namai › Salonas › Grigorijus Perelmanas įrodė, kad Dievo nėra. Matematikas Perelmanas Jakovas: indėlis į mokslą

Grigorijus Perelmanas įrodė, kad Dievo nėra. Matematikas Perelmanas Jakovas: indėlis į mokslą

« Tūkstantmečio iššūkis“, kurį išsprendė rusų matematikos genijus, yra susijęs su Visatos kilme. Ne kiekvienam matematikui duota suprasti mįslės esmę ...

PROTO ŽAIDIMAS

Dar visai neseniai matematika savo „kunigams“ nežadėjo nei šlovės, nei turtų. Jie net Nobelio premija nedavė. Tokios nominacijos nėra. Iš tiesų, pasak labai populiarios legendos, kartą Nobelio žmona jį apgavo su matematiku. Ir keršydamas turtuolis atėmė iš visų jų prašmatnių brolių pagarbą ir piniginius prizus.

Situacija pasikeitė 2000 m. Privatus Molio matematikos institutas atrinko septynis labiausiai sunkių užduočių ir pažadėjo už kiekvieną sprendimą sumokėti po milijoną dolerių.

Su matematikais buvo elgiamasi pagarbiai. 2001 metais ekranuose netgi buvo išleistas filmas „Gražus protas“, kurio pagrindinis veikėjas buvo matematikas.

Dabar tik žmonės, nutolę nuo civilizacijos, nežino: vienas iš pažadėtų milijonų – pats pirmasis – jau apdovanotas. Premija įteikta Rusijos piliečiui, Sankt Peterburgo gyventojui Grigorijus Perelmanas. Jis įrodė Puankarės spėjimą – galvosūkį, kuris daugiau nei 100 metų niekam priešinosi ir kuris jo pastangomis tapo teorema.

Mūsų mielas 44 metų barzdotas vyras šluostėsi nosį aplink pasaulį. Ir dabar toliau laiko jį – pasaulį – nežinioje. Kadangi nežinoma, ar matematikas sąžiningai nusipelnys milijono dolerių, ar atsisakys. Daugelio šalių progresyvi visuomenė yra natūraliai susijaudinusi. Bent jau visų žemynų laikraščiai skelbia finansines ir matematines intrigas.

O šios žavios veiklos – ateities spėjimo ir kitų žmonių pinigų dalijimosi – fone Perelmano pasiekimo prasmė kažkodėl buvo prarasta. Molio instituto prezidentas Jimas Carlsonas, žinoma, vienu metu pareiškė, kaip sakoma, tikslą prizinis fondas– ne tiek atsakymų ieškojimas, kiek bandymas kelti matematikos mokslo prestižą ir sudominti juo jaunimą. Bet vis tiek, kokia prasmė?

Griša jaunystėje – net tada jis buvo genijus.

POINCARE HIPOTEZĖ – KAS TAI?

Rusijos genijaus įminta mįslė paveikia matematikos skyriaus, vadinamo topologija, pagrindus. Ji – topologija – dažnai vadinama „geometrija ant guminio lakšto“. Tai susiję su savybėmis geometrines figūras, kurie išsaugomi, jei forma ištempiama, susukta, išlenkta. Kitaip tariant, jis deformuojamas be lūžių, įpjovimų ir klijų.

Topologija yra svarbi matematinei fizikai, nes leidžia suprasti erdvės savybes. Arba įvertinkite neturėdami galimybės pažvelgti į šios erdvės formą iš išorės. Pavyzdžiui, mūsų visata.

Aiškindami Puankaro spėjimą jie pradeda taip: įsivaizduokite dvimatę sferą – paimkite guminį diską ir pertraukite jį per rutulį. Taip, kad disko perimetras būtų surinktas viename taške. Panašiai, pavyzdžiui, galite nusivilkti sportinę kuprinę su virvute. Rezultatas yra sfera: mums – trimatis, bet matematikos požiūriu – tik dvimatė.

Tada jie siūlo tą patį diską užtraukti ant spurgos. Atrodo, kad tai veikia. Bet disko kraštai susilies į apskritimą, kurio nebegalima įtraukti į tašką – jis nupjaus spurgą.

Kaip jis rašė savo populiari knyga kitas rusų matematikas, Vladimiras Uspenskis, „Skirtingai nei dvimatės sferos, trimatės sferos yra nepasiekiamos mūsų tiesioginiam stebėjimui, ir mums jas įsivaizduoti taip pat sunku, kaip ir Vasilijui Ivanovičiui iš gerai žinomo anekdotinio kvadratinio trinario“.

Taigi, pagal Puankarės hipotezę, trimatis rutulys yra vienintelis trimatis dalykas, kurio paviršius gali būti sutrauktas į vieną tašką kažkokia hipotetine „hiperlaida“.

Grigory Perelman: - Tik pagalvok, Niutono dvinaris...

Jules'as Henri Poincare'as tai pasiūlė 1904 m. Dabar Perelmanas įtikino visus, kurie supranta, kad prancūzų topologas buvo teisus. Ir pavertė savo hipotezę teorema.

Įrodymas padeda suprasti, kokią formą turi mūsų visata. Ir tai leidžia gana pagrįstai manyti, kad tai ta pati trimatė sfera.

Bet jei Visata yra vienintelė „figūra“, kurią galima sutraukti iki taško, tai tikriausiai ji taip pat gali būti ištempta iš taško. Tai netiesiogiai patvirtina Didžiojo sprogimo teoriją, teigiančią, kad Visata atsirado tiesiog iš taško.

Pasirodo, Perelmanas kartu su Poincare nuliūdino vadinamuosius kreacionistus – šalininkus dieviškoji pradžia visata. Ir jie išpylė vandenį ant materialistų fizikų malūno.

Išradingas matematikas iš Sankt Peterburgo Grigorijus Perelmanas, išgarsėjęs visame pasaulyje, įrodęs Puankarės spėjimą, galiausiai paaiškino, kad atsisako už tai skirtos milijono dolerių premijos. Kaip teigiama " TVNZ“, – atsiskyręs mokslininkas atskleidė save pokalbyje su žurnalistu ir kino kompanijos „President-Film“ prodiuseriu, kuri, sutikus Perelmanui, filmuos vaidybinį filmą „Visatos formulė“ apie jį.

Aleksandrui Zabrovskiui pasisekė pasikalbėti su didžiuoju matematiku – jis prieš keletą metų išvyko iš Maskvos į Izraelį ir spėjo pirmiausia susisiekti su Grigorijaus Jakovlevičiaus motina per Sankt Peterburgo žydų bendruomenę, jai padėjusią. Ji kalbėjosi su sūnumi, o po jos gero charakterio jis sutiko susitikti. Tai tikrai galima pavadinti pasiekimu – žurnalistams nepavyko „pagauti“ mokslininko, nors ištisas dienas sėdėjo prie jo įėjimo.

Kaip laikraščiui sakė Zabrovskis, Perelmanas susidarė „absoliučiai sveiko, sveiko, adekvataus ir normalaus žmogaus“ įspūdį: „Realistiškas, pragmatiškas ir protingas, bet nestokojantis sentimentalumo ir jaudulio... Viskas, kas jam buvo priskiriama spaudoje , lyg būtų „iš proto išėjęs“, – visiška nesąmonė! Jis tiksliai žino, ko nori, ir žino, kaip pasiekti tikslą.

Filmas, dėl kurio matematikas susisiekė ir sutiko padėti, bus ne apie jį patį, o apie trijų pagrindinių pasaulio matematikos mokyklų: Rusijos, Kinijos ir Amerikos, kurios yra labiausiai pažengusios studijų kelyje, bendradarbiavimą ir konfrontaciją. ir valdyti Visatą.

Paklaustas, kodėl Perelmanas atsisakė milijono, jis atsakė:

"Aš žinau, kaip valdyti Visatą. Ir pasakyk man – kodėl turėčiau bėgti paskui milijoną?"

Mokslininkas įsižeidžia, kaip jį vadina Rusijos spauda

Perelmanas paaiškino, kad su žurnalistais nebendrauja, nes jiems rūpi ne mokslas, o asmeniniai ir buitiniai reikalai – nuo milijono atsisakymo priežasčių iki plaukų ir nagų kirpimo klausimo.

Tiksliau, jis nenori susisiekti su Rusijos žiniasklaida dėl nepagarbaus požiūrio į jį. Pavyzdžiui, spaudoje jį vadina Griša, o toks pažinimas žeidžia.

Grigorijus Perelmanas sakė, kad nuo tada mokslo metų pripratę prie vadinamojo „smegenų lavinimo“. Prisiminęs, kaip, būdamas „delegatu“ iš SSRS, gavo aukso medalis matematikos olimpiadoje Budapešte jis sakė: „Bandėme spręsti problemas, kuriose gebėjimas mąstyti abstrakčiai buvo būtina sąlyga.

Būtent šioje abstrakcijoje nuo matematinės logikos pagrindinis dalykas kasdienės treniruotės. Norint rasti tinkamą sprendimą, reikėjo įsivaizduoti „gabalėlį pasaulio“.

Kaip tokios „sunkios“ užduoties pavyzdį jis nurodė: „Atminkite biblinė legenda apie tai, kaip Jėzus Kristus vaikščiojo vandeniu, kaip sausa žeme. Taigi turėjau skaičiuoti, kokiu greičiu jis turi judėti per vandenis, kad neiškristų.

Nuo tada Perelmanas visą savo veiklą skyrė trimatės Visatos erdvės savybių tyrimo problemai tyrinėti: „Tai labai įdomu. Bandau aprėpti begalybę.

Mokslininkas parašė savo disertaciją, vadovaujamas akademiko Aleksandrovo. "Tema buvo paprasta: "Balno paviršiai euklidinėje geometrijoje". Ar galite įsivaizduoti paviršius, kurie yra vienodo dydžio ir netolygiai nutolę vienas nuo kito begalybėje? Turime išmatuoti tarp jų esančius "daubus", - aiškino matematikas.

Ką reiškia Perelmano atradimas, bauginantis pasaulio žvalgybos tarnybas

„Visatos formulė“ Puankaro teiginys vadinamas dėl jo svarbos tiriant sudėtingus fizikinius procesus visatos teorijoje ir dėl to, kad duoda atsakymą į klausimą apie Visatos formą. Šie įrodymai vaidins svarbų vaidmenį plėtojant nanotechnologijas.

„Išmokau skaičiuoti tuštumas, kartu su kolegomis mokysimės socialinių ir ekonominių „tuštumų“ užpildymo mechanizmų“, – sakė jis. „Tuštumų yra visur. Jas galima apskaičiuoti, o tai suteikia puikių galimybių...

Leidinio teigimu, Grigorijus Jakovlevičius atrado mastą, kuris iš tikrųjų žengia į priekį šiandienos pasaulio mokslui, padarė jį nuolatinio ne tik Rusijos, bet ir užsienio specialiųjų tarnybų domėjimosi objektu.

Jis suprato kai kurias superžinias, padedančias suprasti visatą. Ir čia kyla tokių klausimų: „Kas bus, jei jo žinios bus praktiškai įgyvendintos?

Tiesą sakant, slaptosios tarnybos turi žinoti – ar Perelmanas, tiksliau, jo žinios kelia grėsmę žmonijai? Juk jei jo žiniomis galima Visatą paversti tašku, o paskui ją išskleisti, tai galime mirti ar atgimti kitokiu pajėgumu? Ir tada mes būsime? O ar mums apskritai reikia valdyti visatą?

IR ŠIUO METU

Geniali mama: „Neklausk mums klausimų apie pinigus!

Kai tapo žinoma, kad matematikas apdovanotas Tūkstantmečio premija, prie jo durų susirinko minia žurnalistų. Visi norėjo asmeniškai pasveikinti Perelmaną ir sužinoti, ar jis paims savo teisėtą milijoną.

Ilgai beldėmės į menkas duris (jei tik galėtume jas pakeisti aukščiausios kokybės pinigais), bet matematikas jų neatidarė. Tačiau jo mama gana suprantamai taškavo „i“ tiesiai iš koridoriaus.

Nenorime su niekuo kalbėtis ir neketiname duoti interviu, – šaukė Liubovas Leibovna. – Ir neklauskite mums klausimų apie šį apdovanojimą ir pinigus.

Tame pačiame įėjime gyvenantys žmonės labai nustebo išvydę netikėtą susidomėjimą Perelmanu.

Ar mūsų Griša ištekėjusi? – nusijuokė vienas iš kaimynų. - O, aš gavau apdovanojimą. Vėlgi. Ne, jis nepriims. Jam visiškai nieko nereikia, gyvena iš cento, bet yra savaip laimingas.

Jie sako, kad matematikas išvakarėse buvo matomas su pilnomis produktų pakuotėmis iš parduotuvės. Jis ruošėsi „laikyti apgultį“ su mama. Paskutinį kartą, kai spaudoje prasidėjo ažiotažas apie apdovanojimą, Perelmanas tris savaites neišėjo iš buto.

BEJE

Už ką dar duos milijoną dolerių...

1998 metais milijardieriaus Landono T. Clay lėšomis Kembridže (JAV) buvo įkurtas Clay matematikos institutas, skirtas matematikai populiarinti. 2000 m. gegužės 24 d. instituto ekspertai išrinko septynias, jų nuomone, mįslingiausias problemas. Ir jie skyrė po milijoną dolerių kiekvienam.

Sąrašas pavadintas .

1. Kuko problema

Būtina nustatyti, ar problemos sprendimo teisingumo patikrinimas gali būti ilgesnis nei paties sprendimo gavimas. Ši loginė užduotis svarbi kriptografijos – duomenų šifravimo – specialistams.

2. Riemano hipotezė

Yra vadinamieji pirminiai skaičiai, tokie kaip 2, 3, 5, 7 ir tt, kurie dalijasi tik iš savęs. Kiek jų yra, nežinoma. Riemannas tikėjo, kad tai galima nustatyti ir rasti jų pasiskirstymo dėsningumą. Kas jį ras, teiks ir kriptografijos paslaugas.

3. Birch ir Swinnerton-Dyer hipotezė

Problema susijusi su lygčių su trimis nežinomaisiais, pakeltais į laipsnį, sprendimu. Turime išsiaiškinti, kaip jas išspręsti, kad ir kaip sunku.

4. Hodge hipotezė

Dvidešimtajame amžiuje matematikai atrado formos tyrimo metodą sudėtingi objektai. Idėja yra vietoj paties objekto naudoti paprastas „plytas“, kurios yra suklijuotos ir suformuoja jo panašumą. Turime įrodyti, kad tai visada leistina.

5. Navier – Stokso lygtys

Verta juos prisiminti lėktuve. Lygtys apibūdina oro sroves, kurios palaiko jį ore. Dabar lygtys išspręstos apytiksliai, pagal apytiksles formules. Reikia surasti tikslias ir įrodyti, kad trimatėje erdvėje yra lygčių sprendinys, kuris visada yra teisingas.

6. Yang-Mills lygtys

Fizikos pasaulyje egzistuoja hipotezė: jei elementarioji dalelė turi masę, tai egzistuoja ir jos apatinė riba. Bet kuris iš jų – neaišku. Reikia prie jo prieiti. Tai turbūt pati sunkiausia užduotis. Norint ją išspręsti, reikia sukurti „visko teoriją“ – lygtis, kurios apjungtų visas gamtos jėgas ir sąveikas. Kas pasiseks, tikrai gaus Nobelio premiją.

Paskutinis didelis grynosios matematikos laimėjimas yra Puankarės spėjimo, išreikšto 1904 m., įrodymas, kuriame teigiama: „kiekvienas sujungtas, tiesiog sujungtas, kompaktiškas trimatis kolektorius be ribos yra homeomorfinis sferai S 3“, autorius Grigorijus Perelmanas iš Šv. Sankt Peterburge 2002–2003 m.

Šioje frazėje yra keli terminai, kuriuos pabandysiu paaiškinti taip, kad bendra jų reikšmė taptų aiški ne matematikams (manau, kad skaitytojas baigė vidurinė mokykla ir vis dar kažką prisimena iš mokyklinės matematikos).

Pradėkime nuo homeomorfizmo sampratos, kuri topologijoje yra pagrindinė. Apskritai topologija dažnai apibrėžiama kaip „guma geometrija“, t. y. kaip mokslas apie geometrinių vaizdų savybes, kurios nesikeičia sklandžiai deformuojant be tarpų ir klijavimo, tiksliau, jei įmanoma nustatyti „vienas su“ vienas ir vienas su vienu atitikimas tarp dviejų objektų .

Pagrindinę idėją lengviausia paaiškinti naudojant klasikinį puodelio ir bagelio pavyzdį. Pirmoji gali būti paversta antruoju nuolatinės deformacijos būdu.

Šie skaičiai aiškiai rodo, kad puodelis yra homeomorfinis spurgai, ir tai galioja tiek jų paviršiams (dvimačiai kolektoriai, vadinami toru), tiek užpildytiems kūnams (trimačiai kolektoriai su riba).

Pateiksime likusių hipotezės formulavimo terminų interpretaciją.

Trimatis kolektorius be ribų. Tai toks geometrinis objektas, kuriame kiekvienas taškas turi kaimynystę trimačio rutulio pavidalu. 3 kolektorių pavyzdžiai yra, pirma, visa trimatė erdvė, žymima R3, taip pat bet kuri atviri rinkiniai taškai R 3 , pavyzdžiui, kieto toro (spurgos) vidus. Jei laikysime uždarą kietąjį torą, t. y. pridėsime jo ribinius taškus (toro paviršių), tada jau gausime kolektorius su riba - ribos taškai neturi apylinkių rutulio pavidalu, o tik rutulio pavidalu. pusės kamuolio forma.
Prisijungta. Ryšio sąvoka čia pati paprasčiausia. Kolektorius yra sujungtas, jei jis susideda iš vienos dalies arba, kas yra tas pats, bet kurie du jo taškai gali būti sujungti ištisine linija, kuri neperžengia savo ribų.
Tiesiog prijungtas. Vieno ryšio sąvoka yra sudėtingesnė. Tai reiškia, kad bet kuri ištisinė uždara kreivė, esanti tik tam tikrame kolektorius, gali būti sklandžiai sutraukta iki taško, nepaliekant šio kolektoriaus. Pavyzdžiui, paprastas dvimatis rutulys R 3 yra tiesiog sujungtas (tamprioji juosta, savavališkai pritvirtinta prie obuolio paviršiaus, gali būti sutraukta sklandžiai deformuojant į vieną tašką, nenuplėšiant elastinės juostos nuo obuolio). Kita vertus, ratas ir toras nėra tiesiog sujungti.
Kompaktiška. Kolektorius yra kompaktiškas, jei bet kuris jo homeomorfinis vaizdas turi ribotus matmenis. Pavyzdžiui, atviras intervalas tiesėje (visi atkarpos taškai, išskyrus jos galus) nėra kompaktiškas, nes jį galima nuolat pratęsti iki begalinės linijos. Bet uždara atkarpa (su galais) yra kompaktiškas kolektorius su riba: esant bet kokiai nuolatinei deformacijai, galai eina į tam tikrus konkrečius taškus, o visa atkarpa turi eiti į apribotą kreivę, jungiančią šiuos taškus.

Matmenys kolektorius yra laisvės laipsnių skaičius taške, kuris jame „gyvena“. Kiekvienas taškas turi kaimynystę atitinkamo matmens disko pavidalu, t. y. linijos intervalas vienmačiu atveju, apskritimas plokštumoje dvimačiu atveju, rutulys trimačiu atveju tt Topologijos požiūriu yra tik du vienmačiai sujungti kolektorius be ribos: tai yra linija ir apskritimas. Iš jų tik ratas yra kompaktiškas.

Erdvės, kuri nėra kolektorius, pavyzdys yra, pavyzdžiui, susikertančių linijų pora – juk dviejų tiesių susikirtimo taške bet kuri kaimynystė turi kryžiaus formą, ji neturi kaimynystės, kuri būtų pats yra tik intervalas (ir visi kiti taškai turi tokias apylinkes). Matematikai tokiais atvejais sako, kad turime reikalą su vienaskaitos daugikliu, turinčiu vieną vienaskaitą.

Dvimačiai kompaktiški kolektoriai yra gerai žinomi. Jei tik atsižvelgsime orientuotas kolektoriai be ribos, tada topologiniu požiūriu jie sudaro paprastą, nors ir begalinį sąrašą: ir pan. Kiekvienas toks kolektorius gaunamas iš sferos, suklijuojant keletą rankenų, kurių skaičius vadinamas paviršiaus genu.

Paveikslėlyje pavaizduoti 0, 1, 2 ir 3 genčių paviršiai. Kuo rutulys išsiskiria iš visų šiame sąraše esančių paviršių? Pasirodo, ji tiesiog sujungta: sferoje bet kokia uždara kreivė gali būti sutraukta iki taško, o ant bet kurio kito paviršiaus visada galima nurodyti kreivę, kurios negalima sutraukti į tašką išilgai paviršiaus.

Įdomu tai, kad trimačius kompaktiškus kolektorius be ribos taip pat galima klasifikuoti tam tikra prasme, t. Tačiau 3D sfera S 3 šiame sąraše išsiskiria lygiai taip pat, kaip ir 2D sfera aukščiau esančiame sąraše. Tai, kad bet kuri S 3 kreivė susitraukia į tašką, taip pat lengva įrodyti, kaip ir dvimačiu atveju. Tačiau atvirkštinis teiginys, kad ši savybė yra unikali būtent sferai, t. y. kad bet kuriame kitame trimačiame kolektorius yra nesutraukiamų kreivių, yra labai sunkus ir tiksliai sudaro Puankaro spėlionių, apie kurias kalbame, turinį. .

Svarbu suprasti, kad kolektorius gali gyventi ir pats, jį galima laikyti savarankišku objektu, niekur nedėtu. (Įsivaizduokite, kad įprastos sferos paviršiuje gyvena dvimatės būtybės, kurios nežino apie trečiosios dimensijos egzistavimą.) Laimei, visi dvimačiai paviršiai iš aukščiau pateikto sąrašo gali būti įterpti į įprastą R 3 erdvę, todėl juos lengviau įsivaizduoti. 3 sferų S 3 atveju (ir apskritai bet kokiam kompaktiškam 3 kolektoriui be ribos) tai nebėra, todėl reikia šiek tiek pastangų suprasti jo struktūrą.

Matyt paprasčiausias būdas trimatės sferos S 3 topologinei struktūrai paaiškinti vientaškio tankinimo pagalba. Būtent trimatė sfera S 3 yra įprastos trimatės (neribotos) erdvės R 3 vienataškis sutankinimas.

Pirmiausia paaiškinkime šią konstrukciją paprasti pavyzdžiai. Paimkime įprastą begalinę tiesę (vienmatį erdvės analogą) ir pridėkime prie jos vieną „be galo tolimą“ tašką, darydami prielaidą, kad judėdami tiesia linija į dešinę arba į kairę, galiausiai pasiekiame šį tašką. Topologiniu požiūriu nėra jokio skirtumo tarp begalinės linijos ir apribotos atviros atkarpos (be galinių taškų). Tokį segmentą galima nuolat lenkti lanko pavidalu, suartinti galus ir klijuoti trūkstamą tašką į sankryžą. Akivaizdu, kad gauname apskritimą – vienmatį sferos analogą.

Panašiai, jei paimsiu begalinę plokštumą ir pridėsiu vieną tašką prie begalybės, į kurį linksta visos pradinės plokštumos linijos, einančios bet kuria kryptimi, tai gausime dvimatę (paprastąją) sferą S 2 . Šią procedūrą galima stebėti naudojant stereografinę projekciją, kuri kiekvienam rutulio taškui P, išskyrus šiaurinį N ašigalį, priskiria tam tikrą plokštumos P tašką.

Taigi sfera be vieno taško topologiškai yra tokia pati kaip plokštuma, o pridėjus tašką plokštuma paverčiama sfera.

Iš principo lygiai tokia pati konstrukcija tinka ir trimatei sferai, ir erdvei, tik jai įgyvendinti reikia įeiti į ketvirtą dimensiją, o tai ne taip paprasta pavaizduoti brėžinyje. Taigi apsiribosiu žodinis aprašymas vienataškis erdvės R 3 sutankinimas.

Įsivaizduokite, kad prie mūsų fizinės erdvės (kurią, sekdami Niutonu, laikome neribota Euklido erdve su trimis koordinatėmis x, y, z) yra vienas taškas „begalybėje“ pridėtas taip, kad judant tiesia linija bet kurioje kryptimi, jūs krentate (t. y. kiekviena erdvinė linija užsidaro į apskritimą). Tada gauname kompaktišką trimatį kolektorius, kuris pagal apibrėžimą yra sfera S 3 .

Nesunku pastebėti, kad sfera S 3 yra tiesiog sujungta. Iš tiesų, bet kuri uždara šios sferos kreivė gali būti šiek tiek pasislinkusi, kad ji nepraeitų per pridėtą tašką. Tada gauname kreivę įprastoje erdvėje R 3 , kuri lengvai sutraukiama iki taško homotetijomis, t.y. nuolatiniu susitraukimu visomis trimis kryptimis.

Norint suprasti kolektoriaus S 3 struktūrą, labai naudinga apsvarstyti jo padalijimą į du kietus tori. Jei kietasis toras yra praleistas erdvėje R 3, tai lieka kažkas nelabai aiškaus. Ir jei erdvė sutankinama į sferą, tai šis papildymas taip pat virsta kietu toru. Tai yra, sfera S 3 yra padalinta į du kietus tori, turinčius bendrą ribą - torą.

Štai kaip tai galima suprasti. Įterpkime torą į R 3, kaip įprasta, apvalios spurgos pavidalu ir nubrėžkime vertikalią liniją - šios spurgos sukimosi ašį. Per ašį nubrėžiame savavališką plokštumą, ji kirs mūsų kietąjį torą dviem apskritimais, parodytais paveikslėlyje žaliai, o papildoma plokštumos dalis padalinta į ištisinę raudonų apskritimų šeimą. Tarp jų yra ir centrinė ašis, paryškinta paryškintu, nes sferoje S 3 linija užsidaro į apskritimą. Sukant aplink ašį iš šio dvimačio vaizdo gaunamas trimatis vaizdas. Tada visas pasuktų apskritimų rinkinys užpildys trimatį kūną, homeomorfinį iki vientiso toro, tik atrodys neįprastai.

Tiesą sakant, centrinė ašis joje bus ašinis apskritimas, o likusi dalis atliks paralelių - apskritimų, sudarančių įprastą kietąjį torą, vaidmenį.

Kad būtų su kuo palyginti 3 sferą, pateiksiu dar vieną kompaktiško 3 kolektoriaus pavyzdį, būtent trimatį torą. Trimatis toras gali būti sukonstruotas taip. Paimkime įprastą trimatį kubą kaip pradinę medžiagą:

Jis turi tris poras veidų: kairėje ir dešinėje, viršuje ir apačioje, priekyje ir gale. Kiekvienoje lygiagrečių veidų poroje mes poromis nustatome taškus, gautus vienas nuo kito perkeldami išilgai kubo krašto. Tai yra, darysime prielaidą (grynai abstrakčiai, netaikant fizinių deformacijų), kad, pavyzdžiui, A ir A „yra tas pats taškas, o B ir B“ taip pat yra vienas taškas, bet skiriasi nuo taško A. Visi vidiniai taško taškai kubą svarstysime kaip įprasta. Pats kubas yra kolektorius su riba, tačiau atlikus klijavimą, riba užsidaro savaime ir išnyksta. Iš tiesų, kubo taškų A ir A“ apylinkės (jie yra kairėje ir dešinėje tamsintose pusėse) yra rutuliukų pusės, kurios, suklijavus paviršius, susilieja į visą rutulį, kuris tarnauja kaip trimačio toro atitinkamo taško kaimynystė.

Norint pajusti įprastomis idėjomis apie fizinę erdvę pagrįstą 3-torų struktūrą, reikia pasirinkti tris viena kitai statmenas kryptis: pirmyn, kairėn ir aukštyn – ir mintyse pagalvoti, kaip mokslinės fantastikos istorijose, judant bet kuria iš šiomis kryptimis, gana ilgas, bet ribotas laikas, grįšime į pradinį tašką, bet iš priešingos krypties. Tai irgi „erdvės sutankinimas“, bet ne vientaškis, anksčiau naudotas sferai konstruoti, bet sudėtingesnis.

Ant 3 vamzdžių yra nesutraukiami takai; pavyzdžiui, tai paveiksle atkarpa AA" (ant toro jis vaizduoja uždarą kelią). Jis negali būti sutrauktas, nes bet kokiai ištisinei deformacijai taškai A ir A" turi judėti išilgai jų paviršių, likdami griežtai priešais vienas kitą. kita (kitaip atsidarys kreivė).

Taigi matome, kad yra tiesiog sujungti ir ne paprasčiausiai sujungti kompaktiški 3 kolektoriai. Perelmanas įrodė, kad tiesiog sujungtas kolektorius yra būtent vienas.

Įrodinėjimo atskaitos taškas yra vadinamojo „Ricci srauto“ naudojimas: paimame paprasčiausiai sujungtą kompaktišką 3 kolektorių, suteikiame jam savavališką geometriją (t. y. įvedame tam tikrą metriką su atstumais ir kampais), tada svarstome. jo raida palei Ricci srautą. Richardas Hamiltonas, kuris pasiūlė šią idėją 1981 m., tikėjosi, kad su šia evoliucija mūsų rinkinys pavirs sfera. Paaiškėjo, kad tai netiesa - trimačiu atveju Ricci srautas gali sugadinti kolektorių, t. Perelmanas, įveikęs neįtikėtinus techninius sunkumus, naudodamas sunkų dalinių diferencialinių lygčių aparatą, sugebėjo pakeisti Ricci srautą šalia vienaskaitos taškų taip, kad evoliucijos metu kolektoriaus topologija nepasikeistų, nebūtų singuliarinių taškų ir pabaigoje jis virsta apvalia sfera. Bet galiausiai būtina paaiškinti, kas yra šis Ricci srautas. Hamiltono ir Perelmano naudojami srautai nurodo vidinės metrikos pasikeitimą abstrakčiame kolektoriuje, ir tai gana sunku paaiškinti, todėl apsiribosiu „išorinio“ Ricci srauto vienmačių kolektorių, įterptų į plokštumą, aprašymu. .

Įsivaizduokite sklandžią uždarą kreivę Euklido plokštumoje, pasirinkite joje kryptį ir kiekviename taške apsvarstykite vienetinio ilgio liestinės vektorių. Tada, apvažiuojant kreivę pasirinkta kryptimi, šis vektorius suksis tam tikru kampiniu greičiu, kuris vadinamas kreivumu. Ten, kur kreivė yra statesnė, kreivumas (absoliučia verte) bus didesnis, o ten, kur jis lygesnis, kreivumas bus mažesnis.

Kreivumas bus laikomas teigiamu, jei greičio vektorius pasisuks link plokštumos, padalytos mūsų kreivės į dvi dalis, vidinės dalies, ir neigiamas, jei jis pasisuks į išorę. Šis susitarimas nepriklauso nuo krypties, kuria važiuojama kreivė. Posūkio taškuose, kur sukimosi kryptis keičiasi, kreivumas bus lygus 0. Pavyzdžiui, apskritimo, kurio spindulys 1, pastovus teigiamas kreivumas yra 1 (matuojamas radianais).

Dabar pamirškime liestinės vektorius ir prie kiekvieno kreivės taško pritvirtinkime, priešingai, jam statmeną vektorių, kurio ilgis yra lygus kreivumui tam tikrame taške ir nukreiptas į vidų, jei kreivumas yra teigiamas, ir į išorę, jei jis yra neigiamas. , tada kiekvieną tašką priversime judėti atitinkamo vektoriaus kryptimi greičiu, proporcingu jo ilgiui. Štai pavyzdys:

Pasirodo, bet kuri uždara kreivė plokštumoje tokios evoliucijos metu elgiasi panašiai, t.y., galiausiai virsta apskritimu. Tai yra Puankaro spėjimo vienmačio analogo, naudojant Ricci srautą, įrodymas (tačiau pats teiginys šiuo atveju jau akivaizdus, tiesiog įrodinėjimo metodas iliustruoja, kas vyksta 3 dimensijoje).

Baigdami pažymime, kad Perelmano argumentas įrodo ne tik Puankaro spėjimą, bet ir daug bendresnį Thurston geometrizavimo spėjimą, kuris tam tikra prasme bendrai apibūdina visų kompaktiškų 3-jų kolektorių struktūrą. Tačiau ši tema nepatenka į šio elementaraus straipsnio taikymo sritį.

Dėl vietos stokos nekalbėsiu apie neorientuojamus kolektorius, kurių pavyzdys yra garsusis Kleino buteliukas – paviršius, kurio negalima įterpti į erdvę be savarankiškų susikirtimų.

Clay matematikos institutas skyrė Grigorijui Perelmanui Tūkstantmečio premiją, taip oficialiai pripažindamas teisingu rusų matematiko atliktą Puankarės spėlionių įrodymą. Pastebėtina, kad tai darydamas institutas turėjo pažeisti savo taisykles – pagal jas, tik autorius, publikavęs savo kūrybą recenzuojamuose žurnaluose, gali pretenduoti į gavimą apie milijoną dolerių, būtent tokio dydžio. prizas. Grigorijaus Perelmano darbas oficialiai niekada neišvydo dienos šviesos – jis liko kaip kelių išankstinių spaudinių rinkinys arXiv.org svetainėje (vienas, du ir trys). Tačiau ne taip svarbu, kas lėmė instituto apsisprendimą – įteikus Tūkstantmečio premiją, daugiau nei 100 metų istorija baigiasi.

Puodelis, spurga ir tam tikra topologija

Prieš išsiaiškinant, kas yra Puankarės spėjimas, būtina suprasti, kokiai matematikos šakai – topologijai – priklauso būtent ši hipotezė. Kolektorių topologija yra susijusi su paviršių savybėmis, kurios nekinta esant tam tikroms deformacijoms. Paaiškinkime klasikiniu pavyzdžiu. Tarkime, priešais skaitytojas turi spurgą ir tuščią puodelį. Geometrijos ir sveiko proto požiūriu tai skirtingi objektai jau vien dėl to, kad iš spurgos kavos išgerti negalėsi su visu savo noru.

Tačiau topologas pasakys, kad puodelis ir spurga yra tas pats. Ir jis paaiškins taip: įsivaizduokite, kad puodelis ir spurgas yra viduje tuščiaviduriai paviršiai, pagaminti iš labai elastingos medžiagos (matematikas pasakytų, kad yra pora kompaktiškų dvimačių kolektorių). Atlikime spekuliacinį eksperimentą: iš pradžių pripučiame puodelio dugną, o tada jo rankenėlę, po kurios jis pavirs toru (taip matematiškai vadinama spurgos forma). Galite pamatyti, kaip atrodo šis procesas.

Žinoma, smalsiam skaitytojui kyla klausimas: kadangi paviršiai gali būti susiraukšlėję, kaip juos atskirti? Juk, pavyzdžiui, intuityviai aišku – kad ir kaip įsivaizduotum torą, be tarpų ir klijavimo iš jo sferos negausi. Čia pradeda veikti vadinamieji invariantai – paviršiaus charakteristikos, kurios nesikeičia deformuojant – sąvoka, būtina Puankarės hipotezės formulavimui.

Sveikas protas mums sako, kad skylė skiria torą nuo sferos. Tačiau skylė toli gražu nėra matematinė sąvoka, todėl ją reikia formalizuoti. Tai daroma taip – įsivaizduokite, kad ant paviršiaus turime labai ploną elastingą siūlą, kuris sudaro kilpą (šiame spekuliaciniame eksperimente, skirtingai nei ankstesniame, patį paviršių laikome kietu). Kilpą judinsime nenuplėšdami nuo paviršiaus ir nesulaužydami. Jei siūlą galima susitraukti iki labai mažo apskritimo (beveik taško), tada sakoma, kad kilpa yra susitraukianti. Priešingu atveju kilpa vadinama neištraukiama.

Pagrindinė toro grupė žymima n 1 (T 2). Kadangi tai nėra trivialus, pelės rankos sudaro neištraukiamą kilpą. Liūdesys gyvūno veide yra šio fakto suvokimo rezultatas.

Taigi, nesunku pastebėti, kad bet kuri rutulio kilpa yra susitraukianti (matote, kaip ji atrodo apytiksliai), tačiau toro atveju taip nebėra: ant spurgos yra net dvi kilpos – viena įsriegta skylę, o kita aplenkia skylę "išilgai perimetro", - kurios negalima ištraukti. Šiame paveikslėlyje nesutraukiamų kilpų pavyzdžiai rodomi raudonai ir violetinė atitinkamai. Kai paviršiuje yra kilpų, matematikai sako, kad „pagrindinė atmainos grupė yra nebanali“, o jei tokių kilpų nėra, vadinasi, triviali.

Dabar, norėdamas sąžiningai suformuluoti Poincare'o spėjimą, smalsus skaitytojas turi būti kantrus: turime išsiaiškinti, kas yra trimatis kolektorius apskritai ir konkrečiai trimatis sfera.

Trumpam grįžkime prie aukščiau aptartų paviršių. Kiekvieną iš jų galima supjaustyti tokiais mažais gabalėliais, kad kiekvienas beveik primins plokštumos gabalėlį. Kadangi plokštuma turi tik du matmenis, sakoma, kad kolektorius taip pat yra dvimatis. Trimatis kolektorius yra paviršius, kurį galima supjaustyti į mažus gabalėlius, kurių kiekvienas yra labai panašus į įprastos trimatės erdvės gabalėlį.

viršininkas" aktorius"Hipotezė – trimatė sfera. Trimatės sferos kaip įprastos sferos analogo keturių matmenų erdvėje, nepametus proto, turbūt neįmanoma įsivaizduoti. Tačiau apibūdinti šį objektą gana paprasta, todėl kalbėti, "dalimis" gana lengvai. Kiekvienas, kuris matė gaublį, žino, kad paprastas rutulys gali būti suklijuotas iš šiaurės ir Pietinis pusrutulis palei pusiaują. Taigi, trimatis rutulys yra suklijuotas iš dviejų rutulių (šiaurės ir pietų) išilgai sferos, kuri yra pusiaujo analogas.

Ant trimačių kolektorių galima laikyti tas pačias kilpas, kurias paėmėme ant įprastų paviršių. Taigi, Poincaré spėjimas teigia: „Jei pagrindinė trimačio kolektoriaus grupė yra triviali, tai ji yra homeomorfinė sferai“. Nesuprantama frazė „homeomorfinis sferai“, išvertus į neformalią kalbą, reiškia, kad paviršius gali deformuotis į sferą.

Truputis istorijos

Paprastai tariant, matematikoje galima suformuluoti daug sudėtingų teiginių. Tačiau kuo ši ar kita hipotezė yra puiki, išskiria ją iš kitų? Kaip bebūtų keista, bet didžioji hipotezė išsiskiria daugybe neteisingų įrodymų, kurių kiekviename yra didelė klaida – netikslumas, dėl kurio dažnai atsiranda visiškai nauja matematikos dalis.

Taigi iš pradžių Henri Poincaré, kuris, be kita ko, pasižymėjo gebėjimu daryti puikias klaidas, suformulavo hipotezę kiek kitokia forma, nei rašėme aukščiau. Po kurio laiko jis pateikė priešingą pavyzdį savo teiginiui, kuris tapo žinomas kaip homologinė Puankarė 3 sfera, ir 1904 m. suformulavo spėjimą jau m. moderni forma. Beje, visai neseniai mokslininkai pritaikė sferą astrofizikoje – paaiškėjo, kad Visata gali pasirodyti homologiška Poincaré 3 sfera.

Reikia pasakyti, kad hipotezė nesukėlė didelio jaudulio tarp kolegų geometrų. Taip buvo iki 1934 m., kai britų matematikas Johnas Henry Whiteheadas pateikė savo hipotezės įrodymo versiją. Tačiau labai greitai jis pats rado samprotavimo klaidą, dėl kurios vėliau atsirado visa Whitehead kolekcionierių teorija.

Po to hipotezėje pamažu įsitvirtino itin sunkios užduoties šlovė. Daugelis puikių matematikų bandė tai įveikti. Pavyzdžiui, amerikietis R.H.Bingas – matematikas, kuriam (absoliučiai oficialiai) vietoj vardo dokumentuose buvo rašomi inicialai. Jis kelis kartus nesėkmingai bandė įrodyti hipotezę, šio proceso metu suformuluodamas savo teiginį – taip vadinamą „savybės P spėjimą“ (Property P conjecture). Pastebėtina, kad šis teiginys, kurį Bingas laikė tarpiniu, pasirodė esąs beveik sudėtingesnis nei pats Puankarės spėlionės įrodymas.

Tarp mokslininkų ir žmonių, kurie paaukojo savo gyvybes, kad tai įrodytų matematinis faktas. Pavyzdžiui, garsus graikų kilmės matematikas Christos Papakiriakopoulos. Daugiau nei dešimt metų, dirbdamas Prinstone, jis nesėkmingai bandė įrodyti spėjimą. Jis mirė nuo vėžio 1976 m.

Pastebėtina, kad Poincaré spėlionių apibendrinimas kolektoriams, kurių matmenys viršija tris, pasirodė esąs pastebimai paprastesnis nei originalas – papildomi matmenys palengvino manipuliavimą kolektoriais. Taigi, n matmenų kolektorių (kai n yra bent 5) spėjimą įrodė Stephenas Smale'as 1961 m. Jei n = 4, spėjimą visiškai kitokiu metodu nei Smale 1982 m. įrodė Michaelas Friedmanas. Už savo įrodymą pastarasis gavo Fieldso medalį - aukščiausias apdovanojimas matematikams.

Aprašyti darbai toli gražu nėra visas sąrašas bando išspręsti daugiau nei šimtmečio hipotezes. Ir nors kiekvienas iš darbų paskatino ištisos matematikos krypties atsiradimą ir gali būti laikomas sėkmingu bei reikšmingu šia prasme, tik rusui Grigorijui Perelmanui pavyko galutinai įrodyti Puankarės spėjimą.

Perelmanas ir įrodymas

1992 m. Grigorijus Perelmanas, tuometinis Matematikos instituto darbuotojas. Steklovas, pateko į Richardo Hamiltono paskaitą. Amerikiečių matematikas kalbėjo apie Ricci srautus – naują įrankį Thurstono geometrizavimo spėjimui tirti – faktą, iš kurio kaip paprasta pasekmė buvo gautas Puankarės spėjimas. Šie srautai, tam tikra prasme sukonstruoti pagal analogiją su šilumos perdavimo lygtimis, privertė paviršius laikui bėgant deformuotis taip pat, kaip mes deformavome dvimačius paviršius šio straipsnio pradžioje. Paaiškėjo, kad kai kuriais atvejais tokios deformacijos rezultatas buvo objektas, kurio struktūra yra lengvai suprantama. Pagrindinis sunkumas buvo tas, kad deformacijos metu atsirado begalinio kreivumo singuliarumai, tam tikra prasme analogiški juodosioms skylėms astrofizikoje.

Po paskaitos Perelmanas priėjo prie Hamiltono. Vėliau jis pasakojo, kad Ričardas jį maloniai nustebino: "Jis šypsojosi ir buvo labai kantrus. Netgi pasakė keletą faktų, kurie buvo paskelbti tik po kelerių metų. Tai padarė nedvejodamas. Jo atvirumas ir gerumas mane nustebino. Negaliu pasakyti kad dauguma šiuolaikinių matematikų taip elgiasi“.

Po kelionės į JAV Perelmanas grįžo į Rusiją, kur pradėjo dirbti sprendžiant Ricci srautų singuliarumo problemą ir įrodant geometrizavimo hipotezę (ir visai ne Puankarė hipotezę). Nenuostabu, kad 2002 m. lapkričio 11 d. Perelmano pirmasis preprintas sukrėtė matematikų bendruomenę. Po kurio laiko pasirodė dar pora darbų.

Po to Perelmanas pasitraukė iš įrodymų diskusijos ir netgi, pasak jų, nustojo užsiimti matematika. Savo atsiskyrėliško gyvenimo būdo jis nenutraukė net 2006 m., kai buvo apdovanotas prestižiškiausiu matematikų apdovanojimu – Fieldso medaliu. Diskutuoti apie tokio autoriaus elgesio priežastis nėra prasmės – genijus turi teisę elgtis keistai (pavyzdžiui, būdamas Amerikoje, Perelmanas nenusikirpo nagų, leisdamas jiems laisvai augti).

Kad ir kaip būtų, Perelmano įrodinėjimas įgavo savo gyvenimą: trys išankstiniai atspaudai persekiojo šiuolaikinius matematikus. Pirmieji rusų matematiko idėjų patikrinimo rezultatai pasirodė 2006 m. – pagrindiniai geometrai Bruce'as Kleineris ir Johnas Lottas iš Mičigano universiteto paskelbė išankstinį spaudinį. nuosavas darbas, panašesnė į knygos dydį – 213 puslapių. Šiame darbe mokslininkai atidžiai patikrino visus Perelmano skaičiavimus, išsamiai paaiškindami įvairius teiginius, kurie buvo tik trumpai nurodyti Rusijos matematiko darbe. Tyrėjų verdiktas buvo nedviprasmiškas: įrodymai yra visiškai teisingi.

Netikėtas posūkis šioje istorijoje įvyko tų pačių metų liepą. Žurnale Azijos matematikos žurnalas Pasirodė kinų matematikų Xiping Zhu ir Huaidong Cao straipsnis „Visiškas Thurston Geometrization Conjecture and the Poincaré Conjecture įrodymas“. Šio darbo rėmuose Perelmano rezultatai buvo laikomi svarbiais, naudingais, bet tik tarpiniais. Šis darbas sukėlė nuostabą tarp specialistų Vakaruose, tačiau sulaukė itin palankių atsiliepimų Rytuose. Visų pirma, rezultatus palaikė Shintan Yau – vienas iš Calabi-Yau teorijos, padėjusios pamatus stygų teorijai, įkūrėjų, taip pat Cao ir Ju mokytojas. Laimingo atsitiktinumo dėka būtent Yau buvo žurnalo vyriausiasis redaktorius. Azijos matematikos žurnalas kuriame kūrinys buvo publikuotas.

Po to matematikas pradėjo keliauti po pasaulį su populiariomis paskaitomis, kalbėdamas apie Kinijos matematikų pasiekimus. Dėl to kilo pavojus, kad labai greitai Perelmano ir net Hamiltono rezultatai bus nustumti į antrą planą. Taip yra nutikę ne kartą matematikos istorijoje – daugybę teoremų, turinčių konkrečių matematikų vardus, sugalvojo visiškai skirtingi žmonės.

Tačiau taip neįvyko ir tikriausiai nebus dabar. Molio apdovanojimo įteikimas Perelmanui (net jei jis atsisako) visam laikui įsitvirtino visuomenės sąmonė faktas: rusų matematikas Grigorijus Perelmanas įrodė Puankarės spėjimą. Nesvarbu, kad iš tikrųjų jis įrodė bendresnį faktą, išplėtodamas visiškai naują Ricci srautų singuliarumo teoriją. Net ir taip. Apdovanojimas rado herojų.

N. Četverikovos nuotr. Paskutinis didelis grynosios matematikos pasiekimas yra Puankarės spėlionės, išreikštos 1904 m., įrodymas: „kiekvienas sujungtas, tiesiog sujungtas, kompaktiškas trimatis kolektorius be ribos yra homeomorfinis sferai S 3 “. Grigorijus Perelmanas iš Sankt Peterburgo 2002–2003 m.

Šioje frazėje yra keli terminai, kuriuos pabandysiu paaiškinti taip, kad bendra jų reikšmė taptų aiški ne matematikams (manau, kad skaitytojas baigęs vidurinę mokyklą ir dar ką nors prisimena iš mokyklinės matematikos).

Pagrindinę idėją lengviausia paaiškinti naudojant klasikinį puodelio ir bagelio pavyzdį. Pirmąjį galima paversti antruoju dėl nuolatinės deformacijos: šie skaičiai aiškiai rodo, kad puodelis yra homeomorfinis spurgai, ir tai galioja tiek jų paviršiams (dvimačiams kolektoriams, vadinamiems toru), tiek užpildytiems kūnams ( trimačiai kolektoriai su riba).

Pateiksime likusių hipotezės formulavimo terminų interpretaciją.

1. Trimatis kolektorius be ribos. Tai toks geometrinis objektas, kuriame kiekvienas taškas turi kaimynystę trimačio rutulio pavidalu. 3 kolektorių pavyzdžiai yra, pirma, visa trimatė erdvė, žymima R 3 , taip pat bet kokie atviri taškų rinkiniai R 3 , pavyzdžiui, kietojo toro (spurgos) vidus. Jei laikysime uždarą kietąjį torą, t.y., pridėsime jo ribinius taškus (toro paviršių), tada jau gausime kolektorius su riba - ribos taškai neturi apylinkių rutulio pavidalu, o tik forma. pusės kamuolio.

2. Prisijungta. Ryšio sąvoka čia pati paprasčiausia. Kolektorius yra sujungtas, jei jis susideda iš vieno gabalo arba, kažkas to paties, bet kurie du jo taškai gali būti sujungti ištisine linija, kuri neperžengia savo ribų.

3. Tiesiog prijungtas. Vieno ryšio sąvoka yra sudėtingesnė. Tai reiškia, kad bet kuri ištisinė uždara kreivė, esanti tik tam tikrame kolektorius, gali būti sklandžiai sutraukta iki taško, nepaliekant šio kolektoriaus. Pavyzdžiui, paprastas dvimatis rutulys R 3 yra tiesiog sujungtas (tamprioji juosta, savavališkai pritvirtinta prie obuolio paviršiaus, gali būti sutraukta sklandžiai deformuojant į vieną tašką, nenuplėšiant elastinės juostos nuo obuolio). Kita vertus, ratas ir toras nėra tiesiog sujungti.

4. Kompaktiškas. Kolektorius yra kompaktiškas, jei bet kuris jo homeomorfinis vaizdas turi ribotus matmenis. Pavyzdžiui, atviras intervalas tiesėje (visi atkarpos taškai, išskyrus jos galus) nėra kompaktiškas, nes jį galima nuolat pratęsti iki begalinės linijos. Bet uždara atkarpa (su galais) yra kompaktiškas kolektorius su riba: esant bet kokiai nuolatinei deformacijai, galai eina į tam tikrus konkrečius taškus, o visa atkarpa turi eiti į apribotą kreivę, jungiančią šiuos taškus.

Dvimačiai kompaktiški kolektoriai yra gerai žinomi. Jei tik atsižvelgsime orientuotas 1 kolektoriai be ribos, tada topologiniu požiūriu jie sudaro paprastą, nors ir begalinį sąrašą: ir pan. Kiekvienas toks kolektorius gaunamas iš sferos, suklijuojant keletą rankenų, kurių skaičius vadinamas paviršiaus genu.

1 Dėl vietos stokos nekalbėsiu apie neorientuojamus kolektorius, kurių pavyzdys yra garsusis Kleino buteliukas – paviršius, kurio negalima įterpti į erdvę be savarankiškų susikirtimų.

Matyt, paprasčiausias būdas paaiškinti trimatės sferos S 3 topologinę struktūrą yra vienataškio sutankinimo pagalba. Būtent trimatė sfera S 3 yra įprastos trimatės (neribotos) erdvės R 3 vienataškis sutankinimas.

Pirmiausia paaiškinkime šią konstrukciją paprastais pavyzdžiais. Paimkime įprastą begalinę tiesę (vienmatį erdvės analogą) ir pridėkime prie jos vieną „be galo tolimą“ tašką, darydami prielaidą, kad judėdami tiesia linija į dešinę arba į kairę, galiausiai pasiekiame šį tašką. Topologiniu požiūriu nėra jokio skirtumo tarp begalinės linijos ir apribotos atviros atkarpos (be galinių taškų). Tokį segmentą galima nuolat lenkti lanko pavidalu, suartinti galus ir klijuoti trūkstamą tašką į sankryžą. Akivaizdu, kad gauname apskritimą - vienmatį sferos analogą.

Taigi sfera be vieno taško topologiškai yra tokia pati kaip plokštuma, o pridėjus tašką plokštuma paverčiama sfera.

Iš principo lygiai tokia pati konstrukcija tinka ir trimatei sferai, ir erdvei, tik jai įgyvendinti reikia įeiti į ketvirtą dimensiją, o tai ne taip paprasta pavaizduoti brėžinyje. Todėl apsiriboju žodiniu erdvės R 3 sutankinimo vienataškiu aprašymu.

Štai kaip tai galima suprasti. Įterpkime torą į R 3, kaip įprasta, apvalios spurgos pavidalu ir nubrėžkime vertikalią liniją - šios spurgos sukimosi ašį. Nubrėžkite savavališką plokštumą per ašį, ji kirs mūsų kietąjį torą išilgai dviejų apskritimų, pavaizduotų paveikslėlyje žaliai, o papildoma plokštumos dalis yra padalinta į ištisinę raudonų apskritimų šeimą. Tarp jų yra ir centrinė ašis, paryškinta paryškintu, nes sferoje S 3 linija užsidaro į apskritimą. Sukant aplink ašį iš šio dvimačio vaizdo gaunamas trimatis vaizdas. Tada visas pasuktų apskritimų rinkinys užpildys trimatį kūną, homeomorfinį iki vientiso toro, tik atrodys neįprastai.

Tiesą sakant, centrinė ašis joje bus ašinis apskritimas, o likusi dalis atliks paralelių - apskritimų, sudarančių įprastą kietąjį torą, vaidmenį.

Jis turi tris poras veidų: kairėje ir dešinėje, viršuje ir apačioje, priekyje ir gale. Kiekvienoje lygiagrečių veidų poroje mes poromis nustatome taškus, gautus vienas nuo kito perkeldami išilgai kubo krašto. Tai yra, darysime prielaidą (grynai abstrakčiai, netaikant fizinių deformacijų), kad, pavyzdžiui, A ir A „yra tas pats taškas, o B ir B“ taip pat yra vienas taškas, bet skiriasi nuo taško A. Visi vidiniai taško taškai kubą svarstysime kaip įprasta. Pats kubas yra kolektorius su briauna, tačiau po klijavimo kraštas užsidaro pats ir išnyksta. Iš tiesų, kubo taškų A ir A“ apylinkės (jie yra kairėje ir dešinėje tamsintose pusėse) yra rutuliukų pusės, kurios, suklijavus paviršius, susilieja į visą rutulį, kuris tarnauja kaip trimačio toro atitinkamo taško kaimynystė.

Norint pajusti įprastomis idėjomis apie fizinę erdvę pagrįstą 3-torų struktūrą, reikia pasirinkti tris viena kitai statmenas kryptis: pirmyn, kairėn ir aukštyn – ir mintyse, kaip mokslinės fantastikos istorijose, atsižvelgti į tai, kad judant bet kuria iš Šios kryptys, gana ilgas, bet ribotas laikas, grįšime į pradinį tašką, bet iš priešingos krypties.Tai irgi „erdvės sutankinimas“, bet ne vienataškis, anksčiau naudotas sferai konstruoti, bet sudėtingesnis.

Taigi matome, kad yra tiesiog sujungti ir ne paprasčiausiai sujungti kompaktiški 3 kolektoriai. Perelmanas įrodė, kad tiesiog sujungtas kolektorius yra būtent vienas.

Pradinė įrodymo idėja yra naudoti vadinamąjį „Ricci srautą“: paimame tiesiog prijungtą kompaktišką 3 kolektorių, suteikiame jam savavališką geometriją (t. y. įvedame tam tikrą metriką su atstumais ir kampais), o tada apsvarstykite jo raidą Ricci sraute. Richardas Hamiltonas, kuris pasiūlė šią idėją 1981 m., tikėjosi, kad su šia evoliucija mūsų rinkinys pavirs sfera. Paaiškėjo, kad tai netiesa - trimačiu atveju Ricci srautas gali sugadinti kolektorių, t. Perelmanas, įveikęs neįtikėtinus techninius sunkumus, naudodamas sunkų dalinių diferencialinių lygčių aparatą, sugebėjo pakeisti Ricci srautą šalia vienaskaitos taškų taip, kad evoliucijos metu kolektoriaus topologija nepasikeistų, nebūtų singuliarinių taškų ir pabaigoje jis virsta apvalia sfera . Bet pagaliau turime paaiškinti, kas yra šis Ricci srautas. Hamiltono ir Perelmano naudojami srautai nurodo vidinės metrikos pasikeitimą abstrakčiame kolektoriuje, ir tai gana sunku paaiškinti, todėl apsiribosiu „išorinio“ Ricci srauto vienmačių kolektorių, įterptų į plokštumą, aprašymu. .

Apibendrinant pažymime, kad Perelmano argumentas įrodo ne tik Puankarės spėjimą, bet ir daug bendresnį Thurston geometrizavimo spėjimą, kuris tam tikra prasme apibūdina visų kompaktiškų 3-jų kolektorių struktūrą apskritai. Tačiau ši tema nepatenka į šio elementaraus straipsnio taikymo sritį.

Sergejus Dužinas,
Fizikos ir matematikos mokslų daktaras mokslai,
vyresnysis Tyrėjas
Sankt Peterburgo filialas
Rusijos mokslų akademijos matematikos institutas

Puankarės teorema yra matematinė „Visatos“ formulė. Grigorijus Perelmanas. 1 dalis (iš serijos " Tikras vyras moksle“)

Henri Poincare'as (1854–1912), vienas didžiausių matematikų, 1904 m. suformulavo garsiąją deformuotos trimatės sferos idėją ir 65 puslapių straipsnio pabaigoje įdėjo mažą kraštinę. visiškai kitas klausimas, nubrėžė keletą gana keisto spėjimo eilučių su žodžiais: „Na, šis klausimas gali mus nuvesti per toli“ ...

Marcusas Du Sotoy iš Oksfordo universiteto mano, kad Puankarės teorema yra „tai centrinė problema matematika ir fizika, bando suprasti kokia forma Gal būt Visata Labai sunku prie jos priartėti“.

Kartą per savaitę Grigory Perelman keliaudavo į Prinstoną dalyvauti seminare Pažangių studijų institute. Seminare vienas iš Harvardo universiteto matematikų atsako į Perelmano klausimą: „Williamo Thurstono (1946–2012 m., matematikas, dirbantis „Trimatės geometrijos ir topologijos“ srityje) teorija, vadinama geometrizavimo hipoteze, aprašo viską, kas įmanoma. trimačiais paviršiais ir yra žingsnis į priekį, palyginti su Puankarės hipoteze. Jei įrodysite Williamo Thurstono prielaidą, Poincare'o spėjimas atvers jums visas duris ir dar daugiau jo sprendimas pakeis visą šiuolaikinio mokslo topologinį kraštovaizdį».

Šeši pirmaujantys Amerikos universitetai 2003 m. kovo mėn. pakvietė Perelmaną perskaityti paskaitų, paaiškinančių jo darbą, ciklą. 2003 m. balandžio mėn. Perelmanas išvyksta į mokslinę kelionę. Jo paskaitos tampa išskirtiniu moksliniu įvykiu. Johnas Ballas (Tarptautinės matematikų sąjungos pirmininkas), Andrew Wilesas (matematikas, dirba elipsinių kreivių aritmetikos srityje, 1994 m. įrodė Fermato teoremą), Johnas Nashas (matematikas, dirbantis žaidimų teorijos ir diferencialinės geometrijos srityje). Prinstonui, kad jo klausytų.

Grigorijui Perelmanui pavyko išspręsti vieną iš septynių tūkstantmečio užduočių Ir apibūdinti matematiškai taip vadinamas visatos formulė, įrodyti Puankarės spėjimą. Šviesiausi protai dėl šios hipotezės kovojo daugiau nei 100 metų, už kurios įrodymą pasaulio matematikų bendruomenė (Clay Mathematical Institute) pažadėjo milijoną dolerių. Ji buvo pristatyta 2010 m. birželio 8 d. , o pasaulio matematikų bendruomenei „nuleido nasrus“.

2006 metais už Puankarės spėlionių išsprendimą matematikas buvo apdovanotas aukščiausiu matematikos apdovanojimu – Fieldso prizu (Fieldso medaliu). Johnas Ballas asmeniškai lankėsi Sankt Peterburge, norėdamas įtikinti jį priimti apdovanojimą. Jis atsisakė tai priimti žodžiais: „Vargu ar visuomenė gali rimtai įvertinti mano darbą“.

„Fieldso premija (ir medalis) įteikiama kartą per 4 metus kiekviename tarptautiniame matematikos kongrese jauniesiems mokslininkams (iki 40 m.), reikšmingai prisidėjusiems prie matematikos raidos. Be medalio, apdovanotieji apdovanojami 15 000 Kanados dolerių (13 000 USD).

Pradinėje formuluotėje Poincaré spėjimas skamba taip: „Kiekvienas tiesiog sujungtas kompaktiškas trimatis kolektorius be ribos yra homeomorfinis trimačiai sferai“. Išvertus į bendrinę kalbą, tai reiškia, kad bet koks erdvinis objektas, pavyzdžiui, stiklas, vien deformuojant gali virsti rutuliu, tai yra, jo nereikės karpyti ar klijuoti. Kitaip tariant, Poincaré tai pasiūlė erdvė nėra trimatė, bet joje yra daug daugiau matmenų o Perelmanas po 100 metų įrodė tai matematiškai.

Grigorijaus Perelmano Poincaré teoremos apie materijos virsmą kita būsena, forma išraiška yra panaši į Anastasijos Novykh knygoje „Sensei IV“: adatos išdėstytas žinias“. Taip pat galimybė valdyti materialią Visatą per Stebėtojo įvestas transformacijas, valdant dimensijas, viršijančias šeštąją (nuo 7 iki 72 imtinai) (pranešimo „PAGRINDINĖ ALLATRA FIZIKA“ tema „Ezoosminis tinklelis“).

Grigorijus Perelmanas išsiskyrė gyvenimo griežtumu, etinių reikalavimų griežtumu tiek sau, tiek kitiems. Žvelgiant į jį, kyla jausmas, kad jis yra vienintelis kūno gyvena kaip ir visi kiti amžininkai erdvė, A Dvasiškai kitur, kur net už 1 milijoną dolerių nesiruošia pats "nekalčiausias" kompromisai su sąžine. O kokia čia erdvė ir ar galima į ją net pažvelgti akies krašteliu? ..

Išskirtinė hipotezės, kurią maždaug prieš šimtmetį iškėlė matematikas Puankarė, svarba yra susijusi su trimatėmis struktūromis. pagrindinis elementasšiuolaikiniai tyrimai visatos pagrindai. Ši mįslė, pasak Molio instituto ekspertų, yra viena iš septynių, iš esmės svarbių ateities matematikos raidai.

Perelmanas, atmesdamas medalius ir prizus, klausia: „Kam man jų reikia? Jie man visiškai nenaudingi. Visi supranta, kad jei įrodymas teisingas, tai kito pripažinimo nereikia. Kol nesukėlė įtarimų, turėjau rinktis: arba garsiai kalbėti apie visos matematikos bendruomenės iširimą dėl jos žemo moralinio lygio, arba nieko nesakyti ir leisti su jumis elgtis kaip su galvijais. Dabar, kai man pasidarė daugiau nei įtarus, negaliu likti galvijais ir toliau tylėti, todėl galiu tik išeiti.

Norint užsiimti šiuolaikine matematika, reikia turėti visiškai tyrą protą, be menkiausios priemaišos, kuri jį ardo, dezorientuoja, pakeičia vertybes, o priimti šį apdovanojimą reiškia parodyti silpnumą. Idealus mokslininkas užsiima tik mokslu, jam nerūpi niekas kitas (galia ir kapitalas), jis turi turėti tyrą protą, o Perelmanui nėra didesnės svarbos, kaip gyventi pagal šį idealą. Ar visa ši idėja su milijonais naudinga matematikai ir ar tikram mokslininkui reikia tokios paskatos? Ir šis kapitalo noras pirkti ir pavergti viską šiame pasaulyje nėra įžeidžiantis? Arba galite parduoti jo grynumas už milijoną? Pinigai, kad ir kiek jų būtų, yra lygiaverčiai Sielos tiesa? Juk mes susiduriame su a priori problemų, su kuriomis pinigai tiesiog neturėtų būti susiję, vertinimu, tiesa?! Padaryti iš viso to kažkuo panašų į loto milijoną ar totalizatorių, reiškia pasinerti į mokslo ir iš tikrųjų žmonių bendruomenė kaip visuma(Žr. pranešimą „PRIMORDIAL ALLATRA FIZIKA“ ir knygoje „AllatRa“ paskutinius 50 puslapių apie kūrybinės visuomenės kūrimo būdą). IR grynųjų pinigų(energija), kurią verslininkai pasiruošę paaukoti mokslui, jei reikia panaudoti, tada tai teisinga, ar dar ką nors, nežeminant Tikros tarnystės dvasia, kad ir ką sakytume, neįkainojamas piniginis ekvivalentas: „ Kas yra milijonas, palyginti, su grynumu, arba Didenybe tos sferos (apie pasaulinės visatos matmenis ir apie dvasinis pasaulisžiūrėti knygą"AllatRa" ir pranešti„PRIMORDIAL ALLATRA FIZIKA“), kuriame negalintis prasiskverbti net žmogus vaizduotė (protas)?! Kas yra milijonas Žvaigždėtas dangus laikui?

Pateikiame likusių hipotezės formulavimo terminų interpretaciją:

Topologija – (iš graikų topos – vieta ir logos – mokymas) – matematikos šaka, tirianti figūrų topologines savybes, t.y. savybės, kurios nekinta esant jokioms deformacijoms, atsiradusioms be nutrūkimų ir klijavimo (tiksliau, esant vienas prieš vieną ir ištisiniam kartografavimui). Topologinių figūrų savybių pavyzdžiai yra matmenys, kreivių, ribojančių tam tikrą plotą, skaičius ir pan. Taigi, apskritimas, elipsė, kvadrato kontūras turi tas pačias topologines savybes, nes šios linijos gali būti deformuojamos viena į kitą aukščiau aprašytu būdu; tuo pačiu žiedas ir apskritimas turi skirtingas topologines savybes: apskritimą riboja vienas kontūras, o žiedas – dviem.

Homeomorfizmas (gr. ομοιο – panašus, μορφη – forma) yra dviejų topologinių erdvių atitikmuo vienas su vienu, pagal kurį abu tarpusavyje atvirkštiniai šiuo atitikmeniu apibrėžti atvaizdai yra ištisiniai. Šie atvaizdai vadinami homeomorfiniais arba topologiniais atvaizdais, taip pat homeomorfizmais, o erdvės, kaip sakoma, priklauso tam pačiam topologiniam tipui, vadinamos homeomorfinėmis arba topologiškai ekvivalentiškomis.

Trimatis kolektorius be ribų. Tai toks geometrinis objektas, kuriame kiekvienas taškas turi kaimynystę trimačio rutulio pavidalu. 3 kolektorių pavyzdžiai yra, pirma, visa trimatė erdvė, žymima R3 , taip pat bet kokie atviri taškų rinkiniai R3 , pavyzdžiui, kietojo toro (spurgos) vidus. Jei laikytume uždarą kietąjį torą, t.y. Jei pridėsime jo ribinius taškus (toro paviršių), tai gausime kolektorius su riba - ribos taškai neturi apylinkių rutulio pavidalu, o tik rutulio pusės pavidalu.

Kietasis toras (kietasis toras) yra geometrinis kūnas, homeomorfinis dvimačio disko ir apskritimo sandaugai D2 * S1. Neoficialiai tvirtas toras yra spurga, o toras yra tik jo paviršius (tuščiavidurė rato kamera).

Tiesiog prijungtas. Tai reiškia, kad bet kuri ištisinė uždara kreivė, esanti tik tam tikrame kolektorius, gali būti sklandžiai sutraukta iki taško, nepaliekant šio kolektoriaus. Pavyzdžiui, įprasta dvimatė sfera R3 yra tiesiog sujungta (tamprioji juosta, savavališkai uždėta ant obuolio paviršiaus, gali būti sutraukta iki vieno taško dėl tolygios deformacijos, nepašalinant elastinės juostos nuo obuolio). Kita vertus, ratas ir toras nėra tiesiog sujungti.

Kompaktiška. Kolektorius yra kompaktiškas, jei bet kuris jo homeomorfinis vaizdas turi ribotus matmenis. Pavyzdžiui, atviras intervalas tiesėje (visi atkarpos taškai, išskyrus jos galus) nėra kompaktiškas, nes jį galima nuolat pratęsti iki begalinės linijos. Bet uždara atkarpa (su galais) yra kompaktiškas kolektorius su riba: esant bet kokiai nuolatinei deformacijai, galai eina į tam tikrus konkrečius taškus, o visa atkarpa turi eiti į apribotą kreivę, jungiančią šiuos taškus.

Tęsinys...

Ilnazas Bašarovas

Literatūra:

– Tarptautinio visuomeninio judėjimo ALLATRA tarptautinės mokslininkų grupės pranešimas „PRIMARY ALLATRA PHYSICS“, red. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Nauji. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Nauji. A., „Sensei-IV“, K.: LOTOS, 2013, 632 p. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergejus Dužinas, fizikos ir matematikos mokslų daktaras Sci., Rusijos mokslų akademijos Matematikos instituto Sankt Peterburgo filialo vyresnysis mokslo darbuotojas

Populiarus kategorijoje: