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Was Sie über das Penrose-Dreieck wissen müssen Penrose-Dreieck. Erstellen Sie ein unmögliches Dreieck So erstellen Sie eine unmögliche Dreiecksillusion

Ich grüße sie liebe Leser Blog-Website. Rustam Zakirov ist in Kontakt und ich habe einen weiteren Artikel für Sie, in dem es darum geht, wie man ein Penrose-Dreieck zeichnet. Heute möchte ich Ihnen zeigen, wie einfach es ist, ein unmögliches Dreieck zu zeichnen. Wir werden zwei Zeichnungen dieses Dreiecks zeichnen, eine gewöhnliche und die zweite eine echte 3D-Zeichnung. Und das alles wird überraschend einfach sein. Sie können eine echte 3D-Zeichnung dieses Dreiecks erhalten. Ich bezweifle, dass Ihnen dies irgendwo anders gezeigt wird, also lesen Sie den Artikel bis zum Ende und sehr sorgfältig.

Für unsere Zeichnungen brauchen wir wie immer: ein Blatt Papier einfache Bleistifte(am besten einer "mittel", "anderer weich") und ein paar Buntstifte oder Filzstifte.

Wie einfach es ist, beliebige 3D-Zeichnungen zu zeichnen.

Ich habe dieses unmögliche Dreieck aus diesem gewöhnlichen Bild gezogen, das ich gerade im Internet gefunden habe. Da ist sie.

Und dann habe ich es in ein paar Minuten mit der Hilfe in 3D übersetzt . So können Sie fast jedes Bild in 3D übersetzen. Für diejenigen, die dasselbe lernen möchten, klicken Sie hier.

Und wir gehen weiter zu unserer Zeichnung.

Wir zeichnen die übliche Zeichnung eines Dreiecks.

SCHRITT 1. Wir übersetzen vom Bildschirm.

Um ein Dreieck zu zeichnen, müssen Sie Folgendes tun. Sie nehmen Ihr Blatt Papier und lehnen es an das Dreieck auf dem Bildschirm und übersetzen es einfach.

Und da unser Dreieck überhaupt nicht kompliziert ist, reicht es aus, nur die Hauptpunkte in alle Ecken zu setzen.

Und dann schauen wir uns das Original an und verbinden diese Punkte mit einem Lineal. Ich habe es so bekommen.

Unser ganzes Dreieck ist fertig. Sie können es so lassen, aber lassen Sie es uns ein wenig mehr dekorieren. Ich habe das mit Buntstiften gemacht. Nachdem wir unser Dreieck komplett ausgemalt haben, skizzieren wir es nochmal komplett mit einem einfachen weichen Stift.

Damit ist unser übliches Penrose-Dreieck vollständig fertig, und wir fahren mit demselben Dreieck fort.

Wir zeichnen eine 3D-Zeichnung eines Dreiecks.

SCHRITT 1. Wir übersetzen.

Wir handeln nach dem gleichen Schema wie mit dem üblichen Muster. Ich gebe Ihnen ein fertiges Dreieck, das bereits in das 3D-Format übersetzt wurde. Da ist er.

Und Sie übersetzen es. Wir machen alles genauso wie bei einer normalen Zeichnung. Sie nehmen Ihr Blatt, lehnen es an den Bildschirm, das Blatt scheint durch und Sie übertragen die fertige 3D-Zeichnung einfach auf Ihr Blatt.

Folgendes ist mir passiert.

Die Größe des Dreiecks kann vergrößert oder verkleinert werden. Dazu müssen Sie nur die Skalierung Ihres Monitors ändern. Halten Sie die Strg-Taste gedrückt und drehen Sie Ihr Mausrad.

Wir können mit Sicherheit sagen, dass unsere 3D-Zeichnung bereits fertig ist. Ich habe ungefähr 3 Minuten dafür gebraucht. Damit können wir im Prinzip sicher fertig werden, aber lasst uns unser Dreieck noch einmal dekorieren.

Dmitri Rakow

Unsere Augen können nicht sehen
die Beschaffenheit der Objekte.
Zwingen Sie sie also nicht
geistige Wahnvorstellungen.

Titus Lucretius Kar

Der gängige Ausdruck „Augentäuschung“ ist grundsätzlich falsch. Die Augen können uns nicht täuschen, denn sie sind nur ein Zwischenglied zwischen dem Objekt und dem menschlichen Gehirn. Optische Täuschung entsteht normalerweise nicht aufgrund dessen, was wir sehen, sondern weil wir unbewusst argumentieren und unfreiwillig irren: "Durch das Auge und nicht mit dem Auge weiß der Verstand, wie man die Welt betrachtet."

Einer der spektakulärsten Trends in der künstlerischen Strömung der optischen Kunst (Op-Art) ist die Imp-Art (Imp-Art, unmögliche Kunst), die auf dem Bild unmöglicher Figuren basiert. Unmögliche Objekte sind Zeichnungen auf einer Ebene (jede Ebene ist zweidimensional), die dreidimensionale Strukturen darstellen, deren Existenz in der realen dreidimensionalen Welt unmöglich ist. Der Klassiker und eine der einfachsten Formen ist das unmögliche Dreieck.

In einem unmöglichen Dreieck ist jede Ecke selbst möglich, aber wenn wir sie als Ganzes betrachten, entsteht ein Paradoxon. Die Seiten des Dreiecks sind sowohl auf den Betrachter als auch von ihm weg gerichtet, sodass seine einzelnen Teile kein echtes dreidimensionales Objekt bilden können.

Tatsächlich interpretiert unser Gehirn eine Zeichnung auf einer Ebene als dreidimensionales Modell. Das Bewusstsein legt die "Tiefe" fest, in der sich jeder Punkt des Bildes befindet. Unsere Vorstellungen über die reale Welt sind widersprüchlich, mit einigen Widersprüchen, und wir müssen einige Annahmen treffen:

gerade 2D-Linien werden als gerade 3D-Linien interpretiert;
zweidimensional parallele Linien interpretiert als dreidimensionale parallele Linien;
spitze und stumpfe Winkel werden perspektivisch als rechte Winkel interpretiert;
externe Leitungen als Formgrenze betrachtet. Diese äußere Grenze ist extrem wichtig für den Aufbau eines vollständigen Bildes.

Der menschliche Geist erstellt zunächst ein allgemeines Bild des Objekts und untersucht dann die einzelnen Teile. Jeder Winkel ist mit der räumlichen Perspektive kompatibel, aber wenn sie wieder vereint werden, bilden sie ein räumliches Paradoxon. Wenn Sie eine der Ecken des Dreiecks schließen, verschwindet die Unmöglichkeit.

Geschichte unmöglicher Gestalten

Fehlern in der räumlichen Konstruktion begegneten Künstler schon vor tausend Jahren. Als erster, der unmögliche Objekte baute und analysierte, gilt jedoch der schwedische Künstler Oscar Reutersvärd, der 1934 das erste unmögliche Dreieck malte, das aus neun Würfeln bestand.


		"Moskau", Grafik (Tinte, Bleistift), 50 x 70 cm, 2003

Unabhängig von Reutersvaerd entdeckt der englische Mathematiker und Physiker Roger Penrose das unmögliche Dreieck wieder und veröffentlicht sein Bild 1958 im British Psychology Journal. Die Illusion verwendet „falsche Perspektive“. Manchmal wird eine solche Perspektive als chinesisch bezeichnet, da eine ähnliche Art des Zeichnens, wenn die Tiefe der Zeichnung "mehrdeutig" ist, häufig in den Werken chinesischer Künstler gefunden wurde.

In der Zeichnung "Drei Schnecken" sind die kleinen und großen Würfel nicht in der normalen isometrischen Ansicht ausgerichtet. Der kleinere Würfel passt an Vorder- und Rückseite an den größeren, was bedeutet, dass er nach dreidimensionaler Logik an einigen Seiten die gleichen Abmessungen hat wie der große. Auf den ersten Blick scheint die Zeichnung eine reale Darstellung eines Festkörpers zu sein, doch im weiteren Verlauf der Analyse werden die logischen Widersprüche dieses Objekts offenbar.

Das Zeichnen von "Drei Schnecken" setzt die Traditionen der zweiten berühmten unmöglichen Figur fort - des unmöglichen Würfels (Kasten).


"IQ", Grafik (Tinte, Bleistift), 50 x 70 cm, 2001		"Auf und ab", M. Escher

Die Kombination verschiedener Gegenstände findet sich auch in der nicht ganz so seriösen Kennzahl „IQ“ (Intelligenzquotient). Es ist interessant, dass manche Menschen unmögliche Objekte nicht wahrnehmen, weil ihr Bewusstsein flache Bilder nicht mit dreidimensionalen Objekten identifizieren kann.

Donald E. Simanek meinte, dass das Verständnis visueller Paradoxien eines der Markenzeichen dieser Art sei Kreativität im Besitz der besten Mathematiker, Wissenschaftler und Künstler. Viele Arbeiten mit paradoxen Objekten lassen sich auf „intellektuelle mathematische Spiele“ zurückführen. moderne Wissenschaft spricht von einem 7-dimensionalen oder 26-dimensionalen Modell der Welt. Eine solche Welt lässt sich nur mit mathematischen Formeln modellieren, ein Mensch kann sie sich einfach nicht vorstellen. Und hier sind sie nützlich. unmögliche Zahlen. Aus philosophischer Sicht erinnern sie daran, dass alle Phänomene (in der Systemanalyse, Wissenschaft, Politik, Wirtschaft usw.) in allen komplexen und nicht offensichtlichen Zusammenhängen berücksichtigt werden sollten.

Eine Vielzahl von unmöglichen (und möglichen) Objekten werden in dem Gemälde „The Impossible Alphabet“ präsentiert.

Die dritte beliebte unmögliche Figur ist die unglaubliche Treppe von Penrose. Sie werden kontinuierlich entweder aufsteigen (gegen den Uhrzeigersinn) oder absteigen (im Uhrzeigersinn). Die Grundlage bildete das Penrose-Modell berühmtes Gemälde M. Escher "Up and Down" ("Aufsteigend und Absteigend").

Es gibt eine weitere Gruppe von Objekten, die nicht implementiert werden können. Die klassische Figur ist der unmögliche Dreizack oder "Teufelsgabel".

Bei sorgfältiger Betrachtung des Bildes können Sie sehen, dass sich drei Zähne auf einer einzigen Basis allmählich in zwei verwandeln, was zu einem Konflikt führt. Wir vergleichen die Anzahl der Zähne von oben und unten und kommen zu dem Schluss, dass das Objekt unmöglich ist.

Gibt es einen größeren Nutzen für unmögliche Zeichnungen als Gedankenspiele? In einigen Krankenhäusern werden Bilder von unmöglichen Objekten extra aufgehängt, da deren Untersuchung Patienten lange beschäftigen kann. Es wäre logisch, solche Zeichnungen an der Kasse, bei der Polizei und anderen Orten aufzuhängen, wo das Warten manchmal ewig dauert, bis man an der Reihe ist. Die Zeichnungen könnten als eine Art "Chronophagen" fungieren, d.h. Zeitverschwender.

Das unmögliche Dreieck ist eines der erstaunlichen mathematischen Paradoxe. Beim ersten Blick auf ihn kann man nicht eine Sekunde an ihm zweifeln. reale Existenz. Dies ist jedoch nur eine Illusion, eine Täuschung. Und die Möglichkeit einer solchen Illusion wird uns die Mathematik erklären!

Entdeckung der Penroses

Im Jahr 1958 veröffentlichte das British Psychological Journal einen Artikel von L. Penrose und R. Penrose, in dem sie Überlegungen anstellten neuer Typ optische Täuschung, die sie das "unmögliche Dreieck" nannten.

Ein visuell unmögliches Dreieck wird als eine tatsächlich im dreidimensionalen Raum existierende Struktur wahrgenommen, die aus rechteckigen Stäben besteht. Aber das ist nur eine optische Täuschung. Es ist unmöglich, ein echtes Modell eines unmöglichen Dreiecks zu bauen.

Der Penrose-Artikel enthielt mehrere Möglichkeiten, ein unmögliches Dreieck darzustellen. - seine "klassische" Präsentation.

Aus welchen Elementen besteht ein unmögliches Dreieck?

Genauer gesagt, aus welchen Elementen scheint es uns gebaut zu sein? Das Design basiert auf einer rechteckigen Ecke, die durch rechtwinkliges Verbinden zweier identischer rechteckiger Stäbe entsteht. Es werden drei solcher Ecken benötigt, und die Stäbe daher sechs Stück. Diese Ecken müssen auf bestimmte Weise optisch miteinander „verbunden“ werden, sodass sie eine geschlossene Kette bilden. Was passiert, ist das unmögliche Dreieck.

Platzieren Sie die erste Ecke in einer horizontalen Ebene. Wir werden die zweite Ecke daran befestigen und eine ihrer Kanten nach oben richten. Schließlich fügen wir dieser zweiten Ecke eine dritte Ecke hinzu, sodass ihre Kante parallel zur ursprünglichen horizontalen Ebene verläuft. In diesem Fall sind die beiden Kanten der ersten und dritten Ecke parallel und in unterschiedliche Richtungen gerichtet.

Wenn wir den Balken als Segment der Einheitslänge betrachten, haben die Enden der Balken der ersten Ecke Koordinaten, und die zweite Ecke - , und die dritte - , und. Wir haben eine "verdrehte" Struktur, die tatsächlich im dreidimensionalen Raum existiert.

Und jetzt wollen wir versuchen, es gedanklich aus zu betrachten verschiedene Punkte Raum. Stellen Sie sich vor, wie es von einem Punkt aus aussieht, von einem anderen, von einem dritten. Wenn Sie den Beobachtungspunkt ändern, scheinen sich die beiden "End" -Kanten unserer Ecken relativ zueinander zu bewegen. Es ist nicht schwer, eine Position zu finden, in der sie sich verbinden.

Aber wenn der Abstand zwischen den Rippen viel kleiner ist als der Abstand von den Ecken zu dem Punkt, von dem aus wir unsere Struktur betrachten, dann haben für uns beide Rippen die gleiche Dicke, und es entsteht die Idee, dass diese beiden Rippen eigentlich a sind Fortsetzung voneinander. Diese Situation ist in 4 dargestellt.

Übrigens, wenn wir gleichzeitig die Reflexion der Struktur im Spiegel betrachten, sehen wir dort keinen geschlossenen Kreislauf.

Und vom gewählten Betrachtungspunkt aus sehen wir mit eigenen Augen, dass ein Wunder passiert ist: Es gibt eine geschlossene Kette von drei Ecken. Ändern Sie nur nicht den Beobachtungspunkt, damit diese Illusion nicht zusammenbricht. Jetzt können Sie ein Objekt zeichnen, das Sie sehen, oder eine Kameralinse an dem gefundenen Punkt platzieren und ein Foto eines unmöglichen Objekts machen.

Die Penroses waren die ersten, die sich für dieses Phänomen interessierten. Sie nutzten die Möglichkeiten, die sich bei der Abbildung von dreidimensionalem Raum und dreidimensionalen Objekten auf eine zweidimensionale Ebene ergeben, und machten auf einige gestalterische Unsicherheiten aufmerksam – eine offene Konstruktion aus drei Ecken kann als geschlossene Kette wahrgenommen werden.

Beweis der Unmöglichkeit des Penrose-Dreiecks

Als wir die Merkmale eines zweidimensionalen Bildes dreidimensionaler Objekte auf einer Ebene analysierten, verstanden wir, wie die Merkmale dieser Darstellung zu einem unmöglichen Dreieck führten. Vielleicht interessiert sich ja jemand für einen rein mathematischen Beweis.

Es ist extrem einfach zu beweisen, dass ein unmögliches Dreieck nicht existiert, weil jeder seiner Winkel richtig ist und ihre Summe 270 Grad anstelle der „gesetzten“ 180 Grad beträgt.

Darüber hinaus können wir, selbst wenn wir ein unmögliches Dreieck betrachten, das aus Ecken mit weniger als 90 Grad zusammengeklebt ist, in diesem Fall beweisen, dass das unmögliche Dreieck nicht existiert.

Wir sehen drei flache Gesichter. Sie schneiden sich paarweise entlang gerader Linien. Die Ebenen, die diese Flächen enthalten, sind paarweise orthogonal, sodass sie sich in einem Punkt schneiden.

Außerdem müssen Schnittlinien der Ebenen durch diesen Punkt verlaufen. Daher müssen sich die Geraden 1, 2, 3 in einem Punkt schneiden.

Aber das ist nicht so. Daher ist die vorgestellte Konstruktion unmöglich.

"Unmöglich" Kunst

Das Schicksal dieser oder jener Idee – wissenschaftlich, technisch, politisch – hängt von vielen Umständen ab. Und nicht zuletzt darauf, in welcher Form diese Idee präsentiert wird, in welchem Bild sie in der Öffentlichkeit erscheint. Ob die Verkörperung trocken und schwer wahrnehmbar sein wird, oder im Gegenteil, die Manifestation der Idee wird hell sein und unsere Aufmerksamkeit sogar gegen unseren Willen fesseln.

Das unmögliche Dreieck hat ein glückliches Schicksal. 1961 Niederländischer Maler Moritz Escher vollendete die Lithografie, die er „Der Wasserfall“ nannte. Der Künstler hat einen langen, aber schnellen Weg von der Idee eines unmöglichen Dreiecks bis zu seiner erstaunlichen künstlerischen Verkörperung zurückgelegt. Denken Sie daran, dass der Penrose-Artikel 1958 erschien.

Im Herzen des "Wasserfalls" sind zwei unmögliche Dreiecke dargestellt. Ein Dreieck ist groß, ein anderes Dreieck befindet sich darin. Es scheint, dass drei identische unmögliche Dreiecke abgebildet sind. Aber das ist nicht der Punkt, das vorgestellte Design ist ziemlich kompliziert.

Auf einen flüchtigen Blick wird seine Absurdität nicht sofort für jeden ersichtlich, da jede dargestellte Verbindung möglich ist. Wie sie sagen, ist ein solches Design lokal, dh in einem kleinen Bereich der Zeichnung, machbar ... Aber im Allgemeinen ist es unmöglich! Seine Einzelteile passen nicht zusammen, stimmen nicht überein.

Und um dies zu verstehen, müssen wir gewisse intellektuelle und visuelle Anstrengungen unternehmen.

Machen wir eine Reise entlang der Ränder der Struktur. Dieser Weg ist insofern bemerkenswert, als entlang ihm, wie es uns scheint, die Ebene relativ zur horizontalen Ebene unverändert bleibt. Auf diesem Weg steigen wir weder auf noch ab.

Und alles wäre gut, vertraut, wenn wir am Ende des Weges - nämlich am Punkt - nicht feststellen würden, dass wir relativ zum Ausgangspunkt irgendwie geheimnisvoll undenkbar die Vertikale hinaufgeklettert sind!

Um zu diesem paradoxen Ergebnis zu kommen, müssen wir diesen Weg wählen und sogar den Pegel relativ zur horizontalen Ebene überwachen ... Keine leichte Aufgabe. Bei ihrer Entscheidung kam Escher ... Wasser zu Hilfe. Erinnern wir uns an das Bewegungslied aus Franz Schuberts wunderbarem Gesangszyklus „Die schöne Müllerin“:

Und zuerst in der Vorstellung und dann durch die Hand eines wunderbaren Meisters verwandeln sich kahle und trockene Strukturen in Aquädukte, durch die saubere und schnelle Wasserströme fließen. Ihre Bewegung fesselt unseren Blick, und jetzt eilen wir gegen unseren Willen flussabwärts, folgen allen Kurven und Biegungen des Pfades, zusammen mit dem Bach, den wir brechen, fallen auf die Schaufeln einer Wassermühle, dann stürzen wir wieder flussabwärts. .

Wir umrunden diesen Weg einmal, zweimal, ein drittes ... und erst dann merken wir: runter und s, wir irgendwie auf fantastische Weise Lass uns an die Spitze steigen! Die anfängliche Überraschung entwickelt sich zu einer Art intellektuellem Unbehagen. Es scheint, dass wir das Opfer eines Scherzes geworden sind, das Objekt eines Witzes, der noch nicht verstanden wurde.

Und wieder wiederholen wir diesen Weg entlang eines seltsamen Kanals, jetzt langsam, mit Vorsicht, als fürchteten wir einen Haken in einem paradoxen Bild und nehmen alles, was auf diesem mysteriösen Weg passiert, kritisch wahr.

Wir versuchen, das Geheimnis zu lüften, das uns in Erstaunen versetzt hat, und wir können seiner Gefangenschaft nicht entkommen, bis wir die verborgene Quelle finden, die ihm zugrunde liegt und den unvorstellbaren Wirbelsturm in unaufhörliche Bewegung versetzt.

Der Künstler betont ausdrücklich, erzwingt uns die Wahrnehmung seiner Gemälde als Bilder realer dreidimensionaler Objekte. Die Dreidimensionalität wird betont durch das Bild von ganz realen Polyedern auf den Türmen, Mauerwerk mit der genauesten Darstellung jedes Steins in den Wänden des Aquädukts, ansteigende Terrassen mit Gärten im Hintergrund. Alles ist darauf ausgelegt, den Betrachter von der Realität des Geschehens zu überzeugen. Und dank Kunst und exzellenter Technik ist dieses Ziel erreicht.

Wenn wir aus der Gefangenschaft ausbrechen, in die unser Bewusstsein fällt, beginnen wir zu vergleichen, zu vergleichen, zu analysieren, stellen wir fest, dass die Grundlage, die Quelle dieses Bildes in den Designmerkmalen verborgen ist.

Und wir haben noch einen - "physikalischen" Beweis für die Unmöglichkeit des "unmöglichen Dreiecks": Wenn es ein solches Dreieck gäbe, dann gäbe es auch Eschers "Wasserfall", der im Wesentlichen ein Perpetuum mobile ist. Aber ein Perpetuum mobile ist unmöglich, also ist auch das „unmögliche Dreieck“ unmöglich. Und vielleicht ist dieser „Beweis“ der überzeugendste.

Was machte Moritz Escher zu einem Phänomen, einer einzigartigen Person, die keine offensichtlichen Vorgänger in der Kunst hatte und die nicht nachgeahmt werden kann? Es ist eine Kombination aus Ebenen und Volumen, Aufmerksamkeit zu bizarren Formen der Mikrowelt - belebt und unbelebt, zu ungewöhnlichen Blickwinkeln auf gewöhnliche Dinge. Die Hauptwirkung seiner Kompositionen ist die Wirkung der Entstehung unmöglicher Beziehungen zwischen vertrauten Objekten. Diese Situationen können auf den ersten Blick sowohl erschrecken als auch ein Lächeln hervorrufen. Man kann dem Spaß, den der Künstler bietet, freudig zuschauen oder ernsthaft in die Tiefen der Dialektik eintauchen.

Moritz Escher zeigte, dass die Welt vielleicht gar nicht so ist, wie wir sie sehen und wahrnehmen – man muss sie nur aus einem anderen, neuen Blickwinkel betrachten!

Moritz Escher

Moritz Escher hatte als Wissenschaftler mehr Glück als als Künstler. Seine Stiche und Lithographien wurden als Schlüssel zum Beweis von Theoremen oder originellen Gegenbeispielen angesehen, die sich dem gesunden Menschenverstand widersetzten. Im schlimmsten Fall wurden sie als hervorragende Illustrationen für wissenschaftliche Abhandlungen über Kristallographie, Gruppentheorie, kognitive Psychologie oder Computergrafik wahrgenommen. Moritz Escher arbeitete auf dem Gebiet der Raum-Zeit-Beziehungen und ihrer Identität, er verwendete Grundmuster von Mosaiken und wendete Transformationen darauf an. Das Großer Meister optische Täuschung. Eschers Stiche zeigen nicht die Welt der Formeln, sondern die Schönheit der Welt. Ihr intellektuelles Lager ist den unlogischen Schöpfungen der Surrealisten grundsätzlich entgegengesetzt.

Der niederländische Künstler Moritz Cornelius Escher wurde am 17. Juni 1898 in der Provinz Holland geboren. Das Geburtshaus von Escher ist heute ein Museum.

Seit 1907 studiert Moritz Tischlerei und spielt Klavier, Studium an der weiterführende Schule. Moritz' Noten waren in allen Fächern schlecht, außer im Zeichnen. Der Kunstlehrer bemerkte das Talent des Jungen und brachte ihm bei, wie man Holzschnitte macht.

1916 führt Escher sein erstes grafisches Werk aus, einen Kupferstich auf purpurfarbenem Linoleum – ein Porträt seines Vaters G. A. Escher. Er besucht die Werkstatt des Künstlers Gert Stiegemann, der eine Druckerei besaß. Auf dieser Maschine wurden Eschers erste Stiche gedruckt.

1918-1919 besuchte Escher die Technische Hochschule im holländischen Delft. Er erhält eine Zurückstellung vom Militärdienst, um sein Studium fortzusetzen, was Moritz aber aus gesundheitlichen Gründen nicht verkraften kann Lehrplan, und wurde ausgewiesen. Infolgedessen erhielt er nie höhere Bildung. Er studiert an der Schule für Architektur und Ornamentik in Haarlem, wo er Zeichenunterricht bei Samuel Jeserin de Mesquite nimmt, der Eschers Leben und Werk prägend beeinflusst hat.

1921 besuchte die Familie Escher die Riviera und Italien. Fasziniert von der Vegetation und den Blumen des mediterranen Klimas fertigte Moritz detaillierte Zeichnungen von Kakteen und Olivenbäumen an. Er fertigte viele Skizzen von Berglandschaften an, die später die Grundlage seiner Arbeit bildeten. Später kehrte er immer wieder nach Italien zurück, das ihm als Inspirationsquelle diente.

Escher beginnt für sich selbst in eine neue Richtung zu experimentieren, schon damals gibt es in seinen Werken Spiegelbilder, Kristallfiguren und Kugeln.

Das Ende der zwanziger Jahre war für Moritz eine sehr fruchtbare Zeit. Seine Arbeiten wurden auf vielen Ausstellungen in Holland gezeigt, und 1929 hatte seine Popularität ein solches Niveau erreicht, dass fünf Einzelausstellungen in einem Jahr in Holland und der Schweiz stattfanden. In dieser Zeit wurden Eschers Bilder erstmals als mechanisch und "logisch" bezeichnet.

Asher reist viel. Lebt in Italien und der Schweiz, Belgien. Er studiert maurische Mosaike, fertigt Lithografien und Stiche an. Basierend auf Reiseskizzen entsteht sein erstes Gemälde der unmöglichen Realität Still Life with Street.

In den späten dreißiger Jahren experimentierte Escher weiter mit Mosaiken und Transformationen. Er schafft ein Mosaik in Form zweier aufeinander zu fliegender Vögel, das die Grundlage des Gemäldes „Tag und Nacht“ bildete.

Im Mai 1940 besetzten die Nazis Holland und Belgien, am 17. Mai fiel auch Brüssel in die Besatzungszone, wo Escher und seine Familie damals lebten. Sie finden ein Zuhause in Varna und ziehen im Februar 1941 dorthin. Bis an sein Lebensende wird Escher in dieser Stadt leben.

1946 interessierte sich Escher für die Tiefdrucktechnik. Und obwohl diese Technologie viel komplizierter war als die von Escher zuvor verwendete und mehr Zeit für die Erstellung eines Bildes benötigte, waren die Ergebnisse beeindruckend - dünne Linien und eine genaue Schattenwiedergabe. Einer der meisten Berühmte Werke im Tiefdruck "Dewdrop" wurde 1948 fertiggestellt.

1950 gewann Moritz Escher als Dozent an Popularität. Dann, 1950, fand seine erste Einzelausstellung in den Vereinigten Staaten statt und seine Arbeiten begannen gekauft zu werden. 27. April 1955 Moritz Escher wird zum Ritter geschlagen und wird Adliger.

Mitte der 1950er-Jahre kombiniert Escher Mosaike mit Figuren, die ins Unendliche reichen.

Anfang der 60er Jahre erschien das erste Buch mit Eschers Werken, Grafiek en Tekeningen, in dem der Autor selbst 76 Werke kommentierte. Das Buch hat dazu beigetragen, das Verständnis unter Mathematikern und Kristallographen, einschließlich einiger in Russland und Kanada, zu steigern.

Im August 1960 hielt Escher in Cambridge einen Vortrag über Kristallographie. Die mathematischen und kristallographischen Aspekte von Eschers Arbeit werden immer beliebter.

1970 nach Neue Serien Eschers Betrieb zog um neues Haus in Laren, wo es ein Atelier gab, aber die Krankheit es unmöglich machte, hart zu arbeiten.

Moritz Escher starb 1971 im Alter von 73 Jahren. Escher lebte lange genug, um die Übersetzung von The World of M.C. Escher zu sehen englische Sprache und war sehr zufrieden damit.

Auf den Webseiten von Mathematikern und Programmierern findet man verschiedene unmögliche Bilder. am meisten Vollversion von denen, die wir uns angesehen haben, ist unserer Meinung nach die Seite von Vlad Alekseev

Diese Seite präsentiert nicht nur eine große Auswahl an Berühmte Gemälde, darunter M. Escher, aber auch animierte Bilder, lustige Zeichnungen von unmöglichen Tieren, Münzen, Briefmarken usw. Diese Seite lebt, sie wird regelmäßig aktualisiert und mit erstaunlichen Zeichnungen aufgefüllt.

