sådant geometriskt objekt, där varje punkt har en grannskap i form av en tredimensionell boll. Exempel på 3-grenrör är för det första hela det tredimensionella utrymmet, betecknat med R 3 , såväl som alla öppna uppsättningar av punkter i R 3, till exempel det inre av en solid torus (munk). Om vi betraktar en sluten solid torus, d.v.s. lägger till dess gränspunkter (torns yta), så får vi redan ett grenrör med gräns - gränspunkterna har inte grannskap i form av en boll, utan bara i formen av en halva av bollen.

2. Ansluten. Konceptet med anslutning är det enklaste här. Ett grenrör är anslutet om det består av ett stycke, eller, något likadant, två av dess punkter kan kopplas samman med en kontinuerlig linje som inte går utöver dess gränser.

3. Helt enkelt ansluten. Föreställningen om singelanslutningen är mer komplicerad. Det betyder att varje kontinuerlig stängd kurva som ligger helt och hållet inom ett givet grenrör smidigt kan dras ihop till en punkt utan att lämna detta grenrör. Till exempel är en vanlig tvådimensionell sfär i R 3 helt enkelt ansluten (ett elastiskt band, godtyckligt fäst vid ytan av ett äpple, kan dras samman genom en jämn deformation till en punkt utan att slita det elastiska bandet från äpplet). Å andra sidan är cirkeln och torus inte bara sammankopplade.

4. Kompakt. Ett grenrör är kompakt om någon av dess homeomorfa bilder har avgränsade dimensioner. Till exempel är ett öppet intervall på en linje (alla punkter i ett segment utom dess ändar) inte kompakt, eftersom det kontinuerligt kan förlängas till en oändlig linje. Men ett slutet segment (med ändar) är ett kompakt grenrör med en gräns: för varje kontinuerlig deformation går ändarna till några specifika punkter, och hela segmentet måste gå in i en avgränsad kurva som förbinder dessa punkter.

Dimensionera mångfaldigt är antalet frihetsgrader vid den punkt som "lever" på den. Varje punkt har en grannskap i form av en skiva med motsvarande dimension, dvs ett intervall av en linje i det endimensionella fallet, en cirkel på planet i det tvådimensionella fallet, en boll i det tredimensionella fallet , etc. Ur topologins synvinkel finns det bara två endimensionella sammankopplade grenrör utan gräns: detta är linjen och cirkeln. Av dessa är endast cirkeln kompakt.

Tvådimensionella kompakta grenrör är välkända. Om vi bara tänker orienterad 1 mångfalder utan gräns, sedan bildar de från topologisk synpunkt en enkel, om än oändlig, lista: och så vidare. Varje sådant grenrör erhålls från en sfär genom att limma flera handtag, vars nummer kallas ytans släkte.

1 I brist på utrymme kommer jag inte att prata om icke-orienterbara grenrör, ett exempel på det är den berömda Klein-flaskan - en yta som inte kan bäddas in i ett utrymme utan självkorsningar.

Tydligen är det enklaste sättet att förklara den tredimensionella sfärens S 3 topologiska struktur med hjälp av enpunktskomprimering. Den tredimensionella sfären S3 är nämligen en enpunktskomprimering av det vanliga tredimensionella (obegränsade) utrymmet R3.

Låt oss först förklara denna konstruktion med enkla exempel. Låt oss ta en vanlig oändlig rät linje (en endimensionell analog av rymden) och lägga till en "oändligt avlägsen" punkt till den, förutsatt att när vi rör oss längs en rät linje till höger eller vänster, kommer vi så småningom till denna punkt. Ur topologisk synvinkel är det ingen skillnad mellan en oändlig linje och ett avgränsat öppet segment (utan ändpunkter). Ett sådant segment kan böjas kontinuerligt i form av en båge, föra ändarna närmare varandra och limma den saknade punkten i korsningen. Vi får uppenbarligen en cirkel - en endimensionell analog av en sfär.

Således är en sfär utan en punkt topologiskt densamma som ett plan, och om man lägger till en punkt förvandlas planet till en sfär.

I princip är exakt samma konstruktion tillämplig på en tredimensionell sfär och ett tredimensionellt utrymme, bara för dess genomförande är det nödvändigt att gå in i den fjärde dimensionen, och detta är inte så lätt att avbilda på ritningen. Därför begränsar jag mig till en verbal beskrivning av enpunktskomprimeringen av utrymmet R 3 .

Så här kan det förstås. Låt oss bädda in torusen i R 3 som vanligt, i form av en rund munk, och rita en vertikal linje - rotationsaxeln för denna munk. Rita ett godtyckligt plan genom axeln, det kommer att skära vår solida torus längs två cirklar som visas i grönt i figuren, och den ytterligare delen av planet är uppdelad i en kontinuerlig familj av röda cirklar. Bland dem är den centrala axeln, markerad med fetare, eftersom i sfären S 3 sluter linjen till en cirkel. En tredimensionell bild erhålls från denna tvådimensionella genom att rotera runt en axel. En komplett uppsättning roterade cirklar kommer sedan att fylla en tredimensionell kropp, homeomorf till en solid torus, som bara ser ovanlig ut.

I själva verket kommer den centrala axeln att vara en axiell cirkel i den, och resten kommer att spela rollen som paralleller - cirklar som utgör den vanliga solida torusen.

Den har tre par ansikten: vänster och höger, topp och botten, fram och bak. I varje par parallella ytor identifierar vi i par de punkter som erhållits från varandra genom att överföra längs kanten på kuben. Det vill säga, vi kommer att anta (rent abstrakt, utan att tillämpa fysiska deformationer) att till exempel A och A "är samma punkt, och B och B" också är en punkt, men skiljer sig från punkt A. Alla inre punkter i kub kommer vi att överväga som vanligt. Själva kuben är ett grenrör med kant, men efter gjord limning stänger kanten om sig själv och försvinner. Faktum är att kvarteren för punkterna A och A" i kuben (de ligger på vänster och höger skuggade ytor) är halvorna av bollarna, som, efter att ha limmat ihop ytorna, smälter samman till en hel boll, som fungerar som en närheten av motsvarande punkt på den tredimensionella torusen.

För att känna strukturen hos 3-torusen baserad på vanliga idéer om fysiskt utrymme måste du välja tre ömsesidigt vinkelräta riktningar: framåt, vänster och uppåt - och mentalt överväga, som i science fiction-berättelser, att när du rör dig i någon av dessa riktningar, en ganska lång, men begränsad tid , kommer vi att återvända till utgångspunkten, men från motsatt riktning. Detta är också en "komprimering av rymden", men inte en enpunkts sådan, som tidigare användes för att konstruera en sfär, men mer komplex.

Således ser vi att det finns helt enkelt anslutna och icke-enkelt anslutna kompakta 3-grenrör. Perelman bevisade att ett enkelt sammankopplat grenrör är exakt en.

Den första idén med beviset är att använda det så kallade "Ricci-flödet": vi tar ett enkelt anslutet kompakt 3-grenrör, ger det en godtycklig geometri (dvs introducerar lite metrik med avstånd och vinklar) och sedan överväga dess utveckling längs Ricci-flödet. Richard Hamilton, som föreslog denna idé 1981, hoppades att med denna evolution skulle vårt mångfald förvandlas till en sfär. Det visade sig att detta inte är sant - i det tredimensionella fallet kan Ricci-flödet förstöra grenröret, d.v.s. göra det lite grenrör (något med singulära punkter, som i exemplet ovan med korsande linjer). Perelman, genom att övervinna otroliga tekniska svårigheter, med hjälp av den tunga apparaturen med partiella differentialekvationer, lyckades ändra Ricci-flödet nära singulära punkter på ett sådant sätt att under evolutionen förändras grenrörets topologi inte, det finns inga singulära punkter, och i i slutet förvandlas den till en rund sfär. Men vi måste äntligen förklara vad detta flöde av Ricci är. Flödena som används av Hamilton och Perelman hänvisar till en förändring i den inneboende metriken på ett abstrakt grenrör, och detta är ganska svårt att förklara, så jag kommer att begränsa mig till att beskriva det "externa" Ricci-flödet på endimensionella grenrör inbäddade i ett plan .

