Što je Grigorij Perelman dokazao? Matematičar Perelman Yakov: doprinos znanosti. Slavni ruski matematičar Grigorij Perelman

« Milenijski izazov”, koju je riješio ruski matematički genij, povezana je s nastankom Svemira. Nije svakom matematičaru dano razumjeti suštinu zagonetke ...

IGRA UMA

Sve donedavno matematika svojim "svećenicima" nije obećavala ni slavu ni bogatstvo. Čak nisu dobili ni Nobelovu nagradu. Ne postoji takva nominacija. Doista, prema vrlo popularnoj legendi, Nobelova žena ga je jednom prevarila s matematičarem. A za odmazdu, bogataš je svu njihovu braću iz šikana lišio svog poštovanja i novčane nagrade.

Situacija se promijenila 2000. godine. Clay Mathematics Institute, privatni matematički institut, odabrao je sedam najtežih problema i obećao platiti milijun dolara za svako rješenje.

Prema matematičarima se postupalo s poštovanjem. Godine 2001. ekrani su čak objavili film "Lijepi um", čiji je glavni lik bio matematičar.

Sada samo ljudi daleko od civilizacije nisu svjesni: jedan od obećanih milijuna - prvi - već je dodijeljen. Nagrada je dodijeljena ruskom državljaninu, stanovniku Sankt Peterburga Grigorij Perelman. Dokazao je Poincaréovu pretpostavku, zagonetku koja je prkosila svakome više od 100 godina i koja je, zahvaljujući njegovim naporima, postala teorem.

Naš slatki 44-godišnji bradonja obrisao je nos po svijetu. I sada ga nastavlja držati - svijet - u neizvjesnosti. Budući da se ne zna hoće li matematičar pošteno zaslužiti milijun dolara ili će odbiti. Progresivna javnost u mnogim zemljama prirodno je uznemirena. Barem novine svih kontinenata bilježe financijske i matematičke spletke.

A u pozadini tih fascinantnih aktivnosti - proricanja sudbine i dijeljenja tuđeg novca - smisao Perelmanovog postignuća nekako se izgubio. Predsjednik Instituta Clay, Jim Carlson, naravno, svojedobno je naveo, kažu, cilj nagradni fond- ne toliko traganje za odgovorima koliko pokušaj podizanja prestiža matematičke znanosti i zainteresiranja mladih za nju. Ali ipak, koja je poanta?

Grisha u mladosti - već tada je bio genije.

POINCAREOVA HIPOTEZA - ŠTO JE TO?

Zagonetka koju je riješio ruski genij utječe na temelje dijela matematike koji se zove topologija. To - topologija - često se naziva "geometrija na gumenom listu." Obrađuje svojstva geometrijskih oblika koja se čuvaju ako se oblik rasteže, uvija, savija. Drugim riječima, deformiran je bez lomova, rezova i lijepljenja.

Topologija je važna za matematičku fiziku jer nam omogućuje razumijevanje svojstava prostora. Ili ga procijenite bez mogućnosti da izvana pogledate oblik ovog prostora. Na primjer, naš svemir.

Kada objašnjavaju Poincareovu pretpostavku, počinju ovako: zamislite dvodimenzionalnu kuglu - uzmite gumeni disk i povucite ga preko lopte. Tako da se opseg diska skupi u jednoj točki. Na sličan način, na primjer, možete skinuti sportski ruksak s užetom. Rezultat je kugla: za nas - trodimenzionalna, ali s gledišta matematike - samo dvodimenzionalna.

Zatim nude da povuku isti disk na bagel. Čini se da djeluje. Ali rubovi diska će se skupiti u krug, koji se više ne može povući u točku - izrezat će krafnu.

Kao što je drugi napisao u svojoj popularnoj knjizi ruski matematičar, Vladimir Uspenski, "Za razliku od dvodimenzionalnih sfera, trodimenzionalne su sfere nedostupne našem izravnom opažanju i teško nam ih je zamisliti kao Vasiliju Ivanoviču iz poznate anegdote o kvadratnom trinomu."

Dakle, prema Poincaréovoj hipotezi, trodimenzionalna kugla je jedina trodimenzionalna stvar čija se površina može uvući u jednu točku nekom vrstom hipotetskog "hiperkorda".

Grigorij Perelman: - Zamislite samo, Newtonov binom ...

Jules Henri Poincare je to predložio 1904. Sada je Perelman uvjerio sve koji razumiju da je francuski topolog bio u pravu. I pretvorio svoju hipotezu u teorem.

Dokaz pomaže u razumijevanju oblika našeg svemira. I to nam omogućuje da sasvim razumno pretpostavimo da je to ista trodimenzionalna sfera.

Ali ako je Svemir jedina "figura" koja se može skupiti do točke, onda se, vjerojatno, može i razvući iz točke. Što služi kao neizravna potvrda teorije Velikog praska, koja tvrdi da je Svemir nastao upravo iz točke.

Ispada da je Perelman, zajedno s Poincareom, uznemirio takozvane kreacioniste - pristaše božanski početak svemir. I prolili su vodu na mlin materijalističkih fizičara.

Genijalni matematičar iz Sankt Peterburga Grigorij Perelman, koji se u cijelom svijetu proslavio dokazom Poincaréove pretpostavke, konačno je obrazložio svoje odbijanje nagrade od milijun dolara dodijeljene za to. Kako prenosi Komsomolskaya Pravda, povučeni se znanstvenik otkrio u razgovoru s novinarom i producentom filmske kuće President-Film, koja će uz Perelmanov pristanak snimiti dugometražni film Formula svemira o njemu.

Alexander Zabrovsky je imao sreće razgovarati s velikim matematičarom - prije nekoliko godina otišao je iz Moskve u Izrael i pretpostavio da je prvo kontaktirao majku Grigorija Yakovlevicha preko židovske zajednice Sankt Peterburga, nakon što joj je pomogao. Razgovarala je sa sinom, a nakon njene dobre karakterizacije, on je pristao na sastanak. To se doista može nazvati uspjehom - novinari nisu uspjeli "uloviti" znanstvenika, iako su danima sjedili na njegovu ulazu.

Kako je Zabrovski rekao novinama, Perelman je ostavio dojam "apsolutno razumne, zdrave, primjerene i normalne osobe": "Realan, pragmatičan i razuman, ali ne lišen sentimentalnosti i uzbuđenja ... Sve što mu je pripisano u tisku , kao da je "poludio", - potpuna glupost! On točno zna što hoće, i zna kako postići cilj."

Film, za koji je matematičar stupio u kontakt i pristao pomoći, neće biti o njemu samom, već o suradnji i sučeljavanju tri glavne svjetske matematičke škole: ruske, kineske i američke, koje su najnaprednije u svom proučavanju. i upravljanje Svemirom.

Na pitanje zašto je Perelman odbio milijun, odgovorio je:

"Znam upravljati Svemirom. I reci mi - zašto bih trčao za milijunom?"

Znanstvenik je uvrijeđen, kako ga nazivaju u ruskom tisku

Perelman je objasnio da ne komunicira s novinarima jer ih ne zanima znanost, već osobna i domaća pitanja - od razloga odbijanja milijuna do pitanja rezanja kose i noktiju.

Naime, ne želi kontaktirati s ruskim medijima zbog nepoštivanja prema njemu. Na primjer, u tisku ga zovu Grisha, a takva familijarnost vrijeđa.

Grigorij Perelman rekao je da je od školske godine naviknut na ono što se zove "trening mozga". Sjećajući se kako je kao "delegat" iz SSSR-a primio Zlatna medalja na matematičkoj olimpijadi u Budimpešti rekao je: „Pokušavali smo rješavati probleme u kojima je sposobnost apstraktnog mišljenja bila neizostavan uvjet.

Ovo odvraćanje od matematičke logike bila je glavna točka svakodnevnog treninga. Za pronalaženje pravog rješenja bilo je potrebno zamisliti „komad svijeta“.

Kao primjer takvog „teškog“ zadatka naveo je sljedeće: „Zapamtite biblijska legenda o tome kako je Isus Krist hodao po vodi, kao po suhom. Pa sam morao izračunati kojom brzinom se mora kretati kroz vodu da ne propadne.

Od tada je Perelman sve svoje aktivnosti posvetio proučavanju problema proučavanja svojstava trodimenzionalnog prostora svemira: "Ovo je vrlo zanimljivo. Pokušavam obuhvatiti neizmjernost.

Znanstvenik je napisao svoju disertaciju pod vodstvom akademika Aleksandrova. "Tema je bila jednostavna: 'Sedlaste površine u euklidskoj geometriji'. Možete li zamisliti površine koje su jednake veličine i neravnomjerno udaljene jedna od druge u beskonačnosti? Moramo izmjeriti 'šupljine' između njih", objasnio je matematičar.

Što znači Perelmanovo otkriće koje je zastrašilo obavještajne službe svijeta

"Formulom svemira" Poincareova izjava naziva se zbog svoje važnosti u proučavanju složenih fizikalnih procesa u teoriji svemira i zato što daje odgovor na pitanje o obliku svemira. Ovi će dokazi igrati veliku ulogu u razvoju nanotehnologije."

"Naučio sam kako izračunati praznine, zajedno sa svojim kolegama naučit ćemo mehanizme za popunjavanje društvenih i ekonomskih "praznina", rekao je. "Praznine su posvuda. Mogu se izračunati, a to pruža velike mogućnosti...

Prema publikaciji, razmjeri onoga što je Grigorij Jakovljevič otkrio, koji zapravo korača ispred današnje svjetske znanosti, učinili su ga predmetom stalnog interesa specijalnih službi, ne samo ruskih, već i stranih.

Shvatio je neka super-znanja koja pomažu u razumijevanju svemira. I ovdje se postavljaju pitanja ove vrste: "Što će se dogoditi ako njegovo znanje nađe praktičnu primjenu?"

Zapravo, tajne službe moraju znati - je li Perelman, odnosno njegovo znanje, prijetnja čovječanstvu? Uostalom, ako je uz pomoć njegovog znanja moguće svemir pretvoriti u točku, a zatim ga razmotati, možemo li umrijeti ili se ponovno roditi u drugom svojstvu? A onda ćemo biti? I trebamo li uopće upravljati svemirom?

I U OVO VRIJEME

Genijalna mama: "Ne postavljajte nam pitanja o novcu!"

Kad se doznalo da je matematičaru dodijeljena Milenijska nagrada, ispred njegovih se vrata okupilo mnoštvo novinara. Svi su željeli osobno čestitati Perelmanu i saznati hoće li uzeti svoj legitimni milijun.

Dugo smo kucali na slabašna vrata (da ih barem možemo zamijeniti premium novcem), ali matematičar nije otvorio. Ali njegova je majka sasvim razumljivo stavila točku na "i" odmah iz hodnika.

Ne želimo ni s kim razgovarati i nećemo davati intervjue - vikala je Ljubov Lejbovna. - I nemojte nam postavljati pitanja o ovoj nagradi i novcu.

Ljudi koji žive u istom ulazu bili su vrlo iznenađeni kada su vidjeli iznenadni interes za Perelmana.

Je li naš Grisha oženjen? jedan od susjeda se nasmijao. - Oh, dobio sam nagradu. Opet. Ne, neće to uzeti. Ne treba mu ništa, živi od novčića, ali je sretan na svoj način.

Kažu da je uoči matematičara viđena s punim paketima proizvoda iz trgovine. S majkom se spremao “držati opsadu”. Posljednji put, kada je u tisku počela pompa oko nagrade, Perelman nije izlazio iz stana tri tjedna.

USPUT

Za što će drugo dati milijun dolara ...

Godine 1998., sredstvima milijardera Landona T. Claya, osnovan je Clay Mathematics Institute u Cambridgeu (SAD) za popularizaciju matematike. Stručnjaci instituta 24. svibnja 2000. odabrali su sedam, po njihovom mišljenju, najzagonetnijih problema. I odredili su milijun dolara za svakoga.

Lista je imenovana .

1. Kuharev problem

Potrebno je utvrditi može li provjera točnosti rješenja zadatka biti dulja od dobivanja samog rješenja. Ovaj logički zadatak važno za stručnjake u kriptografiji - šifriranje podataka.

2. Riemannova hipoteza

Postoje takozvani prosti brojevi, kao što su 2, 3, 5, 7 itd., koji su djeljivi samo sami sa sobom. Koliko ih ima, ne zna se. Riemann je smatrao da se to može utvrditi i pronaći pravilnost njihove distribucije. Onaj tko ga pronađe pružit će i usluge kriptografije.

3. Hipoteza Bircha i Swinnerton-Dyera

Problem se odnosi na rješavanje jednadžbi s tri nepoznanice podignute na potenciju. Moramo smisliti kako ih riješiti, koliko god bile teške.

4. Hodgeova hipoteza

U dvadesetom stoljeću matematičari su otkrili metodu proučavanja oblika složeni objekti. Ideja je da se umjesto samog predmeta koriste jednostavne "cigle", koje se lijepe zajedno i tvore njegovu sliku. Moramo dokazati da je to uvijek dopustivo.

5. Navier - Stokesove jednadžbe

Vrijedi ih se prisjetiti u avionu. Jednadžbe opisuju zračne struje koje ga drže u zraku. Sada se jednadžbe rješavaju približno, prema približnim formulama. Potrebno je pronaći točne i dokazati da u trodimenzionalnom prostoru postoji rješenje jednadžbi, koje je uvijek točno.

6. Yang-Millsove jednadžbe

U svijetu fizike postoji hipoteza: ako elementarna čestica ima masu, onda postoji i njezina donja granica. Ali koji, nije jasno. Moraš doći do njega. Ovo je možda najteži zadatak. Za njegovo rješavanje potrebno je stvoriti “teoriju svega” – jednadžbe koje objedinjuju sve sile i međudjelovanja u prirodi. Tko uspije, sigurno će dobiti Nobelovu nagradu.

Posljednje veliko postignuće čiste matematike je dokaz Poincaréove pretpostavke, izražene 1904. godine i koja kaže: "svaka povezana, jednostavno povezana, kompaktna trodimenzionalna mnogoznačnik bez granica, homeomorfna je sferi S 3" Grigorija Perelmana iz St. Petersburgu 2002–2003.

Postoji nekoliko pojmova u ovom izrazu koje ću pokušati objasniti na način da njihovo opće značenje postane jasno i nematematičarima (pretpostavljam da je čitatelj završio Srednja škola i još se sjeća nečega iz školske matematike).

Počnimo s konceptom homeomorfizma, koji je središnji u topologiji. Općenito, topologija se često definira kao "gumena geometrija", tj. kao znanost o svojstvima geometrijskih slika koje se ne mijenjaju tijekom glatkih deformacija bez razmaka i lijepljenja, odnosno ako je moguće uspostaviti jedan-prema- korespondencija jedan i jedan na jedan između dva objekta .

Glavnu ideju najlakše je objasniti na klasičnom primjeru šalice i peciva. Prvi se kontinuiranim deformiranjem može pretvoriti u drugi.

Ove slike jasno pokazuju da je šalica homeomorfna krafni, a ta činjenica vrijedi i za njihove površine (dvodimenzionalne mnogostrukosti, zvane torus) i za ispunjena tijela (trodimenzionalne mnogostrukosti s rubom).

Dat ćemo tumačenje ostalih pojmova koji se pojavljuju u formulaciji hipoteze.

1. Trodimenzionalni mnogoznačnik bez granica. Ovo je takav geometrijski objekt u kojem svaka točka ima susjedstvo u obliku trodimenzionalne lopte. Primjeri 3-mnogostrukosti su, prvo, cjelokupni trodimenzionalni prostor, označen s R 3 , kao i bilo koji otvoreni setovi točke u R 3 , na primjer, unutrašnjost čvrstog torusa (krafna). Ako promatramo zatvoreni čvrsti torus, tj. dodamo njegove rubne točke (površinu torusa), tada već dobivamo mnogostrukost s granicom - granične točke nemaju susjedstvo u obliku lopte, već samo u obliku polovice lopte.
2. Povezan. Koncept povezanosti je ovdje najjednostavniji. Razvodnik je povezan ako se sastoji od jednog dijela, ili, što je isto, bilo koje dvije njegove točke mogu se spojiti neprekinutom linijom koja ne izlazi izvan njegovih granica.
3. Jednostavno povezano. Pojam jednostruke povezanosti je složeniji. To znači da se svaka kontinuirana zatvorena krivulja koja se nalazi u cijelosti unutar danog razvodnika može glatko skupiti u točku bez napuštanja ovog razvodnika. Na primjer, obična dvodimenzionalna kugla u R 3 je jednostavno spojena (elastična traka, proizvoljno pričvršćena na površinu jabuke, može se skupiti glatkom deformacijom u jednu točku bez kidanja elastične trake s jabuke). S druge strane, krug i torus nisu jednostavno povezani.
4. Kompaktan. Mnogoznačnik je kompaktan ako bilo koja od njegovih homeomorfnih slika ima ograničene dimenzije. Na primjer, otvoreni interval na pravcu (sve točke segmenta osim njegovih krajeva) nije kompaktan, jer se može kontinuirano produžiti do beskonačnog pravca. Ali zatvoreni segment (s krajevima) je kompaktna mnogostrukost s granicom: za bilo koju kontinuiranu deformaciju, krajevi idu u neke određene točke, a cijeli segment mora ići u ograničenu krivulju koja povezuje te točke.

Dimenzija mnogostrukosti je broj stupnjeva slobode u točki koja na njoj "živi". Svaka točka ima susjedstvo u obliku diska odgovarajuće dimenzije, tj. interval pravca u jednodimenzionalnom slučaju, kružnicu na ravnini u dvodimenzionalnom slučaju, loptu u trodimenzionalnom slučaju. , itd. Sa stajališta topologije, postoje samo dvije jednodimenzionalne povezane mnogostrukosti bez granica: to su linija i kružnica. Od njih je samo krug kompaktan.

Primjer prostora koji nije mnogoznačnik je npr. par linija koje se sijeku - uostalom, u točki sjecišta dviju linija bilo koje susjedstvo ima oblik križa, nema susjedstvo koje bi sama biti samo interval (i sve druge točke imaju takve susjedstva). Matematičari u takvim slučajevima kažu da imamo posla sa singularnom mnogoznačnikom, koji ima jednu singularnu točku.

Dvodimenzionalne kompaktne mnogostrukosti su dobro poznate. Ako uzmemo u obzir samo orijentiran mnogostrukosti bez granica, tada s topološkog gledišta tvore jednostavan, iako beskonačan popis: i tako dalje. Svaki takav razdjelnik dobiva se iz kugle lijepljenjem nekoliko ručica, čiji se broj naziva rod plohe.

Na slici su prikazane plohe roda 0, 1, 2 i 3. Po čemu se kugla izdvaja od svih ploha na ovom popisu? Ispada da je to jednostavno povezano: na sferi se svaka zatvorena krivulja može stegnuti u točku, a na bilo kojoj drugoj površini uvijek je moguće naznačiti krivulju koja se ne može stegnuti u točku duž plohe.

Zanimljivo je da se trodimenzionalne kompaktne mnogostrukosti bez granica također mogu klasificirati u određenom smislu, tj. poredati u određeni popis, iako ne tako jednostavno kao u dvodimenzionalnom slučaju, ali imaju prilično složenu strukturu. Međutim, 3D sfera S 3 ističe se na ovom popisu na isti način kao i 2D sfera na gornjem popisu. Činjenicu da se bilo koja krivulja na S 3 skuplja do točke jednako je lako dokazati kao iu dvodimenzionalnom slučaju. Ali obratna tvrdnja, naime, da je to svojstvo jedinstveno upravo za sferu, tj. da postoje nekontraktibilne krivulje na bilo kojoj drugoj trodimenzionalnoj mnogoznačniku, vrlo je teška i upravo čini sadržaj Poincareove pretpostavke o kojoj govorimo .

Važno je razumjeti da mnogostrukost može živjeti sama za sebe, može se smatrati neovisnim objektom, koji nije nigdje ugniježđen. (Zamislite živa dvodimenzionalna bića na površini obične sfere, nesvjesna postojanja treće dimenzije.) Srećom, sve dvodimenzionalne površine s gornjeg popisa mogu se ugraditi u uobičajeni R 3 prostor, što čini lakše ih je vizualizirati. Za 3-sferu S 3 (i općenito za bilo koju kompaktnu 3-mnogostrukost bez granice) to više nije slučaj, pa je potrebno malo truda da se razumije njena struktura.

Očigledno najjednostavniji način objasniti topološku strukturu trodimenzionalne sfere S 3 je uz pomoć kompaktifikacije jedne točke. Naime, trodimenzionalna sfera S 3 je kompaktifikacija u jednoj točki uobičajenog trodimenzionalnog (neomeđenog) prostora R 3 .

Objasnimo prvo ovu konstrukciju jednostavni primjeri. Uzmimo običnu beskonačnu ravnu liniju (jednodimenzionalni analog prostora) i dodamo joj jednu "beskonačno udaljenu" točku, pod pretpostavkom da kada se krećemo po ravnoj liniji udesno ili ulijevo, na kraju dođemo do ove točke. S topološkog gledišta, nema razlike između beskonačne linije i ograničenog otvorenog segmenta (bez krajnjih točaka). Takav se segment može kontinuirano savijati u obliku luka, približiti krajeve i zalijepiti točku koja nedostaje u spoj. Dobivamo, očito, krug - jednodimenzionalni analog sfere.

Slično, ako uzmem beskonačnu ravninu i dodam jednu točku u beskonačnosti, kojoj teže sve linije izvorne ravnine, koje prolaze u bilo kojem smjeru, tada ćemo dobiti dvodimenzionalnu (običnu) sferu S 2 . Taj se postupak može promatrati pomoću stereografske projekcije, koja svakoj točki P sfere, s izuzetkom sjevernog pola N, pripisuje određenu točku ravnine P.

Dakle, sfera bez jedne točke topološki je ista kao i ravnina, a dodavanje točke pretvara ravninu u sferu.

U principu, potpuno ista konstrukcija primjenjiva je na trodimenzionalnu kuglu i trodimenzionalni prostor, samo je za njezinu implementaciju potrebno ući u četvrtu dimenziju, a to nije tako lako prikazati na crtežu. Pa ću se ograničiti verbalni opis jednotočkaška kompaktifikacija prostora R 3 .

Zamislimo da je našem fizičkom prostoru (koji mi, slijedeći Newtona, smatramo neograničenim euklidskim prostorom s tri koordinate x, y, z) dodana jedna točka “u beskonačnosti” na način da kada se krećemo po ravnoj liniji u bilo kojem smjer, ti padaš (tj. svaka prostorna linija zatvara se u krug). Tada dobivamo kompaktnu trodimenzionalnu mnogostrukost, koja je po definiciji sfera S 3 .

Lako je vidjeti da je sfera S 3 jednospojna. Doista, bilo koja zatvorena krivulja na ovoj kugli može se malo pomaknuti tako da ne prolazi kroz dodanu točku. Tada dobivamo krivulju u uobičajenom prostoru R 3 , koja se lako kontrahira u točku putem homotetije, tj. kontinuirane kontrakcije u sva tri smjera.

Da bismo razumjeli strukturu mnogostrukosti S3, vrlo je poučno razmotriti njezinu podjelu na dva puna torusa. Ako se iz prostora R 3 izostavi čvrsti torus, ostaje nešto nejasno. A ako se prostor zbije u sferu, tada se i ovaj komplement pretvara u čvrsti torus. Odnosno, sfera S 3 je podijeljena na dva puna torusa koji imaju zajedničku granicu - torus.

Evo kako se to može razumjeti. Ugradimo torus u R 3 kao i obično, u obliku okrugle krafne, i nacrtajmo okomitu liniju - os rotacije ove krafne. Nacrtamo proizvoljnu ravninu kroz os, ona će presijecati naš čvrsti torus u dva kruga prikazana na slici u zelenoj boji, a dodatni dio ravnine podijeljen je u kontinuiranu obitelj crvenih krugova. Među njima je i središnja os, podebljana, jer se u sferi S 3 crta zatvara u krug. Iz ove dvodimenzionalne rotacijom oko osi dobiva se trodimenzionalna slika. Kompletan skup rotiranih krugova tada će ispuniti trodimenzionalno tijelo, homeomorfno čvrstom torusu, samo što će izgledati neobično.

Zapravo, središnja os će biti aksijalni krug u njemu, a ostatak će igrati ulogu paralela - krugova koji čine uobičajeni čvrsti torus.

Kako bih imao s čime usporediti 3-sferu, navest ću još jedan primjer kompaktne 3-mnogostrukosti, naime trodimenzionalni torus. Trodimenzionalni torus može se konstruirati na sljedeći način. Uzmimo običnu trodimenzionalnu kocku kao izvorni materijal:

Ima tri para lica: lijevo i desno, gornje i donje, prednje i stražnje. U svakom paru paralelnih ploha identificiramo u paru točke dobivene jedna od druge prenošenjem po rubu kocke. To jest, pretpostavit ćemo (čisto apstraktno, bez primjene fizičkih deformacija) da su, na primjer, A i A "ista točka, a B i B" također jedna točka, ali različita od točke A. Sve unutarnje točke kocku razmotrit ćemo kao i obično. Sama kocka je mnogostrukost s granicom, ali nakon obavljenog lijepljenja granica se zatvara u sebe i nestaje. Doista, susjedstvo točaka A i A" u kocki (leže na lijevoj i desnoj osjenčanoj plohi) su polovice kuglica, koje se nakon lijepljenja ploha spajaju u cijelu kuglu, koja služi kao susjedstvo odgovarajuće točke trodimenzionalnog torusa.

Da biste osjetili uređaj 3-torusa na temelju uobičajenih ideja o fizičkom prostoru, trebate odabrati tri međusobno okomita smjera: naprijed, lijevo i gore - i mentalno brojati kao u fantastične priče da ćemo se pri kretanju u bilo kojem od ovih smjerova dovoljno dugo, ali konačno vrijeme, vratiti na početnu točku, ali iz suprotnog smjera. Ovo je također "kompaktifikacija prostora", ali ne jednotočkasta, koja se ranije koristila za konstrukciju sfere, već složenija.

Postoje nekontraktibilne staze na 3-torusu; na primjer, ovo je segment AA" na slici (na torusu prikazuje zatvorenu stazu). Ne može se skupiti, jer za bilo kakvu kontinuiranu deformaciju, točke A i A" moraju se kretati duž svojih lica, ostajući strogo jedna nasuprot drugo (inače će se krivulja otvoriti).

Dakle, vidimo da postoje jednostavno povezane i nejednostavno povezane kompaktne 3-mnogostrukosti. Perelman je dokazao da je jednostavno povezani mnogoznačnik točno jedan.

Polazna točka dokaza je uporaba takozvanog "Riccijevog toka": uzmemo jednostavno povezanu kompaktnu 3-mnogostrukost, opremimo ga proizvoljnom geometrijom (tj. uvedemo neku metriku s udaljenostima i kutovima), a zatim razmotrimo njegova evolucija duž toka Ricci. Richard Hamilton, koji je predložio ovu ideju 1981., nadao se da će se ovom evolucijom naša mnogostrukost pretvoriti u kuglu. Ispostavilo se da to nije točno - u trodimenzionalnom slučaju, Riccijev tok je sposoban pokvariti mnogostrukost, tj. učiniti je malom mnogostrukošću (nešto s singularnim točkama, kao u gornjem primjeru linija koje se sijeku). Perelman je, prevladavajući nevjerojatne tehničke poteškoće, koristeći tešku aparaturu parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, uspio izmijeniti Riccijev tok u blizini singularnih točaka na takav način da se tijekom evolucije topologija mnogostrukosti ne mijenja, nema singularnih točaka, au kraju, pretvara se u okruglu kuglu. Ali potrebno je, konačno, objasniti što je to Riccijev tok. Tokovi koje su koristili Hamilton i Perelman odnose se na promjenu intrinzične metrike na apstraktnoj mnogostrukosti, a to je prilično teško objasniti, pa ću se ograničiti na opisivanje "vanjskog" Riccijevog toka na jednodimenzionalnim mnogostrukostima ugrađenim u ravninu. .

Zamislite glatku zatvorenu krivulju na euklidskoj ravnini, odaberite smjer na njoj i razmotrite u svakoj točki tangentni vektor jedinične duljine. Tada će se pri obilasku krivulje u odabranom smjeru ovaj vektor okretati nekom kutnom brzinom, što se naziva zakrivljenost. Gdje je krivulja strmija, zakrivljenost (u apsolutnoj vrijednosti) će biti veća, a gdje je glatkija, zakrivljenost će biti manja.

Zakrivljenost ćemo smatrati pozitivnom ako se vektor brzine okreće prema unutarnjem dijelu ravnine koju naša krivulja dijeli na dva dijela, a negativnom ako je okrenut prema van. Ova je konvencija neovisna o smjeru u kojem se krivulja prelazi. U točkama infleksije gdje rotacija mijenja smjer, zakrivljenost će biti 0. Na primjer, krug polumjera 1 ima konstantnu pozitivnu zakrivljenost od 1 (mjereno u radijanima).

Sada zaboravimo na tangentne vektore i pričvrstimo svakoj točki krivulje, naprotiv, vektor okomit na nju, jednake duljine zakrivljenosti u danoj točki i usmjeren prema unutra ako je zakrivljenost pozitivna, i prema van ako je negativna , a zatim ćemo prisiliti svaku točku da se kreće u smjeru odgovarajućeg vektora brzinom proporcionalnom njezinoj duljini. Evo primjera:

Ispada da se svaka zatvorena krivulja na ravnini ponaša na sličan način tijekom takve evolucije, tj. da se na kraju pretvori u kružnicu. Ovo je dokaz jednodimenzionalne analogije Poincareove pretpostavke pomoću Riccijevog toka (međutim, sama tvrdnja u ovom slučaju je već očita, samo metoda dokaza ilustrira što se događa u dimenziji 3).

Zaključno, napominjemo da Perelmanov argument dokazuje ne samo Poincaréovu pretpostavku, već i mnogo općenitiju Thurstonovu geometrijsku pretpostavku, koja u određenom smislu opisuje strukturu svih kompaktnih 3-mnogoznačnika općenito. Ali ova tema je izvan okvira ovog elementarnog članka.

U nedostatku prostora neću govoriti o neorijentirajućim mnogostrukostima, primjer za to je poznata Kleinova boca - ploha koja se ne može uklopiti u prostor bez samosjecišta.

Matematičar Perelman je vrlo poznata osoba, unatoč činjenici da vodi samotnjački život i izbjegava tisak na sve moguće načine. Njegov dokaz Poincareove pretpostavke stavio ga je u rang s najvećim znanstvenicima u svjetskoj povijesti. Matematičar Perelman odbio je mnoge nagrade koje je dodijelila znanstvena zajednica. Ovaj čovjek živi vrlo skromno i potpuno je predan znanosti. Naravno, vrijedi govoriti o njemu i njegovom otkriću u detalje.

Otac Grigorij Perelman

Dana 13. lipnja 1966. godine rođen je Grigorij Jakovlevič Perelman, matematičar. Njegova fotografija u besplatan pristup malo, ali najpoznatiji su predstavljeni u ovom članku. Rođen je u Lenjingradu - kulturni kapital naša zemlja. Otac mu je bio inženjer elektrotehnike. Nije imao nikakve veze sa znanošću, kako mnogi vjeruju.

Jakov Perelman

Uvriježeno je mišljenje da je Grigorij sin Jakova Perelmana, poznatog popularizatora znanosti. Međutim, to je pogrešno mišljenje, jer je umro u opkolili Lenjingrad u ožujku 1942. pa nije bilo šanse da bude otac.Ovaj čovjek je rođen u Bialystoku, gradu koji je prije pripadao rusko carstvo a sada je dio Poljske. Jakov Isidorovič rođen je 1882.

Yakova Perelmana, što je vrlo zanimljivo, također je privlačila matematika. Osim toga, volio je astronomiju i fiziku. Ovaj se čovjek smatra utemeljiteljem zabavne znanosti, kao i jednim od prvih koji je napisao djela u žanru znanstveno-popularne literature. Tvorac je knjige "Živa matematika". Perelman je napisao mnoge druge knjige. Osim toga, njegova bibliografija broji više od tisuću članaka. Što se tiče takve knjige kao što je "Živa matematika", Perelman u njoj predstavlja razne zagonetke vezane uz ovu znanost. Mnogi od njih osmišljeni su u obliku kratkih priča. Ova je knjiga prvenstveno namijenjena tinejdžerima.

U jednom pogledu posebno je zanimljiva još jedna knjiga čiji je autor Jakov Perelman (" Zabavna matematika"). Trilijun - znate li koji je ovo broj? To je 10 21. U SSSR-u su dugo vremena postojale dvije paralelne ljestvice - "kratka" i "duga". Prema Perelmanu, "kratka" se koristila u financijskim izračuni i svakodnevni život, i "dugo" - u znanstvenih radova posvećen fizici i astronomiji. Dakle, trilijun u "kratkom" mjerilu ne postoji. 10 21 se u njemu naziva sextillion. Ove se ljestvice općenito značajno razlikuju.

No, nećemo se na tome detaljnije zadržavati i prijeći ćemo na priču o doprinosu znanosti koji je dao Grigorij Jakovljevič, a ne Jakov Isidorovič, čija su postignuća bila manje skromna. Inače, nije njegov poznati imenjak Grguru usadio ljubav prema znanosti.

Perelmanova majka i njezin utjecaj na Grigorija Jakovljeviča

Majka budućeg znanstvenika predavala je matematiku u strukovnoj školi. Osim toga, bila je talentirana violinistica. Vjerojatno i ljubav prema matematici klasična glazba Grigorij Jakovljevič ga je usvojio od nje. Obojica su jednako privlačila Perelmana. Kad se suočio s izborom gdje upisati - na konzervatorij ili na tehničko sveučilište, dugo se nije mogao odlučiti. Tko zna tko bi Grigorij Perelman mogao postati da se odlučio za glazbeno obrazovanje.

Djetinjstvo budućeg znanstvenika

Već od mladosti Grgur je bio istaknut kompetentan govor kako pismeni tako i usmeni. Često je time zadivio učitelje u školi. Usput, prije 9. razreda Perelman je studirao u srednjoj školi, naizgled tipičnoj, kojih ima toliko na periferiji. A onda su učitelji iz Palače pionira primijetili talentiranog mladića. Vodili su ga na tečajeve za nadarenu djecu. To je pridonijelo razvoju Perelmanovih jedinstvenih talenata.

Pobjeda na Olimpijadi, završetak škole

Od tada počinje prekretnica pobjeda za Grgura. Godine 1982. primljen je na Međunarodnu matematičku olimpijadu održanu u Budimpešti. Perelman je u tome sudjelovao zajedno s timom sovjetskih školaraca. Dobio je punu ocjenu, riješivši sve probleme besprijekorno. Gregory je iste godine završio jedanaesti razred škole. Sama činjenica sudjelovanja na ovoj prestižnoj olimpijadi otvorila mu je vrata najboljih obrazovnih institucija naše zemlje. Ali Grigory Perelman ne samo da je sudjelovao u njemu, već je dobio i zlatnu medalju.

Nije iznenađujuće da je u Lenjingradu upisan bez ispita Državno sveučilište, na Strojarsko-matematičkom fakultetu. Usput, Gregory, čudno, nije dobio zlatnu medalju u školi. U tome se spriječilo ocjenjivanje iz tjelesnog. Polaganje sportskih standarda u to je vrijeme bilo obavezno za sve, uključujući i one koji su se teško mogli zamisliti na motki za skok ili na šanku. U ostalim predmetima učio je za pet.

Studiram na LSU

Sljedećih nekoliko godina budući znanstvenik nastavio je školovanje na Lenjingradskom državnom sveučilištu. Sudjelovao je, i to s velikim uspjehom, na raznim matematičkim natjecanjima. Perelman je čak uspio dobiti prestižnu Lenjinovu stipendiju. Tako je postao vlasnik 120 rubalja - puno novca u to vrijeme. Mora da mu je u to vrijeme dobro išlo.

Mora se reći da je Fakultet matematike i mehanike ovog sveučilišta, koje se danas zove St. Petersburg, bio u Sovjetske godine jedan od najboljih u Rusiji. Na njemu je 1924. diplomirao npr. V. Leontjev. Gotovo odmah po završetku studija dobio je Nobelovu nagradu za ekonomiju. Ovog znanstvenika nazivaju čak i ocem američke ekonomije. Leonid Kantorovič, jedini domaći dobitnik ove nagrade, koji ju je dobio za doprinos ovoj znanosti, bio je profesor matematike.

Nastavak školovanja, život u SAD-u

Nakon što je diplomirao na Lenjingradskom državnom sveučilištu, Grigory Perelman je upisao Matematički institut Steklov kako bi nastavio poslijediplomski studij. Ubrzo je odletio u SAD kako bi je predstavio. obrazovna ustanova. Ova se zemlja oduvijek smatrala državom neograničene slobode, osobito u Sovjetsko vrijeme među stanovnicima naše zemlje. Mnogi su sanjali da je vide, ali matematičar Perelman nije bio jedan od njih. Čini se da su iskušenja Zapada za njega prošla nezapaženo. Znanstvenik je i dalje vodio skroman način života, čak pomalo asketski. Jeo je sendviče sa sirom, koje je ispirao kefirom ili mlijekom. I naravno, matematičar Perelman je naporno radio. Konkretno, bio je učitelj. Znanstvenik se sastao sa svojim kolegama matematičarima. Amerika mu je dosadila nakon 6 godina.

Povratak u Rusiju

Grigorij se vratio u Rusiju, u svoj rodni institut. Ovdje je radio 9 godina. Mora da je u to vrijeme počeo shvaćati da je put do " čista umjetnost"laže kroz izolaciju, izolaciju od društva. Grigorij je odlučio prekinuti sve svoje odnose sa svojim kolegama. Znanstvenik se odlučio zatvoriti u svoj lenjingradski stan i započeti grandiozan posao ...

Topologija

Nije lako objasniti što je Perelman dokazao u matematici. Samo veliki zaljubljenici u ovu znanost mogu u potpunosti razumjeti značaj njegova otkrića. Pokušat ćemo jednostavnim jezikom govoriti o hipotezi koju je iznio Perelman. Grigorija Jakovljeviča privlačila je topologija. Ovo je grana matematike, koja se često naziva i geometrija na gumenom listu. Studije topologije geometrijski oblici koji opstaju kada je oblik savijen, uvrnut ili rastegnut. Drugim riječima, ako je apsolutno elastično deformiran – bez lijepljenja, rezanja i kidanja. Topologija je vrlo važna za disciplinu poput matematičke fizike. Daje ideju o svojstvima prostora. U našem slučaju govorimo o beskonačnom prostoru koji se neprestano širi, odnosno o Svemiru.

Poincareova pretpostavka

Veliki francuski fizičar, matematičar i filozof J. A. Poincaré prvi je to pretpostavio. To se dogodilo početkom 20. stoljeća. Ali treba napomenuti da je iznio pretpostavku, a nije dao dokaz. Perelman je sebi dao zadatak da dokaže ovu hipotezu, da izvede matematičko rješenje, logički provjereno, nakon cijelog stoljeća.

Kada govore o njegovoj suštini, obično počinju na sljedeći način. Uzmi gumeni disk. Treba ga povući preko lopte. Dakle, imate dvodimenzionalnu sferu. Potrebno je da se opseg diska skupi u jednoj točki. Na primjer, to možete učiniti s ruksakom tako da ga povučete i zavežete užetom. Ispada sfera. Naravno, za nas je to trodimenzionalno, ali s gledišta matematike bit će dvodimenzionalno.

Tada počinju figurativne projekcije i obrazloženja koja su nespremnoj osobi teško razumljiva. Sada treba zamisliti trodimenzionalnu sferu, odnosno loptu napetu preko nečega što ide u drugu dimenziju. Trodimenzionalna sfera, prema hipotezi, jedini je postojeći trodimenzionalni objekt koji se u jednoj točki može spojiti hipotetskom "hiperužicom". Dokaz ovog teorema pomaže nam razumjeti kakav je oblik Svemira. Osim toga, zahvaljujući njemu, može se razumno pretpostaviti da je Svemir takva trodimenzionalna sfera.

Poincaréova hipoteza i teorija velikog praska

Treba napomenuti da je ova hipoteza potvrda teorije Velikog praska. Ako je Svemir jedina "figura" čija je odlika sposobnost sažimanja u jednu točku, to znači da se može rastezati na isti način. Postavlja se pitanje: ako je kugla, što je izvan svemira? Je li čovjek, koji je nusproizvod koji pripada samo planetu Zemlji, a ne i kozmosu u cjelini, sposoban spoznati tu misteriju? Zainteresirani mogu biti pozvani na čitanje djela još jednog svjetski poznatog matematičara - Stephena Hawkinga. No, na tu temu još ne može reći ništa konkretno. Nadajmo se da će se u budućnosti pojaviti još jedan Perelman i on će uspjeti riješiti ovu zagonetku koja muči maštu mnogih. Tko zna, možda će i sam Grigorij Jakovljevič to ipak moći.

Nobelova nagrada za matematiku

Perelman nije dobio ovu prestižnu nagradu za svoje veliko postignuće. Čudno, zar ne? Zapravo, to se objašnjava vrlo jednostavno, s obzirom da takva nagrada jednostavno ne postoji. Stvorena je cijela legenda o razlozima zašto je Nobel lišio predstavnike tako važne znanosti. Nobelova nagrada za matematiku do danas nije dodijeljena. Perelman bi ga vjerojatno dobio da postoji. Postoji legenda da je razlog Nobelovog odbijanja matematičara sljedeći: nevjesta ga je ostavila predstavniku ove znanosti. Htjeli mi to ili ne, tek je s dolaskom 21. stoljeća pravda konačno prevladala. Tada se pojavila još jedna nagrada za matematičare. Razgovarajmo ukratko o njegovoj povijesti.

Kako je nastala nagrada Instituta Clay?

Na matematičkom kongresu održanom u Parizu 1900. godine predložio je popis od 23 problema koje je trebalo riješiti u novom, 20. stoljeću. Do danas ih je 21 već dopušteno. Usput, 1970. godine Yu. V. Matiyasevich, diplomant matematike i mehanike na Lenjingradskom državnom sveučilištu, dovršio je rješenje desetog od ovih problema. Početkom 21. stoljeća američki institut Clay sastavio je njemu sličan popis koji se sastoji od sedam problema iz matematike. Trebalo ih je riješiti već u 21. stoljeću. Za rješavanje svakog od njih raspisana je nagrada od milijun dolara. Još 1904. Poincaré je formulirao jedan od tih problema. Iznio je pretpostavku da su sve trodimenzionalne površine koje su homotipski ekvivalentne sferi njoj homeomorfne. razgovarajući jednostavnim rječnikom rečeno, ako je trodimenzionalna površina donekle slična kugli, tada ju je moguće spljoštiti u kuglu. Ovu tvrdnju znanstvenika ponekad nazivaju formulom svemira zbog njezine velike važnosti u razumijevanju složenih fizikalnih procesa, a i zato što odgovor na nju znači rješavanje pitanja oblika svemira. Također treba reći da ovo otkriće ima važnu ulogu u razvoju nanotehnologija.

Stoga je Clay Mathematics Institute odlučio odabrati 7 najtežih problema. Za rješenje svakog od njih obećano je milijun dolara. A sada se Grigorij Perelman pojavljuje sa svojim otkrićem. Nagrada iz matematike, naravno, ide njemu. Primjećen je vrlo brzo, budući da od 2002. objavljuje svoje radove na stranim internetskim izvorima.

Kako je Perelman dobio nagradu Clay

Dakle, u ožujku 2010. Perelman je dobio zasluženu nagradu. Nagrada iz matematike značila je primanje impresivnog bogatstva, čija je veličina bila milijun dolara. Za dokaz ju je trebao dobiti Grigorij Jakovljevič, no znanstvenik je u lipnju 2010. ignorirao matematičku konferenciju održanu u Parizu na kojoj je trebala biti dodijeljena ova nagrada. A 1. srpnja 2010. Perelman je javno objavio svoje odbijanje. Štoviše, novac koji mu je dodijeljen nikada nije uzeo, unatoč svim zahtjevima.

Zašto je matematičar Perelman odbio nagradu?

Grigory Yakovlevich je to objasnio činjenicom da mu savjest nije dopustila da primi milijun, što je bilo zbog nekoliko drugih matematičara. Znanstvenik je primijetio da je imao mnogo razloga i da uzme novac i da ga ne uzme. Dugo mu je trebalo da se odluči. Grigorij Perelman, matematičar, kao glavni razlog odbijanja nagrade naveo je neslaganje sa znanstvenom zajednicom. Napomenuo je kako svoje odluke smatra nepravednima. Grigorij Jakovljevič je izjavio kako vjeruje da doprinos Hamiltona, njemačkog matematičara, rješenju ovog problema nije ništa manji od njegovog.

Usput, nešto kasnije pojavila se čak i anegdota na ovu temu: matematičari moraju češće izdvajati milijune, možda će ih netko ipak odlučiti uzeti. Godinu dana nakon Perelmanova odbijanja, Demetrios Christodoul i Richard Hamilton dobili su nagradu Shaw. Iznos ove nagrade iz matematike je milijun dolara. Ova nagrada se ponekad također naziva Nobelova nagrada Istočno. Hamilton ga je dobio za stvaranje matematičke teorije. Nju je zatim razvio ruski matematičar Perelman u svojim radovima posvećenim dokazu Poincaréove pretpostavke. Richard je primio nagradu.

Ostale nagrade odbio je Grigorij Perelman

Inače, 1996. godine Grigorij Jakovlevič dobio je prestižnu nagradu za mlade matematičare Europskog matematičkog društva. Međutim, on ga je odbio primiti.

Deset godina kasnije, 2006., znanstveniku je dodijeljena Fieldsova medalja za rješavanje Poincareove pretpostavke. Grigorij Jakovljevič ju je također odbio.

Časopis Science 2006. je dokaz hipoteze koju je postavio Poincaré nazvao znanstvenim otkrićem godine. Treba napomenuti da je ovo prvi rad iz područja matematike koji je stekao takav naslov.

David Gruber i Sylvia Nazar objavili su 2006. članak pod nazivom Manifold Destiny. Govori o Perelmanu, o njegovom rješenju Poincaréovog problema. Osim toga, članak govori o matematičkoj zajednici i etičkim principima koji postoje u znanosti. Također sadrži rijedak intervju s Perelmanom. Mnogo se govori io kritici Yau Xingtanga, kineskog matematičara. Zajedno sa svojim studentima pokušao je osporiti cjelovitost dokaza koje je iznio Grigorij Jakovljevič. U intervjuu, Perelman je primijetio: "Oni koji krše etičke standarde u znanosti ne smatraju se autsajderima. Ljudi poput mene su izolirani."

U rujnu 2011. odbio je i članstvo u Ruska akademija matematičar Perelman. Njegov životopis predstavljen je u knjizi objavljenoj iste godine. Iz nje možete doznati više o sudbini ovog matematičara, iako se prikupljene informacije temelje na svjedočenjima trećih osoba. Njegov autor - Knjiga je sastavljena na temelju intervjua s kolegama iz razreda, učiteljima, kolegama i kolegama Perelmana. Sergej Rukšin, učitelj Grigorija Jakovljeviča, kritički je govorio o njoj.

Grigorij Perelman danas

I danas vodi samotnjački život. Matematičar Perelman ignorira tisak na sve moguće načine. Gdje on živi? Donedavno je Grigorij Jakovljevič živio sa svojom majkom u Kupčinu. A od 2014. u Švedskoj je i slavni ruski matematičar Grigorij Perelman.

Fotografija N. Chetverikova Posljednje veliko postignuće čiste matematike je dokaz Poincaréove pretpostavke, izražene 1904. godine, koja kaže: “svaka povezana, jednostavno povezana, kompaktna trodimenzionalna mnogoznačnik bez granica, homeomorfna je sferi S 3 ” prema Grigorija Perelmana iz Sankt Peterburga 2002.-2003.

U ovoj sintagmi postoji nekoliko pojmova koje ću pokušati objasniti na način da njihovo opće značenje postane jasno i nematematičarima (pretpostavljam da je čitatelj završio srednju školu i još se sjeća nečega iz školske matematike).

Počnimo s konceptom homeomorfizma, koji je središnji u topologiji. Općenito, topologija se često definira kao "gumena geometrija", tj. kao znanost o svojstvima geometrijskih slika koje se ne mijenjaju tijekom glatkih deformacija bez razmaka i lijepljenja, odnosno ako je moguće uspostaviti jedan-prema- korespondencija jedan i jedan na jedan između dva objekta .

Glavnu ideju najlakše je objasniti na klasičnom primjeru šalice i peciva. Prvi se može pretvoriti u drugi kontinuiranom deformacijom: Ove slike jasno pokazuju da je šalica homeomorfna krafni, a ta činjenica vrijedi i za njihove površine (dvodimenzionalne mnogostrukosti, zvane torus) i za ispunjena tijela ( trodimenzionalne mnogostrukosti s granicom).

Dat ćemo tumačenje ostalih pojmova koji se pojavljuju u formulaciji hipoteze.

1. Trodimenzionalni razvodnik bez granice. Ovo je takav geometrijski objekt u kojem svaka točka ima susjedstvo u obliku trodimenzionalne lopte. Primjeri 3-mnogostrukosti su, prvo, cijeli trodimenzionalni prostor, označen s R 3 , kao i bilo koji otvoreni skup točaka u R 3 , na primjer, unutrašnjost čvrstog torusa (krafna). Ako promatramo zatvoreni čvrsti torus, tj. dodamo njegove rubne točke (površinu torusa), tada već dobivamo mnogostrukost s granicom - granične točke nemaju susjedstvo u obliku lopte, već samo u obliku od polovine lopte.

2. Povezan. Koncept povezanosti je ovdje najjednostavniji. Razdjelnik je povezan ako se sastoji od jednog dijela, ili, što je isto, bilo koje dvije njegove točke mogu se spojiti neprekinutom linijom koja ne izlazi izvan njegovih granica.

3. Jednostavno spojen. Pojam jednostruke povezanosti je složeniji. To znači da se svaka kontinuirana zatvorena krivulja koja se nalazi u cijelosti unutar danog razvodnika može glatko skupiti u točku bez napuštanja ovog razvodnika. Na primjer, obična dvodimenzionalna kugla u R 3 je jednostavno spojena (elastična traka, proizvoljno pričvršćena na površinu jabuke, može se skupiti glatkom deformacijom u jednu točku bez kidanja elastične trake s jabuke). S druge strane, krug i torus nisu jednostavno povezani.

4. Kompaktan. Mnogoznačnik je kompaktan ako bilo koja od njegovih homeomorfnih slika ima ograničene dimenzije. Na primjer, otvoreni interval na pravcu (sve točke segmenta osim njegovih krajeva) nije kompaktan, jer se može kontinuirano produžiti do beskonačnog pravca. Ali zatvoreni segment (s krajevima) je kompaktna mnogostrukost s granicom: za bilo koju kontinuiranu deformaciju, krajevi idu u neke određene točke, a cijeli segment mora ići u ograničenu krivulju koja povezuje te točke.

Dimenzija mnogostrukost je broj stupnjeva slobode u točki koja na njoj "živi". Svaka točka ima susjedstvo u obliku diska odgovarajuće dimenzije, tj. interval pravca u jednodimenzionalnom slučaju, kružnicu na ravnini u dvodimenzionalnom slučaju, loptu u trodimenzionalnom slučaju. , itd. Sa stajališta topologije, postoje samo dvije jednodimenzionalne povezane mnogostrukosti bez granica: to su linija i kružnica. Od njih je samo krug kompaktan.

Primjer prostora koji nije mnogoznačnik je npr. par linija koje se sijeku - uostalom, u točki sjecišta dviju linija bilo koje susjedstvo ima oblik križa, nema susjedstvo koje bi sama biti samo interval (i sve druge točke imaju takve susjedstva). Matematičari u takvim slučajevima kažu da imamo posla sa singularnom mnogoznačnikom, koji ima jednu singularnu točku.

Dvodimenzionalne kompaktne mnogostrukosti su dobro poznate. Ako uzmemo u obzir samo usmjeren 1 mnogostrukosti bez granica, tada s topološkog gledišta tvore jednostavan, iako beskonačan popis: i tako dalje. Svaki takav razdjelnik dobiva se iz kugle lijepljenjem nekoliko ručica, čiji se broj naziva rod plohe.

1 U nedostatku prostora neću govoriti o neorijentirajućim mnogostrukostima, primjer za to je poznata Kleinova boca - ploha koja se ne može uklopiti u prostor bez samosjecišta.

Na slici su prikazane plohe roda 0, 1, 2 i 3. Po čemu se kugla izdvaja od svih ploha na ovom popisu? Ispada da je to jednostavno povezano: na sferi se svaka zatvorena krivulja može stegnuti u točku, a na bilo kojoj drugoj površini uvijek je moguće naznačiti krivulju koja se ne može stegnuti u točku duž plohe.

Zanimljivo je da se trodimenzionalne kompaktne mnogostrukosti bez granica također mogu klasificirati u određenom smislu, tj. poredati u određeni popis, iako ne tako jednostavno kao u dvodimenzionalnom slučaju, ali imaju prilično složenu strukturu. Međutim, 3D sfera S 3 ističe se na ovom popisu na isti način kao i 2D sfera na gornjem popisu. Činjenicu da se bilo koja krivulja na S 3 skuplja do točke jednako je lako dokazati kao iu dvodimenzionalnom slučaju. Ali obratna tvrdnja, naime, da je to svojstvo jedinstveno upravo za sferu, tj. da postoje nekontraktibilne krivulje na bilo kojoj drugoj trodimenzionalnoj mnogoznačniku, vrlo je teška i upravo čini sadržaj Poincareove pretpostavke o kojoj govorimo .

Važno je razumjeti da mnogostrukost može živjeti sama za sebe, može se smatrati neovisnim objektom, koji nije nigdje ugniježđen. (Zamislite živa dvodimenzionalna bića na površini obične sfere, nesvjesna postojanja treće dimenzije.) Srećom, sve dvodimenzionalne površine s gornjeg popisa mogu se ugraditi u uobičajeni R 3 prostor, što čini lakše ih je vizualizirati. Za 3-sferu S 3 (i općenito za bilo koju kompaktnu 3-mnogostrukost bez granice) to više nije slučaj, pa je potrebno malo truda da se razumije njena struktura.

Čini se da je najjednostavniji način objašnjenja topološke strukture trodimenzionalne sfere S 3 uz pomoć kompaktifikacije jedne točke. Naime, trodimenzionalna sfera S 3 je kompaktifikacija u jednoj točki uobičajenog trodimenzionalnog (neomeđenog) prostora R 3 .

Objasnimo ovu konstrukciju prvo na jednostavnim primjerima. Uzmimo običnu beskonačnu ravnu liniju (jednodimenzionalni analog prostora) i dodamo joj jednu "beskonačno udaljenu" točku, pod pretpostavkom da kada se krećemo po ravnoj liniji udesno ili ulijevo, na kraju dođemo do ove točke. S topološkog gledišta, nema razlike između beskonačne linije i ograničenog otvorenog segmenta (bez krajnjih točaka). Takav se segment može kontinuirano savijati u obliku luka, približiti krajeve i zalijepiti točku koja nedostaje u spoj. Dobivamo, očito, krug - jednodimenzionalni analog sfere.

Slično, ako uzmem beskonačnu ravninu i dodam jednu točku u beskonačnosti, kojoj teže sve linije izvorne ravnine, koje prolaze u bilo kojem smjeru, tada ćemo dobiti dvodimenzionalnu (običnu) sferu S 2 . Ovaj se postupak može promatrati pomoću stereografske projekcije, koja svakoj točki P sfere, s izuzetkom sjevernog pola od N, dodjeljuje određenu točku ravnine P":

Dakle, sfera bez jedne točke topološki je ista kao i ravnina, a dodavanje točke pretvara ravninu u sferu.

U principu, potpuno ista konstrukcija primjenjiva je na trodimenzionalnu kuglu i trodimenzionalni prostor, samo je za njezinu implementaciju potrebno ući u četvrtu dimenziju, a to nije tako lako prikazati na crtežu. Stoga se ograničavam na verbalni opis kompaktifikacije prostora R 3 u jednoj točki.

Zamislimo da je našem fizičkom prostoru (koji mi, slijedeći Newtona, smatramo neograničenim euklidskim prostorom s tri koordinate x, y, z) dodana jedna točka “u beskonačnosti” na način da kada se krećemo po ravnoj liniji u bilo kojem smjer, ti padaš (tj. svaka prostorna linija zatvara se u krug). Tada dobivamo kompaktnu trodimenzionalnu mnogostrukost, koja je po definiciji sfera S 3 .

