Penrose nemoguće brojke. Nemogući trokut

Nemogući trokut jedan je od nevjerojatnih matematičkih paradoksa. Na prvi pogled na njega ne možete sumnjati ni sekunde. stvarno postojanje. Međutim, to je samo privid, obmana. A samu mogućnost takve iluzije objasnit će nam matematika!

Otkriće Penroseovih

Godine 1958. British Psychological Journal objavio je članak L. Penrosea i R. Penrosea, u kojem su uveli u razmatranje novi tip optička iluzija, koju su nazvali " nemogući trokut».

Vizualno nemogući trokut percipira se kao struktura koja stvarno postoji u trodimenzionalnom prostoru i sastoji se od pravokutnih šipki. Ali ovo je samo optička varka. Nemoguće je izgraditi pravi model nemogućeg trokuta.

Penroseov članak sadržavao je nekoliko opcija za prikaz nemogućeg trokuta. - njegova "klasična" prezentacija.

Koji elementi čine nemogući trokut?

Točnije, od kojih nam se elemenata čini izgrađenim? Dizajn se temelji na pravokutnom kutu koji se dobiva spajanjem dviju identičnih pravokutnih šipki pod pravim kutom. Ovi uglovi zahtijevaju tri komada, a šipke, dakle, šest komada. Ovi kutovi moraju biti vizualno "povezani" jedan s drugim na određeni način tako da čine zatvoreni lanac. Ono što se događa je nemogući trokut.

Postavite prvi kut u vodoravnu ravninu. Na njega ćemo pričvrstiti drugi kut, usmjeravajući jedan od njegovih rubova prema gore. Na kraju, ovom drugom kutu dodajemo treći kut tako da njegov rub bude paralelan s izvornom vodoravnom ravninom. U tom će slučaju dva ruba prvog i trećeg kuta biti paralelna i usmjerena u različitim smjerovima.

Ako šipku promatramo kao segment jedinične duljine, tada krajevi šipki prvog kuta imaju koordinate, i, drugog kuta - , i, trećeg - , i. Dobili smo "uvrnutu" strukturu koja zapravo postoji u trodimenzionalnom prostoru.

A sada pokušajmo to mentalno pogledati iz različite točke prostor. Zamislite kako to izgleda s jedne točke, s druge, s treće. Kada mijenjate točku promatranja, činit će se da se dva "krajnja" ruba naših kutova pomiču jedan u odnosu na drugi. Nije teško pronaći poziciju u kojoj će se spojiti.

Ali ako je udaljenost između rebara puno manja od udaljenosti od uglova do točke s koje gledamo našu strukturu, tada će oba rebra imati istu debljinu za nas, i pojavit će se ideja da su ta dva rebra zapravo nastavak jednog drugog. Ova situacija je prikazana u 4.

Usput, ako istovremeno pogledamo odraz strukture u zrcalu, tada tamo nećemo vidjeti zatvoreni krug.

I s odabrane točke promatranja vlastitim očima vidimo čudo koje se dogodilo: postoji zatvoreni lanac od tri ugla. Samo nemojte mijenjati točku promatranja kako se ova iluzija ne bi srušila. Sada možete nacrtati objekt koji vidite ili postaviti objektiv fotoaparata na pronađenu točku i dobiti fotografiju nemogućeg objekta.

Penrosovi su prvi koji su se zainteresirali za ovaj fenomen. Iskoristili su mogućnosti koje se pojavljuju pri preslikavanju trodimenzionalnog prostora i trodimenzionalnih objekata na dvodimenzionalnu ravninu i skrenuli pozornost na neke nedoumice u dizajnu - otvorena konstrukcija od tri kuta može se percipirati kao zatvoreni lanac.

Dokaz nemogućnosti Penroseovog trokuta

Analizirajući značajke dvodimenzionalne slike trodimenzionalnih objekata na ravnini, shvatili smo kako značajke ovog prikaza dovode do nemogućeg trokuta. Možda će nekoga zanimati čisto matematički dokaz.

Izuzetno je lako dokazati da nemogući trokut ne postoji, jer je svaki njegov kut pravi, a njihov zbroj je 270 stupnjeva umjesto "postavljenih" 180 stupnjeva.

Štoviše, čak i ako uzmemo u obzir nemogući trokut zalijepljen od kutova manjih od 90 stupnjeva, tada u ovom slučaju možemo dokazati da nemogući trokut ne postoji.

Vidimo tri ravna lica. Oni se sijeku u parovima duž ravnih linija. Ravnine koje sadrže te plohe su po parovima ortogonalne, pa se sijeku u jednoj točki.

Osim toga, kroz ovu točku moraju prolaziti linije međusobnog sjecišta ravnina. Stoga se prave 1, 2, 3 moraju sijeći u jednoj točki.

Ali nije. Stoga je prikazana konstrukcija nemoguća.

