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Grigory Perelman hat bewiesen, dass es keinen Gott gibt. Mathematiker Perelman Yakov: Beitrag zur Wissenschaft

« Millennium-Challenge“, gelöst von einem russischen mathematischen Genie, hängt mit dem Ursprung des Universums zusammen. Nicht jeder Mathematiker versteht die Essenz des Rätsels ...

GEDANKENSPIEL

Bis vor kurzem versprach die Mathematik ihren "Priestern" weder Ruhm noch Reichtum. Sie sogar Nobelpreis gab nicht. Es gibt keine solche Nominierung. Einer sehr populären Legende zufolge soll Nobels Frau ihn einmal mit einem Mathematiker betrogen haben. Und als Vergeltung entzog der reiche Mann all seinen Schikanenbrüdern seinen Respekt und sein Preisgeld.

Im Jahr 2000 änderte sich die Situation. Sieben davon hat das private Clay Mathematics Institute ausgewählt schwierige Aufgaben und versprach, für jede Entscheidung eine Million Dollar zu zahlen.

Mathematiker wurden mit Respekt behandelt. 2001 brachten die Bildschirme sogar den Film "A Beautiful Mind" heraus, dessen Hauptfigur ein Mathematiker war.

Jetzt wissen nur noch Zivilisationsferne nichts: Eine der versprochenen Millionen – die allererste – wurde bereits vergeben. Der Preis wurde einem russischen Staatsbürger verliehen, der in St. Petersburg lebt Grigori Perelmann. Er bewies die Poincaré-Vermutung, ein Rätsel, das sich über 100 Jahre lang jedem widersetzte und das durch seine Bemühungen zu einem Theorem wurde.

Unser süßer 44-jähriger bärtiger Mann hat sich auf der ganzen Welt die Nase geputzt. Und hält sie – die Welt – nun weiter in Atem. Da ist nicht bekannt, ob der Mathematiker ehrlich eine Million Dollar verdienen oder ablehnen wird. Die progressive Öffentlichkeit in vielen Ländern ist natürlich aufgeregt. Zumindest berichten die Zeitungen aller Kontinente von finanziellen und mathematischen Intrigen.

Und vor dem Hintergrund dieser faszinierenden Aktivitäten – Wahrsagerei und das Teilen des Geldes anderer Menschen – ging die Bedeutung von Perelmans Leistung irgendwie verloren. Der Präsident des Clay Institute, Jim Carlson, hat natürlich einmal das Ziel angegeben Preis Pool- weniger eine Suche nach Antworten als vielmehr ein Versuch, das Ansehen der mathematischen Wissenschaft zu steigern und junge Menschen dafür zu interessieren. Aber trotzdem, was ist der Sinn?

Grisha in seiner Jugend - schon damals war er ein Genie.

POINCARE-HYPOTHESE – WAS IST DAS?

Das vom russischen Genie gelöste Rätsel betrifft die Grundlagen des Teils der Mathematik namens Topologie. Sie – Topologie – wird oft als „Geometrie auf einer Gummiplatte“ bezeichnet. Es handelt sich um Eigenschaften geometrische Formen, die erhalten bleiben, wenn die Form gedehnt, verdreht, gebogen wird. Mit anderen Worten, es wird ohne Brüche, Schnitte und Klebstoffe verformt.

Die Topologie ist wichtig für die mathematische Physik, weil sie es uns ermöglicht, die Eigenschaften des Raums zu verstehen. Oder bewerten, ohne die Form dieses Raumes von außen betrachten zu können. Zum Beispiel unser Universum.

Bei der Erklärung der Poincare-Vermutung fangen sie so an: Stellen Sie sich eine zweidimensionale Kugel vor - nehmen Sie eine Gummischeibe und ziehen Sie sie über die Kugel. Damit wird der Umfang der Scheibe an einem Punkt erfasst. Ebenso können Sie beispielsweise einen Sportrucksack mit einer Kordel abziehen. Das Ergebnis ist eine Kugel: für uns - dreidimensional, aber aus mathematischer Sicht - nur zweidimensional.

Dann bieten sie an, dieselbe Scheibe auf einen Donut zu ziehen. Es scheint zu funktionieren. Aber die Ränder der Scheibe laufen zu einem Kreis zusammen, der nicht mehr zu einem Punkt gezogen werden kann - er schneidet den Donut.

Wie er in seinem schrieb beliebtes Buch andere Russischer Mathematiker, Vladimir Uspensky, „Im Gegensatz zu zweidimensionalen Sphären sind dreidimensionale Sphären unserer direkten Beobachtung unzugänglich, und es ist für uns genauso schwierig, sie uns vorzustellen, wie für Vasily Ivanovich aus der bekannten Anekdote des quadratischen Trinoms.“

Nach der Poincaré-Hypothese ist also eine dreidimensionale Kugel das einzige dreidimensionale Ding, dessen Oberfläche durch eine Art hypothetisches "Hypercord" in einen Punkt gezogen werden kann.

Grigory Perelman: - Denken Sie nur, Newtons Binomial ...

Jules Henri Poincare schlug dies 1904 vor. Jetzt hat Perelman alle, die es verstehen, davon überzeugt, dass der französische Topologe Recht hatte. Und verwandelte seine Hypothese in ein Theorem.

Der Beweis hilft zu verstehen, welche Form unser Universum hat. Und es erlaubt uns, vernünftigerweise davon auszugehen, dass es sich um dieselbe dreidimensionale Kugel handelt.

Aber wenn das Universum die einzige "Figur" ist, die bis zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, dann kann es wahrscheinlich auch von einem Punkt aus gestreckt werden. Was als indirekte Bestätigung der Urknalltheorie dient, die behauptet, dass das Universum nur aus dem Punkt entstanden ist.

Es stellt sich heraus, dass Perelman zusammen mit Poincare die sogenannten Kreationisten - Unterstützer - verärgert hat göttlicher Anfang Universum. Und sie haben Wasser auf die Mühle der materialistischen Physiker geschüttet.

Der geniale Mathematiker Grigory Perelman aus St. Petersburg, der durch den Beweis der Poincaré-Vermutung weltberühmt wurde, begründete schließlich seine Ablehnung des dafür verliehenen Millionenpreises. Wie heißt es " TVNZ“, offenbarte sich der zurückgezogen lebende Wissenschaftler in einem Gespräch mit einem Journalisten und Produzenten der Filmgesellschaft „President-Film“, die mit Zustimmung von Perelman den Spielfilm „Formula of the Universe“ über ihn drehen wird.

Alexander Zabrovsky hatte das Glück, mit dem großen Mathematiker zu sprechen – er verließ Moskau vor einigen Jahren nach Israel und vermutete, dass er zuerst die Mutter von Grigori Jakowlewitsch über die jüdische Gemeinde von St. Petersburg kontaktieren würde, nachdem er ihr geholfen hatte. Sie sprach mit ihrem Sohn, und nach ihrer guten Charakterisierung stimmte er einem Treffen zu. Das kann man wirklich als Leistung bezeichnen – die Journalisten konnten den Wissenschaftler nicht „erwischen“, obwohl sie tagelang vor seinem Eingang saßen.

Wie Zabrovsky der Zeitung sagte, machte Perelman den Eindruck eines "absolut vernünftigen, gesunden, angemessenen und normalen Menschen": "Realistisch, pragmatisch und vernünftig, aber nicht frei von Sentimentalität und Aufregung ... Alles, was ihm in der Presse zugeschrieben wurde , als wäre er "verrückt", - völliger Unsinn! Er weiß genau, was er will, und weiß, wie er das Ziel erreicht."

Der Film, für den der Mathematiker Kontakt aufgenommen und sich bereit erklärt hat, zu helfen, wird nicht von ihm selbst handeln, sondern von der Zusammenarbeit und Konfrontation der drei wichtigsten mathematischen Schulen der Welt: Russisch, Chinesisch und Amerikanisch, die auf dem Weg des Studiums am weitesten fortgeschritten sind und Verwaltung des Universums.

Auf die Frage, warum Perelman eine Million ablehnte, antwortete er:

"Ich weiß, wie man das Universum verwaltet. Und sag mir - warum sollte ich einer Million hinterherlaufen?"

Der Wissenschaftler ist beleidigt, wie er in der russischen Presse genannt wird

Perelman erklärte, er kommuniziere nicht mit Journalisten, weil sie sich nicht mit Wissenschaft befassen, sondern mit persönlichen und häuslichen Themen – von den Gründen für die Ablehnung einer Million bis zur Frage des Haare- und Nagelschneidens.

Konkret will er die russischen Medien wegen der respektlosen Haltung ihm gegenüber nicht kontaktieren. Zum Beispiel nennen sie ihn in der Presse Grisha, und solche Vertrautheit beleidigt.

Grigory Perelman sagte das seitdem Schuljahre an das sogenannte "Gehirntraining" gewöhnt. Als er sich daran erinnerte, wie er als "Delegierter" der UdSSR empfangen wurde Goldmedaille bei der Mathematik-Olympiade in Budapest sagte er: „Wir haben versucht, Probleme zu lösen, bei denen die Fähigkeit zu abstraktem Denken eine unabdingbare Voraussetzung war.

In dieser Abstraktion von der mathematischen Logik lag es Hauptpunkt tägliches Training. Um die richtige Lösung zu finden, musste man sich ein „Stück Welt“ vorstellen.

Als Beispiel für eine solch „schwierige“ Aufgabe nannte er Folgendes: „Erinnere dich biblische Legende darüber, wie Jesus Christus auf dem Wasser ging, wie auf dem Trockenen. Also musste ich ausrechnen, wie schnell er sich durch das Wasser bewegen musste, um nicht durchzufallen.

Seitdem hat Perelman all seine Aktivitäten dem Studium des Problems gewidmet, die Eigenschaften des dreidimensionalen Raums des Universums zu untersuchen: „Das ist sehr interessant, ich versuche, die Unermesslichkeit anzunehmen.

