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लियोनार्डो आइब्रो कम्पास का उपयोग कैसे करें। सुनहरे अनुपात के प्राचीन कम्पास सामान्यीकृत सुनहरे अनुपात

स्वर्ण अनुपात सद्भाव का सार्वभौमिक सिद्धांत है

"स्वाद बहस नहीं करते" - हम में से प्रत्येक ने कितनी बार इस सूत्र को सुना है, और इसका उच्चारण भी किया है। इससे सहमत होकर, हम किसी भी अपमान का बचाव करने के लिए तैयार हैं जो मानव कल्पना वहन कर सकती है। एक व्यक्ति जो गहरा स्वार्थी, उधम मचाने वाला, भावुक, दुनिया को बड़े और छोटे में सुनने के लिए बेहिसाब है, उसके पास स्वाद विकसित करने और सद्भाव को समझने का कोई कारण नहीं है, और इसलिए वह इसे सौंदर्य कहते हुए सबसे राक्षसी सौंदर्यशास्त्र उत्पन्न करने में सक्षम है। "आप एक सुंदर जीवन के लिए मना नहीं कर सकते," निवासी चिकना होंठों के माध्यम से थूकता है, अपने स्वाद का बचाव करता है और दूसरों को उनके बारे में बहस करने से मना करता है। "बेशक, हम स्वाद के बारे में बहस नहीं करेंगे! हर कोई अपने तरीके से सही है, जब तक कि वह हमें नुकसान नहीं पहुंचाता," लोगों के रूप में जानवर गूंजते हैं, खुद को शारीरिक जरूरतों से ज्यादा गहरा नहीं समझते। और वे गंदे आवासों में बसे हुए हैं, वे विनाशकारी संगीत से भरे हुए हैं, उन्हें स्कूल की बेंच से मनहूसियत खिलाई जाती है, इसे अनिवार्यता की चटनी के साथ परोसा जाता है। सौंदर्यशास्त्र की गिरावट, सौंदर्य के प्रति असावधानी हमेशा मानवता की गिरावट है, जो अब सपने नहीं देखना चाहती या सौंदर्य के लिए प्रयास नहीं करना चाहती। यह पीड़ा और मृत्यु है।

एक व्यक्ति के लिए अश्लीलता की पूरी प्रणाली का विरोध करना मुश्किल है, और यदि उसके पास पर्याप्त ज्ञान नहीं है तो वह इसके लिए समर्पित हो जाएगा और नष्ट हो जाएगा। मैं विश्वास करना चाहता हूं कि दुनिया की सुंदरता, सद्भाव की भावना हर व्यक्ति में रहती है - आपको बस इसे दिखाने की जरूरत है, इसका उपयोग करना सीखें।

सुंदरता के एक वस्तुनिष्ठ मूल्यांकन के लिए एक विश्वसनीय उपाय खोजना शायद मुश्किल है, और यहाँ केवल तर्क से काम नहीं चलेगा। हालाँकि, उन लोगों का अनुभव जिनके लिए सुंदरता की खोज जीवन का अर्थ था, जिन्होंने इसे अपना पेशा बनाया, यहाँ मदद मिलेगी। सबसे पहले, ये कला के लोग हैं, जैसा कि हम उन्हें कहते हैं: कलाकार, वास्तुकार, मूर्तिकार, संगीतकार, लेखक। लेकिन ये भी सटीक विज्ञान के लोग हैं - सबसे पहले, गणितज्ञ।

अन्य इंद्रियों की तुलना में आंख पर अधिक भरोसा करते हुए, एक व्यक्ति ने सबसे पहले अपने आस-पास की वस्तुओं को आकार से अलग करना सीखा। किसी वस्तु के रूप में रुचि महत्वपूर्ण आवश्यकता से निर्धारित हो सकती है, या यह रूप की सुंदरता के कारण हो सकती है। रूप, जो समरूपता और सुनहरे खंड के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। पूरे में हमेशा भाग होते हैं, विभिन्न आकारों के हिस्से एक दूसरे से और पूरे से एक निश्चित संबंध में होते हैं। स्वर्ण खंड का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है। यह विचार कई प्रमुख आधुनिक वैज्ञानिकों द्वारा साझा और साझा किया गया था, जो उनके अध्ययन में साबित करते हैं कि सच्ची सुंदरता हमेशा कार्यात्मक होती है। इनमें विमान डिजाइनर भी शामिल हैं। और आर्किटेक्ट, और मानवविज्ञानी, और कई अन्य।

सुनहरे अनुपात का इतिहास

यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि प्राचीन ग्रीक दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) पाइथागोरस द्वारा स्वर्ण विभाजन की अवधारणा को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया गया था। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने स्वर्ण विभाजन के अपने ज्ञान को मिस्रियों और बेबीलोनियों से उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिरों, आधार-राहत, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर ने पाया कि एबिडोस में फिरौन सेती I के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को चित्रित राहत में, आंकड़ों के अनुपात सुनहरे विभाजन के मूल्यों के अनुरूप हैं। वास्तुकार खेसिरा, जो अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर दर्शाया गया है, अपने हाथों में मापक यंत्र रखता है, जिसमें स्वर्ण मंडल के अनुपात तय होते हैं।

जर्मन प्रोफेसर जी.ई. टिमर्डिंग, जिन्होंने बीसवीं शताब्दी की पहली तिमाही में सुनहरे अनुपात पर एक किताब लिखी थी, कहते हैं: "पाइथागोरस के बीच<...>रहस्यमय शक्तियों और गुणों का विचार नियमित पेंटागन के साथ जुड़ा हुआ था, लेकिन ये गुण तभी प्रकट होते हैं, जब साधारण नियमित पेंटागन के बगल में, उस तारे पर विचार किया जाता है, जो एक साधारण पेंटागन के सभी शीर्षों में से एक के माध्यम से क्रमिक रूप से जुड़कर प्राप्त होता है। , पेंटागन के विकर्णों द्वारा रचित "- और आगे के नोट्स: पेंटाग्राम ने सभी जादुई विज्ञानों में एक बड़ी भूमिका निभाई। टिमर्डिंग शो के रूप में पांच-नुकीला तारा, शाब्दिक रूप से सुनहरे खंड के अनुपात से भरा हुआ है।

यूनानी कुशल ज्यामिति थे। यहाँ तक कि अंकगणित भी उनके बच्चों को ज्यामितीय आकृतियों की सहायता से सिखाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग का विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार था।

प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) भी स्वर्ण विभाजन के बारे में जानता था। प्लेटो के इसी नाम के डायलॉग में पाइथागोरसियन टिमियस कहते हैं: "दो चीजों का एक तिहाई के बिना पूरी तरह से एकजुट होना असंभव है, क्योंकि उनके बीच एक चीज दिखाई देनी चाहिए जो उन्हें एक साथ रखेगी। यह सबसे अच्छा तरीकाअनुपात पूरा कर सकता है, क्योंकि यदि तीन संख्याओं में संपत्ति है कि औसत छोटे से संबंधित है क्योंकि औसत औसत से बड़ा है, और, इसके विपरीत, औसत से छोटा औसत से संबंधित है, तो अंतिम और पहला औसत होगा, और औसत पहला और आखिरी होगा। इस प्रकार, आवश्यक सब कुछ समान होगा, और चूंकि यह समान होगा, यह संपूर्ण बना देगा। "प्लेटो दो किस्मों के त्रिकोणों का उपयोग करके सांसारिक दुनिया का निर्माण करता है: समद्विबाहु और गैर-समद्विबाहु। वह सबसे सुंदर समकोण मानता है। त्रिभुज एक ऐसा होना जिसमें कर्ण पैरों के छोटे से दो गुना बड़ा हो (ऐसी आयत आधा समबाहु है, बेबीलोनियों की मुख्य आकृति, इसमें 1: 3 1/2 का अनुपात है, जो सुनहरे से अलग है अनुपात लगभग 1/25, और इसे टाइमरिंग कहा जाता है "सुनहरे अनुपात के विरोधी"). त्रिभुजों का उपयोग करते हुए, प्लेटो चार नियमित पॉलीहेड्रा बनाता है, उन्हें चार सांसारिक तत्वों (पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि) से जोड़ता है। और केवल पाँच मौजूदा नियमित पॉलीहेड्रा में से अंतिम - डोडेकाहेड्रॉन, जिसके सभी बारह चेहरे नियमित पेंटागन हैं, स्वर्गीय दुनिया की एक प्रतीकात्मक छवि होने का दावा करते हैं।

डोडकाहेड्रॉन (या, जैसा कि माना जाता था, ब्रह्मांड ही, चार तत्वों की यह सर्वोत्कृष्टता, क्रमशः, टेट्राहेड्रॉन, ऑक्टाहेड्रॉन, आईकोसैहेड्रोन और क्यूब द्वारा प्रतीक) की खोज का सम्मान हिप्पसस से संबंधित है, जो बाद में एक जहाज़ की तबाही में मर गया। यह आंकड़ा वास्तव में स्वर्ण खंड के कई रिश्तों को दर्शाता है, इसलिए बाद वाले को स्वर्गीय दुनिया में मुख्य भूमिका सौंपी गई, जिस पर बाद में नाबालिग भाई लुका पैसिओली ने जोर दिया।

पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान, कम्पास पाए गए, जिनका उपयोग प्राचीन दुनिया के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया गया था। पोम्पीयन कम्पास (नेपल्स में संग्रहालय) में स्वर्ण मंडल के अनुपात भी शामिल हैं।

जो हमारे पास आया है प्राचीन साहित्ययूक्लिड के एलिमेंट्स में सबसे पहले गोल्डन डिवीजन का उल्लेख किया गया है। "शुरुआत" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइपसिकल्स (द्वितीय शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तृतीय शताब्दी ईस्वी) और अन्य स्वर्ण मंडल के अध्ययन में लगे हुए थे। मध्यकालीन यूरोप में हम यूक्लिड के "शुरुआत" के अरबी अनुवादों के माध्यम से सुनहरे विभाजन के साथ मिले। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैंपानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को सख्ती से रखा गया था, सख्त गोपनीयता में रखा गया था। वे केवल दीक्षा के लिए जाने जाते थे।

मध्य युग में, पेंटाग्राम को दानव बना दिया गया था (जैसा कि, वास्तव में, बहुत कुछ जिसे प्राचीन बुतपरस्ती में दैवीय माना जाता था) और गुप्त विज्ञान में आश्रय पाया। हालाँकि, पुनर्जागरण फिर से पेंटाग्राम और सुनहरे अनुपात दोनों को प्रकाश में लाता है। इसलिए, मानव शरीर की संरचना का वर्णन करने वाली एक योजना ने मानवतावाद के दावे के उस काल में व्यापक प्रचलन प्राप्त किया:

लियोनार्डो दा विंची ने भी बार-बार ऐसी तस्वीर का सहारा लिया, अनिवार्य रूप से एक पेंटाग्राम का पुनरुत्पादन। उसकी व्याख्या: मानव शरीर में है अलौकिकपूर्णता, क्योंकि इसमें निहित अनुपात मुख्य खगोलीय आकृति के समान हैं। लियोनार्डो दा विंची, एक कलाकार और वैज्ञानिक, ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास बहुत अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन ज्ञान बहुत कम था। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उस समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक पुस्तक दिखाई दी और लियोनार्डो ने अपना विचार छोड़ दिया। विज्ञान के समकालीनों और इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशमान व्यक्ति थे, जो फिबोनाची और गैलीलियो के बीच इटली के सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का की छात्रा थीं, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थीं। 1496 में, मोरो के ड्यूक के निमंत्रण पर, वह मिलान आए, जहां उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान में मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पैसिओली की एक पुस्तक वेनिस में प्रकाशित हुई थी "ईश्वरीय अनुपात पर"(डी डिविना प्रॉपोर्शन, 1497, 1509 में वेनिस में प्रकाशित) शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ, यही कारण है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया माना जाता है। पुस्तक सुनहरे अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। ऐसा केवल एक ही अनुपात है, और अद्वितीयता ईश्वर का सर्वोच्च गुण है। यह पवित्र त्रिमूर्ति का प्रतीक है। यह अनुपात एक सुलभ संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, छिपा हुआ और गुप्त रहता है, और स्वयं गणितज्ञों द्वारा तर्कहीन कहा जाता है (इसलिए भगवान को न तो परिभाषित किया जा सकता है और न ही शब्दों द्वारा समझाया जा सकता है)। ईश्वर कभी नहीं बदलता है और हर चीज में और उसके प्रत्येक भाग में सब कुछ का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए किसी भी निरंतर और निश्चित मात्रा के लिए सुनहरा अनुपात (भले ही वह बड़ा या छोटा हो) समान है, इसे बदला नहीं जा सकता है या अन्यथा मन द्वारा महसूस नहीं किया जा सकता है। ईश्वर ने स्वर्गीय सद्गुण होने का आह्वान किया, जिसे अन्यथा पाँचवाँ पदार्थ कहा जाता है, इसकी मदद से चार अन्य सरल शरीर (चार तत्व - पृथ्वी, जल, वायु, अग्नि) और उनके आधार पर प्रकृति में हर दूसरी चीज़ होने का आह्वान किया; इसलिए हमारा पवित्र अनुपात, टिमाईस में प्लेटो के अनुसार, आकाश को ही औपचारिक अस्तित्व देता है, क्योंकि इसे एक शरीर के रूप में जिम्मेदार ठहराया जाता है जिसे डोडेकाहेड्रॉन कहा जाता है, जिसे सुनहरे खंड के बिना नहीं बनाया जा सकता है। ये पैसिओली के तर्क हैं।

लियोनार्डो दा विंची ने भी गोल्डन डिवीजन के अध्ययन पर ज्यादा ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पेंटागनों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे विभाजन में पहलू अनुपात वाले आयत प्राप्त किए। इसलिए उन्होंने इस विभाग को यह नाम दिया सुनहरा अनुपात. इसलिए यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है।

उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहा था। वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं। "यह आवश्यक है कि जो जानता है कि इसे दूसरों को कैसे सिखाया जाए, जिन्हें इसकी आवश्यकता है। यही वह है जो मैंने करने के लिए निर्धारित किया है।"

ड्यूरर के पत्रों में से एक को देखते हुए, वह इटली में रहने के दौरान लुका पैसिओली से मिला। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर विस्तार से मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विकसित करता है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में सुनहरे खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्य उंगलियों की युक्तियों के माध्यम से खींची गई रेखा, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह आदि से। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।

16वीं शताब्दी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर ने स्वर्ण अनुपात को ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। वह वनस्पति विज्ञान (पौधों की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व की ओर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं।

केप्लर ने सुनहरे अनुपात को जारी रखने का आह्वान किया। उन्होंने लिखा, "यह इस तरह से व्यवस्थित किया गया है," कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद तक जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम पद, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो देते हैं अगले कार्यकाल, और वही अनुपात अनंत तक रहता है"।

सुनहरे अनुपात के खंडों की एक श्रृंखला का निर्माण वृद्धि (बढ़ती श्रृंखला) और कमी (अवरोही श्रृंखला) की दिशा में किया जा सकता है।

यदि मनमानी लंबाई की सीधी रेखा पर, खंड को स्थगित करें एम, एक खंड अलग रख दें एम. इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंडों का निर्माण करते हैं

बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात का नियम एक अकादमिक कैनन में बदल गया, और जब, समय के साथ, अकादमिक दिनचर्या के साथ कला में संघर्ष शुरू हुआ, तो संघर्ष की गर्मी में "उन्होंने बच्चे को पानी से बाहर निकाल दिया।" सुनहरा अनुपात फिर से "खोजा" गया था मध्य उन्नीसवींवी 1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर ज़ीज़िंग ने अपना काम "सौंदर्यशास्त्र अनुसंधान" प्रकाशित किया। ज़ीज़िंग के साथ, वास्तव में जो हुआ वह उस शोधकर्ता के साथ होना ही था जो इस घटना को अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना इस तरह मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए स्वर्ण खंड के अनुपात को निरपेक्ष कर दिया। ज़ीज़िंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के अपने सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया।

ज़ीज़िंग ने बहुत अच्छा काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन स्वर्ण खंड का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है। अनुपात पुरुष शरीर 13: 8 = 1.625 के औसत अनुपात के भीतर उतार-चढ़ाव करते हैं और अनुपात की तुलना में सुनहरे अनुपात के कुछ हद तक करीब हैं महिला शरीर, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मान 8:5 = 1.6 के अनुपात में व्यक्त किया गया है। एक नवजात शिशु में अनुपात 1:1, 13 वर्ष की आयु तक 1.6 तथा 21 वर्ष की आयु तक पुरुष के बराबर होता है। सुनहरे खंड के अनुपात शरीर के अन्य भागों के संबंध में भी प्रकट होते हैं - कंधे की लंबाई, प्रकोष्ठ और हाथ, हाथ और उंगलियां, आदि।

ज़ाइज़िंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपातों को सबसे विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षी के अंडे, संगीतमय स्वर, काव्य मीटर शोध के अधीन थे। ज़ीज़िंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि यह रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त हुए, ज़ीज़िंग ने देखा कि उन्होंने एक फाइबोनैचि श्रृंखला का गठन किया, जिसे एक दिशा में और दूसरी दिशा में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक "प्रकृति और कला में बुनियादी रूपात्मक कानून के रूप में गोल्डन डिवीजन" की हकदार थी। 1876 में, एक छोटी सी किताब, लगभग एक पैम्फलेट, रूस में प्रकाशित हुई थी, जिसमें ज़ीज़िंग के काम की रूपरेखा थी। लेखक ने शुरुआती यू.एफ.वी. के तहत शरण ली। इस संस्करण में एक भी पेंटिंग का उल्लेख नहीं है।

में देर से XIX- शुरुआती XX सदी। कला और वास्तुकला के कार्यों में स्वर्ण खंड के उपयोग के बारे में बहुत सारे विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिजाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम कारों, फर्नीचर आदि के डिजाइन तक बढ़ा।

थोड़ी ज्यामिति

गणित में अनुपात(अव्य। अनुपात) दो संबंधों की समानता कहते हैं: ए: बी = सी: डी.

