rumah › Mesin › Apa yang perlu Anda ketahui tentang Segitiga Penrose? Segitiga Penrose. Membuat Segitiga Mustahil Cara Membuat Ilusi Segitiga Mustahil

Apa yang perlu Anda ketahui tentang Segitiga Penrose? Segitiga Penrose. Membuat Segitiga Mustahil Cara Membuat Ilusi Segitiga Mustahil

Salam para pembaca yang budiman situs blog. Rustam Zakirov menghubungi dan saya punya artikel lain untuk Anda, yang topiknya adalah cara menggambar segitiga Penrose. Hari ini saya ingin menunjukkan kepada Anda betapa mudahnya menggambar segitiga mustahil. Kami akan menggambar dua gambar segitiga ini, satu gambar biasa, dan yang kedua gambar 3D nyata. Dan semua ini akan sangat sederhana. Anda bisa mendapatkan gambar 3D nyata dari segitiga ini. Saya ragu ini akan diperlihatkan kepada Anda di tempat lain, jadi bacalah artikel sampai akhir dan dengan sangat hati-hati.

Untuk gambar kami, seperti biasa, kami membutuhkan: selembar kertas pensil sederhana(sebaiknya satu "sedang", "lembut lainnya") dan beberapa pensil warna atau spidol.

Betapa mudahnya menggambar gambar 3D apa pun.

Saya menarik segitiga mustahil ini dari gambar biasa ini, yang baru saja saya temukan di Internet. Ini dia.

Dan kemudian dalam beberapa menit dengan bantuan saya menerjemahkannya ke dalam 3D . Jadi, Anda dapat menerjemahkan hampir semua gambar menjadi 3D. Bagi yang ingin mempelajarinya, klik di sini.

Dan kami beralih ke gambar kami.

Kami menggambar gambar segitiga yang biasa.

LANGKAH 1. Kami menerjemahkan dari layar monitor.

Untuk menggambar segitiga, Anda perlu melakukan hal berikut. Anda mengambil selembar kertas dan menyandarkannya pada segitiga di layar monitor dan menerjemahkannya.

Dan karena segitiga kita sama sekali tidak rumit, cukup dengan meletakkan hanya titik utama di semua sudutnya.

Dan kemudian kita melihat aslinya dan menghubungkan titik-titik ini dengan penggaris. Saya mendapatkannya seperti ini.

Semua segitiga kita sudah siap. Anda bisa membiarkannya seperti itu, tapi mari kita hiasi sedikit lagi. Saya melakukan ini dengan pensil warna. Setelah kita benar-benar mengecat segitiga kita, kita sekali lagi menguraikannya dengan pensil lembut sederhana.

Dalam hal ini, segitiga Penrose kita yang biasa sudah benar-benar siap, dan kita beralih ke segitiga yang sama.

Kami menggambar gambar segitiga 3D.

LANGKAH 1. Kami menerjemahkan.

Kami bertindak sesuai dengan skema yang sama dengan pola biasa. Saya memberi Anda segitiga siap pakai yang sudah diterjemahkan ke dalam format 3D. Ini dia.

Dan Anda menerjemahkannya. Kami melakukan semuanya dengan cara yang sama seperti menggambar biasa. Anda mengambil lembaran Anda, menyandarkannya ke layar monitor, lembaran itu bersinar, dan Anda cukup mentransfer gambar 3D yang sudah jadi ke lembaran Anda.

Inilah yang terjadi pada saya.

Ukuran segitiga bisa ditambah atau dikurangi. Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu mengubah skala monitor Anda. Tahan tombol Ctrl dan putar roda mouse Anda.

Kami dapat dengan aman mengatakan bahwa gambar 3D kami sudah siap. Butuh waktu sekitar 3 menit untuk melakukannya. Dalam hal ini, pada prinsipnya, kita dapat menyelesaikannya dengan aman, tetapi mari kita hiasi segitiga kita lagi.

Dmitry Rakov

Mata kita tidak bisa melihat
sifat benda-benda itu.
Jadi jangan paksa mereka
delusi mental.

Mobil Titus Lucretius

Ungkapan umum "penipuan mata" pada dasarnya salah. Mata tidak bisa menipu kita, karena mata hanyalah penghubung antara objek dan otak manusia. Penipuan optik biasanya muncul bukan karena apa yang kita lihat, tetapi karena kita secara tidak sadar bernalar dan tanpa sengaja berbuat salah: "melalui mata, dan bukan dengan mata, pikiran tahu bagaimana memandang dunia."

Salah satu tren paling spektakuler dalam aliran artistik seni optik (op-art) adalah imp-art (seni-imp, seni yang tidak mungkin), berdasarkan gambar sosok yang tidak mungkin. Objek yang tidak mungkin adalah gambar pada bidang (bidang apa pun adalah dua dimensi), yang menggambarkan struktur tiga dimensi, yang keberadaannya tidak mungkin terjadi di dunia tiga dimensi yang nyata. Bentuk klasik dan salah satu yang paling sederhana adalah segitiga mustahil.

Dalam segitiga mustahil, setiap sudut itu sendiri mungkin, tetapi sebuah paradoks muncul ketika kita mempertimbangkannya secara keseluruhan. Sisi-sisi segitiga diarahkan ke arah penonton dan menjauh darinya, sehingga bagian-bagian individualnya tidak dapat membentuk objek tiga dimensi yang nyata.

Faktanya, otak kita mengartikan gambar pada bidang sebagai model tiga dimensi. Kesadaran mengatur "kedalaman" di mana setiap titik gambar berada. Gagasan kami tentang dunia nyata bertentangan, dengan beberapa ketidakkonsistenan, dan kami harus membuat beberapa asumsi:

garis 2D lurus diartikan sebagai garis 3D lurus;
dua dimensi garis sejajar ditafsirkan sebagai garis paralel tiga dimensi;
sudut lancip dan tumpul ditafsirkan sebagai sudut siku-siku dalam perspektif;
garis eksternal dianggap sebagai batas bentuk. Batas luar ini sangat penting untuk membangun citra yang utuh.

Pikiran manusia pertama-tama menciptakan gambaran umum dari suatu objek, dan kemudian memeriksa bagian-bagian individualnya. Setiap sudut cocok dengan perspektif spasial, tetapi ketika disatukan kembali, mereka membentuk paradoks spasial. Jika Anda menutup salah satu sudut segitiga, maka ketidakmungkinan itu akan hilang.

Sejarah angka yang mustahil

Kesalahan dalam konstruksi ruang ditemui oleh seniman seribu tahun yang lalu. Tetapi orang pertama yang membangun dan menganalisis benda-benda mustahil dianggap sebagai seniman Swedia Oscar Reutersvärd, yang pada tahun 1934 melukis segitiga mustahil pertama, yang terdiri dari sembilan kubus.


		"Moskow", grafik (tinta, pensil), 50x70 cm, 2003

Terlepas dari Reutersvaerd, matematikawan dan fisikawan Inggris Roger Penrose menemukan kembali segitiga mustahil dan menerbitkan gambarnya di Jurnal Psikologi Inggris pada tahun 1958. Ilusi tersebut menggunakan "perspektif salah". Terkadang perspektif seperti itu disebut Cina, karena cara menggambar yang serupa, ketika kedalaman gambarnya "ambigu", sering ditemukan pada karya seniman Cina.

Dalam gambar "Tiga Siput", kubus kecil dan besar tidak berorientasi pada tampilan isometrik normal. Pasangan kubus yang lebih kecil dengan yang lebih besar di sisi depan dan belakang, yang berarti, mengikuti logika tiga dimensi, ia memiliki dimensi yang sama di beberapa sisi dengan yang besar. Pada awalnya, gambar tersebut tampaknya merupakan representasi nyata dari benda padat, tetapi seiring berjalannya analisis, kontradiksi logis dari objek ini terungkap.

Menggambar "Tiga siput" melanjutkan tradisi sosok mustahil kedua yang terkenal - kubus (kotak) yang mustahil.


"IQ", grafik (tinta, pensil), 50x70 cm, 2001		"Naik dan turun", M.Escher

Kombinasi objek yang berbeda juga dapat ditemukan pada angka "IQ" (intelligence quotient) yang tidak terlalu serius. Sangat menarik bahwa beberapa orang tidak melihat objek yang tidak mungkin karena kesadaran mereka tidak dapat mengidentifikasi gambar datar dengan objek tiga dimensi.

Donald E. Simanek berpendapat bahwa memahami paradoks visual adalah salah satu keunggulan dari jenis itu kreativitas dimiliki oleh ahli matematika, ilmuwan, dan seniman terbaik. Banyak karya dengan objek paradoks dapat dikaitkan dengan "permainan matematika intelektual". sains modern berbicara tentang model dunia 7 dimensi atau 26 dimensi. Dimungkinkan untuk memodelkan dunia seperti itu hanya dengan bantuan rumus matematika, seseorang tidak dapat membayangkannya. Dan di sini mereka berguna. angka yang mustahil. Dari sudut pandang filosofis, mereka berfungsi sebagai pengingat bahwa fenomena apa pun (dalam analisis sistem, sains, politik, ekonomi, dll.) Harus dipertimbangkan dalam semua hubungan yang kompleks dan tidak jelas.

Berbagai benda yang mustahil (dan mungkin) dihadirkan dalam lukisan "The Impossible Alphabet".

Sosok mustahil populer ketiga adalah tangga luar biasa yang dibuat oleh Penrose. Anda akan terus naik (berlawanan arah jarum jam) atau turun (searah jarum jam) di sepanjang itu. Model Penrose menjadi dasarnya lukisan terkenal M. Escher "Atas dan Bawah" ("Naik dan Turun").

Ada kelompok objek lain yang tidak dapat diimplementasikan. Sosok klasiknya adalah trisula yang mustahil, atau "garpu setan".

Setelah mempelajari gambar tersebut dengan cermat, Anda dapat melihat bahwa tiga gigi berangsur-angsur berubah menjadi dua pada satu dasar, yang mengarah pada konflik. Kami membandingkan jumlah gigi dari atas dan bawah dan sampai pada kesimpulan bahwa objek tersebut tidak mungkin.

Apakah ada kegunaan yang lebih besar untuk gambar yang mustahil daripada permainan pikiran? Di beberapa rumah sakit, gambar benda yang tidak mungkin digantung secara khusus, karena pemeriksaannya dapat menyita waktu pasien untuk waktu yang lama. Adalah logis untuk menggantung gambar seperti itu di box office, di polisi dan tempat lain di mana menunggu giliran terkadang memakan waktu lama. Gambar tersebut dapat bertindak sebagai semacam "kronofag", yaitu. pemboros waktu.

Segitiga mustahil adalah salah satu paradoks matematika yang menakjubkan. Pada pandangan pertama padanya, Anda tidak bisa meragukannya sedetik pun. keberadaan nyata. Namun, ini hanyalah ilusi, tipuan. Dan kemungkinan ilusi seperti itu akan dijelaskan kepada kita dengan matematika!

Penemuan Penrose

Pada tahun 1958, British Psychological Journal menerbitkan sebuah artikel oleh L. Penrose dan R. Penrose, di mana mereka mempertimbangkan tipe baru ilusi optik, yang mereka sebut "segitiga mustahil".

Segitiga yang mustahil secara visual dianggap sebagai struktur yang benar-benar ada dalam ruang tiga dimensi dan terdiri dari balok-balok persegi panjang. Tapi ini hanyalah ilusi optik. Tidak mungkin membangun model nyata dari segitiga mustahil.

Artikel Penrose berisi beberapa opsi untuk menggambarkan segitiga yang mustahil. - presentasinya yang "klasik".

Elemen apa yang membentuk segitiga mustahil?

Lebih tepatnya, dari elemen apa yang menurut kami dibangun? Desainnya didasarkan pada sudut persegi panjang, yang diperoleh dengan menghubungkan dua batang persegi panjang yang identik pada sudut siku-siku. Diperlukan tiga sudut seperti itu, dan palang, oleh karena itu, enam buah. Sudut-sudut ini harus secara visual "terhubung" satu sama lain dengan cara tertentu sehingga membentuk rantai tertutup. Yang terjadi adalah segitiga mustahil.

Tempatkan sudut pertama di bidang horizontal. Kami akan memasang sudut kedua padanya, mengarahkan salah satu ujungnya ke atas. Terakhir, kita tambahkan sudut ketiga ke sudut kedua ini sehingga ujungnya sejajar dengan bidang horizontal awal. Dalam hal ini, kedua tepi sudut pertama dan ketiga akan sejajar dan diarahkan ke arah yang berbeda.

Jika kita menganggap batang sebagai segmen dengan satuan panjang, maka ujung batang dari sudut pertama memiliki koordinat, dan, sudut kedua - , dan, ketiga - , dan. Kami mendapat struktur "bengkok" yang benar-benar ada di ruang tiga dimensi.

Dan sekarang mari kita coba untuk melihatnya secara mental poin yang berbeda ruang angkasa. Bayangkan tampilannya dari satu titik, dari titik lain, dari titik ketiga. Saat mengubah titik pengamatan, akan terlihat bahwa dua ujung "ujung" sudut kita bergerak relatif satu sama lain. Tidak sulit menemukan posisi di mana mereka akan terhubung.

Tetapi jika jarak antara tulang rusuk jauh lebih kecil daripada jarak dari sudut ke titik dari mana kita melihat struktur kita, maka kedua tulang rusuk akan memiliki ketebalan yang sama untuk kita, dan akan muncul gagasan bahwa kedua tulang rusuk ini sebenarnya adalah sebuah kelanjutan satu sama lain. Situasi ini ditunjukkan pada 4.

Ngomong-ngomong, jika kita secara bersamaan melihat pantulan struktur di cermin, kita tidak akan melihat sirkuit tertutup di sana.

Dan dari titik pengamatan yang dipilih, kita melihat dengan mata kepala sendiri keajaiban yang telah terjadi: ada rantai tertutup di tiga sudut. Hanya saja, jangan ubah titik pengamatan agar ilusi ini tidak runtuh. Sekarang Anda dapat menggambar objek yang Anda lihat atau menempatkan lensa kamera pada titik yang ditemukan dan memotret objek yang tidak mungkin.

The Penroses adalah orang pertama yang tertarik dengan fenomena ini. Mereka menggunakan kemungkinan yang muncul saat memetakan ruang tiga dimensi dan objek tiga dimensi ke bidang dua dimensi dan memperhatikan beberapa ketidakpastian desain - konstruksi terbuka dari tiga sudut dapat dianggap sebagai rantai tertutup.

Bukti ketidakmungkinan segitiga Penrose

Menganalisis ciri-ciri gambar dua dimensi dari objek tiga dimensi pada sebuah bidang, kami memahami bagaimana ciri-ciri tampilan ini mengarah pada segitiga mustahil. Mungkin seseorang akan tertarik pada bukti matematika murni.

Sangat mudah untuk membuktikan bahwa segitiga mustahil tidak ada, karena masing-masing sudutnya benar, dan jumlahnya adalah 270 derajat, bukan 180 derajat yang "ditempatkan".

Selain itu, meskipun kita menganggap segitiga mustahil yang direkatkan dari sudut kurang dari 90 derajat, maka dalam hal ini kita dapat membuktikan bahwa segitiga mustahil itu tidak ada.

Kami melihat tiga wajah datar. Mereka berpotongan berpasangan di sepanjang garis lurus. Bidang-bidang yang mengandung wajah-wajah ini adalah ortogonal berpasangan, sehingga mereka berpotongan pada satu titik.

Selain itu, garis-garis persimpangan timbal balik dari pesawat harus melewati titik ini. Oleh karena itu, garis lurus 1, 2, 3 harus berpotongan di satu titik.

Tapi ternyata tidak. Oleh karena itu, konstruksi yang disajikan tidak mungkin.

Seni "Mustahil".

Nasib gagasan ini atau itu - ilmiah, teknis, politik - bergantung pada banyak keadaan. Dan tidak terkecuali dalam bentuk ide ini akan disajikan, dalam gambar apa ide itu akan muncul di hadapan masyarakat umum. Apakah perwujudannya akan kering dan sulit untuk dilihat, atau sebaliknya, perwujudan gagasannya akan cerah, menarik perhatian kita bahkan di luar keinginan kita.

Segitiga mustahil memiliki nasib bahagia. Pada tahun 1961 pelukis Belanda Moritz Escher menyelesaikan litograf yang disebutnya The Waterfall. Seniman telah menempuh perjalanan panjang namun cepat dari gagasan segitiga mustahil hingga perwujudan artistiknya yang menakjubkan. Ingatlah bahwa artikel Penrose muncul pada tahun 1958.

Di jantung "Air Terjun" ada dua segitiga mustahil yang ditampilkan. Satu segitiga besar, segitiga lain terletak di dalamnya. Tampaknya tiga segitiga mustahil yang identik digambarkan. Tapi bukan itu intinya, desain yang disajikan cukup rumit.

Sepintas, absurditasnya tidak akan langsung terlihat oleh semua orang, karena setiap koneksi yang disajikan dimungkinkan. seperti yang mereka katakan, secara lokal, yaitu, di area kecil pada gambar, desain seperti itu dapat dilakukan ... Tetapi secara umum, tidak mungkin! Bagian-bagian individualnya tidak cocok satu sama lain, tidak setuju satu sama lain.

Dan untuk memahami ini, kita harus mengeluarkan upaya intelektual dan visual tertentu.

Mari kita melakukan perjalanan di sepanjang tepi struktur. Jalur ini luar biasa karena di sepanjang jalan itu, menurut pandangan kami, level relatif terhadap bidang horizontal tetap tidak berubah. Bergerak di sepanjang jalan ini, kami tidak naik atau turun.

Dan semuanya akan baik-baik saja, familiar, jika di ujung jalan - yaitu di titik - kita tidak akan menemukan bahwa, relatif terhadap titik awal, kita entah bagaimana secara misterius mendaki vertikal!

Untuk mencapai hasil paradoks ini, kita harus memilih jalur ini, dan bahkan memantau level relatif terhadap bidang horizontal ... Bukan tugas yang mudah. Dalam keputusannya, Escher datang membantu ... air. Mari kita ingat lagu tentang gerakan dari siklus vokal indah Franz Schubert "The Beautiful Miller's Woman":

Dan pertama dalam imajinasi, dan kemudian di tangan seorang master yang luar biasa, struktur yang telanjang dan kering berubah menjadi saluran air, di mana aliran air yang bersih dan deras mengalir. Gerakan mereka menarik perhatian kami, dan sekarang, bertentangan dengan keinginan kami, kami bergegas ke hilir, mengikuti semua belokan dan tikungan jalan, bersama dengan aliran yang kami hancurkan, jatuh ke bilah kincir air, lalu bergegas lagi ke hilir .. .

Kami melewati jalan ini sekali, dua kali, sepertiga ... dan baru kemudian kami menyadari: bergerak ke bawah dan s, kami entah bagaimana dengan cara yang fantastis ayo naik ke puncak! Kejutan awal berkembang menjadi semacam ketidaknyamanan intelektual. Sepertinya kita telah menjadi korban semacam lelucon, objek lelucon yang belum dipahami.

Dan sekali lagi kami mengulangi jalan ini di sepanjang saluran yang aneh, sekarang perlahan, dengan hati-hati, seolah-olah takut ditangkap dari gambaran paradoks, secara kritis memahami segala sesuatu yang terjadi di jalan misterius ini.

Kami mencoba mengungkap misteri yang membuat kami takjub, dan kami tidak dapat melarikan diri dari penawanannya sampai kami menemukan mata air tersembunyi yang terletak di dasarnya dan membawa angin puyuh yang tak terbayangkan ke dalam gerakan yang tak henti-hentinya.

Seniman secara khusus menekankan, memaksakan kepada kita persepsi lukisannya sebagai gambar benda tiga dimensi yang nyata. Tiga dimensi ditekankan oleh gambar polihedron yang cukup nyata di menara, bata dengan representasi paling akurat dari setiap bata di dinding saluran air, teras bertingkat dengan taman di latar belakang. Semuanya dirancang untuk meyakinkan pemirsa tentang realitas apa yang sedang terjadi. Dan berkat seni dan teknologi yang luar biasa, tujuan ini tercapai.

Ketika kita keluar dari penawanan di mana kesadaran kita jatuh, kita mulai membandingkan, membandingkan, menganalisis, kita menemukan bahwa dasar, sumber gambar ini tersembunyi dalam fitur desain.

Dan kami mendapat satu lagi - bukti "fisik" dari ketidakmungkinan "segitiga mustahil": jika segitiga seperti itu ada, maka "Air Terjun" Escher juga akan ada, yang pada dasarnya adalah mesin gerak abadi. Tetapi mesin gerak abadi tidak mungkin, oleh karena itu, "segitiga mustahil" juga tidak mungkin. Dan, mungkin, "bukti" ini yang paling meyakinkan.

Apa yang membuat Moritz Escher menjadi fenomena, orang unik yang tidak memiliki pendahulu yang jelas dalam seni dan tidak dapat ditiru? Ini adalah kombinasi dari bidang dan volume, perhatian dekat ke bentuk dunia mikro yang aneh - hidup dan tidak hidup, hingga sudut pandang yang tidak biasa tentang hal-hal biasa. Efek utama dari komposisinya adalah efek munculnya hubungan yang mustahil antara objek yang sudah dikenal. Situasi ini pada pandangan pertama dapat membuat takut sekaligus menimbulkan senyuman. Anda dapat dengan senang hati melihat kesenangan yang ditawarkan artis, atau Anda dapat dengan serius terjun ke kedalaman dialektika.

Moritz Escher menunjukkan bahwa dunia mungkin sama sekali tidak seperti yang kita lihat dan terbiasa melihatnya - Anda hanya perlu melihatnya dari sudut pandang baru yang berbeda!

Moritz Escher

Moritz Escher lebih beruntung sebagai ilmuwan daripada sebagai seniman. Ukiran dan litografnya dipandang sebagai kunci untuk membuktikan teorema atau contoh tandingan asli yang bertentangan dengan akal sehat. Paling buruk, mereka dianggap sebagai ilustrasi yang sangat baik untuk risalah ilmiah tentang kristalografi, teori grup, psikologi kognitif, atau grafik komputer. Moritz Escher bekerja di bidang hubungan ruang-waktu dan identitasnya, dia menggunakan pola dasar mozaik, menerapkan transformasi padanya. Ini Tuan yang hebat ilusi optik. Ukiran Escher tidak menggambarkan dunia formula, tetapi keindahan dunia. Gudang intelektual mereka pada dasarnya bertentangan dengan kreasi tidak logis para surealis.

Artis Belanda Moritz Cornelius Escher lahir pada 17 Juni 1898 di provinsi Belanda. Rumah tempat Escher dilahirkan sekarang menjadi museum.

Sejak 1907, Moritz belajar pertukangan dan bermain piano, belajar di sekolah menengah atas. Nilai Moritz di semua mata pelajaran buruk kecuali untuk menggambar. Guru seni memperhatikan bakat bocah itu dan mengajarinya cara membuat potongan kayu.

Pada tahun 1916, Escher melakukan karya grafis pertamanya, sebuah ukiran di atas linoleum ungu - potret ayahnya G. A. Escher. Dia mengunjungi bengkel seniman Gert Stiegemann, yang memiliki percetakan. Ukiran pertama Escher dicetak di mesin ini.

Pada 1918-1919 Escher kuliah di Technical College di kota Belanda Delft. Dia menerima penangguhan dari dinas militer untuk melanjutkan studinya, tetapi karena kesehatan yang buruk, Moritz tidak dapat mengatasinya kurikulum, dan dikeluarkan. Akibatnya, dia tidak pernah menerima pendidikan yang lebih tinggi. Dia belajar di School of Architecture and Ornamentation di Haarlem, di mana dia mengambil pelajaran menggambar dari Samuel Jeserin de Mesquite, yang memiliki pengaruh formatif pada kehidupan dan karya Escher.

Pada tahun 1921 keluarga Escher mengunjungi Riviera dan Italia. Terpesona oleh tumbuh-tumbuhan dan bunga-bunga di iklim Mediterania, Moritz membuat gambar kaktus dan pohon zaitun yang mendetail. Dia membuat sketsa banyak sketsa pemandangan gunung, yang kemudian menjadi dasar karyanya. Kemudian, dia akan terus kembali ke Italia, yang akan menjadi sumber inspirasi baginya.

Escher mulai bereksperimen ke arah baru untuk dirinya sendiri, bahkan dalam karyanya ada gambar cermin, figur kristal, dan bola.

Akhir tahun dua puluhan terbukti menjadi periode yang sangat bermanfaat bagi Moritz. Karyanya ditampilkan di banyak pameran di Belanda, dan pada tahun 1929 popularitasnya telah mencapai tingkat yang sedemikian rupa sehingga lima pameran tunggal diadakan dalam satu tahun di Belanda dan Swiss. Selama periode inilah lukisan Escher pertama kali disebut mekanis dan "logis".

Asher sering bepergian. Tinggal di Italia dan Swiss, Belgia. Dia mempelajari mozaik Moor, membuat litograf, ukiran. Berdasarkan sketsa perjalanan, ia membuat lukisan pertamanya tentang realitas mustahil Still Life with Street.

Di akhir tahun tiga puluhan, Escher terus bereksperimen dengan mozaik dan transformasi. Ia menciptakan mozaik berupa dua burung yang terbang ke arah satu sama lain, yang menjadi dasar lukisan "Siang dan Malam".

Pada Mei 1940, Nazi menduduki Belanda dan Belgia, dan pada 17 Mei, Brussel juga jatuh ke dalam zona pendudukan, tempat Escher dan keluarganya tinggal saat itu. Mereka menemukan rumah di Varna dan pindah ke sana pada Februari 1941. Hingga akhir hayatnya, Escher akan tinggal di kota ini.

Pada tahun 1946, Escher mulai tertarik dengan teknologi pencetakan gravure. Dan meskipun teknologi ini jauh lebih rumit daripada yang digunakan Escher sebelumnya dan membutuhkan lebih banyak waktu untuk membuat gambar, hasilnya mengesankan - garis tipis dan reproduksi bayangan yang akurat. Salah satu yang paling karya terkenal dalam pencetakan gravure "Dewdrop" selesai pada tahun 1948.

Pada tahun 1950, Moritz Escher mendapatkan popularitas sebagai dosen. Kemudian, pada tahun 1950, pameran tunggal pertamanya diadakan di Amerika Serikat dan karyanya mulai dibeli. 27 April 1955 Moritz Escher dianugerahi gelar kebangsawanan dan menjadi seorang bangsawan.

Pada pertengahan 1950-an, Escher menggabungkan mozaik dengan figur yang mencapai tak terhingga.

Pada awal tahun 60-an, buku pertama dengan karya Escher, Grafiek en Tekeningen, diterbitkan, di mana pengarangnya sendiri mengomentari 76 karya. Buku ini telah membantu mendapatkan pemahaman di kalangan matematikawan dan ahli kristalografi, termasuk beberapa di Rusia dan Kanada.

Pada Agustus 1960 Escher memberi kuliah tentang kristalografi di Cambridge. Aspek matematis dan kristalografi karya Escher menjadi sangat populer.

Pada tahun 1970 setelah seri baru Operasi Escher pindah ke rumah baru di Laren, yang memiliki studio, tetapi kesehatan yang buruk tidak memungkinkan untuk bekerja keras.

Moritz Escher meninggal pada tahun 1971 pada usia 73 tahun. Escher hidup cukup lama untuk melihat The World of M.C. Escher diterjemahkan ke dalamnya bahasa Inggris dan sangat senang dengan itu.

Berbagai gambar mustahil ditemukan di situs web ahli matematika dan pemrogram. paling versi lengkap dari yang kami lihat, menurut kami, adalah situs Vlad Alekseev

Situs ini menyajikan tidak hanya berbagai macam lukisan terkenal, termasuk M. Escher, tetapi juga gambar animasi, gambar lucu hewan mustahil, koin, perangko, dll. Situs ini hidup, diperbarui secara berkala dan diisi ulang dengan gambar-gambar menakjubkan.

Beberapa sosok mustahil ditemukan - tangga, segitiga, dan cabang-x. Angka-angka ini sebenarnya cukup nyata dalam gambar tiga dimensi. Tetapi ketika seorang seniman memproyeksikan volume ke atas kertas, objek tampak mustahil. Segitiga, yang juga disebut "tribar", telah menjadi contoh yang bagus tentang bagaimana yang tidak mungkin menjadi mungkin ketika Anda berusaha.

Semua figur ini adalah ilusi yang indah. Prestasi kejeniusan manusia dimanfaatkan oleh seniman yang melukis dengan gaya imp art.

Tidak ada yang tak mungkin. Hal yang sama dapat dikatakan tentang Segitiga Penrose. Ini adalah sosok yang tidak mungkin secara geometris, yang elemen-elemennya tidak dapat dihubungkan. Tetap saja, segitiga mustahil menjadi mungkin. Pelukis Swedia Oscar Reutersvärd mempersembahkan kepada dunia sebuah segitiga kubus yang mustahil pada tahun 1934. O. Reutersvärd dianggap sebagai penemu ilusi visual ini. Untuk menghormati acara ini, perangko Swedia mencetak gambar ini nanti.

Dan pada tahun 1958, ahli matematika Roger Penrose menerbitkan sebuah publikasi di jurnal berbahasa Inggris tentang angka-angka yang mustahil. Dialah yang menciptakan model ilusi ilmiah. Roger Penrose adalah seorang ilmuwan yang luar biasa. Dia melakukan penelitian dalam teori relativitas, serta teori kuantum yang menarik. Dia dianugerahi Penghargaan Serigala bersama dengan S. Hawking.

Diketahui bahwa seniman Maurits Escher, di bawah pengaruh artikel ini, melukis karyanya yang menakjubkan - litograf "Waterfall". Tapi apakah mungkin membuat segitiga Penrose? Bagaimana melakukannya jika memungkinkan?

Tribar dan kenyataan

Meski angka tersebut dianggap mustahil, membuat segitiga Penrose dengan tangan Anda sendiri lebih mudah dari sebelumnya. Itu bisa dibuat dari kertas. Pecinta Origami tidak bisa mengabaikan tri-bar dan tetap menemukan cara untuk membuat dan memegang di tangan mereka sesuatu yang sebelumnya tampak seperti fantasi ilmuwan yang keterlaluan.

Namun, kita tertipu oleh mata kita sendiri saat melihat proyeksi benda tiga dimensi dari tiga garis tegak lurus. Tampak bagi pengamat bahwa dia melihat segitiga, padahal sebenarnya tidak.

geometri DIY

Tribar segitiga, seperti yang dikatakan, sebenarnya bukan segitiga. Segitiga Penrose adalah ilusi. Hanya pada sudut tertentu objek terlihat seperti segitiga sama sisi. Namun, objek dalam bentuk aslinya adalah 3 sisi kubus. Pada proyeksi isometrik seperti itu, 2 sudut bertepatan di bidang: yang terdekat dari pemirsa dan yang jauh.

Ilusi optik, tentu saja, dengan cepat terungkap, segera setelah Anda mengambil objek ini. Dan bayangan juga mengungkap ilusi, karena bayangan tribar dengan jelas menunjukkan bahwa sudutnya tidak sesuai dengan kenyataan.

Suku kertas. Skema

Bagaimana cara membuat segitiga Penrose dengan tangan Anda sendiri dari kertas? Apakah ada skema untuk model ini? Hingga saat ini, 2 tata letak telah ditemukan untuk melipat segitiga yang mustahil tersebut. Dasar-dasar geometri memberi tahu Anda cara melipat objek dengan tepat.

Untuk melipat segitiga Penrose dengan tangan Anda sendiri, Anda hanya perlu menyisihkan waktu 10-20 menit. Anda perlu menyiapkan lem, gunting untuk beberapa potongan dan kertas tempat diagram dicetak.

Dari tempat kosong seperti itu, segitiga mustahil yang paling populer diperoleh. Kerajinan origami tidak terlalu sulit untuk dibuat. Oleh karena itu, pasti akan menjadi yang pertama kali, dan bahkan untuk anak sekolah yang baru mulai belajar geometri.

Seperti yang Anda lihat, ternyata kerajinan yang sangat bagus. Kosong kedua terlihat berbeda dan terlipat berbeda, tetapi segitiga Penrose sendiri akhirnya terlihat sama.

Langkah-langkah membuat segitiga kertas Penrose.

Pilih salah satu dari 2 kosong yang nyaman bagi Anda, salin file dan cetak. Di sini kami memberikan contoh model tata letak kedua, yang dilakukan sedikit lebih mudah.

Kosong origami Tribar sendiri sudah berisi semua tip yang diperlukan. Nyatanya, instruksi untuk sirkuit tidak diperlukan. Cukup mengunduhnya di media kertas tebal, jika tidak maka akan merepotkan untuk bekerja dan angkanya tidak akan berfungsi. Jika tidak mungkin untuk segera mencetak di atas karton, maka Anda perlu menempelkan sketsa ke bahan baru dan memotong gambar di sepanjang kontur. Untuk kenyamanan, Anda dapat mengikatnya dengan klip kertas.

Apa yang harus dilakukan selanjutnya? Bagaimana cara melipat segitiga Penrose dengan tangan Anda sendiri secara bertahap? Anda harus mengikuti rencana tindakan ini:

Kami mengarahkan sisi sebaliknya gunting garis yang ingin Anda tekuk, sesuai petunjuk. Tekuk semua garis
Jika perlu, kami melakukan pemotongan.
Kami merekatkan dengan bantuan PVA potongan-potongan yang dimaksudkan untuk mengikat bagian menjadi satu kesatuan.

Model yang sudah jadi dapat dicat ulang dengan warna apa saja, atau Anda dapat mengambil karton berwarna untuk dikerjakan terlebih dahulu. Namun meski benda tersebut terbuat dari kertas putih, bagaimanapun juga, setiap orang yang baru pertama kali memasuki ruang tamu Anda pasti akan berkecil hati dengan kerajinan seperti itu.

Pola segitiga

Bagaimana cara menggambar segitiga Penrose? Tidak semua orang suka origami, tapi banyak orang suka menggambar.

Pertama-tama, sebuah kotak biasa dengan ukuran berapa pun digambarkan. Kemudian sebuah segitiga digambar di dalamnya, yang alasnya adalah sisi bawah bujur sangkar. Sebuah persegi panjang kecil pas di setiap sudut, yang semua sisinya terhapus; hanya sisi-sisi yang berdekatan dengan segitiga yang tersisa. Ini diperlukan untuk menjaga garis tetap lurus. Ternyata segitiga dengan sudut terpotong.

Tahap selanjutnya adalah gambar dimensi kedua. Garis lurus yang ketat ditarik dari sisi kiri sudut bawah atas. Garis yang sama ditarik mulai dari sudut kiri bawah, dan sedikit tidak dibawa ke garis pengukuran pertama 2. Garis lain ditarik dari sudut kanan sejajar dengan sisi bawah gambar utama.

Langkah terakhir adalah menggambar dimensi ketiga di dalam dimensi kedua menggunakan tiga garis kecil lagi. Garis-garis kecil dimulai dari garis dimensi kedua dan melengkapi gambar volume tiga dimensi.

Tokoh Penrose lainnya

Dengan analogi yang sama, Anda dapat menggambar bentuk lain - persegi atau segi enam. Ilusi akan dipertahankan. Tapi tetap saja, angka-angka ini tidak lagi begitu menakjubkan. Poligon seperti itu sepertinya sangat bengkok. Grafik modern memungkinkan Anda membuat versi segitiga terkenal yang lebih menarik.

Selain segitiga, tangga Penrose juga terkenal di dunia. Idenya adalah untuk mengelabui mata sehingga orang tersebut tampak terus bergerak ke atas saat bergerak searah jarum jam, dan jika bergerak berlawanan arah jarum jam, lalu ke bawah.

Tangga yang terus menerus lebih dikenal dengan keterkaitan dengan lukisan Ascending and Descent karya M. Escher. Menariknya, ketika seseorang melewati keempat tangga ilusi ini, dia selalu berakhir di tempat dia memulai.

Objek lain diketahui menyesatkan pikiran manusia, seperti bilah yang mustahil. Atau sebuah kotak yang dibuat menurut hukum ilusi yang sama dengan tepi yang berpotongan. Tetapi semua benda ini telah ditemukan berdasarkan sebuah artikel oleh seorang ilmuwan luar biasa - Roger Penrose.

Segitiga mustahil di Perth

Sosok yang dinamai ahli matematika itu dihormati. Dia mendirikan sebuah monumen. Pada tahun 1999, di salah satu kota di Australia (Perth), dipasang segitiga aluminium Penrose berukuran besar setinggi 13 meter. Turis senang berfoto di samping raksasa aluminium itu. Tetapi jika Anda memilih sudut pandang fotografi yang berbeda, penipuan menjadi jelas.

pengawas

guru matematika

1.Pendahuluan ………………………………………………………….……3

2. Latar belakang sejarah………………………………………………..…4

3. Bagian Utama……………………………………………………….7

4. Bukti ketidakmungkinan segitiga Penrose ...... 9

5. Kesimpulan………………………………………………………..……………11

6. Sastra……………………………………………………….…… 12

Relevansi: Matematika merupakan mata pelajaran yang dipelajari dari dulu hingga sekarang kelas kelulusan. Banyak siswa merasa sulit, tidak menarik dan tidak perlu. Tetapi jika Anda melihat melampaui halaman buku teks, membaca literatur tambahan, sofisme matematika dan paradoks, maka gagasan matematika akan berubah, akan ada keinginan untuk belajar lebih banyak daripada yang dipelajari di kursus matematika sekolah.

Tujuan pekerjaan:

untuk menunjukkan bahwa keberadaan sosok yang mustahil akan memperluas wawasan seseorang, mengembangkan imajinasi spasial, digunakan tidak hanya oleh ahli matematika, tetapi juga oleh seniman.

Tugas :

1. Pelajari literatur tentang topik ini.

2. Perhatikan bangun-bangun mustahil, buatlah model segitiga mustahil, buktikan bahwa segitiga mustahil tidak ada pada bidang datar.

3. Buka segitiga mustahil.

4. Perhatikan contoh penggunaan segitiga mustahil dalam seni rupa.

Perkenalan

Secara historis, matematika telah memainkan peran penting dalam seni visual, khususnya dalam penggambaran perspektif, yang melibatkan penggambaran adegan tiga dimensi secara realistis di atas kanvas datar atau selembar kertas. Menurut pandangan modern, matematika dan seni sangat jauh satu sama lain disiplin ilmu, yang pertama - analitis, yang kedua - emosional. Matematika tidak memainkan peran yang jelas dalam sebagian besar pekerjaan seni kontemporer dan nyatanya banyak seniman yang jarang atau bahkan tidak pernah menggunakan perspektif. Namun, ada banyak seniman yang fokus pada matematika. Beberapa tokoh penting dalam seni visual membuka jalan bagi orang-orang ini.

Padahal, tidak ada aturan atau batasan dalam penggunaannya berbagai topik dalam seni matematika, seperti figur yang mustahil, strip Möbius, distorsi atau sistem perspektif yang tidak biasa, dan fraktal.

Sejarah angka yang mustahil

Sosok yang mustahil adalah jenis paradoks matematika tertentu, yang terdiri dari potongan-potongan beraturan yang terhubung dalam kompleks yang tidak beraturan. Jika Anda mencoba merumuskan definisi istilah "objek yang tidak mungkin", mungkin akan terdengar seperti ini - figur yang mungkin secara fisik dirangkai dalam bentuk yang tidak mungkin. Tapi melihat mereka jauh lebih menyenangkan, menyusun definisi.

Kesalahan dalam konstruksi ruang ditemui oleh seniman seribu tahun yang lalu. Tetapi orang pertama yang membangun dan menganalisis objek yang mustahil dianggap sebagai seniman Swedia Oscar Reutersvärd, yang melukis pada tahun 1934. segitiga mustahil pertama, terdiri dari sembilan kubus.

segitiga Reutersvärd

Independen Reutersvaerd, matematikawan dan fisikawan Inggris Roger Penrose menemukan kembali segitiga mustahil dan menerbitkan gambarnya di British Psychological Journal pada tahun 1958. Ilusi menggunakan "perspektif palsu". Kadang-kadang perspektif seperti itu disebut Cina, karena cara menggambar yang serupa, ketika kedalaman gambarnya "ambigu", sering ditemukan pada karya-karya seniman Cina.

Air Terjun Escher

Pada tahun 1961 Orang Belanda M. Escher, terinspirasi segitiga mustahil Penrose, menciptakan litograf terkenal "Waterfall". Air pada gambar mengalir tanpa henti, setelah kincir air melewati lebih jauh dan jatuh kembali ke titik awal. Sebenarnya, ini adalah gambar mesin gerak abadi, tetapi setiap upaya dalam kenyataan untuk membangun desain ini pasti akan gagal.

Contoh lain dari figur mustahil disajikan dalam gambar "Moskow", yang menggambarkan skema metro Moskow yang tidak biasa. Pada awalnya, kami melihat gambar secara keseluruhan, tetapi menelusuri garis individu dengan mata kami, kami yakin akan ketidakmungkinan keberadaannya.

« Moskow”, grafik (tinta, pensil), 50x70 cm, 2003

Gambar "Tiga siput" melanjutkan tradisi sosok mustahil kedua yang terkenal - kubus (kotak) yang mustahil.

"Tiga siput" Kubus mustahil

Kombinasi berbagai objek juga dapat ditemukan pada sosok "IQ" (intelligence quotient) yang tidak terlalu serius. Sangat menarik bahwa beberapa orang tidak melihat objek yang tidak mungkin karena kesadaran mereka tidak dapat mengidentifikasi gambar datar dengan objek tiga dimensi.

Donald Simanek berpendapat bahwa memahami paradoks visual adalah salah satu ciri kreativitas yang dimiliki oleh matematikawan, ilmuwan, dan seniman terbaik. Banyak karya dengan objek paradoks dapat diklasifikasikan sebagai "permainan matematika intelektual". Sains modern berbicara tentang model dunia 7 dimensi atau 26 dimensi. Dimungkinkan untuk memodelkan dunia seperti itu hanya dengan bantuan rumus matematika, seseorang tidak dapat membayangkannya. Di sinilah angka yang tidak mungkin berguna.

Sosok mustahil populer ketiga adalah tangga luar biasa yang dibuat oleh Penrose. Anda akan terus naik (berlawanan arah jarum jam) atau turun (searah jarum jam) di sepanjang itu. Model Penrose menjadi dasar dari lukisan terkenal karya M. Escher "Up and Down" Tangga Penrose yang Luar Biasa

Trisula yang mustahil

"Garpu sialan"

Ada kelompok objek lain yang tidak dapat diimplementasikan. Sosok klasiknya adalah trisula yang mustahil, atau "garpu setan". Setelah mempelajari gambar tersebut dengan cermat, Anda dapat melihat bahwa tiga gigi berangsur-angsur berubah menjadi dua pada satu dasar, yang mengarah pada konflik. Kami membandingkan jumlah gigi dari atas dan bawah dan sampai pada kesimpulan bahwa objek tersebut tidak mungkin. Jika Anda menutup bagian atas trisula dengan tangan Anda, maka kami akan melihat sepenuhnya gambaran sebenarnya- tiga gigi bulat. Jika kita menutup bagian bawah trisula, kita juga akan melihat gambaran nyata - dua gigi persegi panjang. Tapi, jika kita mempertimbangkan keseluruhan gambar secara keseluruhan, ternyata tiga gigi bundar berangsur-angsur berubah menjadi dua persegi panjang.

Dengan demikian, dapat dilihat bahwa bagian depan dan latar belakang tokoh ini berada dalam konflik. Artinya, apa yang awalnya latar depan mundur, dan latar belakang (gigi tengah) merangkak ke depan. Selain mengubah latar depan dan latar belakang, gambar ini memiliki efek lain - tepi rata bagian atas trisula menjadi bulat di bagian bawah.

Bagian utama.

Segi tiga- sosok yang terdiri dari 3 bagian yang berdampingan, yang, dengan bantuan koneksi yang tidak dapat diterima dari bagian-bagian ini, menciptakan ilusi struktur yang mustahil dari sudut pandang matematika. Dengan kata lain, tiga baris ini juga disebut persegi Penrose

Prinsip grafis di balik ilusi ini dirumuskan oleh seorang psikolog dan putranya Roger, seorang fisikawan. Alun-alun Penrouze terdiri dari 3 batang bagian persegi terletak di 3 arah yang saling tegak lurus; masing-masing terhubung ke yang berikutnya di sudut kanan, yang semuanya masuk ke dalam ruang tiga dimensi. Berikut adalah resep sederhana untuk cara menggambar tampilan isometrik dari persegi Penrose:

Pangkas sudut-sudut segitiga sama sisi di sepanjang garis yang sejajar dengan sisi-sisinya;

Gambarlah kesejajaran dengan sisi-sisi di dalam segitiga yang dipotong;

Potong sudutnya lagi

Sekali lagi, gambarkan di dalam kesejajaran;

· Bayangkan salah satu dari dua kemungkinan kubus di salah satu sudut;

· Lanjutkan dengan "benda" berbentuk L;

Jalankan desain ini dalam lingkaran.

Jika kita memilih kubus lain, maka kotak itu akan "diputar" ke arah lain .

Pengembangan segitiga mustahil.

garis pemisah, pemutus

garis potong

Elemen apa yang membentuk segitiga mustahil? Lebih tepatnya, dari elemen apa yang menurut kita (tampaknya!) Dibangun? Desainnya didasarkan pada sudut persegi panjang, yang diperoleh dengan menghubungkan dua batang persegi panjang yang identik pada sudut siku-siku. Diperlukan tiga sudut seperti itu, dan palang, oleh karena itu, enam buah. Sudut-sudut ini harus secara visual "terhubung" satu sama lain dengan cara tertentu sehingga membentuk rantai tertutup. Yang terjadi adalah segitiga mustahil.

Dan sekarang mari kita coba melihat sosok itu dengan sabun dari berbagai titik di ruang angkasa (atau membuat model nyata dari kawat). Bayangkan bagaimana tampilannya dari satu titik, dari titik lain, dari titik ketiga ... Saat mengubah titik pengamatan (atau - yang sama - saat struktur diputar di ruang angkasa), akan terlihat bahwa dua ujung "ujung" dari sudut kami bergerak relatif satu sama lain. Tidak sulit menemukan posisi di mana mereka akan terhubung (tentu saja, dalam hal ini, sudut dekat akan tampak lebih tebal bagi kita daripada yang lebih panjang).

Ngomong-ngomong, jika kita sekaligus melihat tampilan struktur di cermin, kita tidak akan melihat sirkuit tertutup di sana.

Dan dari titik pengamatan yang dipilih, kita melihat dengan mata kepala sendiri keajaiban yang telah terjadi: ada rantai tertutup di tiga sudut. Hanya saja, jangan ubah sudut pandang agar ilusi ini (sebenarnya ilusi!) Tidak runtuh. Sekarang Anda dapat menggambar objek yang Anda lihat atau menempatkan lensa kamera pada titik yang ditemukan dan memotret objek yang tidak mungkin.

The Penroses adalah orang pertama yang tertarik dengan fenomena ini. Mereka menggunakan kemungkinan yang muncul saat memetakan ruang tiga dimensi dan objek tiga dimensi ke bidang dua dimensi (yaitu, saat mendesain) dan memperhatikan beberapa ketidakpastian desain - desain terbuka dari tiga sudut dapat dianggap sebagai tertutup sirkuit.

Seperti yang telah disebutkan, model paling sederhana dapat dengan mudah dibuat dari kawat, yang pada prinsipnya menjelaskan efek yang diamati. Ambil seutas kawat lurus dan bagi menjadi tiga bagian yang sama. Kemudian tekuk bagian ekstrem sehingga membentuk sudut siku-siku dengan bagian tengah, dan putar relatif satu sama lain sebesar 900. Sekarang putar patung ini dan amati dengan satu mata. Pada posisi tertentu, akan tampak terbentuk dari seutas kawat yang tertutup. Menyalakan lampu meja, Anda bisa menyaksikan bayangan jatuh di atas meja, yang juga berubah menjadi segitiga pada posisi tertentu dari sosok tersebut di angkasa.

Namun, fitur desain ini dapat diamati dalam situasi lain. Jika Anda membuat cincin kawat, dan kemudian menyebarkannya ke arah yang berbeda, Anda mendapatkan satu putaran spiral silinder. Lingkaran ini, tentu saja, terbuka. Tapi saat memproyeksikannya ke pesawat, Anda bisa mendapatkan garis tertutup.

Kami sekali lagi melihat bahwa proyeksi ke bidang, menurut gambar, sosok tiga dimensi dipulihkan secara ambigu. Artinya, proyeksi tersebut mengandung beberapa ambiguitas, pernyataan yang meremehkan, yang memunculkan "segitiga mustahil".

Dan dapat dikatakan bahwa "segitiga mustahil" dari Penroses, seperti banyak lainnya ilusi optik, sejalan dengan paradoks logis dan permainan kata-kata.

Bukti ketidakmungkinan segitiga Penrose

Menganalisis ciri-ciri gambar dua dimensi dari objek tiga dimensi pada sebuah bidang, kami memahami bagaimana ciri-ciri tampilan ini mengarah pada segitiga mustahil.

Sangat mudah untuk membuktikan bahwa segitiga mustahil tidak ada, karena masing-masing sudutnya benar, dan jumlahnya adalah 2700, bukan "ditempatkan" 1800.

Selain itu, meskipun kita menganggap segitiga mustahil yang direkatkan dari sudut kurang dari 900, maka dalam hal ini dapat dibuktikan bahwa segitiga mustahil itu tidak ada.

Pertimbangkan segitiga lain, yang terdiri dari beberapa bagian. Jika bagian-bagian penyusunnya disusun berbeda, maka akan diperoleh segitiga yang persis sama, tetapi dengan satu cacat kecil. Satu kotak akan hilang. Bagaimana ini mungkin? Atau itu hanya ilusi.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="Segitiga mustahil" width="298" height="161">!}

Menggunakan fenomena persepsi

Apakah ada cara untuk meningkatkan efek ketidakmungkinan? Apakah beberapa objek "tidak mungkin" daripada yang lain? Dan di sini fitur datang untuk menyelamatkan. persepsi manusia. Psikolog telah menetapkan bahwa mata mulai memeriksa objek (gambar) dari pojok kiri bawah, kemudian pandangan meluncur ke kanan ke tengah dan turun ke pojok kanan bawah gambar. Lintasan seperti itu mungkin disebabkan oleh fakta bahwa nenek moyang kita, ketika bertemu dengan musuh, pertama-tama melihat ke tangan kanan yang paling berbahaya, lalu pandangan mereka beralih ke kiri, ke wajah dan sosok. Dengan demikian, persepsi artistik akan sangat tergantung pada bagaimana komposisi gambar dibangun. Fitur di Abad Pertengahan ini dengan jelas dimanifestasikan dalam pembuatan permadani: polanya pantulan cermin asli, dan kesan yang dibuat oleh permadani dan aslinya berbeda.

Properti ini dapat berhasil digunakan saat membuat kreasi dengan objek yang tidak mungkin, menambah atau mengurangi "tingkat ketidakmungkinan". Ini juga membuka prospek komposisi yang menarik menggunakan teknologi komputer atau dari beberapa lukisan yang diputar (mungkin menggunakan berbeda jenis simetri) satu relatif terhadap yang lain, menciptakan kesan objek yang berbeda dan pemahaman yang lebih dalam tentang esensi konsep, atau dari yang berputar (terus-menerus atau tersentak-sentak) dengan bantuan mekanisme sederhana pada sudut tertentu.

Arah seperti itu bisa disebut poligonal (poligonal). Ilustrasi menunjukkan gambar diputar satu relatif ke yang lain. Komposisi dibuat sebagai berikut: gambar di atas kertas, dibuat dengan tinta dan pensil, dipindai, didigitalkan, dan diproses editor grafis. Kami dapat mencatat keteraturan - gambar yang diputar memiliki "tingkat ketidakmungkinan" yang lebih besar daripada gambar aslinya. Ini mudah dijelaskan: dalam proses pengerjaan, seniman secara tidak sadar berusaha untuk menciptakan citra yang "benar".

Kesimpulan

Penggunaan berbagai angka dan hukum matematika tidak terbatas pada contoh di atas. Dengan hati-hati mempelajari semua angka di atas, Anda dapat menemukan orang lain yang tidak disebutkan dalam artikel ini, badan geometris atau interpretasi visual dari hukum matematika.

Seni visual matematika berkembang pesat saat ini, dan banyak seniman membuat lukisan dengan gaya Escher dan dengan gaya mereka sendiri gaya sendiri. Para seniman ini berkarya dalam berbagai media, antara lain patung, lukisan pada permukaan datar dan tiga dimensi, litografi dan grafis komputer. Dan topik paling populer dari seni matematika adalah polihedra, figur yang mustahil, strip Möbius, sistem perspektif dan fraktal yang terdistorsi.

Kesimpulan:

1. Jadi, pertimbangan figur yang mustahil mengembangkan imajinasi spasial kita, membantu "keluar" dari bidang ke ruang tiga dimensi, yang akan membantu dalam mempelajari stereometri.

2. Model figur yang tidak mungkin membantu mempertimbangkan proyeksi di pesawat.

3. Pertimbangan sofisme dan paradoks matematika menanamkan minat pada matematika.

Saat melakukan pekerjaan ini

1. Saya belajar bagaimana, kapan, di mana dan oleh siapa tokoh-tokoh mustahil pertama kali dianggap, bahwa tokoh-tokoh seperti itu banyak, seniman terus-menerus berusaha menggambarkan tokoh-tokoh ini.

2. Bersama ayah saya, saya membuat model segitiga mustahil, memeriksa proyeksinya di pesawat, melihat paradoks dari gambar ini.

3. Memeriksa reproduksi seniman yang menggambarkan tokoh-tokoh tersebut

4. Pelajaran saya menarik minat teman sekelas saya.

Ke depan, saya akan menggunakan ilmu yang didapat dalam pelajaran matematika dan saya tertarik, tetapi apakah ada paradoks lain?

LITERATUR

1. Kandidat ilmu teknik D.RAKOV Sejarah angka yang mustahil

2. Ruteward O. Angka yang mustahil.- M.: Stroyizdat, 1990.

3. Situs V. Alekseev Illusions · 7 Komentar

4. J. Timotius Anrach. - Angka yang luar biasa.
(LLC "Publishing House AST", LLC "Publishing House Astrel", 2002, 168 hal.)

5. . - Seni grafis.
(Seni-Musim Semi, 2001)

6. Douglas Hofstadter. - Gödel, Escher, Bach: karangan bunga tak berujung ini. ( Penerbitan"Bahrakh-M", 2001)

7. A. Konenko - Rahasia sosok yang mustahil
(Omsk: Lefty, 199)