Dom › Motor › Što trebate znati o Penroseovom trokutu? Penroseov trokut. Napravite nemogući trokut Kako stvoriti nemoguću iluziju trokuta

Što trebate znati o Penroseovom trokutu? Penroseov trokut. Napravite nemogući trokut Kako stvoriti nemoguću iluziju trokuta

Lijepi pozdrav dragi čitatelji blog stranica. Rustam Zakirov je u kontaktu i imam još jedan članak za vas, čija je tema kako nacrtati Penroseov trokut. Danas vam želim pokazati kako je lako nacrtati nemogući trokut. Nacrtat ćemo dva crteža ovog trokuta, jedan će biti običan, a drugi će biti pravi 3D crtež. I sve će to biti iznenađujuće jednostavno. Možete dobiti pravi 3D crtež ovog trokuta. Sumnjam da će vam se ovo pokazati negdje drugdje, stoga pročitajte članak do kraja i to vrlo pažljivo.

Za naše crteže, kao i uvijek, potrebni su nam: komad papira jednostavne olovke(po mogućnosti jedna "srednja", "druga mekana") i nekoliko olovaka u boji ili flomastera.

Kako je lako nacrtati bilo koji 3D crtež.

Ovaj nemogući trokut izvukao sam iz ove obične slike koju sam upravo pronašao na internetu. Evo je.

I onda sam to za par minuta uz pomoć preveo u 3D . Tako da možete prevesti gotovo svaku sliku u 3D. Za one koji žele naučiti isto, kliknite ovdje.

I prelazimo na naš crtež.

Crtamo uobičajeni crtež trokuta.

KORAK 1. Prevodimo s ekrana monitora.

Da biste nacrtali trokut, morat ćete učiniti sljedeće. Uzmete svoj papir i prislonite ga na trokut na ekranu monitora i jednostavno ga prevedete.

A budući da naš trokut nije nimalo kompliciran, dovoljno je staviti samo glavne točke u sve njegove kutove.

Zatim pogledamo original i spojimo te točke ravnalom. Dobila sam ovako.

Sav naš trokut je spreman. Možete i tako ostaviti, ali ajmo još malo ukrasiti. Ovo sam napravio olovkama u boji. Nakon što smo potpuno obojali naš trokut, ponovno ga potpuno ocrtavamo jednostavnom mekom olovkom.

Na ovome je naš uobičajeni Penroseov trokut potpuno spreman i prelazimo na isti trokut.

Crtamo 3D crtež trokuta.

KORAK 1. Mi prevodimo.

Djelujemo prema istoj shemi kao i s uobičajenim uzorkom. Dajem vam gotov trokut već preveden u 3D format. Evo ga.

A ti to prevedi. Sve radimo na isti način kao i kod običnog crteža. Uzmete svoj list, prislonite ga na ekran monitora, list zasja i gotov 3D crtež jednostavno prenesete na svoj list.

Evo što mi se dogodilo.

Veličina trokuta može se povećati ili smanjiti. Da biste to učinili, samo trebate promijeniti skalu vašeg monitora. Držite pritisnutu tipku Ctrl i vrtite kotačić miša.

Sa sigurnošću možemo reći da je naš 3D crtež već spreman. Za to mi je trebalo oko 3 minute. Na ovome, u načelu, možemo sigurno završiti, ali opet ukrasimo naš trokut.

Dmitrij Rakov

Naše oči ne mogu vidjeti
prirodu objekata.
Zato ih nemojte forsirati
duševne zablude.

Tit Lukrecije Car

Uobičajeni izraz "varanje oka" u biti je pogrešan. Oči nas ne mogu prevariti, jer su one samo posredna veza između predmeta i ljudskog mozga. Optička varka obično ne nastaje zbog onoga što vidimo, već zato što nesvjesno promišljamo i nehotice griješimo: "okom, a ne okom, um zna gledati svijet."

Jedan od najspektakularnijih trendova u umjetničkom tijeku optičke umjetnosti (op-art) je imp-art (imp-art, nemoguće umjetnost), koji se temelji na slici nemogućih figura. Nemogući objekti su crteži na ravnini (svaka ravnina je dvodimenzionalna), koji prikazuju trodimenzionalne strukture, čije postojanje je nemoguće u stvarnom trodimenzionalnom svijetu. Klasičan i jedan od najjednostavnijih oblika je nemogući trokut.

U nemogućem trokutu svaki kut je sam po sebi moguć, ali paradoks nastaje kada ga promatramo kao cjelinu. Stranice trokuta usmjerene su i prema promatraču i od njega, tako da njegovi pojedini dijelovi ne mogu tvoriti pravi trodimenzionalni objekt.

Zapravo, naš mozak tumači crtež u ravnini kao trodimenzionalni model. Svijest postavlja "dubinu" na kojoj se nalazi svaka točka slike. Naše ideje o stvarnom svijetu su u sukobu, s određenom nedosljednošću, i moramo donijeti neke pretpostavke:

ravne 2D linije tumače se kao ravne 3D linije;
dvodimenzionalan paralelne linije tumačiti kao trodimenzionalne paralelne linije;
oštri i tupi kutovi tumače se kao pravi kutovi u perspektivi;
vanjske linije smatrati granicom forme. Ova vanjska granica iznimno je važna za izgradnju cjelovite slike.

Ljudski um najprije stvara opću sliku predmeta, a zatim ispituje pojedine dijelove. Svaki kut je kompatibilan s prostornom perspektivom, ali kada se ponovno spoje, tvore prostorni paradoks. Ako zatvorite bilo koji od kutova trokuta, tada nemogućnost nestaje.

Povijest nemogućih figura

S pogreškama u gradnji prostora umjetnici su se susretali prije tisuću godina. No, prvim koji je gradio i analizirao nemoguće objekte smatra se švedski umjetnik Oscar Reutersvärd, koji je 1934. godine naslikao prvi nemogući trokut, koji se sastojao od devet kockica.


		"Moskva", grafika (mastiljava olovka), 50x70 cm, 2003

Neovisno o Reutersvaerdu, engleski matematičar i fizičar Roger Penrose ponovno otkriva nemogući trokut i objavljuje njegovu sliku u British Psychology Journalu 1958. Iluzija koristi "lažnu perspektivu". Ponekad se takva perspektiva naziva kineskom, budući da se sličan način crtanja, kada je dubina crteža "dvosmislena", često nalazi u djelima kineskih umjetnika.

Na crtežu "Tri puža" mala i velika kocka nisu orijentirane u normalnom izometrijskom pogledu. Manja kocka se spaja s većom na prednjoj i stražnjoj strani, što znači, slijedeći trodimenzionalnu logiku, da ima iste dimenzije nekih stranica kao i velika. Isprva se crtež čini kao stvarni prikaz čvrstog tijela, ali kako analiza napreduje, otkrivaju se logičke kontradikcije ovog objekta.

Crtež "Tri puža" nastavlja tradiciju druge poznate nemoguće figure - nemoguće kocke (kutije).


"IQ", grafika (mastiljava olovka), 50x70 cm, 2001		"Gore i dolje", M. Escher

Kombinacija različitih objekata može se pronaći iu ne tako ozbiljnoj brojci "IQ" (kvocijent inteligencije). Zanimljivo je da neki ljudi ne percipiraju nemoguće objekte zbog činjenice da njihova svijest nije u stanju poistovjetiti plošne slike s trodimenzionalnim objektima.

Donald E. Simanek smatra da je razumijevanje vizualnih paradoksa jedno od obilježja te vrste kreativnost posjeduju najbolji matematičari, znanstvenici i umjetnici. Mnogi radovi s paradoksalnim objektima mogu se pripisati "intelektualnim matematičkim igrama". moderna znanost govori o 7-dimenzionalnom ili 26-dimenzionalnom modelu svijeta. Takav svijet moguće je modelirati samo uz pomoć matematičkih formula, čovjek to jednostavno nije u stanju zamisliti. I ovdje su korisni. nemoguće figure. S filozofskog gledišta, oni služe kao podsjetnik da sve fenomene (u analizi sustava, znanosti, politici, ekonomiji itd.) treba promatrati u svim složenim i neočitim odnosima.

Različiti nemogući (i mogući) objekti prikazani su na slici "Nemoguća abeceda".

Treća popularna nemoguća figura je nevjerojatno stubište koje je stvorio Penrose. Neprekidno ćete se ili uspinjati (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) ili spuštati (u smjeru kazaljke na satu) duž njega. Osnova je bio Penroseov model poznata slika M. Escher "Gore i dolje" ("Uzlazno i silazno").

Postoji još jedna skupina objekata koji se ne mogu implementirati. Klasična figura je nemogući trozubac ili "đavolja vilica".

Nakon pažljivog proučavanja slike, možete vidjeti da se tri zuba postupno pretvaraju u dva na jednoj osnovi, što dovodi do sukoba. Uspoređujemo broj zuba odozgo i odozdo i dolazimo do zaključka da je predmet nemoguć.

Ima li veće koristi od nemogućih crteža od umnih igara? U nekim bolnicama posebno su obješene slike nemogućih predmeta, budući da njihovo ispitivanje može dugo okupirati pacijente. Bilo bi logično takve crteže objesiti na blagajni, u policiji i na drugim mjestima gdje čekanje na red ponekad traje vječno. Crteži bi mogli djelovati kao svojevrsni "kronofagi", tj. rasipnici vremena.

Nemogući trokut jedan je od nevjerojatnih matematičkih paradoksa. Na prvi pogled na njega ne možete sumnjati ni sekunde. stvarno postojanje. Međutim, to je samo privid, obmana. A samu mogućnost takve iluzije objasnit će nam matematika!

Otkriće Penroseovih

Godine 1958. British Psychological Journal objavio je članak L. Penrosea i R. Penrosea, u kojem su uveli u razmatranje novi tip optičku iluziju, koju su nazvali "nemogući trokut".

Vizualno nemogući trokut percipira se kao struktura koja stvarno postoji u trodimenzionalnom prostoru i sastoji se od pravokutnih šipki. Ali ovo je samo optička varka. Nemoguće je izgraditi pravi model nemogućeg trokuta.

Penroseov članak sadržavao je nekoliko opcija za prikaz nemogućeg trokuta. - njegova "klasična" prezentacija.

Koji elementi čine nemogući trokut?

Točnije, od kojih nam se elemenata čini izgrađenim? Dizajn se temelji na pravokutnom kutu koji se dobiva spajanjem dviju identičnih pravokutnih šipki pod pravim kutom. Potrebna su tri takva kuta, a šipke, dakle, šest komada. Ovi kutovi moraju biti vizualno "povezani" jedan s drugim na određeni način tako da čine zatvoreni lanac. Ono što se događa je nemogući trokut.

Postavite prvi kut u vodoravnu ravninu. Na njega ćemo pričvrstiti drugi kut, usmjeravajući jedan od njegovih rubova prema gore. Na kraju, ovom drugom kutu dodajemo treći kut tako da njegov rub bude paralelan s izvornom vodoravnom ravninom. U tom će slučaju dva ruba prvog i trećeg kuta biti paralelna i usmjerena u različitim smjerovima.

Ako šipku promatramo kao segment jedinične duljine, tada krajevi šipki prvog kuta imaju koordinate, i, drugog kuta - , i, trećeg - , i. Dobili smo "uvrnutu" strukturu koja zapravo postoji u trodimenzionalnom prostoru.

A sada pokušajmo to mentalno pogledati iz različite točke prostor. Zamislite kako to izgleda s jedne točke, s druge, s treće. Kada mijenjate točku promatranja, činit će se da se dva "krajnja" ruba naših kutova pomiču jedan u odnosu na drugi. Nije teško pronaći poziciju u kojoj će se spojiti.

Ali ako je udaljenost između rebara puno manja od udaljenosti od uglova do točke s koje gledamo našu strukturu, tada će oba rebra imati istu debljinu za nas, i pojavit će se ideja da su ta dva rebra zapravo nastavak jednog drugog. Ova situacija je prikazana u 4.

Usput, ako istovremeno pogledamo odraz strukture u zrcalu, tada tamo nećemo vidjeti zatvoreni krug.

I s odabrane točke promatranja vlastitim očima vidimo čudo koje se dogodilo: postoji zatvoreni lanac od tri ugla. Samo nemojte mijenjati točku promatranja kako se ova iluzija ne bi srušila. Sada možete nacrtati objekt koji vidite ili postaviti objektiv fotoaparata na pronađenu točku i dobiti fotografiju nemogućeg objekta.

Penrosovi su prvi koji su se zainteresirali za ovaj fenomen. Iskoristili su mogućnosti koje se pojavljuju pri preslikavanju trodimenzionalnog prostora i trodimenzionalnih objekata na dvodimenzionalnu ravninu i skrenuli pozornost na neke nedoumice u dizajnu - otvorena konstrukcija od tri kuta može se percipirati kao zatvoreni lanac.

Dokaz nemogućnosti Penroseovog trokuta

Analizirajući značajke dvodimenzionalne slike trodimenzionalnih objekata na ravnini, shvatili smo kako značajke ovog prikaza dovode do nemogućeg trokuta. Možda će nekoga zanimati čisto matematički dokaz.

Izuzetno je lako dokazati da nemogući trokut ne postoji, jer je svaki njegov kut pravi, a njihov zbroj je 270 stupnjeva umjesto "postavljenih" 180 stupnjeva.

Štoviše, čak i ako uzmemo u obzir nemogući trokut zalijepljen od kutova manjih od 90 stupnjeva, tada u ovom slučaju možemo dokazati da nemogući trokut ne postoji.

Vidimo tri ravna lica. Oni se sijeku u parovima duž ravnih linija. Ravnine koje sadrže te plohe su po parovima ortogonalne, pa se sijeku u jednoj točki.

Osim toga, kroz ovu točku moraju prolaziti linije međusobnog sjecišta ravnina. Stoga se prave 1, 2, 3 moraju sijeći u jednoj točki.

Ali nije. Stoga je prikazana konstrukcija nemoguća.

"Nemoguće" čl

Sudbina ove ili one ideje - znanstvene, tehničke, političke - ovisi o mnogim okolnostima. I ne samo o tome u kojem će se obliku ta ideja prezentirati, u kakvoj će se slici pojaviti široj javnosti. Hoće li utjelovljenje biti suhoparno i teško uočljivo, ili će, naprotiv, manifestacija ideje biti svijetla, privlačeći našu pažnju čak i protiv naše volje.

Nemogući trokut ima sretnu sudbinu. Godine 1961 nizozemski slikar Moritz Escher dovršio je litografiju koju je nazvao Vodopad. Umjetnik je prošao dug, ali brz put od same ideje nemogućeg trokuta do njegovog nevjerojatnog umjetničkog utjelovljenja. Podsjetimo, članak o Penroseu pojavio se 1958.

U središtu "Vodopada" prikazana su dva nemoguća trokuta. Jedan trokut je velik, drugi trokut se nalazi unutar njega. Može se činiti da su prikazana tri identična nemoguća trokuta. Ali nije u tome stvar, predstavljeni dizajn je prilično kompliciran.

Na letimičan pogled neće svima odmah biti vidljiva njegova apsurdnost, jer je svaka prikazana veza moguća. kako kažu, lokalno, to jest na malom području crteža, takav je dizajn izvediv ... Ali općenito je nemoguće! Njegovi pojedinačni dijelovi ne pristaju, ne slažu se jedan s drugim.

A da bismo to razumjeli, moramo uložiti određene intelektualne i vizualne napore.

Krenimo na putovanje uz rubove strukture. Ova staza je izvanredna po tome što duž nje, kako nam se čini, razina u odnosu na horizontalnu ravninu ostaje nepromijenjena. Krećući se ovom stazom niti se penje niti silazi.

I sve bi bilo dobro, poznato, da se na kraju staze - naime na točki - ne bismo našli da smo se, u odnosu na početnu točku, nekako tajanstveno nepojmljivo popeli uz vertikalu!

Da bismo došli do ovog paradoksalnog rezultata, moramo odabrati ovaj put, pa čak i pratiti razinu u odnosu na horizontalnu ravninu ... Nije lak zadatak. U njenoj odluci Escheru je u pomoć priskočila ... voda. Prisjetimo se pjesme o pokretu iz prekrasnog vokalnog ciklusa Franza Schuberta “Lijepa mlinareva žena”:

I najprije u mašti, a onda pod rukom divnog majstora, gole i suhe građevine pretvaraju se u akvadukte kroz koje teku čisti i brzi potoci vode. Njihovo kretanje plijeni naš pogled, i mi sada, protiv svoje volje, jurimo nizvodno, prateći sve zavoje i zavoje staze, zajedno s potokom se rušimo, padamo na lopatice vodenice, pa opet jurimo nizvodno.. .

Obiđemo tu stazu jednom, dva puta, treći... i tek tada shvatimo: krećemo se prema dolje i nekako na fantastičan način popnimo se na vrh! Prvotno iznenađenje razvija se u neku vrstu intelektualne nelagode. Čini se da smo postali žrtva nekakve podvale, predmet neke još neshvaćene šale.

I opet ponavljamo taj put čudnim kanalom, sada polako, s oprezom, kao da se plašimo kvake od paradoksalne slike, kritički sagledavajući sve što se događa na tom tajanstvenom putu.

Pokušavamo odgonetnuti misterij koji nas je zadivio, a iz njegovog zatočeništva ne možemo pobjeći sve dok ne pronađemo skrivenu oprugu koja leži u njezinoj osnovi i dovodi nezamislivi vrtlog u neprestani pokret.

Umjetnik posebno naglašava, nameće nam percepciju svojih slika kao slika stvarnih trodimenzionalnih objekata. Trodimenzionalnost je naglašena slikom sasvim stvarnih poliedara na tornjevima, opekom s najtočnijim prikazom svake opeke u zidovima akvadukta, uzdižućim terasama s vrtovima u pozadini. Sve je osmišljeno da uvjeri gledatelja u stvarnost onoga što se događa. A zahvaljujući umjetnosti i izvrsnoj tehnologiji, ovaj cilj je postignut.

Kad se izvučemo iz zatočeništva u koje nam pada svijest, počnemo uspoređivati, uspoređivati, analizirati, nalazimo da se osnova, izvor te slike krije u dizajnerskim značajkama.

I dobili smo još jedan – “fizički” dokaz nemogućnosti “nemogućeg trokuta”: da takav trokut postoji, postojao bi i Escherov “Vodopad”, koji je u biti perpetum mobile. Ali perpetuum mobile je nemoguć, stoga je nemoguć i "nemogući trokut". I, možda, ovaj "dokaz" je najuvjerljiviji.

Što je Moritza Eschera učinilo fenomenom, jedinstvenom osobom koja nije imala očigledne prethodnike u umjetnosti i koja se ne može oponašati? To je kombinacija ravnina i volumena, velika pozornost do bizarnih oblika mikrosvijeta - živog i neživog, do neobičnih pogleda na obične stvari. Glavni učinak njegovih kompozicija je učinak nastajanja nemogućih odnosa među poznatim objektima. Ove situacije na prvi pogled mogu i uplašiti i izazvati osmijeh. Možete radosno gledati zabavu koju umjetnik nudi ili možete ozbiljno uroniti u dubine dijalektike.

Moritz Escher pokazao je da svijet možda uopće nije onakav kakvim ga vidimo i navikli smo doživljavati - samo ga treba pogledati iz drugog, novog kuta!

Moritz Escher

Moritz Escher imao je više sreće kao znanstvenik nego kao umjetnik. Njegove gravure i litografije smatrane su ključevima za dokazivanje teorema ili izvornih protuprimjera koji prkose zdravom razumu. U najgorem slučaju, doživljavani su kao izvrsne ilustracije za znanstvene rasprave o kristalografiji, teoriji grupa, kognitivnoj psihologiji ili računalnoj grafici. Moritz Escher je radio na području prostorno-vremenskih odnosa i njihovog identiteta, koristio se osnovnim uzorcima mozaika, primjenom transformacija na njih. Ovaj Veliki majstor optičke iluzije. Escherove gravure ne prikazuju svijet formula, već ljepotu svijeta. Njihovo intelektualno skladište temeljno je suprotstavljeno nelogičnim kreacijama nadrealista.

Nizozemski umjetnik Moritz Cornelius Escher rođen je 17. lipnja 1898. godine u pokrajini Nizozemskoj. Kuća u kojoj je Escher rođen danas je muzej.

Od 1907. Moritz je učio stolarski zanat i svirao klavir, studirajući na Srednja škola. Moritzove ocjene iz svih predmeta bile su loše osim iz crtanja. Profesorica likovnog primijetila je dječakov talent i naučila ga izrađivati drvoreze.

Godine 1916. Escher izvodi svoj prvi grafički rad, gravuru na ljubičastom linoleumu – portret svog oca G. A. Eschera. Posjećuje radionicu umjetnika Gerta Stiegemanna koji je imao tiskarski stroj. Na ovom stroju tiskane su prve Escherove gravure.

1918.-1919. Escher je pohađao Tehničku školu u nizozemskom gradu Delftu. Dobiva odgodu od služenja vojnog roka radi nastavka studija, ali zbog lošeg zdravlja Moritz se nije mogao nositi s nastavni plan i program, te je izbačen. Kao rezultat toga, nikada nije dobio više obrazovanje. Studira na Školi za arhitekturu i ornamentiku u Haarlemu, gdje uzima satove crtanja od Samuela Jeserina de Mesquitea, koji je imao formativni utjecaj na Escherov život i rad.

Godine 1921. obitelj Escher posjetila je rivijeru i Italiju. Fasciniran vegetacijom i cvijećem mediteranske klime, Moritz je izradio detaljne crteže kaktusa i maslina. Skicirao je mnoge skice planinskih krajolika, koje su kasnije bile temelj njegovog rada. Kasnije će se stalno vraćati u Italiju koja će mu poslužiti kao izvor inspiracije.

Escher počinje eksperimentirati u novom smjeru za sebe, čak i tada u njegovim djelima postoje zrcalne slike, kristalne figure i sfere.

Kraj dvadesetih pokazao se kao vrlo plodno razdoblje za Moritza. Njegovi su radovi prikazani na mnogim izložbama u Nizozemskoj, a do 1929. njegova je popularnost dosegla toliku razinu da je u jednoj godini održano pet samostalnih izložbi u Nizozemskoj i Švicarskoj. U tom su razdoblju Escherove slike prvi put nazvane mehaničkim i "logičkim".

Asher puno putuje. Živi u Italiji i Švicarskoj, Belgiji. Proučava maurske mozaike, izrađuje litografije, gravure. Na temelju putopisnih crtica stvara svoju prvu sliku nemoguće stvarnosti Mrtva priroda s ulicom.

U kasnim tridesetima Escher je nastavio eksperimentirati s mozaicima i transformacijama. On stvara mozaik u obliku dviju ptica koje lete jedna prema drugoj, što je činilo osnovu slike "Dan i noć".

U svibnju 1940. nacisti su okupirali Nizozemsku i Belgiju, a 17. svibnja u okupacionu zonu pao je i Bruxelles, gdje su tada živjeli Escher i njegova obitelj. U Varni nalaze dom i tamo se sele u veljači 1941. Do kraja svojih dana, Escher će živjeti u ovom gradu.

Godine 1946. Escher se zainteresirao za tehnologiju dubokog tiska. I premda je ova tehnologija bila mnogo kompliciranija od one koju je prije koristio Escher i zahtijevala više vremena za stvaranje slike, rezultati su bili impresivni - tanke linije i precizna reprodukcija sjena. Jedan od naj poznata djela u dubokom tisku "Rosna kap" dovršena je 1948. godine.

Godine 1950. Moritz Escher stekao je popularnost kao predavač. Zatim je 1950. godine održana njegova prva samostalna izložba u Sjedinjenim Državama i njegovi su se radovi počeli kupovati. 27. travnja 1955. Moritz Escher proglašen je vitezom i postaje plemić.

Sredinom 1950-ih Escher kombinira mozaike s figurama koje sežu u beskraj.

Početkom 60-ih objavljena je prva knjiga s Escherovim djelima, Grafiek en Tekeningen, u kojoj je sam autor komentirao 76 djela. Knjiga je pomogla da se stekne razumijevanje među matematičarima i kristalografima, uključujući neke u Rusiji i Kanadi.

U kolovozu 1960. Escher je održao predavanje o kristalografiji na Cambridgeu. Matematički i kristalografski aspekti Escherova rada postaju vrlo popularni.

Nakon što je 1970 nove serije Escherove operacije preseljene su u nova kuća u Larenu, koja je imala atelje, ali je loše zdravlje onemogućavalo težak rad.

Moritz Escher umro je 1971. u dobi od 73 godine. Escher je živio dovoljno dugo da vidi Svijet M.C. Eschera preveden na Engleski jezik i bio je vrlo zadovoljan s njim.

Na stranicama matematičara i programera nalaze se razne nemoguće slike. najviše Puna verzija od onih koje smo pogledali, po našem mišljenju, nalazi se stranica Vlada Aleksejeva

Ova stranica ne predstavlja samo široku ponudu poznate slike, uključujući M. Eschera, ali i animirane slike, smiješne crteže nemogućih životinja, novčiće, poštanske marke itd. Ova stranica živi, povremeno se ažurira i nadopunjuje nevjerojatnim crtežima.

Izmišljeno je nekoliko nemogućih figura - ljestve, trokut i x-zupac. Ove figure su zapravo sasvim stvarne u trodimenzionalnoj slici. Ali kad umjetnik projicira volumen na papir, objekti se čine nemogućima. Trokut, koji se naziva i "tribar", postao je prekrasan primjer kako nemoguće postaje moguće kada se potrudite.

Sve ove figure su lijepe iluzije. Dostignuća ljudskog genija koriste umjetnici koji slikaju u stilu imp arta.

Ništa nije nemoguće. Isto se može reći i za Penroseov trokut. Ovo je geometrijski nemoguća figura čiji se elementi ne mogu povezati. Ipak, nemogući trokut postao je moguć. Švedski slikar Oscar Reutersvärd svijetu je 1934. godine predstavio nemoguć trokut od kocki. O. Reutersvärd se smatra otkrivačem ove vizualne iluzije. U čast ovog događaja, poštanska markaŠvedska je kasnije tiskala ovaj crtež.

A 1958. matematičar Roger Penrose objavio je publikaciju u engleskom časopisu o nemogućim figurama. Upravo je on stvorio znanstveni model iluzije. Roger Penrose bio je nevjerojatan znanstvenik. Bavio se istraživanjem teorije relativnosti, kao i fascinantnom kvantnom teorijom. Dobitnik je Wolfove nagrade zajedno sa S. Hawkingom.

Poznato je da je umjetnik Maurits Escher pod utjecajem ovog članka naslikao svoje nevjerojatno djelo - litografiju "Vodopad". Ali je li moguće napraviti Penroseov trokut? Kako to učiniti ako je moguće?

Tribar i stvarnost

Iako se figura smatra nemogućom, napraviti Penroseov trokut vlastitim rukama lakše je nego ikad. Može se napraviti od papira. Ljubitelji origamija jednostavno nisu mogli zanemariti tri poluge i ipak su pronašli način da stvore i drže u rukama stvar koja se prije činila kao nečuvena fantazija jednog znanstvenika.

No, varaju nas vlastite oči kada gledamo projekciju trodimenzionalnog objekta s tri okomite crte. Promatraču se čini da vidi trokut, iako to zapravo nije.

DIY geometrija

Tribar trokut, kao što je rečeno, zapravo nije trokut. Penroseov trokut je iluzija. Samo pod određenim kutom predmet izgleda kao jednakostranični trokut. Međutim, predmet u svom prirodnom obliku su 3 lica kocke. Na takvoj izometrijskoj projekciji 2 kuta podudaraju se na ravnini: najbliži od gledatelja i udaljeni.

Optička iluzija se, naravno, brzo otkriva, čim uzmete ovaj predmet u ruke. A sjena također otkriva iluziju, budući da sjena tribara jasno pokazuje da se kutovi ne podudaraju u stvarnosti.

Tribar od papira. Shema

Kako napraviti Penroseov trokut vlastitim rukama od papira? Postoje li sheme za ovaj model? Do danas su izmišljena 2 rasporeda kako bi se savio tako nemogući trokut. Osnove geometrije govore vam kako točno savijati predmet.

Da biste vlastitim rukama savili Penrose trokut, morat ćete izdvojiti samo 10-20 minuta. Potrebno je pripremiti ljepilo, škare za nekoliko rezova i papir na kojem je ispisan dijagram.

Iz takve praznine dobiva se najpopularniji nemogući trokut. Origami obrt nije previše teško napraviti. Stoga će sigurno ispasti prvi put, pa čak i za školarca koji je tek počeo proučavati geometriju.

Kao što vidite, ispada vrlo lijep zanat. Druga praznina izgleda drugačije i presavija se drugačije, ali sam Penroseov trokut na kraju izgleda isto.

Koraci za izradu papirnatog Penroseovog trokuta.

Odaberite jednu od 2 praznine koja vam odgovara, kopirajte datoteku i ispišite. Ovdje dajemo primjer drugog modela izgleda, koji se izvodi malo lakše.

Sam Tribar origami prazan već sadrži sve potrebne savjete. Zapravo, upute za strujni krug nisu potrebne. Dovoljno je samo da ga preuzmete na nosač debelog papira, inače će biti nezgodno raditi i figura neće raditi. Ako je nemoguće odmah ispisati na kartonu, tada morate priložiti skicu novom materijalu i izrezati crtež duž konture. Radi praktičnosti, možete pričvrstiti spajalicama.

Što učiniti sljedeće? Kako složiti Penroseov trokut vlastitim rukama u fazama? Morate slijediti ovaj akcijski plan:

Mi usmjeravamo obrnuta stranaškare one linije gdje želite saviti, prema uputama. Savijte sve linije
Gdje je potrebno, radimo rezove.
Uz pomoć PVA lijepimo one komadiće koji su namijenjeni za pričvršćivanje dijela u jednu cjelinu.

Gotovi model može se prebojiti u bilo koju boju ili možete unaprijed uzeti karton u boji za rad. Ali čak i ako je predmet izrađen od bijelog papira, svejedno, svi koji prvi put uđu u vašu dnevnu sobu sigurno će biti obeshrabreni takvim zanatom.

Crtanje trokuta

Kako nacrtati Penroseov trokut? Ne vole svi origami, ali mnogi vole crtati.

Za početak je prikazan pravilan kvadrat bilo koje veličine. Zatim se iznutra nacrta trokut čija je osnova donja strana kvadrata. Mali pravokutnik stane u svaki kut, čije su sve strane izbrisane; ostaju samo one stranice koje su susjedne trokutu. Ovo je neophodno kako bi linije bile ravne. Ispada trokut sa skraćenim kutovima.

Sljedeća faza je slika druge dimenzije. S lijeve strane gornjeg donjeg kuta nacrtana je strogo ravna linija. Ista linija je nacrtana počevši od donjeg lijevog kuta, i malo se ne dovodi do prve mjerne linije 2. Još jedna linija povučena je iz desnog kuta paralelno s donjom stranom glavne figure.

Posljednji korak je crtanje treće dimenzije unutar druge dimenzije pomoću još tri male linije. Male linije počinju od linija druge dimenzije i dovršavaju sliku trodimenzionalnog volumena.

Ostale Penroseove brojke

Po istoj analogiji, možete nacrtati druge oblike - kvadrat ili šesterokut. Iluzija će se održati. Ali ipak, ove brojke više nisu tako nevjerojatne. Čini se da su takvi poligoni samo jako zakrivljeni. Moderna grafika omogućuje vam da napravite zanimljivije verzije poznatog trokuta.

Osim trokuta, svjetski je poznato i Penroseovo stubište. Ideja je prevariti oko tako da se čini da se osoba stalno kreće prema gore kada se kreće u smjeru kazaljke na satu, a ako se kreće suprotno, onda prema dolje.

Kontinuirano stubište poznatije je po povezanosti sa slikom M. Eschera Uspon i silazak. Zanimljivo, kada osoba prođe kroz sva 4 reda ovog iluzornog stubišta, uvijek završi tamo odakle je krenula.

Poznato je da drugi predmeti zavaravaju ljudski um, poput nemogućeg šanka. Ili kutija napravljena po istim zakonima iluzije s rubovima koji se presijecaju. Ali svi ti predmeti već su izmišljeni na temelju članka izvanrednog znanstvenika - Rogera Penrosea.

Nemogući trokut u Perthu

Odaje se čast figuri nazvanoj po matematičaru. Podigla spomenik. Godine 1999. u jednom od gradova Australije (Perth) postavljen je veliki aluminijski trokut Penrose, visok 13 metara. Turisti se rado slikaju pored aluminijskog diva. Ali ako za fotografiranje odaberete drugačiji kut gledanja, prijevara postaje očigledna.

nadglednik

profesorica matematike

1. Uvod …………………………………………………….……3

2. Povijesna pozadina…………………………………………..…4

3. Glavni dio…………………………………………………….7

4. Dokaz nemogućnosti Penroseovog trokuta ...... 9

5. Zaključci…………………………………………………..……………11

6. Književnost………………………………………………….…… 12

Relevantnost: Matematika je predmet koji se uči od prve do maturalni razred. Mnogim studentima to je teško, nezanimljivo i nepotrebno. Ali ako pogledate dalje od stranica udžbenika, pročitate dodatnu literaturu, matematičke sofizme i paradokse, tada će se ideja matematike promijeniti, pojavit će se želja za učenjem više nego što se uči u školskom tečaju matematike.

Cilj rada:

pokazati da će postojanje nemogućih figura proširiti nečije horizonte, razviti prostornu maštu, koriste ne samo matematičari, već i umjetnici.

Zadaci :

1. Proučite literaturu na ovu temu.

2. Promatrati nemoguće figure, izraditi model nemogućeg trokuta, dokazati da nemogući trokut ne postoji na ravnini.

3. Rasklopite nemogući trokut.

4. Razmotrite primjere upotrebe nemogućeg trokuta u likovnoj umjetnosti.

Uvod

Povijesno gledano, matematika je igrala važnu ulogu u vizualnim umjetnostima, posebice u prikazivanju perspektive, što uključuje realistično prikazivanje trodimenzionalnog prizora na ravnom platnu ili listu papira. Prema suvremenim pogledima, matematika i umjetnost vrlo udaljene jedna od druge discipline, prva - analitička, druga - emocionalna. Matematika ne igra očitu ulogu u većini poslova suvremena umjetnost i, zapravo, mnogi umjetnici rijetko ili uopće ne koriste perspektivu. Međutim, postoje mnogi umjetnici koji se fokusiraju na matematiku. Nekoliko značajnih osoba u vizualnim umjetnostima utrlo je put ovim pojedincima.

Zapravo, nema pravila ili ograničenja u korištenju razne teme u matematičkim umjetnostima, kao što su nemoguće figure, Möbiusova traka, distorzija ili neobični sustavi perspektive i fraktali.

Povijest nemogućih figura

Nemoguće figure su svojevrsni matematički paradoks, koji se sastoji od pravilnih dijelova povezanih u nepravilan kompleks. Ako pokušate formulirati definiciju pojma "nemogući objekti", vjerojatno bi zvučala otprilike ovako - fizički moguće figure sastavljene u nemogućem obliku. Ali gledanje u njih puno je ugodnije, sastavljanje definicija.

S pogreškama u gradnji prostora umjetnici su se susretali prije tisuću godina. No prvim koji je gradio i analizirao nemoguće objekte smatra se švedski umjetnik Oscar Reutersvärd, koji je slikao 1934. godine. prvi nemogući trokut, koji se sastoji od devet kockica.

Reutersvärdov trokut

Neovisno o Reutersvaerdu, engleski matematičar i fizičar Roger Penrose ponovno otkriva nemogući trokut i objavljuje njegovu sliku u British Psychological Journalu 1958. godine. Iluzija koristi "lažnu perspektivu". Ponekad se takva perspektiva naziva kineskom, budući da se sličan način crtanja, kada je dubina crteža "dvosmislena", često nalazi u djelima kineskih umjetnika.

Slapovi Escher

Godine 1961 Nizozemac M. Escher, nadahnuto nemogući trokut Penrose, stvara poznatu litografiju "Vodopad". Voda na slici teče u nedogled, nakon vodenog kotača prolazi dalje i pada natrag na početnu točku. Zapravo, ovo je slika perpetuum mobile stroja, ali svaki pokušaj da se u stvarnosti izgradi ovaj dizajn je osuđen na neuspjeh.

Još jedan primjer nemogućih figura prikazan je na crtežu "Moskva", koji prikazuje neobičnu shemu moskovskog metroa. Sliku isprva percipiramo kao cjelinu, no prateći očima pojedine crte, uvjeravamo se u nemogućnost njihovog postojanja.

« Moskva”, grafika (tuš, olovka), 50x70 cm, 2003

Crtež "Tri puža" nastavlja tradiciju druge poznate nemoguće figure - nemoguće kocke (kutije).

"Tri puža" Nemoguća kocka

Kombinacija raznih objekata može se pronaći iu ne tako ozbiljnoj brojci "IQ" (kvocijent inteligencije). Zanimljivo je da neki ljudi ne percipiraju nemoguće objekte zbog činjenice da njihova svijest nije u stanju poistovjetiti plošne slike s trodimenzionalnim objektima.

Donald Simanek smatra da je razumijevanje vizualnih paradoksa jedno od obilježja vrste kreativnosti koju posjeduju najbolji matematičari, znanstvenici i umjetnici. Mnogi radovi s paradoksalnim objektima mogu se klasificirati kao "intelektualne matematičke igre". Moderna znanost govori o 7-dimenzionalnom ili 26-dimenzionalnom modelu svijeta. Takav svijet moguće je modelirati samo uz pomoć matematičkih formula, čovjek to jednostavno nije u stanju zamisliti. Tu dobro dolaze nemoguće brojke.

Treća popularna nemoguća figura je nevjerojatno stubište koje je stvorio Penrose. Neprekidno ćete se ili uspinjati (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) ili spuštati (u smjeru kazaljke na satu) duž njega. Penroseov model bio je temelj poznate slike M. Eschera "Gore i dolje" Nevjerojatne Penroseove stepenice

Nemogući trozubac

"Prokleta vilica"

Postoji još jedna skupina objekata koji se ne mogu implementirati. Klasična figura je nemogući trozubac ili "đavolja vilica". Nakon pažljivog proučavanja slike, možete vidjeti da se tri zuba postupno pretvaraju u dva na jednoj osnovi, što dovodi do sukoba. Uspoređujemo broj zuba odozgo i odozdo i dolazimo do zaključka da je predmet nemoguć. Ako rukom zatvorite gornji dio trozuba, vidjet ćemo u potpunosti prava slika- tri okrugla zuba. Ako zatvorimo donji dio trozuba, tada ćemo također vidjeti pravu sliku - dva pravokutna zuba. Ali, ako uzmemo u obzir cijelu figuru kao cjelinu, ispada da se tri okrugla zuba postupno pretvaraju u dva pravokutna.

Tako se vidi da prednji i pozadina ova brojka je u sukobu. Odnosno ono što je bilo izvorno prvi plan ide natrag, a pozadina (srednji zub) puzi naprijed. Osim promjene prednjeg i pozadinskog plana, ovaj crtež ima još jedan učinak - ravni rubovi gornjeg dijela trozuba postaju zaobljeni na dnu.

Glavni dio.

Trokut- figura koja se sastoji od 3 susjedna dijela, koja uz pomoć neprihvatljivih spojeva tih dijelova stvara iluziju nemoguće strukture s matematičke točke gledišta. Na drugi način, ova tri takta se također naziva kvadrat Penrose

Grafički princip iza ove iluzije svoju formulaciju duguje psihologu i njegovom sinu Rogeru, fizičaru. Trg Penrouze sastoji se od 3 bara kvadratni presjek smješteni u 3 međusobno okomita smjera; svaki se povezuje sa sljedećim pod pravim kutom, a svi se uklapaju u trodimenzionalni prostor. Evo jednostavnog recepta kako nacrtati ovaj izometrijski prikaz Penroseovog kvadrata:

Odrežite kutove jednakostraničnog trokuta duž linija paralelnih sa stranama;

Nacrtajte paralele sa stranicama unutar izrezanog trokuta;

Ponovno obrežite kutove

Još jednom povucite unutarnje paralele;

· Zamislite jednu od dvije moguće kocke u jednom od uglova;

· Nastavite ga s "stvari" u obliku slova L;

Pokrenite ovaj dizajn u krug.

Ako bismo odabrali drugu kocku, onda bi kvadrat bio "uvrnut" u drugom smjeru .

Razvoj nemogućeg trokuta.

prijelomna linija

linija rezanja

Koji elementi čine nemogući trokut? Točnije, od kojih nam se elemenata čini (čini se!) izgrađenim? Dizajn se temelji na pravokutnom kutu koji se dobiva spajanjem dviju identičnih pravokutnih šipki pod pravim kutom. Potrebna su tri takva kuta, a šipke, dakle, šest komada. Ovi kutovi moraju biti vizualno "povezani" jedan s drugim na određeni način tako da čine zatvoreni lanac. Ono što se događa je nemogući trokut.

A sada pokušajmo sapunasto pogledati lik s različitih točaka u prostoru (ili napraviti pravi model od žice). Zamislite kako to izgleda s jedne točke, s druge, s treće... Pri promjeni točke promatranja (ili – što je isto – kad se konstrukcija rotira u prostoru) činit će se da su dva „krajnja“ ruba naši se uglovi pomiču jedan u odnosu na drugi. Nije teško pronaći položaj u kojem će se spojiti (naravno, u ovom slučaju će nam se bliži kut činiti deblji od duljeg).

Usput, ako istovremeno pogledamo prikaz strukture u zrcalu, tada tamo nećemo vidjeti zatvoreni krug.

I s odabrane točke promatranja vlastitim očima vidimo čudo koje se dogodilo: postoji zatvoreni lanac od tri ugla. Samo nemojte mijenjati točku promatranja kako se ova iluzija (zapravo i jest iluzija!) ne bi srušila. Sada možete nacrtati objekt koji vidite ili postaviti objektiv fotoaparata na pronađenu točku i dobiti fotografiju nemogućeg objekta.

Penrosovi su prvi koji su se zainteresirali za ovaj fenomen. Iskoristili su mogućnosti koje se javljaju pri preslikavanju trodimenzionalnog prostora i trodimenzionalnih objekata na dvodimenzionalnu ravninu (odnosno pri projektiranju) te su skrenuli pozornost na neke konstrukcijske nesigurnosti - otvoreni dizajn od tri kuta može se percipirati kao zatvoreni strujni krug.

Kao što je već spomenuto, najjednostavniji model se lako može napraviti od žice, što u načelu objašnjava opaženi učinak. Uzmite ravni komad žice i podijelite ga na tri jednaka dijela. Zatim savijte krajnje dijelove tako da čine pravi kut sa središnjim dijelom i okrećite se jedan prema drugom za 900. Sada okrenite ovu figuricu i promatrajte je jednim okom. Na određenom mjestu će se činiti da je napravljen od zatvorenog komada žice. Upalivši stolnu svjetiljku, možete promatrati sjenu koja pada na stol, koja se također pretvara u trokut na određenom položaju figure u prostoru.

Međutim, ova značajka dizajna može se promatrati u drugoj situaciji. Ako napravite prsten od žice, a zatim ga raširite u različitim smjerovima, dobit ćete jedan okret cilindrične spirale. Ova je petlja, naravno, otvorena. Ali kada ga projicirate na ravninu, možete dobiti zatvorenu liniju.

Još jednom smo vidjeli da je projekcija na ravninu, prema crtežu, trodimenzionalna figura obnovljena dvosmisleno. To jest, projekcija sadrži neku dvosmislenost, podcjenjivanje, što dovodi do "nemogućeg trokuta".

I može se reći da je "nemogući trokut" Penroseovih, kao i mnogi drugi optičke iluzije, u skladu je s logičke paradokse i igre riječi.

Dokaz nemogućnosti Penroseovog trokuta

Analizirajući značajke dvodimenzionalne slike trodimenzionalnih objekata na ravnini, shvatili smo kako značajke ovog prikaza dovode do nemogućeg trokuta.

Izuzetno je lako dokazati da nemogući trokut ne postoji, jer je svaki njegov kut pravi, a njihov zbroj je 2700 umjesto “postavljenih” 1800.

Štoviše, čak i ako uzmemo u obzir nemogući trokut zalijepljen od kutova manjih od 900, tada se u ovom slučaju može dokazati da nemogući trokut ne postoji.

Razmotrimo drugi trokut koji se sastoji od nekoliko dijelova. Ako su dijelovi od kojih se sastoji različito raspoređeni, tada će se dobiti potpuno isti trokut, ali s jednom malom greškom. Jedan će kvadratić nedostajati. Kako je ovo moguće? Ili je to samo iluzija.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="Nemogući trokut" width="298" height="161">!}

Koristeći se fenomenom percepcije

Postoji li neki način da se poveća učinak nemogućnosti? Jesu li neki predmeti "nemogući" od drugih? I ovdje značajke dolaze u pomoć. ljudska percepcija. Psiholozi su ustanovili da oko počinje promatrati predmet (sliku) od donjeg lijevog kuta, zatim pogled klizi udesno u središte i spušta se u donji desni kut slike. Takva putanja može biti posljedica činjenice da su naši preci pri susretu s neprijateljem najprije gledali u najopasniju desnu ruku, a zatim su pogled prelazili ulijevo, na lice i lik. Tako, umjetnička percepcija bitno će ovisiti o tome kako je izgrađena kompozicija slike. Ova se značajka u srednjem vijeku jasno očitovala u izradi tapiserija: njihov je uzorak bio zrcalna slika original, a dojam koji ostavljaju gobleni i originali je različit.

Ovo se svojstvo može uspješno koristiti pri stvaranju kreacija s nemogućim objektima, povećavajući ili smanjujući "stupanj nemogućnosti". Također otvara mogućnost za zanimljive kompozicije pomoću računalne tehnologije ili iz nekoliko rotiranih slika (možda pomoću drugačija vrsta simetrije) jedna u odnosu na drugu, stvarajući drugačiji dojam o objektu i dublje razumijevanje biti pojma, ili od one koja se rotira (konstantno ili trzavo) uz pomoć jednostavnog mehanizma pod određenim kutovima.

Takav pravac možemo nazvati poligonalnim (poligonalnim). Ilustracije prikazuju slike rotirane jednu u odnosu na drugu. Kompozicija je nastala na sljedeći način: crtež na papiru, rađen tušem i olovkom, skeniran je, digitaliziran i obrađen u grafički urednik. Možemo primijetiti pravilnost - rotirana slika ima veći "stupanj nemogućnosti" od originalne. To je lako objasniti: u procesu rada umjetnik podsvjesno nastoji stvoriti "ispravnu" sliku.

Zaključak

Korištenje raznih matematičkih figura i zakona nije ograničeno na gore navedene primjere. Pažljivo proučavajući sve gore navedene brojke, možete pronaći druge koje nisu spomenute u ovom članku, geometrijska tijela ili vizualna interpretacija matematičkih zakona.

Matematičke likovne umjetnosti danas cvjetaju, a mnogi umjetnici stvaraju slike u Escherovom i vlastitom stilu. vlastiti stil. Ovi umjetnici rade u različitim medijima, uključujući skulpturu, slikanje na ravnim i trodimenzionalnim površinama, litografiju i računalna grafika. A najpopularnije teme matematičke umjetnosti su poliedri, nemoguće figure, Möbiusove trake, iskrivljeni sustavi perspektive i fraktali.

Zaključci:

1. Dakle, razmatranje nemogućih figura razvija našu prostornu maštu, pomaže da se "izađe" iz ravnine u trodimenzionalni prostor, što će pomoći u proučavanju stereometrije.

2. Modeli nemogućih figura pomažu u razmatranju projekcija na ravnini.

3. Razmatranje matematičkih sofizama i paradoksa ulijeva interes za matematiku.

Prilikom obavljanja ovog posla

1. Naučio sam kako, kada, gdje i tko je prvi put razmišljao o nemogućim figurama, da takvih figura ima mnogo, umjetnici ih stalno pokušavaju prikazati.

2. Zajedno s tatom izradio sam model nemogućeg trokuta, pregledao njegove projekcije na ravninu, vidio paradoks tog lika.

3. Pregledali reprodukcije umjetnika, koji prikazuju ove figure

4. Moj studij je zainteresirao moje kolege.

U budućnosti ću stečeno znanje koristiti u nastavi matematike i zanimalo me, ali ima li još paradoksa?

KNJIŽEVNOST

1. Kandidat tehničke znanosti D. RAKOV Povijest nemogućih figura

2. Rutesward O. Nemoguće brojke.- M.: Strojizdat, 1990.

3. Web stranica V. Alekseev Illusions · 7 komentara

4. J. Timothy Anrach. - Nevjerojatne brojke.
(LLC "Izdavačka kuća AST", LLC "Izdavačka kuća Astrel", 2002, 168 str.)

5. . - Grafička umjetnost.
(Art-proljeće, 2001.)

6. Douglas Hofstadter. - Gödel, Escher, Bach: ovaj beskrajni vijenac. ( Izdavačka kuća"Bahrakh-M", 2001.)

7. A. Konenko - Tajne nemogućih figura
(Omsk: Lefty, 199)