Der Wissenschaftler schrieb seine Dissertation unter der Leitung von Akademiker Aleksandrov. „Das Thema war einfach: ‚Sattelflächen in der euklidischen Geometrie‘. Können Sie sich Flächen vorstellen, die gleich groß und im Unendlichen ungleichmäßig voneinander beabstandet sind? Wir müssen die ‚Höhlen‘ zwischen ihnen messen“, erklärte der Mathematiker.

Was bedeutet Perelmans Entdeckung, die die Geheimdienste der Welt erschreckt?

Die „Formel des Universums“ Poincarés Aussage wird wegen ihrer Bedeutung bei der Erforschung komplexer physikalischer Vorgänge in der Theorie des Universums genannt und weil sie eine Antwort auf die Frage nach der Gestalt des Universums gibt. Diese Beweise werden eine große Rolle bei der Entwicklung der Nanotechnologie spielen."

"Ich habe gelernt, wie man Hohlräume berechnet, zusammen mit meinen Kollegen werden wir die Mechanismen lernen, um soziale und wirtschaftliche "Leerstellen" zu füllen", sagte er. "Leerstellen sind überall. Sie können berechnet werden, und das bietet große Möglichkeiten ...

Laut der Veröffentlichung hat das Ausmaß dessen, was Grigori Jakowlewitsch entdeckt hat, der der heutigen Weltwissenschaft tatsächlich einen Schritt voraus ist, ihn zum Gegenstand ständigen Interesses nicht nur russischer, sondern auch ausländischer Spezialdienste gemacht.

Er verstand ein Superwissen, das hilft, das Universum zu verstehen. Und hier stellen sich Fragen dieser Art: "Was passiert, wenn sein Wissen praktische Umsetzung findet?"

Tatsächlich müssen die Geheimdienste wissen – ist Perelman, oder besser gesagt, sein Wissen, eine Bedrohung für die Menschheit? Denn wenn es mit Hilfe seines Wissens möglich ist, das Universum in einen Punkt zu verwandeln und ihn dann zu entfalten, können wir dann in einer anderen Eigenschaft sterben oder wiedergeboren werden? Und dann werden wir sein? Und müssen wir das Universum überhaupt verwalten?

UND ZU DIESER ZEIT

Geniale Mutter: „Stell uns keine Fragen über Geld!“

Als bekannt wurde, dass der Mathematiker mit dem Millennium-Preis ausgezeichnet wurde, versammelte sich eine Menge Journalisten vor seiner Tür. Jeder wollte Perelman persönlich gratulieren und herausfinden, ob er seine legitime Million nehmen würde.

Wir klopften lange an die schwache Tür (wenn wir sie nur durch Prämiengeld ersetzen könnten), aber der Mathematiker öffnete sie nicht. Aber seine Mutter punktierte das „i“ ziemlich verständlich direkt vom Flur aus.

Wir wollen mit niemandem sprechen und werden keine Interviews geben, - schrie Lyubov Leibovna. - Und stellen Sie uns keine Fragen zu dieser Auszeichnung und diesem Geld.

Die Leute, die im selben Eingang wohnten, waren sehr überrascht, ein plötzliches Interesse an Perelman zu sehen.

Ist unsere Grischa verheiratet? einer der Nachbarn kicherte. - Oh, ich habe eine Auszeichnung bekommen. Nochmal. Nein, das nimmt er nicht. Er braucht überhaupt nichts, lebt von einem Cent, ist aber auf seine Art glücklich.

Sie sagen, dass am Vorabend der Mathematiker mit vollen Paketen von Produkten aus dem Laden gesehen wurde. Er bereitete sich darauf vor, mit seiner Mutter "die Belagerung aufrechtzuerhalten". Das letzte Mal, als der Rummel um die Auszeichnung in der Presse begann, verließ Perelman die Wohnung drei Wochen lang nicht.

ÜBRIGENS

Für was sonst geben sie eine Million Dollar ...

1998 wurde mit den Mitteln des Milliardärs Landon T. Clay das Clay Mathematics Institute in Cambridge (USA) gegründet, um die Mathematik bekannt zu machen. Am 24. Mai 2000 wählten die Experten des Instituts die ihrer Meinung nach sieben rätselhaftesten Probleme aus. Und sie setzten jedem eine Million Dollar zu.

Die Liste ist benannt .

1. Cooks Problem

Es muss festgestellt werden, ob die Überprüfung der Richtigkeit der Lösung eines Problems länger dauern kann als das Erhalten der Lösung selbst. Diese logische Aufgabe ist wichtig für Spezialisten in der Kryptographie - Datenverschlüsselung.

2. Riemann-Hypothese

Es gibt sogenannte Primzahlen, wie 2, 3, 5, 7 usw., die nur durch sich selbst teilbar sind. Wie viele es sind, ist nicht bekannt. Riemann glaubte, dies feststellen und die Regelmäßigkeit ihrer Verteilung feststellen zu können. Wer es findet, erbringt auch Kryptografiedienste.

3. Birch- und Swinnerton-Dyer-Hypothese

Das Problem bezieht sich auf das Lösen von Gleichungen mit drei potenzierten Unbekannten. Wir müssen herausfinden, wie wir sie lösen können, egal wie schwierig sie sind.

4. Hodge-Hypothese

Im zwanzigsten Jahrhundert entdeckten Mathematiker eine Methode zur Untersuchung der Form komplexe Objekte. Die Idee ist, anstelle des Objekts selbst einfache „Bausteine“ zu verwenden, die zusammengeklebt werden und sein Ebenbild bilden. Wir müssen beweisen, dass dies immer zulässig ist.

5. Navier-Stokes-Gleichungen

Es lohnt sich, sich im Flugzeug an sie zu erinnern. Die Gleichungen beschreiben die Luftströmungen, die es in der Luft halten. Nun werden die Gleichungen näherungsweise nach Näherungsformeln gelöst. Es ist notwendig, exakte zu finden und zu beweisen, dass es im dreidimensionalen Raum eine Lösung der Gleichungen gibt, die immer wahr ist.

6. Yang-Mills-Gleichungen

In der Welt der Physik gibt es eine Hypothese: Wenn ein Elementarteilchen eine Masse hat, dann existiert auch seine untere Grenze. Aber welcher ist nicht klar. Du musst zu ihm kommen. Dies ist vielleicht die schwierigste Aufgabe. Um es zu lösen, ist es notwendig, eine "Theorie von allem" zu erstellen - Gleichungen, die alle Kräfte und Wechselwirkungen in der Natur kombinieren. Wem das gelingt, dem wird mit Sicherheit der Nobelpreis zuteil.

Die letzte große Errungenschaft der reinen Mathematik ist der Beweis der Poincaré-Vermutung, die 1904 formuliert wurde und besagt: „Jede zusammenhängende, einfach zusammenhängende, kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand, ist homöomorph zur Sphäre S 3 “ von Grigory Perelman aus St. Petersburg 2002–2003.

Es gibt mehrere Begriffe in diesem Satz, die ich versuchen werde, so zu erklären, dass ihre allgemeine Bedeutung für Nicht-Mathematiker klar wird (ich gehe davon aus, dass der Leser fertig ist weiterführende Schule und erinnert sich noch an etwas aus der Schulmathematik).

Beginnen wir mit dem Konzept der Homöomorphie, das in der Topologie zentral ist. Im Allgemeinen wird Topologie oft als "Gummigeometrie" definiert, d. h. als die Wissenschaft von den Eigenschaften geometrischer Bilder, die sich bei glatten Verformungen ohne Lücken und Kleben nicht ändern, oder besser gesagt, wenn es möglich ist, eine Eins-zu- Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen zwei Objekten .

Die Grundidee lässt sich am einfachsten am klassischen Beispiel eines Bechers und eines Bagels erklären. Der erste kann durch kontinuierliche Verformung in den zweiten umgewandelt werden.

Diese Figuren zeigen deutlich, dass der Becher homöomorph zum Donut ist, und diese Tatsache gilt sowohl für ihre Oberflächen (zweidimensionale Mannigfaltigkeiten, Torus genannt) als auch für gefüllte Körper (dreidimensionale Mannigfaltigkeiten mit Begrenzung).

Lassen Sie uns eine Interpretation der restlichen Begriffe geben, die in der Formulierung der Hypothese vorkommen.

Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung. Dies ist ein solches geometrisches Objekt, bei dem jeder Punkt eine Nachbarschaft in Form einer dreidimensionalen Kugel hat. Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten sind zum einen der gesamte dreidimensionale Raum, bezeichnet mit R 3 , sowie beliebige offene Mengen Punkte in R 3 , zum Beispiel das Innere eines festen Torus (Donut). Betrachten wir einen geschlossenen festen Torus, d. h. addieren seine Randpunkte (die Oberfläche eines Torus), dann erhalten wir bereits eine Mannigfaltigkeit mit einer Grenze – die Randpunkte haben keine Nachbarschaften in Form einer Kugel, sondern nur in der Form einer halben Kugel.
In Verbindung gebracht. Das Konzept der Konnektivität ist hier das einfachste. Eine Mannigfaltigkeit ist zusammenhängend, wenn sie aus einem Stück besteht, oder, was dasselbe ist, zwei beliebige ihrer Punkte können durch eine durchgehende Linie verbunden werden, die nicht über ihre Grenzen hinausgeht.
Einfach verbunden. Der Begriff der Einzelverbundenheit ist komplizierter. Das bedeutet, dass jede kontinuierliche geschlossene Kurve, die sich vollständig innerhalb einer gegebenen Mannigfaltigkeit befindet, glatt zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, ohne diese Mannigfaltigkeit zu verlassen. Beispielsweise wird eine gewöhnliche zweidimensionale Kugel im R 3 einfach verbunden (ein elastisches Band, das willkürlich an der Oberfläche eines Apfels befestigt ist, kann durch eine sanfte Verformung zu einem Punkt zusammengezogen werden, ohne das elastische Band vom Apfel zu reißen). Andererseits sind der Kreis und der Torus nicht einfach verbunden.
Kompakt. Eine Mannigfaltigkeit ist kompakt, wenn eines ihrer homöomorphen Bilder beschränkte Dimensionen hat. Beispielsweise ist ein offenes Intervall auf einer Linie (alle Punkte eines Segments außer seinen Enden) nicht kompakt, da es kontinuierlich zu einer unendlichen Linie erweitert werden kann. Aber ein geschlossenes Segment (mit Enden) ist eine kompakte Mannigfaltigkeit mit einer Grenze: Bei jeder kontinuierlichen Verformung gehen die Enden zu bestimmten Punkten, und das gesamte Segment muss in eine begrenzte Kurve gehen, die diese Punkte verbindet.