Krökningen kommer att betraktas som positiv om hastighetsvektorn vänder mot den inre delen av planet delat av vår kurva i två delar, och negativ om den vänder utåt. Denna konvention beror inte på i vilken riktning kurvan korsas. Vid böjningspunkter där rotationen ändrar riktning blir krökningen 0. Till exempel har en cirkel med radie 1 en konstant positiv krökning på 1 (mätt i radianer).

Det visar sig att varje stängd kurva i planet beter sig på liknande sätt under en sådan utveckling, det vill säga att den så småningom förvandlas till en cirkel. Detta är beviset på den endimensionella analogen av Poincare-förmodan med Ricci-flödet (dock är själva påståendet i detta fall redan uppenbart, bara bevismetoden illustrerar vad som händer i dimension 3).

Avslutningsvis noterar vi att Perelmans argument inte bara bevisar Poincaré-förmodan, utan också den mycket mer allmänna Thurston-geometriseringsförmodan, som i en viss mening beskriver strukturen hos alla kompakta 3-grenrör i allmänhet. Men detta ämne ligger utanför ramen för denna elementära artikel.

Sergey Duzhin,
Doktor i fysik och matematik Vetenskaper,
senior Forskare
St Petersburg filial
Matematiska institutet vid Ryska vetenskapsakademin

Poincarés teorem är den matematiska formeln för "Universum". Grigory Perelman. Del 1 (från serien " Riktig man i vetenskap")

Henri Poincare (1854-1912), en av de största matematikerna, formulerade 1904 den berömda idén om en deformerad tredimensionell sfär och i form av en liten marginalanteckning placerad i slutet av en artikel på 65 sidor om en helt annan fråga, klottrade några rader av en ganska konstig gissning med orden: "Tja, den här frågan kan ta oss för långt" ...

Marcus Du Sotoy vid University of Oxford tror att Poincarés teorem är "detta centrala problem matematik och fysik, försöker förstå vilken form Kanske Universum Det är väldigt svårt att komma nära henne."

En gång i veckan reste Grigory Perelman till Princeton för att delta i ett seminarium på Institute for Advanced Study. På seminariet svarar en av matematikerna från Harvard University på Perelmans fråga: "Theory of William Thurston (1946-2012, matematiker, arbetar inom området " Tredimensionell geometri och topologi "), kallad geometriseringshypotesen, beskriver alla möjliga tredimensionella ytor och är ett steg framåt jämfört med Poincaré-hypotesen. Om du bevisar antagandet om William Thurston, kommer Poincare-förmodan öppna alla sina dörrar för dig och mer dess lösning kommer att förändra hela den moderna vetenskapens topologiska landskap».

Sex ledande amerikanska universitet i mars 2003 bjuder in Perelman att läsa en serie föreläsningar som förklarar hans arbete. I april 2003 gör Perelman en vetenskaplig turné. Hans föreläsningar blir en enastående vetenskaplig händelse. John Ball (ordförande för International Mathematical Union), Andrew Wiles (matematiker, arbetar inom aritmetiken av elliptiska kurvor, bevisade Fermats teorem 1994), John Nash (matematiker som arbetar inom spelteori och differentialgeometri) kommer till Princeton att lyssna på honom.

Grigory Perelman lyckades lösa en av millenniets sju uppgifter Och beskriva matematiskt den så kallade universums formel, för att bevisa Poincarés gissning. De ljusaste sinnena kämpade om denna hypotes i mer än 100 år, och för beviset för vilket världens matematiska samfund (Clay Mathematical Institute) lovade 1 miljon dollar. Den presenterades den 8 juni 2010. Grigory Perelman dök inte upp på den , och världens matematiska samfund "käftar tappade."

År 2006, för att lösa Poincaré-förmodan, belönades matematikern med det högsta matematiska priset - Fields-priset (Fields-medaljen). John Ball besökte personligen St. Petersburg för att övertala honom att ta emot priset. Han vägrade acceptera det med orden: "Samhället är knappast i stånd att seriöst utvärdera mitt arbete."

