स्वर्णिम अनुपात कम्पास. फाइबोनैचि मार्कर और फर्नीचर निर्माण में इसका उपयोग

गतिशील आयतें

प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) को भी स्वर्णिम विभाजन का ज्ञान था। उनका संवाद "टाइमियस" पायथागॉरियन स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों और विशेष रूप से स्वर्णिम प्रभाग के मुद्दों के लिए समर्पित है।

पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान, कम्पास की खोज की गई थी जिसका उपयोग प्राचीन दुनिया के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कम्पास (नेपल्स में संग्रहालय) में भी स्वर्ण मंडल का अनुपात शामिल है।

प्राचीन स्वर्ण अनुपात कम्पास

प्राचीन साहित्य में जो हमारे सामने आया है, स्वर्णिम विभाजन का उल्लेख सबसे पहले यूक्लिड के तत्वों में किया गया था। "प्रिंसिपल्स" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, स्वर्ण मंडल का अध्ययन हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तृतीय शताब्दी ईस्वी) और अन्य द्वारा किया गया था। मध्ययुगीन यूरोप, सुनहरे विभाजन के साथ हम यूक्लिड के तत्वों के अरबी अनुवाद के माध्यम से मिले। नवरे (तृतीय शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणियाँ कीं। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को ईर्ष्यापूर्वक संरक्षित किया गया और सख्त गोपनीयता में रखा गया। वे केवल दीक्षार्थियों के लिए ही जाने जाते थे।

पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला, विशेषकर वास्तुकला दोनों में इसके उपयोग के कारण वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच स्वर्ण प्रभाग में रुचि बढ़ गई। एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारअनुभवजन्य अनुभव तो बहुत है, लेकिन ज्ञान बहुत कम है। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक किताब लिखना शुरू किया, लेकिन उसी समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक किताब सामने आई और लियोनार्डो ने अपना विचार त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक ज्योतिषी थे, जो फाइबोनैचि और गैलीलियो के बीच की अवधि में इटली के सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्की के छात्र थे, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम "ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग" था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व को भली-भांति समझते थे। 1496 में, ड्यूक ऑफ़ मोरो के निमंत्रण पर, वह मिलान आये, जहाँ उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान में मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पैसिओली की पुस्तक "द डिवाइन प्रोपोर्शन" शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ वेनिस में प्रकाशित हुई थी, यही कारण है कि यह माना जाता है कि वे लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाए गए थे। यह पुस्तक सुनहरे अनुपात का एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई फायदों के बीच, भिक्षु लुका पैसिओली इसके "दिव्य सार" को दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नामित करने से नहीं चूके - भगवान पुत्र, भगवान पिता और भगवान पवित्र आत्मा (यह निहित था कि छोटा) खंड ईश्वर पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड - ईश्वर पिता, और संपूर्ण खंड - पवित्र आत्मा का ईश्वर)।

लियोनार्डो दा विंची ने स्वर्ण मंडल के अध्ययन पर भी बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पंचकोणों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे प्रभाग में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। इसीलिए उन्होंने इस प्रभाग को यह नाम दिया सुनहरा अनुपात. इसलिए यह अभी भी सबसे लोकप्रिय बना हुआ है।

उसी समय, यूरोप के उत्तर में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। उन्होंने अनुपात पर ग्रंथ के पहले संस्करण का परिचय प्रस्तुत किया। ड्यूरर लिखते हैं. “यह आवश्यक है कि जो व्यक्ति कुछ करना जानता है, उसे इसे दूसरों को सिखाना चाहिए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैंने यही करने का निश्चय किया है।”

ड्यूरर के एक पत्र को देखते हुए, इटली में रहते हुए उनकी मुलाकात लुका पैसिओली से हुई। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। ड्यूरर ने अपने संबंधों की प्रणाली में सुनहरे वर्ग को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट की रेखा के साथ-साथ निचले हाथों की मध्य उंगलियों की युक्तियों, मुंह के चेहरे के निचले हिस्से आदि के माध्यम से खींची गई रेखा द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है। ड्यूरर का आनुपातिक दिशा सूचक यंत्र सर्वविदित है।

16वीं सदी के महान खगोलशास्त्री. जोहान्स केपलर ने सुनहरे अनुपात को ज्यामिति के खजानों में से एक कहा। वह वनस्पति विज्ञान (पौधों की वृद्धि और उनकी संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व की ओर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति थे।

केप्लर ने स्वर्णिम अनुपात को स्व-निरंतर कहा। "यह इस तरह से संरचित है," उन्होंने लिखा, "कि इस कभी न खत्म होने वाले अनुपात के दो सबसे निचले पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और किन्हीं दो अंतिम पदों को, यदि एक साथ जोड़ा जाए , अगला पद दीजिए और अनंत तक वही अनुपात बना रहेगा।"

स्वर्णिम अनुपात के खंडों की श्रृंखला का निर्माण वृद्धि की दिशा (बढ़ती श्रृंखला) और कमी की दिशा (अवरोही श्रृंखला) दोनों में किया जा सकता है।

यदि मनमानी लंबाई की सीधी रेखा पर है, तो खंड को अलग रख दें एम, खंड को इसके आगे रखें एम. इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं

स्वर्णिम अनुपात खंडों के पैमाने का निर्माण

प्राचीन काल से, लोग इस सवाल को लेकर चिंतित रहे हैं कि क्या सुंदरता और सद्भाव जैसी मायावी चीजें किसी गणितीय गणना के अधीन हैं। बेशक, सुंदरता के सभी नियमों को कुछ सूत्रों में समाहित नहीं किया जा सकता है, लेकिन गणित का अध्ययन करके, हम सुंदरता के कुछ घटकों - स्वर्णिम अनुपात - की खोज कर सकते हैं। हमारा कार्य यह पता लगाना है कि स्वर्णिम अनुपात क्या है और यह स्थापित करना है कि मानवता ने स्वर्णिम अनुपात का उपयोग कहां पाया है।

आपने शायद देखा होगा कि हम आस-पास की वास्तविकता की वस्तुओं और घटनाओं के साथ अलग-अलग व्यवहार करते हैं। होना एचशालीनता, ब्ला एचऔपचारिकता और असंगति को हम कुरूप मानते हैं और घृणित प्रभाव उत्पन्न करते हैं। और जिन वस्तुओं और घटनाओं की विशेषता अनुपात, समीचीनता और सामंजस्य है, उन्हें सुंदर माना जाता है और हममें प्रशंसा, खुशी की भावना पैदा होती है और हमारी आत्माओं को ऊपर उठाती है।

अपनी गतिविधियों में, एक व्यक्ति लगातार उन वस्तुओं का सामना करता है जो सुनहरे अनुपात पर आधारित होती हैं। ऐसी चीजें हैं जिन्हें समझाया नहीं जा सकता। तो आप एक खाली बेंच पर आएं और उस पर बैठ जाएं। कहाँ बैठोगे? बीच में? या शायद बिल्कुल किनारे से? नहीं, सबसे अधिक संभावना है, न तो कोई और न ही दूसरा। आप इस प्रकार बैठेंगे कि आपके शरीर के सापेक्ष बेंच के एक हिस्से का दूसरे हिस्से से अनुपात लगभग 1.62 हो। एक साधारण बात, बिल्कुल सहज... एक बेंच पर बैठकर, आपने "सुनहरा अनुपात" दोहराया।

स्वर्णिम अनुपात प्राचीन मिस्र और बेबीलोन, भारत और चीन में जाना जाता था। महान पाइथागोरस ने एक गुप्त विद्यालय बनाया जहाँ "सुनहरे अनुपात" के रहस्यमय सार का अध्ययन किया गया। यूक्लिड ने अपनी ज्यामिति बनाते समय इसका उपयोग किया, और फ़िडियास ने - अपनी अमर मूर्तियां बनाते समय। प्लेटो ने कहा कि ब्रह्माण्ड "सुनहरे अनुपात" के अनुसार व्यवस्थित है। अरस्तू ने "सुनहरे अनुपात" और नैतिक कानून के बीच एक पत्राचार पाया। "गोल्डन रेशियो" के उच्चतम सामंजस्य का प्रचार लियोनार्डो दा विंची और माइकल एंजेलो द्वारा किया जाएगा, क्योंकि सुंदरता और "गोल्डन रेशियो" एक ही चीज़ हैं। और ईसाई फकीर शैतान से भागते हुए अपने मठों की दीवारों पर "सुनहरे अनुपात" के पेंटाग्राम बनाएंगे। वहीं, पैसिओली से लेकर आइंस्टीन तक वैज्ञानिक खोज करेंगे, लेकिन इसका सटीक अर्थ कभी नहीं ढूंढ पाएंगे। होना एचदशमलव बिंदु के बाद अंतिम पंक्ति 1.6180339887 है... एक अजीब, रहस्यमय, अकथनीय चीज़ - यह दिव्य अनुपात रहस्यमय रूप से सभी जीवित चीजों के साथ है। निर्जीव प्रकृति नहीं जानती कि "सुनहरा अनुपात" क्या है। लेकिन आप निश्चित रूप से इस अनुपात को समुद्र के सीपियों की वक्रता में, और फूलों के आकार में, और भृंगों की उपस्थिति में, और सुंदर मानव शरीर में देखेंगे। हर जीवित चीज़ और हर चीज़ सुंदर - हर चीज़ ईश्वरीय नियम का पालन करती है, जिसका नाम "सुनहरा अनुपात" है। तो "सुनहरा अनुपात" क्या है? यह उत्तम, दिव्य संयोजन क्या है? शायद यही सुंदरता का नियम है? या वह अभी भी एक रहस्यमय रहस्य है? वैज्ञानिक घटना या नैतिक सिद्धांत? उत्तर अभी भी अज्ञात है. अधिक सटीक - नहीं, यह ज्ञात है। "गोल्डन रेशियो" दोनों है। केवल अलग-अलग नहीं, बल्कि एक साथ... और यही उसका सच्चा रहस्य है, उसका महान रहस्य है।

सौंदर्य के वस्तुनिष्ठ मूल्यांकन के लिए कोई विश्वसनीय माप ढूँढ़ना संभवतः कठिन है, और अकेले तर्क से यह काम नहीं होगा। हालाँकि, उन लोगों का अनुभव यहाँ मदद करेगा जिनके लिए सुंदरता की खोज ही जीवन का अर्थ थी, जिन्होंने इसे अपना पेशा बनाया। ये, सबसे पहले, कला के लोग हैं, जैसा कि हम उन्हें कहते हैं: कलाकार, वास्तुकार, मूर्तिकार, संगीतकार, लेखक। लेकिन ये सटीक विज्ञान के लोग भी हैं, मुख्यतः गणितज्ञ।

अन्य इंद्रियों की तुलना में आंख पर अधिक भरोसा करते हुए, मनुष्य ने सबसे पहले अपने आस-पास की वस्तुओं को उनके आकार से अलग करना सीखा। किसी वस्तु के आकार में रुचि महत्वपूर्ण आवश्यकता से निर्धारित हो सकती है, या यह आकार की सुंदरता के कारण हो सकती है। रूप, जो समरूपता और सुनहरे अनुपात के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। संपूर्ण में हमेशा कुछ हिस्से होते हैं, विभिन्न आकारों के हिस्से एक-दूसरे से और संपूर्ण से एक निश्चित संबंध में होते हैं। स्वर्णिम अनुपात का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है।

स्वर्ण अनुपात - हार्मोनिक अनुपात

गणित में, अनुपात दो अनुपातों की समानता है:

एक सीधी रेखा खंड AB को निम्नलिखित तरीकों से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:

• दो बराबर भागों में - AB:AC=AB:BC;
• किसी भी दृष्टि से दो असमान भागों में (ऐसे भाग अनुपात नहीं बनाते);
• इस प्रकार, जब AB:AC=AC:BC.

अन्तिम स्वर्णिम मण्डल (खण्ड) है।

स्वर्णिम अनुपात एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से संबंधित होता है क्योंकि बड़ा हिस्सा स्वयं छोटे से संबंधित होता है, दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े हिस्से से संबंधित होता है एक जितना बड़ा होता है, उतना ही समग्र होता है

a:b=b:c या c:b=b:a.

स्वर्णिम अनुपात की ज्यामितीय छवि

सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कंपास और रूलर का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है।

सुनहरे अनुपात का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को विभाजित करना। बीसी=1/2एबी; सीडी=बीसी

बिंदु B से आधे AB के बराबर एक लंब डाला जाता है। परिणामी बिंदु C, बिंदु A से एक रेखा द्वारा जुड़ा हुआ है। परिणामी रेखा पर, एक खंड BC रखा गया है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को सीधी रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E खंड AB को सुनहरे अनुपात में विभाजित करता है।

स्वर्णिम अनुपात के खंड बिना व्यक्त किए गए हैं एचअंतिम अंश AE=0.618..., यदि AB को एक के रूप में लिया जाता है, तो BE=0.382... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मान अक्सर उपयोग किए जाते हैं। यदि खंड AB को 100 भागों का माना जाए, तो खंड का बड़ा भाग 62 भागों के बराबर है, और छोटा भाग 38 भागों के बराबर है।

सुनहरे अनुपात के गुणों को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

इस समीकरण का हल:

सुनहरे अनुपात के गुणों ने इस संख्या के चारों ओर रहस्य की एक रोमांटिक आभा और लगभग एक रहस्यमय पीढ़ी बनाई है। उदाहरण के लिए, एक नियमित पांच-नक्षत्र वाले तारे में, प्रत्येक खंड को सुनहरे अनुपात के अनुपात में इसे प्रतिच्छेद करने वाले खंड द्वारा विभाजित किया जाता है (यानी, नीले खंड का हरा, लाल से नीला, हरे से बैंगनी का अनुपात 1.618 है) .

दूसरा स्वर्णिम अनुपात

यह अनुपात वास्तुकला में पाया जाता है।

दूसरे स्वर्णिम अनुपात का निर्माण

विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। खंड AB को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित किया गया है। बिंदु C से, एक लंबवत CD पुनर्स्थापित की जाती है। त्रिज्या AB बिंदु D है, जो एक रेखा द्वारा बिंदु A से जुड़ा है। समकोण ACD आधे में विभाजित है। बिंदु C से रेखा AD वाले प्रतिच्छेदन तक एक रेखा खींची गई है। बिंदु E खंड AD को 56:44 के अनुपात में विभाजित करता है।

एक आयत को दूसरे सुनहरे अनुपात की रेखा से विभाजित करना

यह चित्र दूसरे स्वर्णिम अनुपात की रेखा की स्थिति दर्शाता है। यह स्वर्ण अनुपात रेखा और आयत की मध्य रेखा के बीच में स्थित है।

स्वर्ण त्रिभुज (पेंटाग्राम)

आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंड खोजने के लिए, आप पेंटाग्राम का उपयोग कर सकते हैं।

एक नियमित पंचकोण और पंचग्राम का निर्माण

पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको एक नियमित पेंटागन बनाने की आवश्यकता है। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर द्वारा विकसित की गई थी। मान लीजिए कि O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्यबिंदु है। त्रिज्या OA का लम्ब, बिंदु O पर पुनर्स्थापित, बिंदु D पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है। कम्पास का उपयोग करके, व्यास पर खंड CE=ED को आलेखित करें। एक वृत्त में अंकित नियमित पंचभुज की भुजा की लंबाई DC के बराबर होती है। हम खंड DC को वृत्त पर आलेखित करते हैं और एक नियमित पंचभुज बनाने के लिए पाँच बिंदु प्राप्त करते हैं। हम पेंटागन के कोनों को विकर्णों के माध्यम से एक दूसरे से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचभुज के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं।

पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी भुजाएं शीर्ष पर 36 0 का कोण बनाती हैं और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है।

हम सीधा AB बनाते हैं। बिंदु A से हम उस पर मनमाने आकार का एक खंड O तीन बार बिछाते हैं, परिणामी बिंदु P के माध्यम से हम रेखा AB पर एक लंब खींचते हैं, बिंदु P के दाएं और बाएं लंबवत पर हम खंड O बिछाते हैं। परिणामी बिंदुओं d और d 1 को बिंदु A से सीधी रेखाओं से जोड़ें। खंड dd 1 को हम बिंदु C प्राप्त करते हुए रेखा Ad 1 पर रखते हैं। इसने रेखा Ad 1 को सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित किया है। पंक्तियाँ विज्ञापन 1 और dd 1 का उपयोग "सुनहरा" आयत बनाने के लिए किया जाता है।

स्वर्ण त्रिभुज का निर्माण

स्वर्णिम अनुपात का इतिहास

दरअसल, तूतनखामुन की कब्र से चेप्स पिरामिड, मंदिरों, घरेलू सामानों और गहनों के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का उपयोग किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर ने पाया कि एबिडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर की राहत और फिरौन रामसेस को चित्रित करने वाली राहत में, आंकड़ों का अनुपात स्वर्ण प्रभाग के मूल्यों के अनुरूप है। वास्तुकार खेसिरा को उनके नाम पर बने मकबरे के एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित किया गया है, उनके हाथों में मापने के उपकरण हैं जिनमें सुनहरे विभाजन के अनुपात दर्ज किए गए हैं।

यूनानी कुशल ज्यामितिक थे। उन्होंने ज्यामितीय आकृतियों का उपयोग करके अपने बच्चों को अंकगणित भी सिखाया। पाइथागोरस वर्ग और इस वर्ग का विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार थे।