Mehrere unmögliche Figuren wurden erfunden - eine Leiter, ein Dreieck und ein X-Zinken. Diese Figuren sind in einem dreidimensionalen Bild tatsächlich ziemlich real. Aber wenn ein Künstler Volumen auf Papier projiziert, erscheinen Objekte unmöglich. Das Dreieck, das auch „Tribar“ genannt wird, ist zu einem wunderbaren Beispiel dafür geworden, wie das Unmögliche möglich wird, wenn man sich anstrengt.

All diese Figuren sind schöne Illusionen. Die Errungenschaften des menschlichen Genies werden von Künstlern genutzt, die im Stil der Improvisation malen.

Nichts ist unmöglich. Dasselbe gilt für das Penrose-Dreieck. Dies ist eine geometrisch unmögliche Figur, deren Elemente nicht verbunden werden können. Dennoch wurde das unmögliche Dreieck möglich. Der schwedische Maler Oscar Reutersvärd präsentierte der Welt 1934 ein unmögliches Würfeldreieck. O. Reutersvärd gilt als Entdecker dieser visuellen Illusion. Zu Ehren dieses Ereignisses Briefmarke Schweden druckte diese Zeichnung später.

Und 1958 veröffentlichte der Mathematiker Roger Penrose in einer englischen Zeitschrift eine Veröffentlichung über unmögliche Zahlen. Er war es, der das wissenschaftliche Modell der Illusion geschaffen hat. Roger Penrose war ein unglaublicher Wissenschaftler. Er forschte in der Relativitätstheorie und der faszinierenden Quantentheorie. Zusammen mit S. Hawking wurde er mit dem Wolf Prize ausgezeichnet.

Es ist bekannt, dass der Künstler Maurits Escher unter dem Einfluss dieses Artikels sein erstaunliches Werk gemalt hat - die Lithographie "Wasserfall". Aber ist es möglich, ein Penrose-Dreieck zu machen? Wie geht das ggf.

Tribar und Realität

Obwohl die Figur als unmöglich gilt, ist es einfacher denn je, ein Penrose-Dreieck mit Ihren eigenen Händen zu machen. Es kann aus Papier hergestellt werden. Origami-Liebhaber konnten die Tri-Bars einfach nicht ignorieren und fanden dennoch einen Weg, ein Ding zu erschaffen und in ihren Händen zu halten, das zuvor wie eine unerhörte Fantasie eines Wissenschaftlers aussah.

Wir werden jedoch von unseren eigenen Augen getäuscht, wenn wir die Projektion eines dreidimensionalen Objekts aus drei senkrechten Linien betrachten. Dem Betrachter scheint es, als würde er ein Dreieck sehen, obwohl es das eigentlich nicht ist.

DIY-Geometrie

Das Tribar-Dreieck ist, wie gesagt, nicht wirklich ein Dreieck. Das Penrose-Dreieck ist eine Illusion. Erst ab einem bestimmten Winkel sieht das Objekt wie ein gleichseitiges Dreieck aus. Das Objekt in seiner natürlichen Form besteht jedoch aus 3 Seiten eines Würfels. Bei einer solchen isometrischen Projektion fallen 2 Winkel auf der Ebene zusammen: der dem Betrachter am nächsten liegende und der entferntere.

Die optische Täuschung offenbart sich natürlich schnell, sobald man dieses Objekt in die Hand nimmt. Und der Schatten offenbart auch die Illusion, denn der Schatten des Tribars zeigt deutlich, dass die Winkel in der Realität nicht übereinstimmen.

Tribar aus Papier. Planen

Wie macht man ein Penrose-Dreieck mit eigenen Händen aus Papier? Gibt es Schaltpläne zu diesem Modell? Bis heute wurden 2 Layouts erfunden, um ein so unmögliches Dreieck zu falten. Die Grundlagen der Geometrie sagen dir genau, wie man ein Objekt faltet.

Um das Penrose-Dreieck mit Ihren eigenen Händen zu falten, müssen Sie nur 10-20 Minuten einplanen. Sie müssen Kleber, Schere für mehrere Schnitte und Papier vorbereiten, auf dem das Diagramm gedruckt wird.

Aus einem solchen Rohling wird das beliebteste unmögliche Dreieck erhalten. Das Origami-Handwerk ist nicht allzu schwierig zu machen. Daher wird es definitiv das erste Mal herauskommen, und sogar für einen Schüler, der gerade erst begonnen hat, Geometrie zu studieren.

Wie Sie sehen können, stellt sich heraus, dass es ein sehr schönes Handwerk ist. Der zweite Rohling sieht anders aus und lässt sich anders falten, aber das Penrose-Dreieck selbst sieht am Ende gleich aus.

Schritte zum Erstellen eines Penrose-Dreiecks aus Papier.

Wählen Sie eines von 2 für Sie geeigneten Rohlingen aus, kopieren Sie die Datei und drucken Sie sie aus. Wir geben hier ein Beispiel für das zweite Layoutmodell, das etwas einfacher ausgeführt wird.

Der Tribar Origami-Rohling selbst enthält bereits alle notwendigen Tipps. Tatsächlich sind Anweisungen für die Schaltung nicht erforderlich. Es reicht aus, es nur auf einen dicken Papierträger herunterzuladen, da es sonst unpraktisch ist und die Figur nicht funktioniert. Wenn es nicht möglich ist, sofort auf Karton zu drucken, müssen Sie dem neuen Material eine Skizze beifügen und die Zeichnung entlang der Kontur ausschneiden. Der Einfachheit halber können Sie mit Büroklammern befestigen.

Was macht man als nächstes? Wie kann man das Penrose-Dreieck schrittweise mit den eigenen Händen falten? Sie müssen diesen Aktionsplan befolgen:

Wir leiten Rückseite Scheren Sie die Linien, an denen Sie biegen möchten, gemäß den Anweisungen. Biegen Sie alle Linien
Wo es nötig ist, nehmen wir Kürzungen vor.
Wir kleben mit Hilfe von PVA die Fetzen, die das Teil zu einem Ganzen verbinden sollen.

Das fertige Modell kann in jeder Farbe neu lackiert werden, oder Sie nehmen vorab farbigen Karton für die Arbeit. Aber auch wenn das Objekt ohnehin aus weißem Papier ist, jeder, der zum ersten Mal Ihr Wohnzimmer betritt, wird von einem solchen Handwerk sicherlich abgeschreckt.

Dreiecksmuster

Wie zeichnet man ein Penrose-Dreieck? Nicht jeder mag Origami, aber viele Menschen lieben es zu zeichnen.

Zunächst wird ein regelmäßiges Quadrat beliebiger Größe dargestellt. Dann wird ein Dreieck hineingezeichnet, dessen Basis die untere Seite des Quadrats ist. In jede Ecke passt ein kleines Rechteck, dessen Seiten alle ausradiert sind; nur die Seiten, die an das Dreieck angrenzen, bleiben übrig. Dies ist notwendig, um die Linien gerade zu halten. Es stellt sich ein Dreieck mit abgeschnittenen Ecken heraus.