रेखा खंड अबनिम्नलिखित तरीकों से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:

दो बराबर भागों में एबी: एसी = एबी: बीसी;

किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे हिस्से अनुपात नहीं बनाते हैं);

तो कब एबी: एसी = एसी: बीसी.

उत्तरार्द्ध चरम और औसत अनुपात में खंड का सुनहरा विभाजन या विभाजन है।

सुनहरा खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा खुद छोटे से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े से संबंधित है क्योंकि बड़ा हर चीज से संबंधित है

ए: बी = बी: सीया सी: बी = बी: ए.

सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कम्पास और शासक का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है।

एक बिंदु से मेंएक लंब को आधे के बराबर पुनर्स्थापित किया जाता है अब. प्राप्त बिंदु साथएक रेखा से एक बिंदु से जुड़ा हुआ ए. परिणामी रेखा पर एक खंड खींचा गया है रवि, बिंदु के साथ समाप्त डी. रेखा खंड विज्ञापनएक सीधी रेखा में स्थानांतरित अब. परिणामी बिंदु इखंड को विभाजित करता है अबसुनहरे अनुपात में।

सुनहरे अनुपात के खंड एक अनंत अपरिमेय अंश द्वारा व्यक्त किए जाते हैं ऐ= 0.618... अगर अबएक इकाई के रूप में लें होना\u003d 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मूल्यों का अक्सर उपयोग किया जाता है। यदि खंड अब 100 भागों के रूप में लिया जाता है, तो खंड का सबसे बड़ा भाग 62 है, और छोटा 38 भाग है।

सुनहरे खंड के गुणों को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

एक्स 2 - एक्स - 1 = 0।

इस समीकरण का हल:

दूसरा सुनहरा अनुपात

बल्गेरियाई पत्रिका "फादरलैंड" (नंबर 10, 1983) ने Tsvetan Tsekov-Karandash का एक लेख "ऑन द सेकेंड गोल्डन सेक्शन" प्रकाशित किया, जो मुख्य खंड से आता है और 44: 56 का एक और अनुपात देता है।

ऐसा अनुपात वास्तुकला में पाया जाता है, और एक लम्बी क्षैतिज प्रारूप की छवियों की रचनाओं के निर्माण में भी होता है।

विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। रेखा खंड अबगोल्डन रेशियो के हिसाब से बांटा गया है। एक बिंदु से साथलंबवत पुनर्स्थापित किया जाता है सीडी. RADIUS अबएक बिंदु है डी, जो एक रेखा द्वारा एक बिंदु से जुड़ा होता है ए. समकोण एसीडीआधे में बांटा गया है। एक बिंदु से साथएक रेखा तब तक खींची जाती है जब तक कि वह एक रेखा के साथ प्रतिच्छेद न कर ले विज्ञापन. डॉट इखंड को विभाजित करता है विज्ञापन 56:44 के संबंध में।

यह आंकड़ा दूसरे सुनहरे खंड की रेखा की स्थिति को दर्शाता है। यह स्वर्ण खंड रेखा और आयत की मध्य रेखा के बीच में स्थित है।

स्वर्ण त्रिकोण

आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंड खोजने के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं पेंटाग्राम.

पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको नियमित पेंटागन बनाना होगा। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471...1528) द्वारा विकसित की गई थी। होने देना हे- वृत्त का केंद्र ए- सर्कल पर एक बिंदु और इ- खंड के मध्य ओए. त्रिज्या के लंबवत ओए, बिंदु पर बहाल के बारे में, वृत्त को एक बिंदु पर काटती है डी. कम्पास का उपयोग करके, व्यास पर एक खंड अलग रखें सीई = ईडी. एक वृत्त में खुदे हुए एक नियमित पेंटागन के एक तरफ की लंबाई है डीसी. खंडों को घेरे पर रखना डीसीऔर एक नियमित पंचभुज बनाने के लिए पाँच अंक प्राप्त करें। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचकोण के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं।

पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसकी भुजाएँ शीर्ष पर 36° का कोण बनाती हैं, और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित करता है।

हम एक सीधी रेखा खींचते हैं अब. बिंदु से एपरिणामी बिंदु के माध्यम से, मनमाना आकार के एक खंड O को तीन बार अलग सेट करें आररेखा के लिए एक लंब खींचें अब, बिंदु के दाएं और बाएं लंबवत पर आरअलग खंड निर्धारित करें के बारे में. प्राप्त अंक डीऔर d1एक सीधी रेखा से कनेक्ट करें ए. रेखा खंड डीडी 1लाइन पर रखो विज्ञापन1, एक बिंदु प्राप्त करना साथ. उसने रेखा को विभाजित किया विज्ञापन1सुनहरे अनुपात के अनुपात में। पंक्तियां विज्ञापन1और डीडी 1एक "सुनहरा" आयत बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।

फाइबोनैचि श्रृंखला

पीसा से इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फाइबोनैचि (बोनैकी का पुत्र) के रूप में जाना जाता है, अप्रत्यक्ष रूप से सुनहरे अनुपात के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को भारतीय (अरबी) अंकों से परिचित कराया। 1202 में, उनका गणितीय कार्य "द बुक ऑफ़ द अबेकस" (गिनती बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया था। कार्यों में से एक पढ़ता है "एक जोड़ी से एक वर्ष में कितने जोड़े खरगोश पैदा होंगे।" इस विषय पर विचार करते हुए, फाइबोनैचि ने निम्नलिखित संख्याओं की श्रृंखला बनाई:

महीने

वगैरह।

खरगोशों के जोड़े

वगैरह।

संख्याओं की एक श्रृंखला 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो 2 + 3 = 5 के योग के बराबर है; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, आदि, और श्रृंखला के आसन्न संख्याओं का अनुपात सुनहरे विभाजन के अनुपात में आता है। इसलिए, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। यह अनुपात प्रतीक Ф द्वारा दर्शाया गया है। केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है, इसे बढ़ाकर या इसे अनंत तक कम कर देता है, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है बड़ा सब कुछ है।

फाइबोनैचि ने व्यापार की व्यावहारिक जरूरतों के बारे में भी बताया: किसी वस्तु को तौलने के लिए इस्तेमाल किए जा सकने वाले वज़न की सबसे छोटी संख्या क्या है? फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की निम्न प्रणाली इष्टतम है: 1, 2, 4, 8, 16...

फाइबोनैचि श्रृंखला केवल एक गणितीय घटना बनी रह सकती थी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं होता कि पौधे और जानवरों की दुनिया में स्वर्ण विभाजन के सभी शोधकर्ता, कला का उल्लेख नहीं करने के लिए, हमेशा इस श्रृंखला में स्वर्ण विभाजन कानून की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में आते थे। .

वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं के सिद्धांत और सुनहरे अनुपात को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू. मटियासेविच ने हिल्बर्ट की 10वीं समस्या को फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हल किया। फाइबोनैचि संख्याओं और गोल्डन सेक्शन का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, गेम, प्रोग्रामिंग) को हल करने के लिए सुरुचिपूर्ण तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।

सुनहरे वर्गों के अस्तित्व और प्रकृति में उनके डेरिवेटिव की पुष्टि करने वाले तथ्य बेलारूसी वैज्ञानिक ई. एम. द्वारा दिए गए हैं। सोरोको "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ़ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984) पुस्तक में। यह पता चला है, उदाहरण के लिए, अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, उच्चारित कार्यात्मक गुण होते हैं (तापीय रूप से स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) केवल तभी जब प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट गुरुत्व एक दूसरे से संबंधित हों सुनहरे अनुपात में से एक द्वारा। इसने लेखक को इस परिकल्पना को आगे बढ़ाने की इजाजत दी कि सुनहरे खंड स्व-आयोजन प्रणालियों के लिए संख्यात्मक स्थिरांक हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई, यह परिकल्पना तालमेल के विकास के लिए मूलभूत महत्व की हो सकती है - विज्ञान का एक नया क्षेत्र जो स्व-आयोजन प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है।

प्रकृति में आकार देने के सिद्धांत

सब कुछ जो किसी न किसी रूप में बना, विकसित हुआ, अंतरिक्ष में जगह लेने और खुद को संरक्षित करने के लिए प्रयासरत रहा। यह आकांक्षा मुख्य रूप से दो रूपों में प्राप्त होती है - ऊपर की ओर विकास या पृथ्वी की सतह पर फैलना और एक सर्पिल में मुड़ना।

खोल एक सर्पिल में मुड़ जाता है। यदि आप इसे प्रकट करते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी कम लंबाई मिलती है। एक छोटे से दस-सेंटीमीटर खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है।सर्पिल प्रकृति में बहुत आम हैं। यदि सर्पिल के बारे में नहीं कहा जाए तो स्वर्णिम अनुपात की अवधारणा अधूरी होगी।

सर्पिल रूप से मुड़ी हुई खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल का समीकरण निकाला। इस समीकरण के अनुसार खींचा गया सर्पिल उसी के नाम से पुकारा जाता है। उसके कदमों की वृद्धि सदैव एकसमान होती है। वर्तमान में, इंजीनियरिंग में आर्किमिडीज सर्पिल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यहां तक कि गोएथे ने प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर जोर दिया। पेड़ों की शाखाओं पर पत्तियों की सर्पिल और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले देखी गई थी। सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था, पाइन कोन, अनानास, कैक्टि, आदि में सर्पिल देखा गया था। वनस्पति विज्ञानियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि एक शाखा (फाइलोटैक्सिस) पर पत्तियों की व्यवस्था में, सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, स्वर्ण खंड का नियम स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपने जाल को सर्पिल पैटर्न में घुमाती है। एक तूफान सर्पिल हो रहा है। हिरन का डरा हुआ झुंड सर्पिल में बिखरा हुआ है। डीएनए अणु एक डबल हेलिक्स में मुड़ जाता है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।

सड़क के किनारे की जड़ी-बूटियों के बीच, एक निश्छल पौधा उगता है - कासनी। आइए इसे करीब से देखें। मुख्य तने से एक शाखा का निर्माण हुआ। यहाँ पहला पत्ता है।

चावल। 12.कासनी

प्रक्रिया अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन बनाती है, रुकती है, एक पत्ता छोड़ती है, लेकिन पहले से पहले से छोटा है, फिर से अंतरिक्ष में एक इजेक्शन करती है, लेकिन कम बल से, एक छोटे आकार और इजेक्शन के एक पत्ते को फिर से छोड़ती है। यदि पहला आउटलायर 100 यूनिट के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 यूनिट है, तीसरा 38 है, चौथा 24 है, और इसी तरह आगे। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास में, अंतरिक्ष की विजय, पौधे ने कुछ अनुपात बनाए रखा। सुनहरे अनुपात के अनुपात में इसके विकास के आवेगों में धीरे-धीरे कमी आई।

चावल। 13.जरायुज छिपकली

एक छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आँखों के लिए सुखद अनुपात पर कब्जा कर लिया जाता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई 62 से 38 तक होती है।

पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की रूप-निर्माण प्रवृत्ति लगातार टूटती है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां विकास की दिशा में लंबवत भागों के अनुपात में सुनहरा अनुपात दिखाई देता है।

प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपात में किया है। भागों में, संपूर्ण की संरचना की पुनरावृत्ति प्रकट होती है।

चावल। 14.पक्षी का अंडा

महान गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंग में चित्रित और चित्रित किया), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन का एक एकीकृत सिद्धांत बनाने का सपना देखा। यह वह था जिसने आकृति विज्ञान शब्द को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया।

हमारी सदी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना किसी भी शरीर की समरूपता पर विचार नहीं किया जा सकता है।

"गोल्डन" समरूपता की नियमितता प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में प्रकट होती है। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और संपूर्ण शरीर की संरचना में हैं, और बायोरिएथम्स और मस्तिष्क के कामकाज और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं।

सुनहरा अनुपात और समरूपता

समरूपता के संबंध के बिना, सुनहरे अनुपात को अलग से, अलग से नहीं माना जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वुल्फ (1863...1925) ने सुनहरे अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना।

स्वर्ण विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, स्वर्ण विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में ऐसी अवधारणाएँ शामिल हैं स्थिरऔर गतिशील समरूपता. स्थैतिक समरूपता आराम, संतुलन और गतिशील समरूपता आंदोलन, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थैतिक समरूपता को क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शाया जाता है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, गति, विकास, लय की विशेषता है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थैतिक समरूपता समान खंडों, समान परिमाणों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और इसे सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त किया गया है।

देखें और लागू करें

सुनहरे खंड के सिद्धांत को समझना और उसका उपयोग करना कुछ अभिजात वर्ग का नहीं होना चाहिए - यह सबसे बुनियादी ज्ञान है जिसमें से सामंजस्य और अनुपात के असीम जटिल नियम शुरू होते हैं। हर दिन के जीवन में इन कानूनों के सार्थक उपयोग की कोई सीमा नहीं है। पूरे के संबंध में मुख्य और द्वितीयक का आवंटन कुछ भी चिंता कर सकता है। यह किसी के समय और किसी भी रचनात्मक प्रक्रिया का वितरण है, जिसमें सभी प्रकार की कला, साहित्य, संगीत और किसी भी प्रक्रिया और घटना के प्रति अपने स्वयं के दृष्टिकोण का निर्माण शामिल है। यह स्वर्णिम, मध्यम मार्ग है, जिसके बारे में पूर्वजों ने बात की थी।

हर कलाकार, हर निर्देशक, हर विज्ञापन विशेषज्ञ जानता है कि आंख को भाने वाली छवि कैसे बनाई जाए, इसे सद्भाव और मनोविज्ञान के नियमों के अनुसार कैसे बनाया जाए। मानवीय धारणा. कभी-कभी संस्कृति के सबसे बुरे दुश्मन प्रकृति के नियमों के ज्ञान का उपयोग करके महत्वपूर्ण जीत हासिल करते हैं। इस प्रकार, कुछ सुखद और प्रिय होने की आड़ में, हम अक्सर सबसे मजबूत जहर को अपने दिल में प्रवेश करने देते हैं। इतने सारे लोग स्वतंत्रता के बारे में बात करते हैं, जबकि वे स्वयं स्वेच्छा से खुद को जहर देते हैं, बाद में सोचते हैं कि उनकी बीमारियां और दुर्भाग्य कहां से आते हैं।

अज्ञानता में कोई स्वतंत्रता नहीं हो सकती। स्वाद की खुरदुरापन और अपठनीयता को दूर किया जाना चाहिए। इसे व्यक्तियों और समुदायों और राज्यों दोनों की चिंता होने दें।

आर एनेनकोव द्वारा संकलित

एक व्यक्ति अपने आस-पास की वस्तुओं को आकार से अलग करता है। किसी वस्तु के रूप में रुचि महत्वपूर्ण आवश्यकता से निर्धारित हो सकती है, या यह रूप की सुंदरता के कारण हो सकती है। रूप, जो समरूपता और सुनहरे खंड के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। पूरे में हमेशा भाग होते हैं, विभिन्न आकारों के हिस्से एक दूसरे से और पूरे से एक निश्चित संबंध में होते हैं। स्वर्ण खंड का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है।

स्वर्ण अनुपात - हार्मोनिक अनुपात

गणित में अनुपात(अव्य। अनुपात) दो संबंधों की समानता कहते हैं: ए : बी = सी : डी.

रेखा खंड अबनिम्नलिखित तरीकों से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:

दो बराबर भागों में अब : एसी = अब : रवि;

किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे हिस्से अनुपात नहीं बनाते हैं);

तो कब अब : एसी = एसी : रवि.

उत्तरार्द्ध चरम और औसत अनुपात में खंड का सुनहरा विभाजन या विभाजन है।

ए : बी = बी : सीया साथ : बी = बी : ए.

चावल। 1. ज्यामितीय छविसुनहरा अनुपात

चावल। 2.सुनहरे अनुपात के अनुसार एक रेखा खंड का विभाजन। ईसा पूर्व = 1/2 अब; सीडी = ईसा पूर्व

सुनहरे खंड के गुणों को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

एक्स 2 - एक्स - 1 = 0.