गतिशील आयतें

प्लेटो को स्वर्णिम विभाजन का भी ज्ञान था। प्लेटो के इसी नाम के संवाद में पाइथागोरस टिमियस कहता है: “दो चीजों का किसी तीसरे के बिना पूरी तरह से एकजुट होना असंभव है, क्योंकि उनके बीच एक ऐसी चीज अवश्य प्रकट होनी चाहिए जो उन्हें एक साथ रखे। इसे अनुपात द्वारा सर्वोत्तम रूप से पूरा किया जा सकता है, क्योंकि यदि तीन संख्याओं में यह गुण है कि औसत जितना छोटा है, उतना ही बड़ा औसत से बड़ा है, और, इसके विपरीत, औसत से कम, औसत से बड़ा है, तो फिर बाद वाला और पहला औसत होगा, और औसत - पहला और आखिरी होगा। इस प्रकार, सभी आवश्यक चीजें समान होंगी, और चूंकि यह वही होगी, इससे संपूर्ण का निर्माण होगा।'' सांसारिक संसारप्लेटो दो प्रकार के त्रिभुजों का उपयोग करके निर्माण करता है: समद्विबाहु और गैर-समद्विबाहु। सबसे सुंदर सही त्रिकोणवह उस पर विचार करता है जिसमें कर्ण पैरों के छोटे से दोगुना बड़ा होता है (ऐसा आयत बेबीलोनियों के समबाहु, मूल आकृति का आधा होता है, इसका अनुपात 1: 3 1/2 होता है, जो सुनहरे से भिन्न होता है) अनुपात लगभग 1/25 है, और टिमरडिंग द्वारा इसे "स्वर्णिम खंडों का प्रतिद्वंद्वी" कहा जाता है)। त्रिकोणों का उपयोग करते हुए, प्लेटो ने चार नियमित पॉलीहेड्रा का निर्माण किया, उन्हें चार सांसारिक तत्वों (पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि) के साथ जोड़ा। और पांच मौजूदा नियमित पॉलीहेड्रा में से केवल अंतिम - डोडेकेहेड्रॉन, जिनमें से सभी बारह नियमित पेंटागन हैं, आकाशीय दुनिया की एक प्रतीकात्मक छवि होने का दावा करते हैं।

इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन

डोडेकाहेड्रोन (या, जैसा कि माना जाता था, स्वयं ब्रह्मांड, चार तत्वों की यह सर्वोत्कृष्टता, जिसे क्रमशः टेट्राहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन और क्यूब द्वारा दर्शाया गया है) की खोज का सम्मान हिप्पासस को है, जो बाद में एक जहाज़ दुर्घटना में मर गया। यह आंकड़ा वास्तव में सुनहरे अनुपात के कई रिश्तों को दर्शाता है, इसलिए बाद वाले को सौंपा गया था मुख्य भूमिकास्वर्गीय दुनिया में, जिस पर बाद में भाई माइनर लुका पैसिओली ने जोर दिया।

पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान, कम्पास की खोज की गई थी जिसका उपयोग प्राचीन दुनिया के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कम्पास (नेपल्स में संग्रहालय) में भी स्वर्ण मंडल का अनुपात शामिल है।

प्राचीन स्वर्ण अनुपात कम्पास

प्राचीन साहित्य में जो हमारे सामने आया है, स्वर्णिम विभाजन का उल्लेख सबसे पहले यूक्लिड के तत्वों में किया गया था। एलिमेंट्स की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का एक ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, स्वर्ण प्रभाग का अध्ययन हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) और अन्य द्वारा किया गया था। मध्ययुगीन यूरोप में, वे यूक्लिड के तत्वों के अरबी अनुवाद के माध्यम से स्वर्ण प्रभाग से परिचित हुए। नवरे (तृतीय शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणियाँ कीं। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को ईर्ष्यापूर्वक संरक्षित किया गया और सख्त गोपनीयता में रखा गया। वे केवल दीक्षार्थियों के लिए ही जाने जाते थे।

मध्य युग में, पेंटाग्राम को राक्षसी बना दिया गया था (वास्तव में, प्राचीन बुतपरस्ती में इसे दिव्य माना जाता था) और इसे गुप्त विज्ञान में आश्रय मिला। हालाँकि, पुनर्जागरण फिर से पेंटाग्राम और सुनहरे अनुपात दोनों को प्रकाश में लाता है। इस प्रकार, मानवतावाद की स्थापना की उस अवधि के दौरान, मानव शरीर की संरचना का वर्णन करने वाला एक आरेख व्यापक हो गया।

लियोनार्डो दा विंची ने भी बार-बार ऐसी तस्वीर का सहारा लिया, जो अनिवार्य रूप से एक पेंटाग्राम का पुनरुत्पादन था। उनकी व्याख्या: मानव शरीर में दिव्य पूर्णता है, क्योंकि इसमें निहित अनुपात मुख्य स्वर्गीय आकृति के समान हैं। एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास अनुभवजन्य अनुभव तो बहुत था, लेकिन ज्ञान बहुत कम था। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक किताब लिखना शुरू किया, लेकिन उसी समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक किताब सामने आई और लियोनार्डो ने अपना विचार त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक ज्योतिषी थे, जो फाइबोनैचि और गैलीलियो के बीच की अवधि में इटली के सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्की के छात्र थे, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम "ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग" था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व को भली-भांति समझते थे।

1496 में, ड्यूक मोरो के निमंत्रण पर, वह मिलान आये, जहाँ उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान में मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पैसिओली की पुस्तक "ऑन द डिवाइन प्रोपोर्शन" (डी डिविना प्रोपोर्शन, 1497, वेनिस में 1509 में प्रकाशित) शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ वेनिस में प्रकाशित हुई थी, यही कारण है कि यह माना जाता है कि वे लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाए गए थे। यह पुस्तक सुनहरे अनुपात का एक उत्साही भजन थी। ऐसा केवल एक ही अनुपात है, और विशिष्टता ईश्वर की सर्वोच्च संपत्ति है। यह पवित्र त्रिमूर्ति का प्रतीक है। यह अनुपात एक सुलभ संख्या में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, छिपा हुआ और गुप्त रहता है और स्वयं गणितज्ञों द्वारा इसे तर्कहीन कहा जाता है (जैसे भगवान को शब्दों में परिभाषित या समझाया नहीं जा सकता है)। भगवान कभी नहीं बदलता है और हर चीज में हर चीज और उसके प्रत्येक हिस्से में हर चीज का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए किसी भी निरंतर और निश्चित मात्रा (चाहे वह बड़ी या छोटी हो) के लिए सुनहरा अनुपात समान है, न तो बदला जा सकता है और न ही बदला जा सकता है। अन्यथा माना जाता है कारण। ईश्वर ने स्वर्गीय सद्गुण को अस्तित्व में लाया, अन्यथा इसे पाँचवाँ पदार्थ कहा जाता है, इसकी मदद से और चार अन्य सरल निकायों (चार तत्व - पृथ्वी, जल, वायु, अग्नि) को अस्तित्व में लाया, और उनके आधार पर प्रकृति में हर दूसरी चीज़ को अस्तित्व में बुलाया; इसलिए टिमियस में प्लेटो के अनुसार, हमारा पवित्र अनुपात, आकाश को औपचारिक अस्तित्व देता है, क्योंकि इसे डोडेकाहेड्रोन नामक एक पिंड की उपस्थिति के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जिसका निर्माण सुनहरे अनुपात के बिना नहीं किया जा सकता है। ये पैसिओली के तर्क हैं।

लियोनार्डो दा विंची ने स्वर्ण मंडल के अध्ययन पर भी बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पंचकोणों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे प्रभाग में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। अत: उन्होंने इस विभाजन को स्वर्णिम अनुपात नाम दिया। इसलिए यह अभी भी सबसे लोकप्रिय बना हुआ है।

उसी समय, यूरोप के उत्तर में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। उन्होंने अनुपात पर ग्रंथ के पहले संस्करण का परिचय प्रस्तुत किया। ड्यूरर लिखते हैं: “यह आवश्यक है कि जो व्यक्ति कुछ करना जानता है, उसे इसे दूसरों को सिखाना चाहिए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैंने यही करने का निश्चय किया है।”

ड्यूरर के एक पत्र को देखते हुए, इटली में रहते हुए उनकी मुलाकात लुका पैसिओली से हुई। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। ड्यूरर ने अपने संबंधों की प्रणाली में सुनहरे वर्ग को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट की रेखा के साथ-साथ निचले हाथों की मध्य उंगलियों की युक्तियों, मुंह के चेहरे के निचले हिस्से आदि के माध्यम से खींची गई रेखा द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है। ड्यूरर का आनुपातिक दिशा सूचक यंत्र सर्वविदित है।

16वीं सदी के महान खगोलशास्त्री. जोहान्स केपलर ने सुनहरे अनुपात को ज्यामिति के खजानों में से एक कहा। वह वनस्पति विज्ञान (पौधों की वृद्धि और उनकी संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व की ओर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति थे।

केपलर ने स्वर्णिम अनुपात को स्व-निरंतर कहा। "यह इस तरह से संरचित है," उन्होंने लिखा, "कि इस अनंत अनुपात के दो सबसे निचले पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम पद, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो देते हैं अगला पद, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है।"

स्वर्णिम अनुपात के खंडों की श्रृंखला का निर्माण वृद्धि की दिशा (बढ़ती श्रृंखला) और कमी की दिशा (अवरोही श्रृंखला) दोनों में किया जा सकता है।

यदि मनमानी लंबाई की सीधी रेखा पर है, तो खंड को अलग रख दें एम , खंड को इसके आगे रखें एम . इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं।

स्वर्णिम अनुपात खंडों के पैमाने का निर्माण

बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात का नियम एक अकादमिक सिद्धांत में बदल गया, और जब, समय के साथ, कला में अकादमिक दिनचर्या के खिलाफ संघर्ष शुरू हुआ, तो संघर्ष की गर्मी में "उन्होंने बच्चे को स्नान के पानी से बाहर फेंक दिया।" सुनहरे अनुपात को "फिर से खोजा गया" था मध्य 19 वींवी

1855 में, सुनहरे अनुपात के जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम "एस्थेटिक स्टडीज़" प्रकाशित किया। ज़ीसिंग के साथ जो हुआ वह बिल्कुल वैसा ही था जैसा एक शोधकर्ता के साथ अनिवार्य रूप से होना चाहिए जो अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना किसी घटना को वैसा ही मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए, सुनहरे खंड के अनुपात को निरपेक्ष कर दिया। ज़ीसिंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के उनके सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया था।

ज़ीसिंग ने जबरदस्त काम किया। उसने लगभग दो हजार की माप की मानव शरीरऔर इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि स्वर्णिम अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन स्वर्णिम अनुपात का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है। पुरुष शरीर का अनुपात 13:8 = 1.625 के औसत अनुपात के भीतर उतार-चढ़ाव करता है और अनुपात की तुलना में कुछ हद तक सुनहरे अनुपात के करीब है महिला शरीर, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मान 8:5 = 1.6 के अनुपात में व्यक्त किया जाता है। नवजात शिशु में, अनुपात 1:1 होता है; 13 वर्ष की आयु तक यह 1.6 होता है, और 21 वर्ष की आयु तक यह एक पुरुष के बराबर होता है। सुनहरे अनुपात का अनुपात शरीर के अन्य हिस्सों के संबंध में भी दिखाई देता है - कंधे की लंबाई, अग्रबाहु और हाथ, हाथ और उंगलियां, आदि।

ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को सबसे अधिक विस्तार से विकसित किया। यूनानी फूलदानों की जांच की गई है स्थापत्य संरचनाएँविभिन्न युग, पौधे, जानवर, पक्षियों के अंडे, संगीत के स्वर, काव्यात्मक छंद। ज़ीसिंग ने सुनहरे अनुपात की एक परिभाषा दी और दिखाया कि इसे सीधी रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाली संख्याएं प्राप्त की गईं, तो ज़ीसिंग ने देखा कि उन्होंने एक फाइबोनैचि श्रृंखला का गठन किया, जिसे एक दिशा या दूसरे में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक का शीर्षक था "द गोल्डन डिवीजन एज़ द बेसिक मॉर्फोलॉजिकल लॉ इन नेचर एंड आर्ट।" 1876 ​​में, ज़ीसिंग के इस काम को रेखांकित करने वाली एक छोटी सी किताब, लगभग एक ब्रोशर, रूस में प्रकाशित हुई थी। लेखक ने प्रारंभिक यू.एफ.वी. के तहत शरण ली। इस संस्करण में चित्रकला के एक भी कार्य का उल्लेख नहीं है।

में देर से XIX- 20 वीं सदी के प्रारंभ में कला और वास्तुकला के कार्यों में सुनहरे अनुपात के उपयोग के बारे में कई विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिज़ाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम कारों, फर्नीचर आदि के डिज़ाइन तक फैल गया।

स्वर्णिम अनुपात और समरूपता

समरूपता के संबंध के बिना, स्वर्णिम अनुपात पर अलग से विचार नहीं किया जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वुल्फ (1863-1925) ने सुनहरे अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना।

सुनहरा विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। के अनुसार आधुनिक विचारस्वर्णिम विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में स्थिर और गतिशील समरूपता जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं। स्थैतिक समरूपता शांति और संतुलन की विशेषता है, जबकि गतिशील समरूपता गति और विकास की विशेषता है। इस प्रकार, प्रकृति में, स्थिर समरूपता क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शायी जाती है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, गति, विकास, लय की विशेषता बताती है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थैतिक समरूपता समान खंडों और समान मूल्यों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और इसे बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त किया जाता है।

फाइबोनैचि श्रृंखला

पिसा के इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है, अप्रत्यक्ष रूप से सुनहरे अनुपात के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बड़े पैमाने पर यात्रा की और यूरोप में अरबी अंकों का परिचय कराया। 1202 में, उनका गणितीय कार्य "द बुक ऑफ़ द अबेकस" (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया था।

संख्याओं की एक श्रृंखला 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसका प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो के योग के बराबर है 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34, आदि, और श्रृंखला में आसन्न संख्याओं का अनुपात स्वर्णिम विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है। तो, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। इस अनुपात को प्रतीक एफ द्वारा दर्शाया जाता है। केवल यह अनुपात - 0.618:0.382 - एक सीधी रेखा खंड का सुनहरे अनुपात में निरंतर विभाजन देता है, इसे बढ़ाता है या इसे अनंत तक घटाता है, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है जो बड़ा है वह संपूर्ण है।

जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है, प्रत्येक उंगली के जोड़ की लंबाई अनुपात एफ द्वारा अगले जोड़ की लंबाई से संबंधित होती है। समान संबंध सभी उंगलियों और पैर की उंगलियों में दिखाई देता है। यह संबंध किसी तरह असामान्य है, क्योंकि एक उंगली बिना किसी दृश्यमान पैटर्न के दूसरे से लंबी है, लेकिन यह आकस्मिक नहीं है, जैसे मानव शरीर में सब कुछ आकस्मिक नहीं है। अंगुलियों पर ए से बी, सी से डी से ई तक चिह्नित दूरियां, सभी अनुपात एफ से एक दूसरे से संबंधित हैं, जैसे एफ से जी से एच तक उंगलियों के फालेंज हैं।

इस मेंढक के कंकाल पर एक नज़र डालें और देखें कि कैसे प्रत्येक हड्डी मानव शरीर की तरह एफ अनुपात पैटर्न में फिट बैठती है।

सामान्यीकृत स्वर्ण अनुपात

वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू. मटियासेविच फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हिल्बर्ट की 10वीं समस्या को हल करता है। फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, गेम, प्रोग्रामिंग) को हल करने के तरीके उभर रहे हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।

इस क्षेत्र में उपलब्धियों में से एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि संख्या और सामान्यीकृत सुनहरे अनुपात की खोज है।

उनके द्वारा खोजी गई फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और वजन 1, 2, 4, 8 की "बाइनरी" श्रृंखला, पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उनके निर्माण के लिए एल्गोरिदम एक-दूसरे से बहुत मिलते-जुलते हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या का योग है, जिसका स्वयं 2=1+1 है; 4=2+2..., दूसरे में - यह पिछली दो संख्याओं का योग है 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... क्या सामान्य गणितीय खोजना संभव है वह सूत्र जिससे “बाइनरी »श्रृंखला, और फाइबोनैचि श्रृंखला? या शायद यह सूत्र हमें नए संख्यात्मक सेट देगा जिनमें कुछ नए अद्वितीय गुण होंगे?

वास्तव में, आइए हम एक संख्यात्मक पैरामीटर S को परिभाषित करें, जो कोई भी मान ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5... एक संख्या श्रृंखला, S+1 पर विचार करें, जिसके पहले पद एक हैं, और प्रत्येक अगला वाला पिछले वाले के दो पदों के योग के बराबर है और पिछले वाले से S चरणों द्वारा अलग किया गया है। यदि हम इस श्रृंखला के nवें पद को किससे निरूपित करें? एस (एन), तो हमें सामान्य सूत्र मिलता है? एस(एन)=? एस(एन-1)+? एस(एन-एस-1).

यह स्पष्ट है कि इस सूत्र से S=0 के साथ हम एक "बाइनरी" श्रृंखला प्राप्त करेंगे, S=1 के साथ - फाइबोनैचि श्रृंखला, S=2, 3, 4 के साथ संख्याओं की नई श्रृंखला, जिन्हें S-फाइबोनैचि संख्या कहा जाता है .

में सामान्य रूप से देखेंस्वर्णिम एस-अनुपात स्वर्णिम एस-अनुपात x S+1 -x S -1=0 के समीकरण का सकारात्मक मूल है।

यह दिखाना आसान है कि जब S = 0 खंड आधे में विभाजित होता है, और जब S = 1 होता है तो परिचित शास्त्रीय सुनहरा अनुपात प्राप्त होता है।

पड़ोसी फाइबोनैचि एस-संख्याओं के अनुपात सुनहरे एस-अनुपात के साथ सीमा में पूर्ण गणितीय सटीकता के साथ मेल खाते हैं! ऐसे मामलों में गणितज्ञों का कहना है कि स्वर्ण एस-अनुपात फाइबोनैचि एस-संख्याओं के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं।

प्रकृति में सुनहरे एस-सेक्शन के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. द्वारा दिए गए हैं। सोरोको की पुस्तक "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984)। उदाहरण के लिए, यह पता चला है कि अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, स्पष्ट कार्यात्मक गुण (थर्मल स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण के प्रतिरोधी, आदि) होते हैं, यदि मूल घटकों की विशिष्ट गंभीरता एक दूसरे से संबंधित होती है सुनहरे एस-अनुपात से एक-एक करके। इसने लेखक को इस परिकल्पना को आगे बढ़ाने की अनुमति दी कि सुनहरे एस-सेक्शन स्व-संगठित प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। एक बार प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि हो जाने पर, यह परिकल्पना सहक्रिया विज्ञान के विकास के लिए मौलिक महत्व की हो सकती है - विज्ञान का एक नया क्षेत्र जो स्व-संगठित प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है।

सुनहरे एस-अनुपात कोड का उपयोग करके, आप किसी भी वास्तविक संख्या को पूर्णांक गुणांक के साथ सुनहरे एस-अनुपात की शक्तियों के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

संख्याओं को एन्कोड करने की इस पद्धति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नए कोड के आधार, जो सुनहरे एस-अनुपात हैं, एस> 0 होने पर अपरिमेय संख्या बन जाते हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणालियाँ तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के ऐतिहासिक रूप से स्थापित पदानुक्रम को "सिर से पैर तक" रखती प्रतीत होती हैं। तथ्य यह है कि प्राकृतिक संख्याओं की सबसे पहले "खोज" की गई थी; तो उनके अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं। और केवल बाद में, पाइथागोरस द्वारा असंगत खंडों की खोज के बाद, अपरिमेय संख्याओं का जन्म हुआ। उदाहरण के लिए, दशमलव, क्विनरी, बाइनरी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याओं को एक प्रकार के मौलिक सिद्धांत के रूप में चुना गया था: 10, 5, 2, जिसमें से, कुछ नियमों के अनुसार, अन्य सभी प्राकृतिक संख्याएँ, साथ ही तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं का निर्माण किया गया।

एक प्रकार का विकल्प मौजूदा तरीकेअंकन एक नई, अपरिमेय प्रणाली है, जिसमें एक अपरिमेय संख्या (जो, हम याद करते हैं, स्वर्णिम अनुपात समीकरण की जड़ है) को अंकन की शुरुआत के मूल आधार के रूप में चुना जाता है; अन्य वास्तविक संख्याएँ इसके माध्यम से पहले से ही व्यक्त की जाती हैं।

ऐसी संख्या प्रणाली में, किसी भी प्राकृतिक संख्या को हमेशा परिमित के रूप में दर्शाया जा सकता है - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! - स्वर्ण एस-अनुपात में से किसी की शक्तियों का योग। यही एक कारण है कि आश्चर्यजनक गणितीय सरलता और लालित्य से भरपूर "तर्कहीन" अंकगणित ने इसे आत्मसात कर लिया है। सर्वोत्तम गुणशास्त्रीय बाइनरी और फाइबोनैचि अंकगणित।

प्रकृति में स्वरूप निर्माण के सिद्धांत

हर चीज़ जो किसी न किसी रूप में बनी, बनी, बढ़ी, अंतरिक्ष में जगह बनाने और खुद को संरक्षित करने की कोशिश की। यह इच्छा मुख्य रूप से दो तरीकों से साकार होती है: ऊपर की ओर बढ़ना या पृथ्वी की सतह पर फैलना और सर्पिल में घूमना।

खोल एक सर्पिल में मुड़ा हुआ है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी छोटी लंबाई मिलती है। एक छोटे दस-सेंटीमीटर खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल प्रकृति में बहुत आम हैं। सर्पिल के बारे में बात किए बिना स्वर्णिम अनुपात का विचार अधूरा होगा।

सर्पिलाकार घुंघराले खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल का समीकरण निकाला। इस समीकरण के अनुसार खींचे गए सर्पिल को उनके नाम से पुकारा जाता है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज़ सर्पिल का व्यापक रूप से प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है।

गोएथे ने प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर भी जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की पेचदार और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले ही देखी गई थी।

सर्पिल को सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि की व्यवस्था में देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि फाइबोनैचि श्रृंखला एक शाखा (फाइलोटैक्सिस), सूरजमुखी के बीज और पाइन शंकु पर पत्तियों की व्यवस्था में प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे अनुपात का नियम स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपना जाल सर्पिल आकार में बुनती है। एक तूफान सर्पिल की तरह घूम रहा है। हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में बिखर जाता है। डीएनए अणु एक दोहरे हेलिक्स में मुड़ा हुआ है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।

मैंडेलब्रॉट श्रृंखला

गोल्डन स्पाइरल का चक्रों से गहरा संबंध है। आधुनिक अराजकता विज्ञान फीडबैक और उनके द्वारा उत्पन्न भग्न आकृतियों के साथ सरल चक्रीय संचालन का अध्ययन करता है, जो पहले अज्ञात थे। चित्र प्रसिद्ध मैंडेलब्रॉट श्रृंखला को दर्शाता है - शब्दकोश का एक पृष्ठ एचव्यक्तिगत पैटर्न के अंग जिन्हें जूलियन श्रृंखला कहा जाता है। कुछ वैज्ञानिक मैंडेलब्रॉट श्रृंखला को इससे जोड़ते हैं जेनेटिक कोडकोशिका केन्द्रक. अनुभागों में लगातार वृद्धि से भग्न का पता चलता है जो अपनी कलात्मक जटिलता में अद्भुत हैं। और यहाँ भी, लघुगणकीय सर्पिल हैं! यह और भी अधिक महत्वपूर्ण है क्योंकि मैंडेलब्रॉट श्रृंखला और जूलियन श्रृंखला दोनों आविष्कार नहीं हैं मानव मस्तिष्क. वे प्लेटो के प्रोटोटाइप के क्षेत्र से उत्पन्न होते हैं. जैसा कि डॉक्टर आर. पेनरोज़ ने कहा, "वे माउंट एवरेस्ट की तरह हैं।"

सड़क किनारे जड़ी-बूटियों के बीच एक अनोखा पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इस पर करीब से नज़र डालें। मुख्य तने से एक अंकुर बन गया है। पहला पत्ता वहीं स्थित था।

प्ररोह अंतरिक्ष में एक मजबूत निष्कासन करता है, रुकता है, एक पत्ती छोड़ता है, लेकिन यह समय पहले की तुलना में कम होता है, फिर से अंतरिक्ष में एक निष्कासन करता है, लेकिन कम बल के साथ, और भी छोटे आकार की एक पत्ती छोड़ता है और फिर से बाहर निकल जाता है।

यदि पहला उत्सर्जन 100 यूनिट माना जाए, तो दूसरा 62 यूनिट, तीसरा 38, चौथा 24 यूनिट आदि के बराबर होता है। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास और अंतरिक्ष की विजय में, पौधे ने कुछ निश्चित अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग सुनहरे अनुपात के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते गए।

कासनी

कई तितलियों में, शरीर के वक्ष और पेट के हिस्सों के आकार का अनुपात सुनहरे अनुपात से मेल खाता है। अपने पंखों को मोड़कर, कीट एक नियमित समबाहु त्रिभुज बनाता है। लेकिन यदि आप अपने पंख फैलाते हैं, तो आपको शरीर को 2, 3, 5, 8 में विभाजित करने का वही सिद्धांत दिखाई देगा। ड्रैगनफ्लाई भी सुनहरे अनुपात के नियमों के अनुसार बनाई गई है: पूंछ और शरीर की लंबाई का अनुपात कुल लंबाई और पूंछ की लंबाई के अनुपात के बराबर है।

पहली नज़र में, छिपकली का अनुपात हमारी आंखों को भाता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई से 62 से 38 तक संबंधित होती है।

विविपेरस छिपकली

पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की रचनात्मक प्रवृत्ति लगातार टूटती रहती है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां सुनहरा अनुपात विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में दिखाई देता है।

प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपातों में किया है। भाग संपूर्ण संरचना की पुनरावृत्ति को प्रकट करते हैं।

पक्षियों के अंडों के आकार का अध्ययन बहुत रुचिकर है। उनके विभिन्न रूप दो चरम प्रकारों के बीच उतार-चढ़ाव करते हैं: उनमें से एक को सुनहरे अनुपात के आयत में अंकित किया जा सकता है, दूसरे को 1.272 के मापांक (सुनहरे अनुपात की जड़) के साथ एक आयत में अंकित किया जा सकता है।

पक्षी के अंडों की ऐसी आकृतियाँ आकस्मिक नहीं हैं, क्योंकि अब यह स्थापित हो गया है कि सुनहरे अनुपात अनुपात द्वारा वर्णित अंडों का आकार अंडे के छिलके की उच्च शक्ति विशेषताओं से मेल खाता है।

हाथियों और विलुप्त मैमथों के दाँत, शेरों के पंजे और तोते की चोंच आकार में लघुगणकीय हैं और एक धुरी के आकार से मिलती जुलती हैं जो एक सर्पिल में बदल जाती है।

जीवित प्रकृति में, "पंचकोणीय" समरूपता पर आधारित रूप व्यापक हैं (स्टारफिश, समुद्री अर्चिन, फूल)।

सुनहरा अनुपात सभी क्रिस्टल की संरचना में मौजूद होता है, लेकिन अधिकांश क्रिस्टल सूक्ष्म रूप से छोटे होते हैं, इसलिए हम उन्हें नग्न आंखों से नहीं देख सकते हैं। हालाँकि, बर्फ के टुकड़े, जो पानी के क्रिस्टल भी हैं, हमारी आँखों को स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं। बर्फ के टुकड़े बनाने वाली सभी उत्कृष्ट सुंदर आकृतियाँ, बर्फ के टुकड़े में सभी अक्ष, वृत्त और ज्यामितीय आकृतियाँ भी, बिना किसी अपवाद के, हमेशा सुनहरे अनुपात के पूर्ण स्पष्ट सूत्र के अनुसार बनाई जाती हैं।

सूक्ष्म जगत में, सुनहरे अनुपात के अनुसार निर्मित त्रि-आयामी लघुगणकीय रूप सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए, कई वायरस में एक इकोसाहेड्रोन का त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार होता है। शायद इनमें से सबसे प्रसिद्ध वायरस एडेनो वायरस है। एडेनो वायरस का प्रोटीन खोल एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित 252 इकाइयों प्रोटीन कोशिकाओं से बनता है। इकोसाहेड्रोन के प्रत्येक कोने पर पंचकोणीय प्रिज्म के आकार में प्रोटीन कोशिकाओं की 12 इकाइयाँ होती हैं, और रीढ़ जैसी संरचनाएँ इन कोनों से फैली होती हैं।

एडेनो वायरस

वायरस की संरचना में स्वर्णिम अनुपात पहली बार 1950 के दशक में खोजा गया था। बिर्कबेक कॉलेज लंदन के वैज्ञानिक ए. क्लुग और डी. कास्पर। पॉलीओ वायरस लघुगणकीय रूप प्रदर्शित करने वाला पहला वायरस था। इस वायरस का आकार राइनो वायरस के समान पाया गया।

सवाल उठता है: वायरस ऐसे जटिल त्रि-आयामी रूप कैसे बनाते हैं, जिनकी संरचना में स्वर्णिम अनुपात होता है, जिसे हमारे मानव दिमाग से भी बनाना काफी मुश्किल होता है? वायरस के इन रूपों के खोजकर्ता, वायरोलॉजिस्ट ए. क्लुग, निम्नलिखित टिप्पणी देते हैं: “डॉ. कास्पर और मैंने दिखाया कि वायरस के गोलाकार खोल के लिए, सबसे इष्टतम आकार समरूपता है जैसे कि इकोसाहेड्रोन आकार। यह क्रम कनेक्टिंग तत्वों की संख्या को कम करता है... बकमिनस्टर फुलर के अधिकांश जियोडेसिक अर्धगोलाकार क्यूब्स एक समान ज्यामितीय सिद्धांत पर बनाए गए हैं। ऐसे क्यूब्स की स्थापना के लिए बेहद सटीक और विस्तृत स्पष्टीकरण आरेख की आवश्यकता होती है, जबकि अचेतन वायरस स्वयं लोचदार, लचीली प्रोटीन सेलुलर इकाइयों से ऐसे जटिल खोल का निर्माण करते हैं।

क्लुग की टिप्पणी एक बार फिर हमें एक अत्यंत स्पष्ट सत्य की याद दिलाती है: एक सूक्ष्म जीव की संरचना में भी, जिसे वैज्ञानिक "जीवन का सबसे आदिम रूप" के रूप में वर्गीकृत करते हैं। इस मामले मेंवायरस में, एक स्पष्ट योजना है और एक उचित परियोजना लागू की गई है। यह परियोजना अपनी पूर्णता और निष्पादन की सटीकता में लोगों द्वारा बनाई गई सबसे उन्नत वास्तुशिल्प परियोजनाओं के साथ अतुलनीय है। उदाहरण के लिए, प्रतिभाशाली वास्तुकार बकमिन्स्टर फ़ुलर द्वारा बनाई गई परियोजनाएँ।

डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन के त्रि-आयामी मॉडल एकल-कोशिका वाले समुद्री सूक्ष्मजीव रेडिओलेरियन (रेफ़िश) के कंकालों की संरचना में भी मौजूद हैं, जिनका कंकाल सिलिका से बना है।

रेडिओलेरियन अपने शरीर को बहुत उत्तम, असामान्य सुंदरता से बनाते हैं। उनका आकार एक नियमित डोडेकाहेड्रोन है, और इसके प्रत्येक कोने से एक छद्म-लंबाई-अंग और अन्य असामान्य आकार-वृद्धि निकलती है।

महान गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंग बनाए और चित्रित किए), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन का एक एकीकृत सिद्धांत बनाने का सपना देखा। यह वह थे जिन्होंने मॉर्फोलॉजी शब्द को वैज्ञानिक उपयोग में लाया।

इस सदी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के बारे में कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना कोई भी किसी पिंड की समरूपता पर विचार नहीं कर सकता है।

"सुनहरे" समरूपता के नियम प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ की संरचना में प्रकट होते हैं रासायनिक यौगिक, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और संपूर्ण शरीर की संरचना में मौजूद हैं, और मस्तिष्क के बायोरिदम और कामकाज और दृश्य धारणा में भी खुद को प्रकट करते हैं।

मानव शरीर और स्वर्णिम अनुपात

सभी मानव हड्डियों को सुनहरे अनुपात के अनुपात में रखा जाता है। हमारे शरीर के विभिन्न अंगों का अनुपात स्वर्णिम अनुपात के बहुत करीब की संख्या है। यदि ये अनुपात स्वर्णिम अनुपात सूत्र से मेल खाते हैं, तो व्यक्ति की शक्ल या शरीर को आदर्श अनुपातिक माना जाता है।

मानव शरीर के अंगों में स्वर्णिम अनुपात

यदि हम नाभि बिंदु को मानव शरीर के केंद्र के रूप में लेते हैं, और किसी व्यक्ति के पैर और नाभि बिंदु के बीच की दूरी को माप की इकाई के रूप में लेते हैं, तो एक व्यक्ति की ऊंचाई संख्या 1.618 के बराबर होती है।

• कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी और सिर का आकार 1:1.618 है;
• नाभि बिंदु से सिर के शीर्ष तक और कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है;
• नाभि बिंदु से घुटनों तक और घुटनों से पैरों तक की दूरी 1:1.618 है;
• ठोड़ी की नोक से ऊपरी होंठ की नोक तक और ऊपरी होंठ की नोक से नासिका छिद्र तक की दूरी 1:1.618 है;
• किसी व्यक्ति के चेहरे पर सुनहरे अनुपात की वास्तविक सटीक उपस्थिति मानव दृष्टि के लिए सुंदरता का आदर्श है;
• ठोड़ी की नोक से भौंहों की ऊपरी रेखा तक और भौंहों की ऊपरी रेखा से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है;
• चेहरे की ऊंचाई/चेहरे की चौड़ाई;
• नाक के आधार/नाक की लंबाई से होठों के कनेक्शन का केंद्रीय बिंदु;
• चेहरे की ऊंचाई/ठोड़ी की नोक से केंद्रीय बिंदु तक दूरी जहां होंठ मिलते हैं;
• मुँह की चौड़ाई/नाक की चौड़ाई;
• नाक की चौड़ाई/नाक के छिद्रों के बीच की दूरी;
• पुतलियों के बीच की दूरी/भौहों के बीच की दूरी।

बस अपनी हथेली को अपने करीब लाना और ध्यान से देखना ही काफी है तर्जनी अंगुली, और आपको तुरंत इसमें स्वर्णिम अनुपात का सूत्र मिल जाएगा।

हमारे हाथ की प्रत्येक उंगली तीन फालेंजों से बनी होती है। उंगली की पूरी लंबाई के संबंध में उंगली के पहले दो पर्वों की लंबाई का योग सुनहरे अनुपात की संख्या देता है (अंगूठे को छोड़कर)।

इसके अलावा, मध्यमा और छोटी उंगली के बीच का अनुपात भी सुनहरे अनुपात के बराबर होता है।

एक व्यक्ति के 2 हाथ होते हैं, प्रत्येक हाथ की अंगुलियों में 3 अंगुलियाँ होती हैं (अंगूठे को छोड़कर)। प्रत्येक हाथ में 5 उंगलियां होती हैं, यानी कुल 10, लेकिन दो दो अंगूठे वाले अंगूठे को छोड़कर, सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार केवल 8 उंगलियां बनाई जाती हैं। जबकि ये सभी संख्याएँ 2, 3, 5 और 8 फाइबोनैचि अनुक्रम संख्याएँ हैं।

यह तथ्य भी ध्यान देने योग्य है कि अधिकांश लोगों के लिए, उनकी फैली हुई भुजाओं के सिरों के बीच की दूरी उनकी ऊंचाई के बराबर होती है।

स्वर्णिम अनुपात की सच्चाइयाँ हमारे भीतर और हमारे स्थान में हैं। मानव फेफड़ों को बनाने वाली ब्रांकाई की ख़ासियत उनकी विषमता में निहित है। ब्रांकाई में दो मुख्य वायुमार्ग होते हैं, जिनमें से एक (बायाँ) लंबा होता है और दूसरा (दायाँ) छोटा होता है। यह पाया गया कि यह विषमता ब्रांकाई की शाखाओं, सभी छोटे श्वसन पथों में जारी रहती है। इसके अलावा, छोटी और लंबी ब्रांकाई की लंबाई का अनुपात भी स्वर्णिम अनुपात है और 1:1.618 के बराबर है।

मनुष्य के आंतरिक कान में कोक्लीअ ("घोंघा") नामक एक अंग होता है, जो ध्वनि कंपन संचारित करने का कार्य करता है। यह हड्डी संरचना द्रव से भरी होती है और घोंघे के आकार की भी होती है, जिसमें एक स्थिर लघुगणकीय सर्पिल आकार होता है =73 0 43"।

हृदय के काम करने के साथ ही रक्तचाप में परिवर्तन होता है। यह हृदय के बाएं वेंट्रिकल में उसके संपीड़न (सिस्टोल) के क्षण में अपने उच्चतम मूल्य तक पहुँच जाता है। हृदय के निलय के सिस्टोल के दौरान धमनियों में, एक युवा में रक्तचाप 115-125 मिमी एचजी के बराबर अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है, स्वस्थ व्यक्ति. हृदय की मांसपेशियों (डायस्टोल) के शिथिल होने के समय, दबाव 70-80 मिमी एचजी तक कम हो जाता है। अधिकतम (सिस्टोलिक) से न्यूनतम (डायस्टोलिक) दबाव का अनुपात औसतन 1.6 है, यानी सुनहरे अनुपात के करीब।

यदि हम महाधमनी में औसत रक्तचाप को एक इकाई के रूप में लेते हैं, तो महाधमनी में सिस्टोलिक रक्तचाप 0.382 है, और डायस्टोलिक दबाव 0.618 है, अर्थात उनका अनुपात सुनहरे अनुपात से मेल खाता है। इसका मतलब यह है कि समय चक्र और रक्तचाप में परिवर्तन के संबंध में हृदय का कार्य उसी सिद्धांत, सुनहरे अनुपात के नियम के अनुसार अनुकूलित होता है।

डीएनए अणु में दो लंबवत आपस में गुंथे हुए हेलिकॉप्टर होते हैं। इनमें से प्रत्येक सर्पिल की लंबाई 34 एंगस्ट्रॉम और चौड़ाई 21 एंगस्ट्रॉम है। (1 एंगस्ट्रॉम एक सेंटीमीटर का सौ करोड़वां हिस्सा है)।

डीएनए अणु के हेलिक्स खंड की संरचना

तो, 21 और 34 फाइबोनैचि संख्याओं के अनुक्रम में एक दूसरे का अनुसरण करने वाली संख्याएं हैं, अर्थात, डीएनए अणु के लघुगणकीय सर्पिल की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात स्वर्णिम अनुपात 1:1.618 के सूत्र को वहन करता है।

मूर्तिकला में स्वर्णिम अनुपात

मूर्तिकला संरचनाओं और स्मारकों को कायम रखने के लिए खड़ा किया जाता है विशेष घटनाएँ, वंशजों की स्मृति में प्रसिद्ध लोगों के नाम, उनके कारनामों और कार्यों को संरक्षित करें। यह ज्ञात है कि प्राचीन काल में भी मूर्तिकला का आधार अनुपात का सिद्धांत था। मानव शरीर के अंगों के बीच संबंध स्वर्णिम अनुपात सूत्र से जुड़े थे। "गोल्डन सेक्शन" का अनुपात सद्भाव और सुंदरता का आभास कराता है, यही वजह है कि मूर्तिकारों ने उन्हें अपने कार्यों में इस्तेमाल किया। मूर्तिकारों का दावा है कि कमर "सुनहरे अनुपात" के संबंध में संपूर्ण मानव शरीर को विभाजित करती है। उदाहरण के लिए, अपोलो बेल्वेडियर की प्रसिद्ध प्रतिमा में सुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित भाग शामिल हैं। महान प्राचीन यूनानी मूर्तिकार फ़िडियास अक्सर अपने कार्यों में "सुनहरा अनुपात" का उपयोग करते थे। उनमें से सबसे प्रसिद्ध ओलंपियन ज़ीउस की मूर्ति (जिसे दुनिया के आश्चर्यों में से एक माना जाता था) और एथेंस के पार्थेनन थे।

अपोलो बेल्वेडियर की मूर्ति का सुनहरा अनुपात ज्ञात है: चित्रित व्यक्ति की ऊंचाई को सुनहरे खंड में नाभि रेखा द्वारा विभाजित किया गया है।

वास्तुकला में स्वर्णिम अनुपात

"गोल्डन रेशियो" के बारे में किताबों में आप यह टिप्पणी पा सकते हैं कि वास्तुकला में, पेंटिंग की तरह, सब कुछ पर्यवेक्षक की स्थिति पर निर्भर करता है, और यदि किसी इमारत में एक तरफ से कुछ अनुपात "गोल्डन रेशियो" बनाते प्रतीत होते हैं, तो अन्य दृष्टिकोण से वे भिन्न दिखेंगे। "गोल्डन रेशियो" कुछ लंबाई के आकारों का सबसे आरामदायक अनुपात देता है।

प्राचीन यूनानी वास्तुकला की सबसे खूबसूरत कृतियों में से एक पार्थेनन (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) है।

तस्वीरों में दिख रहा है पूरी लाइनस्वर्णिम अनुपात से जुड़े पैटर्न। भवन के अनुपात को इसके माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है विभिन्न डिग्रीसंख्याएँ Ф=0.618...

पार्थेनन के छोटे किनारों पर 8 और लंबे किनारों पर 17 स्तंभ हैं। प्रक्षेपण पूरी तरह से पेंटिलियन संगमरमर के वर्गों से बने हैं। जिस सामग्री से मंदिर का निर्माण किया गया था उसकी उत्कृष्टता ने रंग के उपयोग को सीमित करना संभव बना दिया, जो ग्रीक वास्तुकला में आम है; यह केवल विवरणों पर जोर देता है और मूर्तिकला के लिए एक रंगीन पृष्ठभूमि (नीला और लाल) बनाता है। इमारत की ऊंचाई और उसकी लंबाई का अनुपात 0.618 है। यदि हम पार्थेनन को "गोल्डन सेक्शन" के अनुसार विभाजित करते हैं, तो हमें मुखौटे के कुछ उभार मिलेंगे।

पार्थेनन के फर्श योजना पर "सुनहरे आयत" भी देखे जा सकते हैं।

हम कैथेड्रल भवन में स्वर्णिम अनुपात देख सकते हैं पेरिस का नोट्रे डेम(नोट्रे डेम डे पेरिस), और चेप्स के पिरामिड में।

न केवल मिस्र के पिरामिड सुनहरे अनुपात के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए थे; यही घटना मैक्सिकन पिरामिडों में भी पाई गई थी।

लंबे समय तक यह माना जाता था कि आर्किटेक्ट प्राचीन रूस'उन्होंने बिना किसी विशेष गणितीय गणना के सब कुछ "आँख से" बनाया। हालाँकि, नवीनतम शोध से पता चला है कि रूसी वास्तुकार गणितीय अनुपात से अच्छी तरह वाकिफ थे, जैसा कि प्राचीन मंदिरों की ज्यामिति के विश्लेषण से पता चलता है।

प्रसिद्ध रूसी वास्तुकार एम. कज़ाकोव ने अपने काम में "सुनहरा अनुपात" का व्यापक रूप से उपयोग किया। उनकी प्रतिभा बहुमुखी थी, लेकिन आवासीय भवनों और संपदाओं की कई पूर्ण परियोजनाओं में यह काफी हद तक सामने आई। उदाहरण के लिए, "सुनहरा अनुपात" क्रेमलिन में सीनेट भवन की वास्तुकला में पाया जा सकता है। एम. कज़ाकोव की परियोजना के अनुसार, गोलित्सिन अस्पताल मास्को में बनाया गया था, जिसे वर्तमान में फर्स्ट कहा जाता है नैदानिक ​​अस्पतालएन.आई. के नाम पर रखा गया पिरोगोव।

मॉस्को में पेत्रोव्स्की पैलेस। एम.एफ. के डिज़ाइन के अनुसार निर्मित। कज़ाकोवा

मॉस्को की एक और वास्तुशिल्प कृति - पश्कोव हाउस - वी. बझेनोव द्वारा वास्तुकला के सबसे उत्तम कार्यों में से एक है।

पश्कोव हाउस

वी. बाझेनोव की अद्भुत रचना ने आधुनिक मॉस्को के केंद्र के समूह में मजबूती से प्रवेश किया है और इसे समृद्ध किया है। घर का बाहरी हिस्सा आज तक लगभग अपरिवर्तित बना हुआ है, इस तथ्य के बावजूद कि यह 1812 में बुरी तरह से जल गया था। जीर्णोद्धार के दौरान, इमारत ने और अधिक विशाल आकार प्राप्त कर लिया। इमारत का आंतरिक लेआउट संरक्षित नहीं किया गया है, जिसे केवल निचली मंजिल के चित्र में देखा जा सकता है।

वास्तुकार के कई कथन आज ध्यान देने योग्य हैं। अपनी पसंदीदा कला के बारे में, वी. बझेनोव ने कहा: "वास्तुकला में तीन मुख्य वस्तुएं हैं: इमारत की सुंदरता, शांति और ताकत... इसे प्राप्त करने के लिए, सामान्य रूप से अनुपात, परिप्रेक्ष्य, यांत्रिकी या भौतिकी का ज्ञान एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करता है, और उन सभी का सामान्य नेता कारण है।"

संगीत में स्वर्णिम अनुपात

संगीत के किसी भी टुकड़े का एक अस्थायी विस्तार होता है और इसे कुछ "सौंदर्य मील के पत्थर" द्वारा अलग-अलग हिस्सों में विभाजित किया जाता है जो ध्यान आकर्षित करते हैं और समग्र रूप से धारणा को सुविधाजनक बनाते हैं। ये मील के पत्थर किसी संगीत कार्य के गतिशील और गहन चरमोत्कर्ष हो सकते हैं। एक संगीत कार्य के अलग-अलग समय अंतराल, एक नियम के रूप में, "चरमोत्कर्ष घटना" से जुड़े, स्वर्णिम अनुपात अनुपात में होते हैं।

1925 में, कला समीक्षक एल.एल. सबनीव ने 42 लेखकों के 1,770 संगीत कार्यों का विश्लेषण करते हुए दिखाया कि उत्कृष्ट कार्यों के विशाल बहुमत को आसानी से थीम, या स्वर संरचना, या मोडल संरचना द्वारा भागों में विभाजित किया जा सकता है, जो सुनहरे के संबंध में एक दूसरे से संबंधित हैं। अनुपात। इसके अलावा, संगीतकार जितना अधिक प्रतिभाशाली होता है, उसकी रचनाओं में उतने ही सुनहरे अनुपात पाए जाते हैं। सबनीव के अनुसार, सुनहरा अनुपात एक संगीत रचना की एक विशेष सद्भाव की छाप की ओर ले जाता है। सबनीव ने सभी 27 चोपिन रेखाचित्रों पर इस परिणाम की जाँच की। उन्होंने उनमें 178 सुनहरे अनुपात खोजे। यह पता चला कि न केवल अध्ययन के बड़े हिस्से को सुनहरे अनुपात के संबंध में अवधि के अनुसार विभाजित किया जाता है, बल्कि अंदर के अध्ययन के कुछ हिस्सों को भी अक्सर उसी अनुपात में विभाजित किया जाता है।

संगीतकार और वैज्ञानिक एम.ए. मारुतेव ने प्रसिद्ध सोनाटा "अप्पासियोनाटा" में बारों की संख्या गिना और कई दिलचस्प संख्यात्मक संबंध पाए। विशेष रूप से, विकास में - सोनाटा की केंद्रीय संरचनात्मक इकाई, जहां विषय गहन रूप से विकसित होते हैं और स्वर एक दूसरे की जगह लेते हैं - दो मुख्य खंड हैं। पहले में - 43.25 माप, दूसरे में - 26.75। अनुपात 43.25:26.75=0.618:0.382=1.618 स्वर्णिम अनुपात देता है।

गोल्डन रेशियो वाले कार्यों की सबसे बड़ी संख्या एरेन्स्की (95%), बीथोवेन (97%), हेडन (97%), मोजार्ट (91%), चोपिन (92%), शूबर्ट (91%) की है।

यदि संगीत ध्वनियों का सामंजस्यपूर्ण क्रम है, तो कविता वाणी का हार्मोनिक क्रम है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और अस्थिर अक्षरों का एक प्राकृतिक विकल्प, कविताओं का एक क्रमबद्ध मीटर और उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीत कार्यों की बहन बनाती है। कविता में स्वर्णिम अनुपात सबसे पहले विभाजन बिंदु पर पड़ने वाली पंक्ति में कविता के एक निश्चित क्षण (परिणति, अर्थपूर्ण मोड़, कार्य का मुख्य विचार) की उपस्थिति के रूप में प्रकट होता है कुल गणनाएक कविता की पंक्तियाँ सुनहरे अनुपात में। इसलिए, यदि किसी कविता में 100 पंक्तियाँ हैं, तो स्वर्ण अनुपात का पहला बिंदु 62वीं पंक्ति (62%) पर पड़ता है, दूसरा 38वीं (38%) पर पड़ता है, आदि। अलेक्जेंडर सर्गेइविच पुश्किन की रचनाएँ, जिनमें "यूजीन वनगिन" भी शामिल है, सुनहरे अनुपात का बेहतरीन पत्राचार हैं! शोता रुस्तवेली और एम.यू द्वारा काम किया गया। लेर्मोंटोव का निर्माण भी गोल्डन सेक्शन के सिद्धांत के अनुसार किया गया है।

स्ट्राडिवेरी ने लिखा कि उन्होंने अपने प्रसिद्ध वायलिनों के शरीर पर एफ-आकार के निशानों के स्थान निर्धारित करने के लिए सुनहरे अनुपात का उपयोग किया।

कविता में स्वर्णिम अनुपात

इन पदों से काव्य रचनाओं पर शोध अभी शुरू हो रहा है। और आपको ए.एस. की कविता से शुरुआत करनी होगी। पुश्किन। आख़िरकार, उनकी रचनाएँ रूसी संस्कृति की सबसे उत्कृष्ट कृतियों का एक उदाहरण हैं, एक उदाहरण हैं उच्चतम स्तरसद्भाव। ए.एस. की कविता से पुश्किन, हम सुनहरे अनुपात की खोज शुरू करेंगे - सद्भाव और सुंदरता का माप।

काव्य कृतियों की संरचना में बहुत कुछ इस कला रूप को संगीत के समान बनाता है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और अस्थिर अक्षरों का एक प्राकृतिक विकल्प, कविताओं का एक क्रमबद्ध मीटर और उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीत कार्यों की बहन बनाती है। प्रत्येक छंद का अपना संगीत रूप, अपनी लय और धुन होती है। उम्मीद की जा सकती है कि संगीत कृतियों, पैटर्न की कुछ विशेषताएं कविताओं की संरचना में दिखाई देंगी। संगीतमय सामंजस्य, और इसलिए स्वर्णिम अनुपात।

आइए कविता के आकार, यानी उसमें पंक्तियों की संख्या से शुरुआत करें। ऐसा प्रतीत होता है कि कविता का यह पैरामीटर मनमाने ढंग से बदल सकता है। हालाँकि, यह पता चला कि ऐसा नहीं था। उदाहरण के लिए, एन. वासुतिन्स्की का ए.एस. की कविताओं का विश्लेषण। पुश्किना ने दिखाया कि कविताओं के आकार बहुत असमान रूप से वितरित हैं; यह पता चला कि पुश्किन स्पष्ट रूप से 5, 8, 13, 21 और 34 लाइनों (फाइबोनैचि संख्या) के आकार को पसंद करते हैं।

कई शोधकर्ताओं ने देखा है कि कविताएँ समान हैं संगीतमय कार्य; उनके पास अंतिम बिंदु भी हैं जो कविता को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए, ए.एस. की कविता पर विचार करें। पुश्किन का "शूमेकर":

आइए इस दृष्टांत का विश्लेषण करें। कविता में 13 पंक्तियाँ हैं। इसके दो अर्थपूर्ण भाग हैं: पहला 8 पंक्तियों में और दूसरा (दृष्टान्त का नैतिक) 5 पंक्तियों में (13, 8, 5 फाइबोनैचि संख्याएँ हैं)।

पुश्किन की आखिरी कविताओं में से एक, "मैं ऊंचे अधिकारों को महत्व नहीं देता..." में 21 पंक्तियाँ हैं और इसमें दो अर्थ भाग हैं: 13 और 8 पंक्तियाँ:

मैं ज़ोरदार अधिकारों को अधिक महत्व नहीं देता, जो एक से ज्यादा लोगों का सिर घुमा देता है. मुझे यह शिकायत नहीं है कि देवताओं ने इनकार कर दिया करों को चुनौती देना मेरा सौभाग्य है या राजाओं को आपस में लड़ने से रोकें; और अगर प्रेस स्वतंत्र है तो मेरे लिए चिंता करना पर्याप्त नहीं है मूर्खों को मूर्ख बनाना, या संवेदनशील सेंसरशिप पत्रिका की योजनाओं में जोकर शर्मिंदा होता है। आप देखिए, यह सब शब्द, शब्द, शब्द हैं। अन्य, बेहतर अधिकार मुझे प्रिय हैं: मुझे एक अलग, बेहतर आज़ादी चाहिए: राजा पर निर्भर रहो, प्रजा पर निर्भर रहो - क्या हमें परवाह है? भगवान उनके साथ रहें. केवल अपने आप को रिपोर्ट न दें सेवा करना और प्रसन्न करना; सत्ता के लिए, पोशाक के लिए अपना विवेक, अपने विचार, अपनी गर्दन मत झुकाओ; अपनी इच्छानुसार इधर-उधर घूमना, प्रकृति के दिव्य सौन्दर्य से आश्चर्यचकित होकर, और कला और प्रेरणा की रचनाओं से पहले कोमलता के उल्लास में खुशी से कांपते हुए, क्या खुशी है! यह सही है...

विशेषता यह है कि इस श्लोक का पहला भाग (13 पंक्तियाँ) अपनी अर्थात्मक सामग्री के अनुसार 8 और 5 पंक्तियों में विभाजित है, अर्थात् संपूर्ण काव्य स्वर्णिम अनुपात के नियमों के अनुसार संरचित है।

एन. वास्युटिंस्की द्वारा बनाया गया उपन्यास "यूजीन वनगिन" का विश्लेषण निस्संदेह रुचि का है। इस उपन्यास में 8 अध्याय हैं, प्रत्येक में औसतन लगभग 50 छंद हैं। आठवां अध्याय सबसे उत्तम, सबसे परिष्कृत और भावनात्मक रूप से समृद्ध है। इसमें 51 श्लोक हैं। यूजीन के तातियाना को लिखे पत्र (60 पंक्तियों) के साथ, यह बिल्कुल फाइबोनैचि संख्या 55 से मेल खाता है!

एन. वासुतिन्स्की कहते हैं: "अध्याय की परिणति एवगेनी द्वारा तात्याना के लिए प्यार की घोषणा है - पंक्ति "पीला हो जाना और फीका पड़ जाना... यह आनंद है!" यह पंक्ति पूरे आठवें अध्याय को दो भागों में विभाजित करती है: पहले में 477 पंक्तियाँ हैं, और दूसरे में 295 पंक्तियाँ हैं। इनका अनुपात 1.617 है! सुनहरे अनुपात के मूल्य के लिए बेहतरीन पत्राचार! यह पुश्किन की प्रतिभा द्वारा पूरा किया गया सद्भाव का एक महान चमत्कार है!

ई. रोसेनोव ने एम.यू. की कई काव्य कृतियों का विश्लेषण किया। लेर्मोंटोव, शिलर, ए.के. टॉल्स्टॉय ने उनमें "गोल्डन रेशियो" की खोज भी की थी।

लेर्मोंटोव की प्रसिद्ध कविता "बोरोडिनो" दो भागों में विभाजित है: वर्णनकर्ता को संबोधित एक परिचय, जिसमें केवल एक छंद है ("मुझे बताओ, चाचा, यह अकारण नहीं है..."), और मुख्य भाग, एक स्वतंत्र संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, जो दो बराबर भागों में बँट जाता है। उनमें से पहला, बढ़ते तनाव के साथ, युद्ध की प्रत्याशा का वर्णन करता है, दूसरा कविता के अंत तक तनाव में धीरे-धीरे कमी के साथ, युद्ध का ही वर्णन करता है। इन भागों के बीच की सीमा कार्य का चरम बिंदु है और सुनहरे खंड द्वारा विभाजन के बिंदु पर बिल्कुल गिरती है।

कविता के मुख्य भाग में 13 सात पंक्तियाँ अर्थात् 91 पंक्तियाँ हैं। इसे सुनहरे अनुपात (91:1.618=56.238) से विभाजित करने के बाद, हम आश्वस्त हैं कि विभाजन बिंदु 57वें श्लोक की शुरुआत में है, जहां एक छोटा वाक्यांश है: "ठीक है, यह एक दिन था!" यह वह वाक्यांश है जो "उत्साहित प्रत्याशा के चरम बिंदु" का प्रतिनिधित्व करता है, कविता के पहले भाग (लड़ाई की प्रत्याशा) को पूरा करता है और इसके दूसरे भाग (लड़ाई का विवरण) को खोलता है।

इस प्रकार, स्वर्णिम अनुपात कविता में एक बहुत ही सार्थक भूमिका निभाता है, जो कविता के चरमोत्कर्ष को उजागर करता है।

शोटा रुस्तवेली की कविता "द नाइट इन द स्किन ऑफ ए टाइगर" के कई शोधकर्ता उनकी कविता के असाधारण सामंजस्य और माधुर्य पर ध्यान देते हैं। कविता के ये गुण जॉर्जियाई वैज्ञानिक, शिक्षाविद् जी.वी. त्सेरेटेली को कवि द्वारा कविता के स्वरूप के निर्माण और उसके छंदों के निर्माण दोनों में सुनहरे अनुपात के सचेत उपयोग का श्रेय दिया जाता है।

रुस्तवेली की कविता में 1587 छंद हैं, जिनमें से प्रत्येक में चार पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में 16 अक्षर होते हैं और प्रत्येक हेमिस्टिच में 8 अक्षरों के दो बराबर भागों में विभाजित होता है। सभी हेमिस्टिच को दो प्रकार के दो खंडों में विभाजित किया गया है: ए - समान खंडों के साथ हेमिस्टिच और सम संख्याशब्दांश (4+4); बी दो असमान भागों (5+3 या 3+5) में एक असममित विभाजन वाला एक हेमिस्टिच है। इस प्रकार, हेमिस्टिच बी में अनुपात 3:5:8 है, जो सुनहरे अनुपात का एक अनुमान है।

यह स्थापित किया गया है कि रुस्तवेली की कविता में, 1587 छंदों में से आधे से अधिक (863) का निर्माण स्वर्णिम अनुपात के सिद्धांत के अनुसार किया गया है।

हमारे समय में, कला का एक नया रूप पैदा हुआ - सिनेमा, जिसने एक्शन, पेंटिंग और संगीत के नाटक को अवशोषित किया। सिनेमा के उत्कृष्ट कार्यों में सुनहरे अनुपात की अभिव्यक्तियाँ देखना वैध है। ऐसा करने वाले पहले व्यक्ति विश्व सिनेमा की उत्कृष्ट कृति "बैटलशिप पोटेमकिन" के निर्माता, फिल्म निर्देशक सर्गेई ईसेनस्टीन थे। इस चित्र के निर्माण में, वह सामंजस्य के मूल सिद्धांत - स्वर्णिम अनुपात - को मूर्त रूप देने में कामयाब रहे। जैसा कि आइज़ेंस्टीन ने स्वयं नोट किया है, विद्रोही युद्धपोत (फिल्म का चरमोत्कर्ष) के मस्तूल पर लाल झंडा सुनहरे अनुपात के बिंदु पर फहराता है, जिसे फिल्म के अंत से गिना जाता है।

फ़ॉन्ट और घरेलू वस्तुओं में स्वर्णिम अनुपात

विशेष दृश्य दृश्य कला प्राचीन ग्रीससभी प्रकार के जहाजों के उत्पादन और पेंटिंग पर प्रकाश डाला जाना चाहिए। सुरुचिपूर्ण रूप में, सुनहरे अनुपात के अनुपात का अनुमान आसानी से लगाया जा सकता है।

मंदिरों की पेंटिंग और मूर्तिकला में, और घरेलू वस्तुओं पर, प्राचीन मिस्रवासी अक्सर देवताओं और फिरौन को चित्रित करते थे। किसी व्यक्ति को खड़े होने, चलने, बैठने आदि को चित्रित करने के सिद्धांत स्थापित किए गए। कलाकारों को तालिकाओं और नमूनों का उपयोग करके व्यक्तिगत रूपों और छवि पैटर्न को याद रखना आवश्यक था। प्राचीन ग्रीस के कलाकारों ने कैनन का उपयोग करना सीखने के लिए मिस्र की विशेष यात्राएँ कीं।

बाहरी वातावरण के इष्टतम भौतिक पैरामीटर

यह ज्ञात है कि अधिकतम ध्वनि आवाज़, जो दर्द का कारण बनता है, 130 डेसिबल के बराबर है। यदि हम इस अंतराल को 1.618 के सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं, तो हमें 80 डेसिबल मिलते हैं, जो एक मानव चीख की मात्रा के लिए विशिष्ट हैं। यदि अब हम 80 डेसिबल को सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं, तो हमें 50 डेसिबल मिलता है, जो मानव भाषण की मात्रा के अनुरूप है। अंत में, यदि हम 50 डेसिबल को सुनहरे अनुपात 2.618 के वर्ग से विभाजित करते हैं, तो हमें 20 डेसिबल मिलता है, जो एक मानव फुसफुसाहट से मेल खाता है। इस प्रकार, ध्वनि की मात्रा के सभी विशिष्ट पैरामीटर सुनहरे अनुपात के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं।

18-20 0 C के अंतराल के तापमान पर नमी 40-60% को इष्टतम माना जाता है। यदि 100% की पूर्ण आर्द्रता को सुनहरे अनुपात से दो बार विभाजित किया जाए तो इष्टतम आर्द्रता सीमा की सीमाएं प्राप्त की जा सकती हैं: 100/2.618 = 38.2% (निचली सीमा); 100/1.618=61.8% (ऊपरी सीमा)।

पर हवा का दबाव 0.5 एमपीए एक व्यक्ति अप्रिय संवेदनाओं का अनुभव करता है, उसकी शारीरिक और मनोवैज्ञानिक गतिविधि. 0.3-0.35 एमपीए के दबाव पर, केवल अल्पकालिक काम की अनुमति है, और 0.2 एमपीए के दबाव पर, 8 मिनट से अधिक काम करने की अनुमति नहीं है। ये सभी विशिष्ट पैरामीटर सुनहरे अनुपात द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं: 0.5/1.618 = 0.31 एमपीए; 0.5/2.618=0.19 एमपीए।

सीमा पैरामीटर बाहरी हवा का तापमान, जिसके भीतर किसी व्यक्ति का सामान्य अस्तित्व (और, सबसे महत्वपूर्ण बात, उत्पत्ति संभव हो गई है) 0 से + (57-58) 0 C तक का तापमान संभव है। जाहिर है, इस पर स्पष्टीकरण देने की कोई आवश्यकता नहीं है पहली सीमा.

आइए हम सकारात्मक तापमान की संकेतित सीमा को सुनहरे खंड से विभाजित करें। इस मामले में, हमें दो सीमाएँ मिलती हैं (दोनों सीमाएँ मानव शरीर के लिए विशिष्ट तापमान हैं): पहली सीमा तापमान से मेल खाती है, दूसरी सीमा मानव शरीर के लिए अधिकतम संभव बाहरी हवा के तापमान से मेल खाती है।

पेंटिंग में स्वर्णिम अनुपात

पुनर्जागरण में, कलाकारों ने पाया कि किसी भी चित्र में कुछ बिंदु होते हैं जो अनजाने में हमारा ध्यान आकर्षित करते हैं, तथाकथित दृश्य केंद्र। इस मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चित्र का प्रारूप क्या है - क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर। ऐसे केवल चार बिंदु हैं, और वे समतल के संगत किनारों से 3/8 और 5/8 की दूरी पर स्थित हैं।

इस खोज को उस समय के कलाकारों द्वारा पेंटिंग का "सुनहरा अनुपात" कहा गया था।

पेंटिंग में "सुनहरे अनुपात" के उदाहरणों पर आगे बढ़ते हुए, कोई भी लियोनार्डो दा विंची के काम पर ध्यान केंद्रित करने से बच नहीं सकता है। उनका व्यक्तित्व इतिहास के रहस्यों में से एक है। लियोनार्डो दा विंची ने स्वयं कहा था: "कोई भी जो गणितज्ञ नहीं है वह मेरे कार्यों को पढ़ने का साहस न करे।"

उन्होंने एक नायाब कलाकार, एक महान वैज्ञानिक, एक प्रतिभाशाली व्यक्ति के रूप में ख्याति प्राप्त की, जिन्होंने कई ऐसे आविष्कारों का अनुमान लगाया जो 20 वीं शताब्दी तक साकार नहीं हुए थे।

इसमें कोई संदेह नहीं है कि लियोनार्डो दा विंची एक महान कलाकार थे, यह बात उनके समकालीनों ने पहले ही पहचान ली थी, लेकिन उनका व्यक्तित्व और गतिविधियाँ रहस्य में डूबी रहेंगी, क्योंकि उन्होंने अपने वंशजों के लिए अपने विचारों की सुसंगत प्रस्तुति नहीं, बल्कि केवल असंख्य हस्तलिखित छोड़े थे। रेखाचित्र, नोट्स जो कहते हैं "दुनिया की हर चीज़ के बारे में।"

वह दाएँ से बाएँ अपठनीय लिखावट में और बाएँ हाथ से लिखता था। यह दर्पण लेखन का सबसे प्रसिद्ध मौजूदा उदाहरण है।

मोना लिसा (ला जियोकोंडा) के चित्र ने कई वर्षों तक शोधकर्ताओं का ध्यान आकर्षित किया है, जिन्होंने पाया कि चित्र की संरचना सुनहरे त्रिकोणों पर आधारित है, जो एक नियमित तारे के आकार के पेंटागन के हिस्से हैं। इस चित्र के इतिहास के बारे में कई संस्करण हैं। उनमें से एक यहां पर है।

एक दिन, लियोनार्डो दा विंची को बैंकर फ्रांसेस्को डेले जिओकोंडो से एक युवा महिला, बैंकर की पत्नी, मोना लिसा का चित्र बनाने का आदेश मिला। वह महिला सुंदर नहीं थी, लेकिन वह अपने रूप-रंग की सादगी और स्वाभाविकता से आकर्षित थी। लियोनार्डो चित्र बनाने के लिए सहमत हो गए। उनकी मॉडल दुखी और उदास थी, लेकिन लियोनार्डो ने उसे एक परी कथा सुनाई, जिसे सुनने के बाद वह जीवंत और दिलचस्प हो गई।

परी कथा. एक बार की बात है, एक गरीब आदमी रहता था, उसके चार बेटे थे: तीन होशियार थे, और उनमें से एक यह और वह था। और फिर पिता के लिए मौत आ गई. अपनी जान गंवाने से पहले, उन्होंने अपने बच्चों को अपने पास बुलाया और कहा: “मेरे बेटों, मैं जल्द ही मर जाऊंगा। जैसे ही तुम मुझे दफनाओगे, झोपड़ी में ताला लगा दो और अपने लिए खुशी खोजने के लिए दुनिया के छोर पर चले जाओ। आपमें से प्रत्येक को कुछ सीखने दीजिए ताकि आप अपना भरण-पोषण कर सकें।” पिता की मृत्यु हो गई, और बेटे दुनिया भर में फैल गए, तीन साल बाद अपने मूल उपवन में लौटने के लिए सहमत हुए। पहला भाई आया, जिसने बढ़ई का काम सीखा, एक पेड़ काटा और उसकी कटाई की, उसमें से एक औरत बनाई, थोड़ा दूर चला गया और इंतजार किया। दूसरा भाई लौटा, उसने लकड़हारे को देखा और चूँकि वह एक दर्जी था, उसने उसे एक मिनट में कपड़े पहनाए: एक कुशल कारीगर की तरह, उसने उसके लिए सुंदर रेशमी कपड़े सिल दिए। तीसरे बेटे ने महिला को सोने से सजाया और कीमती पत्थर- आख़िरकार, वह एक जौहरी था। आख़िरकार चौथा भाई आया। वह बढ़ई या सिलाई करना नहीं जानता था, वह केवल यह जानता था कि पृथ्वी, पेड़, घास, जानवर और पक्षी क्या कह रहे हैं, उसे कैसे सुनना है, वह चाल जानता था खगोलीय पिंडऔर अद्भुत गीत गाना भी जानता था। उसने एक गाना गाया जिससे झाड़ियों के पीछे छिपे भाई रोने लगे। इस गाने से उसने महिला को पुनर्जीवित कर दिया, वह मुस्कुराई और आह भरी। सभी भाई उसके पास दौड़े और एक ही बात चिल्लाकर बोले: "तुम्हें अवश्य ही मेरी पत्नी बनना चाहिए।" लेकिन महिला ने उत्तर दिया: “तुमने मुझे बनाया - मेरे पिता बनो। तुमने मुझे कपड़े पहनाए, और तुमने मुझे सजाया - मेरे भाई बनो। और आप, जिन्होंने मुझमें मेरी आत्मा फूंक दी और मुझे जीवन का आनंद लेना सिखाया, केवल आप ही हैं जिनकी मुझे अपने शेष जीवन में आवश्यकता है।

कहानी ख़त्म करने के बाद, लियोनार्डो ने मोना लिसा की ओर देखा, उसका चेहरा चमक उठा, उसकी आँखें चमक उठीं। फिर, मानो स्वप्न से जागी हो, उसने आह भरी, अपना हाथ अपने चेहरे पर फिराया और बिना कुछ बोले अपनी जगह पर चली गई, हाथ जोड़े और अपनी सामान्य मुद्रा धारण कर ली। लेकिन काम पूरा हो गया - कलाकार ने उदासीन मूर्ति को जगाया; आनंद की मुस्कान, धीरे-धीरे उसके चेहरे से गायब हो रही थी, उसके मुंह के कोनों में रह गई और कांपने लगी, जिससे उसके चेहरे पर एक अद्भुत, रहस्यमय और थोड़ा धूर्त अभिव्यक्ति हो गई, जैसे उस व्यक्ति की तरह जिसने एक रहस्य जान लिया है और, ध्यान से उसे रखते हुए, नहीं कर सकता उसकी विजय समाहित करें. लियोनार्डो ने चुपचाप काम किया, इस पल को चूक जाने के डर से, सूरज की इस किरण ने उसके उबाऊ मॉडल को रोशन कर दिया...

यह कहना मुश्किल है कि कला की इस उत्कृष्ट कृति में क्या देखा गया, लेकिन सभी ने मानव शरीर की संरचना के बारे में लियोनार्डो के गहरे ज्ञान के बारे में बात की, जिसकी बदौलत वह इस रहस्यमयी मुस्कान को कैद करने में सक्षम हुए। उन्होंने चित्र के अलग-अलग हिस्सों की अभिव्यंजना और चित्र के अभूतपूर्व साथी परिदृश्य के बारे में बात की। उन्होंने अभिव्यक्ति की स्वाभाविकता, मुद्रा की सरलता, हाथों की सुंदरता के बारे में बात की। कलाकार ने कुछ अभूतपूर्व किया: चित्र में हवा को दर्शाया गया है, यह आकृति को पारदर्शी धुंध में ढँक देता है। सफलता के बावजूद, लियोनार्डो उदास थे; फ्लोरेंस की स्थिति कलाकार को दर्दनाक लग रही थी; वह सड़क पर जाने के लिए तैयार हो गए। आदेशों की आमद के बारे में अनुस्मारक ने उसकी मदद नहीं की।

पेंटिंग में स्वर्णिम अनुपात आई.आई. द्वारा शिश्किन "पाइन ग्रोव"। इस प्रसिद्ध पेंटिंग में आई.आई. शिश्किन सुनहरे अनुपात के उद्देश्यों को स्पष्ट रूप से दर्शाता है। चमकदार धूप से प्रकाशित देवदार का पेड़ (अग्रभूमि में खड़ा) चित्र की लंबाई को सुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित करता है। देवदार के पेड़ के दाहिनी ओर एक धूप से जगमगाती पहाड़ी है। यह चित्र के दाहिने हिस्से को सुनहरे अनुपात के अनुसार क्षैतिज रूप से विभाजित करता है। मुख्य देवदार के बाईं ओर कई देवदार के पेड़ हैं - यदि आप चाहें, तो आप आगे भी चित्र को सुनहरे अनुपात के अनुसार सफलतापूर्वक विभाजित करना जारी रख सकते हैं।

पाइन ग्रोव

चित्र में उज्ज्वल ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज की उपस्थिति, इसे सुनहरे अनुपात के संबंध में विभाजित करते हुए, इसे कलाकार के इरादे के अनुसार संतुलन और शांति का चरित्र प्रदान करती है। जब कलाकार का इरादा अलग होता है, मान लीजिए, वह तेजी से विकसित होने वाली क्रिया के साथ एक चित्र बनाता है, तो ऐसी ज्यामितीय रचना योजना (ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज की प्रबलता के साथ) अस्वीकार्य हो जाती है।

में और। सुरिकोव। "बॉयरीना मोरोज़ोवा"

उनकी भूमिका चित्र के मध्य भाग को दी गई है। यह चित्र के कथानक के उच्चतम उत्थान के बिंदु और निम्नतम गिरावट के बिंदु से बंधा हुआ है: उच्चतम बिंदु के रूप में क्रॉस के दो-उंगली चिह्न के साथ मोरोज़ोवा के हाथ का उदय; एक हाथ असहाय रूप से उसी महानुभाव की ओर बढ़ा, लेकिन इस बार एक बूढ़ी औरत का हाथ - एक भिखारी पथिक, जिसके नीचे से एक हाथ, साथ में आखिरी उम्मीदआपको बचाने के लिए स्लेज का सिरा बाहर की ओर खिसक जाता है।

किस बारे में " सबसे ऊंचा स्थान"? पहली नज़र में, हमारे पास एक स्पष्ट विरोधाभास है: आखिरकार, खंड ए 1 बी 1, चित्र के दाहिने किनारे से 0.618... की दूरी पर, हाथ से नहीं गुजरता है, यहां तक ​​कि कुलीन महिला के सिर या आंख से भी नहीं, लेकिन रईस के मुँह के सामने कहीं ख़त्म हो जाता है।

स्वर्णिम अनुपात वास्तव में यहाँ सबसे महत्वपूर्ण चीज़ में कटौती करता है। इसमें, और ठीक इसी में - सबसे बड़ी शक्तिमोरोज़ोवा।

बोटिसेली सैंड्रो की पेंटिंग से अधिक काव्यात्मक कोई पेंटिंग नहीं है, और महान सैंड्रो की "वीनस" से अधिक प्रसिद्ध कोई पेंटिंग नहीं है। बॉटलिकली के लिए, उनका शुक्र प्रकृति पर हावी होने वाले "सुनहरे खंड" के सार्वभौमिक सद्भाव के विचार का अवतार है। शुक्र का आनुपातिक विश्लेषण हमें इस बात से आश्वस्त करता है।

शुक्र

राफेल "एथेंस का स्कूल"। राफेल गणितज्ञ नहीं थे, लेकिन, उस युग के कई कलाकारों की तरह, उन्हें ज्यामिति का काफी ज्ञान था। प्रसिद्ध भित्तिचित्र "द स्कूल ऑफ एथेंस" में, जहां विज्ञान के मंदिर में पुरातनता के महान दार्शनिकों का एक समाज है, हमारा ध्यान सबसे महान प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड के समूह की ओर आकर्षित होता है, जो एक जटिल चित्र का विश्लेषण कर रहा है।

दो त्रिभुजों का सरल संयोजन भी सुनहरे अनुपात के अनुपात के अनुसार बनाया गया है: इसे 5/8 के पहलू अनुपात के साथ एक आयत में अंकित किया जा सकता है। यह चित्र वास्तुकला के शीर्ष भाग में सम्मिलित करना आश्चर्यजनक रूप से आसान है। शीर्ष कोनात्रिकोण दर्शक के निकटतम क्षेत्र में मेहराब के कीस्टोन पर टिका हुआ है, निचला वाला - परिप्रेक्ष्य के लुप्त बिंदु पर, और पार्श्व भाग मेहराब के दो हिस्सों के बीच स्थानिक अंतर के अनुपात को इंगित करता है।

राफेल की पेंटिंग "मासूमों का नरसंहार" में सुनहरा सर्पिल। सुनहरे अनुपात के विपरीत, गतिशीलता और उत्तेजना की भावना, शायद, सबसे दृढ़ता से एक और सरल ज्यामितीय आकृति - एक सर्पिल में प्रकट होती है। 1509 - 1510 में राफेल द्वारा निष्पादित बहु-आकृति रचना, जब प्रसिद्ध चित्रकार ने वेटिकन में अपने भित्तिचित्र बनाए, कथानक की गतिशीलता और नाटकीयता से सटीक रूप से प्रतिष्ठित है। राफेल ने अपनी योजना को कभी पूरा नहीं किया, लेकिन उसके स्केच को अज्ञात इतालवी ग्राफिक कलाकार मार्केंटिनियो रायमोंडी ने उकेरा, जिन्होंने इस स्केच के आधार पर "मासूमों का नरसंहार" उत्कीर्णन बनाया।

निर्दोषों का नरसंहार

यदि, राफेल के प्रारंभिक रेखाचित्र में, हम मानसिक रूप से रचना के शब्दार्थ केंद्र से चलने वाली रेखाएँ खींचते हैं - वह बिंदु जहाँ योद्धा की उंगलियाँ बच्चे के टखने के चारों ओर बंद होती हैं, बच्चे की आकृतियों के साथ, उसे पास पकड़े हुए महिला, उभरे हुए योद्धा तलवार, और फिर दाहिनी ओर उसी समूह की आकृतियों के साथ रेखाचित्र बनाएं (आकृति में ये रेखाएँ लाल रंग में खींची गई हैं), और फिर इन टुकड़ों को एक घुमावदार बिंदीदार रेखा से जोड़ें, फिर बहुत बड़ी सटीकता के साथ एक सुनहरा सर्पिल प्राप्त होता है। इसे वक्र की शुरुआत से गुजरने वाली सीधी रेखाओं पर एक सर्पिल द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई के अनुपात को मापकर जांचा जा सकता है।

स्वर्ण अनुपात और छवि धारणा

सुनहरे अनुपात एल्गोरिदम का उपयोग करके निर्मित वस्तुओं को सुंदर, आकर्षक और सामंजस्यपूर्ण के रूप में पहचानने की मानव दृश्य विश्लेषक की क्षमता लंबे समय से ज्ञात है। स्वर्णिम अनुपात सबसे उत्तम समग्रता का एहसास देता है। कई पुस्तकों का प्रारूप स्वर्णिम अनुपात का अनुसरण करता है। इसे खिड़कियों, पेंटिंगों और लिफाफों, टिकटों, बिजनेस कार्डों के लिए चुना जाता है। एक व्यक्ति को संख्या एफ के बारे में कुछ भी पता नहीं हो सकता है, लेकिन वस्तुओं की संरचना के साथ-साथ घटनाओं के अनुक्रम में, वह अवचेतन रूप से सुनहरे अनुपात के तत्वों को पाता है।

ऐसे अध्ययन किए गए हैं जिनमें विषयों को विभिन्न अनुपातों के आयतों का चयन करने और उनकी प्रतिलिपि बनाने के लिए कहा गया था। चुनने के लिए तीन आयतें थीं: एक वर्ग (40:40 मिमी), 1:1.62 (31:50 मिमी) के पहलू अनुपात के साथ एक "सुनहरा अनुपात" आयत और 1:2.31 (26:60) के विस्तारित अनुपात के साथ एक आयत मिमी).

सामान्य अवस्था में आयत चुनते समय, आधे मामलों में वर्ग को प्राथमिकता दी जाती है। दायां गोलार्ध सुनहरे अनुपात को प्राथमिकता देता है और लम्बी आयत को अस्वीकार करता है। इसके विपरीत, बायां गोलार्ध लम्बे अनुपात की ओर बढ़ता है और सुनहरे अनुपात को अस्वीकार कर देता है।

इन आयतों की नकल करते समय, निम्नलिखित देखा गया: जब दायां गोलार्ध सक्रिय था, तो प्रतियों में अनुपात सबसे सटीक रूप से बनाए रखा गया था; जब बायां गोलार्ध सक्रिय था, सभी आयतों के अनुपात विकृत हो गए थे, आयतें लम्बी हो गई थीं (वर्ग को 1:1.2 के पहलू अनुपात के साथ एक आयत के रूप में खींचा गया था; लम्बी आयत का अनुपात तेजी से बढ़ गया और 1:2.8 तक पहुंच गया) . "सुनहरा" आयत का अनुपात सबसे अधिक विकृत था; प्रतियों में इसका अनुपात एक आयत 1:2.08 का अनुपात बन गया।

अपने स्वयं के चित्र बनाते समय, सुनहरे अनुपात के करीब और लम्बे अनुपात प्रबल होते हैं। औसतन, अनुपात 1:2 है, दायां गोलार्ध सुनहरे खंड के अनुपात को प्राथमिकता देता है, बायां गोलार्ध सुनहरे खंड के अनुपात से दूर जा रहा है और पैटर्न बना रहा है।

अब कुछ आयत बनाएं, उनकी भुजाओं को मापें और पक्षानुपात ज्ञात करें। आपके लिए कौन सा गोलार्ध प्रभावी है?

फोटोग्राफी में स्वर्णिम अनुपात

फोटोग्राफी में सुनहरे अनुपात के उपयोग का एक उदाहरण फ्रेम के प्रमुख घटकों को उन बिंदुओं पर रखना है जो फ्रेम के किनारों से 3/8 और 5/8 पर स्थित हैं। इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट किया जा सकता है: एक बिल्ली की तस्वीर, जो फ्रेम में एक मनमाने स्थान पर स्थित है।

अब आइए फ्रेम को सशर्त रूप से फ्रेम के प्रत्येक पक्ष से 1.62 कुल लंबाई के अनुपात में खंडों में विभाजित करें। खंडों के चौराहे पर मुख्य "दृश्य केंद्र" होंगे, जिसमें यह आवश्यक रखने लायक है महत्वपूर्ण तत्वइमेजिस। आइए अपनी बिल्ली को "दृश्य केंद्रों" के बिंदुओं पर ले जाएं।

स्वर्णिम अनुपात और स्थान

खगोल विज्ञान के इतिहास से ज्ञात होता है कि 18वीं शताब्दी के जर्मन खगोलशास्त्री आई. टिटियस ने इस शृंखला की सहायता से सौरमंडल के ग्रहों के बीच की दूरियों में एक पैटर्न और क्रम पाया था।

हालाँकि, एक मामला जो कानून का खंडन करता प्रतीत हुआ: मंगल और बृहस्पति के बीच कोई ग्रह नहीं था। आकाश के इस हिस्से के केंद्रित अवलोकन से क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज हुई। यह 19वीं सदी की शुरुआत में टिटियस की मृत्यु के बाद हुआ। फाइबोनैचि श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: इसका उपयोग जीवित प्राणियों की वास्तुकला, मानव निर्मित संरचनाओं और आकाशगंगाओं की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। ये तथ्य संख्या श्रृंखला की अभिव्यक्ति की स्थितियों से स्वतंत्रता के प्रमाण हैं, जो इसकी सार्वभौमिकता के संकेतों में से एक है।

आकाशगंगा के दो सुनहरे सर्पिल डेविड स्टार के साथ संगत हैं।

आकाशगंगा से सफ़ेद सर्पिल में उभरते तारों को देखें। ठीक 180 0 पर एक सर्पिल से एक और खुला सर्पिल निकलता है... लंबे समय तक, खगोलविदों का बस यही मानना ​​था कि जो कुछ भी वहां है वह वही है जो हम देखते हैं; यदि कुछ दिखाई दे रहा है, तो वह अस्तित्व में है। वे या तो वास्तविकता के अदृश्य हिस्से से पूरी तरह अनजान थे, या उन्होंने इसे महत्वपूर्ण नहीं माना। लेकिन हमारी वास्तविकता का अदृश्य पक्ष वास्तव में दृश्य पक्ष से बहुत बड़ा है और संभवतः अधिक महत्वपूर्ण है... दूसरे शब्दों में, वास्तविकता का दृश्य भाग संपूर्ण के एक प्रतिशत से भी बहुत कम है - लगभग कुछ भी नहीं। दरअसल, हमारा असली घर अदृश्य ब्रह्मांड है...

ब्रह्मांड में, मानव जाति को ज्ञात सभी आकाशगंगाएँ और उनमें मौजूद सभी पिंड सुनहरे अनुपात के सूत्र के अनुरूप एक सर्पिल के रूप में मौजूद हैं। स्वर्णिम अनुपात हमारी आकाशगंगा के सर्पिल में निहित है

निष्कर्ष

प्रकृति, जिसे संपूर्ण विश्व अपने रूपों की विविधता के रूप में समझा जाता है, में मानो दो भाग शामिल हैं: सजीव और निर्जीव प्रकृति। मानव जीवन के पैमाने को देखते हुए, निर्जीव प्रकृति की रचनाएँ उच्च स्थिरता और कम परिवर्तनशीलता की विशेषता रखती हैं। एक व्यक्ति जन्म लेता है, जीवित रहता है, बूढ़ा होता है, मर जाता है, लेकिन ग्रेनाइट पहाड़ वैसे ही रहते हैं और ग्रह सूर्य के चारों ओर उसी तरह घूमते हैं जैसे पाइथागोरस के समय में थे।

जीवित प्रकृति की दुनिया हमें बिल्कुल अलग दिखाई देती है - गतिशील, परिवर्तनशील और आश्चर्यजनक रूप से विविध। जीवन हमें विविधता और रचनात्मक संयोजनों की विशिष्टता का एक शानदार कार्निवल दिखाता है! निर्जीव प्रकृति की दुनिया, सबसे पहले, समरूपता की दुनिया है, जो उनकी रचनाओं को स्थिरता और सुंदरता देती है। प्राकृतिक दुनिया, सबसे पहले, सद्भाव की दुनिया है, जिसमें "स्वर्णिम अनुपात का कानून" संचालित होता है।

में आधुनिक दुनियाप्रकृति पर मनुष्य के बढ़ते प्रभाव के कारण विज्ञान का विशेष महत्व बढ़ रहा है। वर्तमान चरण में महत्वपूर्ण कार्य मनुष्य और प्रकृति के बीच सह-अस्तित्व के नए तरीकों की खोज, समाज के सामने आने वाली दार्शनिक, सामाजिक, आर्थिक, शैक्षिक और अन्य समस्याओं का अध्ययन करना है।

इस कार्य ने जीवित और निर्जीव प्रकृति पर, मानव जाति के इतिहास और समग्र रूप से ग्रह के विकास के ऐतिहासिक पाठ्यक्रम पर "स्वर्ण खंड" के गुणों के प्रभाव की जांच की। उपरोक्त सभी का विश्लेषण करते हुए, आप एक बार फिर दुनिया को समझने की प्रक्रिया की विशालता, इसके नए पैटर्न की खोज पर आश्चर्यचकित हो सकते हैं और निष्कर्ष निकाल सकते हैं: सुनहरे खंड का सिद्धांत संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है। कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भाग। यह उम्मीद की जा सकती है कि प्रकृति की विभिन्न प्रणालियों के विकास के नियम, विकास के नियम बहुत विविध नहीं हैं और इन्हें सबसे अधिक में खोजा जा सकता है। विभिन्न संस्थाएँ. यहीं प्रकृति की एकता प्रकट होती है। विषम प्राकृतिक घटनाओं में समान पैटर्न की अभिव्यक्ति के आधार पर ऐसी एकता के विचार ने पाइथागोरस से लेकर आज तक अपनी प्रासंगिकता बरकरार रखी है।

सुनहरा अनुपात - सार्वभौमिक सिद्धांतसद्भाव

"स्वाद के बारे में कोई विवाद नहीं है," - हममें से प्रत्येक ने इस सूत्र को कितनी बार सुना है, या इसका उच्चारण भी किया है। इससे सहमत होकर, हम किसी भी ऐसे आक्रोश का बचाव करने के लिए तैयार हैं जिसे मानवीय कल्पना बर्दाश्त कर सकती है। एक व्यक्ति, गहरा स्वार्थी, उधम मचाने वाला, भावुक, बड़े और छोटे दुनिया को सुनने का आदी नहीं, उसके पास स्वाद विकसित करने और सद्भाव को समझने का कोई आधार नहीं है, और इसलिए वह सबसे राक्षसी सौंदर्यशास्त्र को जन्म देने में सक्षम है, इसे सुंदरता कहता है। "आप खूबसूरती से जीने से मना नहीं कर सकते," औसत आदमी अपने मोटे होठों से थूकता है, अपने स्वाद का बचाव करता है और दूसरों को उनके बारे में बहस करने से मना करता है। "निश्चित रूप से, हम स्वाद के बारे में बहस नहीं करेंगे! हर कोई अपने तरीके से सही है, जब तक कि वे हमें नुकसान नहीं पहुंचाते," लोगों की आड़ में जानवरों की प्रतिध्वनि, जो खुद को अपने से अधिक गहराई से नहीं समझते हैं शारीरिक जरूरतें. और वे गंदे घरों में बसे हुए हैं, वे विनाशकारी संगीत से भरे हुए हैं, वे हैं स्कूल के दिनोंवे तुम्हें मनहूसियत खिलाते हैं, उसे अपरिहार्यता की चटनी के साथ परोसते हैं। सौंदर्यशास्त्र का ह्रास, सौंदर्य के प्रति असावधानी हमेशा मानवता का पतन है, जो अब न तो सपने देखना चाहती है और न ही सौंदर्य के लिए प्रयास करना चाहती है। यह पीड़ा और मृत्यु है.

किसी व्यक्ति के लिए अश्लीलता की पूरी व्यवस्था का विरोध करना कठिन है, और यदि उसके पास पर्याप्त ज्ञान नहीं है तो वह इसके अधीन होने और नष्ट होने के लिए अभिशप्त है। मैं विश्वास करना चाहूंगा कि सुंदरता की भावना, दुनिया की सद्भावना हर व्यक्ति में रहती है - आपको बस इसे दिखाने की जरूरत है, इसका उपयोग करना सीखें।

सौंदर्य के वस्तुनिष्ठ मूल्यांकन के लिए कोई विश्वसनीय माप ढूँढ़ना संभवतः कठिन है, और अकेले तर्क से काम नहीं चलेगा। हालाँकि, उन लोगों का अनुभव यहाँ मदद करेगा जिनके लिए सुंदरता की खोज ही जीवन का अर्थ थी, जिन्होंने इसे अपना पेशा बनाया। ये, सबसे पहले, कला के लोग हैं, जैसा कि हम उन्हें कहते हैं: कलाकार, वास्तुकार, मूर्तिकार, संगीतकार, लेखक। लेकिन ये सटीक विज्ञान के लोग भी हैं, सबसे पहले, गणितज्ञ।

अन्य इंद्रियों की तुलना में आँख पर अधिक भरोसा करते हुए, एक व्यक्ति ने सबसे पहले अपने आस-पास की वस्तुओं को आकार के आधार पर अलग करना सीखा। किसी वस्तु के आकार में रुचि महत्वपूर्ण आवश्यकता से निर्धारित हो सकती है, या यह आकार की सुंदरता के कारण हो सकती है। रूप, जिसका निर्माण समरूपता और सुनहरे अनुपात के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। संपूर्ण में हमेशा कुछ हिस्से होते हैं, विभिन्न आकारों के हिस्से एक-दूसरे से और संपूर्ण से एक निश्चित संबंध में होते हैं। स्वर्णिम अनुपात का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है। यह विचार कई उत्कृष्ट आधुनिक वैज्ञानिकों द्वारा साझा किया गया था और उन्होंने अपने शोध में साबित किया है कि सच्ची सुंदरता हमेशा कार्यात्मक होती है। इनमें विमान डिजाइनर भी शामिल हैं। और वास्तुकार, और मानवविज्ञानी, और कई अन्य।

स्वर्णिम अनुपात का इतिहास

यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्णिम विभाजन की अवधारणा को प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) पाइथागोरस द्वारा वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था। ऐसी धारणा है कि पाइथागोरस ने स्वर्णिम विभाजन का अपना ज्ञान मिस्रियों और बेबीलोनियों से उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिर, आधार-राहतें, घरेलू सामान और आभूषणों के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का उपयोग किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर ने पाया कि एबिडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर की राहत और फिरौन रामसेस को चित्रित करने वाली राहत में, आंकड़ों का अनुपात स्वर्ण प्रभाग के मूल्यों के अनुरूप है। वास्तुकार खेसिरा को उनके नाम पर बने मकबरे के एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित किया गया है, उनके हाथों में मापने के उपकरण हैं जिनमें सुनहरे विभाजन के अनुपात दर्ज किए गए हैं।

जर्मन प्रोफेसर जी.ई. टिमरडिंग, जिन्होंने बीसवीं सदी की पहली तिमाही में सुनहरे अनुपात के बारे में एक किताब लिखी थी, कहते हैं: “पाइथागोरस<...>रहस्यमय शक्तियों और गुणों का विचार नियमित पंचकोण के साथ जुड़ा हुआ था, लेकिन ये गुण तभी प्रकट होते हैं, जब सामान्य नियमित पंचकोण के बगल में, तारा जो एक साधारण पंचकोण के सभी शीर्षों को एक के माध्यम से क्रमिक रूप से जोड़कर प्राप्त किया जाता है, की रचना की जाती है। पेंटागन के विकर्णों द्वारा, माना जाता है," और आगे नोट करता है: पेंटाग्राम ने सभी जादुई विज्ञानों में एक बड़ी भूमिका निभाई है। पांच-बिंदु वाला सितारा, जैसा कि टिमरडिंग दिखाता है, सचमुच सुनहरे खंड के अनुपात से भरा हुआ है।

यूनानी कुशल ज्यामितिक थे। उन्होंने ज्यामितीय आकृतियों का उपयोग करके अपने बच्चों को अंकगणित भी सिखाया। पाइथागोरस वर्ग और इस वर्ग का विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार थे।

प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) को भी स्वर्णिम विभाजन का ज्ञान था। प्लेटो के इसी नाम के संवाद में पाइथागोरस टिमियस कहता है: "दो चीजों का किसी तीसरे के बिना पूरी तरह से एकजुट होना असंभव है, क्योंकि उनके बीच एक ऐसी चीज दिखाई देनी चाहिए जो उन्हें एक साथ रखेगी। इसे अनुपात द्वारा सबसे अच्छा पूरा किया जा सकता है, क्योंकि यदि तीन संख्याओं में यह गुण है कि औसत जितना छोटा है, उतना ही बड़ा मध्य में है, और, इसके विपरीत, औसत में जितना कम है, उतना मध्य में बड़ा है, तो अंतिम और पहला मध्य होगा , और मध्य पहला और आखिरी। इस प्रकार, आवश्यक सभी चीजें समान होंगी, और चूंकि यह वही होगी, यह एक संपूर्ण का गठन करेगी।' प्लेटो ने दो प्रकार के त्रिकोणों का उपयोग करके सांसारिक दुनिया का निर्माण किया: समद्विबाहु और गैर-समद्विबाहु। वह सबसे सुंदर समकोण त्रिभुज को वह मानता है जिसमें कर्ण छोटे पैरों से दोगुना बड़ा होता है (ऐसा आयत बेबीलोनियों की समबाहु, मूल आकृति का आधा होता है, इसका अनुपात 1: 3 1/ होता है) 2, जो स्वर्णिम अनुपात से लगभग 1/25 भिन्न है, और इसे टाइमरडिंग कहा जाता है "स्वर्णिम अनुपात का प्रतिद्वंद्वी"). त्रिकोणों का उपयोग करते हुए, प्लेटो ने चार नियमित पॉलीहेड्रा का निर्माण किया, उन्हें चार सांसारिक तत्वों (पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि) के साथ जोड़ा। और पांच मौजूदा नियमित पॉलीहेड्रा में से केवल अंतिम - डोडेकाहेड्रॉन, जिसके सभी बारह चेहरे नियमित पेंटागन हैं, आकाशीय दुनिया की एक प्रतीकात्मक छवि होने का दावा करते हैं।

डोडेकाहेड्रोन (या, जैसा कि माना जाता था, स्वयं ब्रह्मांड, चार तत्वों की यह सर्वोत्कृष्टता, जिसे क्रमशः टेट्राहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन और क्यूब द्वारा दर्शाया गया है) की खोज का सम्मान हिप्पासस को है, जो बाद में एक जहाज़ दुर्घटना में मर गया। यह आंकड़ा वास्तव में सुनहरे अनुपात के कई रिश्तों को दर्शाता है, इसलिए बाद वाले को स्वर्गीय दुनिया में मुख्य भूमिका दी गई, जिस पर बाद में माइनोराइट भाई लुका पैसिओली ने जोर दिया।

पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान, कम्पास की खोज की गई थी जिसका उपयोग प्राचीन दुनिया के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कम्पास (नेपल्स में संग्रहालय) में भी स्वर्ण मंडल का अनुपात शामिल है।

प्राचीन साहित्य में जो हमारे सामने आया है, स्वर्णिम विभाजन का उल्लेख सबसे पहले यूक्लिड के तत्वों में किया गया था। "प्रिंसिपल्स" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, स्वर्ण मंडल का अध्ययन हाइप्सिकल्स (द्वितीय शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तृतीय शताब्दी ईस्वी) और अन्य द्वारा किया गया था। मध्ययुगीन यूरोप, सुनहरे विभाजन के साथ हम यूक्लिड के तत्वों के अरबी अनुवाद के माध्यम से मिले। नवरे (तृतीय शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणियाँ कीं। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को ईर्ष्यापूर्वक संरक्षित किया गया और सख्त गोपनीयता में रखा गया। वे केवल दीक्षार्थियों के लिए ही जाने जाते थे।

मध्य युग में, पेंटाग्राम को राक्षसी बना दिया गया था (वास्तव में, प्राचीन बुतपरस्ती में इसे दिव्य माना जाता था) और इसे गुप्त विज्ञान में आश्रय मिला। हालाँकि, पुनर्जागरण फिर से पेंटाग्राम और सुनहरे अनुपात दोनों को प्रकाश में लाता है। इस प्रकार, मानवतावाद की स्थापना की उस अवधि के दौरान, मानव शरीर की संरचना का वर्णन करने वाला एक आरेख व्यापक हो गया:

लियोनार्डो दा विंची ने भी बार-बार ऐसी तस्वीर का सहारा लिया, जो अनिवार्य रूप से एक पेंटाग्राम का पुनरुत्पादन था। उसकी व्याख्या: मानव शरीर है दिव्यपूर्णता, क्योंकि इसमें निहित अनुपात मुख्य खगोलीय आकृति के समान ही हैं। एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास अनुभवजन्य अनुभव तो बहुत था, लेकिन ज्ञान बहुत कम था। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक किताब लिखना शुरू किया, लेकिन उसी समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक किताब सामने आई और लियोनार्डो ने अपना विचार त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक ज्योतिषी थे, जो फाइबोनैचि और गैलीलियो के बीच की अवधि में इटली के सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का के छात्र थे, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम "ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग" था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व को भली-भांति समझते थे। 1496 में, ड्यूक ऑफ़ मोरो के निमंत्रण पर, वह मिलान आये, जहाँ उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान में मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में लुका पैसिओली की एक पुस्तक वेनिस में प्रकाशित हुई थी "दिव्य अनुपात पर"(डी डिविना प्रोपोरियो, 1497, 1509 में वेनिस में प्रकाशित) शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ, यही कारण है कि माना जाता है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया था। यह पुस्तक सुनहरे अनुपात का एक उत्साही भजन थी। ऐसा केवल एक ही अनुपात है, और विशिष्टता ईश्वर की सर्वोच्च संपत्ति है। यह पवित्र त्रिमूर्ति का प्रतीक है। यह अनुपात एक सुलभ संख्या में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, छिपा हुआ और गुप्त रहता है, और स्वयं गणितज्ञों द्वारा इसे तर्कहीन कहा जाता है (उसी तरह, भगवान को शब्दों में परिभाषित या समझाया नहीं जा सकता है)। ईश्वर कभी नहीं बदलता है और हर चीज में हर चीज और उसके प्रत्येक हिस्से में हर चीज का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए प्रत्येक निरंतर और निश्चित मात्रा के लिए सुनहरा अनुपात (चाहे वह बड़ी या छोटी हो) एक समान है, इसे बदला नहीं जा सकता है या अन्यथा कारण से माना नहीं जा सकता है। ईश्वर ने स्वर्गीय सद्गुण को अस्तित्व में लाया, अन्यथा इसे पाँचवाँ पदार्थ कहा जाता है, इसकी मदद से और चार अन्य सरल निकायों (चार तत्व - पृथ्वी, जल, वायु, अग्नि) को अस्तित्व में लाया, और उनके आधार पर प्रकृति में हर दूसरी चीज़ को अस्तित्व में बुलाया; इसलिए हमारा पवित्र अनुपात, टिमियस में प्लेटो के अनुसार, आकाश को औपचारिक अस्तित्व देता है, क्योंकि इसे डोडेकाहेड्रोन नामक एक पिंड के रूप में जिम्मेदार ठहराया जाता है, जिसका निर्माण सुनहरे अनुपात के बिना नहीं किया जा सकता है। ये पैसिओली के तर्क हैं।

लियोनार्डो दा विंची ने स्वर्ण मंडल के अध्ययन पर भी बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पंचकोणों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे प्रभाग में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। इसीलिए उन्होंने इस प्रभाग को यह नाम दिया सुनहरा अनुपात. इसलिए यह अभी भी सबसे लोकप्रिय बना हुआ है।

उसी समय, यूरोप के उत्तर में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। उन्होंने अनुपात पर ग्रंथ के पहले संस्करण का परिचय प्रस्तुत किया। ड्यूरर लिखते हैं. "यह आवश्यक है कि जो व्यक्ति कुछ करना जानता है, वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैंने यही करने का निश्चय किया है।"

ड्यूरर के एक पत्र को देखते हुए, इटली में रहते हुए उनकी मुलाकात लुका पैसिओली से हुई। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। ड्यूरर ने अपने संबंधों की प्रणाली में सुनहरे वर्ग को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट की रेखा के साथ-साथ निचले हाथों की मध्य उंगलियों की युक्तियों, मुंह के चेहरे के निचले हिस्से आदि के माध्यम से खींची गई रेखा द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है। ड्यूरर का आनुपातिक दिशा सूचक यंत्र सर्वविदित है।

16वीं सदी के महान खगोलशास्त्री. जोहान्स केपलर ने सुनहरे अनुपात को ज्यामिति के खजानों में से एक कहा। वह वनस्पति विज्ञान (पौधों की वृद्धि और उनकी संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व की ओर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति थे।

केप्लर ने स्वर्णिम अनुपात को स्व-निरंतर कहा। "यह इस तरह से संरचित है," उन्होंने लिखा, "कि इस कभी न खत्म होने वाले अनुपात के दो सबसे निचले पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और किन्हीं दो अंतिम पदों को, यदि एक साथ जोड़ा जाए , अगला पद दीजिए और अनंत तक वही अनुपात बना रहेगा।"

स्वर्णिम अनुपात के खंडों की श्रृंखला का निर्माण वृद्धि की दिशा (बढ़ती श्रृंखला) और कमी की दिशा (अवरोही श्रृंखला) दोनों में किया जा सकता है।

यदि मनमानी लंबाई की सीधी रेखा पर है, तो खंड को अलग रख दें एम, खंड को इसके आगे रखें एम. इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं

बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात का नियम एक अकादमिक सिद्धांत में बदल गया, और जब, समय के साथ, कला में अकादमिक दिनचर्या के खिलाफ संघर्ष शुरू हुआ, तो संघर्ष की गर्मी में "उन्होंने बच्चे को स्नान के पानी से बाहर फेंक दिया।" 19वीं सदी के मध्य में स्वर्णिम अनुपात की फिर से "खोज" की गई। 1855 में, सुनहरे अनुपात के जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम "एस्थेटिक स्टडीज़" प्रकाशित किया। ज़ीसिंग के साथ जो हुआ वह बिल्कुल वैसा ही था जैसा एक शोधकर्ता के साथ अनिवार्य रूप से होना चाहिए जो अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना किसी घटना को वैसा ही मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए, सुनहरे खंड के अनुपात को निरपेक्ष कर दिया। ज़ीसिंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के उनके सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया था।

ज़ीसिंग ने जबरदस्त काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि स्वर्णिम अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन स्वर्णिम अनुपात का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है। पुरुष शरीर का अनुपात 13:8 = 1.625 के औसत अनुपात के भीतर उतार-चढ़ाव करता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में कुछ हद तक सुनहरे अनुपात के करीब होता है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य अनुपात 8 में व्यक्त किया जाता है: 5 = 1.6. नवजात शिशु में यह अनुपात 1:1 होता है, 13 वर्ष की आयु तक यह 1.6 होता है, और 21 वर्ष की आयु तक यह एक पुरुष के बराबर होता है। सुनहरे अनुपात का अनुपात शरीर के अन्य हिस्सों के संबंध में भी दिखाई देता है - कंधे की लंबाई, अग्रबाहु और हाथ, हाथ और उंगलियां, आदि।

ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को सबसे अधिक विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाओं, पौधों, जानवरों, पक्षियों के अंडे, संगीत स्वर और काव्य मीटर का अध्ययन किया गया। ज़ीसिंग ने सुनहरे अनुपात की एक परिभाषा दी और दिखाया कि इसे सीधी रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाली संख्याएं प्राप्त की गईं, तो ज़ीसिंग ने देखा कि उन्होंने एक फाइबोनैचि श्रृंखला का गठन किया, जिसे एक दिशा या दूसरे में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक का शीर्षक था "द गोल्डन डिवीजन एज़ द बेसिक मॉर्फोलॉजिकल लॉ इन नेचर एंड आर्ट।" 1876 ​​में, ज़ीसिंग के इस काम को रेखांकित करने वाली एक छोटी सी किताब, लगभग एक ब्रोशर, रूस में प्रकाशित हुई थी। लेखक ने प्रारंभिक यू.एफ.वी. के तहत शरण ली। इस संस्करण में चित्रकला के एक भी कार्य का उल्लेख नहीं है।

19वीं सदी के अंत में - 20वीं सदी की शुरुआत में। कला और वास्तुकला के कार्यों में सुनहरे अनुपात के उपयोग के बारे में कई विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिज़ाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम कारों, फर्नीचर आदि के डिज़ाइन तक फैल गया।

थोड़ी सी ज्यामिति

गणित में अनुपात(अव्य. अनुपात)दो संबंधों की समानता को बुलाओ: ए: बी = सी: डी.

सीधा खंड अबनिम्नलिखित प्रकार से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:

दो बराबर भागों में - एबी: एसी = एबी: बीसी;

किसी भी दृष्टि से दो असमान भागों में (ऐसे भाग अनुपात नहीं बनाते);

इस प्रकार, जब एबी: एसी = एसी: बीसी.

उत्तरार्द्ध चरम और औसत अनुपात में एक खंड का स्वर्णिम विभाजन या विभाजन है।

स्वर्णिम अनुपात एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें संपूर्ण खंड बड़े भाग से संबंधित होता है जैसे कि बड़ा भाग स्वयं छोटे से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े के लिए है और बड़ा संपूर्ण के लिए है

ए: बी = बी: सीया सी: बी = बी: ए.

सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कंपास और रूलर का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है।

बिंदु से मेंआधे के बराबर एक लंब बहाल किया जाता है अब. अंक प्राप्त हुआ साथएक रेखा द्वारा एक बिंदु से जुड़ा हुआ ए. परिणामी रेखा पर एक खंड अंकित किया गया है सूरजएक बिंदु के साथ समाप्त होना डी. रेखा खंड विज्ञापनप्रत्यक्ष में स्थानांतरित कर दिया गया अब. परिणामी बिंदु इएक खंड को विभाजित करता है अबस्वर्णिम अनुपात अनुपात में.

स्वर्णिम अनुपात के खंडों को अनंत अपरिमेय अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है ए.ई.= 0.618..., यदि अबएक के रूप में ले लो होना= 0.382... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मान अक्सर उपयोग किए जाते हैं। यदि खंड अब 100 भागों के रूप में लिया जाए, तो खंड का बड़ा भाग 62 भागों के बराबर है, और छोटा भाग 38 भागों के बराबर है।

सुनहरे अनुपात के गुणों को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

x2 - x - 1 = 0.

इस समीकरण का हल:

दूसरा स्वर्णिम अनुपात

बल्गेरियाई पत्रिका "फादरलैंड" (नंबर 10, 1983) ने स्वेतन त्सेकोव-करंदश का एक लेख "ऑन द सेकेंड गोल्डन सेक्शन" प्रकाशित किया, जो मुख्य खंड से आता है और 44:56 का एक और अनुपात देता है।

यह अनुपात वास्तुकला में पाया जाता है, और लम्बी क्षैतिज प्रारूप की छवियों की रचनाओं का निर्माण करते समय भी होता है।

विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। रेखा खंड अबस्वर्णिम अनुपात के अनुसार विभाजित। बिंदु से साथलम्बवत बहाल है सीडी. RADIUS अबएक बात है डी, जो एक रेखा द्वारा एक बिंदु से जुड़ा होता है ए. समकोण एसीडीआधे में विभाजित है. बिंदु से साथएक रेखा तब तक खींची जाती है जब तक वह रेखा के साथ प्रतिच्छेद न कर दे विज्ञापन. डॉट इएक खंड को विभाजित करता है विज्ञापन 56:44 के संबंध में।

यह चित्र दूसरे स्वर्णिम अनुपात की रेखा की स्थिति दर्शाता है। यह स्वर्ण अनुपात रेखा और आयत की मध्य रेखा के बीच में स्थित है।

स्वर्ण त्रिकोण

आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंड खोजने के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं पेंटाग्राम.

पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको एक नियमित पेंटागन बनाने की आवश्यकता है। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471...1528) द्वारा विकसित की गई थी। होने देना हे- वृत्त का केंद्र, ए- एक वृत्त पर एक बिंदु और इ- खंड के मध्य ओए. त्रिज्या के लंबवत ओए, बिंदु पर बहाल किया गया के बारे में, वृत्त को बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है डी. कम्पास का उपयोग करके, व्यास पर एक खंड आलेखित करें सी.ई. = ईडी. एक वृत्त में अंकित एक नियमित पंचभुज की भुजा की लंबाई है डीसी. वृत्त पर खंड बिछाएँ डीसीऔर हमें एक नियमित पंचभुज बनाने के लिए पांच अंक मिलते हैं। हम पेंटागन के कोनों को विकर्णों के माध्यम से एक दूसरे से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचभुज के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं।

पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी भुजाएं शीर्ष पर 36° का कोण बनाती हैं और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है।

हम एक प्रत्यक्ष कार्य करते हैं अब. बिंदु से एहम उस पर परिणामी बिंदु के माध्यम से मनमाने आकार के एक खंड O को तीन बार प्लॉट करते हैं आररेखा पर एक लंब खींचिए अब, बिंदु के दाएं और बाएं लंबवत पर आरखंडों को अलग रखें के बारे में. अंक प्राप्त हुए डीऔर d1एक बिंदु से सीधी रेखाओं से जुड़ें ए. रेखा खंड डीडी 1लाइन पर डालो विज्ञापन1, एक बिंदु प्राप्त करना साथ. उसने लाइन बांट दी विज्ञापन1सुनहरे अनुपात के अनुपात में. पंक्तियां विज्ञापन1और डीडी 1"सुनहरा" आयत बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।

फाइबोनैचि श्रृंखला

पीसा के इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फिबोनाची (बोनाची का पुत्र) के नाम से जाना जाता है, अप्रत्यक्ष रूप से सुनहरे अनुपात के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को भारतीय (अरबी) अंकों से परिचित कराया। 1202 में, उनका गणितीय कार्य "द बुक ऑफ़ द अबेकस" (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया था। समस्याओं में से एक में लिखा था, "एक वर्ष में एक जोड़े से कितने जोड़े खरगोश पैदा होंगे।" इस विषय पर विचार करते हुए, फाइबोनैचि ने संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला बनाई:

महीने

वगैरह।

खरगोशों के जोड़े

वगैरह।

संख्याओं की एक श्रृंखला 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसका प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो के योग के बराबर है 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, आदि, और श्रृंखला में आसन्न संख्याओं का अनुपात स्वर्णिम विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है। तो, 21: 34 = 0.617, और 34: 55 = 0.618। इस अनुपात को प्रतीक एफ द्वारा दर्शाया जाता है। केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - एक सीधी रेखा खंड का सुनहरे अनुपात में निरंतर विभाजन देता है, इसे बढ़ाता है या इसे अनंत तक घटाता है, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है बड़ा हर चीज़ के लिए है।

फाइबोनैचि व्यापार की व्यावहारिक आवश्यकताओं से भी निपटता है: किसी उत्पाद को तौलने के लिए उपयोग की जाने वाली वज़न की सबसे छोटी संख्या क्या है? फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की इष्टतम प्रणाली है: 1, 2, 4, 8, 16...

फाइबोनैचि श्रृंखला केवल एक गणितीय घटना ही रह सकती थी, यदि यह तथ्य न होता कि पौधे और पशु जगत में स्वर्ण प्रभाग के सभी शोधकर्ता, कला का उल्लेख नहीं करते, हमेशा इस श्रृंखला में स्वर्ण के नियम की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में आते थे विभाजन।

वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू. मटियासेविच फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हिल्बर्ट की 10वीं समस्या को हल करता है। फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, गेम, प्रोग्रामिंग) को हल करने के लिए सुरुचिपूर्ण तरीके उभर रहे हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।

प्रकृति में सुनहरे खंडों और उनके व्युत्पन्नों के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. द्वारा दिए गए हैं। सोरोको की पुस्तक "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984)। उदाहरण के लिए, यह पता चला है कि अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, स्पष्ट कार्यात्मक गुण (थर्मल स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण के प्रतिरोधी, आदि) होते हैं, यदि मूल घटकों की विशिष्ट गंभीरता एक दूसरे से संबंधित होती है सुनहरे अनुपात में से एक द्वारा. इसने लेखक को इस परिकल्पना को आगे बढ़ाने की अनुमति दी कि स्वर्णिम अनुपात स्व-संगठित प्रणालियों के लिए संख्यात्मक स्थिरांक हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई, यह परिकल्पना सहक्रिया विज्ञान के विकास के लिए मौलिक महत्व की हो सकती है - विज्ञान का एक नया क्षेत्र जो स्व-संगठित प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है।

प्रकृति में गठन के सिद्धांत

जो कुछ भी किसी न किसी रूप में आया, वह बना, बढ़ा, अंतरिक्ष में जगह बनाने और खुद को संरक्षित करने का प्रयास किया। यह इच्छा मुख्य रूप से दो विकल्पों में साकार होती है - ऊपर की ओर बढ़ना या पृथ्वी की सतह पर फैलना और एक सर्पिल में घूमना।

खोल एक सर्पिल में मुड़ा हुआ है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी छोटी लंबाई मिलती है। एक छोटे दस-सेंटीमीटर खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल प्रकृति में बहुत आम हैं। सर्पिल के बारे में बात किए बिना स्वर्णिम अनुपात का विचार अधूरा होगा।

सर्पिलाकार घुंघराले खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल के लिए एक समीकरण तैयार किया। इस समीकरण के अनुसार खींचे गए सर्पिल को उनके नाम से पुकारा जाता है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज़ सर्पिल का व्यापक रूप से प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है।

गोएथे ने प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर भी जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की पेचदार और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले ही देखी गई थी। सर्पिल को सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि की व्यवस्था में देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि फाइबोनैचि श्रृंखला एक शाखा (फाइलोटैक्सिस), सूरजमुखी के बीज और पाइन शंकु पर पत्तियों की व्यवस्था में प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे अनुपात का नियम स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपना जाल सर्पिल पैटर्न में बुनती है। एक तूफान सर्पिल की तरह घूम रहा है। हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में बिखर जाता है। डीएनए अणु एक दोहरे हेलिक्स में मुड़ा हुआ है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।

सड़क किनारे जड़ी-बूटियों के बीच एक अनोखा पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इस पर करीब से नज़र डालें। मुख्य तने से एक अंकुर बन गया है। पहला पत्ता वहीं स्थित था।

चावल। 12.कासनी

शूट अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन करता है, रुकता है, एक पत्ती छोड़ता है, लेकिन इस बार यह पहले की तुलना में छोटा है, फिर से स्पेस में इजेक्शन करता है, लेकिन कम बल के साथ, इससे भी छोटे आकार की एक पत्ती छोड़ता है और फिर से बाहर निकल जाता है . यदि पहला उत्सर्जन 100 इकाइयों के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयों के बराबर है, तीसरा - 38, चौथा - 24, आदि। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। बढ़ते और अंतरिक्ष पर विजय प्राप्त करते समय, पौधे ने कुछ निश्चित अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग सुनहरे अनुपात के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते गए।

चावल। 13.विविपेरस छिपकली

पहली नज़र में, छिपकली का अनुपात हमारी आंखों के लिए सुखद होता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई से 62 से 38 तक संबंधित होती है।

पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की रचनात्मक प्रवृत्ति लगातार टूटती रहती है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां सुनहरा अनुपात विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में दिखाई देता है।

प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपातों में किया है। भाग संपूर्ण संरचना की पुनरावृत्ति को प्रकट करते हैं।

चावल। 14.पक्षी का अंडा

महान गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंग बनाए और चित्रित किए), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन का एक एकीकृत सिद्धांत बनाने का सपना देखा। यह वह थे जिन्होंने मॉर्फोलॉजी शब्द को वैज्ञानिक उपयोग में लाया।

इस सदी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के बारे में कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना कोई भी किसी पिंड की समरूपता पर विचार नहीं कर सकता है।

"सुनहरे" समरूपता के नियम प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और ब्रह्मांडीय प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और संपूर्ण शरीर की संरचना में मौजूद हैं, और मस्तिष्क के बायोरिदम और कामकाज और दृश्य धारणा में भी खुद को प्रकट करते हैं।

स्वर्णिम अनुपात और समरूपता

समरूपता के संबंध के बिना, स्वर्णिम अनुपात पर अलग से विचार नहीं किया जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वुल्फ (1863...1925) ने सुनहरे अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना।

स्वर्णिम विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। आधुनिक विचारों के अनुसार, स्वर्णिम विभाजन असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में ऐसी अवधारणाएँ शामिल हैं स्थिरऔर गतिशील समरूपता. स्थैतिक समरूपता शांति और संतुलन की विशेषता है, जबकि गतिशील समरूपता गति और विकास की विशेषता है। इस प्रकार, प्रकृति में, स्थिर समरूपता क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शायी जाती है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, गति, विकास, लय की विशेषता बताती है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थैतिक समरूपता समान खंडों और समान मूल्यों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और इसे सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त किया गया है।

निरीक्षण करें और लागू करें

सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को समझना और उसका उपयोग करना कुछ अभिजात वर्ग के बस की बात नहीं होनी चाहिए - यह सबसे बुनियादी ज्ञान है जिससे सद्भाव और आनुपातिकता के अंतहीन जटिल नियम शुरू होते हैं। रोजमर्रा की जिंदगी में इन कानूनों के सार्थक अनुप्रयोग की कोई सीमा नहीं है। संपूर्ण के संबंध में मुख्य और गौण की पहचान किसी भी चीज़ से संबंधित हो सकती है। इसमें किसी के समय का वितरण, और किसी भी रचनात्मक प्रक्रिया, जिसमें सभी प्रकार की कला, साहित्य, संगीत और किसी भी प्रक्रिया और घटना के प्रति अपने स्वयं के दृष्टिकोण का गठन शामिल है। यह वह स्वर्णिम, मध्यम मार्ग है जिसके बारे में पूर्वजों ने बात की थी।

प्रत्येक कलाकार, प्रत्येक निर्देशक, प्रत्येक विज्ञापन विशेषज्ञ जानता है कि आंखों को प्रसन्न करने वाली छवि कैसे बनाई जाए, उसे सद्भाव और मनोविज्ञान के नियमों के अनुसार कैसे बनाया जाए। मानवीय धारणा. कभी-कभी संस्कृति के सबसे बुरे दुश्मन प्रकृति के नियमों के ज्ञान का उपयोग करके महत्वपूर्ण जीत हासिल करते हैं। इस प्रकार, किसी सुखद और प्रिय चीज़ की आड़ में, हम अक्सर सबसे तेज़ ज़हर को अपने दिलों में आने देते हैं। लोग आज़ादी के बारे में इतनी बातें करते हैं, जबकि वे स्वयं स्वेच्छा से जहर खा लेते हैं, और बाद में सोचते हैं कि उनकी बीमारियाँ और दुर्भाग्य कहाँ से आते हैं।

अज्ञान में कोई स्वतंत्रता नहीं हो सकती. खुरदरापन और अंधाधुंध स्वाद पर काबू पाना होगा। इसे व्यक्तियों, समुदायों और राज्यों के लिए समान रूप से चिंता का विषय होना चाहिए।

आर. एनेनकोव द्वारा संकलित

क्या आपको अक्सर ऐसी स्थिति का सामना करना पड़ता है जहां आपके द्वारा चित्रित तत्व "बजता नहीं है"? कुछ गड़बड़ है क्या? ग़लत अनुपात?

यह कहने लायक नहीं है कि प्रकृति में कोई आदर्श नहीं है, क्योंकि यह अस्तित्व में है और गणित और ज्यामिति की मदद से बहुत पहले ही इसकी गणना कर ली गई थी। उस व्यक्ति का नाम जिसने सबसे पहले "गोल्डन रेशियो" शब्द को पेश किया था, अज्ञात है, हालांकि कई लोग यह मानने के आदी हैं कि वह लियोनार्डो दा विंची थे। इस शब्द की सबसे पहली उपस्थिति 1835 में मार्टिन ओम की पुस्तक प्योर एलीमेंट्री मैथमेटिक्स के दूसरे संस्करण के एक नोट में हुई थी।

स्वर्णिम अनुपात सूत्र कैसा दिखता है?

यह दो मात्राओं b और a, a > b के बीच एक सामंजस्यपूर्ण संबंध है, जब a/b = (a+b)/a सत्य है। अनुपात a/b के बराबर संख्या को आमतौर पर बड़े ग्रीक अक्षर से दर्शाया जाता है

(\displaystyle \Phi )

प्राचीन यूनानी मूर्तिकार और वास्तुकार फ़िडियास के सम्मान में।

व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अपने आप को अनुमानित मान = 1.618 या = 1.62 तक सीमित रखें। पूर्ण प्रतिशत के संदर्भ में, स्वर्णिम अनुपात 62% और 38% के अनुपात में किसी भी मूल्य का विभाजन है।

कभी-कभी संख्या को "गोल्डन नंबर" कहा जाता है

ताकि आप और मैं गणित से परेशान न हों, स्मार्ट लोगवे इस प्रकार का कम्पास लेकर आये। इसकी मदद से आप पहले ही चेक कर सकते हैं तैयार परियोजनाएंभागों के अनुपात पर, और "सुनहरे अनुपात" के सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए नए निर्माण करें

अपनी परियोजनाओं को विश्व सांस्कृतिक विरासत में बने रहने दें!