Penrose unmögliche Figuren. Unmögliches Dreieck

Das unmögliche Dreieck ist eines der erstaunlichen mathematischen Paradoxe. Beim ersten Blick auf ihn kann man nicht eine Sekunde an ihm zweifeln. reale Existenz. Dies ist jedoch nur eine Illusion, eine Täuschung. Und die Möglichkeit einer solchen Illusion wird uns die Mathematik erklären!

Entdeckung der Penroses

Im Jahr 1958 veröffentlichte das British Psychological Journal einen Artikel von L. Penrose und R. Penrose, in dem sie Überlegungen anstellten neuer Typ optische Täuschung, die sie " unmögliches Dreieck».

Ein visuell unmögliches Dreieck wird als eine tatsächlich im dreidimensionalen Raum existierende Struktur wahrgenommen, die aus rechteckigen Stäben besteht. Aber das ist nur eine optische Täuschung. Es ist unmöglich, ein echtes Modell eines unmöglichen Dreiecks zu bauen.

Der Penrose-Artikel enthielt mehrere Möglichkeiten, ein unmögliches Dreieck darzustellen. - seine "klassische" Präsentation.

Aus welchen Elementen besteht ein unmögliches Dreieck?

Genauer gesagt, aus welchen Elementen scheint es uns gebaut zu sein? Das Design basiert auf einer rechteckigen Ecke, die durch rechtwinkliges Verbinden zweier identischer rechteckiger Stäbe entsteht. Es werden drei solcher Ecken benötigt, und die Stäbe daher sechs Stück. Diese Ecken müssen auf bestimmte Weise optisch miteinander „verbunden“ werden, sodass sie eine geschlossene Kette bilden. Was passiert, ist das unmögliche Dreieck.

Platzieren Sie die erste Ecke in einer horizontalen Ebene. Wir werden die zweite Ecke daran befestigen und eine ihrer Kanten nach oben richten. Schließlich fügen wir dieser zweiten Ecke eine dritte Ecke hinzu, sodass ihre Kante parallel zur ursprünglichen horizontalen Ebene verläuft. In diesem Fall sind die beiden Kanten der ersten und dritten Ecke parallel und in unterschiedliche Richtungen gerichtet.

Wenn wir den Balken als Segment der Einheitslänge betrachten, haben die Enden der Balken der ersten Ecke Koordinaten, und die zweite Ecke - , und die dritte - , und. Wir haben eine "verdrehte" Struktur, die tatsächlich im dreidimensionalen Raum existiert.

Und jetzt wollen wir versuchen, es gedanklich aus zu betrachten verschiedene Punkte Raum. Stellen Sie sich vor, wie es von einem Punkt aus aussieht, von einem anderen, von einem dritten. Wenn Sie den Beobachtungspunkt ändern, scheinen sich die beiden "End" -Kanten unserer Ecken relativ zueinander zu bewegen. Es ist nicht schwer, eine Position zu finden, in der sie sich verbinden.

Aber wenn der Abstand zwischen den Rippen viel kleiner ist als der Abstand von den Ecken zu dem Punkt, von dem aus wir unsere Struktur betrachten, dann haben für uns beide Rippen die gleiche Dicke, und es entsteht die Idee, dass diese beiden Rippen eigentlich a sind Fortsetzung voneinander. Diese Situation ist in 4 dargestellt.

Übrigens, wenn wir gleichzeitig die Reflexion der Struktur im Spiegel betrachten, sehen wir dort keinen geschlossenen Kreislauf.

Und vom gewählten Betrachtungspunkt aus sehen wir mit eigenen Augen, dass ein Wunder passiert ist: Es gibt eine geschlossene Kette von drei Ecken. Ändern Sie nur nicht den Beobachtungspunkt, damit diese Illusion nicht zusammenbricht. Jetzt können Sie ein Objekt zeichnen, das Sie sehen, oder eine Kameralinse an dem gefundenen Punkt platzieren und ein Foto eines unmöglichen Objekts machen.

Die Penroses waren die ersten, die sich für dieses Phänomen interessierten. Sie nutzten die Möglichkeiten, die sich bei der Abbildung von dreidimensionalem Raum und dreidimensionalen Objekten auf eine zweidimensionale Ebene ergeben, und machten auf einige gestalterische Unsicherheiten aufmerksam – eine offene Konstruktion aus drei Ecken kann als geschlossene Kette wahrgenommen werden.

Beweis der Unmöglichkeit des Penrose-Dreiecks

Als wir die Merkmale eines zweidimensionalen Bildes dreidimensionaler Objekte auf einer Ebene analysierten, verstanden wir, wie die Merkmale dieser Darstellung zu einem unmöglichen Dreieck führten. Vielleicht interessiert sich ja jemand für einen rein mathematischen Beweis.

Es ist extrem einfach zu beweisen, dass ein unmögliches Dreieck nicht existiert, weil jeder seiner Winkel richtig ist und ihre Summe 270 Grad anstelle der „gesetzten“ 180 Grad beträgt.

Darüber hinaus können wir, selbst wenn wir ein unmögliches Dreieck betrachten, das aus Ecken mit weniger als 90 Grad zusammengeklebt ist, in diesem Fall beweisen, dass das unmögliche Dreieck nicht existiert.

Wir sehen drei flache Gesichter. Sie schneiden sich paarweise entlang gerader Linien. Die Ebenen, die diese Flächen enthalten, sind paarweise orthogonal, sodass sie sich in einem Punkt schneiden.

Außerdem müssen Schnittlinien der Ebenen durch diesen Punkt verlaufen. Daher müssen sich die Geraden 1, 2, 3 in einem Punkt schneiden.