"Nemoguće" čl

Sudbina ove ili one ideje - znanstvene, tehničke, političke - ovisi o mnogim okolnostima. I ne samo o tome u kojem će se obliku ta ideja prezentirati, u kakvoj će se slici pojaviti široj javnosti. Hoće li utjelovljenje biti suhoparno i teško uočljivo, ili će, naprotiv, manifestacija ideje biti svijetla, privlačeći našu pažnju čak i protiv naše volje.

Nemogući trokut ima sretnu sudbinu. Godine 1961 nizozemski slikar Moritz Escher dovršio je litografiju koju je nazvao Vodopad. Umjetnik je prošao dug, ali brz put od same ideje nemogućeg trokuta do njegovog nevjerojatnog umjetničkog utjelovljenja. Podsjetimo, članak o Penroseu pojavio se 1958.

U središtu "Vodopada" prikazana su dva nemoguća trokuta. Jedan trokut je velik, drugi trokut se nalazi unutar njega. Može se činiti da su prikazana tri identična nemoguća trokuta. Ali nije u tome stvar, predstavljeni dizajn je prilično kompliciran.

Na letimičan pogled neće svima odmah biti vidljiva njegova apsurdnost, jer je svaka prikazana veza moguća. kako kažu, lokalno, to jest na malom području crteža, takav je dizajn izvediv ... Ali općenito je nemoguće! Njegovi pojedinačni dijelovi ne pristaju, ne slažu se jedan s drugim.

A da bismo to razumjeli, moramo uložiti određene intelektualne i vizualne napore.

Krenimo na putovanje uz rubove strukture. Ova staza je izvanredna po tome što duž nje, kako nam se čini, razina u odnosu na horizontalnu ravninu ostaje nepromijenjena. Krećući se ovom stazom niti se penje niti silazi.

I sve bi bilo dobro, poznato, da se na kraju staze - naime na točki - ne bismo našli da smo se, u odnosu na početnu točku, nekako tajanstveno nepojmljivo popeli uz vertikalu!

Da bismo došli do ovog paradoksalnog rezultata, moramo odabrati ovaj put, pa čak i pratiti razinu u odnosu na horizontalnu ravninu ... Nije lak zadatak. U njenoj odluci Escheru je u pomoć priskočila ... voda. Prisjetimo se pjesme o pokretu iz prekrasnog vokalnog ciklusa Franza Schuberta “Lijepa mlinareva žena”:

I najprije u mašti, a onda pod rukom divnog majstora, gole i suhe građevine pretvaraju se u akvadukte kroz koje teku čisti i brzi potoci vode. Njihovo kretanje plijeni naš pogled, i mi sada, protiv svoje volje, jurimo nizvodno, prateći sve zavoje i zavoje staze, zajedno s potokom se rušimo, padamo na lopatice vodenice, pa opet jurimo nizvodno.. .

Obiđemo tu stazu jednom, dva puta, treći... i tek tada shvatimo: krećemo se prema dolje i nekako na fantastičan način popnimo se na vrh! Prvotno iznenađenje razvija se u neku vrstu intelektualne nelagode. Čini se da smo postali žrtva nekakve podvale, predmet neke još neshvaćene šale.

I opet ponavljamo taj put čudnim kanalom, sada polako, s oprezom, kao da se plašimo kvake od paradoksalne slike, kritički sagledavajući sve što se događa na tom tajanstvenom putu.

Pokušavamo odgonetnuti misterij koji nas je zadivio, a iz njegovog zatočeništva ne možemo pobjeći sve dok ne pronađemo skrivenu oprugu koja leži u njezinoj osnovi i dovodi nezamislivi vrtlog u neprestani pokret.

Umjetnik posebno naglašava, nameće nam percepciju svojih slika kao slika stvarnih trodimenzionalnih objekata. Trodimenzionalnost je naglašena slikom sasvim stvarnih poliedara na tornjevima, opekom s najtočnijim prikazom svake opeke u zidovima akvadukta, uzdižućim terasama s vrtovima u pozadini. Sve je osmišljeno da uvjeri gledatelja u stvarnost onoga što se događa. A zahvaljujući umjetnosti i izvrsnoj tehnologiji, ovaj cilj je postignut.

Kad se izvučemo iz zatočeništva u koje nam pada svijest, počnemo uspoređivati, uspoređivati, analizirati, nalazimo da se osnova, izvor te slike krije u dizajnerskim značajkama.

I dobili smo još jedan – “fizički” dokaz nemogućnosti “nemogućeg trokuta”: da takav trokut postoji, postojao bi i Escherov “Vodopad”, koji je u biti perpetum mobile. Ali perpetuum mobile je nemoguć, stoga je nemoguć i "nemogući trokut". I, možda, ovaj "dokaz" je najuvjerljiviji.

Što je Moritza Eschera učinilo fenomenom, jedinstvenom osobom koja nije imala očigledne prethodnike u umjetnosti i koja se ne može oponašati? Ovo je kombinacija ravnina i volumena, velika pozornost na bizarne oblike mikrokozmosa - živog i neživog, na neobična gledišta na obične stvari. Glavni učinak njegovih kompozicija je učinak nastajanja nemogućih odnosa među poznatim objektima. Ove situacije na prvi pogled mogu i uplašiti i izazvati osmijeh. Možete radosno gledati zabavu koju umjetnik nudi ili možete ozbiljno uroniti u dubine dijalektike.

Moritz Escher pokazao je da svijet možda uopće nije onakav kakvim ga vidimo i navikli smo doživljavati - samo ga treba pogledati iz drugog, novog kuta!

Moritz Escher

Moritz Escher imao je više sreće kao znanstvenik nego kao umjetnik. Njegove gravure i litografije smatrane su ključevima za dokazivanje teorema ili izvornih protuprimjera koji prkose zdravom razumu. U najgorem slučaju, doživljavali su ih kao izvrsne ilustracije za znanstvene rasprave o kristalografiji, teoriji grupa, kognitivnoj psihologiji ili računalna grafika. Moritz Escher je radio na području prostorno-vremenskih odnosa i njihovog identiteta, koristio se osnovnim uzorcima mozaika, primjenom transformacija na njih. Ovaj Veliki majstor optičke iluzije. Escherove gravure ne prikazuju svijet formula, već ljepotu svijeta. Njihovo intelektualno skladište temeljno je suprotstavljeno nelogičnim kreacijama nadrealista.

Nizozemski umjetnik Moritz Cornelius Escher rođen je 17. lipnja 1898. godine u pokrajini Nizozemskoj. Kuća u kojoj je Escher rođen danas je muzej.

Od 1907. Moritz je učio stolarski zanat i svirao klavir, studirajući na Srednja škola. Moritzove ocjene iz svih predmeta bile su loše osim iz crtanja. Profesorica likovnog primijetila je dječakov talent i naučila ga izrađivati ​​drvoreze.

Godine 1916. Escher izvodi svoj prvi grafički rad, gravuru na ljubičastom linoleumu – portret svog oca G. A. Eschera. Posjećuje radionicu umjetnika Gerta Stiegemanna koji je imao tiskarski stroj. Na ovom stroju tiskane su prve Escherove gravure.

1918.-1919. Escher je pohađao Tehničku školu u nizozemskom gradu Delftu. Dobiva odgodu od služenja vojnog roka radi nastavka studija, ali zbog lošeg zdravlja Moritz se nije mogao nositi s nastavni plan i program, te je izbačen. Kao rezultat toga, nikada nije dobio više obrazovanje. Studira na Školi za arhitekturu i ornamentiku u Haarlemu, gdje uzima satove crtanja od Samuela Jeserina de Mesquitea, koji je imao formativni utjecaj na Escherov život i rad.

Godine 1921. obitelj Escher posjetila je rivijeru i Italiju. Fasciniran vegetacijom i cvijećem mediteranske klime, Moritz je izradio detaljne crteže kaktusa i maslina. Skicirao je mnoge skice planinskih krajolika, koje su kasnije bile temelj njegovog rada. Kasnije će se stalno vraćati u Italiju koja će mu poslužiti kao izvor inspiracije.

Escher počinje eksperimentirati u novom smjeru za sebe, čak i tada u njegovim djelima postoje zrcalne slike, kristalne figure i sfere.

Kraj dvadesetih pokazao se kao vrlo plodno razdoblje za Moritza. Njegovi su radovi prikazani na mnogim izložbama u Nizozemskoj, a do 1929. njegova je popularnost dosegla toliku razinu da je u jednoj godini održano pet samostalnih izložbi u Nizozemskoj i Švicarskoj. U tom su razdoblju Escherove slike prvi put nazvane mehaničkim i "logičkim".

Asher puno putuje. Živi u Italiji i Švicarskoj, Belgiji. Proučava maurske mozaike, izrađuje litografije, gravure. Na temelju putopisnih crtica stvara svoju prvu sliku nemoguće stvarnosti Mrtva priroda s ulicom.

U kasnim tridesetima Escher je nastavio eksperimentirati s mozaicima i transformacijama. On stvara mozaik u obliku dviju ptica koje lete jedna prema drugoj, što je činilo osnovu slike "Dan i noć".

U svibnju 1940. nacisti su okupirali Nizozemsku i Belgiju, a 17. svibnja u okupacionu zonu pao je i Bruxelles, gdje su tada živjeli Escher i njegova obitelj. U Varni nalaze dom i tamo se sele u veljači 1941. Do kraja svojih dana, Escher će živjeti u ovom gradu.

Godine 1946. Escher se zainteresirao za tehnologiju dubokog tiska. I premda je ova tehnologija bila mnogo kompliciranija od one koju je prije koristio Escher i zahtijevala više vremena za stvaranje slike, rezultati su bili impresivni - tanke linije i precizna reprodukcija sjena. Jedan od naj poznata djela u dubokom tisku "Rosna kap" dovršena je 1948. godine.

Godine 1950. Moritz Escher stekao je popularnost kao predavač. Zatim je 1950. godine održana njegova prva samostalna izložba u Sjedinjenim Državama i njegovi su se radovi počeli kupovati. 27. travnja 1955. Moritz Escher proglašen je vitezom i postaje plemić.

Sredinom 1950-ih Escher kombinira mozaike s figurama koje sežu u beskraj.

Početkom 60-ih objavljena je prva knjiga s Escherovim djelima, Grafiek en Tekeningen, u kojoj je sam autor komentirao 76 djela. Knjiga je pomogla da se stekne razumijevanje među matematičarima i kristalografima, uključujući neke u Rusiji i Kanadi.

U kolovozu 1960. Escher je održao predavanje o kristalografiji na Cambridgeu. Matematički i kristalografski aspekti Escherova rada postaju vrlo popularni.

Nakon što je 1970 nove serije Escherove operacije preseljene su u nova kuća u Larenu, koja je imala atelje, ali je loše zdravlje onemogućavalo težak rad.

Moritz Escher umro je 1971. u dobi od 73 godine. Escher je živio dovoljno dugo da vidi Svijet M.C. Eschera preveden na Engleski jezik i bio je vrlo zadovoljan s njim.

Na stranicama matematičara i programera nalaze se razne nemoguće slike. najviše Puna verzija od onih koje smo pogledali, po našem mišljenju, nalazi se stranica Vlada Aleksejeva

Ova stranica ne predstavlja samo široku ponudu poznate slike, uključujući M. Eschera, ali i animirane slike, smiješne crteže nemogućih životinja, novčiće, poštanske marke itd. Ova stranica živi, ​​povremeno se ažurira i nadopunjuje nevjerojatnim crtežima.

Danas otvaram novi odjeljak pod nazivom “Rezanje”, gdje ću postavljati crteže, predloške, kao i modele optičkih iluzija. Danas ćemo napraviti nemogući trokut od papira. Budući da ne možemo stvoriti nemogući trokut, napravit ćemo model koji ćemo razmotriti iz određenog kuta.

1. Preuzmite i ispišite
2. Slijedite upute na slici

Kako ispravno razmotriti nemogući trokut?

Budući da se iluzija temelji na dvosmislenom crtežu kocke u izometrijski prikaz. Tada će se u ovoj orijentaciji kutovi najbliži gledatelju i kut udaljeniji od gledatelja podudarati. To znači da kada idemo niz najbliži rub kocke i dva donja ruba, vraćamo se na Polazna točka gdje staza zapravo završava na udaljenom uglu.

Ovaj nemogući Penroseov trokut

U takvom području slikovna umjetnost kao slikanje ljudske kože, najnoviji trend danas postoje figure optičkih iluzija, posebno Penroseov trokut ili trokut, koji se također naziva nemogućim. Prvi je put ovaj oblik otkrio, odnosno izmislio, švedski slikar Oscar Reutersvärd, koji ga je svijetu predstavio u obliku skupa kocaka na prijelazu 1935. godine. Kasnije, već 80-ih godina našeg stoljeća, trobarski uzorak tiskan je u Švedskoj na poštanskoj marki.

No, slika nemogućeg Penroseovog trokuta, koja spada u kategoriju optičkih iluzija, postala je široko poznata 1958. godine, nakon objavljivanja publikacije engleskog matematičara Rogera Penrosea o nemogućim figurama, objavljene u British Journal of Psychology. Inspiriran ovim postom, poznati slikar iz Nizozemske Maurits Escher stvorio je 1961. jedno od svojih najpopularnijih djela "Vodopad".

Optička iluzija

Optičke iluzije u slikarstvu su vizualna varka percepcije. prava slika, umjetnička izrada određeni raspored linija na ravnini. Istodobno, gledatelj netočno procjenjuje veličinu kutova figure ili duljinu njezinih strana, što je predmet proučavanja takvih pododjeljaka psihologije kao što je, na primjer, gestalt terapija. Osim Eschera, još se jedan bavio stvaranjem optičkih iluzija. veliki umjetnik- širom svijeta poznati El Salvador Dali. Živopisna ilustracija njegove strasti je, na primjer, slika "Labudovi odraženi u slonovima".

Gornji trokut također se odnosi na optičke iluzije, točnije na onaj njihov dio, koji se zove nemoguće figure. Nazivaju se tako zbog osjećaja koji se javlja pri pogledu na takav oblik u kojem postoji stvarni svijet jednostavno nemoguće.

Primjena iluzija

Zbog svog jedinstvenog oblika, iluzorni objekti služe kao subjekt velika pozornost ne samo umjetnici i umjetnici tetovaža - trokut koji ste napravili sami ili uz pomoć profesionalaca također može djelovati kao logotip tvrtke. Sjajni primjeri ove upotrebe iluzornih oblika su: logo psihodeličnog glazbenog benda koji svira narodnu glazbu, Conundum in Deed, koji je nemoguća kocka, ili brend proizvođača čipova Digilent Inc, koji je klasična trokutasta slika Penrosea.

Možete izraditi vlastiti logotip bez pribjegavanja profesionalcima. Da biste to učinili, samo slijedite upute, slijedeći koje možete izvesti jednostavan crtež na papiru ili tabletu i napraviti volumetrijska figura. Može se postaviti kao natpis ili vanjska reklama za vašu trgovinu.

Kako to učiniti sami

Korak po korak upute kako nacrtati tribar pomoću Adobe Illustrator:

1. Prvo trebate napraviti 3 kvadrata s alatom Rectangle. Da biste to učinili, prvo trebate otići na izbornik Pogled i omogućiti Pametne vodiče.
2. Sada je potrebno sve selektirati i otići na Object meni, zatim na Transform i otvoriti Transform each, gdje u Scale prozoru treba staviti vrijednost Vertical Scale = 86.6% i kliknuti OK.
3. Sada morate svakom licu postaviti vlastiti kut rotacije, a za to idite na Window open Transform. Tu prvo upišite vrijednost za kosinu (Shear), a zatim za rotaciju (Rotate): gornja površina kocke je Shear +30°, Rotate -30°; desna površina - smicanje +30°, rotacija +30°; lijeva površina — smicanje -30°, rotacija -30°.
4. Sada, pomoću linija Smart Guides, trebate spojiti sve dijelove kocke zajedno: da biste to učinili, zakačite kut jedne od stranica mišem i povucite je na drugu, poravnavajući ih.
5. U ovoj fazi trebate rotirati kocku za 30°: da biste to učinili, idite na Objekt, odaberite Transformiraj i zakreni, tamo postavite vrijednost kuta na 30° i kliknite U redu.
6. Budući da vam je potrebno 6 kocki da biste dobili tri-bar, trebate odabrati kocku, pritisnuti Alt i Shift i mišem povući odabrani objekt u stranu, razvlačeći ga u vodoravnom smjeru. Bez uklanjanja odabira, pritisnite CMD + D 6 puta. Dobili smo 6 kockica.
7. Ostavljajući odabir na posljednjoj kocki, pritisnite Enter i u prozoru Pomicanje promijenite vrijednost kuta na 240 °, zatim pritisnite Kopiraj. Zatim ponovno pritisnite CMD + D dok ne dobijete 6 kopija.
8. Sada ponovite sve: ponovno pritisnite Enter, odaberite posljednju kocku, postavite samo kut na 120 ° i napravite samo 5 kopija.
9. Koristeći Selection Tool, trebate odabrati gornju površinu oblika (možete je promijeniti boju kako bi bila jasnija), otvoriti izbornik Object - Arrange - Send to back. Sada odaberite obojenu površinu gornje kocke, idite na Object - Arrange - Bring to Front.

Penroseova iluzija je spremna. Može se objaviti na vašoj stranici na društvenim mrežama ili blogu ili koristiti za posao.

Penroseov trokut- jedna od glavnih nemogućih figura, poznata i po imenima nemogući trokut I tribar.

Penroseov trokut (u boji)

Priča

Ova brojka je stekla veliku popularnost nakon objave članka o nemogućim figurama u British Journal of Psychology engleskog matematičara Rogera Penrosea 1958. godine. Također u ovom članku, nemogući trokut je prikazan u svom najopćenitijem obliku - u tri grede međusobno spojene pod pravim kutom. Pod utjecajem ovog članka, nizozemski umjetnik Maurits Escher stvorio je jednu od svojih poznatih litografija Vodopad.

3D ispis Penroseovog trokuta

skulpture

13-metarska skulptura nemogućeg trokuta od aluminija podignuta je 1999. godine u gradu Perthu (Australija).

Ista skulptura pri promjeni gledišta

Ostale brojke

Iako je sasvim moguće konstruirati analoge Penroseovog trokuta na temelju pravilni poligoni, njihov vizualni učinak nije tako impresivan. Kako se broj strana povećava, objekt izgleda jednostavno savijen ili uvrnut.

vidi također

• Tri zeca (engleski) tri zeca)

iluzionizam (filozofija)

Iluzionizam - u širem smislu, to je naziv za filozofsko stajalište u odnosu na određene pojave; za način na koji se takve pojave razmatraju; u užem smislu, to je naziv za nekoliko specifičnih filozofskih teorija.

iluzija zida kafića

Iluzija zida kafića optička je iluzija nastala kombiniranim djelovanjem različitih razina neuronskih mehanizama: neurona mrežnice i neurona vidnog korteksa.

nemoguća figura

Nemoguća figura je jedna od vrsta optičkih iluzija, figura koja na prvi pogled izgleda kao projekcija običnog trodimenzionalnog objekta, nakon čijeg detaljnijeg ispitivanja postaju vidljive proturječne veze elemenata figure. Stvara se iluzija o nemogućnosti postojanja takve figure u trodimenzionalnom prostoru.

Nemoguća kocka

Nemoguća kocka je nemoguća figura koju je izmislio Escher za svoju litografiju Belvedere. Ovo je dvodimenzionalna figura koja izgleda kao perspektiva trodimenzionalne kocke, nekompatibilna s pravom kockom. Na litografiji Belvedere, dječak koji sjedi u podnožju zgrade drži nemoguću kocku. Ispod njegovih nogu nalazi se crtež slične Neckerove kocke, dok sama zgrada sadrži ista svojstva nemoguće kocke.

Nemoguća kocka posuđuje dvosmislenost Neckerove kocke, u kojoj su rubovi iscrtani kao segmenti linija, a koja se može interpretirati u jednoj od dvije različite trodimenzionalne orijentacije.

Nemoguća kocka obično se crta kao Neckerova kocka, s rubovima (segmentima) zamijenjenim naizgled čvrstim šipkama.

U Escherovoj litografiji, četiri gornja spoja prečki i gornje sjecište prečki odgovaraju jednoj od dvije interpretacije Neckerove kocke, dok donja četiri spoja i donje sjecište odgovaraju drugoj interpretaciji. Druge varijante nemoguće kocke kombiniraju ova svojstva na druge načine. Na primjer, jedna od kocki na slici sadrži svih osam veza prema jednoj interpretaciji Neckerove kocke, a oba sjecišta odgovaraju drugoj interpretaciji.

Prividna čvrstoća šipki daje nemogućoj kocki veću vizualnu dvosmislenost od Neckerove kocke, za koju je manje vjerojatno da će se percipirati kao nemoguć objekt. Iluzija se poigrava tumačenjem ljudskog oka dvodimenzionalnog crteža kao trodimenzionalnog objekta. Trodimenzionalni objekti mogu izgledati nemogući kada se gledaju iz određenog kuta i bilo ako se naprave rezovi u predmetu na pravom mjestu ili se koristi izmijenjena perspektiva, ali ljudsko iskustvo s pravokutnim objektima čini nemoguće percepcije vjerojatnijim od iluzija u stvarnosti.

Drugi umjetnici, uključujući Jos De Meya, također su slikali nemoguće komade kocke.

Izmišljena fotografija navodno nemoguće kocke objavljena je u izdanju časopisa Scientific American iz lipnja 1966., gdje je nazvana "Frimischovim kavezom". Nemoguća kocka bila je prikazana na jednoj austrijskoj poštanskoj marki.

Nemogući trozubac

Blyweth, također poznat kao poyut ili vražje vile, neobjašnjiva je figura optička iluzija i nemoguća figura. Čini se da se tri cilindrične šipke pretvaraju u dvije šipke.

Ruthersward, Oscar

Oskar Rutersvärd (pisanje prezimena prihvaćeno u književnosti na ruskom jeziku; točnije Reutersverd), Šveđanin. Oscar Reutersvärd (29. studenog 1915., Stockholm, Švedska - 2. veljače 2002., Lund) - "otac nemoguće figure", švedski umjetnik koji se specijalizirao za prikaz nemogućih figura, odnosno onih koje je moguće prikazati (s obzirom na neizbježna kršenja perspektive pri predstavljanju 3-dimenzionalnog prostora na papiru), ali se ne mogu stvoriti. Jedna od njegovih figura primljena daljnji razvoj kao "Penroseov trokut" (1934). Rad Rutherswarda može se usporediti s radom Eschera, ali ako je potonji koristio nemoguće figure kao "kičme" za oslikavanje fantastičnih svjetova, onda su Rutherswarda zanimale samo figure kao takve. Tijekom svog života, Rutersvärd je prikazao oko 2500 figura u izometrijskoj projekciji. Rutersvärdove knjige objavljene su na mnogim jezicima, uključujući ruski.

Escher, Maurits Cornelis

Maurits Cornelis Escher (nizozemski. Maurits Cornelis Escher [ˈmʌu̯rɪts kɔrˈneːlɪs ˈɛʃər̥]; 17. lipnja 1898., Leeuwarden, Nizozemska - 27. ožujka 1972., Hilversum, Nizozemska) bio je nizozemski grafičar. Poznat prije svega po svojim konceptualnim litografijama, drvorezima i metalorezima, u kojima je majstorski istraživao plastične aspekte pojmova beskonačnosti i simetrije, kao i značajke psihološke percepcije složenih trodimenzionalnih objekata, najviše svijetli predstavnik dodijeliti.

Iluzije	Penrose Trokut

Također poznat po imenima nemogući trokut I tribar.

Priča

Ova brojka je stekla veliku popularnost nakon objave članka o nemogućim figurama u British Journal of Psychology engleskog matematičara Rogera Penrosea 1958. godine. U ovom je članku nemogući trokut prikazan u najopćenitijem obliku - u obliku tri grede međusobno povezane pod pravim kutom. Pod utjecajem ovog članka, nizozemski umjetnik Maurits Escher stvorio je jednu od svojih poznatih litografija Vodopad.

skulpture

13-metarska skulptura nemogućeg trokuta od aluminija podignuta je 1999. godine u gradu Perthu (Australija).

Deutsches Technikmuseum Berlin, veljača 2008. 0004.JPG

Ista skulptura pri promjeni gledišta

Ostale brojke

Iako je sasvim moguće izgraditi analoge Penroseovog trokuta na temelju pravilnih poligona, njihov vizualni učinak nije tako impresivan. Kako se broj strana povećava, objekt izgleda jednostavno savijen ili uvrnut.

vidi također

• Tri zeca (engleski) tri zeca )

Napišite recenziju na članak "Penroseov trokut"

Izvadak koji karakterizira Penroseov trokut

Rekavši sve što mu je naređeno, Balašev je rekao da car Aleksandar želi mir, ali neće započeti pregovore osim pod uvjetom da ... Ovdje je Balašev oklijevao: sjetio se onih riječi koje car Aleksandar nije napisao u pismu, ali koje je svakako naredio Saltikovu da ih ubaci u reskript i koje je Balaševu naredio da preda Napoleonu. Balašev se sjećao ovih riječi: "sve dok na ruskom tlu ne ostane niti jedan naoružani neprijatelj", ali neka vrsta složenog osjećaja ga je zadržala. Nije mogao izgovoriti te riječi iako je želio. Oklijevao je i rekao: pod uvjetom da se francuske trupe povuku iza Njemana.
Napoleon je primijetio Balaševljevu neugodu kad je rekao posljednje riječi; lice mu je drhtalo, lijeva mu je potkoljenica počela odmjereno drhtati. Ne mičući se sa svog mjesta, počeo je govoriti višim i žurnijim glasom nego prije. Tijekom govora koji je uslijedio, Balashev je više puta spuštao oči i nehotice primijetio drhtanje lista u Napoleonovoj lijevoj nozi, koje se pojačavalo što je više podizao glas.
“Želim mir ništa manje od cara Aleksandra”, započeo je. “Zar nisam osamnaest mjeseci činio sve da ga dobijem? Osamnaest mjeseci čekam objašnjenje. Ali da bih započeo pregovore, što se od mene traži? rekao je, namrštivši se i napravivši energičnu upitnu gestu svojom malom bijelom i punašnom rukom.
- Povlačenje trupa za Neman, suvereno, - rekao je Balashev.
- Za Neman? ponovi Napoleon. - Dakle, sada se želite povući iza Njemana - samo za Njeman? ponovi Napoleon, gledajući ravno u Balaševa.
Balašev je s poštovanjem pognuo glavu.
Umjesto da su prije četiri mjeseca tražili povlačenje iz Numberanije, sada su tražili povlačenje samo preko Njemana. Napoleon se brzo okrenuo i počeo koračati po sobi.
- Kažete da se od mene traži da se povučem iza Njemana da započnem pregovore; ali prije dva mjeseca zahtijevali su od mene da se povučem preko Odre i Visle na potpuno isti način, i usprkos tome, pristajete na pregovore.
Šutke je hodao od jednog kuta sobe do drugog i ponovno se zaustavio pred Balaševom. Lice kao da mu se skamenilo u svom strogom izrazu, a lijeva mu je noga drhtala još brže nego prije. Napoleon je poznavao ovo drhtanje svog lijevog lista. La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [Drhtanje mog lijevog lista je veliki znak,] kasnije je rekao.

Nemoguće je ipak moguće. A živopisna potvrda toga je nemogući Penroseov trokut. Otkriven u prošlom stoljeću, još uvijek se često nalazi u znanstvena literatura. I koliko god iznenađujuće zvučalo, možete ga čak i sami napraviti. A to je vrlo lako učiniti. Mnogi ljubitelji crtanja ili skupljanja origamija to već dugo mogu učiniti.

Značenje Penroseovog trokuta

Postoji nekoliko naziva za ovu figuru. Neki ga nazivaju nemogućim trokutom, drugi samo trokutom. Ali najčešće možete pronaći definiciju točno "Penroseovog trokuta".

Pod ovim definicijama podrazumijeva se jedna od glavnih nemogućih figura. Sudeći po nazivu, nemoguće je dobiti takvu figuru u stvarnosti. Ali u praksi je dokazano da je to ipak moguće. Dobit će oblik samo ako ga gledate s određene točke pod pravim kutom. Sa svih ostalih strana, brojka je sasvim realna. Predstavlja tri ruba kocke. I lako je napraviti takav dizajn.

Povijest otkrića

Penroseov trokut otkrio je davne 1934. godine švedski umjetnik Oscar Reutersvärd. Figura je bila predstavljena u obliku kocki sastavljenih zajedno. U budućnosti se umjetnik počeo nazivati ​​"ocem nemogućih figura".

Možda bi Reutersvärdov crtež ostao malo poznat. No 1954. godine švedski matematičar Roger Penrose napisao je rad o nemogućim brojkama. Ovo je bilo drugo rođenje trokuta. Istina, znanstvenik ga je predstavio u poznatijem obliku. Nije koristio kocke, već grede. Tri su grede međusobno spojene pod kutom od 90 stupnjeva. Razlika je bila i u tome što je Reutersvärd pri slikanju koristio paralelnu perspektivu. I Penrose je primijenio linearnu perspektivu, što je crtež učinilo još nemogućim. Takav je trokut objavljen 1958. u britanskom psihološkom časopisu.

Godine 1961. umjetnik Maurits Escher (Nizozemska) izradio je jednu od svojih najpopularnijih litografija, Vodopad. Nastala je pod dojmom koji je izazvao članak o nemogućim brojkama.

Osamdesetih godina prošlog stoljeća na državi su prikazivani tribari i drugi nemogući likovi postanske markeŠvedska. To je trajalo nekoliko godina.

Krajem prošlog stoljeća (točnije 1999.) u Australiji je nastala aluminijska skulptura koja prikazuje nemogući Penroseov trokut. Dosegla je visinu od 13 metara. Slične skulpture, samo manjih dimenzija, nalaze se iu drugim zemljama.

Nemoguće u stvarnosti

Kao što ste mogli pretpostaviti, Penroseov trokut zapravo nije trokut u uobičajenom smislu. To su tri strane kocke. Ali ako gledate iz određenog kuta, dobivate iluziju trokuta zbog činjenice da se 2 kuta potpuno podudaraju na ravnini. Bliži od gledatelja i udaljeni kutovi vizualno su kombinirani.

Ako ste pažljivi, možete pogoditi da tribar nije ništa više od iluzije. Stvarni izgled figure može dati sjenu iz nje. To pokazuje da uglovi zapravo nisu povezani. I, naravno, sve postaje jasno ako uzmete figuru.

Izrada figure vlastitim rukama

Penroseov trokut može se sastaviti samostalno. Na primjer, od papira ili kartona. A dijagrami će vam pomoći u tome. Samo ih treba isprintati i zalijepiti. Na internetu postoje dva dijagrama. Jedan od njih je malo lakši, drugi je teži, ali popularniji. Oba su prikazana na slikama.

Trokut Penrose bit će zanimljiv proizvod koji će se svakako svidjeti gostima. Sigurno neće proći nezapaženo. Prvi korak za njegovu izradu je priprema sheme. Prebacuje se na papir (karton) pomoću printera. A onda je još lakše. Samo ga treba rezati oko perimetra. Dijagram već ima sve potrebne linije. Bit će prikladnije raditi s debljim papirom. Ako je dijagram ispisan na tankom papiru, ali želite nešto gušće, praznina se jednostavno nanosi na odabrani materijal i izrezuje duž konture. Kako biste spriječili pomicanje kruga, možete ga pričvrstiti spajalicama za papir.

Zatim morate odrediti linije duž kojih će se obradak saviti. U pravilu je predstavljen na dijagramu.Savijamo dio. Zatim određujemo mjesta koja su podložna lijepljenju. Premazani su PVA ljepilom. Dio je spojen u jednu figuru.

Detalj se može bojati. I u početku možete koristiti karton u boji.

Nacrtaj nemoguću figuru

Može se nacrtati i Penroseov trokut. Za početak, na listu je nacrtan jednostavan kvadrat. Njegova veličina nije bitna. S bazom na donjoj strani kvadrata nacrtan je trokut. Mali pravokutnici nacrtani su u kutovima iznutra. Njihove strane će morati biti izbrisane, ostavljajući samo one koje su zajedničke s trokutom. Rezultat bi trebao biti trokut s skraćenim kutovima.

S lijeve strane gornjeg donjeg kuta povlači se ravna linija. Ista linija, ali nešto kraća, povučena je iz donjeg lijevog kuta. Linija koja se proteže iz desnog kuta nacrtana je paralelno s osnovicom trokuta. Ispada druga dimenzija.

Po principu druge crta se treća dimenzija. Samo u ovom slučaju, sve linije se temelje na kutovima figure, ne prve, već druge dimenzije.