Abmessungen Mannigfaltigkeiten ist die Anzahl der Freiheitsgrade an dem Punkt, der davon "lebt". Jeder Punkt hat eine Nachbarschaft in Form einer Scheibe der entsprechenden Dimension, d. h. ein Intervall einer Linie im eindimensionalen Fall, eines Kreises in der Ebene im zweidimensionalen Fall, einer Kugel im dreidimensionalen Fall usw. Topologisch gesehen gibt es nur zwei eindimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeiten ohne Rand: das ist die Linie und der Kreis. Von diesen ist nur der Kreis kompakt.

Ein Beispiel für einen Raum, der keine Mannigfaltigkeit ist, ist zum Beispiel ein Paar sich schneidender Linien – schließlich hat jede Nachbarschaft am Schnittpunkt zweier Linien die Form eines Kreuzes, es gibt keine Nachbarschaft, die dies tun würde selbst nur ein Intervall sein (und alle anderen Punkte haben solche Nachbarschaften). Mathematiker sagen in solchen Fällen, dass wir es mit einer singulären Mannigfaltigkeit zu tun haben, die einen singulären Punkt hat.

Zweidimensionale kompakte Verteiler sind gut bekannt. Wenn wir nur überlegen orientiert Mannigfaltigkeiten ohne Rand, dann bilden sie aus topologischer Sicht eine einfache, wenn auch unendliche Liste: und so weiter. Jede solche Mannigfaltigkeit wird aus einer Kugel durch Kleben mehrerer Griffe erhalten, deren Anzahl als Gattung der Oberfläche bezeichnet wird.

Die Abbildung zeigt Oberflächen der Gattung 0, 1, 2 und 3. Wie hebt sich eine Kugel von allen Oberflächen in dieser Liste ab? Es stellt sich heraus, dass es einfach verbunden ist: Auf einer Kugel kann jede geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammengezogen werden, und auf jeder anderen Oberfläche ist es immer möglich, eine Kurve anzugeben, die nicht zu einem Punkt entlang der Oberfläche zusammengezogen werden kann.

Es ist merkwürdig, dass dreidimensionale kompakte Mannigfaltigkeiten ohne Rand auch in einem bestimmten Sinne klassifiziert werden können, dh in einer bestimmten Liste angeordnet sind, obwohl sie nicht so einfach sind wie im zweidimensionalen Fall, aber eine ziemlich komplexe Struktur haben. Die 3D-Kugel S 3 sticht in dieser Liste jedoch genauso heraus wie die 2D-Kugel in der obigen Liste. Dass sich jede Kurve auf S 3 zu einem Punkt zusammenzieht, lässt sich genauso einfach beweisen wie im zweidimensionalen Fall. Aber die umgekehrte Behauptung, dass diese Eigenschaft gerade für die Kugel einzigartig ist, d. h. dass es auf jeder anderen dreidimensionalen Mannigfaltigkeit nicht kontrahierbare Kurven gibt, ist sehr schwierig und bildet genau den Inhalt der Poincaré-Vermutung, von der wir sprechen .

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Mannigfaltigkeit für sich allein leben kann, sie kann als unabhängiges Objekt betrachtet werden, das nirgendwo verschachtelt ist. (Stellen Sie sich lebende zweidimensionale Wesen auf der Oberfläche einer gewöhnlichen Kugel vor, die sich der Existenz einer dritten Dimension nicht bewusst sind.) Glücklicherweise können alle zweidimensionalen Oberflächen aus der obigen Liste in den üblichen R 3 -Raum eingebettet werden, was ergibt sie leichter zu visualisieren. Für die 3-Sphären S 3 (und im Allgemeinen für jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung) ist dies nicht mehr der Fall, so dass einige Anstrengungen erforderlich sind, um ihre Struktur zu verstehen.

Scheinbar einfachste Weg Der topologische Aufbau der dreidimensionalen Kugel S 3 lässt sich mit Hilfe der Einpunktkompaktifizierung erklären. Die dreidimensionale Kugel S 3 ist nämlich eine Ein-Punkt-Verdichtung des gewöhnlichen dreidimensionalen (unbegrenzten) Raums R 3 .

Lassen Sie uns diese Konstruktion zunächst erläutern einfache Beispiele. Nehmen wir eine gewöhnliche unendliche gerade Linie (ein eindimensionales Analogon des Raums) und fügen ihr einen „unendlich entfernten“ Punkt hinzu, wobei wir davon ausgehen, dass wir schließlich an diesen Punkt gelangen, wenn wir uns entlang einer geraden Linie nach rechts oder links bewegen. Aus topologischer Sicht gibt es keinen Unterschied zwischen einer unendlichen Linie und einem begrenzten offenen Segment (ohne Endpunkte). Ein solches Segment kann kontinuierlich in Form eines Bogens gebogen werden, die Enden näher zusammenbringen und die fehlende Stelle in die Verbindungsstelle kleben. Wir erhalten offensichtlich einen Kreis - ein eindimensionales Analogon einer Kugel.

Wenn ich in ähnlicher Weise eine unendliche Ebene nehme und einen Punkt im Unendlichen hinzufüge, zu dem alle Linien der ursprünglichen Ebene verlaufen, die in eine beliebige Richtung verlaufen, dann erhalten wir eine zweidimensionale (gewöhnliche) Kugel S 2 . Dieser Vorgang lässt sich anhand einer stereografischen Projektion beobachten, die jedem Punkt P der Kugel, mit Ausnahme des Nordpols von N, einen bestimmten Punkt der Ebene P zuordnet.

Somit ist eine Kugel ohne einen Punkt topologisch dasselbe wie eine Ebene, und das Hinzufügen eines Punktes verwandelt die Ebene in eine Kugel.

Im Prinzip ist genau die gleiche Konstruktion auf eine dreidimensionale Kugel und einen dreidimensionalen Raum anwendbar, nur ist für ihre Umsetzung der Eintritt in die vierte Dimension erforderlich, was auf der Zeichnung nicht so einfach darzustellen ist. Also werde ich mich einschränken verbale Beschreibung Ein-Punkt-Verdichtung des Raums R 3 .

Stellen Sie sich vor, dass zu unserem physikalischen Raum (den wir nach Newton als unbegrenzten euklidischen Raum mit drei Koordinaten x, y, z betrachten) ein Punkt „im Unendlichen“ hinzugefügt wird, so dass bei einer Bewegung entlang einer geraden Linie in jedem Richtung, du fällst (d.h. jede räumliche Linie schließt sich zu einem Kreis). Dann erhalten wir eine kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit, die per Definition die Kugel S 3 ist.

Es ist leicht zu sehen, dass die Kugel S 3 einfach zusammenhängend ist. Tatsächlich kann jede geschlossene Kurve auf dieser Kugel leicht verschoben werden, sodass sie nicht durch den hinzugefügten Punkt verläuft. Dann erhalten wir eine Kurve im üblichen Raum R 3 , die durch Homothetie, also stetige Kontraktion in alle drei Richtungen, leicht auf einen Punkt zusammengezogen werden kann.

Um zu verstehen, wie die Mannigfaltigkeit S 3 aufgebaut ist, ist es sehr aufschlussreich, ihre Aufteilung in zwei feste Tori zu betrachten. Wenn der massive Torus aus dem Raum R 3 weggelassen wird, dann bleibt etwas nicht sehr Deutliches übrig. Und wenn der Raum zu einer Kugel verdichtet wird, dann wird auch diese Ergänzung zu einem festen Torus. Das heißt, die Kugel S 3 ist in zwei massive Tori mit einer gemeinsamen Grenze – einem Torus – geteilt.

Hier ist, wie es verstanden werden kann. Lassen Sie uns den Torus wie gewohnt in Form eines runden Donuts in R 3 einbetten und eine vertikale Linie zeichnen - die Rotationsachse dieses Donuts. Wir zeichnen eine beliebige Ebene durch die Achse, die unseren festen Torus in zwei in der Abbildung gezeigten Kreisen schneidet in grün, und der zusätzliche Teil der Ebene ist in eine fortlaufende Familie roter Kreise unterteilt. Darunter ist die Mittelachse fetter hervorgehoben, weil sich in der Sphäre S 3 die Linie zu einem Kreis schließt. Aus diesem zweidimensionalen wird durch Drehung um eine Achse ein dreidimensionales Bild. Ein vollständiger Satz gedrehter Kreise füllt dann einen dreidimensionalen Körper, der homöomorph zu einem festen Torus ist und nur ungewöhnlich aussieht.

Tatsächlich wird die Mittelachse darin ein axialer Kreis sein, und der Rest wird die Rolle von Parallelen spielen - Kreisen, die den üblichen festen Torus bilden.