Aber das ist nicht so. Daher ist die vorgestellte Konstruktion unmöglich.

"Unmöglich" Kunst

Das Schicksal dieser oder jener Idee – wissenschaftlich, technisch, politisch – hängt von vielen Umständen ab. Und nicht zuletzt darauf, in welcher Form diese Idee präsentiert wird, in welchem ​​Bild sie in der Öffentlichkeit erscheint. Ob die Verkörperung trocken und schwer wahrnehmbar sein wird, oder im Gegenteil, die Manifestation der Idee wird hell sein und unsere Aufmerksamkeit sogar gegen unseren Willen fesseln.

Das unmögliche Dreieck hat ein glückliches Schicksal. 1961 Niederländischer Maler Moritz Escher vollendete die Lithografie, die er „Der Wasserfall“ nannte. Der Künstler hat einen langen, aber schnellen Weg von der Idee eines unmöglichen Dreiecks bis zu seiner erstaunlichen künstlerischen Verkörperung zurückgelegt. Denken Sie daran, dass der Penrose-Artikel 1958 erschien.

Im Herzen des "Wasserfalls" sind zwei unmögliche Dreiecke dargestellt. Ein Dreieck ist groß, ein anderes Dreieck befindet sich darin. Es scheint, dass drei identische unmögliche Dreiecke abgebildet sind. Aber das ist nicht der Punkt, das vorgestellte Design ist ziemlich kompliziert.

Auf einen flüchtigen Blick wird seine Absurdität nicht sofort für jeden ersichtlich, da jede dargestellte Verbindung möglich ist. Wie sie sagen, ist ein solches Design lokal, dh in einem kleinen Bereich der Zeichnung, machbar ... Aber im Allgemeinen ist es unmöglich! Seine Einzelteile passen nicht zusammen, stimmen nicht überein.

Und um dies zu verstehen, müssen wir gewisse intellektuelle und visuelle Anstrengungen unternehmen.

Machen wir eine Reise entlang der Ränder der Struktur. Dieser Weg ist insofern bemerkenswert, als entlang ihm, wie es uns scheint, die Ebene relativ zur horizontalen Ebene unverändert bleibt. Auf diesem Weg steigen wir weder auf noch ab.

Und alles wäre gut, vertraut, wenn wir am Ende des Weges - nämlich am Punkt - nicht feststellen würden, dass wir relativ zum Ausgangspunkt irgendwie geheimnisvoll undenkbar die Vertikale hinaufgeklettert sind!

Um zu diesem paradoxen Ergebnis zu kommen, müssen wir diesen Weg wählen und sogar den Pegel relativ zur horizontalen Ebene überwachen ... Keine leichte Aufgabe. Bei ihrer Entscheidung kam Escher ... Wasser zu Hilfe. Erinnern wir uns an das Bewegungslied aus Franz Schuberts wunderbarem Gesangszyklus „Die schöne Müllerin“:

Und zuerst in der Vorstellung und dann durch die Hand eines wunderbaren Meisters verwandeln sich kahle und trockene Strukturen in Aquädukte, durch die saubere und schnelle Wasserströme fließen. Ihre Bewegung fesselt unseren Blick, und jetzt eilen wir gegen unseren Willen flussabwärts, folgen allen Kurven und Biegungen des Pfades, zusammen mit dem Bach, den wir brechen, fallen auf die Schaufeln einer Wassermühle, dann stürzen wir wieder flussabwärts. .

Wir umrunden diesen Weg einmal, zweimal, ein drittes ... und erst dann merken wir: runter und s, wir irgendwie auf fantastische Weise Lass uns an die Spitze steigen! Die anfängliche Überraschung entwickelt sich zu einer Art intellektuellem Unbehagen. Es scheint, dass wir das Opfer eines Scherzes geworden sind, das Objekt eines Witzes, der noch nicht verstanden wurde.

Und wieder wiederholen wir diesen Weg entlang eines seltsamen Kanals, jetzt langsam, mit Vorsicht, als fürchteten wir einen Haken in einem paradoxen Bild und nehmen alles, was auf diesem mysteriösen Weg passiert, kritisch wahr.

Wir versuchen, das Geheimnis zu lüften, das uns in Erstaunen versetzt hat, und wir können seiner Gefangenschaft nicht entkommen, bis wir die verborgene Quelle finden, die ihm zugrunde liegt und den unvorstellbaren Wirbelsturm in unaufhörliche Bewegung versetzt.

Der Künstler betont ausdrücklich, erzwingt uns die Wahrnehmung seiner Gemälde als Bilder realer dreidimensionaler Objekte. Die Dreidimensionalität wird betont durch das Bild von ganz realen Polyedern auf den Türmen, Mauerwerk mit der genauesten Darstellung jedes Steins in den Wänden des Aquädukts, ansteigende Terrassen mit Gärten im Hintergrund. Alles ist darauf ausgelegt, den Betrachter von der Realität des Geschehens zu überzeugen. Und dank Kunst und exzellenter Technik ist dieses Ziel erreicht.

Wenn wir aus der Gefangenschaft ausbrechen, in die unser Bewusstsein fällt, beginnen wir zu vergleichen, zu vergleichen, zu analysieren, stellen wir fest, dass die Grundlage, die Quelle dieses Bildes in den Designmerkmalen verborgen ist.

Und wir haben noch einen - "physikalischen" Beweis für die Unmöglichkeit des "unmöglichen Dreiecks": Wenn es ein solches Dreieck gäbe, dann gäbe es auch Eschers "Wasserfall", der im Wesentlichen ein Perpetuum mobile ist. Aber ein Perpetuum mobile ist unmöglich, also ist auch das „unmögliche Dreieck“ unmöglich. Und vielleicht ist dieser „Beweis“ der überzeugendste.

Was machte Moritz Escher zu einem Phänomen, einer einzigartigen Person, die keine offensichtlichen Vorgänger in der Kunst hatte und die nicht nachgeahmt werden kann? Dies ist eine Kombination aus Ebenen und Volumen, mit besonderer Aufmerksamkeit für die bizarren Formen des Mikrokosmos - lebendig und unbelebt, für ungewöhnliche Sichtweisen auf gewöhnliche Dinge. Die Hauptwirkung seiner Kompositionen ist die Wirkung der Entstehung unmöglicher Beziehungen zwischen vertrauten Objekten. Diese Situationen können auf den ersten Blick sowohl erschrecken als auch ein Lächeln hervorrufen. Man kann dem Spaß, den der Künstler bietet, freudig zuschauen oder ernsthaft in die Tiefen der Dialektik eintauchen.

Moritz Escher zeigte, dass die Welt vielleicht gar nicht so ist, wie wir sie sehen und wahrnehmen – man muss sie nur aus einem anderen, neuen Blickwinkel betrachten!

Moritz Escher

Moritz Escher hatte als Wissenschaftler mehr Glück als als Künstler. Seine Stiche und Lithographien wurden als Schlüssel zum Beweis von Theoremen oder originellen Gegenbeispielen angesehen, die sich dem gesunden Menschenverstand widersetzten. Schlimmstenfalls wurden sie als hervorragende Illustrationen für wissenschaftliche Abhandlungen über Kristallographie, Gruppentheorie, Kognitionspsychologie oder Computergrafik. Moritz Escher arbeitete auf dem Gebiet der Raum-Zeit-Beziehungen und ihrer Identität, er verwendete Grundmuster von Mosaiken und wendete Transformationen darauf an. Das Großer Meister optische Täuschung. Eschers Stiche zeigen nicht die Welt der Formeln, sondern die Schönheit der Welt. Ihr intellektuelles Lager ist den unlogischen Schöpfungen der Surrealisten grundsätzlich entgegengesetzt.

Der niederländische Künstler Moritz Cornelius Escher wurde am 17. Juni 1898 in der Provinz Holland geboren. Das Geburtshaus von Escher ist heute ein Museum.

Seit 1907 studiert Moritz Tischlerei und spielt Klavier, Studium an der weiterführende Schule. Moritz' Noten waren in allen Fächern schlecht, außer im Zeichnen. Der Kunstlehrer bemerkte das Talent des Jungen und brachte ihm bei, wie man Holzschnitte macht.

1916 führt Escher sein erstes grafisches Werk aus, einen Kupferstich auf purpurfarbenem Linoleum – ein Porträt seines Vaters G. A. Escher. Er besucht die Werkstatt des Künstlers Gert Stiegemann, der eine Druckerei besaß. Auf dieser Maschine wurden Eschers erste Stiche gedruckt.

1918-1919 besuchte Escher die Technische Hochschule im holländischen Delft. Er erhält eine Zurückstellung vom Militärdienst, um sein Studium fortzusetzen, was Moritz aber aus gesundheitlichen Gründen nicht verkraften kann Lehrplan, und wurde ausgewiesen. Infolgedessen erhielt er nie höhere Bildung. Er studiert an der Schule für Architektur und Ornamentik in Haarlem, wo er Zeichenunterricht bei Samuel Jeserin de Mesquite nimmt, der Eschers Leben und Werk prägend beeinflusst hat.

1921 besuchte die Familie Escher die Riviera und Italien. Fasziniert von der Vegetation und den Blumen des mediterranen Klimas fertigte Moritz detaillierte Zeichnungen von Kakteen und Olivenbäumen an. Er fertigte viele Skizzen von Berglandschaften an, die später die Grundlage seiner Arbeit bildeten. Später kehrte er immer wieder nach Italien zurück, das ihm als Inspirationsquelle diente.

Escher beginnt für sich selbst in eine neue Richtung zu experimentieren, schon damals gibt es in seinen Werken Spiegelbilder, Kristallfiguren und Kugeln.

Das Ende der zwanziger Jahre war für Moritz eine sehr fruchtbare Zeit. Seine Arbeiten wurden auf vielen Ausstellungen in Holland gezeigt, und 1929 hatte seine Popularität ein solches Niveau erreicht, dass fünf Einzelausstellungen in einem Jahr in Holland und der Schweiz stattfanden. In dieser Zeit wurden Eschers Bilder erstmals als mechanisch und "logisch" bezeichnet.

Asher reist viel. Lebt in Italien und der Schweiz, Belgien. Er studiert maurische Mosaike, fertigt Lithografien und Stiche an. Basierend auf Reiseskizzen entsteht sein erstes Gemälde der unmöglichen Realität Still Life with Street.

In den späten dreißiger Jahren experimentierte Escher weiter mit Mosaiken und Transformationen. Er schafft ein Mosaik in Form zweier aufeinander zu fliegender Vögel, das die Grundlage des Gemäldes „Tag und Nacht“ bildete.

Im Mai 1940 besetzten die Nazis Holland und Belgien, am 17. Mai fiel auch Brüssel in die Besatzungszone, wo Escher und seine Familie damals lebten. Sie finden ein Zuhause in Varna und ziehen im Februar 1941 dorthin. Bis an sein Lebensende wird Escher in dieser Stadt leben.

1946 interessierte sich Escher für die Tiefdrucktechnik. Und obwohl diese Technologie viel komplizierter war als die von Escher zuvor verwendete und mehr Zeit für die Erstellung eines Bildes benötigte, waren die Ergebnisse beeindruckend - dünne Linien und eine genaue Schattenwiedergabe. Einer der meisten Berühmte Werke im Tiefdruck "Dewdrop" wurde 1948 fertiggestellt.