"Fieldspriset (och medaljen) delas ut vart fjärde år vid varje internationell matematikkongress till unga forskare (under 40 år) som har gjort ett betydande bidrag till utvecklingen av matematik. Utöver medaljen tilldelas pristagarna 15 000 kanadensiska dollar ($13 000)."

I sin ursprungliga formulering lyder Poincaré-förmodan enligt följande: "Varje enkelt sammankopplat kompakt tredimensionellt grenrör utan gräns är homeomorft till en tredimensionell sfär." Översatt till ett vanligt språk betyder detta att vilket tredimensionellt föremål som helst, till exempel ett glas, kan omvandlas till en kula enbart genom deformation, det vill säga att den inte behöver skäras eller limmas. Med andra ord, Poincaré föreslog det rymden är inte tredimensionell, utan innehåller ett mycket större antal dimensioner, och Perelman 100 år senare bevisade det matematiskt.

Grigory Perelmans uttryck för Poincarés teorem om omvandling av materia till ett annat tillstånd, form liknar den kunskap som anges i Anastasia Novykhs bok "Sensei IV": nålar. Samt förmågan att kontrollera det materiella universum genom transformationer som introducerats av observatören från att kontrollera dimensioner över den sjätte (från 7 till 72 inklusive) (rapport "PRIMÄR ALLATRA FYSIK" ämne "Ezoosmic grid").

Grigory Perelman kännetecknades av livets stramhet, strängheten i etiska krav både för sig själv och för andra. När man tittar på honom får man en känsla av att han bara är det kroppsliga bor gemensamt med alla andra samtida Plats, A Andligt i någon annan, där till och med för 1 miljon dollar går inte för den mest "oskyldiga" kompromisser med samvetet. Och vilken typ av utrymme är detta, och är det möjligt att ens titta på det från ögonvrån? ..

Den exceptionella betydelsen av den hypotes som matematikern Poincaré lade fram för ungefär ett sekel sedan gäller tredimensionella strukturer och är nyckelelement samtida forskning universums grunder. Denna gåta, enligt experter från Clay Institute, är en av de sju fundamentalt viktiga för utvecklingen av framtidens matematik.

Perelman, som tackar nej till medaljer och priser, frågar: "Varför behöver jag dem? De är helt värdelösa för mig. Alla förstår att om beviset är korrekt så krävs inget annat erkännande. Tills jag utvecklade misstänksamhet hade jag valet att antingen tala högt om sönderfallet av den matematiska gemenskapen som helhet, på grund av dess låga moraliska nivå, eller att inte säga någonting och låta mig behandlas som boskap. Nu när jag har blivit mer än misstänksam kan jag inte förbli en boskap och fortsätta vara tyst, så jag kan bara gå.

För att kunna göra modern matematik måste du ha ett helt rent sinne, utan den minsta inblandning som sönderdelar det, desorienterar det, ersätter värderingar, och att acceptera denna utmärkelse innebär att visa svaghet. Den idealiska vetenskapsmannen är endast engagerad i vetenskap, bryr sig inte om något annat (makt och kapital), han måste ha ett rent sinne, och för Perelman finns det ingen större betydelse än att leva i enlighet med detta ideal. Är hela denna idé med miljoner användbara för matematik, och behöver en riktig vetenskapsman ett sådant incitament? Och kapitalets önskan att köpa och underkuva allt i denna värld är inte förolämpande? Eller så kan du sälja dess renhet för en miljon? Pengar, oavsett hur mycket det finns, är likvärdiga själens sanning? Vi har trots allt att göra med en a priori bedömning av problem som pengar helt enkelt inte borde ha att göra med, eller hur?! Att göra av allt detta till något som liknar en lotto-miljon, eller en väska, innebär att ägna sig åt sönderfallet av det vetenskapliga, och faktiskt den mänskliga gemenskapen som helhet(Se rapporten "PRIMORDIAL ALLATRA FYSICS" och i boken "AllatRa" de sista 50 sidorna om sättet att bygga ett kreativt samhälle). OCH kontanter(energi), vilka affärsmän är redo att donera till vetenskapen, om det är nödvändigt att använda det, så är det korrekt, eller något, utan att förödmjuka Anden av sann tjänst, vad man än kan säga, en ovärderlig monetär motsvarighet: " Vad är en miljon, jämfört, med renhet, eller Majestät dessa sfärer (om dimensionerna av det globala universum och omkring andliga världen se bok"AllatRa" och rapportera"PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS"), i vilken oförmögen att tränga igenom till och med mänsklig fantasi (sinne)?! Vad är en miljon stjärnbeströdd himmel för tid?

Låt oss ge en tolkning av de återstående termerna som förekommer i formuleringen av hypotesen:

Topologi - (av grekiskan topos - plats och logos - undervisning) - en gren av matematiken som studerar figurers topologiska egenskaper, d.v.s. egenskaper som inte förändras under några deformationer som produceras utan diskontinuiteter och limningar (närmare bestämt under en-till-en och kontinuerliga mappningar). Exempel på topologiska egenskaper hos figurer är dimensionen, antalet kurvor som avgränsar ett givet område, och så vidare. Så, en cirkel, en ellips, en kvadratisk kontur har samma topologiska egenskaper, eftersom dessa linjer kan deformeras till varandra på det sätt som beskrivits ovan; samtidigt har ringen och cirkeln olika topologiska egenskaper: cirkeln begränsas av en kontur och ringen av två.

Homeomorfism (grekiska ομοιο - liknande, μορφη - form) är en en-till-en-överensstämmelse mellan två topologiska utrymmen, under vilken båda ömsesidigt inversa avbildningar som definieras av denna överensstämmelse är kontinuerliga. Dessa mappningar kallas homeomorfa eller topologiska mappningar, samt homeomorfismer, och utrymmen sägs tillhöra samma topologiska typ kallas homeomorfa, eller topologiskt ekvivalenta.

Ett tredimensionellt grenrör utan gräns. Detta är ett sådant geometriskt objekt, där varje punkt har en grannskap i form av en tredimensionell boll. Exempel på 3-grenrör är för det första hela det tredimensionella utrymmet, betecknat med R3, såväl som alla öppna uppsättningar av punkter i R3, till exempel det inre av en solid torus (munk). Om vi betraktar en sluten solid torus, dvs. Om vi lägger till dess gränspunkter (ytan på en torus), kommer vi att få ett grenrör med en gräns - gränspunkterna har inte grannskap i form av en boll, utan bara i form av en halva av bollen.

En solid torus (solid torus) är en geometrisk kropp som är homeomorf till produkten av en tvådimensionell skiva och en cirkel D2 * S1. Informellt är en solid torus en munk, medan en torus bara är dess yta (en ihålig kammare i ett hjul).

Helt enkelt uppkopplad. Det betyder att varje kontinuerlig stängd kurva som ligger helt och hållet inom ett givet grenrör smidigt kan dras ihop till en punkt utan att lämna detta grenrör. Till exempel är en vanlig tvådimensionell sfär i R3 helt enkelt ansluten (ett elastiskt band, godtyckligt applicerat på ytan av ett äpple, kan dras samman till en punkt genom en jämn deformation utan att ta bort det elastiska bandet från äpplet). Å andra sidan är cirkeln och torus inte bara sammankopplade.

Kompakt. Ett grenrör är kompakt om någon av dess homeomorfa bilder har avgränsade dimensioner. Till exempel är ett öppet intervall på en linje (alla punkter i ett segment utom dess ändar) inte kompakt, eftersom det kontinuerligt kan förlängas till en oändlig linje. Men ett slutet segment (med ändar) är ett kompakt grenrör med en gräns: för varje kontinuerlig deformation går ändarna till några specifika punkter, och hela segmentet måste gå in i en avgränsad kurva som förbinder dessa punkter.

Fortsättning följer...

Ilnaz Basharov

Litteratur:

– Rapport "PRIMARY ALLATRA PHYSICS" från den internationella gruppen av forskare från ALLATRA International Public Movement, red. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Nya. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Nya. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013, 632 sid. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, doktor i fysik och matematik Sci., seniorforskare, filial i St. Petersburg vid det matematiska institutet vid Ryska vetenskapsakademin

Populär i kategorin: