Grigorij Perelman dokazao je da Bog ne postoji. Matematičar Perelman Yakov: doprinos znanosti

« Milenijski izazov”, koju je riješio ruski matematički genij, povezana je s nastankom Svemira. Nije svakom matematičaru dano razumjeti suštinu zagonetke ...

IGRA UMA

Sve donedavno matematika svojim "svećenicima" nije obećavala ni slavu ni bogatstvo. Oni čak Nobelova nagrada nije dao. Ne postoji takva nominacija. Doista, prema vrlo popularnoj legendi, Nobelova žena ga je jednom prevarila s matematičarem. A za odmazdu, bogataš je svu njihovu braću iz šikana lišio svog poštovanja i novčane nagrade.

Situacija se promijenila 2000. godine. Privatni matematički institut Clay odabrao je njih sedam teške zadatke i obećao platiti milijun dolara za svaku odluku.

Prema matematičarima se postupalo s poštovanjem. Godine 2001. ekrani su čak objavili film "Lijepi um", čiji je glavni lik bio matematičar.

Sada samo ljudi daleko od civilizacije nisu svjesni: jedan od obećanih milijuna - prvi - već je dodijeljen. Nagrada je dodijeljena ruskom državljaninu, stanovniku Sankt Peterburga Grigorij Perelman. Dokazao je Poincaréovu pretpostavku, zagonetku koja je prkosila svakome više od 100 godina i koja je, zahvaljujući njegovim naporima, postala teorem.

Naš slatki 44-godišnji bradonja obrisao je nos po svijetu. I sada ga nastavlja držati - svijet - u neizvjesnosti. Budući da se ne zna hoće li matematičar pošteno zaslužiti milijun dolara ili će odbiti. Progresivna javnost u mnogim zemljama prirodno je uznemirena. Barem novine svih kontinenata bilježe financijske i matematičke spletke.

A u pozadini tih fascinantnih aktivnosti - proricanja sudbine i dijeljenja tuđeg novca - smisao Perelmanovog postignuća nekako se izgubio. Predsjednik Instituta Clay, Jim Carlson, naravno, svojedobno je naveo, kažu, cilj nagradni fond- ne toliko traganje za odgovorima koliko pokušaj podizanja prestiža matematičke znanosti i zainteresiranja mladih za nju. Ali ipak, koja je poanta?

Grisha u mladosti - već tada je bio genije.

POINCAREOVA HIPOTEZA - ŠTO JE TO?

Zagonetka koju je riješio ruski genij utječe na temelje dijela matematike koji se zove topologija. To - topologija - često se naziva "geometrija na gumenom listu." Bavi se svojstvima geometrijski oblici, koji se čuvaju ako se oblik rasteže, uvija, savija. Drugim riječima, deformiran je bez lomova, rezova i lijepljenja.

Topologija je važna za matematičku fiziku jer nam omogućuje razumijevanje svojstava prostora. Ili ga procijenite bez mogućnosti da izvana pogledate oblik ovog prostora. Na primjer, naš svemir.

Kada objašnjavaju Poincareovu pretpostavku, počinju ovako: zamislite dvodimenzionalnu kuglu - uzmite gumeni disk i povucite ga preko lopte. Tako da se opseg diska skupi u jednoj točki. Na sličan način, na primjer, možete skinuti sportski ruksak s užetom. Rezultat je kugla: za nas - trodimenzionalna, ali s gledišta matematike - samo dvodimenzionalna.

Zatim se ponudi da navuku isti disk na krafnu. Čini se da djeluje. Ali rubovi diska će se skupiti u krug, koji se više ne može povući u točku - izrezat će krafnu.

Kako je napisao u svom popularna knjiga još ruski matematičar, Vladimir Uspenski, "Za razliku od dvodimenzionalnih sfera, trodimenzionalne su sfere nedostupne našem izravnom opažanju i teško nam ih je zamisliti kao Vasiliju Ivanoviču iz poznate anegdote o kvadratnom trinomu."

Dakle, prema Poincaréovoj hipotezi, trodimenzionalna kugla je jedina trodimenzionalna stvar čija se površina može uvući u jednu točku nekom vrstom hipotetskog "hiperkorda".

Grigorij Perelman: - Zamislite samo, Newtonov binom ...

Jules Henri Poincare je to predložio 1904. Sada je Perelman uvjerio sve koji razumiju da je francuski topolog bio u pravu. I pretvorio svoju hipotezu u teorem.

Dokaz pomaže u razumijevanju oblika našeg svemira. I to nam omogućuje da sasvim razumno pretpostavimo da je to ista trodimenzionalna sfera.

Ali ako je Svemir jedina "figura" koja se može skupiti do točke, onda se, vjerojatno, može i razvući iz točke. Što služi kao neizravna potvrda teorije Velikog praska, koja tvrdi da je Svemir nastao upravo iz točke.

Ispada da je Perelman, zajedno s Poincareom, uznemirio takozvane kreacioniste - pristaše božanski početak svemir. I prolili su vodu na mlin materijalističkih fizičara.

Genijalni matematičar iz Sankt Peterburga Grigorij Perelman, koji se u cijelom svijetu proslavio dokazom Poincaréove pretpostavke, konačno je obrazložio svoje odbijanje nagrade od milijun dolara dodijeljene za to. Kako navodi " TVNZ“, otkrio je povučeni znanstvenik u razgovoru s novinarom i producentom filmske kuće “President-Film” koja će uz Perelmanov pristanak snimiti igrani film “Formula svemira” o njemu.

Alexander Zabrovsky je imao sreće razgovarati s velikim matematičarom - prije nekoliko godina otišao je iz Moskve u Izrael i pretpostavio da je prvo kontaktirao majku Grigorija Yakovlevicha preko židovske zajednice Sankt Peterburga, nakon što joj je pomogao. Razgovarala je sa sinom, a nakon njene dobre karakterizacije, on je pristao na sastanak. To se doista može nazvati uspjehom - novinari nisu uspjeli "uloviti" znanstvenika, iako su danima sjedili na njegovu ulazu.

Kako je Zabrovski rekao novinama, Perelman je ostavio dojam "apsolutno razumne, zdrave, primjerene i normalne osobe": "Realan, pragmatičan i razuman, ali ne lišen sentimentalnosti i uzbuđenja ... Sve što mu je pripisano u tisku , kao da je "poludio", - potpuna glupost! On točno zna što hoće, i zna kako postići cilj."

Film, za koji je matematičar stupio u kontakt i pristao pomoći, neće biti o njemu samom, već o suradnji i sučeljavanju tri glavne svjetske matematičke škole: ruske, kineske i američke, koje su najnaprednije u svom proučavanju. i upravljanje Svemirom.

Na pitanje zašto je Perelman odbio milijun, odgovorio je:

"Znam upravljati Svemirom. I reci mi - zašto bih trčao za milijunom?"

Znanstvenik je uvrijeđen, kako ga nazivaju u ruskom tisku

Perelman je objasnio da ne komunicira s novinarima jer ih ne zanima znanost, već osobna i domaća pitanja - od razloga odbijanja milijuna do pitanja rezanja kose i noktiju.

Naime, ne želi kontaktirati s ruskim medijima zbog nepoštivanja prema njemu. Na primjer, u tisku ga zovu Grisha, a takva familijarnost vrijeđa.

Grigorij Perelman rekao je da je od školske godine naviknut na ono što se zove "trening mozga". Sjećajući se kako je kao "delegat" iz SSSR-a primio Zlatna medalja na matematičkoj olimpijadi u Budimpešti rekao je: „Pokušavali smo rješavati probleme u kojima je sposobnost apstraktnog mišljenja bila neizostavan uvjet.

Upravo u toj apstrahaciji od matematičke logike glavna točka svakodnevni treninzi. Za pronalaženje pravog rješenja bilo je potrebno zamisliti „komad svijeta“.

Kao primjer takvog „teškog“ zadatka naveo je sljedeće: „Zapamtite biblijska legenda o tome kako je Isus Krist hodao po vodi, kao po suhom. Pa sam morao izračunati kojom brzinom se mora kretati kroz vodu da ne propadne.

Od tada je Perelman sve svoje aktivnosti posvetio proučavanju problema proučavanja svojstava trodimenzionalnog prostora svemira: "Ovo je vrlo zanimljivo. Pokušavam obuhvatiti neizmjernost.

Znanstvenik je napisao svoju disertaciju pod vodstvom akademika Aleksandrova. "Tema je bila jednostavna: 'Sedlaste površine u euklidskoj geometriji'. Možete li zamisliti površine koje su jednake veličine i neravnomjerno udaljene jedna od druge u beskonačnosti? Moramo izmjeriti 'šupljine' između njih", objasnio je matematičar.

Što znači Perelmanovo otkriće koje je zastrašilo obavještajne službe svijeta

"Formulom svemira" Poincareova izjava naziva se zbog svoje važnosti u proučavanju složenih fizikalnih procesa u teoriji svemira i zato što daje odgovor na pitanje o obliku svemira. Ovi će dokazi igrati veliku ulogu u razvoju nanotehnologije."

"Naučio sam kako izračunati praznine, zajedno sa svojim kolegama naučit ćemo mehanizme za popunjavanje društvenih i ekonomskih "praznina", rekao je. "Praznine su posvuda. Mogu se izračunati, a to pruža velike mogućnosti...

Prema publikaciji, razmjeri onoga što je Grigorij Jakovljevič otkrio, koji zapravo korača ispred današnje svjetske znanosti, učinili su ga predmetom stalnog interesa specijalnih službi, ne samo ruskih, već i stranih.

Shvatio je neka super-znanja koja pomažu u razumijevanju svemira. I ovdje se postavljaju pitanja ove vrste: "Što će se dogoditi ako njegovo znanje nađe praktičnu primjenu?"

Zapravo, tajne službe moraju znati - je li Perelman, odnosno njegovo znanje, prijetnja čovječanstvu? Uostalom, ako je uz pomoć njegovog znanja moguće svemir pretvoriti u točku, a zatim ga razmotati, možemo li umrijeti ili se ponovno roditi u drugom svojstvu? A onda ćemo biti? I trebamo li uopće upravljati svemirom?

I U OVO VRIJEME

Genijalna mama: "Ne postavljajte nam pitanja o novcu!"

Kad se doznalo da je matematičaru dodijeljena Milenijska nagrada, ispred njegovih se vrata okupilo mnoštvo novinara. Svi su željeli osobno čestitati Perelmanu i saznati hoće li uzeti svoj legitimni milijun.

Dugo smo kucali na slabašna vrata (da ih barem možemo zamijeniti premium novcem), ali matematičar nije otvorio. Ali njegova je majka sasvim razumljivo stavila točku na "i" odmah iz hodnika.

Ne želimo ni s kim razgovarati i nećemo davati intervjue - vikala je Ljubov Lejbovna. - I nemojte nam postavljati pitanja o ovoj nagradi i novcu.

Ljudi koji žive u istom ulazu bili su vrlo iznenađeni kada su vidjeli iznenadni interes za Perelmana.

Je li naš Grisha oženjen? jedan od susjeda se nasmijao. - Oh, dobio sam nagradu. Opet. Ne, neće to uzeti. Ne treba mu ništa, živi od novčića, ali je sretan na svoj način.

Kažu da je uoči matematičara viđena s punim paketima proizvoda iz trgovine. S majkom se spremao “držati opsadu”. Posljednji put, kada je u tisku počela pompa oko nagrade, Perelman nije izlazio iz stana tri tjedna.

USPUT

Za što će drugo dati milijun dolara ...

Godine 1998., sredstvima milijardera Landona T. Claya, osnovan je Clay Mathematics Institute u Cambridgeu (SAD) za popularizaciju matematike. Stručnjaci instituta 24. svibnja 2000. odabrali su sedam, po njihovom mišljenju, najzagonetnijih problema. I odredili su milijun dolara za svakoga.

Lista je imenovana .

1. Kuharev problem

Potrebno je utvrditi može li provjera točnosti rješenja zadatka biti dulja od dobivanja samog rješenja. Ovaj logički zadatak važan je za stručnjake u kriptografiji - šifriranje podataka.

2. Riemannova hipoteza

Postoje takozvani prosti brojevi, kao što su 2, 3, 5, 7 itd., koji su djeljivi samo sami sa sobom. Koliko ih ima, ne zna se. Riemann je smatrao da se to može utvrditi i pronaći pravilnost njihove distribucije. Onaj tko ga pronađe pružit će i usluge kriptografije.

3. Hipoteza Bircha i Swinnerton-Dyera

Problem se odnosi na rješavanje jednadžbi s tri nepoznanice podignute na potenciju. Moramo smisliti kako ih riješiti, koliko god bile teške.

4. Hodgeova hipoteza

U dvadesetom stoljeću matematičari su otkrili metodu proučavanja oblika složeni objekti. Ideja je da se umjesto samog predmeta koriste jednostavne "cigle", koje se lijepe zajedno i tvore njegovu sliku. Moramo dokazati da je to uvijek dopustivo.

5. Navier - Stokesove jednadžbe

Vrijedi ih se prisjetiti u avionu. Jednadžbe opisuju zračne struje koje ga drže u zraku. Sada se jednadžbe rješavaju približno, prema približnim formulama. Potrebno je pronaći točne i dokazati da u trodimenzionalnom prostoru postoji rješenje jednadžbi, koje je uvijek točno.

6. Yang-Millsove jednadžbe

U svijetu fizike postoji hipoteza: ako elementarna čestica ima masu, onda postoji i njezina donja granica. Ali koji, nije jasno. Moraš doći do njega. Ovo je možda najteži zadatak. Za njegovo rješavanje potrebno je stvoriti “teoriju svega” – jednadžbe koje objedinjuju sve sile i međudjelovanja u prirodi. Tko uspije, sigurno će dobiti Nobelovu nagradu.

Posljednje veliko postignuće čiste matematike je dokaz Poincaréove pretpostavke, izražene 1904. godine i koja kaže: "svaka povezana, jednostavno povezana, kompaktna trodimenzionalna mnogoznačnik bez granica, homeomorfna je sferi S 3" Grigorija Perelmana iz St. Petersburgu 2002–2003.

Postoji nekoliko pojmova u ovom izrazu koje ću pokušati objasniti na način da njihovo opće značenje postane jasno i nematematičarima (pretpostavljam da je čitatelj završio Srednja škola i još se sjeća nečega iz školske matematike).

Počnimo s konceptom homeomorfizma, koji je središnji u topologiji. Općenito, topologija se često definira kao "gumena geometrija", tj. kao znanost o svojstvima geometrijskih slika koje se ne mijenjaju tijekom glatkih deformacija bez razmaka i lijepljenja, odnosno ako je moguće uspostaviti jedan-prema- korespondencija jedan i jedan na jedan između dva objekta .

Glavnu ideju najlakše je objasniti na klasičnom primjeru šalice i peciva. Prvi se kontinuiranim deformiranjem može pretvoriti u drugi.

Ove slike jasno pokazuju da je šalica homeomorfna krafni, a ta činjenica vrijedi i za njihove površine (dvodimenzionalne mnogostrukosti, zvane torus) i za ispunjena tijela (trodimenzionalne mnogostrukosti s rubom).

Dat ćemo tumačenje ostalih pojmova koji se pojavljuju u formulaciji hipoteze.

1. Trodimenzionalni mnogoznačnik bez granica. Ovo je takav geometrijski objekt u kojem svaka točka ima susjedstvo u obliku trodimenzionalne lopte. Primjeri 3-mnogostrukosti su, prvo, cjelokupni trodimenzionalni prostor, označen s R 3 , kao i bilo koji otvoreni setovi točke u R 3 , na primjer, unutrašnjost čvrstog torusa (krafna). Ako promatramo zatvoreni čvrsti torus, tj. dodamo njegove rubne točke (površinu torusa), tada već dobivamo mnogostrukost s granicom - granične točke nemaju susjedstvo u obliku lopte, već samo u obliku polovice lopte.
2. Povezan. Koncept povezanosti je ovdje najjednostavniji. Razvodnik je povezan ako se sastoji od jednog dijela, ili, što je isto, bilo koje dvije njegove točke mogu se spojiti neprekinutom linijom koja ne izlazi izvan njegovih granica.
3. Jednostavno povezano. Pojam jednostruke povezanosti je složeniji. To znači da se svaka kontinuirana zatvorena krivulja koja se nalazi u cijelosti unutar danog razvodnika može glatko skupiti u točku bez napuštanja ovog razvodnika. Na primjer, obična dvodimenzionalna kugla u R 3 je jednostavno spojena (elastična traka, proizvoljno pričvršćena na površinu jabuke, može se skupiti glatkom deformacijom u jednu točku bez kidanja elastične trake s jabuke). S druge strane, krug i torus nisu jednostavno povezani.
4. Kompaktan. Mnogoznačnik je kompaktan ako bilo koja od njegovih homeomorfnih slika ima ograničene dimenzije. Na primjer, otvoreni interval na pravcu (sve točke segmenta osim njegovih krajeva) nije kompaktan, jer se može kontinuirano produžiti do beskonačnog pravca. Ali zatvoreni segment (s krajevima) je kompaktna mnogostrukost s granicom: za bilo koju kontinuiranu deformaciju, krajevi idu u neke određene točke, a cijeli segment mora ići u ograničenu krivulju koja povezuje te točke.

Dimenzija mnogostrukosti je broj stupnjeva slobode u točki koja na njoj "živi". Svaka točka ima susjedstvo u obliku diska odgovarajuće dimenzije, tj. interval pravca u jednodimenzionalnom slučaju, kružnicu na ravnini u dvodimenzionalnom slučaju, loptu u trodimenzionalnom slučaju. , itd. Sa stajališta topologije, postoje samo dvije jednodimenzionalne povezane mnogostrukosti bez granica: to su linija i kružnica. Od njih je samo krug kompaktan.

Primjer prostora koji nije mnogoznačnik je npr. par linija koje se sijeku - uostalom, u točki sjecišta dviju linija bilo koje susjedstvo ima oblik križa, nema susjedstvo koje bi sama biti samo interval (i sve druge točke imaju takve susjedstva). Matematičari u takvim slučajevima kažu da imamo posla sa singularnom mnogoznačnikom, koji ima jednu singularnu točku.

Dvodimenzionalne kompaktne mnogostrukosti su dobro poznate. Ako uzmemo u obzir samo orijentiran mnogostrukosti bez granica, tada s topološkog gledišta tvore jednostavan, iako beskonačan popis: i tako dalje. Svaki takav razdjelnik dobiva se iz kugle lijepljenjem nekoliko ručica, čiji se broj naziva rod plohe.

Na slici su prikazane plohe roda 0, 1, 2 i 3. Po čemu se kugla izdvaja od svih ploha na ovom popisu? Ispada da je to jednostavno povezano: na sferi se svaka zatvorena krivulja može stegnuti u točku, a na bilo kojoj drugoj površini uvijek je moguće naznačiti krivulju koja se ne može stegnuti u točku duž plohe.

Zanimljivo je da se trodimenzionalne kompaktne mnogostrukosti bez granica također mogu klasificirati u određenom smislu, tj. poredati u određeni popis, iako ne tako jednostavno kao u dvodimenzionalnom slučaju, ali imaju prilično složenu strukturu. Međutim, 3D sfera S 3 ističe se na ovom popisu na isti način kao i 2D sfera na gornjem popisu. Činjenicu da se bilo koja krivulja na S 3 skuplja do točke jednako je lako dokazati kao iu dvodimenzionalnom slučaju. Ali obratna tvrdnja, naime, da je to svojstvo jedinstveno upravo za sferu, tj. da postoje nekontraktibilne krivulje na bilo kojoj drugoj trodimenzionalnoj mnogoznačniku, vrlo je teška i upravo čini sadržaj Poincareove pretpostavke o kojoj govorimo .

Važno je razumjeti da mnogostrukost može živjeti sama za sebe, može se smatrati neovisnim objektom, koji nije nigdje ugniježđen. (Zamislite živa dvodimenzionalna bića na površini obične sfere, nesvjesna postojanja treće dimenzije.) Srećom, sve dvodimenzionalne površine s gornjeg popisa mogu se ugraditi u uobičajeni R 3 prostor, što čini lakše ih je vizualizirati. Za 3-sferu S 3 (i općenito za bilo koju kompaktnu 3-mnogostrukost bez granice) to više nije slučaj, pa je potrebno malo truda da se razumije njena struktura.

Očigledno najjednostavniji način objasniti topološku strukturu trodimenzionalne sfere S 3 je uz pomoć kompaktifikacije jedne točke. Naime, trodimenzionalna sfera S 3 je kompaktifikacija u jednoj točki uobičajenog trodimenzionalnog (neomeđenog) prostora R 3 .

Objasnimo prvo ovu konstrukciju jednostavni primjeri. Uzmimo običnu beskonačnu ravnu liniju (jednodimenzionalni analog prostora) i dodamo joj jednu "beskonačno udaljenu" točku, pod pretpostavkom da kada se krećemo po ravnoj liniji udesno ili ulijevo, na kraju dođemo do ove točke. S topološkog gledišta, nema razlike između beskonačne linije i ograničenog otvorenog segmenta (bez krajnjih točaka). Takav se segment može kontinuirano savijati u obliku luka, približiti krajeve i zalijepiti točku koja nedostaje u spoj. Dobivamo, očito, krug - jednodimenzionalni analog sfere.

Slično, ako uzmem beskonačnu ravninu i dodam jednu točku u beskonačnosti, kojoj teže sve linije izvorne ravnine, koje prolaze u bilo kojem smjeru, tada ćemo dobiti dvodimenzionalnu (običnu) sferu S 2 . Taj se postupak može promatrati pomoću stereografske projekcije, koja svakoj točki P sfere, s izuzetkom sjevernog pola N, pripisuje određenu točku ravnine P.

Dakle, sfera bez jedne točke topološki je ista kao i ravnina, a dodavanje točke pretvara ravninu u sferu.

U principu, potpuno ista konstrukcija primjenjiva je na trodimenzionalnu kuglu i trodimenzionalni prostor, samo je za njezinu implementaciju potrebno ući u četvrtu dimenziju, a to nije tako lako prikazati na crtežu. Pa ću se ograničiti verbalni opis jednotočkaška kompaktifikacija prostora R 3 .

Zamislimo da je našem fizičkom prostoru (koji mi, slijedeći Newtona, smatramo neograničenim euklidskim prostorom s tri koordinate x, y, z) dodana jedna točka “u beskonačnosti” na način da kada se krećemo po ravnoj liniji u bilo kojem smjer, ti padaš (tj. svaka prostorna linija zatvara se u krug). Tada dobivamo kompaktnu trodimenzionalnu mnogostrukost, koja je po definiciji sfera S 3 .

Lako je vidjeti da je sfera S 3 jednospojna. Doista, bilo koja zatvorena krivulja na ovoj kugli može se malo pomaknuti tako da ne prolazi kroz dodanu točku. Tada dobivamo krivulju u uobičajenom prostoru R 3 , koja se lako kontrahira u točku putem homotetije, tj. kontinuirane kontrakcije u sva tri smjera.

Da bismo razumjeli strukturu mnogostrukosti S3, vrlo je poučno razmotriti njezinu podjelu na dva puna torusa. Ako se iz prostora R 3 izostavi čvrsti torus, ostaje nešto nejasno. A ako se prostor zbije u sferu, tada se i ovaj komplement pretvara u čvrsti torus. Odnosno, sfera S 3 je podijeljena na dva puna torusa koji imaju zajedničku granicu - torus.

Evo kako se to može razumjeti. Ugradimo torus u R 3 kao i obično, u obliku okrugle krafne, i nacrtajmo okomitu liniju - os rotacije ove krafne. Nacrtamo proizvoljnu ravninu kroz os, ona će presijecati naš čvrsti torus u dva kruga prikazana na slici u zelenoj boji, a dodatni dio ravnine podijeljen je u kontinuiranu obitelj crvenih krugova. Među njima je i središnja os, podebljana, jer se u sferi S 3 crta zatvara u krug. Iz ove dvodimenzionalne rotacijom oko osi dobiva se trodimenzionalna slika. Kompletan skup rotiranih krugova tada će ispuniti trodimenzionalno tijelo, homeomorfno čvrstom torusu, samo što će izgledati neobično.

Zapravo, središnja os će biti aksijalni krug u njemu, a ostatak će igrati ulogu paralela - krugova koji čine uobičajeni čvrsti torus.

Kako bih imao s čime usporediti 3-sferu, navest ću još jedan primjer kompaktne 3-mnogostrukosti, naime trodimenzionalni torus. Trodimenzionalni torus može se konstruirati na sljedeći način. Uzmimo običnu trodimenzionalnu kocku kao izvorni materijal:

Ima tri para lica: lijevo i desno, gornje i donje, prednje i stražnje. U svakom paru paralelnih ploha identificiramo u paru točke dobivene jedna od druge prenošenjem po rubu kocke. To jest, pretpostavit ćemo (čisto apstraktno, bez primjene fizičkih deformacija) da su, na primjer, A i A "ista točka, a B i B" također jedna točka, ali različita od točke A. Sve unutarnje točke kocku razmotrit ćemo kao i obično. Sama kocka je mnogostrukost s granicom, ali nakon obavljenog lijepljenja granica se zatvara u sebe i nestaje. Doista, susjedstvo točaka A i A" u kocki (leže na lijevoj i desnoj osjenčanoj plohi) su polovice kuglica, koje se nakon lijepljenja ploha spajaju u cijelu kuglu, koja služi kao susjedstvo odgovarajuće točke trodimenzionalnog torusa.

Kako biste osjetili strukturu 3-torusa na temelju uobičajenih ideja o fizičkom prostoru, trebate odabrati tri međusobno okomita smjera: naprijed, lijevo i gore - i mentalno razmotriti, kao u pričama znanstvene fantastike, da kada se krećete u bilo kojem od tim smjerovima, prilično dugim, ali konačnim vremenom, vratit ćemo se na početnu točku, ali iz suprotnog smjera. Ovo je također "kompaktifikacija prostora", ali ne jednotočkasta, koja se ranije koristila za konstrukciju sfere, već složenija.

Postoje nekontraktibilne staze na 3-torusu; na primjer, ovo je segment AA" na slici (na torusu prikazuje zatvorenu stazu). Ne može se skupiti, jer za bilo kakvu kontinuiranu deformaciju, točke A i A" moraju se kretati duž svojih lica, ostajući strogo jedna nasuprot drugo (inače će se krivulja otvoriti).

Dakle, vidimo da postoje jednostavno povezane i nejednostavno povezane kompaktne 3-mnogostrukosti. Perelman je dokazao da je jednostavno povezani mnogoznačnik točno jedan.

Polazna točka dokaza je uporaba takozvanog "Riccijevog toka": uzmemo jednostavno povezanu kompaktnu 3-mnogostrukost, opremimo ga proizvoljnom geometrijom (tj. uvedemo neku metriku s udaljenostima i kutovima), a zatim razmotrimo njegova evolucija duž toka Ricci. Richard Hamilton, koji je predložio ovu ideju 1981., nadao se da će se ovom evolucijom naša mnogostrukost pretvoriti u kuglu. Ispostavilo se da to nije točno - u trodimenzionalnom slučaju, Riccijev tok je sposoban pokvariti mnogostrukost, tj. učiniti je malom mnogostrukošću (nešto s singularnim točkama, kao u gornjem primjeru linija koje se sijeku). Perelman je, prevladavajući nevjerojatne tehničke poteškoće, koristeći tešku aparaturu parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, uspio izmijeniti Riccijev tok u blizini singularnih točaka na takav način da se tijekom evolucije topologija mnogostrukosti ne mijenja, nema singularnih točaka, au kraju, pretvara se u okruglu kuglu. Ali potrebno je, konačno, objasniti što je to Riccijev tok. Tokovi koje su koristili Hamilton i Perelman odnose se na promjenu intrinzične metrike na apstraktnoj mnogostrukosti, a to je prilično teško objasniti, pa ću se ograničiti na opisivanje "vanjskog" Riccijevog toka na jednodimenzionalnim mnogostrukostima ugrađenim u ravninu. .

Zamislite glatku zatvorenu krivulju na euklidskoj ravnini, odaberite smjer na njoj i razmotrite u svakoj točki tangentni vektor jedinične duljine. Tada će se pri obilasku krivulje u odabranom smjeru ovaj vektor okretati nekom kutnom brzinom, što se naziva zakrivljenost. Gdje je krivulja strmija, zakrivljenost (u apsolutnoj vrijednosti) će biti veća, a gdje je glatkija, zakrivljenost će biti manja.

Zakrivljenost ćemo smatrati pozitivnom ako se vektor brzine okreće prema unutarnjem dijelu ravnine koju naša krivulja dijeli na dva dijela, a negativnom ako je okrenut prema van. Ova je konvencija neovisna o smjeru u kojem se krivulja prelazi. U točkama infleksije gdje rotacija mijenja smjer, zakrivljenost će biti 0. Na primjer, krug polumjera 1 ima konstantnu pozitivnu zakrivljenost od 1 (mjereno u radijanima).

Sada zaboravimo na tangentne vektore i pričvrstimo svakoj točki krivulje, naprotiv, vektor okomit na nju, jednake duljine zakrivljenosti u danoj točki i usmjeren prema unutra ako je zakrivljenost pozitivna, i prema van ako je negativna , a zatim ćemo prisiliti svaku točku da se kreće u smjeru odgovarajućeg vektora brzinom proporcionalnom njezinoj duljini. Evo primjera:

Ispada da se svaka zatvorena krivulja na ravnini ponaša na sličan način tijekom takve evolucije, tj. da se na kraju pretvori u kružnicu. Ovo je dokaz jednodimenzionalne analogije Poincareove pretpostavke pomoću Riccijevog toka (međutim, sama tvrdnja u ovom slučaju je već očita, samo metoda dokaza ilustrira što se događa u dimenziji 3).

Zaključno, napominjemo da Perelmanov argument dokazuje ne samo Poincaréovu pretpostavku, već i mnogo općenitiju Thurstonovu geometrizacijsku pretpostavku, koja u u određenom smislu opisuje strukturu svih kompaktnih 3-mnogostrukosti općenito. Ali ova tema je izvan okvira ovog elementarnog članka.

U nedostatku prostora neću govoriti o neorijentirajućim mnogostrukostima, primjer za to je poznata Kleinova boca - ploha koja se ne može uklopiti u prostor bez samosjecišta.

Clay Institute of Mathematics dodijelio je Grigoriju Perelmanu Milenijsku nagradu, čime je službeno priznat dokaz Poincaréove pretpostavke, koji je izveo ruski matematičar, kao točan. Zanimljivo je da je institut pritom morao prekršiti vlastita pravila - prema njima, samo autor koji je svoje radove objavio u recenziranim časopisima može tražiti oko milijun dolara, upravo toliko iznosi nagrada. Djelo Grigorija Perelmana nikada formalno nije ugledalo svjetlo dana - ostalo je kao skup nekoliko pretisaka na web stranici arXiv.org (jedan, dva i tri). No, nije toliko važno što je uzrokovalo odluku instituta – dodjela Milenijske nagrade stavlja točku na povijest dužu od 100 godina.

Šalica, krafna i malo topologije

Prije nego što saznamo što je Poincaréova pretpostavka, potrebno je razumjeti kakvoj grani matematike - topologiji - pripada ova hipoteza. Topologija mnogostrukosti bavi se svojstvima površina koje se ne mijenjaju pod određenim deformacijama. Objasnimo na klasičnom primjeru. Pretpostavimo da čitatelj ispred sebe ima krafnu i praznu šalicu. S točke gledišta geometrije i zdravog razuma, to su različiti objekti, makar samo zato što nećete moći piti kavu iz krafne uz svu želju.

Međutim, topolog će reći da su šalica i krafna ista stvar. A objasnit će to ovako: zamislimo da su šalica i krafna iznutra šuplje plohe, napravljene od vrlo elastičnog materijala (matematičar bi rekao da postoji par kompaktnih dvodimenzionalnih mnogostrukosti). Provedimo spekulativni pokus: prvo napuhnemo dno šalice, a zatim njezinu ručku, nakon čega će se ona pretvoriti u torus (tako se matematički zove oblik krafne). Možete vidjeti kako ovaj proces izgleda.

Naravno, radoznali čitatelj ima pitanje: budući da površine mogu biti naborane, kako ih razlikovati? Uostalom, na primjer, intuitivno je jasno - kako god zamislili torus, iz njega ne možete dobiti sferu bez praznina i lijepljenja. Ovdje u igru ​​dolaze takozvane invarijante - površinske karakteristike koje se ne mijenjaju pod deformacijom - koncept neophodan za formulaciju Poincaréove hipoteze.

Zdrav razum nam govori da rupa razlikuje torus od sfere. No, rupa je daleko od matematičkog pojma, pa ju treba formalizirati. To se radi na sljedeći način – zamislimo da na površini imamo vrlo tanku elastičnu nit koja tvori petlju (u ovom spekulativnom eksperimentu, za razliku od prethodnog, samu površinu smatramo čvrstom). Petlju ćemo pomaknuti a da je ne otrgnemo od površine i da je ne slomimo. Ako se nit može stegnuti u vrlo mali krug (skoro točka), tada se kaže da je petlja stežljiva. U suprotnom, petlja se naziva neuvlačivom.

Fundamentalna grupa torusa je označena s n 1 (T 2). Budući da nije trivijalan, ruke miša tvore petlju koja se ne može uvući. Tuga na licu životinje rezultat je spoznaje ove činjenice.

Dakle, lako je vidjeti da je svaka petlja na sferi kontraktilna (možete vidjeti kako to otprilike izgleda), ali za torus to više nije slučaj: na krafni postoje čak dvije petlje - jedna je uvučena u rupu, a druga zaobilazi rupu "po obodu", - koja se ne može povući. Na ovoj slici, primjeri petlji koje se ne skupljaju prikazani su crvenom bojom i ljubičasta odnosno. Kada na površini postoje petlje, matematičari kažu da je "temeljna grupa varijeteta netrivijalna", a ako takvih petlji nema, onda je trivijalna.

Sada, kako bi pošteno formulirao Poincareovu pretpostavku, radoznali čitatelj mora biti strpljiv još malo: moramo shvatiti što je trodimenzionalna mnogoznačnik općenito, a posebno trodimenzionalna sfera.

Vratimo se na trenutak na površine o kojima smo gore govorili. Svaki od njih može se izrezati na tako male komadiće da će svaki gotovo nalikovati komadu aviona. Budući da ravnina ima samo dvije dimenzije, za mnogostrukost se također kaže da je dvodimenzionalna. Trodimenzionalni razdjelnik je površina koja se može izrezati na male komadiće, od kojih je svaki vrlo sličan komadu običnog trodimenzionalnog prostora.

glavni" glumac"Hipoteza je trodimenzionalna sfera. Vjerojatno je nemoguće zamisliti trodimenzionalnu sferu kao analogiju obične sfere u četverodimenzionalnom prostoru, a da ne izgubite razum. Međutim, prilično je lako opisati ovaj objekt, tako da govoreći, "u dijelovima" prilično lako. Svi koji su vidjeli globus, znaju da se obična kugla može zalijepiti od sjeverne i Južna polutka duž ekvatora. Dakle, trodimenzionalna sfera je zalijepljena od dvije kugle (sjeverna i južna) duž sfere, koja je analogna ekvatoru.

Na trodimenzionalnim mnogostrukostima mogu se razmatrati iste petlje koje smo uzeli na običnim površinama. Dakle, Poincaréova pretpostavka kaže: "Ako je temeljna grupa trodimenzionalne mnogoznačnika trivijalna, onda je ona homeomorfna sferi." Nerazumljiva fraza "homeomorfna sferi" prevedena na neformalni jezik znači da se površina može deformirati u sferu.

Malo povijesti

Općenito govoreći, u matematici je moguće formulirati veliki broj složenih iskaza. Međutim, što ovu ili onu hipotezu čini velikom, što je razlikuje od ostalih? Čudno, ali veliku hipotezu odlikuje veliki broj netočnih dokaza, od kojih svaki sadrži veliku pogrešku - netočnost, što često dovodi do pojave potpuno novog dijela matematike.

Dakle, u početku Henri Poincaré, koji se, između ostalog, razlikovao sposobnošću da pravi briljantne pogreške, formulirao je hipotezu u nešto drugačijem obliku nego što smo gore napisali. Nešto kasnije dao je protuprimjer svojoj tvrdnji, koja je postala poznata kao homološka Poincaréova 3-sfera, a 1904. formulirao je pretpostavku već u moderni oblik. Usput, nedavno su znanstvenici prilagodili sferu u astrofizici - pokazalo se da bi svemir mogao biti homologna Poincaréova 3-sfera.

Mora se reći da hipoteza nije izazvala veliko uzbuđenje među kolegama geometrima. Tako je bilo sve do 1934. godine, kada je britanski matematičar John Henry Whitehead iznio svoju verziju dokaza hipoteze. Vrlo brzo je, međutim, i sam pronašao grešku u zaključivanju, što je kasnije dovelo do nastanka cijele teorije Whiteheadovih mnogoznačnika.

Nakon toga, slava iznimno teškog zadatka postupno se učvrstila u hipotezi. Mnogi su ga veliki matematičari pokušali osvojiti. Primjerice, Amerikanac R.H.Bing, matematičar kojemu su (apsolutno službeno) u dokumentima umjesto imena pisani inicijali. Napravio je nekoliko neuspješnih pokušaja da dokaže hipotezu, formuliravši vlastitu izjavu tijekom tog procesa - takozvanu "predpostavku o svojstvu P" (Property P conjecture). Važno je napomenuti da se ova izjava, koju je Bing smatrao posrednom, pokazala gotovo kompliciranijom od samog dokaza Poincaréove pretpostavke.

Bilo je među znanstvenicima i ljudi koji su položili svoje živote da to dokažu matematička činjenica. Na primjer, poznati matematičar grčkog podrijetla Christos Papakiriakopoulos. Više od deset godina, dok je radio na Princetonu, neuspješno je pokušavao dokazati tu pretpostavku. Umro je od raka 1976.

Važno je napomenuti da se generalizacija Poincaréove pretpostavke na mnogoznačnike dimenzija iznad tri pokazala primjetno jednostavnijom od izvorne - dodatne dimenzije su olakšale manipulaciju mnogoznačnikima. Dakle, za n-dimenzionalne mnogostrukosti (kada je n najmanje 5), pretpostavku je dokazao Stephen Smale 1961. Za n = 4, pretpostavku je 1982. dokazao Michael Friedman potpuno drugačijom metodom od Smaleove. Za svoj dokaz, potonji je dobio Fieldsovu medalju - najviša nagrada za matematičare.

Opisana djela daleko su od puni popis pokušava riješiti više od stoljeća hipoteza. I premda je svaki od radova doveo do nastanka cijelog smjera u matematici i može se smatrati uspješnim i značajnim u tom smislu, samo je Rus Grigorij Perelman uspio konačno dokazati Poincaréovu pretpostavku.

Perelman i dokaz

Godine 1992. Grigorij Perelman, tada zaposlenik Matematičkog instituta. Steklov, stigao je na predavanje Richarda Hamiltona. Američki matematičar govorio je o Riccijevim tokovima - novom alatu za proučavanje Thurstonove geometrizacijske pretpostavke - činjenice iz koje je Poincaréova pretpostavka dobivena kao jednostavna posljedica. Ti tokovi, konstruirani u određenom smislu analogijom s jednadžbama prijenosa topline, uzrokovali su deformaciju površina tijekom vremena na gotovo isti način kao što smo deformirali dvodimenzionalne površine na početku ovog članka. Ispostavilo se da je u nekim slučajevima rezultat takve deformacije bio objekt čiju je strukturu lako razumjeti. Glavna je poteškoća bila u tome što su se tijekom deformacije pojavile singularnosti s beskonačnom zakrivljenošću, u nekom smislu analogne crnim rupama u astrofizici.

Nakon predavanja Perelman je prišao Hamiltonu. Kasnije je rekao da ga je Richard ugodno iznenadio: "Nasmiješio se i bio vrlo strpljiv. Čak mi je rekao neke činjenice koje su objavljene tek nekoliko godina kasnije. Učinio je to bez oklijevanja. Njegova otvorenost i ljubaznost su me zadivili. Ne mogu reći da se većina modernih matematičara tako ponaša."

Nakon putovanja u Sjedinjene Države, Perelman se vratio u Rusiju, gdje je počeo raditi na rješavanju problema singularnosti Riccijevih tokova i dokazivanju hipoteze o geometrizaciji (a ne na Poincaréovoj hipotezi) u tajnosti. Nije iznenađujuće da je pojava Perelmanovog prvog preprinta 11. studenoga 2002. šokirala matematičku zajednicu. Nakon nekog vremena pojavilo se još par radova.

Nakon toga Perelman se povukao iz rasprave o dokazima i čak se, kažu, prestao baviti matematikom. Svoj samotnjački život nije prekinuo ni 2006. godine kada mu je uručena Fieldsova medalja, najprestižnija nagrada za matematičare. Nema smisla raspravljati o razlozima ovakvog ponašanja autora - genij se ima pravo ponašati čudno (na primjer, budući da je bio u Americi, Perelman nije rezao nokte, dopuštajući im da slobodno rastu).

Bilo kako bilo, Perelmanov dokaz je zaživio vlastitim životom: tri preprinta proganjala su moderne matematičare. Prvi rezultati testiranja ideja ruskog matematičara pojavili su se 2006. - veliki geometri Bruce Kleiner i John Lott sa Sveučilišta u Michiganu objavili su preprint vlastiti rad, po veličini više poput knjige - 213 stranica. U ovom radu znanstvenici su pažljivo provjerili sve Perelmanove izračune, detaljno objašnjavajući različite izjave koje su samo ukratko navedene u radu ruskog matematičara. Presuda istraživača bila je nedvosmislena: dokazi su apsolutno točni.

U srpnju iste godine dolazi do neočekivanog obrata u ovoj priči. U časopisu Azijski časopis za matematiku Pojavio se članak kineskih matematičara Xiping Zhu i Huaidong Cao pod naslovom "Potpuni dokaz Thurstonove geometrizacije pretpostavke i Poincaréove pretpostavke". U okviru ovog rada, Perelmanovi rezultati su smatrani važnim, korisnim, ali tek srednjim. ovaj posao izazvalo je iznenađenje među stručnjacima na Zapadu, ali je dobilo vrlo povoljne kritike na Istoku. Konkretno, rezultate je podržao Shintan Yau - jedan od utemeljitelja Calabi-Yau teorije, koja je postavila temelje za teoriju struna - kao i učitelj Caoa i Jua. Sretnom slučajnošću, upravo je Yau bio glavni urednik časopisa. Azijski časopis za matematiku u kojoj je djelo objavljeno.

Nakon toga, matematičar je počeo putovati svijetom s popularnim predavanjima, govoreći o postignućima kineskih matematičara. Zbog toga je postojala opasnost da vrlo brzo rezultati Perelmana, pa čak i Hamiltona, budu potisnuti u drugi plan. To se dogodilo više puta u povijesti matematike - mnoge teoreme koji nose imena određenih matematičara izmislili su potpuno drugi ljudi.

Međutim, to se nije dogodilo i vjerojatno se neće dogoditi ni sada. Dodjela nagrade Clay Perelmanu (čak i ako on odbije) zauvijek je zacementirana javna svijestčinjenica: ruski matematičar Grigorij Perelman dokazao je Poincaréovu pretpostavku. Nije važno što je zapravo dokazao općenitiju činjenicu, razvijajući usput potpuno novu teoriju singulariteta Riccijevih tokova. Čak i tako. Nagrada je našla heroja.

Fotografija N. Chetverikova Posljednje veliko postignuće čiste matematike je dokaz Poincaréove pretpostavke, izražene 1904. godine, koja kaže: “svaka povezana, jednostavno povezana, kompaktna trodimenzionalna mnogoznačnik bez granica, homeomorfna je sferi S 3 ” prema Grigorija Perelmana iz Sankt Peterburga 2002.-2003.

U ovoj sintagmi postoji nekoliko pojmova koje ću pokušati objasniti na način da njihovo opće značenje postane jasno i nematematičarima (pretpostavljam da je čitatelj završio srednju školu i još se sjeća nečega iz školske matematike).

Počnimo s konceptom homeomorfizma, koji je središnji u topologiji. Općenito, topologija se često definira kao "gumena geometrija", tj. kao znanost o svojstvima geometrijskih slika koje se ne mijenjaju tijekom glatkih deformacija bez razmaka i lijepljenja, odnosno ako je moguće uspostaviti jedan-prema- korespondencija jedan i jedan na jedan između dva objekta .

Glavnu ideju najlakše je objasniti na klasičnom primjeru šalice i peciva. Prvi se može pretvoriti u drugi kontinuiranom deformacijom: Ove slike jasno pokazuju da je šalica homeomorfna krafni, a ta činjenica vrijedi i za njihove površine (dvodimenzionalne mnogostrukosti, zvane torus) i za ispunjena tijela ( trodimenzionalne mnogostrukosti s granicom).

Dat ćemo tumačenje ostalih pojmova koji se pojavljuju u formulaciji hipoteze.

1. Trodimenzionalni razvodnik bez granice. Ovo je takav geometrijski objekt u kojem svaka točka ima susjedstvo u obliku trodimenzionalne lopte. Primjeri 3-mnogostrukosti su, prvo, cijeli trodimenzionalni prostor, označen s R 3 , kao i bilo koji otvoreni skup točaka u R 3 , na primjer, unutrašnjost čvrstog torusa (krafna). Ako promatramo zatvoreni čvrsti torus, tj. dodamo njegove rubne točke (površinu torusa), tada već dobivamo mnogostrukost s granicom - granične točke nemaju susjedstvo u obliku lopte, već samo u obliku od polovine lopte.

2. Povezan. Koncept povezanosti je ovdje najjednostavniji. Razdjelnik je povezan ako se sastoji od jednog dijela, ili, što je isto, bilo koje dvije njegove točke mogu se spojiti neprekinutom linijom koja ne izlazi izvan njegovih granica.

3. Jednostavno spojen. Pojam jednostruke povezanosti je složeniji. To znači da se svaka kontinuirana zatvorena krivulja koja se nalazi u cijelosti unutar danog razvodnika može glatko skupiti u točku bez napuštanja ovog razvodnika. Na primjer, obična dvodimenzionalna kugla u R 3 je jednostavno spojena (elastična traka, proizvoljno pričvršćena na površinu jabuke, može se skupiti glatkom deformacijom u jednu točku bez kidanja elastične trake s jabuke). S druge strane, krug i torus nisu jednostavno povezani.

4. Kompaktan. Mnogoznačnik je kompaktan ako bilo koja od njegovih homeomorfnih slika ima ograničene dimenzije. Na primjer, otvoreni interval na pravcu (sve točke segmenta osim njegovih krajeva) nije kompaktan, jer se može kontinuirano produžiti do beskonačnog pravca. Ali zatvoreni segment (s krajevima) je kompaktna mnogostrukost s granicom: za bilo koju kontinuiranu deformaciju, krajevi idu u neke određene točke, a cijeli segment mora ići u ograničenu krivulju koja povezuje te točke.

Dimenzija mnogostrukost je broj stupnjeva slobode u točki koja na njoj "živi". Svaka točka ima susjedstvo u obliku diska odgovarajuće dimenzije, tj. interval pravca u jednodimenzionalnom slučaju, kružnicu na ravnini u dvodimenzionalnom slučaju, loptu u trodimenzionalnom slučaju. , itd. Sa stajališta topologije, postoje samo dvije jednodimenzionalne povezane mnogostrukosti bez granica: to su linija i kružnica. Od njih je samo krug kompaktan.

Primjer prostora koji nije mnogoznačnik je npr. par linija koje se sijeku - uostalom, u točki sjecišta dviju linija bilo koje susjedstvo ima oblik križa, nema susjedstvo koje bi sama biti samo interval (i sve druge točke imaju takve susjedstva). Matematičari u takvim slučajevima kažu da imamo posla sa singularnom mnogoznačnikom, koji ima jednu singularnu točku.

Dvodimenzionalne kompaktne mnogostrukosti su dobro poznate. Ako uzmemo u obzir samo usmjeren 1 mnogostrukosti bez granica, tada s topološkog gledišta tvore jednostavan, iako beskonačan popis: i tako dalje. Svaki takav razdjelnik dobiva se iz kugle lijepljenjem nekoliko ručica, čiji se broj naziva rod plohe.

1 U nedostatku prostora neću govoriti o neorijentirajućim mnogostrukostima, primjer za to je poznata Kleinova boca - ploha koja se ne može uklopiti u prostor bez samosjecišta.

Na slici su prikazane plohe roda 0, 1, 2 i 3. Po čemu se kugla izdvaja od svih ploha na ovom popisu? Ispada da je to jednostavno povezano: na sferi se svaka zatvorena krivulja može stegnuti u točku, a na bilo kojoj drugoj površini uvijek je moguće naznačiti krivulju koja se ne može stegnuti u točku duž plohe.

Zanimljivo je da se trodimenzionalne kompaktne mnogostrukosti bez granica također mogu klasificirati u određenom smislu, tj. poredati u određeni popis, iako ne tako jednostavno kao u dvodimenzionalnom slučaju, ali imaju prilično složenu strukturu. Međutim, 3D sfera S 3 ističe se na ovom popisu na isti način kao i 2D sfera na gornjem popisu. Činjenicu da se bilo koja krivulja na S 3 skuplja do točke jednako je lako dokazati kao iu dvodimenzionalnom slučaju. Ali obratna tvrdnja, naime, da je to svojstvo jedinstveno upravo za sferu, tj. da postoje nekontraktibilne krivulje na bilo kojoj drugoj trodimenzionalnoj mnogoznačniku, vrlo je teška i upravo čini sadržaj Poincareove pretpostavke o kojoj govorimo .

Važno je razumjeti da mnogostrukost može živjeti sama za sebe, može se smatrati neovisnim objektom, koji nije nigdje ugniježđen. (Zamislite živa dvodimenzionalna bića na površini obične sfere, nesvjesna postojanja treće dimenzije.) Srećom, sve dvodimenzionalne površine s gornjeg popisa mogu se ugraditi u uobičajeni R 3 prostor, što čini lakše ih je vizualizirati. Za 3-sferu S 3 (i općenito za bilo koju kompaktnu 3-mnogostrukost bez granice) to više nije slučaj, pa je potrebno malo truda da se razumije njena struktura.

Čini se da je najjednostavniji način objašnjenja topološke strukture trodimenzionalne sfere S 3 uz pomoć kompaktifikacije jedne točke. Naime, trodimenzionalna sfera S 3 je kompaktifikacija u jednoj točki uobičajenog trodimenzionalnog (neomeđenog) prostora R 3 .

Objasnimo ovu konstrukciju prvo na jednostavnim primjerima. Uzmimo običnu beskonačnu ravnu liniju (jednodimenzionalni analog prostora) i dodamo joj jednu "beskonačno udaljenu" točku, pod pretpostavkom da kada se krećemo po ravnoj liniji udesno ili ulijevo, na kraju dođemo do ove točke. S topološkog gledišta, nema razlike između beskonačne linije i ograničenog otvorenog segmenta (bez krajnjih točaka). Takav se segment može kontinuirano savijati u obliku luka, približiti krajeve i zalijepiti točku koja nedostaje u spoj. Dobivamo, očito, krug - jednodimenzionalni analog sfere.

Slično, ako uzmem beskonačnu ravninu i dodam jednu točku u beskonačnosti, kojoj teže sve linije izvorne ravnine, koje prolaze u bilo kojem smjeru, tada ćemo dobiti dvodimenzionalnu (običnu) sferu S 2 . Ovaj se postupak može promatrati pomoću stereografske projekcije, koja svakoj točki P sfere, s izuzetkom sjevernog pola od N, dodjeljuje određenu točku ravnine P":

Dakle, sfera bez jedne točke topološki je ista kao i ravnina, a dodavanje točke pretvara ravninu u sferu.

U principu, potpuno ista konstrukcija primjenjiva je na trodimenzionalnu kuglu i trodimenzionalni prostor, samo je za njezinu implementaciju potrebno ući u četvrtu dimenziju, a to nije tako lako prikazati na crtežu. Stoga se ograničavam na verbalni opis kompaktifikacije u jednoj točki prostora R 3 .

Zamislimo da je našem fizičkom prostoru (koji mi, slijedeći Newtona, smatramo neograničenim euklidskim prostorom s tri koordinate x, y, z) dodana jedna točka “u beskonačnosti” na način da kada se krećemo po ravnoj liniji u bilo kojem smjer, ti padaš (tj. svaka prostorna linija zatvara se u krug). Tada dobivamo kompaktnu trodimenzionalnu mnogostrukost, koja je po definiciji sfera S 3 .

Lako je vidjeti da je sfera S 3 jednospojna. Doista, bilo koja zatvorena krivulja na ovoj kugli može se malo pomaknuti tako da ne prolazi kroz dodanu točku. Tada dobivamo krivulju u uobičajenom prostoru R 3 , koja se lako kontrahira u točku putem homotetije, tj. kontinuirane kontrakcije u sva tri smjera.

Da bismo razumjeli strukturu mnogostrukosti S3, vrlo je poučno razmotriti njezinu podjelu na dva puna torusa. Ako se iz prostora R 3 izostavi čvrsti torus, ostaje nešto nejasno. A ako se prostor zbije u sferu, tada se i ovaj komplement pretvara u čvrsti torus. Odnosno, sfera S 3 je podijeljena na dva puna torusa koji imaju zajedničku granicu - torus.

Evo kako se to može razumjeti. Ugradimo torus u R 3 kao i obično, u obliku okrugle krafne, i nacrtajmo okomitu liniju - os rotacije ove krafne. Nacrtajte proizvoljnu ravninu kroz os, ona će presijecati naš čvrsti torus duž dva kruga prikazana zelenom bojom na slici, a dodatni dio ravnine podijeljen je u kontinuiranu obitelj crvenih krugova. Među njima je i središnja os, podebljana, jer se u sferi S 3 crta zatvara u krug. Iz ove dvodimenzionalne rotacijom oko osi dobiva se trodimenzionalna slika. Kompletan skup rotiranih krugova tada će ispuniti trodimenzionalno tijelo, homeomorfno čvrstom torusu, samo što će izgledati neobično.

Zapravo, središnja os će biti aksijalni krug u njemu, a ostatak će igrati ulogu paralela - krugova koji čine uobičajeni čvrsti torus.

Kako bih imao s čime usporediti 3-sferu, navest ću još jedan primjer kompaktne 3-mnogostrukosti, naime trodimenzionalni torus. Trodimenzionalni torus može se konstruirati na sljedeći način. Uzmimo običnu trodimenzionalnu kocku kao izvorni materijal:

Ima tri para lica: lijevo i desno, gornje i donje, prednje i stražnje. U svakom paru paralelnih ploha identificiramo u paru točke dobivene jedna od druge prenošenjem po rubu kocke. To jest, pretpostavit ćemo (čisto apstraktno, bez primjene fizičkih deformacija) da su, na primjer, A i A "ista točka, a B i B" također jedna točka, ali različita od točke A. Sve unutarnje točke kocku razmotrit ćemo kao i obično. Sama kocka je razdjelnik s rubom, no nakon obavljenog lijepljenja rub se zatvara u sebe i nestaje. Doista, susjedstvo točaka A i A" u kocki (leže na lijevoj i desnoj osjenčanoj plohi) su polovice kuglica, koje se nakon lijepljenja ploha spajaju u cijelu kuglu, koja služi kao susjedstvo odgovarajuće točke trodimenzionalnog torusa.

Da biste osjetili strukturu 3-torusa na temelju uobičajenih ideja o fizičkom prostoru, morate odabrati tri međusobno okomita smjera: naprijed, lijevo i gore - i mentalno razmotriti, kao u pričama znanstvene fantastike, da kada se krećete u bilo kojem od ovih pravaca, prilično dugo, ali konačno vrijeme, vratit ćemo se na početnu točku, ali iz suprotnog smjera. Ovo je također "kompaktifikacija prostora", ali ne jednotočka, korištena ranije za konstrukciju sfere, ali složenije.

Postoje nekontraktibilne staze na 3-torusu; na primjer, ovo je segment AA" na slici (na torusu prikazuje zatvorenu stazu). Ne može se skupiti, jer za bilo kakvu kontinuiranu deformaciju, točke A i A" moraju se kretati duž svojih lica, ostajući strogo jedna nasuprot drugo (inače će se krivulja otvoriti).

Dakle, vidimo da postoje jednostavno povezane i nejednostavno povezane kompaktne 3-mnogostrukosti. Perelman je dokazao da je jednostavno povezani mnogoznačnik točno jedan.

Početna ideja dokaza je korištenje takozvanog "Riccijevog toka": uzmemo jednostavno povezanu kompaktnu 3-mnogostrukost, opremimo ga proizvoljnom geometrijom (tj. uvedemo neku metriku s udaljenostima i kutovima), a zatim razmotrite njegovu evoluciju duž toka Ricci. Richard Hamilton, koji je predložio ovu ideju 1981., nadao se da će se ovom evolucijom naša mnogostrukost pretvoriti u kuglu. Ispostavilo se da to nije točno - u trodimenzionalnom slučaju, Riccijev tok je sposoban pokvariti mnogostrukost, tj. učiniti je malom mnogostrukošću (nešto s singularnim točkama, kao u gornjem primjeru linija koje se sijeku). Perelman je, prevladavajući nevjerojatne tehničke poteškoće, koristeći tešku aparaturu parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, uspio izmijeniti Riccijev tok u blizini singularnih točaka na takav način da se tijekom evolucije topologija mnogostrukosti ne mijenja, nema singularnih točaka, au kraju se pretvara u okruglu kuglu. Ali konačno moramo objasniti što je ovaj tok Riccija. Tokovi koje su koristili Hamilton i Perelman odnose se na promjenu intrinzične metrike na apstraktnoj mnogostrukosti, a to je prilično teško objasniti, pa ću se ograničiti na opisivanje "vanjskog" Riccijevog toka na jednodimenzionalnim mnogostrukostima ugrađenim u ravninu. .

Zamislite glatku zatvorenu krivulju na euklidskoj ravnini, odaberite smjer na njoj i razmotrite u svakoj točki tangentni vektor jedinične duljine. Tada će se pri obilasku krivulje u odabranom smjeru ovaj vektor okretati nekom kutnom brzinom, što se naziva zakrivljenost. Gdje je krivulja strmija, zakrivljenost (u apsolutnoj vrijednosti) će biti veća, a gdje je glatkija, zakrivljenost će biti manja.

Zakrivljenost ćemo smatrati pozitivnom ako se vektor brzine okreće prema unutarnjem dijelu ravnine koju naša krivulja dijeli na dva dijela, a negativnom ako je okrenut prema van. Ova konvencija ne ovisi o smjeru u kojem se krivulja prelazi. U točkama infleksije gdje rotacija mijenja smjer, zakrivljenost će biti 0. Na primjer, krug polumjera 1 ima konstantnu pozitivnu zakrivljenost od 1 (mjereno u radijanima).

Sada zaboravimo na tangentne vektore i pričvrstimo svakoj točki krivulje, naprotiv, vektor okomit na nju, jednake duljine zakrivljenosti u danoj točki i usmjeren prema unutra ako je zakrivljenost pozitivna, i prema van ako je negativna , a zatim ćemo prisiliti svaku točku da se kreće u smjeru odgovarajućeg vektora brzinom proporcionalnom njezinoj duljini. Evo primjera:

Ispada da se svaka zatvorena krivulja u ravnini tijekom takve evolucije ponaša na sličan način, tj. da se na kraju pretvori u kružnicu. Ovo je dokaz jednodimenzionalne analogije Poincareove pretpostavke pomoću Riccijevog toka (međutim, sama tvrdnja u ovom slučaju je već očita, samo metoda dokaza ilustrira što se događa u dimenziji 3).

Zaključno, napominjemo da Perelmanov argument dokazuje ne samo Poincaréovu pretpostavku, već i mnogo općenitiju Thurstonovu geometrijsku pretpostavku, koja u određenom smislu opisuje strukturu svih kompaktnih 3-mnogoznačnika općenito. Ali ova tema je izvan okvira ovog elementarnog članka.

Sergej Dužin,
Doktor fizike i matematike znanosti,
stariji Istraživač
Petrogradska podružnica
Matematički institut Ruske akademije znanosti

Poincaréov teorem je matematička formula "Svemira". Grigorij Perelman. 1. dio (iz serije " Pravi muškarac u znanosti")

Henri Poincare (1854.-1912.), jedan od najvećih matematičara, 1904. godine formulirao je poznatu ideju o deformiranoj trodimenzionalnoj sferi i, u obliku male rubne bilješke stavljene na kraj članka od 65 stranica o posve drugo pitanje, naškrabao nekoliko redaka prilično čudne pretpostavke uz riječi: "Pa, ovo pitanje nas može odvesti predaleko" ...

Marcus Du Sotoy sa Sveučilišta u Oxfordu vjeruje da je Poincaréov teorem "ovaj središnji problem matematike i fizike, pokušavajući razumjeti koji oblik Može biti Svemir Jako joj je teško približiti se."

Jednom tjedno, Grigory Perelman je putovao u Princeton kako bi sudjelovao na seminaru na Institutu za napredne studije. Na seminaru, jedan od matematičara sa Sveučilišta Harvard odgovara na Perelmanovo pitanje: “Teorija Williama Thurstona (1946.-2012., matematičar, radi u području “Trodimenzionalne geometrije i topologije”), nazvana hipoteza geometrizacije, opisuje sve moguće trodimenzionalnih površina i korak je naprijed u usporedbi s Poincaréovom hipotezom. Ako dokažete pretpostavku Williama Thurstona, onda će vam Poincareova pretpostavka otvoriti sva svoja vrata i više njegovo će rješenje promijeniti cijeli topološki krajolik moderne znanosti».

Šest vodećih američkih sveučilišta u ožujku 2003. pozvalo je Perelmana da pročita niz predavanja u kojima objašnjava svoj rad. U travnju 2003. Perelman ide na znanstveno putovanje. Njegova predavanja postaju izuzetan znanstveni događaj. John Ball (predsjedavajući Međunarodne matematičke unije), Andrew Wiles (matematičar, radi na području aritmetike eliptičkih krivulja, dokazao Fermatov teorem 1994.), John Nash (matematičar koji radi na području teorije igara i diferencijalne geometrije) dolaze na Princeton da ga posluša.

Grigorij Perelman uspio je riješiti jedan od sedam zadataka tisućljeća I opisati matematički takozvani formula svemira, dokazati Poincaréovu pretpostavku. Oko ove hipoteze najbistriji umovi borili su se više od 100 godina, a za čiji je dokaz svjetska matematička zajednica (Clay Mathematical Institute) obećala milijun dolara.Predstavljena je 8. lipnja 2010. Grigorij Perelman se na njoj nije pojavio , a svjetskoj matematičkoj zajednici "oklele su čeljusti".

Godine 2006., za rješavanje Poincaréove pretpostavke, matematičar je nagrađen najvišom matematičkom nagradom - Fieldsovom nagradom (Fieldsova medalja). John Ball je osobno posjetio Sankt Peterburg kako bi ga nagovorio da primi nagradu. On je to odbio prihvatiti riječima: "Društvo teško može ozbiljno ocijeniti moj rad."

“Fieldsova nagrada (i medalja) dodjeljuje se svake 4 godine na svakom međunarodnom matematičkom kongresu mladim znanstvenicima (mlađima od 40 godina) koji su dali značajan doprinos razvoju matematike. Osim medalje, nagrađeni dobivaju 15.000 kanadskih dolara (13.000 dolara).

U svojoj izvornoj formulaciji, Poincaréova pretpostavka glasi kako slijedi: "Svaka jednostavno povezana kompaktna trodimenzionalna mnogoznačnik bez granice je homeomorfna trodimenzionalnoj sferi." Prevedeno na uobičajen jezik, to znači da se bilo koji trodimenzionalni objekt, primjerice čaša, samo deformacijom može pretvoriti u kuglu, odnosno neće ga trebati rezati ili lijepiti. Drugim riječima, Poincaré je to predložio prostor nije trodimenzionalan, već sadrži puno veći broj dimenzija, i Perelman 100 godina kasnije dokazao matematički.

Izraz Grigorija Perelmana Poincaréovog teorema o transformaciji materije u drugo stanje, oblik sličan je znanju iznesenom u knjizi Anastazije Novykh "Sensei IV": igle". Kao i sposobnost kontroliranja materijalnog Svemira kroz transformacije koje je uveo Observer iz kontroliranja dimenzija iznad šeste (od 7 do uključivo 72) (izvješće "PRIMARNA ALLATRA FIZIKA" tema "Ezoosmička mreža").

Grigorija Perelmana odlikovala je strogost života, strogost etičkih zahtjeva za sebe i za druge. Gledajući ga, čovjek ima osjećaj da je samo on tjelesno boravi zajedničko sa svim ostalim suvremenicima prostor, A Duhovno u nekom drugom, gdje čak za 1 milijun dolara ne idite najneviniji kompromise sa savješću. A kakav je ovo prostor i da li ga je uopće moguće pogledati krajičkom oka?..

Iznimna važnost hipoteze koju je prije otprilike jednog stoljeća iznio matematičar Poincaré tiče se trodimenzionalnih struktura i ključni element suvremena istraživanja temelji svemira. Ova zagonetka, prema mišljenju stručnjaka s Instituta Clay, jedna je od sedam temeljno važnih za razvoj matematike budućnosti.

Perelman, odbijajući medalje i nagrade, pita: “Zašto mi trebaju? Apsolutno su mi beskorisni. Svatko razumije da ako je dokaz točan, onda nije potrebno drugo priznanje. Dok nisam razvio sumnju, imao sam izbor ili glasno govoriti o raspadu matematičke zajednice u cjelini, zbog niske moralne razine, ili ne reći ništa i dopustiti da me se tretira kao stoku. Sada, kada sam postao više nego sumnjičav, ne mogu ostati stoka i dalje šutjeti, pa mogu samo otići.

Da biste se bavili modernom matematikom, morate imati potpuno čist um, bez imalo primjesa koje ga dezintegriraju, dezorijentiraju, zamjenjuju vrijednosti, a prihvatiti ovu nagradu znači pokazati slabost. Idealan znanstvenik se bavi samo znanošću, ne mari ni za što drugo (moć i kapital), mora imati čist um, a za Perelmana nema veće važnosti od življenja u skladu s tim idealom. Je li cijela ova ideja s milijunima korisna za matematiku i treba li pravom znanstveniku takav poticaj? I nije uvredljiva ta želja kapitala da kupi i podjarmi sve na ovom svijetu? Ili možete prodati njegovu čistoću za milijun? Novac je, koliko god ga bilo, ekvivalentan istina Duše? Uostalom, radi se o apriornoj procjeni problema s kojima novac jednostavno ne bi trebao imati veze, zar ne?! Napraviti od svega ovoga nešto poput loto-milijuna, ili tote, znači prepustiti se raspadu znanstvenog, i doista ljudske zajednice u cjelini(Vidi izvješće "PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS" iu knjizi "AllatRa" zadnjih 50 stranica o načinu izgradnje kreativnog društva). I unovčiti(energija), koju su gospodarstvenici spremni donirati znanosti, ako je potrebno iskoristiti, onda je ispravno, ili tako nešto, bez ponižavanja Duh istinskog služenja, kako god se reklo, neprocjenjiv novčani ekvivalent: “ Što je milijun, u usporedbi, s čistoćom, ili Veličanstvom te sfere (o dimenzijama globalnog svemira i o duhovni svijet vidjeti knjigu"AllatRa" i izvješće"PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS"), u kojem nesposoban prodrijetičak i ljudski mašta (um)?! Što je milijun zvjezdano nebo za vrijeme?

Dat ćemo tumačenje preostalih pojmova koji se pojavljuju u formulaciji hipoteze:

Topologija - (od grč. topos - mjesto i logos - učenje) - grana matematike koja proučava topološka svojstva likova, tj. svojstva koja se ne mijenjaju pod nikakvim deformacijama proizvedenim bez diskontinuiteta i lijepljenja (točnije, pod jedan na jedan i kontinuiranim preslikavanjima). Primjeri topoloških svojstava figura su dimenzija, broj krivulja koje omeđuju određeno područje i tako dalje. Dakle, krug, elipsa, kvadratna kontura imaju ista topološka svojstva, jer te se linije mogu deformirati jedna u drugu na gore opisani način; pritom prsten i krug imaju različita topološka svojstva: krug je omeđen jednom konturom, a prsten dvjema.

Homeomorfizam (grč. ομοιο - sličan, μορφη - oblik) je korespondencija jedan na jedan između dva topološka prostora, pri čemu su oba međusobno inverzna preslikavanja definirana ovom korespondencijom kontinuirana. Ta se preslikavanja nazivaju homeomorfna ili topološka preslikavanja, kao i homeomorfizmi, a prostori za koje se kaže da pripadaju istom topološkom tipu nazivaju se homeomorfni ili topološki ekvivalentni.

Trodimenzionalni mnogoznačnik bez granica. Ovo je takav geometrijski objekt u kojem svaka točka ima susjedstvo u obliku trodimenzionalne lopte. Primjeri 3-mnogostrukosti su, prvo, cijeli trodimenzionalni prostor, označen s R3, kao i bilo koji otvoreni skup točaka u R3, na primjer, unutrašnjost čvrstog torusa (krafne). Ako uzmemo u obzir zatvoreni čvrsti torus, tj. Dodamo li njezine rubne točke (plohu torusa), tada ćemo dobiti mnogoznačnik s granicom - granične točke nemaju susjedstvo u obliku lopte, već samo u obliku polovice lopte.

Čvrsti torus (čvrsti torus) je geometrijsko tijelo homeomorfno proizvodu dvodimenzionalnog diska i kruga D2 * S1. Neformalno, čvrsti torus je krafna, dok je torus samo njegova površina (šuplja komora kotača).

Jednostavno povezano. To znači da se svaka kontinuirana zatvorena krivulja koja se nalazi u cijelosti unutar danog razvodnika može glatko skupiti u točku bez napuštanja ovog razvodnika. Na primjer, obična dvodimenzionalna kugla u R3 je jednostavno povezana (elastična traka, proizvoljno nanesena na površinu jabuke, može se stegnuti u jednu točku glatkom deformacijom bez skidanja elastične trake s jabuke). S druge strane, krug i torus nisu jednostavno povezani.

Kompaktan. Mnogoznačnik je kompaktan ako bilo koja od njegovih homeomorfnih slika ima ograničene dimenzije. Na primjer, otvoreni interval na pravcu (sve točke segmenta osim njegovih krajeva) nije kompaktan, jer se može kontinuirano produžiti do beskonačnog pravca. Ali zatvoreni segment (s krajevima) je kompaktna mnogostrukost s granicom: za bilo koju kontinuiranu deformaciju, krajevi idu u neke određene točke, a cijeli segment mora ići u ograničenu krivulju koja povezuje te točke.

Nastavit će se...

Ilnaz Bašarov

Književnost:

– Izvješće "PRIMARY ALLATRA PHYSICS" međunarodne skupine znanstvenika ALLATRA International Public Movement, ur. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Nove. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Nove. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013., 632 str. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, doktor fizike i matematike Sci., viši znanstveni suradnik, Ogranak Matematičkog instituta Ruske akademije znanosti u Sankt Peterburgu