Um etwas Vergleichbares für die 3er-Kugel zu haben, gebe ich ein weiteres Beispiel einer kompakten 3er-Mannigfaltigkeit, nämlich einen dreidimensionalen Torus. Ein dreidimensionaler Torus kann wie folgt konstruiert werden. Nehmen wir als Ausgangsmaterial einen gewöhnlichen dreidimensionalen Würfel:

Es hat drei Seitenpaare: links und rechts, oben und unten, vorne und hinten. In jedem Paar paralleler Flächen identifizieren wir paarweise die Punkte, die wir voneinander erhalten haben, indem wir entlang der Kante des Würfels übertragen. Das heißt, wir nehmen an (rein abstrakt, ohne physikalische Verformungen anzuwenden), dass zum Beispiel A und A "derselbe Punkt sind und B und B" ebenfalls ein Punkt sind, aber von Punkt A verschieden sind. Alle internen Punkte des Würfel werden wir wie gewohnt betrachten. Der Würfel selbst ist eine Mannigfaltigkeit mit einer Grenze, aber nach dem Kleben schließt sich die Grenze und verschwindet. Tatsächlich sind die Nachbarschaften der Punkte A und A" im Würfel (sie liegen auf den linken und rechten schattierten Flächen) die Hälften der Kugeln, die nach dem Zusammenkleben der Flächen zu einer ganzen Kugel verschmelzen, die als dient Nachbarschaft des entsprechenden Punktes des dreidimensionalen Torus.

Um die Struktur eines 3-Torus zu spüren, der auf gewöhnlichen Vorstellungen über den physischen Raum basiert, müssen Sie drei zueinander senkrechte Richtungen wählen: vorwärts, links und oben - und wie in Science-Fiction-Geschichten geistig überlegen, ob Sie sich in einer der Richtungen bewegen diese Richtungen, eine ziemlich lange, aber endliche Zeit, werden wir zum Ausgangspunkt zurückkehren, aber aus der entgegengesetzten Richtung. Dies ist auch eine „Verdichtung des Raums“, aber keine Einpunkt-, die früher verwendet wurde, um eine Kugel zu konstruieren, sondern komplexer.

Es gibt nicht kontrahierbare Pfade auf dem 3-Torus; Dies ist beispielsweise das Segment AA" in der Abbildung (auf dem Torus stellt es einen geschlossenen Pfad dar). Es kann nicht zusammengezogen werden, da sich die Punkte A und A" für eine kontinuierliche Verformung entlang ihrer Flächen bewegen müssen und sich genau gegenüberstehen andere (andernfalls öffnet sich die Kurve).

Wir sehen also, dass es einfach zusammenhängende und nicht einfach zusammenhängende kompakte 3er-Mannigfaltigkeiten gibt. Perelman bewies, dass eine einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit genau eine ist.

Ausgangspunkt des Beweises ist die Verwendung des sogenannten „Ricci-Flusses“: Wir nehmen eine einfach zusammenhängende kompakte 3er-Mannigfaltigkeit, statten sie mit einer beliebigen Geometrie aus (d. h. führen irgendeine Metrik mit Abständen und Winkeln ein) und betrachten dann seine Entwicklung entlang des Ricci-Flusses. Richard Hamilton, der diese Idee 1981 vorschlug, hoffte, dass sich unsere Mannigfaltigkeit mit dieser Evolution in eine Kugel verwandeln würde. Es stellte sich heraus, dass dies nicht stimmt - im dreidimensionalen Fall ist der Ricci-Fluss in der Lage, die Mannigfaltigkeit zu verderben, dh sie zu einer kleinen Mannigfaltigkeit zu machen (etwas mit singulären Punkten, wie im obigen Beispiel von sich schneidenden Linien). Perelman gelang es unter Überwindung unglaublicher technischer Schwierigkeiten mit dem schweren Apparat partieller Differentialgleichungen, den Ricci-Fluss in der Nähe singulärer Punkte so zu ändern, dass sich während der Evolution die Topologie der Mannigfaltigkeit nicht ändert, es keine singulären Punkte gibt und so weiter Am Ende verwandelt es sich in eine runde Kugel. Aber es muss schließlich erklärt werden, was dieser Ricci-Fluss ist. Die von Hamilton und Perelman verwendeten Flüsse beziehen sich auf eine Änderung der intrinsischen Metrik auf einer abstrakten Mannigfaltigkeit, und dies ist ziemlich schwierig zu erklären, daher beschränke ich mich darauf, den "externen" Ricci-Fluss auf eindimensionalen Mannigfaltigkeiten zu beschreiben, die in eine Ebene eingebettet sind .

Stellen Sie sich eine glatte geschlossene Kurve auf der euklidischen Ebene vor, wählen Sie eine Richtung darauf und betrachten Sie an jedem Punkt einen Tangentenvektor der Einheitslänge. Wenn Sie dann in der gewählten Richtung um die Kurve gehen, dreht sich dieser Vektor mit einer gewissen Winkelgeschwindigkeit, die als Krümmung bezeichnet wird. Wo die Kurve steiler ist, wird die Krümmung (im absoluten Wert) größer sein, und wo sie glatter ist, wird die Krümmung geringer sein.

Die Krümmung wird als positiv angesehen, wenn sich der Geschwindigkeitsvektor zum inneren Teil der durch unsere Kurve in zwei Teile geteilten Ebene dreht, und als negativ, wenn er sich nach außen dreht. Diese Konvention ist unabhängig von der Richtung, in der die Kurve durchlaufen wird. An Wendepunkten, an denen die Drehung die Richtung ändert, ist die Krümmung 0. Beispielsweise hat ein Kreis mit Radius 1 eine konstante positive Krümmung von 1 (gemessen im Bogenmaß).

Vergessen wir jetzt die Tangentenvektoren und befestigen wir im Gegenteil an jedem Punkt der Kurve einen Vektor senkrecht dazu, der an einem bestimmten Punkt gleich lang wie die Krümmung ist und nach innen gerichtet ist, wenn die Krümmung positiv ist, und nach außen, wenn sie negativ ist , und dann zwingen wir jeden Punkt, sich in Richtung des entsprechenden Vektors mit einer Geschwindigkeit proportional zu seiner Länge zu bewegen. Hier ist ein Beispiel:

Es stellt sich heraus, dass sich jede geschlossene Kurve auf der Ebene während einer solchen Entwicklung ähnlich verhält, d.h. sie verwandelt sich schließlich in einen Kreis. Dies ist der Beweis des eindimensionalen Analogons der Poincare-Vermutung unter Verwendung des Ricci-Flusses (die Aussage selbst ist in diesem Fall jedoch bereits offensichtlich, nur die Beweismethode veranschaulicht, was in Dimension 3 passiert).

Abschließend stellen wir fest, dass Perelmans Argument nicht nur die Poincaré-Vermutung beweist, sondern auch die viel allgemeinere Thurston-Geometrisierungsvermutung, die in in gewissem Sinne beschreibt allgemein den Aufbau aller kompakten 3er-Mannigfaltigkeiten. Aber dieses Thema liegt außerhalb des Rahmens dieses elementaren Artikels.

Aus Platzgründen werde ich nicht über nicht orientierbare Mannigfaltigkeiten sprechen, ein Beispiel dafür ist die berühmte Klein-Flasche - eine Oberfläche, die nicht in einen Raum ohne Selbstüberschneidungen eingebettet werden kann.

Das Clay Institute of Mathematics verlieh Grigory Perelman den Millennium Prize und erkannte damit offiziell den Beweis der Poincaré-Vermutung durch einen russischen Mathematiker als richtig an. Bemerkenswert ist, dass das Institut dabei gegen seine eigenen Regeln verstoßen musste – demnach kann nur ein Autor, der seine Arbeit in Fachzeitschriften mit Peer-Review veröffentlicht hat, behaupten, etwa eine Million Dollar erhalten zu haben, das ist genau die Höhe der Preis. Grigory Perelmans Werk erblickte nie offiziell das Licht der Welt – es blieb als eine Reihe von mehreren Preprints auf der Website arXiv.org (eins, zwei und drei). Dabei ist es nicht so wichtig, was zu der Entscheidung des Instituts geführt hat – die Verleihung des Millennium-Preises beendet eine über 100-jährige Geschichte.

Becher, Donut und etwas Topologie

Bevor Sie herausfinden, was die Poincaré-Vermutung ist, müssen Sie verstehen, zu welchem Zweig der Mathematik – der Topologie – genau diese Hypothese gehört. Die Topologie von Mannigfaltigkeiten befasst sich mit den Eigenschaften von Oberflächen, die sich unter bestimmten Verformungen nicht ändern. Lassen Sie es uns anhand eines klassischen Beispiels erklären. Angenommen, der Leser hat einen Donut und eine leere Tasse vor sich. Aus der Sicht der Geometrie und des gesunden Menschenverstands sind dies unterschiedliche Objekte, schon weil Sie nicht in der Lage sein werden, mit all Ihrer Lust Kaffee aus einem Donut zu trinken.

Der Topologe wird jedoch sagen, dass die Tasse und der Donut dasselbe sind. Und er wird es so erklären: Stellen Sie sich vor, dass eine Tasse und ein Donut innen hohle Oberflächen aus einem sehr elastischen Material sind (ein Mathematiker würde sagen, dass es ein Paar kompakter zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten gibt). Führen wir ein spekulatives Experiment durch: Zuerst blasen wir den Boden des Bechers auf und dann seinen Griff, danach verwandelt er sich in einen Torus (so wird die Donut-Form mathematisch genannt). Sie können sehen, wie dieser Prozess aussieht.

Natürlich hat ein neugieriger Leser eine Frage: Da Oberflächen zerknittert sein können, wie können sie unterschieden werden? Denn es ist zum Beispiel intuitiv klar – egal wie man sich einen Torus vorstellt, man bekommt daraus keine Kugel ohne Lücken und Verklebungen. Hier kommen die sogenannten Invarianten ins Spiel – Oberflächeneigenschaften, die sich unter Verformung nicht ändern – ein Konzept, das für die Formulierung der Poincaré-Hypothese notwendig ist.