Die nächste Stufe ist das Bild der zweiten Dimension. Von der linken Seite der oberen unteren Ecke wird eine streng gerade Linie gezogen. Dieselbe Linie wird ausgehend von der unteren linken Ecke gezeichnet und etwas nicht zur ersten Messlinie 2 gebracht. Eine weitere Linie wird von der rechten Ecke parallel zur Unterseite der Hauptfigur gezogen.

Der letzte Schritt besteht darin, die dritte Dimension innerhalb der zweiten Dimension mit drei weiteren kleinen Linien zu zeichnen. Kleine Linien gehen von den Linien der zweiten Dimension aus und vervollständigen das Bild des dreidimensionalen Volumens.

Andere Penrose-Figuren

Nach der gleichen Analogie können Sie andere Formen zeichnen - ein Quadrat oder ein Sechseck. Die Illusion wird aufrechterhalten. Aber trotzdem sind diese Zahlen nicht mehr so erstaunlich. Solche Polygone scheinen einfach stark verdreht zu sein. Moderne Grafiken ermöglichen es Ihnen, interessantere Versionen des berühmten Dreiecks zu erstellen.

Neben dem Dreieck ist auch die Penrose-Treppe weltberühmt. Die Idee ist, das Auge so zu täuschen, dass es scheint, als würde sich die Person ständig nach oben bewegen, wenn sie sich im Uhrzeigersinn bewegt, und wenn sie sich gegen den Uhrzeigersinn bewegt, dann nach unten.

Die durchgehende Treppe ist eher in Verbindung mit M. Eschers Gemälde Auf- und Abstieg bekannt. Interessanterweise landet eine Person, wenn sie alle 4 Stockwerke dieser illusorischen Treppe durchläuft, ausnahmslos dort, wo sie begonnen hat.

Es ist bekannt, dass andere Objekte den menschlichen Verstand in die Irre führen, wie zum Beispiel eine unmögliche Bar. Oder eine nach den gleichen Gesetzmäßigkeiten der Illusion hergestellte Schachtel mit sich kreuzenden Kanten. Aber all diese Objekte wurden bereits auf der Grundlage eines Artikels eines bemerkenswerten Wissenschaftlers - Roger Penrose - erfunden.

Unmögliches Dreieck in Perth

Die nach dem Mathematiker benannte Figur wird geehrt. Sie hat ein Denkmal errichtet. 1999 wurde in einer der Städte Australiens (Perth) ein großes Penrose-Dreieck aus Aluminium mit einer Höhe von 13 Metern installiert. Touristen fotografieren gerne neben dem Aluminiumgiganten. Wählt man aber für die Fotografie einen anderen Blickwinkel, dann wird die Täuschung offensichtlich.

Aufsicht

Mathematiklehrer

1.Einleitung ………………………………………………….……3

2. Historischer Hintergrund………………………………………..…4

3. Hauptteil………………………………………………….7

4. Beweis der Unmöglichkeit des Penrose-Dreiecks ...... 9

5. Schlussfolgerungen………………………………………………..……………11

6. Literatur ……………………………………………….…… 12

Relevanz: Mathematik ist ein Studienfach von der ersten bis zur Abschlussklasse. Viele Studenten finden es schwierig, uninteressant und unnötig. Aber wenn Sie über die Seiten des Lehrbuchs hinausblicken, zusätzliche Literatur lesen, mathematische Sophismen und Paradoxien lesen, dann wird sich die Vorstellung von Mathematik ändern, es wird der Wunsch entstehen, mehr zu lernen, als im Schulmathematikkurs studiert wird.

Ziel der Arbeit:

zu zeigen, dass die Existenz unmöglicher Figuren den eigenen Horizont erweitert, das räumliche Vorstellungsvermögen entwickelt, wird nicht nur von Mathematikern, sondern auch von Künstlern verwendet.

Aufgaben :

1. Studieren Sie die Literatur zu diesem Thema.

2. Betrachten Sie unmögliche Figuren, machen Sie ein Modell eines unmöglichen Dreiecks, beweisen Sie, dass ein unmögliches Dreieck auf einer Ebene nicht existiert.

3. Entfalte das unmögliche Dreieck.

4. Betrachten Sie Beispiele für die Verwendung des unmöglichen Dreiecks in der bildenden Kunst.

Einführung

Historisch gesehen hat die Mathematik eine wichtige Rolle in der bildenden Kunst gespielt, insbesondere bei der Darstellung der Perspektive, bei der es darum geht, eine dreidimensionale Szene auf einer flachen Leinwand oder einem Blatt Papier realistisch darzustellen. Nach modernen Ansichten, Mathematik und Kunst sehr weit voneinander entfernte Disziplinen, die erste - analytisch, die zweite - emotional. Mathematik spielt in den meisten Berufen keine offensichtliche Rolle zeitgenössische Kunst und tatsächlich verwenden viele Künstler selten oder nie die Perspektive. Es gibt jedoch viele Künstler, die sich auf Mathematik konzentrieren. Mehrere bedeutende Persönlichkeiten der bildenden Kunst ebneten diesen Personen den Weg.

Tatsächlich gibt es keine Regeln oder Einschränkungen für die Verwendung verschiedene Themen in den mathematischen Künsten, wie unmögliche Figuren, das Möbiusband, Verzerrung oder ungewöhnliche Perspektivensysteme und Fraktale.

Geschichte unmöglicher Gestalten

Unmögliche Figuren sind eine bestimmte Art von mathematischem Paradox, bestehend aus regelmäßigen Teilen, die in einem unregelmäßigen Komplex verbunden sind. Wenn Sie versuchen, eine Definition des Begriffs „unmögliche Objekte“ zu formulieren, würde es wahrscheinlich so klingen – physikalisch mögliche Figuren, die in einer unmöglichen Form zusammengesetzt sind. Aber sie anzuschauen ist viel angenehmer, Definitionen zu erstellen.

Fehlern in der räumlichen Konstruktion begegneten Künstler schon vor tausend Jahren. Aber der schwedische Künstler Oscar Reutersvärd, der 1934 malte, gilt als der erste, der unmögliche Objekte baute und analysierte. das erste unmögliche Dreieck, bestehend aus neun Würfeln.

Reutersvärd-Dreieck

Unabhängig von Reutersvaerd entdeckt der englische Mathematiker und Physiker Roger Penrose das unmögliche Dreieck wieder und veröffentlicht sein Bild 1958 im British Psychological Journal. Die Illusion verwendet "falsche Perspektive". Manchmal wird eine solche Perspektive als chinesisch bezeichnet, da eine ähnliche Art des Zeichnens, wenn die Tiefe der Zeichnung „mehrdeutig“ ist, häufig in den Werken chinesischer Künstler gefunden wurde.

Escherfälle

1961 Niederländer M. Escher, inspiriert unmögliches Dreieck Penrose, schafft die berühmte Lithografie „Waterfall“. Das Wasser im Bild fließt endlos, nach dem Wasserrad fließt es weiter und fällt zurück zum Ausgangspunkt. Tatsächlich ist dies ein Bild eines Perpetuum Mobile, aber jeder Versuch, dieses Design in der Realität zu bauen, ist zum Scheitern verurteilt.

Ein weiteres Beispiel für unmögliche Figuren ist die Zeichnung "Moskau", die ein ungewöhnliches Schema der Moskauer U-Bahn darstellt. Zuerst nehmen wir das Bild als Ganzes wahr, aber wenn wir die einzelnen Linien mit unseren Augen verfolgen, sind wir von der Unmöglichkeit ihrer Existenz überzeugt.