1950 gewann Moritz Escher als Dozent an Popularität. Dann, 1950, fand seine erste Einzelausstellung in den Vereinigten Staaten statt und seine Arbeiten begannen gekauft zu werden. 27. April 1955 Moritz Escher wird zum Ritter geschlagen und wird Adliger.

Mitte der 1950er-Jahre kombiniert Escher Mosaike mit Figuren, die ins Unendliche reichen.

Anfang der 60er Jahre erschien das erste Buch mit Eschers Werken, Grafiek en Tekeningen, in dem der Autor selbst 76 Werke kommentierte. Das Buch hat dazu beigetragen, das Verständnis unter Mathematikern und Kristallographen, einschließlich einiger in Russland und Kanada, zu steigern.

Im August 1960 hielt Escher in Cambridge einen Vortrag über Kristallographie. Die mathematischen und kristallographischen Aspekte von Eschers Arbeit werden immer beliebter.

1970 nach Neue Serien Eschers Betrieb zog um neues Haus in Laren, wo es ein Atelier gab, aber die Krankheit es unmöglich machte, hart zu arbeiten.

Moritz Escher starb 1971 im Alter von 73 Jahren. Escher lebte lange genug, um die Übersetzung von The World of M.C. Escher zu sehen englische Sprache und war sehr zufrieden damit.

Auf den Webseiten von Mathematikern und Programmierern findet man verschiedene unmögliche Bilder. am meisten Vollversion von denen, die wir uns angesehen haben, ist unserer Meinung nach die Seite von Vlad Alekseev

Diese Seite präsentiert nicht nur eine große Auswahl an Berühmte Gemälde, darunter M. Escher, aber auch animierte Bilder, lustige Zeichnungen von unmöglichen Tieren, Münzen, Briefmarken usw. Diese Seite lebt, sie wird regelmäßig aktualisiert und mit erstaunlichen Zeichnungen aufgefüllt.

Heute eröffne ich einen neuen Abschnitt namens „Schneiden“, in dem ich Zeichnungen, Vorlagen sowie ein Muster optischer Täuschungen posten werde. Heute machen wir ein unmögliches Dreieck aus Papier. Da wir kein unmögliches Dreieck erstellen können, erstellen wir ein Modell, das wir aus einem bestimmten Blickwinkel betrachten.

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2. Befolgen Sie die Anweisungen im Bild

Wie betrachtet man ein unmögliches Dreieck richtig?

Denn die Illusion beruht auf dem mehrdeutigen Einzeichnen des Würfels isometrische Ansicht. Dann fallen bei dieser Ausrichtung die dem Betrachter am nächsten liegenden Ecken und die vom Betrachter entfernte Ecke zusammen. Dies bedeutet, dass wir, wenn wir die nächste Kante des Würfels nach unten gehen, und die beiden unteren Kanten, zu denen wir zurückkehren Startpunkt wo der Weg tatsächlich an der hinteren Ecke endet.

Dieses unmögliche Penrose-Dreieck

In so einem Bereich Bildende Kunst wie das Bemalen menschlicher Haut, der neueste Trend Heute gibt es Figuren optischer Täuschungen, insbesondere das Penrose-Dreieck oder Tribar, das auch als unmöglich bezeichnet wird. Zum ersten Mal wurde diese Form von dem schwedischen Maler Oscar Reutersvärd entdeckt oder erfunden, der sie um die Jahreswende 1935 in Form einer Reihe von Würfeln der Welt präsentierte. Später, bereits in den 80er Jahren unseres Jahrhunderts, wurde die Tribar-Muster wurde in Schweden auf eine Briefmarke gedruckt.

Das Bild des unmöglichen Penrose-Dreiecks, das zur Kategorie der optischen Täuschungen gehört, wurde jedoch 1958 nach der Veröffentlichung der Veröffentlichung des englischen Mathematikers Roger Penrose über unmögliche Figuren, die im British Journal of Psychology veröffentlicht wurde, weithin bekannt. Inspiriert von diesem Beitrag, berühmter Maler aus Holland Maurits Escher schuf 1961 eines seiner beliebtesten Werke „Wasserfall“.

Optische Täuschung

Optische Täuschungen in der Malerei sind eine visuelle Täuschung der Wahrnehmung. echtes Bild, Künstler gemacht eine bestimmte Anordnung von Linien in einer Ebene. Gleichzeitig schätzt der Betrachter die Größe der Winkel der Figur oder die Länge ihrer Seiten falsch ein, was Gegenstand des Studiums von Unterabteilungen der Psychologie wie beispielsweise der Gestalttherapie ist. Neben Escher kreierte noch ein anderer gerne optische Täuschungen. großartiger Künstler- weltweit berühmten El Salvador Dali. Eine anschauliche Illustration seiner Leidenschaft ist zum Beispiel das Gemälde „Schwäne spiegeln sich in Elefanten“.

Das obige Dreieck bezieht sich auch auf optische Täuschungen, genauer gesagt auf den Teil von ihnen, der genannt wird unmögliche Zahlen. Sie werden so genannt wegen des Gefühls, das entsteht, wenn man eine solche Form betrachtet, dass ihre Existenz in echte Welt einfach unmöglich.

Anwendung von Illusionen

Scheinobjekte dienen aufgrund ihrer einzigartigen Form als Sujet Aufmerksamkeit nicht nur Künstler und Tätowierer - ein selbst oder mit Hilfe von Profis hergestelltes Dreieck kann auch als Firmenlogo fungieren. Gute Beispiele für diese Verwendung illusorischer Formen sind: das Logo einer psychedelischen Musikband, die Volksmusik spielt, Conundum in Deed, ein unmöglicher Würfel, oder die Marke des Chipherstellers Digilent Inc, das klassische dreieckige Bild von Penrose.

