rumah › Salon › Kompas dari bagian emas. Fibonacci scriber dan penggunaannya dalam pembuatan furnitur

Kompas dari bagian emas. Fibonacci scriber dan penggunaannya dalam pembuatan furnitur

Persegi Panjang Dinamis

Plato (427...347 SM) juga tahu tentang pembagian emas. Dialognya "Timaeus" dikhususkan untuk pandangan matematika dan estetika sekolah Pythagoras dan, khususnya, pertanyaan tentang pembagian emas.

Di fasad kuil Yunani kuno Parthenon terdapat proporsi emas. Selama penggaliannya, kompas ditemukan, yang digunakan oleh arsitek dan pematung dunia kuno. Kompas Pompeian (Museum di Naples) juga memuat proporsi pembagian emas.

Kompas rasio emas antik

Dalam literatur kuno yang sampai kepada kita, pembagian emas pertama kali disebutkan dalam Elemen Euclid. Dalam buku ke-2 "Permulaan" diberikan konstruksi geometris dari pembagian emas. Setelah Euclid, Hypsicles (abad II SM), Pappus (abad III M) dan lainnya terlibat dalam studi tentang pembagian emas. Di Eropa abad pertengahan dengan divisi emas Kami bertemu melalui terjemahan bahasa Arab dari Euclid's Elements. Penerjemah J. Campano dari Navarre (abad ke-3) mengomentari terjemahan tersebut. Rahasia divisi emas dijaga ketat, dijaga kerahasiaannya. Mereka hanya diketahui oleh para inisiat.

Selama Renaisans, minat pada pembagian emas di antara ilmuwan dan seniman meningkat karena penerapannya baik dalam geometri maupun seni, terutama dalam arsitektur.Leonardo da Vinci, seorang seniman dan ilmuwan, melihat bahwa seniman Italia pengalaman empiris itu hebat, tetapi pengetahuan itu kecil. Dia mengandung dan mulai menulis buku tentang geometri, tetapi pada saat itu sebuah buku oleh biksu Luca Pacioli muncul, dan Leonardo meninggalkan idenya. Menurut orang-orang sezaman dan sejarawan sains, Luca Pacioli adalah seorang termasyhur sejati, ahli matematika terhebat di Italia antara Fibonacci dan Galileo. Luca Pacioli adalah murid seniman Piero della Francesca, yang menulis dua buku, salah satunya berjudul On Perspective in Painting. Ia dianggap sebagai pencipta geometri deskriptif.

Leonardo da Vinci juga menaruh banyak perhatian pada studi tentang divisi emas. Dia membuat bagian-bagian dari tubuh stereometrik yang dibentuk oleh segi lima biasa, dan setiap kali dia memperoleh persegi panjang dengan rasio aspek dalam pembagian emas. Jadi dia memberi nama divisi ini rasio emas. Jadi itu masih yang paling populer.

Pada saat yang sama, di Eropa utara, di Jerman, Albrecht Dürer mengerjakan masalah yang sama. Dia membuat sketsa pengantar draf pertama risalah tentang proporsi. Durer menulis. “Orang yang mengetahui sesuatu harus mengajarkannya kepada orang lain yang membutuhkannya. Inilah yang ingin saya lakukan."

Dilihat dari salah satu surat Dürer, dia bertemu dengan Luca Pacioli selama dia tinggal di Italia. Albrecht Dürer mengembangkan secara rinci teori proporsi tubuh manusia. Dürer memberikan tempat penting dalam sistem rasionya ke bagian emas. Ketinggian seseorang dibagi dalam proporsi emas dengan garis ikat pinggang, serta dengan garis yang ditarik melalui ujung jari tengah tangan yang diturunkan, bagian bawah wajah - melalui mulut, dll. Dürer kompas proporsional yang dikenal.

Astronom hebat abad ke-16 Johannes Kepler menyebut rasio emas sebagai salah satu harta karun geometri. Dia adalah orang pertama yang memperhatikan pentingnya rasio emas untuk botani (pertumbuhan dan struktur tanaman).

Kepler menyebut rasio emas self-continuing. “Itu diatur sedemikian rupa,” tulisnya, “bahwa dua suku junior dari proporsi tak terbatas ini dijumlahkan dengan suku ketiga, dan dua suku terakhir mana pun, jika dijumlahkan, berikan istilah berikutnya, dan proporsi yang sama tetap sampai tak terhingga."

Konstruksi rangkaian segmen rasio emas dapat dilakukan baik ke arah naik (rangkaian naik) maupun ke arah turun (deret turun).

Jika pada garis lurus dengan panjang sewenang-wenang, tunda segmen tersebut M, sisihkan segmen M. Berdasarkan dua segmen ini, kami membangun skala segmen proporsi emas dari rangkaian naik dan turun

Membangun skala segmen rasio emas

Sejak zaman kuno, orang telah mengkhawatirkan pertanyaan apakah hal-hal yang sulit dipahami seperti keindahan dan harmoni tunduk pada perhitungan matematis apa pun. Tentu saja, semua hukum kecantikan tidak dapat dimuat dalam beberapa rumus, tetapi dengan mempelajari matematika, kita dapat menemukan beberapa istilah kecantikan - rasio emas. Tugas kita adalah mencari tahu apa itu bagian emas dan menetapkan di mana umat manusia telah menemukan penggunaan bagian emas itu.

Anda mungkin memperhatikan fakta bahwa kami memperlakukan objek dan fenomena realitas di sekitarnya secara berbeda. Menjadi H kesopanan, jadilah H keseragaman, disproporsi dianggap jelek oleh kita dan menimbulkan kesan menjijikkan. Dan objek dan fenomena, yang dicirikan oleh ukuran, kemanfaatan dan harmoni, dianggap indah dan membuat kita merasa kagum, gembira, ceria.

Seseorang dalam aktivitasnya senantiasa dihadapkan pada objek-objek yang didasarkan pada rasio emas. Ada hal-hal yang tidak bisa dijelaskan. Jadi Anda datang ke bangku kosong dan duduk di atasnya. Di mana Anda akan duduk? di tengah-tengah? Atau mungkin dari ujung? Tidak, kemungkinan besar bukan salah satunya. Anda akan duduk sedemikian rupa sehingga rasio satu bagian bangku dengan bagian lain relatif terhadap tubuh Anda kira-kira 1,62. Suatu hal yang sederhana, benar-benar naluriah... Duduk di bangku, Anda mereproduksi "rasio emas".