Der gesunde Menschenverstand sagt uns, dass ein Loch einen Torus von einer Kugel unterscheidet. Ein Loch ist jedoch weit entfernt von einem mathematischen Konzept, daher muss es formalisiert werden. Dies geschieht wie folgt - stellen Sie sich vor, wir haben einen sehr dünnen elastischen Faden auf der Oberfläche, der eine Schleife bildet (in diesem spekulativen Experiment betrachten wir im Gegensatz zum vorherigen die Oberfläche selbst als fest). Wir werden die Schleife bewegen, ohne sie von der Oberfläche abzureißen und ohne sie zu brechen. Wenn der Faden auf einen sehr kleinen Kreis (fast einen Punkt) zusammengezogen werden kann, wird die Schleife als zusammenziehbar bezeichnet. Andernfalls wird die Schleife als nicht einziehbar bezeichnet.

Die Fundamentalgruppe eines Torus wird mit n 1 (T 2) bezeichnet. Da es nicht trivial ist, bilden die Arme der Maus eine nicht einziehbare Schleife. Die Traurigkeit im Gesicht des Tieres ist das Ergebnis der Erkenntnis dieser Tatsache.

Es ist also leicht zu erkennen, dass jede Schleife auf einer Kugel kontrahierbar ist (Sie können sehen, wie es ungefähr aussieht), aber für einen Torus ist dies nicht mehr der Fall: Es gibt bis zu zwei Schleifen auf einem Donut - eine ist eingefädelt ein Loch, und der andere umgeht das Loch "entlang des Umfangs", - der nicht gezogen werden kann. In diesem Bild sind Beispiele für nicht kontrahierbare Schleifen in Rot und dargestellt lila bzw. Wenn es Schleifen auf der Oberfläche gibt, sagen Mathematiker, dass "die Fundamentalgruppe einer Varietät nicht trivial ist", und wenn es keine solchen Schleifen gibt, dann ist sie trivial.

Um nun die Poincare-Vermutung ehrlich zu formulieren, muss sich der neugierige Leser noch etwas gedulden: Wir müssen herausfinden, was eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit im Allgemeinen und eine dreidimensionale Sphäre im Besonderen sind.

Kehren wir für einen Moment zu den oben besprochenen Oberflächen zurück. Jeder von ihnen kann in so kleine Stücke geschnitten werden, dass jedes fast einem Stück des Flugzeugs ähnelt. Da die Ebene nur zwei Dimensionen hat, wird auch die Mannigfaltigkeit als zweidimensional bezeichnet. Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit ist eine Oberfläche, die in kleine Stücke geschnitten werden kann, von denen jedes einem Stück gewöhnlichen dreidimensionalen Raums sehr ähnlich ist.

Chef" Schauspieler„Die Hypothese ist eine dreidimensionale Kugel. Es ist wahrscheinlich unmöglich, sich eine dreidimensionale Kugel als Analogon einer gewöhnlichen Kugel im vierdimensionalen Raum vorzustellen, ohne den Verstand zu verlieren. Es ist jedoch ziemlich einfach, dieses Objekt so zu beschreiben sprich, "in Teilen" ganz einfach Jeder, der einen Globus gesehen hat, weiß, dass eine gewöhnliche Kugel von Norden her zusammengeklebt werden kann südlichen Hemisphäre entlang des Äquators. Eine dreidimensionale Kugel wird also aus zwei Kugeln (nördlich und südlich) entlang einer Kugel zusammengeklebt, die ein Analogon zum Äquator ist.

Auf dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten kann man die gleichen Schleifen betrachten, die wir auf gewöhnlichen Oberflächen genommen haben. Die Poincaré-Vermutung besagt also: "Wenn die Fundamentalgruppe einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit trivial ist, dann ist sie homöomorph zu einer Kugel." Der unverständliche Ausdruck „homöomorph zu einer Kugel“ bedeutet in die Umgangssprache übersetzt, dass die Oberfläche zu einer Kugel verformt werden kann.

Ein bisschen Geschichte

Generell kann man in der Mathematik eine Vielzahl komplexer Aussagen formulieren. Aber was macht diese oder jene Hypothese großartig, unterscheidet sie von den anderen? Seltsamerweise zeichnet sich die große Hypothese jedoch durch eine große Anzahl falscher Beweise aus, von denen jeder einen großen Fehler enthält - eine Ungenauigkeit, die oft zur Entstehung eines ganz neuen Abschnitts der Mathematik führt.

So formulierte Henri Poincaré, der sich unter anderem durch die Fähigkeit zu brillanten Fehlern auszeichnete, die Hypothese zunächst in einer etwas anderen Form als wir oben geschrieben haben. Einige Zeit später gab er seiner Behauptung, die als homologische Poincaré-3-Sphäre bekannt wurde, ein Gegenbeispiel und formulierte bereits 1904 eine Vermutung moderne Form. Übrigens haben Wissenschaftler die Kugel kürzlich in der Astrophysik adaptiert - es stellte sich heraus, dass sich das Universum durchaus als eine homologe Poincaré-3-Kugel herausstellen könnte.

Es muss gesagt werden, dass die Hypothese bei anderen Geometern keine große Aufregung hervorrief. So blieb es bis 1934, als der britische Mathematiker John Henry Whitehead seine Version des Beweises der Hypothese präsentierte. Sehr bald jedoch fand er selbst einen Denkfehler, der später zur Entstehung der ganzen Theorie der Whitehead-Mannigfaltigkeiten führte.

Danach wurde der Ruhm einer äußerst schwierigen Aufgabe allmählich in der Hypothese verankert. Viele große Mathematiker versuchten, sie im Sturm zu erobern. Zum Beispiel der Amerikaner R.H.Bing, ein Mathematiker, der (ganz offiziell) Initialen statt Namen in Urkunden schreiben ließ. Er unternahm mehrere erfolglose Versuche, die Hypothese zu beweisen, und formulierte während dieses Prozesses eine eigene Aussage - die sogenannte "Property P-Vermutung" (Property P conjecture). Bemerkenswert ist, dass sich diese von Bing als Zwischenstellung betrachtete Aussage als fast komplizierter herausstellte als der Beweis der Poincaré-Vermutung selbst.

Es gab unter den Wissenschaftlern und Menschen, die ihr Leben hingaben, um dies zu beweisen mathematische Tatsache. Zum Beispiel der berühmte Mathematiker griechischer Herkunft Christos Papakiriakopoulos. Mehr als zehn Jahre lang, während er in Princeton arbeitete, versuchte er erfolglos, die Vermutung zu beweisen. Er starb 1976 an Krebs.

Es ist bemerkenswert, dass sich die Verallgemeinerung der Poincaré-Vermutung auf Mannigfaltigkeiten mit Dimensionen über drei als merklich einfacher herausstellte als das Original – zusätzliche Dimensionen machten es einfacher, Mannigfaltigkeiten zu manipulieren. Für n-dimensionale Mannigfaltigkeiten (wenn n mindestens 5 ist) wurde die Vermutung 1961 von Stephen Smale bewiesen. Für n = 4 wurde die Vermutung durch eine völlig andere Methode als die von Smale im Jahr 1982 von Michael Friedman bewiesen. Letzterer erhielt für seinen Nachweis die Fields-Medaille - die höchste Auszeichnung für Mathematiker.

Die beschriebenen Werke sind weit davon entfernt volle Liste Versuche, mehr als ein Jahrhundert Hypothesen zu lösen. Und obwohl jede der Arbeiten zur Entstehung einer ganzen Richtung in der Mathematik führte und in diesem Sinne als erfolgreich und bedeutsam gelten kann, gelang es nur dem Russen Grigory Perelman, die Poincaré-Vermutung endgültig zu beweisen.

Perelman und Beweis

1992 Grigory Perelman, damals Mitarbeiter des Mathematischen Instituts. Steklov, kam zum Vortrag von Richard Hamilton. Der amerikanische Mathematiker sprach über Ricci-Flüsse – ein neues Werkzeug zur Untersuchung von Thurstons Geometrisierungsvermutung – eine Tatsache, aus der die Poincaré-Vermutung als einfache Konsequenz abgeleitet wurde. Diese Strömungen, die gewissermaßen in Analogie zu den Wärmeübertragungsgleichungen konstruiert wurden, führten dazu, dass sich die Oberflächen im Laufe der Zeit auf die gleiche Weise verformten, wie wir zweidimensionale Oberflächen am Anfang dieses Artikels verformt haben. Es stellte sich heraus, dass in einigen Fällen das Ergebnis einer solchen Verformung ein Objekt war, dessen Struktur leicht zu verstehen ist. Die Hauptschwierigkeit bestand darin, dass während der Deformation Singularitäten mit unendlicher Krümmung entstanden, in gewissem Sinne analog zu Schwarzen Löchern in der Astrophysik.

Nach dem Vortrag trat Perelman an Hamilton heran. Später sagte er, Richard habe ihn angenehm überrascht: "Er lächelte und war sehr geduldig. Er erzählte mir sogar einige Fakten, die nur ein paar Jahre später veröffentlicht wurden. Er tat dies ohne zu zögern. Seine Offenheit und Freundlichkeit erstaunten mich. Ich kann es nicht sagen." dass sich die meisten modernen Mathematiker so verhalten."

Nach einer Reise in die Vereinigten Staaten kehrte Perelman nach Russland zurück, wo er begann, im Geheimen an der Lösung des Problems der Singularitäten von Ricci-Flüssen zu arbeiten und die Geometrisierungshypothese (und überhaupt nicht die Poincaré-Hypothese) zu beweisen. Es überrascht nicht, dass das Erscheinen von Perelmans erstem Preprint am 11. November 2002 die mathematische Gemeinschaft schockierte. Nach einiger Zeit erschienen ein paar weitere Werke.