« Moskau“, Grafik (Tinte, Bleistift), 50x70 cm, 2003

Das Zeichnen von "Drei Schnecken" setzt die Traditionen der zweiten berühmten unmöglichen Figur fort - eines unmöglichen Würfels (Kasten).

"Drei Schnecken" Unmöglicher Würfel

Die Kombination verschiedener Objekte findet sich auch in der nicht ganz so seriösen Figur „IQ“ (Intelligenzquotient). Es ist interessant, dass manche Menschen unmögliche Objekte nicht wahrnehmen, weil ihr Bewusstsein flache Bilder nicht mit dreidimensionalen Objekten identifizieren kann.

Donald Simanek meinte, dass das Verständnis visueller Paradoxien eines der Markenzeichen der Art von Kreativität ist, die die besten Mathematiker, Wissenschaftler und Künstler besitzen. Viele Arbeiten mit paradoxen Objekten lassen sich als „intellektuelle mathematische Spiele“ einordnen. Die moderne Wissenschaft spricht von einem 7-dimensionalen oder 26-dimensionalen Modell der Welt. Eine solche Welt lässt sich nur mit mathematischen Formeln modellieren, ein Mensch kann sie sich einfach nicht vorstellen. Hier kommen unmögliche Zahlen ins Spiel.

Die dritte beliebte unmögliche Figur ist die unglaubliche Treppe von Penrose. Sie werden kontinuierlich entweder aufsteigen (gegen den Uhrzeigersinn) oder absteigen (im Uhrzeigersinn). Das Penrose-Modell bildete die Grundlage des berühmten Gemäldes von M. Escher „Up and Down“ Die unglaubliche Penrose-Treppe

Unmöglicher Dreizack

"Verdammte Gabel"

Es gibt eine weitere Gruppe von Objekten, die nicht implementiert werden können. Die klassische Figur ist der unmögliche Dreizack oder "Teufelsgabel". Bei sorgfältiger Betrachtung des Bildes können Sie sehen, dass sich drei Zähne auf einer einzigen Basis allmählich in zwei verwandeln, was zu einem Konflikt führt. Wir vergleichen die Anzahl der Zähne von oben und unten und kommen zu dem Schluss, dass das Objekt unmöglich ist. Wenn Sie den oberen Teil des Dreizacks mit der Hand schließen, sehen wir vollständig das eigentliche Bild- drei runde Zähne. Wenn wir den unteren Teil des Dreizacks schließen, sehen wir auch ein echtes Bild - zwei rechteckige Zähne. Aber wenn wir die ganze Figur als Ganzes betrachten, stellt sich heraus, dass aus drei runden Zähnen allmählich zwei rechteckige werden.

Somit ist ersichtlich, dass die Vorder- u Hintergrund Diese Figur steht im Konflikt. Das heißt, was ursprünglich war Vordergrund geht zurück, und der Hintergrund (mittlerer Zahn) kriecht nach vorne. Neben der Veränderung von Vorder- und Hintergrund hat diese Zeichnung einen weiteren Effekt - die flachen Kanten des oberen Teils des Dreizacks werden unten rund.

Hauptteil.

Dreieck- eine aus 3 aneinandergrenzenden Teilen bestehende Figur, die mit Hilfe unzulässiger Verbindungen dieser Teile aus mathematischer Sicht die Illusion einer unmöglichen Struktur erzeugt. Auf andere Weise wird dieser Dreier auch genannt Quadrat Penrose

Das grafische Prinzip hinter dieser Illusion verdankt seine Formulierung einem Psychologen und seinem Sohn Roger, einem Physiker. Das Penrouze-Quadrat besteht aus 3 Balken quadratischer Querschnitt in 3 zueinander senkrechten Richtungen angeordnet; jedes verbindet sich im rechten Winkel mit dem nächsten, die alle in den dreidimensionalen Raum passen. Hier ist ein einfaches Rezept zum Zeichnen dieser isometrischen Ansicht eines Penrose-Quadrats:

Schneiden Sie die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks entlang von Linien parallel zu den Seiten;

Zeichnen Sie Parallelen zu den Seiten innerhalb des abgeschnittenen Dreiecks.

Schneiden Sie die Ecken erneut ab

Zeichnen Sie noch einmal innerhalb der Parallelen;

· Stellen Sie sich einen der zwei möglichen Würfel in einer der Ecken vor;

· Setzen Sie es mit einem L-förmigen „Ding“ fort;

Führen Sie dieses Design im Kreis aus.

Würden wir einen anderen Würfel wählen, würde das Quadrat in die andere Richtung „verdreht“. .

Entwicklung eines unmöglichen Dreiecks.

Bruchlinie

Schnitt Linie

Aus welchen Elementen besteht ein unmögliches Dreieck? Genauer gesagt, aus welchen Elementen scheint es uns (so scheint es!) Gebaut? Das Design basiert auf einer rechteckigen Ecke, die durch rechtwinkliges Verbinden zweier identischer rechteckiger Stäbe entsteht. Es werden drei solcher Ecken benötigt, und die Stäbe daher sechs Stück. Diese Ecken müssen auf bestimmte Weise optisch miteinander „verbunden“ werden, sodass sie eine geschlossene Kette bilden. Was passiert, ist das unmögliche Dreieck.

Und jetzt versuchen wir, die Figur von verschiedenen Punkten im Raum aus zu betrachten (oder ein echtes Drahtmodell zu machen). Stellen Sie sich vor, wie es von einem Punkt aus aussieht, von einem anderen, von einem dritten ... Wenn Sie den Beobachtungspunkt ändern (oder - was dasselbe ist - wenn die Struktur im Raum gedreht wird), scheint es, dass die beiden "End" -Kanten von unsere Ecken bewegen sich relativ zueinander. Es ist nicht schwierig, eine Position zu finden, an der sie sich verbinden (natürlich erscheint uns in diesem Fall die nahe Ecke dicker als die längere).

Übrigens, wenn wir gleichzeitig auf die Darstellung der Struktur im Spiegel schauen, dann sehen wir dort keinen geschlossenen Kreislauf.

Und vom gewählten Betrachtungspunkt aus sehen wir mit eigenen Augen, dass ein Wunder passiert ist: Es gibt eine geschlossene Kette von drei Ecken. Ändern Sie einfach nicht den Beobachtungspunkt, damit diese Illusion (tatsächlich ist es eine Illusion!) nicht zusammenbricht. Jetzt können Sie ein Objekt zeichnen, das Sie sehen, oder eine Kameralinse an dem gefundenen Punkt platzieren und ein Foto eines unmöglichen Objekts machen.

Die Penroses waren die ersten, die sich für dieses Phänomen interessierten. Sie nutzten die Möglichkeiten, die sich bei der Abbildung von dreidimensionalen Räumen und dreidimensionalen Objekten auf eine zweidimensionale Ebene (also beim Entwerfen) ergeben, und machten auf einige gestalterische Unsicherheiten aufmerksam – ein offenes Design mit drei Ecken kann als geschlossen wahrgenommen werden Schaltkreis.

Wie bereits erwähnt, lässt sich das einfachste Modell leicht aus Draht herstellen, was den beobachteten Effekt prinzipiell erklärt. Nehmen Sie ein gerades Stück Draht und teilen Sie es in drei gleiche Teile. Biegen Sie dann die äußersten Teile so, dass sie mit dem mittleren Teil einen rechten Winkel bilden, und drehen Sie sie um 900 relativ zueinander. Drehe nun diese Figur und beobachte sie mit einem Auge. An einer bestimmten Position scheint es, als sei es aus einem geschlossenen Drahtstück geformt. Schaltet man die Tischlampe ein, sieht man den auf den Tisch fallenden Schatten, der sich an einer bestimmten Position der Figur im Raum ebenfalls in ein Dreieck verwandelt.

Dieses Konstruktionsmerkmal kann jedoch in einer anderen Situation beobachtet werden. Wenn Sie einen Drahtring machen und ihn dann in verschiedene Richtungen spreizen, erhalten Sie eine Windung einer zylindrischen Spirale. Diese Schleife ist natürlich offen. Wenn Sie es jedoch auf eine Ebene projizieren, können Sie eine geschlossene Linie erhalten.

Wir haben wieder einmal gesehen, dass die Projektion auf die Ebene gemäß der Zeichnung die dreidimensionale Figur mehrdeutig wieder herstellt. Das heißt, die Projektion enthält eine gewisse Mehrdeutigkeit, Untertreibung, die das „unmögliche Dreieck“ entstehen lässt.

Und man kann sagen, dass das "unmögliche Dreieck" der Penroses wie viele andere auch ist optische Täuschung, steht im Einklang mit Logische Paradoxien und Wortspiele.

Beweis der Unmöglichkeit des Penrose-Dreiecks

Als wir die Merkmale eines zweidimensionalen Bildes dreidimensionaler Objekte auf einer Ebene analysierten, verstanden wir, wie die Merkmale dieser Darstellung zu einem unmöglichen Dreieck führten.

Es ist sehr einfach zu beweisen, dass ein unmögliches Dreieck nicht existiert, weil jeder seiner Winkel richtig ist und ihre Summe 2700 statt der „gesetzten“ 1800 beträgt.

Selbst wenn wir ein unmögliches Dreieck betrachten, das aus weniger als 900 Ecken zusammengeklebt ist, kann in diesem Fall bewiesen werden, dass das unmögliche Dreieck nicht existiert.

Stellen Sie sich ein anderes Dreieck vor, das aus mehreren Teilen besteht. Wenn die Teile, aus denen es besteht, unterschiedlich angeordnet sind, wird genau dasselbe Dreieck erhalten, jedoch mit einem kleinen Fehler. Ein Quadrat wird fehlen. Wie ist das möglich? Oder ist es nur eine Illusion.

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Mit dem Phänomen der Wahrnehmung

Gibt es eine Möglichkeit, den Impossibility-Effekt zu verstärken? Sind einige Objekte "unmöglicher" als andere? Und hier kommen Features zur Rettung. menschliche Wahrnehmung. Psychologen haben festgestellt, dass das Auge beginnt, das Objekt (Bild) von der unteren linken Ecke aus zu untersuchen, dann gleitet der Blick nach rechts zur Mitte und senkt sich zur unteren rechten Ecke des Bildes. Eine solche Flugbahn kann darauf zurückzuführen sein, dass unsere Vorfahren beim Treffen mit dem Feind zuerst auf die gefährlichste rechte Hand blickten und sich dann ihr Blick nach links auf Gesicht und Figur bewegte. Auf diese Weise, künstlerische Wahrnehmung hängt maßgeblich davon ab, wie die Komposition des Bildes aufgebaut ist. Dieses Merkmal im Mittelalter zeigte sich deutlich in der Herstellung von Wandteppichen: Ihr Muster war Spiegelbild Original, und der Eindruck von Gobelins und Originalen ist unterschiedlich.

Diese Eigenschaft kann erfolgreich beim Erstellen von Kreationen mit unmöglichen Objekten verwendet werden, um den "Grad der Unmöglichkeit" zu erhöhen oder zu verringern. Es eröffnet auch die Aussicht auf interessante Kompositionen mit Computertechnik oder aus mehreren Gemälden gedreht (evtl andere Art Symmetrien) relativ zueinander, wodurch ein anderer Eindruck des Objekts und ein tieferes Verständnis des Wesens des Konzepts entsteht, oder von einem, der sich mit Hilfe eines einfachen Mechanismus in bestimmten Winkeln (kontinuierlich oder ruckartig) dreht.

Eine solche Richtung kann als polygonal (polygonal) bezeichnet werden. Die Abbildungen zeigen relativ zueinander gedrehte Bilder. Die Komposition entstand wie folgt: Eine mit Tusche und Bleistift angefertigte Zeichnung auf Papier wurde eingescannt, digitalisiert und eingearbeitet Grafikeditor. Wir können eine Regelmäßigkeit feststellen - das gedrehte Bild hat einen größeren "Unmöglichkeitsgrad" als das Original. Das ist leicht erklärt: Der Künstler strebt im Arbeitsprozess unbewusst danach, das „richtige“ Bild zu schaffen.

Abschluss

Die Verwendung verschiedener mathematischer Figuren und Gesetze ist nicht auf die obigen Beispiele beschränkt. Wenn Sie alle oben genannten Zahlen sorgfältig studieren, können Sie andere finden, die in diesem Artikel nicht erwähnt werden. geometrische Körper oder visuelle Interpretation mathematischer Gesetze.

Mathematische bildende Kunst blüht heute auf, und viele Künstler schaffen Gemälde im Stil von Escher und in ihrem eigenen eigener Stil. Diese Künstler arbeiten in einer Vielzahl von Medien, darunter Skulptur, Malerei auf flachen und dreidimensionalen Oberflächen, Lithografie und Computergrafik. Und die beliebtesten Themen der mathematischen Kunst sind Polyeder, unmögliche Figuren, Möbiusbänder, verzerrte Perspektivsysteme und Fraktale.

Schlussfolgerungen:

1. Die Betrachtung unmöglicher Figuren entwickelt also unsere räumliche Vorstellungskraft und hilft, aus der Ebene in den dreidimensionalen Raum „herauszukommen“, was beim Studium der Stereometrie hilfreich sein wird.

2. Modelle unmöglicher Figuren helfen, Projektionen auf die Ebene zu betrachten.

3. Die Betrachtung mathematischer Sophismen und Paradoxien weckt das Interesse an Mathematik.

Bei dieser Arbeit

1. Ich habe gelernt, wie, wann, wo und von wem zuerst über unmögliche Figuren nachgedacht wurde, dass es viele solcher Figuren gibt, Künstler versuchen ständig, diese Figuren darzustellen.

2. Zusammen mit meinem Vater habe ich ein Modell eines unmöglichen Dreiecks gemacht, seine Projektionen auf eine Ebene untersucht und das Paradoxon dieser Figur gesehen.

3. Untersuchte die Reproduktionen von Künstlern, die diese Figuren darstellen

4. Mein Studium interessierte meine Mitschüler.

Ich werde das erworbene Wissen in Zukunft im Mathematikunterricht einsetzen und es hat mich interessiert, aber gibt es noch andere Paradoxien?

LITERATUR

1. Kandidat technische Wissenschaften D. RAKOV Geschichte unmöglicher Gestalten

2. Rutesward O. Unmögliche Figuren.- M.: Stroyizdat, 1990.

3. Website von V. Alekseev Illusionen · 7 Kommentare

4. J. Timothy Anrach. - Erstaunliche Zahlen.
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5. . - Grafische Künste.
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6. Douglas Hofstädter. - Gödel, Escher, Bach: diese endlose Girlande. ( Verlag"Bahrakh-M", 2001)

7. A. Konenko - Geheimnisse unmöglicher Figuren
(Omsk: Lefty, 199)

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