इस समीकरण का हल:

सुनहरे खंड के गुणों ने इस संख्या के चारों ओर रहस्य और लगभग रहस्यमय पूजा की एक रोमांटिक आभा पैदा की।

दूसरा सुनहरा अनुपात

बल्गेरियाई पत्रिका "फादरलैंड" (नंबर 10, 1983) ने Tsvetan Tsekov-Karandash "ऑन द सेकेंड गोल्डन सेक्शन" का एक लेख प्रकाशित किया, जो मुख्य खंड से आता है और 44: 56 का एक अलग अनुपात देता है।

चावल। 3.दूसरे स्वर्ण खंड का निर्माण

विभाजन निम्नानुसार किया जाता है (चित्र 3 देखें)। रेखा खंड अबगोल्डन रेशियो के हिसाब से बांटा गया है। एक बिंदु से साथलंबवत पुनर्स्थापित किया जाता है सीडी. RADIUS अबएक बिंदु है डी, जो एक रेखा द्वारा एक बिंदु से जुड़ा होता है ए. समकोण एसीडीआधे में बांटा गया है। एक बिंदु से साथएक रेखा तब तक खींची जाती है जब तक कि वह एक रेखा के साथ प्रतिच्छेद न कर ले विज्ञापन. डॉट इखंड को विभाजित करता है विज्ञापन 56:44 के संबंध में।

चावल। 4.दूसरे सुनहरे अनुपात की एक रेखा द्वारा एक आयत का विभाजन

अंजीर पर। 4 दूसरे सुनहरे खंड की रेखा की स्थिति को दर्शाता है। यह स्वर्ण खंड रेखा और आयत की मध्य रेखा के बीच में स्थित है।

स्वर्ण त्रिकोण

चावल। 5.एक नियमित पेंटागन और पेंटाग्राम का निर्माण

चावल। 6.स्वर्ण त्रिभुज का निर्माण

हम एक सीधी रेखा खींचते हैं अब. बिंदु से एउस पर तीन बार एक खंड रखना के बारे मेंमनमाना मूल्य, परिणामी बिंदु के माध्यम से आररेखा के लिए एक लंब खींचें अब, बिंदु के दाएं और बाएं लंबवत पर आरअलग खंड निर्धारित करें के बारे में. प्राप्त अंक डीऔर डी 1 सीधी रेखाओं से एक बिंदु से जुड़ता है ए. रेखा खंड डीडी 1 लाइन पर अलग सेट करें विज्ञापन 1, एक बिंदु प्राप्त करना साथ. उसने रेखा को विभाजित किया विज्ञापन 1 सुनहरे अनुपात के अनुपात में। पंक्तियां विज्ञापन 1 और डीडी 1 का उपयोग "सुनहरा" आयत बनाने के लिए किया जाता है।

सुनहरे अनुपात का इतिहास

चावल। 7.गतिशील आयत

प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) भी स्वर्ण विभाजन के बारे में जानता था। उनका संवाद "टाइमियस" पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्य संबंधी विचारों और विशेष रूप से, गोल्डन डिवीजन के प्रश्नों के लिए समर्पित है।

चावल। 8. प्राचीन कम्पाससुनहरा अनुपात

प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, यूक्लिड के तत्वों में सबसे पहले स्वर्णिम विभाजन का उल्लेख किया गया था। "शुरुआत" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइपसिकल्स (द्वितीय शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तृतीय शताब्दी ईस्वी) और अन्य स्वर्ण मंडल के अध्ययन में लगे हुए थे। मध्यकालीन यूरोप में हम यूक्लिड के तत्वों के अरबी अनुवादों के माध्यम से सुनहरे विभाजन के साथ मिले। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैंपानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को सख्ती से रखा गया था, सख्त गोपनीयता में रखा गया था। वे केवल दीक्षा के लिए जाने जाते थे।

पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला दोनों में इसके उपयोग के संबंध में वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच सुनहरे विभाजन में रुचि बढ़ी, विशेष रूप से वास्तुकला में लियोनार्डो दा विंची, एक कलाकार और वैज्ञानिक, ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास महान अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन थोड़ा ज्ञान . उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उस समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक पुस्तक दिखाई दी और लियोनार्डो ने अपना विचार छोड़ दिया। विज्ञान के समकालीनों और इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशमान व्यक्ति थे, जो फिबोनाची और गैलीलियो के बीच इटली के सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का की छात्रा थीं, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थीं। 1496 में, मोरो के ड्यूक के निमंत्रण पर, वह मिलान आए, जहां उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान में मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पैसिओली का दिव्य अनुपात वेनिस में शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ प्रकाशित किया गया था, यही कारण है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया माना जाता है। पुस्तक सुनहरे अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई फायदों में से, भिक्षु लुका पैसिओली अपने "ईश्वरीय सार" को ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा की दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नाम देने में विफल नहीं हुए (यह समझा गया कि छोटा खंड ईश्वर पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड ईश्वर पिता का अवतार है, और संपूर्ण - पवित्र आत्मा का देवता)।

उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहा था। वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं। “यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैं यही करने के लिए निकला हूं।"

केप्लर ने सुनहरे अनुपात को स्व-निरंतर कहा। "यह इस तरह से व्यवस्थित किया गया है," उन्होंने लिखा, "कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद तक जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो देते हैं अगला कार्यकाल, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है।"

चावल। 9.सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाना

बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात का नियम एक अकादमिक कैनन में बदल गया, और जब, समय के साथ, संघर्ष की गर्मी में अकादमिक दिनचर्या के साथ कला में संघर्ष शुरू हुआ, "उन्होंने बच्चे को पानी से बाहर फेंक दिया।" 19वीं शताब्दी के मध्य में फिर से सुनहरा खंड "खोजा" गया था। 1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर ज़ीज़िंग ने अपना काम एस्थेटिक रिसर्च प्रकाशित किया। ज़ीज़िंग के साथ, वास्तव में जो हुआ वह उस शोधकर्ता के साथ होना ही था जो इस घटना को अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना इस तरह मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए स्वर्ण खंड के अनुपात को निरपेक्ष कर दिया। ज़ीज़िंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के अपने सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया।

चावल। 10.मानव शरीर के कुछ हिस्सों में सुनहरे अनुपात

ज़ीज़िंग ने बहुत अच्छा काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन स्वर्ण खंड का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है। पुरुष शरीर के अनुपात में 13: 8 = 1.625 के औसत अनुपात में उतार-चढ़ाव होता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में सुनहरे अनुपात के कुछ हद तक करीब होता है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य अनुपात 8 में व्यक्त किया जाता है: 5 = 1.6। एक नवजात शिशु में अनुपात 1:1, 13 वर्ष की आयु तक 1.6 तथा 21 वर्ष की आयु तक पुरुष के बराबर होता है। सुनहरे खंड के अनुपात शरीर के अन्य भागों के संबंध में भी प्रकट होते हैं - कंधे की लंबाई, प्रकोष्ठ और हाथ, हाथ और उंगलियां, आदि।

चावल। ग्यारह।मानव आकृति में सुनहरे अनुपात

XIX के अंत में - XX सदियों की शुरुआत। कला और वास्तुकला के कार्यों में स्वर्ण खंड के उपयोग के बारे में बहुत सारे विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिजाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम कारों, फर्नीचर आदि के डिजाइन तक बढ़ा।

फाइबोनैचि श्रृंखला

पीसा से इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फाइबोनैचि (बोनैकी का पुत्र) के रूप में जाना जाता है, अप्रत्यक्ष रूप से सुनहरे अनुपात के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को भारतीय (अरबी) अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनकी गणितीय कृति द बुक ऑफ द एबैकस (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुई, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया था। कार्यों में से एक पढ़ता है "एक जोड़ी से एक वर्ष में कितने जोड़े खरगोश पैदा होंगे।" इस विषय पर विचार करते हुए, फाइबोनैचि ने निम्नलिखित संख्याओं की श्रृंखला बनाई:

संख्याओं की एक श्रृंखला 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो 2 + 3 = 5 के योग के बराबर है; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, आदि, और श्रृंखला के आसन्न संख्याओं का अनुपात सुनहरे विभाजन के अनुपात में आता है। इसलिए, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। यह रिश्ता प्रतीक है एफ. केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है, इसकी वृद्धि या अनंत तक घट जाती है, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है, क्योंकि बड़ा सब कुछ होता है।

सामान्यीकृत सुनहरा अनुपात

इस क्षेत्र की उपलब्धियों में से एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि संख्या और सामान्यीकृत सुनहरे अनुपात की खोज है।

उनके द्वारा खोजी गई फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और भार 1, 2, 4, 8, 16 की "बाइनरी" श्रृंखला... पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उनके निर्माण के लिए एल्गोरिदम एक-दूसरे के समान हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या का योग 2 = 1 + 1 है; 4 \u003d 2 + 2 ..., दूसरे में - यह दो पिछली संख्याओं का योग है 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... क्या यह संभव है एक सामान्य गणितीय सूत्र खोजने के लिए जिसमें से "बाइनरी श्रृंखला, और फाइबोनैचि श्रृंखला? या हो सकता है कि यह सूत्र हमें कुछ नए अद्वितीय गुणों के साथ नए संख्यात्मक सेट प्रदान करे?

दरअसल, हम संख्यात्मक पैरामीटर सेट करते हैं एस, जो कोई भी मान ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5... एक संख्या श्रृंखला पर विचार करें, एस+ 1 जिसका पहला शब्द इकाइयाँ हैं, और बाद में प्रत्येक पिछले एक के दो शब्दों के योग के बराबर है और जो पिछले एक से अलग है एसकदम। अगर एनहम इस श्रृंखला के वें पद को φ S ( एन), तो हमें सामान्य सूत्र φ S ( एन) = φ एस ( एन- 1) + φ एस ( एन - एस - 1).

जाहिर है कि पर एस= 0 इस सूत्र से हमें "बाइनरी" श्रृंखला मिलती है, साथ में एस= 1 - फाइबोनैचि श्रृंखला, साथ एस\u003d 2, 3, 4। संख्याओं की नई श्रृंखला जिन्हें कहा जाता है एस-फाइबोनैचि संख्याएं।

में सामान्य रूप से देखेंस्वर्ण एस-अनुपात सुनहरे समीकरण का सकारात्मक मूल है एस-अनुभाग x S+1 - x S - 1 = 0।

यह दिखाना आसान है कि कब एस= 0, हमें आधे में खंड का विभाजन मिलता है, और कब एस= 1 - परिचित शास्त्रीय सुनहरा अनुपात।

पड़ोसियों के रिश्ते एस-गणितीय सटीकता के साथ फाइबोनैचि संख्या सुनहरे के साथ सीमा में मेल खाती है एस-अनुपात! गणितज्ञ ऐसे मामलों में कहते हैं कि सोना एस-सेक्शन संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं एस-फाइबोनैचि संख्याएं।

सोने के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य एसप्रकृति में अनुभाग, बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. सोरोको "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ़ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984) पुस्तक में। यह पता चला है, उदाहरण के लिए, अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, उच्चारित कार्यात्मक गुण होते हैं (तापीय रूप से स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) केवल तभी जब प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट गुरुत्व एक दूसरे से संबंधित हों एक सोने से एस-अनुपात। इसने लेखक को एक परिकल्पना को सामने रखने की अनुमति दी कि सोना एस-सेक्शन स्व-आयोजन प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि होने के कारण, यह परिकल्पना तालमेल के विकास के लिए मूलभूत महत्व की हो सकती है - विज्ञान का एक नया क्षेत्र जो स्व-संगठित प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है।

गोल्डन कोड के साथ एस-अनुपात सोने की डिग्री के योग के रूप में किसी भी वास्तविक संख्या को व्यक्त कर सकते हैं एस-पूर्णांक गुणांक के साथ अनुपात।

संख्याओं को कूटने की इस पद्धति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नए कोड के आधार सुनहरे होते हैं एस-अनुपात, एस> 0 अपरिमेय संख्याएँ हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणालियाँ, जैसा कि तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के ऐतिहासिक रूप से स्थापित पदानुक्रम को "उल्टा" करती हैं। तथ्य यह है कि सबसे पहले प्राकृतिक संख्या "खोजी" गई थी; तो उनके अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं। और केवल बाद में - पाइथागोरस द्वारा अतुलनीय खंडों की खोज के बाद - अपरिमेय संख्याएँ दिखाई दीं। उदाहरण के लिए, दशमलव, क्विनरी, बाइनरी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याएँ - 10, 5, 2 - को एक प्रकार के मूलभूत सिद्धांत के रूप में चुना गया था, जिसमें से, कुछ नियमों के अनुसार, अन्य सभी प्राकृतिक, साथ ही तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं का निर्माण किया गया।

नंबरिंग के मौजूदा तरीकों का एक प्रकार एक नया, अपरिमेय प्रणाली है, जो मूलभूत सिद्धांत के रूप में है, जिसकी शुरुआत को एक अपरिमेय संख्या के रूप में चुना जाता है (जो, हम याद करते हैं, गोल्डन सेक्शन समीकरण की जड़ है); अन्य वास्तविक संख्याएँ इसके माध्यम से पहले ही व्यक्त की जा चुकी हैं।

ऐसी संख्या प्रणाली में, कोई भी प्राकृतिक संख्या हमेशा परिमित संख्या के रूप में प्रदर्शित होती है - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! - किसी भी स्वर्ण की डिग्री का योग एस-अनुपात। यह एक कारण है कि क्यों "तर्कहीन" अंकगणित, अपनी अद्भुत गणितीय सरलता और लालित्य के साथ, अवशोषित हो गया लगता है सर्वोत्तम गुणशास्त्रीय बाइनरी और "फाइबोनैचि" अंकगणित।

प्रकृति में आकार देने के सिद्धांत

चावल। 12.आर्किमिडीज का सर्पिल

चावल। 13.कासनी

चावल। 14.जरायुज छिपकली

चावल। 15.पक्षी का अंडा

जीवित जीवों के जीन संरचनाओं में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, "सुनहरा" समरूपता के पैटर्न प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और संपूर्ण शरीर की संरचना में हैं, और बायोरिएथम्स और मस्तिष्क के कामकाज और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं।

सुनहरा अनुपात और समरूपता

स्वर्ण विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, स्वर्ण विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में ऐसी अवधारणाएँ शामिल हैं स्थिरऔर गतिशील समरूपता. स्थैतिक समरूपता आराम, संतुलन और गतिशील समरूपता आंदोलन, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थैतिक समरूपता को क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शाया जाता है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, गति, विकास, लय की विशेषता है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थैतिक समरूपता समान खंडों, समान परिमाणों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और यह बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त की जाती है।

गतिशील आयत

प्राचीन सुनहरा अनुपात कम्पास

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थीं। 1496 में, मोरो के ड्यूक के निमंत्रण पर, वह मिलान आए, जहां उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान में मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पैसिओली का दिव्य अनुपात वेनिस में शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ प्रकाशित किया गया था, यही कारण है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया माना जाता है। पुस्तक सुनहरे अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई फायदों में से, भिक्षु लुका पैसिओली अपने "ईश्वरीय सार" को ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा की दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नाम देने में विफल नहीं हुए (यह समझा गया कि छोटा खंड ईश्वर पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड ईश्वर पिता का अवतार है, और संपूर्ण - पवित्र आत्मा का देवता)।

सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाना

प्राचीन काल से, लोग इस सवाल के बारे में चिंतित रहे हैं कि क्या सुंदरता और सद्भाव जैसी मायावी चीजें किसी गणितीय गणना के अधीन हैं। बेशक, सुंदरता के सभी नियमों को कुछ सूत्रों में समाहित नहीं किया जा सकता है, लेकिन गणित का अध्ययन करके, हम सुंदरता के कुछ शब्दों की खोज कर सकते हैं - सुनहरा अनुपात। हमारा कार्य यह पता लगाना है कि स्वर्ण खंड क्या है और यह स्थापित करना है कि मानव जाति ने स्वर्ण खंड का उपयोग कहाँ पाया है।

आपने शायद इस तथ्य पर ध्यान दिया है कि हम वस्तुओं और आसपास की वास्तविकता की घटनाओं को अलग तरह से मानते हैं। होना एचशालीनता, हो एचएकरूपता, अनुपातहीनता को हमारे द्वारा कुरूप माना जाता है और एक प्रतिकारक प्रभाव पैदा करता है। और वस्तुओं और घटनाएँ, जो माप, समीचीनता और सामंजस्य की विशेषता हैं, को सुंदर माना जाता है और हमें प्रशंसा, आनंद, उत्साह की भावना पैदा करता है।

एक व्यक्ति अपनी गतिविधि में लगातार उन वस्तुओं का सामना करता है जो सुनहरे अनुपात पर आधारित हैं। ऐसी चीजें हैं जिन्हें समझाया नहीं जा सकता। तो आप एक खाली बेंच के पास आकर उस पर बैठ जाएं। कहाँ बैठोगे? बीच में? या शायद बहुत किनारे से? नहीं, सबसे अधिक संभावना एक या दूसरे नहीं। आप इस तरह बैठेंगे कि बेंच के एक हिस्से का आपके शरीर के सापेक्ष दूसरे हिस्से से अनुपात लगभग 1.62 हो जाएगा। एक साधारण सी बात, बिल्कुल सहज... एक बेंच पर बैठकर, आपने "गोल्डन रेशियो" को पुन: पेश किया।

स्वर्ण अनुपात प्राचीन मिस्र और बेबीलोन, भारत और चीन में जाना जाता था। महान पाइथागोरस ने एक गुप्त स्कूल बनाया जहाँ उन्होंने अध्ययन किया रहस्यमय सार"सुनहरा अनुभाग"। यूक्लिड ने इसे लागू किया, अपनी ज्यामिति और फिडियास - उनकी अमर मूर्तियां बनाईं। प्लेटो ने कहा कि ब्रह्मांड "स्वर्ण खंड" के अनुसार व्यवस्थित है। अरस्तू ने नैतिक कानून के "सुनहरे खंड" के पत्राचार को पाया। लियोनार्डो दा विंची और माइकल एंजेलो "गोल्डन सेक्शन" के उच्चतम सामंजस्य का प्रचार करेंगे, क्योंकि सुंदरता और "गोल्डन सेक्शन" एक ही हैं। और ईसाई रहस्यवादी अपने मठों की दीवारों पर "गोल्डन सेक्शन" के पेंटाग्राम खींचेंगे, जो शैतान से बचेंगे। उसी समय, वैज्ञानिक - पैसिओली से लेकर आइंस्टीन तक - खोजेंगे, लेकिन उसे कभी नहीं खोज पाएंगे। सही मूल्य. होना एचदशमलव बिंदु के बाद अंतिम पंक्ति 1.6180339887 है। निर्जीव प्रकृति नहीं जानती कि "सुनहरा खंड" क्या है। लेकिन आप निश्चित रूप से इस अनुपात को समुद्र के गोले के वक्रों में, और फूलों के रूप में, और भृंगों के रूप में, और एक सुंदर मानव शरीर में देखेंगे। सब कुछ जीवित और सब कुछ सुंदर - सब कुछ ईश्वरीय नियम का पालन करता है, जिसका नाम "सुनहरा खंड" है। तो "सुनहरा अनुपात" क्या है? यह पूर्ण, दिव्य संयोजन क्या है? शायद यह सुंदरता का नियम है? या यह अभी भी एक रहस्यमय रहस्य है? वैज्ञानिक घटना या नैतिक सिद्धांत? उत्तर अभी भी अज्ञात है। अधिक सटीक - नहीं, यह ज्ञात है। "गोल्डन सेक्शन" वह और दूसरा, और तीसरा दोनों है। केवल अलग से नहीं, बल्कि एक ही समय में ... और यही उनका सच्चा रहस्य है, उनका महान रहस्य है।

सुंदरता के एक वस्तुनिष्ठ मूल्यांकन के लिए एक विश्वसनीय उपाय खोजना शायद मुश्किल है, और यहाँ केवल तर्क से काम नहीं चलेगा। हालाँकि, उन लोगों का अनुभव जिनके लिए सुंदरता की खोज जीवन का अर्थ था, जिन्होंने इसे अपना पेशा बनाया, यहाँ मदद मिलेगी। सबसे पहले, ये कला के लोग हैं, जैसा कि हम उन्हें कहते हैं: कलाकार, वास्तुकार, मूर्तिकार, संगीतकार, लेखक। लेकिन ये सटीक विज्ञान के लोग हैं, सबसे पहले गणितज्ञ।

अन्य इंद्रियों की तुलना में आंख पर अधिक भरोसा करते हुए, मनुष्य ने सबसे पहले अपने आस-पास की वस्तुओं को आकार से अलग करना सीखा। किसी वस्तु के रूप में रुचि महत्वपूर्ण आवश्यकता से निर्धारित हो सकती है, या यह रूप की सुंदरता के कारण हो सकती है। रूप, जो समरूपता और सुनहरे अनुपात के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। पूरे में हमेशा भाग होते हैं, विभिन्न आकारों के हिस्से एक दूसरे से और पूरे से एक निश्चित संबंध में होते हैं। स्वर्ण खंड का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है।

गोल्डन सेक्शन - हार्मोनिक अनुपात

गणित में, अनुपात दो अनुपातों की समानता है:

रेखाखंड AB को निम्न प्रकार से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:

दो बराबर भागों में - AB: AC = AB: BC;
किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे हिस्से अनुपात नहीं बनाते हैं);
इस प्रकार, जब AB:AC=AC:BC.