Danach zog sich Perelman aus der Diskussion der Beweise zurück und hörte sogar auf, Mathematik zu betreiben. Auch als er 2006 mit der Fields-Medaille, der renommiertesten Auszeichnung für Mathematiker, ausgezeichnet wurde, unterbrach er sein einsames Leben nicht. Es macht keinen Sinn, die Gründe für dieses Verhalten des Autors zu diskutieren - ein Genie hat das Recht, sich seltsam zu verhalten (zum Beispiel hat Perelman in Amerika seine Nägel nicht geschnitten, damit sie frei wachsen können).

Wie dem auch sei, Perelmans Beweis nahm ein Eigenleben an: Drei Vorabdrucke verfolgten die modernen Mathematiker. Die ersten Ergebnisse der Prüfung der Ideen des russischen Mathematikers erschienen 2006 - die großen Geometer Bruce Kleiner und John Lott von der University of Michigan veröffentlichten einen Vorabdruck eigene Arbeit, eher wie ein Buch in der Größe - 213 Seiten. In dieser Arbeit haben Wissenschaftler alle Berechnungen von Perelman sorgfältig überprüft und die verschiedenen Aussagen, die in der Arbeit des russischen Mathematikers nur kurz angedeutet wurden, ausführlich erklärt. Das Urteil der Forscher war eindeutig: Die Beweise sind absolut korrekt.

Eine unerwartete Wendung in dieser Geschichte kam im Juli desselben Jahres. Im Tagebuch Asiatisches Journal für Mathematik Ein Artikel der chinesischen Mathematiker Xiping Zhu und Huaidong Cao mit dem Titel „Ein vollständiger Beweis der Thurston-Geometrisierungsvermutung und der Poincaré-Vermutung“ ist erschienen. Im Rahmen dieser Arbeit wurden Perelmans Ergebnisse als wichtig, nützlich, aber nur als Zwischenprodukt angesehen. diese Arbeit sorgte bei Fachleuten im Westen für Überraschung, erhielt aber im Osten sehr positive Kritiken. Die Ergebnisse wurden insbesondere von Shintan Yau – einem der Begründer der Calabi-Yau-Theorie, die den Grundstein für die Stringtheorie legte – sowie dem Lehrer von Cao und Ju gestützt. Durch einen glücklichen Zufall war es Yau, der Chefredakteur der Zeitschrift war. Asiatisches Journal für Mathematik in dem die Arbeit veröffentlicht wurde.

Danach begann der Mathematiker mit populären Vorträgen um die Welt zu reisen und sprach über die Errungenschaften chinesischer Mathematiker. Dadurch bestand die Gefahr, dass sehr bald die Ergebnisse von Perelman und sogar Hamilton in den Hintergrund gedrängt würden. Dies ist in der Geschichte der Mathematik mehr als einmal vorgekommen - viele Theoreme, die die Namen bestimmter Mathematiker tragen, wurden von völlig unterschiedlichen Personen erfunden.

Dies ist jedoch nicht geschehen und wird wahrscheinlich auch jetzt nicht geschehen. Die Verleihung des Clay Award an Perelman (auch wenn er sich weigert) hat sich für immer einzementiert öffentliches Bewusstsein Tatsache: Der russische Mathematiker Grigory Perelman bewies die Poincaré-Vermutung. Es spielt keine Rolle, dass er tatsächlich eine allgemeinere Tatsache bewies und nebenbei eine völlig neue Theorie der Singularitäten von Ricci-Flüssen entwickelte. Auch so. Die Auszeichnung hat einen Helden gefunden.

Foto von N. Chetverikova Die letzte große Errungenschaft der reinen Mathematik ist der Beweis der Poincaré-Vermutung, die 1904 formuliert wurde und besagt: „Jede zusammenhängende, einfach zusammenhängende, kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand, ist homöomorph zur Sphäre S 3 “ Grigory Perelman aus St. Petersburg in den Jahren 2002-2003.

Es gibt mehrere Begriffe in diesem Satz, die ich versuchen werde, so zu erklären, dass ihre allgemeine Bedeutung für Nicht-Mathematiker klar wird (ich gehe davon aus, dass der Leser Abitur gemacht hat und sich noch an etwas aus der Schulmathematik erinnert).

Die Grundidee lässt sich am einfachsten am klassischen Beispiel eines Bechers und eines Bagels erklären. Der erste kann durch eine kontinuierliche Verformung in den zweiten umgewandelt werden: Diese Figuren zeigen deutlich, dass der Becher homöomorph zum Donut ist, und diese Tatsache gilt sowohl für ihre Oberflächen (zweidimensionale Mannigfaltigkeiten, Torus genannt) als auch für gefüllte Körper ( dreidimensionale Mannigfaltigkeiten mit Rand).

Lassen Sie uns eine Interpretation der restlichen Begriffe geben, die in der Formulierung der Hypothese vorkommen.

1. Dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung. Dies ist ein solches geometrisches Objekt, bei dem jeder Punkt eine Nachbarschaft in Form einer dreidimensionalen Kugel hat. Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten sind zum einen der gesamte dreidimensionale Raum, bezeichnet mit R 3 , sowie beliebige offene Punktmengen in R 3 , beispielsweise das Innere eines festen Torus (Donut). Betrachten wir einen geschlossenen festen Torus, d. h. addieren seine Randpunkte (die Oberfläche des Torus), dann erhalten wir bereits eine Mannigfaltigkeit mit Rand – die Randpunkte haben keine Nachbarschaften in Form einer Kugel, sondern nur in der Form einer Hälfte des Balls.

2. Verbunden. Das Konzept der Konnektivität ist hier das einfachste. Eine Mannigfaltigkeit ist zusammenhängend, wenn sie aus einem Stück besteht, oder, etwas Ähnliches, zwei beliebige ihrer Punkte können durch eine durchgehende Linie verbunden werden, die nicht über ihre Grenzen hinausgeht.

3. Einfach verbunden. Der Begriff der Einzelverbundenheit ist komplizierter. Das bedeutet, dass jede kontinuierliche geschlossene Kurve, die sich vollständig innerhalb einer gegebenen Mannigfaltigkeit befindet, glatt zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, ohne diese Mannigfaltigkeit zu verlassen. Beispielsweise wird eine gewöhnliche zweidimensionale Kugel im R 3 einfach verbunden (ein elastisches Band, das willkürlich an der Oberfläche eines Apfels befestigt ist, kann durch eine sanfte Verformung zu einem Punkt zusammengezogen werden, ohne das elastische Band vom Apfel zu reißen). Andererseits sind der Kreis und der Torus nicht einfach verbunden.

4. Kompakt. Eine Mannigfaltigkeit ist kompakt, wenn eines ihrer homöomorphen Bilder beschränkte Dimensionen hat. Beispielsweise ist ein offenes Intervall auf einer Linie (alle Punkte eines Segments außer seinen Enden) nicht kompakt, da es kontinuierlich zu einer unendlichen Linie erweitert werden kann. Aber ein geschlossenes Segment (mit Enden) ist eine kompakte Mannigfaltigkeit mit einer Grenze: Bei jeder kontinuierlichen Verformung gehen die Enden zu bestimmten Punkten, und das gesamte Segment muss in eine begrenzte Kurve gehen, die diese Punkte verbindet.

Abmessungen mannigfaltig ist die Zahl der Freiheitsgrade an dem Punkt, der auf ihm "lebt". Jeder Punkt hat eine Nachbarschaft in Form einer Scheibe der entsprechenden Dimension, d. h. ein Intervall einer Linie im eindimensionalen Fall, eines Kreises in der Ebene im zweidimensionalen Fall, einer Kugel im dreidimensionalen Fall usw. Topologisch gesehen gibt es nur zwei eindimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeiten ohne Rand: das ist die Linie und der Kreis. Von diesen ist nur der Kreis kompakt.

Zweidimensionale kompakte Verteiler sind gut bekannt. Wenn wir nur überlegen orientiert 1 Mannigfaltigkeiten ohne Rand, dann bilden sie aus topologischer Sicht eine einfache, wenn auch unendliche Liste: und so weiter. Jede solche Mannigfaltigkeit wird aus einer Kugel durch Kleben mehrerer Griffe erhalten, deren Anzahl als Gattung der Oberfläche bezeichnet wird.

1 Aus Platzgründen werde ich nicht über nicht orientierbare Mannigfaltigkeiten sprechen, ein Beispiel dafür ist die berühmte Klein-Flasche - eine Oberfläche, die nicht in einen Raum ohne Selbstüberschneidungen eingebettet werden kann.

Der topologische Aufbau der dreidimensionalen Kugel S 3 lässt sich offenbar am einfachsten mit Hilfe der Ein-Punkt-Kompaktifizierung erklären. Die dreidimensionale Kugel S 3 ist nämlich eine Ein-Punkt-Verdichtung des gewöhnlichen dreidimensionalen (unbegrenzten) Raums R 3 .

Lassen Sie uns diese Konstruktion zunächst an einfachen Beispielen erläutern. Nehmen wir eine gewöhnliche unendliche gerade Linie (ein eindimensionales Analogon des Raums) und fügen ihr einen „unendlich entfernten“ Punkt hinzu, wobei wir davon ausgehen, dass wir schließlich an diesen Punkt gelangen, wenn wir uns entlang einer geraden Linie nach rechts oder links bewegen. Aus topologischer Sicht gibt es keinen Unterschied zwischen einer unendlichen Linie und einem begrenzten offenen Segment (ohne Endpunkte). Ein solches Segment kann kontinuierlich in Form eines Bogens gebogen werden, die Enden näher zusammenbringen und die fehlende Stelle in die Verbindungsstelle kleben. Wir erhalten offensichtlich einen Kreis - ein eindimensionales Analogon einer Kugel.