Rasio emas dikenal di Mesir kuno dan Babel, di India dan Cina. Pythagoras yang agung menciptakan sekolah rahasia tempat esensi mistik dari "bagian emas" dipelajari. Euclid menerapkannya, menciptakan geometrinya sendiri, dan Phidias - pahatannya yang abadi. Plato mengatakan bahwa alam semesta diatur menurut "bagian emas". Aristoteles menemukan korespondensi "bagian emas" dengan hukum etika. Harmoni tertinggi dari "bagian emas" akan diberitakan oleh Leonardo da Vinci dan Michelangelo, karena keindahan dan "bagian emas" adalah satu dan sama. Dan mistikus Kristen akan menggambar pentagram dari "bagian emas" di dinding biara mereka, melarikan diri dari Iblis. Pada saat yang sama, para ilmuwan - dari Pacioli hingga Einstein - akan mencari, tetapi tidak akan pernah menemukan arti tepatnya. Menjadi H baris terakhir setelah titik desimal adalah 1,6180339887... Suatu hal yang aneh, misterius, dan tidak dapat dijelaskan - proporsi ilahi ini secara mistis menyertai semua makhluk hidup. Alam mati tidak tahu apa itu "bagian emas". Tetapi Anda pasti akan melihat proporsi ini pada lekukan kerang laut, dan dalam bentuk bunga, dan dalam bentuk kumbang, dan dalam tubuh manusia yang indah. Segala sesuatu yang hidup dan segala sesuatu yang indah - semuanya tunduk pada hukum ilahi, yang disebut "bagian emas". Jadi apa itu "rasio emas"? Apakah kombinasi ilahi yang sempurna ini? Mungkin itu hukum kecantikan? Atau masih menjadi rahasia mistis? Fenomena ilmiah atau prinsip etis? Jawabannya masih belum diketahui. Lebih tepatnya - tidak, diketahui. "Bagian emas" adalah keduanya, dan yang lainnya, dan yang ketiga. Hanya tidak secara terpisah, tetapi pada saat yang sama ... Dan inilah misteri sejatinya, rahasia besarnya.

Mungkin sulit untuk menemukan ukuran yang dapat diandalkan untuk penilaian objektif tentang kecantikan itu sendiri, dan logika saja tidak cukup di sini. Namun, pengalaman mereka yang mencari keindahan adalah makna hidup, yang menjadikannya profesi mereka, akan membantu di sini. Pertama-tama, ini adalah orang-orang seni, sebagaimana kami menyebutnya: seniman, arsitek, pematung, musisi, penulis. Tapi ini adalah orang-orang dari ilmu eksakta, pertama-tama, ahli matematika.

Mempercayai mata lebih dari organ indera lainnya, Manusia pertama-tama belajar membedakan benda-benda di sekitarnya berdasarkan bentuknya. Ketertarikan pada bentuk suatu objek mungkin ditentukan oleh kebutuhan vital, atau mungkin disebabkan oleh keindahan bentuk. Bentuknya, yang didasarkan pada kombinasi simetri dan rasio emas, berkontribusi pada persepsi visual terbaik dan munculnya rasa keindahan dan harmoni. Keseluruhan selalu terdiri dari bagian-bagian, bagian-bagian dengan ukuran berbeda berada dalam hubungan tertentu satu sama lain dan dengan keseluruhan. Prinsip bagian emas adalah manifestasi tertinggi dari kesempurnaan struktural dan fungsional dari keseluruhan dan bagian-bagiannya dalam seni, sains, teknologi, dan alam.

BAGIAN EMAS - PROPORSI HARMONIS

Dalam matematika, proporsi adalah persamaan dari dua rasio:

Ruas garis AB dapat dibagi menjadi dua bagian dengan cara sebagai berikut:

menjadi dua bagian yang sama - AB: AC = AB: BC;
menjadi dua bagian yang tidak sama dalam rasio apa pun (bagian tersebut tidak membentuk proporsi);
jadi, ketika AB:AC=AC:BC.

Yang terakhir adalah divisi emas (bagian).

Bagian emas adalah pembagian proporsional dari suatu segmen menjadi bagian-bagian yang tidak sama, di mana seluruh segmen terkait dengan bagian yang lebih besar dengan cara yang sama seperti bagian yang lebih besar itu sendiri terkait dengan yang lebih kecil, dengan kata lain, segmen yang lebih kecil adalah terkait dengan yang lebih besar karena yang lebih besar adalah segalanya

a:b=b:c atau c:b=b:a.

Representasi geometris dari rasio emas

Kenalan praktis dengan rasio emas dimulai dengan membagi ruas garis lurus dalam rasio emas menggunakan kompas dan penggaris.

Pembagian ruas garis menurut rasio emas. BC=1/2AB; CD=BC

Dari titik B, tegak lurus sama dengan setengah AB dipulihkan. Titik C yang dihasilkan dihubungkan oleh garis ke titik A. Pada garis yang dihasilkan, segmen BC diplot, diakhiri dengan titik D. Segmen AD dipindahkan ke garis lurus AB. Titik yang dihasilkan E membagi segmen AB dalam rasio rasio emas.

Segmen rasio emas dinyatakan tanpa H pecahan akhir AE=0,618..., jika AB diambil sebagai satuan, BE=0,382... Untuk tujuan praktis, nilai perkiraan 0,62 dan 0,38 sering digunakan. Jika ruas AB diambil 100 bagian, maka ruas yang terbesar adalah 62, dan yang lebih kecil 38 bagian.

Sifat-sifat bagian emas dijelaskan oleh persamaan:

Solusi untuk persamaan ini:

Sifat-sifat rasio emas menciptakan aura misteri romantis dan generasi yang hampir mistis di sekitar angka ini. Misalnya, pada bintang berujung lima biasa, setiap segmen dibagi dengan segmen yang melintasinya sebanding dengan rasio emas (yaitu rasio segmen biru dengan hijau, merah ke biru, hijau ke ungu, adalah 1,618).

BAGIAN EMAS KEDUA

Proporsi ini ditemukan dalam arsitektur.

Pembangunan bagian emas kedua

Pembagian dilakukan sebagai berikut. Segmen AB dibagi secara proporsional dengan bagian emas. Dari titik C, CD tegak lurus dipulihkan. Jari-jari AB adalah titik D yang dihubungkan oleh garis ke titik A. Sudut siku-siku ACD dibagi dua. Sebuah garis ditarik dari titik C ke perpotongan dengan garis AD. Titik E membagi segmen AD dalam kaitannya dengan 56:44.

Pembagian persegi panjang dengan garis rasio emas kedua

Angka tersebut menunjukkan posisi garis bagian emas kedua. Itu terletak di tengah antara garis bagian emas dan garis tengah persegi panjang.

SEGITIGA EMAS (pentagram)

Untuk menemukan segmen rasio emas dari baris naik dan turun, Anda dapat menggunakan pentagram.