बाद वाला गोल्डन डिवीजन (अनुभाग) है।

स्वर्ण खंड असमान भागों में एक खंड का ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा खुद छोटे हिस्से से संबंधित होता है, दूसरे शब्दों में, छोटा खंड होता है बड़े से संबंधित है क्योंकि बड़ा हर चीज से संबंधित है

ए: बी = बी: सी या सी: बी = बी: ए।

सुनहरे अनुपात का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व

सुनहरे अनुपात के अनुसार एक रेखा खंड का विभाजन। बीसी = 1/2 एबी; सीडी = बीसी

बिंदु B से, आधा AB के बराबर एक लंब को पुनर्स्थापित किया जाता है। परिणामी बिंदु C बिंदु A से एक रेखा द्वारा जुड़ा हुआ है। परिणामी रेखा पर, एक खंड BC प्लॉट किया जाता है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को सीधी रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E खंड AB को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है।

सुनहरे अनुपात के खंड बिना व्यक्त किए जाते हैं एचअंतिम अंश AE = 0.618 ..., यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, BE = 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मान अक्सर उपयोग किए जाते हैं। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाता है, तो खंड का सबसे बड़ा भाग 62 और छोटा 38 भाग होता है।

सुनहरे खंड के गुणों को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

इस समीकरण का हल:

सुनहरे अनुपात के गुण इस संख्या के चारों ओर रहस्य की एक रोमांटिक आभा और लगभग एक रहस्यमय पीढ़ी बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक नियमित पांच-नुकीले तारे में, प्रत्येक खंड को सुनहरे अनुपात के अनुपात में पार करने वाले खंड द्वारा विभाजित किया जाता है (यानी नीले खंड का हरा, लाल से नीला, हरा से बैंगनी, 1.618 है)।

दूसरा स्वर्ण खंड

यह अनुपात वास्तु शास्त्र में पाया जाता है।

दूसरे स्वर्ण खंड का निर्माण

विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। खंड AB को सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित किया गया है। बिंदु C से, लंबवत CD को पुनर्स्थापित किया जाता है। त्रिज्या AB बिंदु D है, जो बिंदु A से एक रेखा से जुड़ा है। समकोण ACD समद्विभाजित है। बिंदु C से रेखा AD वाले चौराहे तक एक रेखा खींची जाती है। बिंदु E, खंड AD को 56:44 के संबंध में विभाजित करता है।

दूसरे सुनहरे अनुपात की एक रेखा द्वारा एक आयत का विभाजन

स्वर्ण त्रिभुज (पेंटाग्राम)

आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंड खोजने के लिए, आप पेंटाग्राम का उपयोग कर सकते हैं।

एक नियमित पेंटागन और पेंटाग्राम का निर्माण

पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको नियमित पेंटागन बनाना होगा। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर द्वारा विकसित की गई थी। मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्यबिंदु है। त्रिज्या OA के लंबवत, बिंदु O पर उठा हुआ, बिंदु D पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है। कम्पास का उपयोग करके, व्यास पर CE = ED खंड को चिह्नित करें। एक वृत्त में खुदे हुए एक नियमित पेंटागन की एक भुजा की लंबाई DC है। हम खंड डीसी को सर्कल पर सेट करते हैं और एक नियमित पंचकोण बनाने के लिए पांच अंक प्राप्त करते हैं। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचकोण के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं।

पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसकी भुजाएँ शीर्ष पर 36 0 का कोण बनाती हैं, और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित करता है।

सरल रेखा AB खींचिए। बिंदु A से हम उस पर तीन बार मनमाना आकार का एक खंड O बिछाते हैं, परिणामी बिंदु P के माध्यम से हम रेखा AB के लिए एक लंबवत रेखा खींचते हैं, बिंदु P के दाईं और बाईं ओर हम खंड O को हटा देते हैं। परिणामी बिंदु बिंदु d और d 1 बिंदु A के साथ सीधी रेखाओं से जुड़े हुए हैं। खंड dd 1 हम इसे विज्ञापन 1 पर रखते हैं, बिंदु C प्राप्त करते हैं। उसने रेखा विज्ञापन 1 को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित किया। विज्ञापन 1 और dd 1 का उपयोग "सुनहरा" आयत बनाने के लिए किया जाता है।

स्वर्ण त्रिभुज का निर्माण

स्वर्ण खंड का इतिहास

दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स, मंदिरों, घरेलू सामानों और सजावट के पिरामिड के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर ने पाया कि एबिडोस में फिरौन सेती I के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को चित्रित राहत में, आंकड़ों के अनुपात सुनहरे विभाजन के मूल्यों के अनुरूप हैं। वास्तुकार खेसिरा, जो अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर दर्शाया गया है, अपने हाथों में मापक यंत्र रखता है, जिसमें स्वर्ण मंडल के अनुपात तय होते हैं।

गतिशील आयत

प्लेटो भी स्वर्ण मंडल के बारे में जानता था। प्लेटो के इसी नाम के डायलॉग में पाइथागोरसियन टिमियस कहता है: “दो चीजों के लिए एक तिहाई के बिना पूरी तरह से एकजुट होना असंभव है, क्योंकि उनके बीच एक चीज दिखाई देनी चाहिए जो उन्हें एक साथ रखेगी। अनुपात इसे सबसे अच्छी तरह से पूरा कर सकता है, क्योंकि यदि तीन संख्याओं में यह संपत्ति है कि माध्य कम से संबंधित है क्योंकि माध्य अधिक है, और इसके विपरीत, माध्य अधिक से कम है, तो अंतिम और पहला मध्य होगा, और मध्य - पहला और अंतिम। इस प्रकार, आवश्यक सब कुछ समान होगा, और चूंकि यह वही होगा, यह एक पूर्ण बना देगा। प्लेटो दो प्रकार के त्रिभुजों का उपयोग करके सांसारिक दुनिया का निर्माण करता है: समद्विबाहु और गैर-समद्विबाहु। वह सबसे सुंदर समकोण त्रिभुज को वह मानता है जिसमें कर्ण टाँगों से दुगुना छोटा होता है (ऐसा आयत आधा समबाहु होता है, बेबीलोनियों की मुख्य आकृति, इसका अनुपात 1:3 1/2 होता है) , जो सुनहरे अनुपात से लगभग 1/25 से अलग है, और इसे टिमर्डिंग "सुनहरे अनुपात का प्रतिद्वंद्वी" कहा जाता है)। त्रिभुजों का उपयोग करते हुए, प्लेटो चार नियमित पॉलीहेड्रा बनाता है, उन्हें चार सांसारिक तत्वों (पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि) से जोड़ता है। और केवल पाँच मौजूदा नियमित पॉलीहेड्रा में से अंतिम - डोडेकाहेड्रॉन, जिसके सभी बारह चेहरे नियमित पेंटागन हैं, स्वर्गीय दुनिया की एक प्रतीकात्मक छवि होने का दावा करते हैं।

आइकोसैहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन

प्राचीन सुनहरा अनुपात कम्पास

प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, यूक्लिड के तत्वों में सबसे पहले स्वर्णिम विभाजन का उल्लेख किया गया था। "शुरुआत" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) और अन्य ने स्वर्ण विभाजन का अध्ययन किया। मध्यकालीन यूरोप में, वे यूक्लिड के "शुरुआत" के अरबी अनुवादों से सुनहरे विभाजन से परिचित हुए। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैंपानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को सख्ती से रखा गया था, सख्त गोपनीयता में रखा गया था। वे केवल दीक्षा के लिए जाने जाते थे।

मध्य युग में, पेंटाग्राम को दानव बना दिया गया था (जैसा कि, वास्तव में, बहुत कुछ जिसे प्राचीन बुतपरस्ती में दैवीय माना जाता था) और गुप्त विज्ञान में आश्रय पाया। हालाँकि, पुनर्जागरण फिर से पेंटाग्राम और सुनहरे अनुपात दोनों को प्रकाश में लाता है। इस प्रकार, मानव शरीर की संरचना का वर्णन करने वाली एक योजना ने मानवतावाद के दावे के उस काल में व्यापक प्रसार प्राप्त किया।

लियोनार्डो दा विंची ने भी बार-बार ऐसी तस्वीर का सहारा लिया, वास्तव में एक पेंटाग्राम का पुनरुत्पादन। इसकी व्याख्या: मानव शरीर में दिव्य पूर्णता है, क्योंकि इसमें निहित अनुपात मुख्य खगोलीय आकृति के समान हैं। लियोनार्डो दा विंची, एक कलाकार और वैज्ञानिक, ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास बहुत अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन ज्ञान बहुत कम था। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उस समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक पुस्तक दिखाई दी और लियोनार्डो ने अपना विचार छोड़ दिया। विज्ञान के समकालीनों और इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशमान व्यक्ति थे, जो फिबोनाची और गैलीलियो के बीच इटली के सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का की छात्रा थीं, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थीं।

1496 में, ड्यूक मोरो के निमंत्रण पर, वे मिलान आए, जहाँ उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान में मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, 1509 में वेनिस में प्रकाशित लुका पैसिओली का डी डिविना प्रॉपोर्शन, 1497, वेनिस में शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ प्रकाशित हुआ था, यही कारण है कि यह माना जाता है कि वे लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाए गए थे। पुस्तक सुनहरे अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। ऐसा केवल एक ही अनुपात है, और अद्वितीयता ईश्वर का सर्वोच्च गुण है। यह पवित्र त्रिमूर्ति का प्रतीक है। यह अनुपात एक सुलभ संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, छिपा हुआ और गुप्त रहता है, और स्वयं गणितज्ञों द्वारा तर्कहीन कहा जाता है (इसलिए भगवान को न तो परिभाषित किया जा सकता है और न ही शब्दों द्वारा समझाया जा सकता है)। ईश्वर कभी नहीं बदलता है और हर चीज में और उसके प्रत्येक हिस्से में सब कुछ का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए किसी भी निरंतर और निश्चित मात्रा के लिए सुनहरा अनुपात (भले ही वह बड़ा या छोटा हो) समान है, बदला या बदला नहीं जा सकता है। अन्यथा द्वारा माना जाता है दिमाग। ईश्वर ने स्वर्गीय सद्गुण होने का आह्वान किया, जिसे अन्यथा पाँचवाँ पदार्थ कहा जाता है, इसकी मदद से चार अन्य सरल शरीर (चार तत्व - पृथ्वी, जल, वायु, अग्नि) और उनके आधार पर प्रकृति में हर दूसरी चीज़ होने का आह्वान किया; इसलिए हमारा पवित्र अनुपात, टिमाईस में प्लेटो के अनुसार, आकाश को ही औपचारिक अस्तित्व देता है, क्योंकि इसे एक शरीर के रूप में जिम्मेदार ठहराया जाता है जिसे डोडेकाहेड्रॉन कहा जाता है, जिसे सुनहरे खंड के बिना नहीं बनाया जा सकता है। ये पैसिओली के तर्क हैं।

लियोनार्डो दा विंची ने भी गोल्डन डिवीजन के अध्ययन पर ज्यादा ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पेंटागनों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे विभाजन में पहलू अनुपात वाले आयत प्राप्त किए। इसलिए उन्होंने इस विभाग को स्वर्ण खंड का नाम दिया। इसलिए यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है।

उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहा था। वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं: “यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैं यही करने के लिए निकला हूं।"

ड्यूरर के पत्रों में से एक को देखते हुए, वह इटली में रहने के दौरान लुका पैसिओली से मिला। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर विस्तार से मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विकसित करता है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में सुनहरे खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्यमा उंगलियों के सुझावों के माध्यम से खींची गई रेखा, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह आदि से। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।

यदि मनमानी लंबाई की सीधी रेखा पर, खंड को स्थगित करें एम , एक खंड अलग रख दें एम . इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंडों का निर्माण करते हैं।

सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाना

बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात का नियम एक अकादमिक कैनन में बदल गया, और जब, समय के साथ, कला में एक अकादमिक दिनचर्या के साथ संघर्ष शुरू हुआ, संघर्ष की गर्मी में, "उन्होंने बच्चे को पानी से बाहर फेंक दिया।" 19वीं शताब्दी के मध्य में फिर से सुनहरा खंड "खोजा" गया था।

1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर ज़ीज़िंग ने अपना काम एस्थेटिक रिसर्च प्रकाशित किया। ज़ीज़िंग के साथ, वास्तव में जो हुआ वह उस शोधकर्ता के साथ होना ही था जो इस घटना को अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना इस तरह मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए स्वर्ण खंड के अनुपात को निरपेक्ष कर दिया। ज़ीज़िंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के अपने सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया।

ज़ीज़िंग ने बहुत अच्छा काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन स्वर्ण खंड का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है। पुरुष शरीर के अनुपात में औसत अनुपात 13:8=1.625 के भीतर उतार-चढ़ाव होता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में सुनहरे अनुपात के कुछ हद तक करीब होता है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य 8:5 के अनुपात में व्यक्त किया जाता है। =1.6। एक नवजात शिशु में अनुपात 1:1, 13 वर्ष की आयु तक 1.6 तथा 21 वर्ष की आयु तक पुरुष के बराबर होता है। सुनहरे खंड के अनुपात शरीर के अन्य भागों के संबंध में भी प्रकट होते हैं - कंधे की लंबाई, प्रकोष्ठ और हाथ, हाथ और उंगलियां, आदि।

19 वीं के अंत में - 20 वीं शताब्दी की शुरुआत। कला और वास्तुकला के कार्यों में स्वर्ण खंड के उपयोग के बारे में बहुत सारे विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिजाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम कारों, फर्नीचर आदि के डिजाइन तक बढ़ा।

स्वर्णिम अनुपात और समरूपता

समरूपता के संबंध के बिना, सुनहरे अनुपात को अलग से, अलग से नहीं माना जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वुल्फ (1863-1925) ने सुनहरे अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना।

स्वर्ण विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, स्वर्णिम विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में स्थैतिक और गतिशील समरूपता जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं। स्थैतिक समरूपता आराम, संतुलन और गतिशील समरूपता आंदोलन, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थैतिक समरूपता को क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शाया जाता है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, गति, विकास, लय की विशेषता है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थैतिक समरूपता समान खंडों, समान परिमाणों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और यह बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त की जाती है।

फिबोनासीसी श्रृंखला

पीसा से इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है, अप्रत्यक्ष रूप से सुनहरे खंड के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को अरबी अंकों से परिचित कराया। 1202 में, उनका गणितीय कार्य "द बुक ऑफ द अबेकस" (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया था।

संख्याओं की एक श्रृंखला 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो 2+3=5 के योग के बराबर है; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34, आदि, और श्रंखला की सन्निकट संख्याओं का अनुपात स्वर्णिम विभाजन के अनुपात तक पहुंचता है। इसलिए, 21:34=0.617, और 34:55=0.618। यह अनुपात प्रतीक एफ द्वारा दर्शाया गया है। केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है, इसकी वृद्धि या अनंत तक कमी, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है बड़ा सब कुछ है।

जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है, उंगली के प्रत्येक पोर की लंबाई अगले पोर की लंबाई से F-अनुपात में संबंधित है। सभी उंगलियों और पैर की उंगलियों में समान संबंध देखा जाता है। यह संबंध किसी तरह असामान्य है, क्योंकि एक उंगली दूसरी उंगली से बिना किसी दृश्य पैटर्न के लंबी है, लेकिन यह आकस्मिक नहीं है, जैसे मानव शरीर में सब कुछ आकस्मिक नहीं है। उंगलियों पर दूरी, ए से बी से सी से डी से ई तक चिह्नित, सभी एफ अनुपात में एक दूसरे से संबंधित हैं, जैसे कि एफ से जी से एच तक उंगलियों के फालेंज हैं।

इस मेंढक के कंकाल पर एक नज़र डालें और देखें कि कैसे प्रत्येक हड्डी मानव शरीर की तरह ही एफ-अनुपात पैटर्न के अनुरूप होती है।

सामान्यीकृत सुनहरा अनुपात

वैज्ञानिकों ने सक्रिय रूप से फाइबोनैचि संख्याओं के सिद्धांत और गोल्डन सेक्शन को विकसित करना जारी रखा। यू. मटियासेविच ने हिल्बर्ट की 10वीं समस्या को फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हल किया। फाइबोनैचि संख्याओं और गोल्डन सेक्शन का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, गेम, प्रोग्रामिंग) को हल करने के तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।

उनके द्वारा खोजी गई फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और वेट 1, 2, 4, 8 की "बाइनरी" श्रृंखला पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उन्हें बनाने के लिए एल्गोरिदम एक-दूसरे के समान हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या का योग है जो स्वयं 2=1+1 है; 4=2+2..., दूसरे में - यह पिछली दो संख्याओं का योग है 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... क्या एक सामान्य गणित खोजना संभव है किस सूत्र से "बाइनरी »श्रृंखला, और फाइबोनैचि श्रृंखला? या हो सकता है कि यह सूत्र हमें कुछ नए अद्वितीय गुणों के साथ नए संख्यात्मक सेट प्रदान करे?

वास्तव में, आइए एक संख्यात्मक पैरामीटर S सेट करें, जो कोई भी मान ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5... और पिछले एक से S चरणों द्वारा अलग किया गया। यदि हम इस श्रृंखला के nवें सदस्य को किससे निरूपित करें? एस (एन), तो हमें सामान्य सूत्र मिलता है? एस(एन)=? एस(एन-1)+? एस (एन-एस-1)।

जाहिर है, इस सूत्र से S = 0 के साथ हमें एक "बाइनरी" श्रृंखला मिलेगी, जिसमें S = 1 - एक फाइबोनैचि श्रृंखला, S = 2, 3, 4 के साथ। संख्याओं की नई श्रृंखला, जिन्हें S-फाइबोनैचि संख्या कहा जाता है।

सामान्य रूप में सुनहरा एस-अनुपातगोल्डन एस-सेक्शन समीकरण x S+1 -x S -1=0 का सकारात्मक मूल है।

यह दिखाना आसान है कि जब S = 0, आधे में खंड का विभाजन प्राप्त होता है, और जब S = 1, परिचित शास्त्रीय सुनहरा खंड प्राप्त होता है।

पूर्ण गणितीय सटीकता के साथ पड़ोसी फाइबोनैचि एस-संख्या के अनुपात सुनहरे एस-अनुपात के साथ सीमा में मेल खाते हैं! ऐसे मामलों में गणितज्ञ कहते हैं कि गोल्डन एस-सेक्शन फाइबोनैचि एस-नंबर्स के न्यूमेरिकल इनवेरिएंट हैं।

प्रकृति में सुनहरे एस-सेक्शन के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. सोरोको "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ़ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984) पुस्तक में। उदाहरण के लिए, यह पता चला है कि अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, उच्चारित कार्यात्मक गुण (थर्मली स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) होते हैं, अगर प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट वजन एक दूसरे से संबंधित होते हैं। गोल्डन एस-अनुपात से एक करके। इसने लेखक को एक परिकल्पना को सामने रखने की अनुमति दी कि गोल्डन एस-सेक्शन स्व-आयोजन प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि होने के कारण, यह परिकल्पना सहक्रियाशीलता के विकास के लिए मूलभूत महत्व की हो सकती है, विज्ञान का एक नया क्षेत्र जो स्व-आयोजन प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है।

गोल्डन एस-अनुपात कोड का उपयोग करके, किसी भी वास्तविक संख्या को पूर्णांक गुणांक वाले गोल्डन एस-अनुपात की डिग्री के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

एन्कोडिंग संख्याओं की इस पद्धति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नए कोड के आधार, जो सुनहरे S-अनुपात हैं, S>0 के लिए अपरिमेय संख्याएँ हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणालियाँ, जैसा कि तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के ऐतिहासिक रूप से स्थापित पदानुक्रम को "उल्टा" करती हैं। तथ्य यह है कि सबसे पहले प्राकृतिक संख्या "खोजी" गई थी; तो उनके अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं। और केवल बाद में, पाइथागोरस द्वारा अतुलनीय खंडों की खोज के बाद, अपरिमेय संख्याएँ दिखाई दीं। उदाहरण के लिए, दशमलव, द्विवार्षिक, द्विआधारी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याओं को एक प्रकार के मूलभूत सिद्धांत के रूप में चुना गया था: 10, 5, 2, जिसमें से, कुछ नियमों के अनुसार, अन्य सभी प्राकृतिक, साथ ही तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं का निर्माण किया गया।

नंबरिंग के मौजूदा तरीकों का एक प्रकार एक नया, अपरिमेय, सिस्टम है, जिसकी गणना की शुरुआत के मूल सिद्धांत के रूप में एक अपरिमेय संख्या को चुना जाता है (जो, हम याद करते हैं, गोल्डन सेक्शन समीकरण की जड़ है) ; अन्य वास्तविक संख्याएँ इसके माध्यम से पहले ही व्यक्त की जा चुकी हैं।

ऐसी संख्या प्रणाली में, कोई भी प्राकृतिक संख्या हमेशा परिमित संख्या के रूप में प्रदर्शित होती है - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! किसी भी सुनहरे एस-अनुपात की शक्तियों का योग है। यह एक कारण है कि "तर्कहीन" अंकगणित, अद्भुत गणितीय सरलता और लालित्य के साथ, शास्त्रीय बाइनरी और "फाइबोनैचि" अंकगणित के सर्वोत्तम गुणों को अवशोषित करता है।

प्रकृति में आकार देने के सिद्धांत

सब कुछ जो किसी न किसी रूप में बनता है, बनता है, बढ़ता है, अंतरिक्ष में जगह लेने और खुद को संरक्षित करने का प्रयास करता है। यह आकांक्षा मुख्य रूप से दो रूपों में साकार होती है: ऊपर की ओर बढ़ना या पृथ्वी की सतह पर फैलना और एक सर्पिल में मुड़ना।

यहां तक कि गोएथे ने प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर जोर दिया। पेड़ों की शाखाओं पर पत्तियों की सर्पिल और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले देखी गई थी।

सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था, पाइन कोन, अनानास, कैक्टि, आदि में सर्पिल देखा गया था। वनस्पति विज्ञानियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि एक शाखा (फाइलोटैक्सिस) पर पत्तियों की व्यवस्था में, सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, स्वर्ण खंड का नियम स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपने जाल को सर्पिल पैटर्न में घुमाती है। एक तूफान सर्पिल हो रहा है। हिरन का डरा हुआ झुंड सर्पिल में बिखरा हुआ है। डीएनए अणु एक डबल हेलिक्स में मुड़ जाता है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।

मैंडेलब्रॉट श्रृंखला

गोल्डन स्पाइरल का चक्रों से गहरा संबंध है। आधुनिक विज्ञानअराजकता के बारे में सरल चक्रीय संचालन का अध्ययन करता है प्रतिक्रियाऔर उनके द्वारा उत्पन्न भग्न रूप, जो पहले अज्ञात थे। यह आंकड़ा प्रसिद्ध मंडेलब्रॉट श्रृंखला - शब्दकोश से एक पृष्ठ दिखाता है एचव्यक्तिगत पैटर्न के अंग, जूलियन श्रृंखला कहलाते हैं। कुछ वैज्ञानिक मैंडेलब्रॉट श्रृंखला को इससे जोड़ते हैं जेनेटिक कोडकोशिका नाभिक। खंडों में लगातार वृद्धि से उनकी कलात्मक जटिलता में अद्भुत फ्रैक्टल का पता चलता है। और यहाँ भी, लघुगणकीय सर्पिल हैं! यह सब अधिक महत्वपूर्ण है क्योंकि मैंडलब्रॉट श्रृंखला और जूलियन श्रृंखला दोनों ही मानव मन की खोज नहीं हैं। वे प्लेटो के प्रोटोटाइप के दायरे से उत्पन्न होते हैं। जैसा कि डॉक्टर आर पेनरोस ने कहा, "वे माउंट एवरेस्ट की तरह हैं"

सड़क के किनारे की घासों के बीच, एक निश्छल पौधा उगता है - कासनी। आइए इसे करीब से देखें। मुख्य तने से एक शाखा का निर्माण हुआ। यहाँ पहला पत्ता है।

उपांग अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन बनाता है, रुकता है, एक पत्ता जारी करता है, लेकिन पहले से पहले से छोटा है, फिर से अंतरिक्ष में एक इजेक्शन बनाता है, लेकिन कम बल का, एक छोटे आकार और इजेक्शन के एक पत्ते को फिर से रिलीज करता है।

यदि पहला आउटलायर 100 यूनिट के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 यूनिट है, तीसरा 38 है, चौथा 24 है, और इसी तरह आगे। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास में, अंतरिक्ष की विजय, पौधे ने कुछ अनुपात बनाए रखा। सुनहरे अनुपात के अनुपात में इसके विकास के आवेगों में धीरे-धीरे कमी आई।

कासनी

कई तितलियों में, शरीर के वक्ष और उदर भागों के आकार का अनुपात सुनहरे अनुपात से मेल खाता है। अपने पंखों को मोड़कर, रात की तितली नियमित समबाहु त्रिभुज बनाती है। लेकिन यह पंखों को फैलाने के लायक है, और आप शरीर को 2, 3, 5, 8 में विभाजित करने का एक ही सिद्धांत देखेंगे। ड्रैगनफ़्लू भी सुनहरे अनुपात के नियमों के अनुसार बनाया गया है: पूंछ की लंबाई का अनुपात और शरीर पूंछ की लंबाई की कुल लंबाई के अनुपात के बराबर है।

छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आँखों के लिए सुखद अनुपात पर कब्जा कर लिया जाता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई 62 से 38 तक होती है।

जरायुज छिपकली

पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की आकार देने की प्रवृत्ति लगातार टूटती है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां विकास की दिशा में लंबवत भागों के अनुपात में सुनहरा अनुपात दिखाई देता है।

बहुत रुचि पक्षी के अंडों के रूपों का अध्ययन है। उनके विभिन्न रूप दो चरम प्रकारों के बीच उतार-चढ़ाव करते हैं: उनमें से एक को स्वर्ण खंड के एक आयत में अंकित किया जा सकता है, दूसरे को आयत में 1.272 (सुनहरे अनुपात की जड़) के मॉड्यूल के साथ अंकित किया जा सकता है।

पक्षी के अंडों के ऐसे रूप आकस्मिक नहीं हैं, क्योंकि अब यह स्थापित हो गया है कि सुनहरे खंड के अनुपात द्वारा वर्णित अंडों का आकार अंडे के खोल की उच्च शक्ति विशेषताओं से मेल खाता है।

हाथियों के दांत और विलुप्त मैमथ, शेरों के पंजे, और तोते की चोंच लघुगणकीय रूप हैं और एक धुरी के आकार के समान हैं जो एक सर्पिल में बदल जाती है।

वन्यजीवों में, "पंचकोणीय" समरूपता पर आधारित रूप व्यापक हैं (स्टारफ़िश, समुद्री अर्चिन, पुष्प)।

सुनहरा अनुपात सभी क्रिस्टल की संरचना में मौजूद होता है, लेकिन अधिकांश क्रिस्टल सूक्ष्म रूप से छोटे होते हैं, जिससे हम उन्हें नग्न आंखों से नहीं देख सकते। हालाँकि, बर्फ के टुकड़े, जो पानी के क्रिस्टल भी हैं, हमारी आँखों के लिए काफी सुलभ हैं। अति सुंदर सुंदरता के सभी आंकड़े जो बर्फ के टुकड़े, सभी कुल्हाड़ियों, मंडलियों और ज्यामितीय आकृतियों को बनाते हैं, वे भी हमेशा बिना किसी अपवाद के, सुनहरे खंड के पूर्ण स्पष्ट सूत्र के अनुसार निर्मित होते हैं।

सूक्ष्म जगत में, सुनहरे अनुपात के अनुसार निर्मित त्रि-आयामी लघुगणक रूप सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए, कई वायरस में एक आईकोसाहेड्रॉन का त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार होता है। शायद इनमें से सबसे प्रसिद्ध वायरस एडेनो वायरस है। एडेनो वायरस का प्रोटीन खोल एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित 252 यूनिट प्रोटीन कोशिकाओं से बनता है। आइकोसैहेड्रोन के प्रत्येक कोने में एक पंचकोणीय प्रिज्म के आकार में 12 प्रोटीन कोशिका इकाइयाँ होती हैं, और इन कोनों से स्पाइक जैसी संरचनाएँ निकलती हैं।

एडेनो वायरस

विषाणुओं की संरचना में गोल्डन रेशियो पहली बार 1950 के दशक में खोजा गया था। लंदन के बिर्कबेक कॉलेज के वैज्ञानिक ए. क्लग और डी. कास्पर। पोलियो विषाणु द्वारा अपने आप में पहला लघुगणकीय रूप प्रकट किया गया था। इस वायरस का रूप राइनो वायरस जैसा ही निकला।

सवाल उठता है: वायरस ऐसे जटिल त्रि-आयामी रूप कैसे बनाते हैं, जिसके उपकरण में सुनहरा अनुपात होता है, जिसका निर्माण हमारे मानव मन के साथ भी करना काफी कठिन है? वायरस के इन रूपों के खोजकर्ता, वायरोलॉजिस्ट ए. क्लग, निम्नलिखित टिप्पणी करते हैं: “डॉ. कास्पर और मैंने दिखाया है कि वायरस के गोलाकार खोल के लिए, सबसे इष्टतम आकार आइकोसैहेड्रॉन के आकार की तरह समरूपता है। ऐसा क्रम जोड़ने वाले तत्वों की संख्या को कम करता है... बकिमिंस्टर फुलर के अधिकांश भूगणित अर्धगोलीय घनों का निर्माण एक समान ज्यामितीय सिद्धांत के अनुसार किया जाता है। ऐसे क्यूब्स की स्थापना के लिए एक अत्यंत सटीक और विस्तृत स्पष्टीकरण योजना की आवश्यकता होती है, जबकि अचेतन वायरस स्वयं लोचदार, लचीली प्रोटीन सेल इकाइयों के ऐसे जटिल खोल का निर्माण करते हैं।

क्लुग की टिप्पणी एक बार फिर एक अत्यंत स्पष्ट सत्य की याद दिलाती है: यहां तक कि एक सूक्ष्म जीव की संरचना में, जिसे वैज्ञानिक "जीवन का सबसे आदिम रूप" के रूप में वर्गीकृत करते हैं, इस मामले में, एक वायरस, एक स्पष्ट योजना और एक उचित परियोजना है कार्यान्वित किया गया। यह परियोजना लोगों द्वारा बनाई गई सबसे उन्नत वास्तुशिल्प परियोजनाओं के साथ अपनी पूर्णता और निष्पादन की सटीकता में अतुलनीय है। उदाहरण के लिए, शानदार वास्तुकार बकमिंस्टर फुलर द्वारा बनाई गई परियोजनाएं।

डोडकाहेड्रॉन और आईकोसाहेड्रॉन के त्रि-आयामी मॉडल भी एककोशिकीय समुद्री सूक्ष्मजीव रेडिओलेरियन (बीमर्स) के कंकाल की संरचना में मौजूद हैं, जिनमें से कंकाल सिलिका से बना है।

Radiolarians एक बहुत ही उत्तम, असामान्य सुंदरता का अपना शरीर बनाते हैं। उनका आकार एक नियमित द्वादशफलक है, और इसके प्रत्येक कोने से एक छद्म-विस्तार-अंग और अन्य असामान्य रूप-विकास बढ़ते हैं।

मानव शरीर और स्वर्ण खंड

सभी मानव हड्डियाँ सुनहरे खंड के अनुपात में होती हैं। अनुपात विभिन्न भागहमारा शरीर एक संख्या है जो सुनहरे अनुपात के बहुत करीब है। यदि ये अनुपात सुनहरे अनुपात के सूत्र से मेल खाते हैं, तो व्यक्ति का रूप या शरीर आदर्श रूप से निर्मित माना जाता है।

मानव शरीर के कुछ हिस्सों में सुनहरे अनुपात

यदि हम नाभि बिंदु को मानव शरीर के केंद्र के रूप में लेते हैं, और मानव पैर और नाभि बिंदु के बीच की दूरी को माप की इकाई के रूप में लेते हैं, तो व्यक्ति की ऊंचाई 1.618 की संख्या के बराबर होती है।

कंधे के स्तर से सिर के मुकुट तक की दूरी और सिर का आकार 1:1.618 है;
नाभि के बिंदु से सिर के मुकुट तक और कंधे के स्तर से सिर के मुकुट तक की दूरी 1:1.618 है;
नाभि बिंदु की दूरी घुटनों तक और घुटनों से पैरों तक की दूरी 1:1.618 है;
ठोड़ी की नोक से ऊपरी होंठ की नोक तक और ऊपरी होंठ की नोक से नासिका तक की दूरी 1:1.618 है;
वास्तव में, किसी व्यक्ति के चेहरे में सुनहरे अनुपात की सटीक उपस्थिति मानव टकटकी के लिए सुंदरता का आदर्श है;
ठोड़ी की नोक से भौंहों की शीर्ष रेखा तक और भौंहों की शीर्ष रेखा से मुकुट तक की दूरी 1:1.618 है;
चेहरे की ऊंचाई/चेहरे की चौड़ाई;
नाक के आधार / नाक की लंबाई के लिए होठों के कनेक्शन का केंद्रीय बिंदु;
ठोड़ी की नोक से होंठों के जंक्शन के केंद्र बिंदु तक चेहरे की ऊंचाई/दूरी;
मुंह की चौड़ाई/नाक की चौड़ाई;
नाक की चौड़ाई/नाक के बीच की दूरी;
पुतलियों के बीच की दूरी / भौंहों के बीच की दूरी।

बस अब अपनी हथेली को अपने पास लाने और ध्यान से देखने के लिए पर्याप्त है तर्जनी अंगुली, और आपको तुरंत इसमें गोल्डन सेक्शन फॉर्मूला मिल जाएगा।

हमारे हाथ की प्रत्येक उंगली में तीन फालेंज होते हैं। उंगली की पूरी लंबाई के संबंध में उंगली के पहले दो फालेंजों की लंबाई का योग सुनहरा अनुपात (अंगूठे के अपवाद के साथ) देता है।

इसके अलावा मध्यमा और कनिष्ठिका के बीच का अनुपात भी सुनहरे अनुपात के बराबर होता है।

एक व्यक्ति के 2 हाथ होते हैं, प्रत्येक हाथ की उंगलियों में 3 फालेंज होते हैं (अंगूठे के अपवाद के साथ)। प्रत्येक हाथ में 5 अंगुलियां होती हैं, यानी कुल मिलाकर 10, लेकिन दो अंगुलियों के दो अंगुलियों के अपवाद के साथ, सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार केवल 8 उंगलियां बनाई जाती हैं। जबकि ये सभी संख्याएं 2, 3, 5 और 8 फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएं हैं।

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि ज्यादातर लोगों में फैली हुई भुजाओं के सिरों के बीच की दूरी ऊंचाई के बराबर होती है।

सुनहरे अनुपात की सच्चाई हमारे भीतर और हमारे अंतरिक्ष में है। किसी व्यक्ति के फेफड़े बनाने वाली ब्रांकाई की ख़ासियत उनकी विषमता में निहित है। ब्रोंची दो मुख्य वायुमार्गों से बनी होती है, एक (बाएं) लंबी होती है और दूसरी (दाएं) छोटी होती है। यह पाया गया कि यह विषमता ब्रोंची की शाखाओं में, सभी छोटे वायुमार्गों में जारी है। इसके अलावा, छोटी और लंबी ब्रोंची की लंबाई का अनुपात भी सुनहरा अनुपात है और 1:1.618 के बराबर है।

मानव आंतरिक कान में एक कोक्लीअ ("घोंघा") अंग होता है, जो ध्वनि कंपन को प्रसारित करने का कार्य करता है। यह अस्थि संरचना द्रव से भरी होती है और एक घोंघे के रूप में भी बनाई जाती है, जिसमें एक स्थिर लॉगरिदमिक सर्पिल आकार =73 0 43" होता है।

हृदय के धड़कने के साथ रक्तचाप में परिवर्तन होता है। यह अपने संकुचन (सिस्टोल) के समय हृदय के बाएं वेंट्रिकल में अपने सबसे बड़े मूल्य तक पहुँच जाता है। दिल के निलय के सिस्टोल के दौरान धमनियों में, एक युवा, स्वस्थ व्यक्ति में रक्तचाप 115-125 मिमी एचजी के बराबर अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है। हृदय की मांसपेशियों (डायस्टोल) के विश्राम के क्षण में, दबाव घटकर 70-80 मिमी एचजी हो जाता है। अधिकतम (सिस्टोलिक) से न्यूनतम (डायस्टोलिक) दबाव का अनुपात औसतन 1.6 है, जो कि सुनहरे अनुपात के करीब है।

यदि हम महाधमनी में औसत रक्तचाप को एक इकाई के रूप में लेते हैं, तो महाधमनी में सिस्टोलिक रक्तचाप 0.382 और डायस्टोलिक 0.618 है, अर्थात उनका अनुपात सुनहरे अनुपात से मेल खाता है। इसका मतलब यह है कि समय चक्र और रक्तचाप में परिवर्तन के संबंध में दिल का काम सुनहरे अनुपात के कानून के समान सिद्धांत के अनुसार अनुकूलित किया गया है।

डीएनए अणु में दो लंबवत जुड़े हुए हेलिक्स होते हैं। इनमें से प्रत्येक सर्पिल 34 एंग्स्ट्रॉम लंबा और 21 एंग्स्ट्रॉम चौड़ा है। (1 एंग्स्ट्रॉम एक सेंटीमीटर का सौ मिलियनवां हिस्सा है)।

डीएनए अणु के हेलिक्स खंड की संरचना

तो फाइबोनैचि संख्याओं के क्रम में एक के बाद एक के बाद 21 और 34 संख्याएँ हैं, यानी डीएनए अणु के लॉगरिदमिक हेलिक्स की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात गोल्डन सेक्शन 1: 1.618 के सूत्र को वहन करता है।

मूर्तिकला में स्वर्ण खंड

मूर्तियों, स्मारकों को स्मरण करने के लिए बनाया गया है विशेष घटनाएँ, वंशजों की स्मृति में प्रसिद्ध लोगों के नाम, उनके कारनामों और कर्मों को रखना। यह ज्ञात है कि प्राचीन काल में भी मूर्तिकला का आधार अनुपात का सिद्धांत था। मानव शरीर के अंगों का संबंध स्वर्ण खंड के सूत्र से जुड़ा था। "गोल्डन सेक्शन" के अनुपात में सद्भाव, सुंदरता का आभास होता है, इसलिए मूर्तिकारों ने उन्हें अपने कामों में इस्तेमाल किया। मूर्तिकारों का दावा है कि कमर "सुनहरे खंड" के संबंध में संपूर्ण मानव शरीर को विभाजित करती है। उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध मूर्ति Apollo Belvedere में ऐसे भाग होते हैं जो सुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित होते हैं। महान प्राचीन यूनानी मूर्तिकार फिदियास ने अक्सर अपने कामों में "सुनहरे अनुपात" का इस्तेमाल किया। उनमें से सबसे प्रसिद्ध ओलंपियन ज़्यूस (जिसे दुनिया के आश्चर्यों में से एक माना जाता था) और एथेना पार्थेनन की मूर्ति थी।

अपोलो बेल्वेडियर की प्रतिमा का सुनहरा अनुपात ज्ञात है: चित्रित व्यक्ति की ऊंचाई गर्भनाल रेखा द्वारा स्वर्ण खंड में विभाजित है।

वास्तुकला में स्वर्ण खंड

"सुनहरे खंड" पर पुस्तकों में कोई टिप्पणी पा सकता है कि वास्तुकला में, चित्रकला के रूप में, सब कुछ पर्यवेक्षक की स्थिति पर निर्भर करता है, और यदि एक तरफ एक इमारत में कुछ अनुपात "सुनहरा खंड" बनाते हैं, तब दूसरे दृष्टिकोण से वे भिन्न दिखाई देंगे। "गोल्डन सेक्शन" निश्चित लंबाई के आकार का सबसे अधिक आराम का अनुपात देता है।

पार्थेनन (वी शताब्दी ईसा पूर्व) प्राचीन ग्रीक वास्तुकला के सबसे सुंदर कार्यों में से एक है।

रेखाचित्रों में देखा गया पूरी लाइनसुनहरे अनुपात से जुड़े पैटर्न। इमारत के अनुपात को संख्या Ф = 0.618 की विभिन्न डिग्री के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है ...

पार्थेनॉन में छोटी भुजाओं पर 8 स्तंभ और लंबी भुजाओं पर 17 स्तंभ हैं। किनारे पूरी तरह से पेंटीलियन मार्बल के वर्गों से बने हैं। जिस सामग्री से मंदिर का निर्माण किया गया था, उसके बड़प्पन ने रंग के उपयोग को सीमित करना संभव बना दिया, जो ग्रीक वास्तुकला में आम है, यह केवल विवरणों पर जोर देता है और मूर्तिकला के लिए एक रंगीन पृष्ठभूमि (नीला और लाल) बनाता है। इमारत की ऊंचाई का इसकी लंबाई से अनुपात 0.618 है। यदि हम पार्थेनन को "गोल्डन सेक्शन" के अनुसार विभाजित करते हैं, तो हमें मोहरा के कुछ फैलाव मिलेंगे।

पार्थेनन के फर्श की योजना पर आप "सुनहरी आयतें" भी देख सकते हैं।

हम गिरजाघर की इमारत में सुनहरा अनुपात देख सकते हैं पेरिस की नोट्रे डेम(नोट्रे डेम डी पेरिस), और चेप्स के पिरामिड में।

न केवल मिस्र के पिरामिड सुनहरे अनुपात के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए थे; मैक्सिकन पिरामिड में भी यही घटना पाई जाती है।

कब कामाना जाता है कि आर्किटेक्ट्स प्राचीन रूस'बिना किसी विशेष गणितीय गणना के, "आंख से" सब कुछ बनाया। हालाँकि, नवीनतम शोध से पता चला है कि रूसी आर्किटेक्ट गणितीय अनुपातों को अच्छी तरह से जानते थे, जैसा कि प्राचीन मंदिरों की ज्यामिति के विश्लेषण से पता चलता है।

प्रसिद्ध रूसी वास्तुकार एम। काजाकोव ने अपने काम में व्यापक रूप से "गोल्डन सेक्शन" का इस्तेमाल किया। उनकी प्रतिभा बहुमुखी थी, लेकिन काफी हद तक उन्होंने आवासीय भवनों और सम्पदा की कई पूर्ण परियोजनाओं में खुद को प्रकट किया। उदाहरण के लिए, क्रेमलिन में सीनेट भवन की वास्तुकला में "सुनहरा खंड" पाया जा सकता है। एम। काजाकोव की परियोजना के अनुसार, मास्को में गोलित्सिन अस्पताल बनाया गया था, जिसे वर्तमान में पहला कहा जाता है नैदानिक अस्पतालएनआई के नाम पर पिरोगोव।

मास्को में पेट्रोव्स्की पैलेस। एम.एफ की परियोजना के अनुसार निर्मित। काजाकोवा

मॉस्को की एक और वास्तुशिल्प कृति - पशकोव हाउस - वी। बाजेनोव द्वारा वास्तुकला के सबसे उत्तम कार्यों में से एक है।

पशकोव हाउस

V. Bazhenov की अद्भुत रचना ने आधुनिक मास्को के केंद्र के कलाकारों की टुकड़ी में मजबूती से प्रवेश किया, इसे समृद्ध किया। 1812 में बुरी तरह जल जाने के बावजूद घर का बाहरी दृश्य आज भी लगभग अपरिवर्तित बना हुआ है। इमारत के आंतरिक लेआउट को भी संरक्षित नहीं किया गया है, जो केवल निचली मंजिल की ड्राइंग से पता चलता है।

आर्किटेक्ट के कई कथन हमारे दिनों में ध्यान देने योग्य हैं। अपनी पसंदीदा कला के बारे में, वी. बाजेनोव ने कहा: "आर्किटेक्चर के तीन मुख्य विषय हैं: सुंदरता, शांति और इमारत की ताकत ... इसे प्राप्त करने के लिए, सामान्य रूप से अनुपात, परिप्रेक्ष्य, यांत्रिकी या भौतिकी का ज्ञान एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करता है, और उन सभी का एक सामान्य नेता है, यही कारण है।

संगीत में स्वर्ण अनुपात

संगीत के किसी भी टुकड़े में एक समय अवधि होती है और इसे कुछ "सौंदर्य मील के पत्थर" में अलग-अलग हिस्सों में विभाजित किया जाता है जो ध्यान आकर्षित करते हैं और समग्र रूप से धारणा को सुविधाजनक बनाते हैं। ये मील के पत्थर एक संगीत कार्य के गतिशील और अंतराष्ट्रीय परिणति बिंदु हो सकते हैं। एक "जलवायु घटना" से जुड़े संगीत के एक टुकड़े के अलग-अलग समय अंतराल, एक नियम के रूप में, गोल्डन अनुपात के अनुपात में हैं।

1925 में वापस, कला समीक्षक एल.एल. 42 लेखकों द्वारा संगीत के 1770 टुकड़ों का विश्लेषण करने वाले सबनीव ने दिखाया कि उत्कृष्ट कार्यों के विशाल बहुमत को आसानी से या तो थीम, या इंटोनेशन, या मोडल सिस्टम द्वारा भागों में विभाजित किया जा सकता है, जो सुनहरे खंड के संबंध में हैं। इसके अलावा, संगीतकार जितना अधिक प्रतिभाशाली था, उसके कामों में उतने ही सुनहरे खंड पाए गए। सबनीव के अनुसार, सुनहरा अनुपात एक विशेष सामंजस्य की छाप देता है संगीत रचना. यह परिणाम सभी 27 चोपिन दृष्टिकोणों पर सबनीव द्वारा सत्यापित किया गया था। उनमें उन्हें 178 स्वर्ण खंड मिले। उसी समय, यह पता चला कि न केवल एट्यूड्स के बड़े हिस्से को गोल्डन सेक्शन के संबंध में अवधि से विभाजित किया जाता है, बल्कि अंदर के एट्यूड्स के हिस्सों को अक्सर उसी अनुपात में विभाजित किया जाता है।

संगीतकार और वैज्ञानिक एम.ए. Marutaev ने प्रसिद्ध Appassionata सोनाटा में उपायों की संख्या की गणना की और कई दिलचस्प संख्यात्मक संबंध पाए। विशेष रूप से, विकास में, सोनाटा की केंद्रीय संरचनात्मक इकाई, जहां विषय गहन रूप से विकसित होते हैं और कुंजियाँ एक दूसरे को प्रतिस्थापित करती हैं, दो मुख्य खंड होते हैं। पहले में - 43.25 चक्र, दूसरे में - 26.75। अनुपात 43.25:26.75=0.618:0.382=1.618 सुनहरा अनुपात देता है।

अर्न्स्की (95%), बीथोवेन (97%), हेडन (97%), मोजार्ट (91%), चोपिन (92%), शुबर्ट (91%) के पास सबसे बड़ी संख्या में काम हैं जिनमें एक गोल्डन सेक्शन है।

यदि संगीत ध्वनियों का सामंजस्यपूर्ण क्रम है, तो कविता भाषण का सामंजस्यपूर्ण क्रम है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और अस्थिर सिलेबल्स का एक नियमित विकल्प, कविताओं की एक क्रमबद्ध आयाम, उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता बनाती है बहनसंगीतमय कार्य। कविता में सुनहरा अनुपात मुख्य रूप से कविता के एक निश्चित क्षण की उपस्थिति के रूप में प्रकट होता है (चरमोत्कर्ष, शब्दार्थ मोड़, मुख्य विचारउत्पाद) विभाजन बिंदु के कारण पंक्ति में कुल गणनासुनहरे अनुपात में कविता की पंक्तियाँ। इसलिए, यदि कविता में 100 पंक्तियाँ हैं, तो स्वर्ण अनुपात का पहला बिंदु 62 वीं पंक्ति (62%), दूसरा - 38 वें (38%), आदि पर पड़ता है। "यूजीन वनगिन" सहित अलेक्जेंडर सर्गेइविच पुश्किन की रचनाएँ सुनहरे अनुपात के लिए बेहतरीन पत्राचार हैं! शोता रुस्तवेली और एम.यूयू की रचनाएँ। लेर्मोंटोव भी गोल्डन सेक्शन के सिद्धांत पर बने हैं।

स्ट्राडिवारी ने लिखा है कि उन्होंने अपने प्रसिद्ध वायलिन के शरीर पर एफ-आकार के निशान के लिए स्थानों को निर्धारित करने के लिए सुनहरे अनुपात का इस्तेमाल किया।

कविता में स्वर्ण खंड

शोध करना कविताइन पदों से ही शुरू करते हैं। और आपको ए.एस. की कविता से शुरुआत करने की जरूरत है। पुश्किन। आखिरकार, उनकी रचनाएँ रूसी संस्कृति की सबसे उत्कृष्ट कृतियों का एक उदाहरण हैं उच्चतम स्तरसद्भाव। ए.एस. की कविता से। पुश्किन, हम सुनहरे अनुपात की खोज शुरू करेंगे - सद्भाव और सुंदरता का माप।

काव्य रचनाओं की संरचना में बहुत कुछ इस कला को संगीत से संबंधित बनाता है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और अस्थिर सिलेबल्स का एक नियमित विकल्प, कविताओं की एक क्रमबद्ध आयाम, उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीत कार्यों की बहन बनाती है। प्रत्येक श्लोक का अपना है संगीतमय रूप, इसकी लय और माधुर्य। यह उम्मीद की जा सकती है कि कविताओं की संरचना में संगीत की कुछ विशेषताएं, पैटर्न दिखाई देंगे संगीत सद्भावऔर इसलिए सुनहरा अनुपात।

आइए कविता के आकार से शुरू करें, यानी इसमें पंक्तियों की संख्या। ऐसा लगता है कि कविता का यह पैरामीटर मनमाने ढंग से बदल सकता है। हालांकि, यह पता चला कि ऐसा नहीं था। उदाहरण के लिए, कविताओं का विश्लेषण ए.एस. पुष्किन ने दिखाया कि छंदों के आकार बहुत असमान रूप से वितरित किए जाते हैं; यह पता चला कि पुश्किन स्पष्ट रूप से 5, 8, 13, 21 और 34 लाइनों (फाइबोनैचि संख्या) के आकार को पसंद करते हैं।

कई शोधकर्ताओं ने देखा है कि कविताएँ समान हैं संगीतमय कार्य; उनके पास चरमोत्कर्ष बिंदु भी हैं जो कविता को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए, ए.एस. की एक कविता पर विचार करें। पुश्किन "शोमेकर":

आइए इस दृष्टांत का विश्लेषण करें। कविता में 13 पंक्तियाँ हैं। यह दो सिमेंटिक भागों पर प्रकाश डालता है: पहला 8 पंक्तियों में और दूसरा (दृष्टांत का नैतिक) 5 पंक्तियों में (13, 8, 5 फाइबोनैचि संख्याएँ हैं)।

पुश्किन की अंतिम कविताओं में से एक, "मैं हाई-प्रोफाइल अधिकारों को महत्व नहीं देता ..." में 21 पंक्तियाँ हैं और इसमें दो शब्दार्थ भाग प्रतिष्ठित हैं: 13 और 8 पंक्तियों में:

मैं हाई-प्रोफाइल अधिकारों को महत्व नहीं देता,

जिससे किसी को चक्कर न आए।

मैं इस बात पर शिकायत नहीं करता कि देवताओं ने मना कर दिया

मैं चुनौतीपूर्ण करों के बीच में हूं

या राजाओं को आपस में लड़ने से रोक;

और मुझे थोड़ा दुख है, क्या प्रेस मुक्त है

मूर्ख उल्लू, या संवेदनशील सेंसरशिप

पत्रिका की योजनाओं में जोकर शर्मनाक है।

यह सब, आप देखते हैं, शब्द, शब्द, शब्द।

अन्य, बेहतर, अधिकार मुझे प्रिय हैं:

एक और, बेहतर, मुझे आज़ादी चाहिए:

राजा पर निर्भर, प्रजा पर निर्भर -

क्या हम सब परवाह नहीं करते? भगवान उनके साथ है।

केवल अपने आप को रिपोर्ट न दें

सेवा करो और कृपया; सत्ता के लिए, पोशाक के लिए

विवेक, या विचार, या गर्दन को झुकाओ मत;

तेरी चाहत में इधर उधर भटकना,

प्रकृति के दिव्य सौन्दर्य को देखकर चकित,

और कला और प्रेरणा के प्राणियों से पहले

कोमलता के आनंद में खुशी से कांपना,

यहाँ खुशी है! यह सही है...

यह विशेषता है कि इस कविता के पहले भाग (13 पंक्तियों) को शब्दार्थ सामग्री के संदर्भ में 8 और 5 पंक्तियों में विभाजित किया गया है, अर्थात पूरी कविता सुनहरे अनुपात के नियमों के अनुसार निर्मित है।

निस्संदेह रुचि एन। वास्युटिंस्की द्वारा किए गए उपन्यास "यूजीन वनगिन" का विश्लेषण है। इस उपन्यास में 8 अध्याय हैं, प्रत्येक में औसतन लगभग 50 छंद हैं। सबसे उत्तम, सबसे परिष्कृत और भावनात्मक रूप से समृद्ध आठवाँ अध्याय है। इसमें 51 श्लोक हैं। येवगेनी के तात्याना (60 पंक्तियों) के पत्र के साथ, यह बिल्कुल फिबोनाची संख्या 55 से मेल खाता है!

N. Vasyutinsky कहते हैं: "अध्याय की परिणति एवगेनी की तात्याना के लिए प्यार की घोषणा है - रेखा" पीला और फीका ... वह आनंद है! यह रेखा पूरे आठवें अध्याय को दो भागों में विभाजित करती है: पहले में 477 पंक्तियाँ हैं, और दूसरे में 295 पंक्तियाँ हैं। उनका अनुपात 1.617 है! सुनहरे अनुपात के मूल्य के लिए सूक्ष्मतम पत्राचार! यह सद्भाव का एक बड़ा चमत्कार है, जो पुष्किन के प्रतिभा द्वारा पूरा किया गया है!

ई। रोसेनोव ने एम.यूयू द्वारा कई काव्य कार्यों का विश्लेषण किया। लेर्मोंटोव, शिलर, ए.के. टॉल्स्टॉय और उनमें "सुनहरा खंड" भी खोजा।

लेर्मोंटोव की प्रसिद्ध कविता "बोरोडिनो" को दो भागों में विभाजित किया गया है: कथावाचक को संबोधित एक परिचय, जिसमें केवल एक श्लोक है ("मुझे बताओ, चाचा, यह कुछ भी नहीं है ..."), और मुख्य हिस्सा, एक स्वतंत्र संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, जो दो समान भागों में विभाजित है। उनमें से पहला वर्णन करता है, बढ़ते तनाव के साथ, एक लड़ाई की उम्मीद, दूसरा कविता के अंत की ओर तनाव में धीरे-धीरे कमी के साथ लड़ाई का वर्णन करता है। इन भागों के बीच की सीमा काम का चरमोत्कर्ष है और इसे सुनहरे खंड से विभाजित करने के बिंदु पर आती है।

कविता के मुख्य भाग में 13 सात पंक्तियाँ हैं, यानी 91 पंक्तियाँ। इसे सुनहरे अनुपात (91:1.618=56.238) से विभाजित करते हुए, हम सुनिश्चित करते हैं कि विभाजन बिंदु 57वें पद की शुरुआत में है, जहां एक छोटा वाक्यांश है: "ठीक है, यह एक दिन था!" यह वह वाक्यांश है जो "उत्साहित अपेक्षा के समापन बिंदु" का प्रतिनिधित्व करता है, जो कविता के पहले भाग (युद्ध की अपेक्षा) को समाप्त करता है और इसके दूसरे भाग (लड़ाई का वर्णन) को खोलता है।

इस प्रकार, कविता के चरमोत्कर्ष को उजागर करते हुए, कविता में सुनहरा अनुपात बहुत सार्थक भूमिका निभाता है।

शोता रुस्तवेली की कविता "द नाइट इन द पैंथर्स स्किन" के कई शोधकर्ता उनकी कविता के असाधारण सामंजस्य और माधुर्य पर ध्यान देते हैं। कविता के ये गुण जॉर्जियाई वैज्ञानिक, शिक्षाविद जी.वी. Tsereteli कवि द्वारा कविता के रूप के निर्माण और उसकी कविताओं के निर्माण में कवि द्वारा सुनहरे अनुपात के सचेत उपयोग के लिए इसका श्रेय देता है।

रुस्तवेली की कविता में 1587 श्लोक हैं, जिनमें से प्रत्येक में चार पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में 16 शब्दांश होते हैं और प्रत्येक आधी पंक्ति में 8 अक्षरों के दो समान भागों में विभाजित होते हैं। सभी हेमिस्टिच को दो प्रकार के दो खंडों में विभाजित किया गया है: ए - समान खंडों वाला एक हेमिस्टिच और सिलेबल्स की एक समान संख्या (4 + 4); बी दो असमान भागों (5+3 या 3+5) में एक असममित विभाजन के साथ एक अर्ध-रेखा है। इस प्रकार, आधी रेखा B में, अनुपात 3:5:8 है, जो सुनहरे अनुपात का एक अनुमान है।

यह स्थापित किया गया है कि रुस्तवेली की कविता में 1587 छंदों में से आधे से अधिक (863) स्वर्ण खंड के सिद्धांत के अनुसार निर्मित हैं।

हमारे समय में, एक नई तरह की कला का जन्म हुआ है - सिनेमा, जिसने एक्शन, पेंटिंग, संगीत की नाटकीयता को आत्मसात कर लिया है। छायांकन के उत्कृष्ट कार्यों में स्वर्णिम खंड की अभिव्यक्तियों की तलाश करना वैध है। ऐसा करने वाले पहले विश्व सिनेमा "बैटलशिप पोटेमकिन" की उत्कृष्ट कृति के निर्माता, फिल्म निर्देशक सर्गेई ईसेनस्टीन थे। इस चित्र के निर्माण में, वह सद्भाव के मूल सिद्धांत - स्वर्णिम अनुपात को मूर्त रूप देने में सफल रहे। जैसा कि ईसेनस्टीन ने स्वयं नोट किया है, विद्रोही युद्धपोत (फिल्म का अपॉजी बिंदु) के मस्तूल पर लाल झंडा सुनहरे अनुपात के बिंदु पर उड़ता है, जिसे फिल्म के अंत से गिना जाता है।

फोंट और घरेलू वस्तुओं में स्वर्णिम अनुपात

विशेष प्रकार दृश्य कला प्राचीन ग्रीसविभिन्न जहाजों के निर्माण और पेंटिंग पर प्रकाश डालना आवश्यक है। सुरुचिपूर्ण रूप में, सुनहरे खंड के अनुपात का आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है।

मंदिरों की पेंटिंग और मूर्तिकला में, घरेलू सामानों पर, प्राचीन मिस्र के लोग अक्सर देवताओं और फिरौन को चित्रित करते थे। एक खड़े व्यक्ति, चलने, बैठने आदि की छवि के सिद्धांत स्थापित किए गए थे। कलाकारों को तालिकाओं और नमूनों से अलग-अलग रूपों और छवियों की योजनाओं को याद रखना आवश्यक था। प्राचीन ग्रीक कलाकारों ने कैनन का उपयोग करने का तरीका जानने के लिए मिस्र की विशेष यात्राएँ कीं।

बाहरी पर्यावरण के इष्टतम भौतिक पैरामीटर

ज्ञात हो कि अधिकतम ध्वनि आवाज़, जो दर्द का कारण बनता है, 130 डेसिबल के बराबर होता है। यदि हम इस अंतराल को 1.618 के सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं, तो हमें 80 डेसिबल मिलते हैं, जो मानव चीख की प्रबलता के लिए विशिष्ट हैं। यदि अब हम 80 डेसिबल को सुनहरे अनुपात से विभाजित करें, तो हमें 50 डेसिबल प्राप्त होता है, जो मानव भाषण की प्रबलता के अनुरूप है। अंत में, यदि हम 50 डेसिबल को 2.618 के सुनहरे अनुपात के वर्ग से विभाजित करते हैं, तो हमें 20 डेसिबल मिलता है, जो एक मानव फुसफुसाहट से मेल खाता है। इस प्रकार, ध्वनि की मात्रा के सभी विशिष्ट पैरामीटर सुनहरे अनुपात के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं।

18-20 0 सी अंतराल के तापमान पर नमी 40-60% इष्टतम माना जाता है। इष्टतम आर्द्रता सीमा की सीमाएं प्राप्त की जा सकती हैं यदि 100% की पूर्ण आर्द्रता को सुनहरे अनुपात से दो बार विभाजित किया जाए: 100 / 2.618 = 38.2% (निचली सीमा); 100/1.618=61.8% (ऊपरी सीमा)।

पर हवा का दबाव 0.5 एमपीए, एक व्यक्ति असुविधा का अनुभव करता है, उसकी शारीरिक और मनोवैज्ञानिक गतिविधि. 0.3-0.35 एमपीए के दबाव में, केवल अल्पकालिक ऑपरेशन की अनुमति है, और 0.2 एमपीए के दबाव में इसे 8 मिनट से अधिक काम करने की अनुमति नहीं है। ये सभी विशेषता पैरामीटर सुनहरे अनुपात से जुड़े हुए हैं: 0.5/1.618=0.31 एमपीए; 0.5/2.618=0.19 एमपीए।

सीमा पैरामीटर बाहरी तापमान, जिसके भीतर किसी व्यक्ति का सामान्य अस्तित्व (और, सबसे महत्वपूर्ण, उत्पत्ति) संभव है, तापमान 0 से + (57-58) 0 C तक है। जाहिर है, स्पष्टीकरण की पहली सीमा को छोड़ा जा सकता है।

हम सकारात्मक तापमान की संकेतित सीमा को सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं। इस मामले में, हम दो सीमाएँ प्राप्त करते हैं (दोनों सीमाएँ मानव शरीर के तापमान की विशेषता हैं): पहली सीमा तापमान से मेल खाती है, दूसरी सीमा मानव शरीर के लिए अधिकतम संभव बाहरी हवा के तापमान से मेल खाती है।

पेंटिंग में गोल्डन सेक्शन

पुनर्जागरण में भी, कलाकारों ने पाया कि किसी भी चित्र में कुछ ऐसे बिंदु होते हैं जो अनैच्छिक रूप से हमारा ध्यान आकर्षित करते हैं, तथाकथित दृश्य केंद्र। इस मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि तस्वीर क्षैतिज या लंबवत किस प्रारूप में है। ऐसे केवल चार बिंदु हैं, और वे समतल के संबंधित किनारों से 3/8 और 5/8 की दूरी पर स्थित हैं।

उस समय के कलाकारों के बीच इस खोज को चित्र का "सुनहरा खंड" कहा जाता था।

पेंटिंग में "गोल्डन सेक्शन" के उदाहरणों की ओर मुड़ते हुए, कोई लियोनार्डो दा विंची के काम पर ध्यान नहीं दे सकता है। उनकी पहचान इतिहास के रहस्यों में से एक है। लियोनार्डो दा विंची ने खुद कहा: "कोई भी व्यक्ति जो गणितज्ञ नहीं है, मेरे कामों को पढ़ने की हिम्मत न करे।"

उन्होंने एक नायाब कलाकार, एक महान वैज्ञानिक, एक प्रतिभाशाली व्यक्ति के रूप में ख्याति प्राप्त की, जिन्होंने 20 वीं शताब्दी तक लागू नहीं किए गए कई आविष्कारों का अनुमान लगाया था।

इसमें कोई संदेह नहीं है कि लियोनार्डो दा विंची एक महान कलाकार थे, उनके समकालीनों ने पहले ही इसे पहचान लिया था, लेकिन उनका व्यक्तित्व और गतिविधियाँ रहस्य में डूबी रहेंगी, क्योंकि उन्होंने अपने विचारों की सुसंगत प्रस्तुति नहीं, बल्कि कई हस्तलिखित रेखाचित्रों, नोट्स को भावी पीढ़ी के लिए छोड़ दिया। जो कहते हैं "दोनों दुनिया में सब कुछ।"

उन्होंने अवैध लिखावट में और अपने बाएं हाथ से दाएं से बाएं लिखा। यह मौजूद दर्पण लेखन का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है।

मोना लिसा (जियोकोंडा) के चित्र ने कई वर्षों से शोधकर्ताओं का ध्यान आकर्षित किया है, जिन्होंने पाया कि ड्राइंग की रचना सुनहरे त्रिकोणों पर आधारित है जो एक नियमित स्टार पेंटागन के हिस्से हैं। इस चित्र के इतिहास के बारे में कई संस्करण हैं। उनमें से एक यहां पर है।

एक बार लियोनार्डो दा विंची को बैंकर फ्रांसेस्को डेल जिओकोंडो से एक युवा महिला, बैंकर की पत्नी, मोना लिसा का चित्र बनाने का आदेश मिला। महिला सुंदर नहीं थी, लेकिन वह अपने रूप की सादगी और स्वाभाविकता से आकर्षित थी। लियोनार्डो एक चित्र बनाने के लिए सहमत हुए। उसका मॉडल उदास और दुखी था, लेकिन लियोनार्डो ने उसे एक परी कथा सुनाई, जिसे सुनने के बाद वह जीवंत और दिलचस्प हो गई।

परी कथा. एक बार की बात है एक गरीब आदमी था, उसके चार बेटे थे: तीन स्मार्ट, और उनमें से एक इधर-उधर। और फिर पिता के लिए मौत आ गई। अपनी जान देने से पहले, उसने अपने बच्चों को अपने पास बुलाया और कहा: “मेरे बेटों, मैं शीघ्र ही मर जाऊंगा। जैसे ही तुम मुझे दफनाओगे, झोपड़ी को बंद कर दो और दुनिया के छोर पर जाकर अपना भाग्य बनाओ। आप में से प्रत्येक कुछ सीखे जिससे आप अपना भरण-पोषण कर सकें।” पिता की मृत्यु हो गई, और बेटे तीन साल बाद अपने मूल ग्रोव के समाशोधन में लौटने के लिए सहमत हुए, दुनिया भर में फैल गए। पहला भाई आया, जिसने बढ़ईगीरी सीखी, एक पेड़ काटा और उसे काटा, उससे एक स्त्री बनाई, थोड़ा दूर चला गया और प्रतीक्षा करने लगा। दूसरा भाई लौटा, उसने एक लकड़ी की महिला को देखा और चूंकि वह एक दर्जी था, उसने एक मिनट में उसे कपड़े पहनाए: कुशल कारीगरउसने उसके लिए सुन्दर रेशमी वस्त्र बनवाए। तीसरे पुत्र ने स्त्री को सोने और आभूषणों से अलंकृत किया कीमती पत्थरक्योंकि वह एक जौहरी था। अंत में चौथा भाई आ गया। वह बढ़ईगीरी और सिलाई करना नहीं जानता था, वह केवल यह जानता था कि पृथ्वी, पेड़, जड़ी-बूटियाँ, पशु और पक्षी क्या कह रहे हैं, उसे कैसे सुनना है, वह आकाशीय पिंडों के पाठ्यक्रम को जानता है और यह भी जानता है कि अद्भुत गीत कैसे गाए जाते हैं। उसने ऐसा गीत गाया कि झाड़ियों के पीछे छिपे भाई रोने लगे। इस गाने से उन्होंने उस महिला को पुनर्जीवित किया, वह मुस्कुराई और आहें भरी। भाई उसके पास दौड़े और प्रत्येक ने एक ही बात चिल्लाई: "तुम्हें मेरी पत्नी बनना चाहिए।" लेकिन महिला ने जवाब दिया: "तुमने मुझे बनाया - मेरे पिता बनो। तुमने मुझे कपड़े पहनाए, और तुमने मुझे सजाया - मेरे भाई बनो। और तुम, जिसने मेरी आत्मा को मुझमें फूंका और मुझे जीवन का आनंद लेना सिखाया, मुझे जीवन के लिए अकेले तुम्हारी जरूरत है।

कहानी समाप्त करने के बाद, लियोनार्डो ने मोना लिसा को देखा, उसका चेहरा रोशनी से जगमगा उठा, उसकी आँखें चमक उठीं। फिर, मानो किसी सपने से जागते हुए, उसने आहें भरीं, अपना हाथ उसके चेहरे पर फेर दिया, और बिना कुछ बोले अपने स्थान पर चली गई, अपने हाथों को जोड़ लिया और अपनी सामान्य मुद्रा ग्रहण कर ली। लेकिन काम हो गया - कलाकार ने उदासीन मूर्ति को जगाया; आनंद की मुस्कान, धीरे-धीरे उसके चेहरे से गायब हो रही थी, उसके मुंह के कोनों में बनी हुई थी और कांप रही थी, उसके चेहरे को एक अद्भुत, रहस्यमय और थोड़ा धूर्त अभिव्यक्ति दे रही थी, जैसे कि एक व्यक्ति जिसने एक रहस्य सीखा है और इसे ध्यान से रखते हुए, नहीं कर सकता उसकी विजय को रोकें। लियोनार्डो ने चुपचाप काम किया, इस पल को याद करने से डरते हुए, धूप की यह किरण जिसने उनके उबाऊ मॉडल को रोशन किया ...

यह नोट करना मुश्किल है कि कला की इस उत्कृष्ट कृति में क्या देखा गया था, लेकिन सभी ने मानव शरीर की संरचना के बारे में लियोनार्डो के गहरे ज्ञान के बारे में बात की, जिसकी बदौलत वह इस रहस्यमयी मुस्कान को पकड़ने में कामयाब रहे। उन्होंने चित्र के अलग-अलग हिस्सों की अभिव्यक्ति और चित्र के एक अभूतपूर्व साथी परिदृश्य के बारे में बात की। उन्होंने अभिव्यक्ति की सहजता, मुद्रा की सरलता, हाथों की सुंदरता के बारे में बात की। कलाकार ने कुछ अभूतपूर्व किया है: चित्र में हवा को दर्शाया गया है, यह एक पारदर्शी धुंध के साथ आकृति को ढँक देता है। सफलता के बावजूद, लियोनार्डो उदास था, फ्लोरेंस की स्थिति कलाकार को दर्दनाक लग रही थी, वह जाने के लिए तैयार हो गया। बाढ़ के आदेशों की याद दिलाने से उसे कोई मदद नहीं मिली।

I.I की तस्वीर में सुनहरा खंड। शिश्किन "पाइन ग्रोव"। इस प्रसिद्ध पेंटिंग में आई.आई. शिश्किन, स्वर्ण खंड के उद्देश्य स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं। चमकदार रोशनी वाला देवदार का पेड़ (अग्रभूमि में खड़ा) चित्र की लंबाई को सुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित करता है। चीड़ के पेड़ के दाहिनी ओर सूर्य से प्रकाशित एक टीला है। यह चित्र के दाहिने हिस्से को सुनहरे अनुपात के अनुसार क्षैतिज रूप से विभाजित करता है। मुख्य पाइन के बाईं ओर कई पाइन हैं - यदि आप चाहें, तो आप चित्र को सुनहरे अनुपात और आगे के अनुसार विभाजित करना जारी रख सकते हैं।

पाइन ग्रोव

चमकीले ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज की तस्वीर में उपस्थिति, इसे सुनहरे खंड के संबंध में विभाजित करते हुए, इसे कलाकार की मंशा के अनुसार संतुलन और शांति का चरित्र देती है। जब कलाकार का इरादा अलग होता है, अगर, कहते हैं, वह तेजी से विकसित होने वाली कार्रवाई के साथ एक चित्र बनाता है, तो रचना की ऐसी ज्यामितीय योजना (ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज की प्रबलता के साथ) अस्वीकार्य हो जाती है।

में और। सुरिकोव। "बोयार मोरोज़ोवा"

उसकी भूमिका चित्र के मध्य भाग को सौंपी गई है। यह उच्चतम वृद्धि के बिंदु और चित्र के कथानक के सबसे निचले पतन के बिंदु से बंधा हुआ है: उच्चतम बिंदु के रूप में दो अंगुलियों के साथ क्रॉस के चिन्ह के साथ मोरोज़ोवा के हाथ का उदय; असहाय होकर उसी रईस की ओर हाथ बढ़ाया, लेकिन इस बार एक बूढ़ी औरत का हाथ - एक भिखारी पथिक, एक हाथ जिसके नीचे से, साथ में आखिरी उम्मीदस्लेज का अंत उद्धार के लिए निकल जाता है।

और "के बारे में क्या सबसे ऊंचा स्थान"? पहली नज़र में, हमारे पास एक विरोधाभास प्रतीत होता है: आखिरकार, खंड ए 1 बी 1, जो चित्र के दाहिने किनारे से 0.618 है ..., हाथ से नहीं गुजरता है, यहां तक कि सिर या आंख के माध्यम से भी नहीं रईस, लेकिन रईस के मुंह के सामने कहीं निकला।

स्वर्णिम अनुपात वास्तव में यहाँ सबसे महत्वपूर्ण बात पर कटौती करता है। इसमें, और यह इसमें है - सबसे बड़ी शक्तिमोरोज़ोवा।

Sandro Botticelli की तुलना में कोई भी पेंटिंग अधिक काव्यात्मक नहीं है, और महान Sandro के पास अपने वीनस से अधिक प्रसिद्ध कोई पेंटिंग नहीं है। बॉटलिकेली के लिए, उनका शुक्र एक विचार का अवतार है सार्वभौमिक सद्भाव"गोल्डन सेक्शन" जो प्रकृति में प्रचलित है। शुक्र का आनुपातिक विश्लेषण हमें इस बात का यकीन दिलाता है।

शुक्र

राफेल "एथेंस के स्कूल"। राफेल गणितज्ञ नहीं थे, लेकिन उस दौर के कई कलाकारों की तरह उन्हें ज्यामिति का काफी ज्ञान था। प्रसिद्ध फ्रेस्को "द स्कूल ऑफ एथेंस" में, जहां पुरातनता के महान दार्शनिकों का समाज विज्ञान के मंदिर में आयोजित होता है, हमारा ध्यान सबसे बड़े प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड के समूह द्वारा आकर्षित किया जाता है, जो एक जटिल चित्र को अलग करता है।

दो त्रिकोणों का सरल संयोजन भी सुनहरे अनुपात के अनुसार बनाया गया है: इसे आयत में 5/8 के पहलू अनुपात के साथ अंकित किया जा सकता है। यह चित्र वास्तुकला के ऊपरी भाग में सम्मिलित करना आश्चर्यजनक रूप से आसान है। शीर्ष कोनात्रिकोण दर्शक के निकटतम क्षेत्र में आर्क के कीस्टोन के खिलाफ रहता है, निचला एक - दृष्टिकोण के लुप्त होने के बिंदु पर, और साइड सेक्शन मेहराब के दो हिस्सों के बीच स्थानिक अंतर के अनुपात को इंगित करता है।

राफेल की पेंटिंग "द नरसंहार ऑफ द इनोसेंट्स" में सुनहरा सर्पिल। सुनहरे खंड के विपरीत, गतिशीलता, उत्तेजना की भावना शायद एक और सरल ज्यामितीय आकृति - सर्पिल में सबसे अधिक स्पष्ट है। राफेल द्वारा 1509 - 1510 में बनाई गई मल्टी-फिगर रचना, जब प्रसिद्ध चित्रकार ने वेटिकन में अपने भित्ति चित्र बनाए, तो यह कथानक की गतिशीलता और नाटक से अलग है। राफेल ने अपने विचार को कभी पूरा नहीं किया, हालांकि, उनके स्केच को एक अज्ञात इतालवी ग्राफिक कलाकार मार्केंटिनियो रायमोंडी द्वारा उकेरा गया था, जिन्होंने इस स्केच के आधार पर, मासूमों के नरसंहार को उकेरा था।

बेगुनाहों का नरसंहार

यदि राफेल के प्रारंभिक स्केच पर हम मानसिक रूप से रचना के शब्दार्थ केंद्र से चलने वाली रेखाएँ खींचते हैं - वे बिंदु जहाँ योद्धा की उंगलियाँ बच्चे के टखने के चारों ओर बंद हो जाती हैं, बच्चे के आंकड़े के साथ, महिला उसे खुद से पकड़ लेती है, तलवार के साथ योद्धा उठाया, और फिर उसी समूह के आंकड़ों के साथ दाईं ओर स्केच (चित्र में, ये रेखाएं लाल रंग में खींची गई हैं), और फिर वक्र के इन टुकड़ों को एक बिंदीदार रेखा से जोड़ते हैं, फिर एक सुनहरा सर्पिल बहुत उच्च सटीकता के साथ प्राप्त किया जाता है। वक्र की शुरुआत से गुजरने वाली सीधी रेखाओं पर सर्पिल द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई के अनुपात को मापकर इसकी जाँच की जा सकती है।

स्वर्ण अनुपात और छवि धारणा

गोल्डन सेक्शन एल्गोरिथम के अनुसार निर्मित वस्तुओं को सुंदर, आकर्षक और सामंजस्यपूर्ण बनाने के लिए मानव दृश्य विश्लेषक की क्षमता लंबे समय से ज्ञात है। गोल्डन रेशियो सबसे उत्तम एकीकृत संपूर्ण की भावना देता है। कई पुस्तकों का प्रारूप स्वर्णिम अनुपात का अनुसरण करता है। यह खिड़कियों, चित्रों और लिफाफों, टिकटों, व्यवसाय कार्डों के लिए चुना जाता है। एक व्यक्ति को संख्या एफ के बारे में कुछ भी नहीं पता हो सकता है, लेकिन वस्तुओं की संरचना में, साथ ही साथ घटनाओं के अनुक्रम में, वह अवचेतन रूप से सुनहरे अनुपात के तत्वों को ढूंढता है।

अध्ययन आयोजित किए गए हैं जिनमें विषयों को विभिन्न अनुपातों के आयतों का चयन और प्रतिलिपि बनाने के लिए कहा गया था। चुनने के लिए तीन आयतें थीं: एक वर्ग (40:40 मिमी), 1:1.62 (31:50 मिमी) के पहलू अनुपात के साथ एक "गोल्डन सेक्शन" आयत और 1:2.31 (26:26: 60 मिमी)।

सामान्य अवस्था में आयतों का चयन करते समय, 1/2 मामलों में एक वर्ग को वरीयता दी जाती है। दायाँ गोलार्द्ध सुनहरे अनुपात को प्राथमिकता देता है और लम्बी आयत को अस्वीकार करता है। इसके विपरीत, बायां गोलार्द्ध लम्बी अनुपातों की ओर आकर्षित होता है और सुनहरे अनुपात को अस्वीकार करता है।

इन आयतों की नकल करते समय, निम्नलिखित देखा गया: जब दाहिना गोलार्द्ध सक्रिय था, तो प्रतियों में अनुपात सबसे सटीक रूप से बनाए रखा गया था; जब बायाँ गोलार्द्ध सक्रिय था, तो सभी आयतों के अनुपात विकृत हो गए थे, आयतों को फैला दिया गया था (वर्ग को आयत के रूप में 1: 1.2 के पहलू अनुपात के साथ खींचा गया था; फैला हुआ आयत का अनुपात तेजी से बढ़ा और 1: 2.8 तक पहुँच गया) ). "गोल्डन" आयत के अनुपात सबसे अधिक विकृत थे; प्रतियों में इसका अनुपात आयत 1:2.08 का अनुपात बन गया।

अपने स्वयं के चित्र बनाते समय, सुनहरे अनुपात के करीब अनुपात और लम्बी प्रबलता होती है। औसतन, अनुपात 1:2 है, जबकि दाहिना गोलार्द्ध सुनहरे खंड के अनुपात को पसंद करता है, बायां गोलार्ध सुनहरे खंड के अनुपात से दूर चला जाता है और पैटर्न को फैलाता है।

अब कुछ आयत बनाएँ, उनकी भुजाएँ मापें और पक्षानुपात ज्ञात करें। आपके पास कौन सा गोलार्द्ध है?

फोटोग्राफी में स्वर्णिम अनुपात

फोटोग्राफी में सुनहरे अनुपात के उपयोग का एक उदाहरण फ्रेम के किनारों से 3/8 और 5/8 स्थित बिंदुओं पर फ्रेम के प्रमुख घटकों का स्थान है। इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट किया जा सकता है: एक बिल्ली की तस्वीर, जो फ्रेम में एक मनमाने स्थान पर स्थित है।

अब फ्रेम के प्रत्येक तरफ से कुल लंबाई के 1.62 के अनुपात में, सशर्त रूप से फ्रेम को खंडों में विभाजित करें। खंडों के चौराहे पर मुख्य "दृश्य केंद्र" होंगे, जिसमें यह आवश्यक है महत्वपूर्ण तत्वइमेजिस। आइए अपनी बिल्ली को "दृश्य केंद्रों" के बिंदुओं पर ले जाएं।

स्वर्णिम अनुपात और स्थान

खगोल विज्ञान के इतिहास से ज्ञात होता है कि 18वीं शताब्दी के एक जर्मन खगोलशास्त्री आई. टिटियस ने इस श्रृंखला का प्रयोग करते हुए सौर मंडल के ग्रहों के बीच की दूरियों में नियमितता और व्यवस्था पाई थी।

हालांकि, एक मामला जो कानून के खिलाफ लग रहा था: मंगल और बृहस्पति के बीच कोई ग्रह नहीं था। आकाश के इस क्षेत्र के केंद्रित अवलोकन से क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज हुई। यह उन्नीसवीं सदी की शुरुआत में टिटियस की मृत्यु के बाद हुआ। फाइबोनैचि श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: इसकी मदद से, वे जीवित प्राणियों, और मानव निर्मित संरचनाओं, और आकाशगंगाओं की संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं। ये तथ्य इसकी अभिव्यक्ति की स्थितियों से संख्या श्रृंखला की स्वतंत्रता के प्रमाण हैं, जो इसकी सार्वभौमिकता के संकेतों में से एक है।

आकाशगंगा के दो स्वर्ण सर्पिल डेविड के स्टार के साथ संगत हैं।

एक सफेद सर्पिल में आकाशगंगा से निकलने वाले तारों पर ध्यान दें। ठीक 180 0 एक सर्पिल से, एक और खुला सर्पिल निकलता है ... लंबे समय तक, खगोलविदों का मानना \u200b\u200bथा कि जो कुछ भी है वह वही है जो हम देखते हैं; अगर कुछ दिखाई देता है, तो वह मौजूद है। उन्होंने या तो वास्तविकता के अदृश्य हिस्से पर बिल्कुल ध्यान नहीं दिया, या उन्होंने इसे महत्वपूर्ण नहीं माना। लेकिन हमारी वास्तविकता का अदृश्य पक्ष वास्तव में दृश्य पक्ष की तुलना में बहुत बड़ा है और शायद अधिक महत्वपूर्ण है... दूसरे शब्दों में, वास्तविकता का दृश्य भाग संपूर्ण के एक प्रतिशत से बहुत कम है - लगभग कुछ भी नहीं। वास्तव में, हमारा असली घर अदृश्य ब्रह्मांड है...

ब्रह्मांड में, मानव जाति के लिए ज्ञात सभी आकाशगंगाएँ और उनमें सभी पिंड एक सर्पिल के रूप में मौजूद हैं, जो स्वर्ण खंड के सूत्र के अनुरूप है। हमारी आकाशगंगा के सर्पिल में सुनहरा अनुपात है

निष्कर्ष

प्रकृति, जिसे पूरी दुनिया अपने रूपों की विविधता के रूप में समझती है, इसमें दो भाग होते हैं: चेतन और निर्जीव प्रकृति। निर्जीव प्रकृति की रचनाएँ मानव जीवन के पैमाने को देखते हुए उच्च स्थिरता, कम परिवर्तनशीलता की विशेषता हैं। एक व्यक्ति पैदा होता है, रहता है, बूढ़ा होता है, मरता है, लेकिन ग्रेनाइट के पहाड़ वही रहते हैं और ग्रह सूर्य के चारों ओर उसी तरह घूमते हैं जैसे पाइथागोरस के समय में थे।

वन्यजीवों की दुनिया हमारे सामने पूरी तरह से अलग दिखाई देती है - मोबाइल, परिवर्तनशील और आश्चर्यजनक रूप से विविध। जीवन हमें विविधता और रचनात्मक संयोजनों की मौलिकता का एक शानदार कार्निवल दिखाता है! निर्जीव प्रकृति की दुनिया, सबसे पहले, समरूपता की दुनिया है, जो उनकी रचनाओं को स्थिरता और सुंदरता देती है। प्रकृति की दुनिया, सबसे पहले, सद्भाव की दुनिया है, जिसमें "स्वर्ण खंड का नियम" संचालित होता है।

आधुनिक विश्व में प्रकृति पर मनुष्य के बढ़ते प्रभाव के कारण विज्ञान का विशेष महत्व है। वर्तमान चरण में महत्वपूर्ण कार्य मनुष्य और प्रकृति के सह-अस्तित्व के नए तरीकों की खोज, दार्शनिक, सामाजिक, आर्थिक, शैक्षिक और समाज के सामने आने वाली अन्य समस्याओं का अध्ययन है।

इस पत्र में सजीव और निर्जीव पर "सुनहरे खंड" के गुणों का प्रभाव है वन्य जीवन, मानव जाति के इतिहास और समग्र रूप से ग्रह के विकास के ऐतिहासिक पाठ्यक्रम पर। उपरोक्त सभी का विश्लेषण करते हुए, एक बार फिर से दुनिया की अनुभूति की प्रक्रिया की भव्यता पर आश्चर्य हो सकता है, इसके नए पैटर्न की खोज और निष्कर्ष निकाला जा सकता है: सुनहरे खंड का सिद्धांत संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता का उच्चतम अभिव्यक्ति है कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और इसके हिस्से। यह उम्मीद की जा सकती है कि प्रकृति की विभिन्न प्रणालियों के विकास के नियम, विकास के नियम बहुत विविध नहीं हैं और सबसे विविध संरचनाओं में इसका पता लगाया जा सकता है। यह प्रकृति की एकता का प्रकटीकरण है। विषम प्राकृतिक घटनाओं में समान पैटर्न के प्रकटीकरण के आधार पर इस तरह की एकता के विचार ने पाइथागोरस से आज तक अपनी प्रासंगिकता बनाए रखी है।

इसे बनाकर विंटेज उपकरण, आप शानदार प्रोजेक्ट बनाने में सक्षम होंगे।

इमारतों की गणना में और प्राप्त करने के लिए एक मॉडल के रूप में "सुनहरा अनुपात" का उपयोग प्राचीन यूनानियों और मिस्रियों द्वारा किया गया था आदर्श अनुपात.

आप भी, फिबोनाची मीटर से लैस अपनी परियोजनाओं में इसका उपयोग कर सकते हैं।

अपना खुद का गेज बनाने के लिए, चित्र में दिए गए आयामों के अनुसार शुरू करने के लिए उपकरण का चित्र बनाएं।

1.6 मिमी मोटी दृढ़ लकड़ी (एक अच्छा मोटा लिबास करेगा) से, रिक्त स्थान काटें और तीन भुजाओं A, B, C को वांछित चौड़ाई और आकार में संसाधित करें। (हमने मेपल का इस्तेमाल किया, लेकिन अन्य जंगल ठीक हैं।)

छेद केंद्रों को पूर्ण आकार की ड्राइंग से गेज आर्म्स में स्थानांतरित करें। जहाँ दिखाया गया है वहाँ ड्रिल करें, एक 5.5 मिमी व्यास का छेद और प्रत्येक शोल्डर को फ़िनिश करें।

भागों को क्लैंप स्क्रू से जोड़कर और गोंद जोड़कर इकट्ठा करें ताकि वे समय के साथ ढीले न हों।

पत्रिका "वुड-मास्टर" के अनुसार

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मैं एक सरल उपकरण प्रदान करता हूं जो लंबे हिस्से के अंत में एक लंबवत छेद ड्रिल करने की आवश्यकता होने पर मदद करेगा।
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एक दर्जन या दो सी-क्लैंप बनाएं जो संगीत वाद्ययंत्र निर्माताओं को पसंद हैं, और आप किसी भी घुमावदार किनारे पर समान रूप से दबाव फैलाने में सक्षम होंगे।

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