Lako je vidjeti da je sfera S 3 jednospojna. Doista, bilo koja zatvorena krivulja na ovoj kugli može se malo pomaknuti tako da ne prolazi kroz dodanu točku. Tada dobivamo krivulju u uobičajenom prostoru R 3 , koja se lako kontrahira u točku putem homotetije, tj. kontinuirane kontrakcije u sva tri smjera.

Da bismo razumjeli strukturu mnogostrukosti S3, vrlo je poučno razmotriti njezinu podjelu na dva puna torusa. Ako se iz prostora R 3 izostavi čvrsti torus, ostaje nešto nejasno. A ako se prostor zbije u sferu, tada se i ovaj komplement pretvara u čvrsti torus. Odnosno, sfera S 3 je podijeljena na dva puna torusa koji imaju zajedničku granicu - torus.

Evo kako se to može razumjeti. Ugradimo torus u R 3 kao i obično, u obliku okrugle krafne, i nacrtajmo okomitu liniju - os rotacije ove krafne. Nacrtajte proizvoljnu ravninu kroz os, ona će presijecati naš čvrsti torus duž dva kruga prikazana zelenom bojom na slici, a dodatni dio ravnine podijeljen je u kontinuiranu obitelj crvenih krugova. Među njima je i središnja os, podebljana, jer se u sferi S 3 crta zatvara u krug. Iz ove dvodimenzionalne rotacijom oko osi dobiva se trodimenzionalna slika. Kompletan skup rotiranih krugova tada će ispuniti trodimenzionalno tijelo, homeomorfno čvrstom torusu, samo što će izgledati neobično.

Zapravo, središnja os će biti aksijalni krug u njemu, a ostatak će igrati ulogu paralela - krugova koji čine uobičajeni čvrsti torus.

Kako bih imao s čime usporediti 3-sferu, navest ću još jedan primjer kompaktne 3-mnogostrukosti, naime trodimenzionalni torus. Trodimenzionalni torus može se konstruirati na sljedeći način. Uzmimo običnu trodimenzionalnu kocku kao izvorni materijal:

Ima tri para lica: lijevo i desno, gornje i donje, prednje i stražnje. U svakom paru paralelnih ploha identificiramo u paru točke dobivene jedna od druge prenošenjem po rubu kocke. To jest, pretpostavit ćemo (čisto apstraktno, bez primjene fizičkih deformacija) da su, na primjer, A i A "ista točka, a B i B" također jedna točka, ali različita od točke A. Sve unutarnje točke kocku razmotrit ćemo kao i obično. Sama kocka je razdjelnik s rubom, no nakon obavljenog lijepljenja rub se zatvara u sebe i nestaje. Doista, susjedstvo točaka A i A" u kocki (leže na lijevoj i desnoj osjenčanoj plohi) su polovice kuglica, koje se nakon lijepljenja ploha spajaju u cijelu kuglu, koja služi kao susjedstvo odgovarajuće točke trodimenzionalnog torusa.

Da biste osjetili strukturu 3-torusa na temelju uobičajenih ideja o fizičkom prostoru, morate odabrati tri međusobno okomita smjera: naprijed, lijevo i gore - i mentalno razmotriti, kao u pričama znanstvene fantastike, da kada se krećete u bilo kojem od ovih pravaca, prilično dugo, ali konačno vrijeme, vratit ćemo se na početnu točku, ali iz suprotnog smjera. Ovo je također "kompaktifikacija prostora", ali ne jednotočka, korištena ranije za konstrukciju sfere, ali složenije.

Postoje nekontraktibilne staze na 3-torusu; na primjer, ovo je segment AA" na slici (na torusu prikazuje zatvorenu stazu). Ne može se skupiti, jer za bilo kakvu kontinuiranu deformaciju, točke A i A" moraju se kretati duž svojih lica, ostajući strogo jedna nasuprot drugo (inače će se krivulja otvoriti).

Dakle, vidimo da postoje jednostavno povezane i nejednostavno povezane kompaktne 3-mnogostrukosti. Perelman je dokazao da je jednostavno povezani mnogoznačnik točno jedan.

Početna ideja dokaza je korištenje takozvanog "Riccijevog toka": uzmemo jednostavno povezanu kompaktnu 3-mnogostrukost, opremimo ga proizvoljnom geometrijom (tj. uvedemo neku metriku s udaljenostima i kutovima), a zatim razmotrite njegovu evoluciju duž toka Ricci. Richard Hamilton, koji je predložio ovu ideju 1981., nadao se da će se ovom evolucijom naša mnogostrukost pretvoriti u kuglu. Ispostavilo se da to nije točno - u trodimenzionalnom slučaju, Riccijev tok je sposoban pokvariti mnogostrukost, tj. učiniti je malom mnogostrukošću (nešto s singularnim točkama, kao u gornjem primjeru linija koje se sijeku). Perelman je, prevladavajući nevjerojatne tehničke poteškoće, koristeći tešku aparaturu parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, uspio izmijeniti Riccijev tok u blizini singularnih točaka na takav način da se tijekom evolucije topologija mnogostrukosti ne mijenja, nema singularnih točaka, au kraju se pretvara u okruglu kuglu. Ali konačno moramo objasniti što je ovaj tok Riccija. Tokovi koje su koristili Hamilton i Perelman odnose se na promjenu intrinzične metrike na apstraktnoj mnogostrukosti, a to je prilično teško objasniti, pa ću se ograničiti na opisivanje "vanjskog" Riccijevog toka na jednodimenzionalnim mnogostrukostima ugrađenim u ravninu. .

Zamislite glatku zatvorenu krivulju na euklidskoj ravnini, odaberite smjer na njoj i razmotrite u svakoj točki tangentni vektor jedinične duljine. Tada će se pri obilasku krivulje u odabranom smjeru ovaj vektor okretati nekom kutnom brzinom, što se naziva zakrivljenost. Gdje je krivulja strmija, zakrivljenost (u apsolutnoj vrijednosti) će biti veća, a gdje je glatkija, zakrivljenost će biti manja.

Zakrivljenost ćemo smatrati pozitivnom ako se vektor brzine okreće prema unutarnjem dijelu ravnine koju naša krivulja dijeli na dva dijela, a negativnom ako je okrenut prema van. Ova konvencija ne ovisi o smjeru u kojem se krivulja prelazi. U točkama infleksije gdje rotacija mijenja smjer, zakrivljenost će biti 0. Na primjer, krug polumjera 1 ima konstantnu pozitivnu zakrivljenost od 1 (mjereno u radijanima).

Sada zaboravimo na tangentne vektore i pričvrstimo svakoj točki krivulje, naprotiv, vektor okomit na nju, jednake duljine zakrivljenosti u danoj točki i usmjeren prema unutra ako je zakrivljenost pozitivna, i prema van ako je negativna , a zatim ćemo prisiliti svaku točku da se kreće u smjeru odgovarajućeg vektora brzinom proporcionalnom njezinoj duljini. Evo primjera:

Ispada da se svaka zatvorena krivulja u ravnini tijekom takve evolucije ponaša na sličan način, tj. da se na kraju pretvori u kružnicu. Ovo je dokaz jednodimenzionalne analogije Poincareove pretpostavke pomoću Riccijevog toka (međutim, sama tvrdnja u ovom slučaju je već očita, samo metoda dokaza ilustrira što se događa u dimenziji 3).

Zaključno, napominjemo da Perelmanov argument dokazuje ne samo Poincaréovu pretpostavku, već i mnogo općenitiju Thurstonovu geometrijsku pretpostavku, koja u određenom smislu opisuje strukturu svih kompaktnih 3-mnogoznačnika općenito. Ali ova tema je izvan okvira ovog elementarnog članka.

Sergej Dužin,
Doktor fizike i matematike znanosti,
stariji Istraživač
Petrogradska podružnica
Matematički institut Ruske akademije znanosti

Poincaréov teorem je matematička formula "Svemira". Grigorij Perelman. 1. dio (iz serije "Pravi čovjek u znanosti")

Henri Poincare (1854.-1912.), jedan od najvećih matematičara, 1904. godine formulirao je poznatu ideju o deformiranoj trodimenzionalnoj sferi i, u obliku male rubne bilješke stavljene na kraj članka od 65 stranica o posve drugo pitanje, naškrabao nekoliko redaka prilično čudne pretpostavke uz riječi: "Pa, ovo pitanje nas može odvesti predaleko" ...

Marcus Du Sotoy sa Sveučilišta u Oxfordu vjeruje da je Poincaréov teorem "ovaj središnji problem matematike i fizike, pokušavajući razumjeti koji oblik Može biti Svemir Jako joj je teško približiti se."

Jednom tjedno, Grigory Perelman je putovao u Princeton kako bi sudjelovao na seminaru na Institutu za napredne studije. Na seminaru je jedan od matematičara Sveučilište Harvard odgovara na Perelmanovo pitanje: “Teorija Williama Thurstona (1946.-2012., matematičar, radi u području “Trodimenzionalne geometrije i topologije”), nazvana hipoteza geometrizacije, opisuje sve moguće trodimenzionalne površine i korak je naprijed u usporedbi s na Poincaréovu hipotezu. Ako dokažete pretpostavku Williama Thurstona, onda će vam Poincareova pretpostavka otvoriti sva svoja vrata i više njegovo će rješenje promijeniti cijeli topološki krajolik moderne znanosti».

Šest vodećih američkih sveučilišta u ožujku 2003. pozvalo je Perelmana da pročita niz predavanja u kojima objašnjava svoj rad. U travnju 2003. Perelman ide na znanstveno putovanje. Njegova predavanja postaju izuzetan znanstveni događaj. John Ball (predsjedavajući Međunarodne matematičke unije), Andrew Wiles (matematičar, radi na području aritmetike eliptičkih krivulja, dokazao Fermatov teorem 1994.), John Nash (matematičar koji radi na području teorije igara i diferencijalne geometrije) dolaze na Princeton da ga posluša.

Grigorij Perelman uspio je riješiti jedan od sedam zadataka tisućljeća I opisati matematički takozvani formula svemira, dokazati Poincaréovu pretpostavku. Oko ove hipoteze najbistriji umovi borili su se više od 100 godina, a za čiji je dokaz svjetska matematička zajednica (Clay Mathematical Institute) obećala milijun dolara.Predstavljena je 8. lipnja 2010. Grigorij Perelman se na njoj nije pojavio , a svjetskoj matematičkoj zajednici "oklele su čeljusti".

Godine 2006., za rješavanje Poincaréove pretpostavke, matematičar je nagrađen najvišom matematičkom nagradom - Fieldsovom nagradom (Fieldsova medalja). John Ball je osobno posjetio Sankt Peterburg kako bi ga nagovorio da primi nagradu. On je to odbio prihvatiti riječima: "Društvo teško može ozbiljno ocijeniti moj rad."

“Fieldsova nagrada (i medalja) dodjeljuje se svake 4 godine na svakom međunarodnom matematičkom kongresu mladim znanstvenicima (mlađima od 40 godina) koji su dali značajan doprinos razvoju matematike. Osim medalje, nagrađeni dobivaju 15.000 kanadskih dolara (13.000 dolara).

U svojoj izvornoj formulaciji, Poincaréova pretpostavka glasi kako slijedi: "Svaka jednostavno povezana kompaktna trodimenzionalna mnogoznačnik bez granice je homeomorfna trodimenzionalnoj sferi." Prevedeno na uobičajen jezik, to znači da se bilo koji trodimenzionalni objekt, primjerice čaša, samo deformacijom može pretvoriti u kuglu, odnosno neće ga trebati rezati ili lijepiti. Drugim riječima, Poincaré je to predložio prostor nije trodimenzionalan, već sadrži puno veći broj dimenzija, i Perelman 100 godina kasnije dokazao matematički.

Izraz Grigorija Perelmana Poincaréovog teorema o transformaciji materije u drugo stanje, oblik sličan je znanju iznesenom u knjizi Anastazije Novykh "Sensei IV": igle". Kao i sposobnost kontroliranja materijalnog Svemira kroz transformacije koje je uveo Observer iz kontroliranja dimenzija iznad šeste (od 7 do uključivo 72) (izvješće "PRIMARNA ALLATRA FIZIKA" tema "Ezoosmička mreža").

Grigorija Perelmana odlikovala je strogost života, strogost etičkih zahtjeva za sebe i za druge. Gledajući ga, čovjek ima osjećaj da je samo on tjelesno boravi zajedničko sa svim ostalim suvremenicima prostor, A Duhovno u nekom drugom, gdje čak za 1 milijun dolara ne idite najneviniji kompromise sa savješću. A kakav je ovo prostor i da li ga je uopće moguće pogledati krajičkom oka?..

Iznimna važnost hipoteze koju je prije otprilike jednog stoljeća iznio matematičar Poincaré tiče se trodimenzionalnih struktura i ključni element suvremena istraživanja temelji svemira. Ova zagonetka, prema mišljenju stručnjaka s Instituta Clay, jedna je od sedam temeljno važnih za razvoj matematike budućnosti.

Perelman, odbijajući medalje i nagrade, pita: “Zašto mi trebaju? Apsolutno su mi beskorisni. Svatko razumije da ako je dokaz točan, onda nije potrebno drugo priznanje. Dok nisam razvio sumnju, imao sam izbor ili glasno govoriti o raspadu matematičke zajednice u cjelini, zbog niske moralne razine, ili ne reći ništa i dopustiti da me se tretira kao stoku. Sada, kada sam postao više nego sumnjičav, ne mogu ostati stoka i dalje šutjeti, pa mogu samo otići.

Da biste se bavili modernom matematikom, morate imati potpuno čist um, bez imalo primjesa koje ga dezintegriraju, dezorijentiraju, zamjenjuju vrijednosti, a prihvatiti ovu nagradu znači pokazati slabost. Idealan znanstvenik se bavi samo znanošću, ne mari ni za što drugo (moć i kapital), mora imati čist um, a za Perelmana nema veće važnosti od življenja u skladu s tim idealom. Je li cijela ova ideja s milijunima korisna za matematiku i treba li pravom znanstveniku takav poticaj? I nije uvredljiva ta želja kapitala da kupi i podjarmi sve na ovom svijetu? Ili možete prodati njegovu čistoću za milijun? Novac je, koliko god ga bilo, ekvivalentan istina Duše? Uostalom, radi se o apriornoj procjeni problema s kojima novac jednostavno ne bi trebao imati veze, zar ne?! Napraviti od svega ovoga nešto poput loto-milijuna, ili tote, znači prepustiti se raspadu znanstvenog, i doista ljudske zajednice u cjelini(Vidi izvješće "PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS" iu knjizi "AllatRa" zadnjih 50 stranica o načinu izgradnje kreativnog društva). I unovčiti(energija), koju su gospodarstvenici spremni donirati znanosti, ako je potrebno iskoristiti, onda je ispravno, ili tako nešto, bez ponižavanja Duh istinskog služenja, kako god se reklo, neprocjenjiv novčani ekvivalent: “ Što je milijun, u usporedbi, s čistoćom, ili Veličanstvom te sfere (o dimenzijama globalnog svemira i o duhovni svijet vidjeti knjigu"AllatRa" i izvješće"PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS"), u kojem nesposoban prodrijetičak i ljudski mašta (um)?! Što je milijun zvjezdano nebo za vrijeme?

Dat ćemo tumačenje preostalih pojmova koji se pojavljuju u formulaciji hipoteze:

Topologija - (od grč. topos - mjesto i logos - učenje) - grana matematike koja proučava topološka svojstva likova, tj. svojstva koja se ne mijenjaju pod nikakvim deformacijama proizvedenim bez diskontinuiteta i lijepljenja (točnije, pod jedan na jedan i kontinuiranim preslikavanjima). Primjeri topoloških svojstava figura su dimenzija, broj krivulja koje omeđuju određeno područje i tako dalje. Dakle, krug, elipsa, kvadratna kontura imaju ista topološka svojstva, jer te se linije mogu deformirati jedna u drugu na gore opisani način; pritom prsten i krug imaju različita topološka svojstva: krug je omeđen jednom konturom, a prsten dvjema.

Homeomorfizam (grč. ομοιο - sličan, μορφη - oblik) je korespondencija jedan na jedan između dva topološka prostora, pri čemu su oba međusobno inverzna preslikavanja definirana ovom korespondencijom kontinuirana. Ta se preslikavanja nazivaju homeomorfna ili topološka preslikavanja, kao i homeomorfizmi, a prostori za koje se kaže da pripadaju istom topološkom tipu nazivaju se homeomorfni ili topološki ekvivalentni.

Trodimenzionalni mnogoznačnik bez granica. Ovo je takav geometrijski objekt u kojem svaka točka ima susjedstvo u obliku trodimenzionalne lopte. Primjeri 3-mnogostrukosti su, prvo, cijeli trodimenzionalni prostor, označen s R3, kao i bilo koji otvoreni skup točaka u R3, na primjer, unutrašnjost čvrstog torusa (krafne). Ako uzmemo u obzir zatvoreni čvrsti torus, tj. Dodamo li njezine rubne točke (plohu torusa), tada ćemo dobiti mnogoznačnik s granicom - granične točke nemaju susjedstvo u obliku lopte, već samo u obliku polovice lopte.

Puni torus (puni torus) - geometrijsko tijelo, homeomorfan proizvodu dvodimenzionalnog diska i kruga D2 * S1. Neformalno, čvrsti torus je krafna, dok je torus samo njegova površina (šuplja komora kotača).

Jednostavno povezano. To znači da se svaka kontinuirana zatvorena krivulja koja se nalazi u cijelosti unutar danog razvodnika može glatko skupiti u točku bez napuštanja ovog razvodnika. Na primjer, obična dvodimenzionalna kugla u R3 je jednostavno povezana (elastična traka, proizvoljno nanesena na površinu jabuke, može se stegnuti u jednu točku glatkom deformacijom bez skidanja elastične trake s jabuke). S druge strane, krug i torus nisu jednostavno povezani.

Kompaktan. Mnogoznačnik je kompaktan ako bilo koja od njegovih homeomorfnih slika ima ograničene dimenzije. Na primjer, otvoreni interval na pravcu (sve točke segmenta osim njegovih krajeva) nije kompaktan, jer se može kontinuirano produžiti do beskonačnog pravca. Ali zatvoreni segment (s krajevima) je kompaktna mnogostrukost s granicom: za bilo koju kontinuiranu deformaciju, krajevi idu u neke određene točke, a cijeli segment mora ići u ograničenu krivulju koja povezuje te točke.

Nastavit će se...

Ilnaz Bašarov

Književnost:

– Izvješće "PRIMARY ALLATRA PHYSICS" međunarodne skupine znanstvenika ALLATRA International Public Movement, ur. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Nove. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Nove. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013., 632 str. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, doktor fizike i matematike Sci., viši znanstveni suradnik, Ogranak Matematičkog instituta Ruske akademije znanosti u Sankt Peterburgu