Sie können Ihr eigenes Logo erstellen, ohne auf Fachleute zurückgreifen zu müssen. Befolgen Sie dazu einfach die Anweisungen, nach denen Sie sowohl eine einfache Zeichnung auf Papier als auch in einem Tablet ausführen und erstellen können volumetrische Figur. Es kann als Schild oder Außenwerbung für Ihr Geschäft platziert werden.

Wie man es selbst macht

Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Zeichnen eines Tribars mit Adobe Illustrator:

1. Zuerst müssen Sie mit dem Rechteck-Werkzeug 3 Quadrate erstellen. Dazu müssen Sie zuerst zum Menü Ansicht gehen und Smart Guides aktivieren.
2. Jetzt müssen Sie alles auswählen und zum Menü Objekt gehen, dann zu Transformieren und jeweils Transformieren öffnen, wo Sie im Skalierungsfenster den Wert Vertical Scale = 86,6% eingeben und auf OK klicken müssen.
3. Jetzt müssen Sie jedem Gesicht seinen eigenen Rotationswinkel einstellen, und gehen Sie dazu zu Window open Transform. Tragen Sie dort zuerst den Wert für die Abschrägung (Shear) und dann für die Rotation (Rotate) ein: die obere Fläche des Würfels ist Shear +30°, Rotate -30°; rechte Fläche - Scheren +30°, Drehen +30°; linke Fläche – Scheren -30°, Drehen -30°.
4. Jetzt müssen Sie mit den Smart Guides-Linien alle Teile des Würfels miteinander verbinden: Haken Sie dazu die Ecke einer der Seiten mit der Maus ein und ziehen Sie sie zur anderen und richten Sie sie aus.
5. An dieser Stelle müssen Sie den Würfel um 30° drehen: Gehen Sie dazu auf Objekt, wählen Sie Transformieren und Rotieren, stellen Sie dort den Winkelwert auf 30° ein und klicken Sie auf OK.
6. Da Sie 6 Würfel benötigen, um einen Tri-Balken zu erhalten, sollten Sie den Würfel auswählen, Alt und Umschalt drücken und das ausgewählte Objekt mit der Maus zur Seite ziehen und es in horizontaler Richtung strecken. Drücken Sie 6 Mal CMD + D, ohne die Auswahl zu entfernen. Wir haben 6 Würfel.
7. Lassen Sie die Auswahl auf dem letzten Würfel, drücken Sie die Eingabetaste und ändern Sie im Move-Fenster den Winkelwert auf 240 °, und drücken Sie dann Copy. Drücken Sie dann erneut CMD + D, bis Sie 6 Kopien erhalten.
8. Jetzt alles wiederholen: wieder Enter drücken, letzten Würfel auswählen, nur den Winkel auf 120° stellen und nur 5 Kopien machen.
9. Mit dem Auswahlwerkzeug müssen Sie die obere Fläche der Form auswählen (Sie können sie neu einfärben, um sie klarer zu machen), öffnen Sie das Menü Objekt - Anordnen - Nach hinten senden. Wählen Sie nun die bemalte Oberfläche des obersten Würfels aus, gehen Sie zu Objekt - Anordnen - Nach vorne bringen.

Die Penrose-Illusion ist fertig. Es kann auf Ihrer Seite in sozialen Netzwerken oder Blogs gepostet oder für geschäftliche Zwecke verwendet werden.

Penrose-Dreieck- eine der wichtigsten unmöglichen Figuren, auch unter den Namen bekannt unmögliches Dreieck Und Tribar.

Penrose-Dreieck (in Farbe)

Geschichte

Diese Figur erlangte große Popularität nach der Veröffentlichung eines Artikels über unmögliche Figuren im British Journal of Psychology durch den englischen Mathematiker Roger Penrose im Jahr 1958. Auch in diesem Artikel wurde das unmögliche Dreieck in seiner allgemeinsten Form dargestellt - in drei Balken, die rechtwinklig miteinander verbunden sind. Beeinflusst von diesem Artikel schuf der niederländische Künstler Maurits Escher eine seiner berühmten Wasserfall-Lithographien.

3D-Druck des Penrose-Dreiecks

Skulpturen

Die 13 Meter hohe Skulptur eines unmöglichen Dreiecks aus Aluminium wurde 1999 in der Stadt Perth (Australien) errichtet.

Dieselbe Skulptur beim Wechseln des Blickwinkels

Andere Zahlen

Obwohl es durchaus möglich ist, Analoga des Penrose-Dreiecks zu konstruieren, basierend auf regelmäßige Polygone, die visuelle Wirkung von ihnen ist nicht so beeindruckend. Mit zunehmender Seitenzahl erscheint das Objekt einfach verbogen oder verdreht.

siehe auch

• Drei Hasen (Englisch) drei Hasen)

Illusionismus (Philosophie)

Illusionismus - im weitesten Sinne ist dies die Bezeichnung für eine philosophische Position in Bezug auf bestimmte Phänomene; für die Art und Weise, wie solche Phänomene betrachtet werden; im engeren Sinne ist es ein Name für mehrere spezifische philosophische Theorien.