Wenn ich in ähnlicher Weise eine unendliche Ebene nehme und einen Punkt im Unendlichen hinzufüge, zu dem alle Linien der ursprünglichen Ebene verlaufen, die in eine beliebige Richtung verlaufen, dann erhalten wir eine zweidimensionale (gewöhnliche) Kugel S 2 . Dieser Vorgang lässt sich anhand einer stereographischen Projektion beobachten, die jedem Punkt P der Kugel, mit Ausnahme des Nordpols von N, einen bestimmten Punkt der Ebene P" zuordnet:

Somit ist eine Kugel ohne einen Punkt topologisch dasselbe wie eine Ebene, und das Hinzufügen eines Punktes verwandelt die Ebene in eine Kugel.

Im Prinzip ist genau die gleiche Konstruktion auf eine dreidimensionale Kugel und einen dreidimensionalen Raum anwendbar, nur ist für ihre Umsetzung der Eintritt in die vierte Dimension erforderlich, was auf der Zeichnung nicht so einfach darzustellen ist. Daher beschränke ich mich auf eine verbale Beschreibung der Ein-Punkt-Kompaktifizierung des Raumes R 3 .

Hier ist, wie es verstanden werden kann. Lassen Sie uns den Torus wie gewohnt in Form eines runden Donuts in R 3 einbetten und eine vertikale Linie zeichnen - die Rotationsachse dieses Donuts. Zeichnen Sie eine beliebige Ebene durch die Achse, sie schneidet unseren festen Torus entlang zweier Kreise, die in der Abbildung grün dargestellt sind, und der zusätzliche Teil der Ebene ist in eine kontinuierliche Familie roter Kreise unterteilt. Darunter ist die Mittelachse fetter hervorgehoben, weil sich in der Sphäre S 3 die Linie zu einem Kreis schließt. Aus diesem zweidimensionalen wird durch Drehung um eine Achse ein dreidimensionales Bild. Ein vollständiger Satz gedrehter Kreise füllt dann einen dreidimensionalen Körper, der homöomorph zu einem festen Torus ist und nur ungewöhnlich aussieht.

Tatsächlich wird die Mittelachse darin ein axialer Kreis sein, und der Rest wird die Rolle von Parallelen spielen - Kreisen, die den üblichen festen Torus bilden.

Es hat drei Seitenpaare: links und rechts, oben und unten, vorne und hinten. In jedem Paar paralleler Flächen identifizieren wir paarweise die Punkte, die wir voneinander erhalten haben, indem wir entlang der Kante des Würfels übertragen. Das heißt, wir nehmen an (rein abstrakt, ohne physikalische Verformungen anzuwenden), dass zum Beispiel A und A "derselbe Punkt sind und B und B" ebenfalls ein Punkt sind, aber von Punkt A verschieden sind. Alle internen Punkte des Würfel werden wir wie gewohnt betrachten. Der Würfel selbst ist ein Verteiler mit einer Kante, aber nach dem Kleben schließt sich die Kante und verschwindet. Tatsächlich sind die Nachbarschaften der Punkte A und A" im Würfel (sie liegen auf den linken und rechten schattierten Flächen) die Hälften der Kugeln, die nach dem Zusammenkleben der Flächen zu einer ganzen Kugel verschmelzen, die als dient Nachbarschaft des entsprechenden Punktes des dreidimensionalen Torus.

Um die Struktur des 3-Torus zu fühlen, die auf gewöhnlichen Vorstellungen über den physischen Raum basiert, müssen Sie drei zueinander senkrechte Richtungen wählen: vorwärts, links und oben - und wie in Science-Fiction-Geschichten geistig überlegen, ob Sie sich in einer der Richtungen bewegen diese Richtungen, eine ziemlich lange, aber endliche Zeit, kehren wir zum Ausgangspunkt zurück, aber aus der entgegengesetzten Richtung Dies ist auch eine „Verdichtung des Raums“, aber keine Einpunkt-, die früher verwendet wurde, um eine Kugel zu konstruieren, aber komplexer.

Die Ausgangsidee des Beweises besteht darin, den sogenannten "Ricci-Fluss" zu verwenden: Wir nehmen eine einfach zusammenhängende kompakte 3-Mannigfaltigkeit, statten sie mit einer beliebigen Geometrie aus (d. h. führen eine Metrik mit Abständen und Winkeln ein) und dann Betrachten Sie seine Entwicklung entlang des Ricci-Flusses. Richard Hamilton, der diese Idee 1981 vorschlug, hoffte, dass sich unsere Mannigfaltigkeit mit dieser Evolution in eine Kugel verwandeln würde. Es stellte sich heraus, dass dies nicht stimmt - im dreidimensionalen Fall ist der Ricci-Fluss in der Lage, die Mannigfaltigkeit zu verderben, dh sie zu einer kleinen Mannigfaltigkeit zu machen (etwas mit singulären Punkten, wie im obigen Beispiel von sich schneidenden Linien). Perelman gelang es unter Überwindung unglaublicher technischer Schwierigkeiten mit dem schweren Apparat partieller Differentialgleichungen, den Ricci-Fluss in der Nähe singulärer Punkte so zu ändern, dass sich während der Evolution die Topologie der Mannigfaltigkeit nicht ändert, es keine singulären Punkte gibt und so weiter Am Ende wird es zu einer runden Kugel. Aber wir müssen endlich erklären, was dieser Fluss von Ricci ist. Die von Hamilton und Perelman verwendeten Flüsse beziehen sich auf eine Änderung der intrinsischen Metrik auf einer abstrakten Mannigfaltigkeit, und dies ist ziemlich schwierig zu erklären, daher beschränke ich mich darauf, den "externen" Ricci-Fluss auf eindimensionalen Mannigfaltigkeiten zu beschreiben, die in eine Ebene eingebettet sind .

Es stellt sich heraus, dass sich jede geschlossene Kurve in der Ebene während einer solchen Entwicklung ähnlich verhält, d.h. sie verwandelt sich schließlich in einen Kreis. Dies ist der Beweis des eindimensionalen Analogons der Poincare-Vermutung unter Verwendung des Ricci-Flusses (die Aussage selbst ist in diesem Fall jedoch bereits offensichtlich, nur die Beweismethode veranschaulicht, was in Dimension 3 passiert).

Abschließend stellen wir fest, dass Perelmans Argument nicht nur die Poincaré-Vermutung beweist, sondern auch die viel allgemeinere Thurston-Geometrisierungsvermutung, die in gewissem Sinne die Struktur aller kompakten 3-Mannigfaltigkeiten allgemein beschreibt. Aber dieses Thema liegt außerhalb des Rahmens dieses elementaren Artikels.

Sergej Duzhin,
Doktor der Physik und Mathematik Wissenschaften,
Senior wissenschaftlicher Mitarbeiter
Filiale St. Petersburg
Mathematisches Institut der Russischen Akademie der Wissenschaften

Der Satz von Poincaré ist die mathematische Formel des "Universums". Grigori Perelmann. Teil 1 (aus der Reihe „ Echter Mann in der Wissenschaft")

Henri Poincare (1854–1912), einer der größten Mathematiker, formulierte 1904 die berühmte Idee einer deformierten dreidimensionalen Kugel und stellte sie in Form einer kleinen Randnotiz am Ende eines 65-seitigen Artikels auf a ganz anderes Thema, kritzelte ein paar Zeilen einer ziemlich seltsamen Vermutung mit den Worten: "Nun, diese Frage kann uns zu weit führen" ...

Marcus Du Sotoy von der University of Oxford glaubt, dass Poincarés Theorem „dies ist zentrales Problem Mathematik und Physik, versucht zu verstehen welche Form kann sein Universum Es ist sehr schwer, ihr nahe zu kommen."

Grigory Perelman reiste einmal wöchentlich nach Princeton, um an einem Seminar des Institute for Advanced Study teilzunehmen. Auf dem Seminar beantwortet einer der Mathematiker der Harvard University Perelmans Frage: „Die Theorie von William Thurston (1946-2012, Mathematiker, arbeitet auf dem Gebiet der „Dreidimensionalen Geometrie und Topologie“), genannt Geometrisierungshypothese, beschreibt alles Mögliche dreidimensionale Oberflächen und ist ein Fortschritt gegenüber der Poincaré-Hypothese. Wenn Sie die Vermutung von William Thurston beweisen, dann wird Ihnen die Poincare-Vermutung alle Türen und mehr öffnen seine Lösung wird die gesamte topologische Landschaft der modernen Wissenschaft verändern».

Sechs führende amerikanische Universitäten laden Perelman im März 2003 zu einer Vortragsreihe ein, in der er seine Arbeit erklärt. Im April 2003 unternimmt Perelman eine wissenschaftliche Tour. Seine Vorlesungen werden zu einem herausragenden wissenschaftlichen Ereignis. John Ball (Vorsitzender der International Mathematical Union), Andrew Wiles (Mathematiker, arbeitet auf dem Gebiet der Arithmetik elliptischer Kurven, bewies 1994 den Satz von Fermat), John Nash (Mathematiker, der auf dem Gebiet der Spieltheorie und der Differentialgeometrie arbeitet). Princeton, ihm zuzuhören.

Grigory Perelman hat es geschafft, eine der sieben Aufgaben des Jahrtausends zu lösen Und mathematisch beschreiben die sogenannte die Formel des Universums, um die Poincaré-Vermutung zu beweisen. Die klügsten Köpfe haben mehr als 100 Jahre um diese Hypothese gekämpft, für deren Beweis die weltweite mathematische Gemeinschaft (das Clay Mathematical Institute) 1 Million US-Dollar versprochen hat. Sie wurde am 8. Juni 2010 vorgestellt. Grigory Perelman erschien nicht darauf , und die weltweite mathematische Gemeinschaft ließ die Kinnlade herunterfallen.

2006 erhielt der Mathematiker für die Lösung der Poincaré-Vermutung die höchste mathematische Auszeichnung – den Fields-Preis (Fields-Medaille). John Ball besuchte St. Petersburg persönlich, um ihn zu überzeugen, den Preis anzunehmen. Er lehnte es mit den Worten ab: "Die Gesellschaft ist kaum in der Lage, meine Arbeit ernsthaft zu bewerten."