Café-Wand-Illusion

Die Café-Wand-Illusion ist eine optische Täuschung, die durch die kombinierte Wirkung verschiedener Ebenen neuronaler Mechanismen entsteht: retinale Neuronen und visuelle Cortex-Neuronen.

unmögliche Figur

Zu den optischen Täuschungen gehört eine unmögliche Figur, eine Figur, die auf den ersten Blick wie eine Projektion eines gewöhnlichen dreidimensionalen Objekts erscheint, bei deren näherer Betrachtung widersprüchliche Verbindungen der Elemente der Figur sichtbar werden. Es entsteht eine Illusion der Unmöglichkeit der Existenz einer solchen Figur im dreidimensionalen Raum.

Unmöglicher Würfel

Der unmögliche Würfel ist eine unmögliche Figur, die Escher für seine Belvedere-Lithographie erfunden hat. Dies ist eine zweidimensionale Figur, die wie eine dreidimensionale Würfelperspektive aussieht, die mit einem echten Würfel nicht kompatibel ist. In der Belvedere-Lithografie sitzt ein Junge am Fuß eines Gebäudes und hält einen unmöglichen Würfel. Eine Zeichnung eines ähnlichen Necker-Würfels liegt ihm zu Füßen, während das Gebäude selbst die gleichen Eigenschaften eines unmöglichen Würfels enthält.

Der unmögliche Würfel nimmt die Mehrdeutigkeit des Necker-Würfels auf, bei dem die Kanten als Liniensegmente gezeichnet sind und der in einer von zwei verschiedenen dreidimensionalen Ausrichtungen interpretiert werden kann.

Der unmögliche Würfel wird normalerweise als Necker-Würfel gezeichnet, wobei Kanten (Segmente) durch scheinbar feste Balken ersetzt werden.

In Eschers Lithographie entsprechen die oberen vier Verbindungen der Stäbe und der obere Schnittpunkt der Stäbe einer der beiden Interpretationen des Necker-Würfels, während die unteren vier Verbindungen und der untere Schnittpunkt der anderen Interpretation entsprechen. Andere Variationen des unmöglichen Würfels kombinieren diese Eigenschaften auf andere Weise. Beispielsweise enthält einer der Würfel in der Abbildung alle acht Verbindungen gemäß einer Interpretation des Necker-Würfels, und beide Schnittpunkte entsprechen einer anderen Interpretation.

Die scheinbare Solidität der Stäbe verleiht dem unmöglichen Würfel mehr visuelle Mehrdeutigkeit als der Necker-Würfel, der weniger wahrscheinlich als unmögliches Objekt wahrgenommen wird. Die Illusion spielt mit der Interpretation einer zweidimensionalen Zeichnung als dreidimensionales Objekt durch das menschliche Auge. Dreidimensionale Objekte mögen aus einem bestimmten Blickwinkel und entweder durch Schnitte im Objekt an der richtigen Stelle oder durch eine veränderte Perspektive unmöglich erscheinen, aber die menschliche Erfahrung mit rechteckigen Objekten macht unmögliche Wahrnehmungen wahrscheinlicher als Illusionen in der Realität.

Andere Künstler, darunter Jos De Mey, malten ebenfalls unmögliche Würfelstücke.

Ein fabriziertes Foto des angeblich unmöglichen Würfels wurde in der Juni-Ausgabe von 1966 von Scientific American veröffentlicht, wo es als "Frimisch-Käfig" bezeichnet wurde. Der unmögliche Würfel wurde auf einer österreichischen Briefmarke abgebildet.

Unmöglicher Dreizack

Blyweth, auch bekannt als Poyut oder Teufelsheugabel, ist eine unerklärliche Figur optische Täuschung und eine unmögliche Figur. Es scheint, als würden aus drei zylindrischen Stäben zwei Stäbe.

Ruthersward, Oscar

Oskar Rutersvärd (die in der russischsprachigen Literatur akzeptierte Schreibweise des Nachnamens; genauer gesagt Reutersverd), Schwede. Oscar Reutersvärd (29. November 1915, Stockholm, Schweden - 2. Februar 2002, Lund) - "der Vater der unmöglichen Figur", ein schwedischer Künstler, der sich auf die Darstellung unmöglicher Figuren spezialisiert hat, dh solcher, die dargestellt werden können (angesichts der unvermeidliche Perspektivverletzungen bei der Darstellung des dreidimensionalen Raums auf Papier), können aber nicht erzeugt werden. Eine seiner Figuren erhalten weitere Entwicklung als "Penrose-Dreieck" (1934). Das Werk von Ruthersward kann mit dem Werk von Escher verglichen werden, aber wenn letzterer unmögliche Figuren als „Rückgrat“ zur Darstellung fantastischer Welten verwendete, dann interessierte sich Ruthersward nur für Figuren als solche. Zu seinen Lebzeiten hat Rutersvärd ungefähr 2.500 Figuren in isometrischer Projektion dargestellt. Rutersvärds Bücher wurden in vielen Sprachen veröffentlicht, darunter auch auf Russisch.

Escher, Maurits Cornelis

Maurits Cornelis Escher (niederländisch. Maurits Cornelis Escher [ˈmʌu̯rɪts kɔrˈneːlɪs ˈɛʃər̥]; 17. Juni 1898, Leeuwarden, Niederlande; † 27. März 1972, Hilversum, Niederlande) war ein niederländischer Grafiker. Bekannt vor allem für seine konzeptuellen Lithografien, Holzschnitte und Metallstiche, in denen er meisterhaft die plastischen Aspekte der Begriffe Unendlichkeit und Symmetrie sowie die Merkmale der psychologischen Wahrnehmung komplexer dreidimensionaler Objekte erforschte heller Vertreter Koboldkunst.

Illusionen	Penrose Dreieck

Auch unter den Namen bekannt unmögliches Dreieck Und Tribar.

Geschichte

Diese Figur erlangte große Popularität nach der Veröffentlichung eines Artikels über unmögliche Figuren im British Journal of Psychology durch den englischen Mathematiker Roger Penrose im Jahr 1958. In diesem Artikel wurde das unmögliche Dreieck in seiner allgemeinsten Form dargestellt - in Form von drei rechtwinklig miteinander verbundenen Balken. Beeinflusst von diesem Artikel schuf der niederländische Künstler Maurits Escher eine seiner berühmten Wasserfall-Lithographien.

Skulpturen

Die 13 Meter hohe Skulptur eines unmöglichen Dreiecks aus Aluminium wurde 1999 in der Stadt Perth (Australien) errichtet.

Deutsches Technikmuseum Berlin Februar 2008 0004.JPG

Dieselbe Skulptur beim Wechseln des Blickwinkels

Andere Zahlen

Obwohl es durchaus möglich ist, Analoga des Penrose-Dreiecks auf der Grundlage regelmäßiger Polygone zu bauen, ist der visuelle Effekt davon nicht so beeindruckend. Mit zunehmender Seitenzahl erscheint das Objekt einfach verbogen oder verdreht.

siehe auch

• Drei Hasen (Englisch) drei Hasen )

Schreiben Sie eine Rezension zum Artikel "Penrose-Dreieck"

Ein Auszug, der das Penrose-Dreieck charakterisiert

Nachdem Balaschew alles gesagt hatte, was ihm befohlen wurde, sagte er, Kaiser Alexander wolle Frieden, würde aber keine Verhandlungen aufnehmen, außer unter der Bedingung, dass ... Hier zögerte Balaschew: Er erinnerte sich an die Worte, die Kaiser Alexander nicht in einem Brief geschrieben hatte, sondern an die er sicherlich befahl Saltykow, sie in das Reskript aufzunehmen, und befahl Balaschew, sie Napoleon zu übergeben. Balashev erinnerte sich an diese Worte: „Bis kein einziger bewaffneter Feind auf russischem Boden bleibt“, aber ein komplexes Gefühl hielt ihn zurück. Er konnte diese Worte nicht sagen, obwohl er es wollte. Er zögerte und sagte: unter der Bedingung, dass sich die französischen Truppen über den Neman zurückziehen.
Napoleon bemerkte Balashevs Verlegenheit, als er das sagte letzte Worte; sein Gesicht zitterte, seine linke Wade begann maßvoll zu zittern. Ohne sich von seinem Platz zu bewegen, begann er mit einer höheren und eiligeren Stimme als zuvor zu sprechen. Während der anschließenden Rede bemerkte Balashev, der mehr als einmal den Blick senkte, unwillkürlich das Zittern der Wade in Napoleons linkem Bein, das sich verstärkte, je mehr er seine Stimme erhob.
„Ich wünsche Frieden nicht weniger als Kaiser Alexander“, begann er. „Habe ich nicht achtzehn Monate lang alles getan, um es zu bekommen? Ich warte seit achtzehn Monaten auf eine Erklärung. Aber was wird von mir verlangt, um Verhandlungen zu beginnen? sagte er stirnrunzelnd und machte mit seiner kleinen, weißen und dicken Hand eine energische, fragende Geste.
- Der Rückzug der Truppen für den Neman, Souverän, - sagte Balashev.
- Für den Neman? wiederholte Napoleon. - Sie wollen sich jetzt also hinter den Neman zurückziehen - nur für den Neman? wiederholte Napoleon und sah Balaschew direkt an.
Balashev senkte respektvoll den Kopf.
Anstatt vor vier Monaten den Rückzug aus Numeranien zu fordern, forderten sie jetzt den Rückzug nur über den Neman hinaus. Napoleon drehte sich schnell um und begann im Zimmer auf und ab zu gehen.
- Sie sagen, ich solle mich hinter den Neman zurückziehen, um Verhandlungen aufzunehmen; aber vor zwei Monaten hat man von mir verlangt, auf genau die gleiche Weise über die Oder und die Weichsel zurückzuweichen, und trotzdem stimmen Sie zu, zu verhandeln.
Schweigend ging er von einer Ecke des Raums in die andere und blieb wieder vor Balaschew stehen. Sein Gesicht schien in seinem strengen Ausdruck versteinert zu sein, und sein linkes Bein zitterte noch schneller als zuvor. Napoleon kannte dieses Zittern seiner linken Wade. La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [Das Zittern meiner linken Wade ist tolles Zeichen,] sagte er später.

Das Unmögliche ist noch möglich. Und eine anschauliche Bestätigung dafür ist das unmögliche Penrose-Dreieck. Im letzten Jahrhundert entdeckt, ist es immer noch oft in zu finden Wissenschaftliche Literatur. Und egal wie überraschend es klingen mag, Sie können es sogar selbst machen. Und das ganz einfach. Viele Liebhaber des Zeichnens oder Sammelns von Origami können dies schon seit langem.

Die Bedeutung des Penrose-Dreiecks

Es gibt mehrere Namen für diese Figur. Manche nennen es ein unmögliches Dreieck, andere nur eine Tribar. Am häufigsten finden Sie jedoch die Definition genau des "Penrose-Dreiecks".

Unter diesen Definitionen wird eine der wichtigsten unmöglichen Figuren verstanden. Dem Namen nach zu urteilen, ist es unmöglich, eine solche Zahl in der Realität zu bekommen. Aber in der Praxis hat sich gezeigt, dass dies immer noch möglich ist. Es nimmt nur dann Gestalt an, wenn Sie es von einem bestimmten Punkt aus im richtigen Winkel betrachten. Von allen anderen Seiten ist die Figur ziemlich echt. Es stellt drei Kanten eines Würfels dar. Und es ist einfach, ein solches Design zu erstellen.