„Der Fields-Preis (und die Medaille) wird alle 4 Jahre auf jedem internationalen Mathematikkongress an junge Wissenschaftler (unter 40 Jahren) verliehen, die einen bedeutenden Beitrag zur Entwicklung der Mathematik geleistet haben. Zusätzlich zur Medaille erhalten die Preisträger 15.000 kanadische Dollar (13.000 US-Dollar).

In ihrer ursprünglichen Formulierung lautet die Poincaré-Vermutung wie folgt: „Jede einfach zusammenhängende kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand ist homöomorph zu einer dreidimensionalen Sphäre.“ In eine gemeinsame Sprache übersetzt bedeutet dies, dass jedes dreidimensionale Objekt, beispielsweise ein Glas, allein durch Verformung in eine Kugel verwandelt werden kann, also nicht geschnitten oder geklebt werden muss. Mit anderen Worten, Poincaré schlug das vor Der Raum ist nicht dreidimensional, sondern enthält eine viel größere Anzahl von Dimensionen, und Perelman 100 Jahre später bewies es mathematisch.

Grigory Perelmans Ausdruck des Satzes von Poincaré über die Umwandlung der Materie in einen anderen Zustand, Form, ähnelt dem Wissen, das in Anastasia Novykhs Buch "Sensei IV: Nadeln" dargelegt ist. Sowie die Fähigkeit, das materielle Universum durch Transformationen zu kontrollieren, die vom Beobachter aus Kontrolldimensionen über der sechsten (von 7 bis einschließlich 72) eingeführt wurden (Bericht „PRIMARY ALLATRA PHYSICS“ Thema „Ezoosmic Grid“).

Grigory Perelman zeichnete sich durch die Strenge des Lebens aus, die Strenge der ethischen Anforderungen sowohl für sich selbst als auch für andere. Wenn man ihn ansieht, hat man das Gefühl, dass er nur ist körperlich wohnt gemeinsam mit allen anderen Zeitgenossen Raum, A Spirituell in einem anderen, wo sogar für 1 Million Dollar gehen Sie nicht der "unschuldigste" Kompromisse mit Gewissen. Und was ist das für ein Raum, und kann man ihn überhaupt aus dem Augenwinkel betrachten? ..

Die außergewöhnliche Bedeutung der Hypothese, die vor etwa einem Jahrhundert vom Mathematiker Poincaré aufgestellt wurde, betrifft dreidimensionale Strukturen und ist Schlüsselelement Zeitgenössische Forschung Grundlagen des Universums. Dieses Rätsel ist laut Experten des Clay Institute eines der sieben grundlegend wichtigen für die Entwicklung der Mathematik der Zukunft.

Perelman lehnt Medaillen und Preise ab und fragt: „Warum brauche ich sie? Sie sind für mich absolut nutzlos. Jeder versteht, dass, wenn der Beweis korrekt ist, keine weitere Anerkennung erforderlich ist. Bis ich Verdacht entwickelte, hatte ich die Wahl, entweder laut über den Zerfall der mathematischen Gemeinschaft als Ganzes aufgrund ihres niedrigen moralischen Niveaus zu sprechen oder nichts zu sagen und mich wie Vieh behandeln zu lassen. Jetzt, wo ich mehr als misstrauisch geworden bin, kann ich kein Vieh bleiben und weiter schweigen, also kann ich nur gehen.

Um moderne Mathematik zu betreiben, muss man einen völlig reinen Geist haben, ohne die geringste Beimischung, die ihn auflöst, desorientiert, Werte ersetzt, und diese Auszeichnung anzunehmen bedeutet, Schwäche zu demonstrieren. Der ideale Wissenschaftler beschäftigt sich nur mit Wissenschaft, kümmert sich um nichts anderes (Macht und Kapital), er muss einen reinen Geist haben, und für Perelman gibt es nichts Wichtigeres, als in Übereinstimmung mit diesem Ideal zu leben. Ist diese ganze Idee mit Millionen für die Mathematik brauchbar und braucht ein echter Wissenschaftler einen solchen Anreiz? Und dieser Wunsch des Kapitals, alles auf dieser Welt zu kaufen und zu unterjochen, ist nicht beleidigend? Oder Sie können verkaufen seine Reinheit für eine Million? Geld, egal wie viel es gibt, ist gleichwertig die Wahrheit der Seele? Schließlich haben wir es mit einer a priori Bewertung von Problemen zu tun, mit denen Geld einfach nichts zu tun haben sollte, oder?! Aus all dem so etwas wie eine Lotto-Million oder einen Tote zu machen, bedeutet, dem Zerfall des Wissenschaftlichen nachzugeben, und zwar die menschliche Gemeinschaft als Ganzes(Siehe den Bericht "PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS" und im Buch "AllatRa" die letzten 50 Seiten über den Weg zum Aufbau einer kreativen Gesellschaft). UND Geldmittel(Energie), die Geschäftsleute bereit sind, der Wissenschaft zu spenden, wenn es notwendig ist, sie zu nutzen, dann ist es richtig oder so, ohne zu demütigen Der Geist des wahren Dienens, was immer man sagen mag, ein unschätzbares monetäres Äquivalent: „ Was ist eine Million im Vergleich, mit Reinheit oder Majestät diese Sphären (über die Dimensionen des globalen Universums und über Spirituelle Welt siehe Buch"AllatRa" und berichten"PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS"), in dem nicht durchdringen können sogar menschlich Vorstellung (Verstand)?! Was ist eine million sternenklarer Himmel für die Zeit?

Lassen Sie uns eine Interpretation der verbleibenden Begriffe geben, die in der Formulierung der Hypothese vorkommen:

Topologie - (aus dem Griechischen topos - Ort und Logos - Lehre) - ein Zweig der Mathematik, der die topologischen Eigenschaften von Figuren untersucht, d.h. Eigenschaften, die sich unter keinen Verformungen ändern, die ohne Diskontinuitäten und Verklebungen hergestellt werden (genauer gesagt unter Eins-zu-eins- und kontinuierlichen Abbildungen). Beispiele für topologische Eigenschaften von Figuren sind die Dimension, die Anzahl der Kurven, die eine bestimmte Fläche begrenzen, und so weiter. Ein Kreis, eine Ellipse, eine quadratische Kontur haben also dieselben topologischen Eigenschaften, da diese Linien können in der oben beschriebenen Weise ineinander verformt werden; Gleichzeitig haben der Ring und der Kreis unterschiedliche topologische Eigenschaften: Der Kreis wird durch eine Kontur begrenzt, der Ring durch zwei.

Homöomorphismus (griech. ομοιο - ähnlich, μορφη - Form) ist eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen zwei topologischen Räumen, unter der beide durch diese Entsprechung definierten wechselseitig inversen Abbildungen stetig sind. Diese Abbildungen werden homöomorphe oder topologische Abbildungen sowie Homöomorphismen genannt, und Räume, von denen gesagt wird, dass sie zum selben topologischen Typ gehören, werden homöomorph oder topologisch äquivalent genannt.

Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung. Dies ist ein solches geometrisches Objekt, bei dem jeder Punkt eine Nachbarschaft in Form einer dreidimensionalen Kugel hat. Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten sind zum einen der gesamte dreidimensionale Raum, bezeichnet mit R3 , sowie beliebige offene Punktmengen in R3 , beispielsweise das Innere eines festen Torus (Donut). Betrachten wir einen geschlossenen festen Torus, d.h. Wenn wir seine Randpunkte (die Oberfläche eines Torus) hinzufügen, erhalten wir eine Mannigfaltigkeit mit einer Grenze - die Randpunkte haben keine Umgebung in Form einer Kugel, sondern nur in Form einer Hälfte der Kugel.

Ein fester Torus (fester Torus) ist ein geometrischer Körper, der homöomorph zum Produkt einer zweidimensionalen Scheibe und eines Kreises D2 * S1 ist. Informell ist ein fester Torus ein Donut, während ein Torus nur seine Oberfläche ist (eine Hohlkammer eines Rades).

Einfach verbunden. Das bedeutet, dass jede kontinuierliche geschlossene Kurve, die sich vollständig innerhalb einer gegebenen Mannigfaltigkeit befindet, glatt zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, ohne diese Mannigfaltigkeit zu verlassen. Beispielsweise ist eine gewöhnliche zweidimensionale Kugel in R3 einfach verbunden (ein elastisches Band, das willkürlich auf die Oberfläche eines Apfels aufgebracht wird, kann durch eine sanfte Verformung auf einen Punkt zusammengezogen werden, ohne das elastische Band vom Apfel zu entfernen). Andererseits sind der Kreis und der Torus nicht einfach verbunden.

Kompakt. Eine Mannigfaltigkeit ist kompakt, wenn eines ihrer homöomorphen Bilder beschränkte Dimensionen hat. Beispielsweise ist ein offenes Intervall auf einer Linie (alle Punkte eines Segments außer seinen Enden) nicht kompakt, da es kontinuierlich zu einer unendlichen Linie erweitert werden kann. Aber ein geschlossenes Segment (mit Enden) ist eine kompakte Mannigfaltigkeit mit einer Grenze: Bei jeder kontinuierlichen Verformung gehen die Enden zu bestimmten Punkten, und das gesamte Segment muss in eine begrenzte Kurve gehen, die diese Punkte verbindet.

Fortsetzung folgt...

Ilnaz Bascharow

Literatur:

– Bericht "PRIMARY ALLATRA PHYSICS" der internationalen Gruppe von Wissenschaftlern der ALLATRA International Public Movement, hrsg. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Neue. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Neue. A., „Sensei-IV“, K.: LOTOS, 2013, 632 S. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, Doktor der Physik und Mathematik Sci., Senior Researcher, Zweigstelle St. Petersburg des Mathematischen Instituts der Russischen Akademie der Wissenschaften

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