Entdeckungsgeschichte

Das Penrose-Dreieck wurde bereits 1934 vom schwedischen Künstler Oscar Reutersvärd entdeckt. Die Figur wurde in Form von zusammengesetzten Würfeln präsentiert. In der Zukunft wurde der Künstler als "Vater unmöglicher Figuren" bezeichnet.

Vielleicht wäre die Reutersvärd-Zeichnung wenig bekannt geblieben. Aber 1954 schrieb der schwedische Mathematiker Roger Penrose eine Abhandlung über unmögliche Zahlen. Dies war die zweite Geburt des Dreiecks. Der Wissenschaftler präsentierte es zwar in einer vertrauteren Form. Er verwendete keine Würfel, sondern Balken. Drei Balken wurden in einem Winkel von 90 Grad miteinander verbunden. Der Unterschied bestand auch darin, dass Reutersvärd beim Malen eine parallele Perspektive verwendete. Und Penrose wandte eine lineare Perspektive an, was das Zeichnen noch unmöglicher machte. Ein solches Dreieck wurde 1958 in einer britischen Psychologiezeitschrift veröffentlicht.

1961 schuf der Künstler Maurits Escher (Holland) eine seiner beliebtesten Lithographien, Waterfall. Es entstand unter dem Eindruck, der durch den Artikel über unmögliche Zahlen entstanden sei.

In den achtziger Jahren des letzten Jahrhunderts wurden Tribar- und andere unmögliche Figuren auf dem Stand dargestellt Briefmarken Schweden. Dies ging über mehrere Jahre.

Ende des letzten Jahrhunderts (genauer gesagt 1999) wurde in Australien eine Aluminiumskulptur geschaffen, die das unmögliche Penrose-Dreieck darstellt. Es erreichte eine Höhe von 13 Metern. Ähnliche Skulpturen, nur kleiner, findet man auch in anderen Ländern.

Unmöglich in der Realität

Wie Sie vielleicht erraten haben, ist das Penrose-Dreieck nicht wirklich ein Dreieck im üblichen Sinne. Es sind drei Seiten eines Würfels. Wenn Sie jedoch aus einem bestimmten Winkel schauen, entsteht die Illusion eines Dreiecks, da 2 Winkel in der Ebene vollständig zusammenfallen. Betrachternahe und ferne Ecken werden optisch kombiniert.

Wenn Sie vorsichtig sind, können Sie vermuten, dass die Tribar nichts weiter als eine Illusion ist. Das tatsächliche Aussehen der Figur kann davon einen Schatten abgeben. Es zeigt, dass die Ecken tatsächlich nicht verbunden sind. Und natürlich wird alles klar, wenn Sie die Figur in die Hand nehmen.

Mit eigenen Händen eine Figur machen

Penrose-Dreieck kann unabhängig zusammengebaut werden. Beispielsweise aus Papier oder Pappe. Und die Diagramme werden dabei helfen. Sie müssen nur gedruckt und geklebt werden. Es gibt zwei Diagramme im Internet. Einer von ihnen ist etwas einfacher, der andere ist schwieriger, aber beliebter. Beides ist auf den Bildern zu sehen.

Das Penrose-Dreieck wird ein interessantes Produkt sein, das den Gästen auf jeden Fall gefallen wird. Es wird sicherlich nicht unbemerkt bleiben. Der erste Schritt zur Erstellung besteht darin, das Schema vorzubereiten. Es wird mit einem Drucker auf Papier (Karton) übertragen. Und dann ist es noch einfacher. Es muss nur um den Umfang geschnitten werden. Das Diagramm enthält bereits alle notwendigen Linien. Es ist bequemer, mit dickerem Papier zu arbeiten. Wenn das Diagramm auf dünnem Papier gedruckt ist, Sie es aber etwas dichter haben möchten, wird der Rohling einfach auf das ausgewählte Material aufgebracht und entlang der Kontur ausgeschnitten. Um zu verhindern, dass sich die Schaltung bewegt, kann sie mit Büroklammern befestigt werden.

Als nächstes müssen Sie die Linien bestimmen, entlang derer sich das Werkstück biegen wird. In der Regel ist es im Diagramm dargestellt: Wir biegen das Teil. Als nächstes bestimmen wir die Stellen, die geklebt werden sollen. Sie sind mit PVA-Kleber beschichtet. Das Teil wird zu einer einzigen Figur kombiniert.

Detail kann gemalt werden. Und Sie können zunächst farbige Pappe verwenden.

Zeichne eine unmögliche Figur

Das Penrose-Dreieck kann auch gezeichnet werden. Zunächst wird ein einfaches Quadrat auf das Blatt gezeichnet. Seine Größe spielt keine Rolle. Mit der Basis auf der Unterseite des Quadrats wird ein Dreieck gezeichnet. In seinen Ecken sind kleine Rechtecke gezeichnet. Ihre Seiten müssen gelöscht werden, sodass nur diejenigen übrig bleiben, die mit dem Dreieck gemeinsam sind. Das Ergebnis sollte ein Dreieck mit abgeschnittenen Ecken sein.

Von der linken Seite der oberen unteren Ecke wird eine gerade Linie gezogen. Die gleiche Linie, aber etwas kürzer, wird von der unteren linken Ecke gezeichnet. Eine Linie, die von der rechten Ecke ausgeht, wird parallel zur Basis des Dreiecks gezogen. Es stellt sich die zweite Dimension heraus.

Nach dem Prinzip der zweiten wird die dritte Dimension gezeichnet. Nur in diesem Fall basieren alle Linien auf den Winkeln der Figur, nicht der ersten, sondern der zweiten Dimension.