Konstruksi pentagon dan pentagram beraturan

Untuk membuat pentagram, Anda perlu membuat pentagon biasa. Metode konstruksinya dikembangkan oleh pelukis dan seniman grafis Jerman Albrecht Dürer. Biarkan O menjadi pusat lingkaran, A titik pada lingkaran, dan E titik tengah segmen OA. Garis tegak lurus terhadap jari-jari OA, diangkat di titik O, berpotongan dengan lingkaran di titik D. Dengan menggunakan jangka, tandai segmen CE=ED pada diameternya. Panjang sisi segi lima beraturan dalam lingkaran adalah DC. Kami menyisihkan segmen DC pada lingkaran dan mendapatkan lima poin untuk menggambar segi lima biasa. Kami menghubungkan sudut segi lima melalui satu diagonal dan mendapatkan pentagram. Semua diagonal segi lima saling membagi menjadi segmen-segmen yang dihubungkan oleh rasio emas.

Setiap ujung bintang pentagonal adalah segitiga emas. Sisi-sisinya membentuk sudut 36 0 di bagian atas, dan alas yang diletakkan di samping membaginya secara proporsional dengan bagian emas.

Tarik garis lurus AB. Dari titik A kami memberhentikannya segmen O dengan ukuran sewenang-wenang tiga kali, melalui titik P yang dihasilkan kami menggambar garis tegak lurus AB, pada garis tegak lurus ke kanan dan kiri titik P kami menunda segmen O. Hasilnya titik d dan d 1 dihubungkan dengan garis lurus dengan titik A. Ruas dd 1 kita letakkan di garis Ad 1, dapatkan titik C. Dia membagi garis Ad 1 sebanding dengan rasio emas. Garis Ad 1 dan dd 1 digunakan untuk membuat persegi panjang "emas".

Konstruksi segitiga emas

SEJARAH BAGIAN EMAS

Memang, proporsi piramida Cheops, kuil, barang rumah tangga, dan dekorasi dari makam Tutankhamun menunjukkan bahwa pengrajin Mesir menggunakan rasio pembagian emas saat membuatnya. Arsitek Prancis Le Corbusier menemukan bahwa pada relief dari kuil Firaun Seti I di Abydos dan pada relief yang menggambarkan Firaun Ramses, proporsi figurnya sesuai dengan nilai pembagian emas. Arsitek Khesira, yang digambarkan pada relief papan kayu dari makam namanya, memegang alat ukur di tangannya, di mana proporsi pembagian emas ditetapkan.

Orang Yunani adalah ahli geometri yang terampil. Bahkan aritmatika diajarkan kepada anak-anak mereka dengan bantuan bentuk geometris. Kuadrat Pythagoras dan diagonal persegi ini adalah dasar untuk membangun persegi panjang yang dinamis.

Persegi Panjang Dinamis

Plato juga tahu tentang pembagian emas. Timaeus Pythagoras, dalam dialog Plato dengan nama yang sama, mengatakan: “Tidak mungkin dua hal bersatu dengan sempurna tanpa yang ketiga, karena sesuatu harus muncul di antara mereka yang akan menyatukan mereka. Proporsi dapat mencapai hal ini dengan baik, karena jika tiga angka memiliki sifat yang rata-ratanya terkait dengan yang lebih kecil karena semakin besar terhadap rata-ratanya, dan sebaliknya, semakin kecil terhadap rata-ratanya karena rata-ratanya terhadap yang lebih besar, maka yang terakhir dan yang pertama akan menjadi tengah, dan tengah - pertama dan terakhir. Jadi, semua yang diperlukan akan sama, dan karena akan sama, itu akan menjadi satu kesatuan. dunia duniawi Plato membangun menggunakan dua jenis segitiga: sama kaki dan tidak sama kaki. yang paling cantik segitiga siku-siku ia menganggap satu di mana sisi miring dua kali lebih kecil dari kaki (persegi panjang seperti itu adalah setengah sama sisi, sosok utama orang Babilonia, ia memiliki rasio 1: 3 1/2, yang berbeda dari rasio emas sekitar 1/25, dan disebut oleh Thymerding sebagai "saingan dari bagian emas"). Menggunakan segitiga, Plato membangun empat polihedra biasa, menghubungkannya dengan empat elemen duniawi (tanah, air, udara, dan api). Dan hanya yang terakhir dari lima polihedra biasa yang ada - dodecahedron, yang kedua belas wajahnya adalah segi lima biasa, yang diklaim sebagai gambar simbolis dunia surgawi.

ikosahedron dan dodecahedron

Kehormatan untuk menemukan dodecahedron (atau, seperti yang diharapkan, Semesta itu sendiri, intisari dari empat elemen ini, masing-masing dilambangkan dengan tetrahedron, octahedron, icosahedron dan cube) adalah milik Hippasus, yang kemudian meninggal dalam kecelakaan kapal. Angka ini benar-benar menangkap banyak hubungan dari bagian emas, jadi yang terakhir diberikan peran utama di alam surga, yang kemudian ditegaskan oleh Saudara Minor Luca Pacioli.

Kompas rasio emas antik

Dalam literatur kuno yang sampai kepada kita, pembagian emas pertama kali disebutkan dalam Elemen Euclid. Di buku ke-2 "Awal", konstruksi geometris dari pembagian emas diberikan. Setelah Euclid, Hypsicles (abad ke-2 SM), Pappus (abad ke-3 M) dan lainnya mempelajari pembagian emas Di Eropa abad pertengahan, mereka berkenalan dengan pembagian emas dari terjemahan bahasa Arab dari "Permulaan" Euclid. Penerjemah J. Campano dari Navarre (abad ke-3) mengomentari terjemahan tersebut. Rahasia divisi emas dijaga ketat, dijaga kerahasiaannya. Mereka hanya diketahui oleh para inisiat.

Pada Abad Pertengahan, pentagram dijelekkan (seperti, memang, banyak yang dianggap ilahi dalam paganisme kuno) dan mendapat perlindungan dalam ilmu gaib. Namun, Renaisans kembali mengungkap pentagram dan rasio emas. Dengan demikian, skema yang menggambarkan struktur tubuh manusia beredar luas pada periode penegasan humanisme itu.

Leonardo da Vinci juga berulang kali menggunakan gambar seperti itu, bahkan mereproduksi pentagram. Interpretasinya: tubuh manusia memiliki kesempurnaan ketuhanan, karena proporsi yang melekat di dalamnya sama dengan sosok surgawi utama. Leonardo da Vinci, seorang seniman dan ilmuwan, melihat bahwa seniman Italia memiliki banyak pengalaman empiris, tetapi sedikit pengetahuan. Dia mengandung dan mulai menulis buku tentang geometri, tetapi pada saat itu sebuah buku oleh biksu Luca Pacioli muncul, dan Leonardo meninggalkan idenya. Menurut orang-orang sezaman dan sejarawan sains, Luca Pacioli adalah seorang termasyhur sejati, ahli matematika terhebat di Italia antara Fibonacci dan Galileo. Luca Pacioli adalah murid seniman Piero della Francesca, yang menulis dua buku, salah satunya berjudul On Perspective in Painting. Ia dianggap sebagai pencipta geometri deskriptif.

Luca Pacioli sangat menyadari pentingnya sains untuk seni.

Pada 1496, atas undangan Duke Moreau, dia datang ke Milan, di mana dia mengajar matematika. Leonardo da Vinci juga bekerja di pengadilan Moro di Milan saat itu. Pada tahun 1509, Luca Pacioli De divina proportionale, 1497, diterbitkan di Venesia pada tahun 1509, diterbitkan di Venesia dengan ilustrasi yang dieksekusi dengan cemerlang, oleh karena itu diyakini dibuat oleh Leonardo da Vinci. Buku itu adalah himne yang antusias dengan rasio emas. Hanya ada satu proporsi seperti itu, dan keunikan adalah milik Tuhan yang tertinggi. Itu mewujudkan trinitas suci. Proporsi ini tidak dapat diungkapkan dengan angka yang dapat diakses, tetap tersembunyi dan rahasia, dan disebut irasional oleh ahli matematika itu sendiri (sehingga Tuhan tidak dapat didefinisikan atau dijelaskan dengan kata-kata). Tuhan tidak pernah mengubah dan mewakili segala sesuatu dalam segala hal dan segala sesuatu di setiap bagiannya, jadi rasio emas untuk kuantitas apa pun yang kontinyu dan pasti (terlepas dari besar atau kecil) adalah sama, tidak dapat diubah atau diubah. pikiran. Tuhan memanggil kebajikan surgawi, atau disebut substansi kelima, dengan bantuannya empat benda sederhana lainnya (empat elemen - bumi, air, udara, api), dan atas dasar mereka, setiap hal lain di alam diciptakan; jadi proporsi suci kita, menurut Plato dalam Timaeus, memberikan keberadaan formal pada langit itu sendiri, karena itu dikaitkan dengan bentuk tubuh yang disebut dodecahedron, yang tidak dapat dibangun tanpa bagian emas. Ini adalah argumen Pacioli.

Leonardo da Vinci juga menaruh banyak perhatian pada studi tentang divisi emas. Dia membuat bagian-bagian dari tubuh stereometrik yang dibentuk oleh segi lima biasa, dan setiap kali dia memperoleh persegi panjang dengan rasio aspek dalam pembagian emas. Oleh karena itu, dia memberi nama divisi ini bagian emas. Jadi itu masih yang paling populer.

Pada saat yang sama, di Eropa utara, di Jerman, Albrecht Dürer mengerjakan masalah yang sama. Dia membuat sketsa pengantar draf pertama risalah tentang proporsi. Dürer menulis: “Orang yang mengetahui sesuatu harus mengajarkannya kepada orang lain yang membutuhkannya. Inilah yang ingin saya lakukan."

Dilihat dari salah satu surat Dürer, dia bertemu dengan Luca Pacioli selama dia tinggal di Italia. Albrecht Dürer mengembangkan secara rinci teori proporsi tubuh manusia. Dürer memberikan tempat penting dalam sistem rasionya ke bagian emas. Ketinggian seseorang dibagi dalam proporsi emas dengan garis ikat pinggang, serta garis yang ditarik melalui ujung jari tengah tangan yang diturunkan, bagian bawah wajah - melalui mulut, dll. Dürer kompas proporsional yang dikenal.

Konstruksi rangkaian segmen rasio emas dapat dilakukan baik ke arah naik (rangkaian naik) maupun ke arah turun (deret turun).

Jika pada garis lurus dengan panjang sewenang-wenang, tunda segmen tersebut M , sisihkan segmen M . Berdasarkan dua segmen ini, kami membangun skala segmen proporsi emas dari baris naik dan turun.

Membangun skala segmen rasio emas

Pada abad-abad berikutnya, aturan rasio emas berubah menjadi kanon akademis, dan ketika, seiring waktu, perjuangan dimulai dalam seni dengan rutinitas akademis, di tengah panasnya perjuangan, "mereka membuang anak itu dengan air". Rasio emas "ditemukan" lagi di pertengahan sembilan belas V .

Pada tahun 1855, peneliti Jerman dari bagian emas, Profesor Zeising, menerbitkan karyanya Aesthetic Research. Dengan Zeising, apa yang sebenarnya terjadi pasti akan terjadi pada peneliti yang menganggap fenomena itu seperti itu, tanpa ada kaitannya dengan fenomena lain. Dia memutlakkan proporsi bagian emas, menyatakannya universal untuk semua fenomena alam dan seni. Zeising memiliki banyak pengikut, tetapi ada juga penentang yang menyatakan doktrin proporsinya sebagai "estetika matematika".

Zeising melakukan pekerjaan dengan baik. Dia mengukur sekitar dua ribu tubuh manusia dan sampai pada kesimpulan bahwa rasio emas mengungkapkan hukum statistik rata-rata. Pembagian tubuh dengan titik pusar adalah indikator terpenting dari bagian emas. Proporsi tubuh laki-laki berfluktuasi dalam rasio rata-rata 13:8 = 1,625 dan agak mendekati rasio emas daripada proporsi tubuh wanita, yang mana nilai rata-rata proporsi dinyatakan dalam rasio 8:5=1,6. Pada bayi baru lahir, proporsinya adalah 1: 1, pada usia 13 tahun menjadi 1,6, dan pada usia 21 tahun sama dengan laki-laki. Proporsi bagian emas juga dimanifestasikan dalam kaitannya dengan bagian tubuh lainnya - panjang bahu, lengan bawah dan tangan, tangan dan jari, dll.

Zeising menguji validitas teorinya pada patung-patung Yunani. Dia mengembangkan proporsi Apollo Belvedere dengan sangat detail. Vas Yunani diperiksa, struktur arsitektur zaman yang berbeda, tanaman, hewan, telur burung, nada musik, meter puitis. Zeising mendefinisikan rasio emas, menunjukkan bagaimana hal itu diekspresikan dalam segmen garis dan angka. Ketika angka yang menyatakan panjang segmen diperoleh, Zeising melihat bahwa mereka merupakan deret Fibonacci, yang dapat dilanjutkan tanpa batas waktu ke satu arah dan arah lainnya. Buku berikutnya berjudul "Pembagian emas sebagai hukum morfologi dasar dalam alam dan seni." Pada tahun 1876, sebuah buku kecil, hampir sebuah pamflet, diterbitkan di Rusia, yang menguraikan karya Zeising. Penulis berlindung di bawah inisial Yu.F.V. Tidak ada satu lukisan pun yang disebutkan dalam edisi ini.

DI DALAM akhir XIX- awal abad XX. banyak teori formalistik murni muncul tentang penggunaan bagian emas dalam karya seni dan arsitektur. Dengan perkembangan desain dan estetika teknis, hukum rasio emas meluas ke desain mobil, furnitur, dll.

RASIO EMAS DAN SIMETRI

Rasio emas tidak dapat dipertimbangkan dengan sendirinya, secara terpisah, tanpa kaitannya dengan simetri. Ahli kristalografi Rusia G.V. Wulff (1863-1925) menganggap rasio emas sebagai salah satu perwujudan simetri.

Pembagian emas bukanlah manifestasi dari asimetri, sesuatu yang berlawanan dengan simetri. Berdasarkan gagasan modern pembagian emas adalah simetri asimetris. Ilmu simetri mencakup konsep-konsep seperti simetri statis dan dinamis. Simetri statis mencirikan istirahat, keseimbangan, dan simetri dinamis mencirikan gerakan, pertumbuhan. Jadi, di alam, simetri statis diwakili oleh struktur kristal, dan dalam seni itu mencirikan kedamaian, keseimbangan, dan imobilitas. Simetri dinamis mengekspresikan aktivitas, mencirikan gerakan, perkembangan, ritme, itu adalah bukti kehidupan. Simetri statis dicirikan oleh segmen yang sama, besaran yang sama. Simetri dinamis dicirikan oleh peningkatan segmen atau penurunannya, dan dinyatakan dalam nilai bagian emas dari deret yang naik atau turun.

SERI FIBONACCCI

Nama biksu matematikawan Italia Leonardo dari Pisa, yang lebih dikenal dengan Fibonacci, secara tidak langsung terkait dengan sejarah bagian emas. Dia sering bepergian di Timur, memperkenalkan Eropa pada angka Arab. Pada 1202, karya matematikanya "The Book of the Abacus" (papan hitung) diterbitkan, di mana semua masalah yang diketahui pada waktu itu dikumpulkan.

Serangkaian angka 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, dst. dikenal sebagai deret Fibonacci. Keunikan dari deret bilangan adalah bahwa setiap anggotanya, mulai dari yang ketiga, sama dengan jumlah dari dua sebelumnya 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34, dst., dan rasio bilangan yang berdekatan dari deret tersebut mendekati rasio pembagian emas. Jadi, 21:34=0,617, dan 34:55=0,618. Rasio ini dilambangkan dengan simbol Ф. Hanya rasio ini - 0,618: 0,382 - yang memberikan pembagian berkelanjutan dari segmen garis lurus dalam rasio emas, kenaikan atau penurunannya hingga tak terbatas, ketika segmen yang lebih kecil dikaitkan dengan yang lebih besar sebagai yang lebih besar adalah segalanya.

Seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini, panjang setiap ruas jari terkait dengan panjang ruas jari berikutnya dalam proporsi F. Hubungan yang sama terlihat pada semua jari tangan dan kaki. Hubungan ini entah bagaimana tidak biasa, karena satu jari lebih panjang dari yang lain tanpa pola yang terlihat, tetapi ini bukan kebetulan, sama seperti segala sesuatu di tubuh manusia bukanlah kebetulan. Jarak pada jari-jari, yang ditandai dari A ke B ke C ke D ke E, semuanya berhubungan satu sama lain dalam proporsi F, demikian pula falang jari-jari dari F ke G ke H.

Lihatlah kerangka katak ini dan lihat bagaimana setiap tulang mengikuti pola rasio-F seperti halnya pada tubuh manusia.

RASIO EMAS UMUM

Ilmuwan terus aktif mengembangkan teori bilangan Fibonacci dan bagian emas. Yu Matiyasevich memecahkan masalah ke-10 Hilbert menggunakan angka Fibonacci. Ada metode untuk memecahkan sejumlah masalah cybernetic (teori pencarian, permainan, pemrograman) dengan menggunakan bilangan Fibonacci dan bagian emas. Di AS, bahkan Asosiasi Fibonacci Matematika sedang dibuat, yang sejak 1963 telah menerbitkan jurnal khusus.

Salah satu pencapaian di bidang ini adalah penemuan bilangan Fibonacci yang digeneralisasikan dan rasio emas yang digeneralisasikan.

Deret Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) dan deret "biner" dengan bobot 1, 2, 4, 8 yang ditemukannya sama sekali berbeda pada pandangan pertama. Tetapi algoritme untuk membangunnya sangat mirip satu sama lain: dalam kasus pertama, setiap angka adalah jumlah dari angka sebelumnya dengan sendirinya 2=1+1; 4=2+2..., yang kedua - ini adalah jumlah dari dua angka sebelumnya 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Apakah mungkin menemukan matematika umum rumus dari mana "biner » seri, dan seri Fibonacci? Atau mungkin rumus ini akan memberi kita kumpulan numerik baru dengan beberapa properti unik baru?

Memang, mari kita atur parameter numerik S, yang dapat mengambil nilai apa saja: 0, 1, 2, 3, 4, 5... dan dipisahkan dari yang sebelumnya dengan langkah S. Jika kita menyatakan anggota ke-n dari deret ini dengan? S (n), lalu kita dapatkan rumus umumnya? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Jelas, dengan S=0 dari rumus ini kita akan mendapatkan deret "biner", dengan S=1 - deret Fibonacci, dengan S=2, 3, 4. deret angka baru, yang disebut angka S-Fibonacci.

DI DALAM pandangan umum proporsi-S emas adalah akar positif dari persamaan penampang-S emas x S+1 -x S -1=0.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ketika S = 0, pembagian segmen menjadi dua diperoleh, dan ketika S = 1, diperoleh bagian emas klasik yang sudah dikenal.

Rasio angka-S Fibonacci tetangga dengan akurasi matematis mutlak bertepatan dalam batas dengan proporsi-S emas! Matematikawan dalam kasus seperti itu mengatakan bahwa bagian-S emas adalah invarian numerik dari angka-S Fibonacci.

Fakta yang mengkonfirmasi keberadaan bagian-S emas di alam diberikan oleh ilmuwan Belarusia E.M. Soroko dalam buku "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Ternyata, misalnya, paduan biner yang dipelajari dengan baik memiliki sifat fungsional khusus yang diucapkan (stabil secara termal, keras, tahan aus, tahan oksidasi, dll.) Hanya jika bobot spesifik komponen awal terkait satu sama lain. per satu dari proporsi-S emas. Hal ini memungkinkan penulis untuk mengajukan hipotesis bahwa bagian-S emas adalah invarian numerik dari sistem pengorganisasian mandiri. Dikonfirmasi secara eksperimental, hipotesis ini dapat menjadi sangat penting untuk pengembangan sinergis, bidang ilmu baru yang mempelajari proses dalam sistem yang mengatur diri sendiri.

Menggunakan kode proporsi-S emas, bilangan real apa pun dapat dinyatakan sebagai jumlah derajat proporsi-S emas dengan koefisien bilangan bulat.

Perbedaan mendasar antara metode pengkodean angka ini adalah bahwa basis kode baru, yang merupakan proporsi-S emas, berubah menjadi bilangan irasional untuk S>0. Dengan demikian, sistem bilangan baru dengan basis irasional, seolah-olah, menempatkan hierarki hubungan yang mapan secara historis antara bilangan rasional dan irasional "terbalik". Faktanya adalah bahwa pada awalnya bilangan asli "ditemukan"; maka rasio mereka adalah bilangan rasional. Dan baru kemudian, setelah Pythagoras menemukan segmen yang tidak dapat dibandingkan, bilangan irasional muncul. Misalnya, dalam desimal, kuiner, biner, dan sistem bilangan posisional klasik lainnya, bilangan asli dipilih sebagai semacam prinsip dasar: 10, 5, 2, yang darinya, menurut aturan tertentu, semua bilangan asli, serta rasional dan dibangun bilangan irasional.

Semacam alternatif metode yang ada kalkulus adalah sistem baru, irasional, sebagai prinsip dasar dari awal perhitungan yang memilih bilangan irasional (yang, kita ingat, adalah akar dari persamaan bagian emas); bilangan real lainnya sudah diekspresikan melaluinya.

Dalam sistem bilangan seperti itu, bilangan asli apa pun selalu dapat direpresentasikan sebagai bilangan terbatas - dan tidak terbatas, seperti yang diperkirakan sebelumnya! adalah jumlah kekuatan dari salah satu proporsi-S emas. Ini adalah salah satu alasan mengapa aritmatika "irasional", dengan kesederhanaan dan keanggunan matematisnya yang luar biasa, tampaknya telah menyerap kualitas terbaik biner klasik dan aritmatika "Fibonacci".

PRINSIP PEMBENTUKAN DI ALAM

Segala sesuatu yang berwujud, terbentuk, tumbuh, berjuang untuk mengambil tempat di ruang angkasa dan melestarikan dirinya sendiri. Aspirasi ini terwujud terutama dalam dua varian: pertumbuhan ke atas atau menyebar ke permukaan bumi dan memutar dalam bentuk spiral.

Cangkangnya dipelintir dalam bentuk spiral. Jika Anda membukanya, Anda mendapatkan panjang yang sedikit lebih rendah dari panjang ular. Cangkang kecil berukuran sepuluh sentimeter memiliki panjang spiral 35 cm, spiral sangat umum di alam. Konsep rasio emas tidak akan lengkap jika tidak berbicara tentang spiral.

Bentuk cangkang yang melengkung secara spiral menarik perhatian Archimedes. Dia mempelajarinya dan menyimpulkan persamaan spiral. Spiral yang ditarik menurut persamaan ini disebut dengan namanya. Peningkatan langkahnya selalu seragam. Saat ini, spiral Archimedes banyak digunakan dalam bidang teknik.

Bahkan Goethe menekankan kecenderungan alam pada spiralitas. Susunan spiral dan spiral daun pada dahan pohon sudah lama diketahui.

Spiral terlihat pada susunan biji bunga matahari, pada buah cemara, nanas, kaktus, dll. Kerja sama ahli botani dan ahli matematika telah menjelaskan fenomena alam yang menakjubkan ini. Ternyata dalam susunan daun pada cabang (phylotaxis), biji bunga matahari, kerucut pinus, deret Fibonacci memanifestasikan dirinya, dan oleh karena itu, hukum bagian emas memanifestasikan dirinya. Laba-laba memutar jaringnya dalam pola spiral. Badai sedang berputar. Kawanan rusa kutub yang ketakutan menyebar dalam bentuk spiral. Molekul DNA dipelintir menjadi heliks ganda. Goethe menyebut spiral itu "kurva kehidupan".

Seri Mandelbrot

Spiral emas terkait erat dengan siklus. Ilmu kekacauan modern mempelajari operasi umpan balik siklik sederhana dan bentuk fraktal yang dihasilkannya, yang sebelumnya tidak diketahui. Gambar tersebut menunjukkan seri Mandelbrot yang terkenal - sebuah halaman dari kamus H tungkai pola individu, yang disebut deret Julian. Beberapa ilmuwan mengasosiasikan seri Mandelbrot dengan kode genetik inti sel. Peningkatan bagian yang konsisten mengungkapkan fraktal yang luar biasa dalam kompleksitas artistiknya. Dan di sini juga, ada spiral logaritmik! Ini semakin penting karena seri Mandelbrot dan seri Julian bukanlah penemuan. pikiran manusia. Mereka muncul dari ranah prototipe Plato. Seperti yang dikatakan dokter R. Penrose, "mereka seperti Gunung Everest"

Di antara rerumputan pinggir jalan, tanaman biasa-biasa saja tumbuh - sawi putih. Mari kita lihat lebih dekat. Sebuah cabang terbentuk dari batang utama. Ini daun pertama.

Pelengkap membuat ejeksi yang kuat ke luar angkasa, berhenti, melepaskan daun, tetapi sudah lebih pendek dari yang pertama, sekali lagi membuat ejeksi ke luar angkasa, tetapi dengan kekuatan yang lebih kecil, melepaskan daun dengan ukuran yang lebih kecil dan melontarkan lagi.

Jika outlier pertama diambil 100 satuan, maka outlier kedua 62 satuan, ketiga 38, keempat 24, dan seterusnya. Panjang kelopak juga tunduk pada rasio emas. Dalam pertumbuhan, penaklukan ruang, tanaman mempertahankan proporsi tertentu. Impuls pertumbuhannya secara bertahap menurun sebanding dengan rasio emas.

Chicory

Pada banyak kupu-kupu, rasio ukuran bagian dada dan perut tubuh sesuai dengan rasio emas. Setelah melipat sayapnya, kupu-kupu malam membentuk segitiga sama sisi beraturan. Tetapi perlu melebarkan sayap, dan Anda akan melihat prinsip yang sama membagi tubuh menjadi 2, 3, 5, 8. Capung juga diciptakan menurut hukum rasio emas: rasio panjang ekor dan badan sama dengan perbandingan panjang total dengan panjang ekor.

Pada kadal, pada pandangan pertama, proporsi yang enak dipandang mata kita ditangkap - panjang ekornya berhubungan dengan panjang bagian tubuh lainnya antara 62 hingga 38.

kadal vivipar

Baik di tumbuhan maupun di dunia hewan, kecenderungan pembentukan alam secara terus-menerus menerobos - simetri sehubungan dengan arah pertumbuhan dan pergerakan. Di sini rasio emas muncul dalam proporsi bagian yang tegak lurus terhadap arah pertumbuhan.

Alam telah melakukan pembagian menjadi bagian-bagian simetris dan proporsi emas. Di bagian-bagian, pengulangan struktur keseluruhan dimanifestasikan.

Yang sangat menarik adalah studi tentang bentuk telur burung. Berbagai bentuk mereka berfluktuasi antara dua tipe ekstrem: salah satunya dapat ditorehkan dalam persegi panjang bagian emas, yang lain dalam persegi panjang dengan modul 1,272 (akar rasio emas)

Bentuk telur burung seperti itu bukanlah kebetulan, karena sekarang telah ditetapkan bahwa bentuk telur yang dijelaskan dengan rasio bagian emas sesuai dengan karakteristik kekuatan cangkang telur yang lebih tinggi.

Gading gajah dan mammoth yang sudah punah, cakar singa, dan paruh burung beo adalah bentuk logaritma dan menyerupai bentuk sumbu yang cenderung berubah menjadi spiral.

Di alam liar, bentuk-bentuk berdasarkan simetri "pentagonal" (bintang laut, bulu babi, bunga) tersebar luas.

Rasio emas terdapat dalam struktur semua kristal, tetapi sebagian besar kristal berukuran kecil secara mikroskopis, sehingga kita tidak dapat melihatnya dengan mata telanjang. Namun, kepingan salju, yang juga merupakan kristal air, cukup terjangkau oleh mata kita. Semua sosok dengan keindahan luar biasa yang membentuk kepingan salju, semua kapak, lingkaran, dan figur geometris dalam kepingan salju juga selalu, tanpa kecuali, dibangun sesuai dengan formula sempurna yang jelas dari bagian emas.

Dalam mikrokosmos, bentuk logaritmik tiga dimensi yang dibangun menurut proporsi emas ada di mana-mana. Misalnya, banyak virus memiliki bentuk geometris tiga dimensi ikosahedron. Mungkin yang paling terkenal dari virus ini adalah virus Adeno. Cangkang protein virus Adeno terbentuk dari 252 unit sel protein yang tersusun dalam urutan tertentu. Di setiap sudut icosahedron terdapat 12 unit sel protein dalam bentuk prisma pentagonal, dan struktur seperti paku memanjang dari sudut ini.

Virus adeno

Rasio emas dalam struktur virus pertama kali ditemukan pada tahun 1950-an. ilmuwan dari Birkbeck College London A. Klug dan D. Kaspar. Bentuk logaritmik pertama terungkap dengan sendirinya oleh virus Polyo. Bentuk virus ini ternyata mirip dengan virus Rhino.

Timbul pertanyaan: bagaimana virus membentuk bentuk tiga dimensi yang begitu rumit, yang perangkatnya mengandung rasio emas, yang cukup sulit untuk dibangun bahkan dengan pikiran manusia kita? Penemu bentuk virus ini, ahli virologi A. Klug, membuat komentar berikut: “Dr. Kaspar dan saya telah menunjukkan bahwa untuk cangkang bulat virus, bentuk yang paling optimal adalah simetri seperti bentuk ikosahedron. Urutan seperti itu meminimalkan jumlah elemen penghubung... Sebagian besar kubus setengah bola geodesik Buckminster Fuller dibangun menurut prinsip geometris yang serupa. Pemasangan kubus semacam itu membutuhkan skema penjelasan yang sangat tepat dan terperinci, sementara virus yang tidak sadar sendiri membangun cangkang kompleks dari unit sel protein yang elastis dan fleksibel.

Komentar Klug sekali lagi mengingatkan pada kebenaran yang sangat jelas: dalam struktur bahkan organisme mikroskopis, yang oleh para ilmuwan digolongkan sebagai "bentuk kehidupan yang paling primitif", dalam kasus ini di dalam virus, ada maksud yang jelas dan rancangan yang masuk akal. Proyek ini tak tertandingi dalam kesempurnaan dan ketepatan pelaksanaannya dengan proyek arsitektur tercanggih yang dibuat oleh orang-orang. Misalnya, proyek yang dibuat oleh arsitek brilian Buckminster Fuller.

Model tiga dimensi dodecahedron dan icosahedron juga terdapat dalam struktur kerangka radiolaria mikroorganisme laut uniseluler (beamer), yang kerangkanya terbuat dari silika.

Radiolaria membentuk tubuh mereka dengan keindahan yang sangat indah dan tidak biasa. Bentuknya adalah dodecahedron biasa, dan dari masing-masing sudutnya tumbuh anggota badan semu dan pertumbuhan bentuk tidak biasa lainnya.

Goethe yang agung, seorang penyair, naturalis, dan seniman (ia melukis dan melukis dengan cat air), bermimpi menciptakan doktrin terpadu tentang bentuk, pembentukan, dan transformasi tubuh organik. Dialah yang memperkenalkan istilah morfologi ke dalam penggunaan ilmiah.

Pierre Curie pada awal abad kita merumuskan sejumlah gagasan simetri yang mendalam. Dia berargumen bahwa seseorang tidak dapat menganggap simetri benda apa pun tanpa memperhitungkan simetri lingkungan.

Hukum simetri "emas" dimanifestasikan dalam transisi energi partikel elementer, dalam struktur beberapa senyawa kimia, dalam sistem planet dan luar angkasa, dalam struktur gen organisme hidup. Pola-pola ini, seperti yang ditunjukkan di atas, berada dalam struktur masing-masing organ manusia dan tubuh secara keseluruhan, dan juga dimanifestasikan dalam bioritme dan fungsi otak serta persepsi visual.

TUBUH MANUSIA DAN BAGIAN EMAS

Semua tulang manusia sebanding dengan bagian emas. Proporsi berbagai bagian tubuh kita membentuk angka yang sangat dekat dengan rasio emas. Jika proporsi ini sesuai dengan rumus rasio emas, maka penampilan atau tubuh seseorang dianggap bertubuh ideal.

Proporsi emas di bagian tubuh manusia

Jika kita mengambil titik pusar sebagai pusat tubuh manusia, dan jarak antara kaki manusia dan titik pusar sebagai satuan ukuran, maka tinggi seseorang setara dengan angka 1.618.

jarak dari ketinggian bahu ke ubun-ubun kepala dan ukuran kepala adalah 1:1.618;
jarak dari titik pusar ke ubun-ubun kepala dan dari ketinggian bahu ke ubun-ubun kepala adalah 1:1.618;
jarak titik pusar ke lutut dan dari lutut ke kaki adalah 1:1.618;
jarak ujung dagu ke ujung bibir atas dan dari ujung bibir atas ke lubang hidung adalah 1:1,618;
nyatanya, kehadiran proporsi emas yang tepat di wajah seseorang adalah cita-cita kecantikan bagi pandangan manusia;
jarak ujung dagu ke garis atas alis dan dari garis atas alis ke ubun-ubun adalah 1:1,618;
tinggi wajah/lebar wajah;
titik pusat sambungan bibir ke pangkal hidung / panjang hidung;
tinggi/jarak wajah dari ujung dagu ke titik tengah pertemuan bibir;
lebar mulut/lebar hidung;
lebar hidung/jarak antar lubang hidung;
jarak antar pupil / jarak antar alis.

Cukup dekatkan telapak tangan Anda sekarang dan perhatikan baik-baik jari telunjuk, dan Anda akan segera menemukan rumus bagian emas di dalamnya.

Setiap jari tangan kita terdiri dari tiga falang. Jumlah panjang dari dua falang pertama jari dalam hubungannya dengan seluruh panjang jari memberikan rasio emas (kecuali ibu jari).

Selain itu, rasio antara jari tengah dan kelingking juga sama dengan rasio emas.

Seseorang memiliki 2 tangan, jari-jari di setiap tangan terdiri dari 3 falang (kecuali ibu jari). Setiap tangan memiliki 5 jari, yaitu total 10, tetapi dengan pengecualian dua ibu jari dua phalangeal, hanya 8 jari yang dibuat sesuai dengan prinsip rasio emas. Sedangkan semua angka 2, 3, 5 dan 8 ini adalah angka deret Fibonacci.

Perlu juga dicatat bahwa pada kebanyakan orang jarak antara ujung lengan yang direntangkan sama dengan tinggi badan.

Kebenaran rasio emas ada di dalam diri kita dan di ruang kita. Keunikan bronkus yang menyusun paru-paru seseorang terletak pada asimetrinya. Bronkus terdiri dari dua saluran udara utama, satu (kiri) lebih panjang dan yang lainnya (kanan) lebih pendek. Ditemukan bahwa asimetri ini berlanjut di cabang-cabang bronkus, di semua saluran udara yang lebih kecil. Selain itu, rasio panjang bronkus pendek dan panjang juga merupakan rasio emas dan sama dengan 1:1.618.

Di telinga bagian dalam manusia terdapat organ Cochlea ("Siput"), yang menjalankan fungsi transmisi getaran suara. Struktur tulang ini diisi dengan cairan dan juga dibuat dalam bentuk siput, berisi bentuk spiral logaritmik yang stabil =73 0 43".

Tekanan darah berubah saat jantung berdetak. Ini mencapai nilai terbesarnya di ventrikel kiri jantung pada saat kontraksi (sistole). Di arteri selama sistol ventrikel jantung, tekanan darah mencapai nilai maksimum sama dengan 115-125 mm Hg pada anak muda, Orang yang sehat. Pada saat relaksasi otot jantung (diastole), tekanan turun menjadi 70-80 mm Hg. Rasio tekanan maksimum (sistolik) dengan minimum (diastolik) rata-rata 1,6, mendekati rasio emas.

Jika kita mengambil tekanan darah rata-rata di aorta sebagai satu unit, maka tekanan darah sistolik di aorta adalah 0,382, dan diastolik 0,618, yaitu rasionya sesuai dengan rasio emas. Artinya, kerja jantung dalam kaitannya dengan siklus waktu dan perubahan tekanan darah dioptimalkan sesuai dengan prinsip hukum rasio emas yang sama.

Molekul DNA terdiri dari dua heliks yang terjalin secara vertikal. Masing-masing spiral ini memiliki panjang 34 angstrom dan lebar 21 angstrom. (1 angstrom adalah seperseratus juta sentimeter).

Struktur bagian heliks molekul DNA

Jadi 21 dan 34 adalah angka yang mengikuti satu demi satu dalam urutan angka Fibonacci, yaitu perbandingan panjang dan lebar heliks logaritmik molekul DNA yang membawa rumus bagian emas 1: 1,618.

BAGIAN EMAS PADA PATUNG

Patung, monumen didirikan untuk memperingati peristiwa penting, untuk mengenang keturunan nama-nama orang terkenal, perbuatan dan perbuatan mereka. Diketahui bahwa bahkan di zaman kuno, dasar seni pahat adalah teori proporsi. Hubungan bagian-bagian tubuh manusia dikaitkan dengan rumus bagian emas. Proporsi "bagian emas" menciptakan kesan harmoni, keindahan, sehingga pematung menggunakannya dalam karya mereka. Pematung mengklaim bahwa pinggang membagi tubuh manusia yang sempurna dalam kaitannya dengan "bagian emas". Jadi, misalnya patung terkenal Apollo Belvedere terdiri dari bagian-bagian yang dibagi menurut rasio emas. Pematung besar Yunani kuno Phidias sering menggunakan "rasio emas" dalam karya-karyanya. Yang paling terkenal adalah patung Olympian Zeus (yang dianggap sebagai salah satu keajaiban dunia) dan Athena Parthenon.

Proporsi emas patung Apollo Belvedere diketahui: ketinggian orang yang digambarkan dibagi dengan garis pusar di bagian emas.

BAGIAN EMAS DALAM ARSITEKTUR

Dalam buku-buku tentang "bagian emas" orang dapat menemukan pernyataan bahwa dalam arsitektur, seperti dalam lukisan, semuanya tergantung pada posisi pengamat, dan jika beberapa proporsi dalam sebuah bangunan di satu sisi tampak membentuk "bagian emas", kemudian dari sudut pandang lain mereka akan terlihat berbeda. "Bagian emas" memberikan rasio ukuran panjang tertentu yang paling santai.

Salah satu karya terindah arsitektur Yunani kuno adalah Parthenon (abad V SM).

Terlihat di gambar seluruh baris pola yang terkait dengan rasio emas. Proporsi suatu bangunan dapat dinyatakan dalam bentuk berbagai derajat angka Ф=0,618...

Parthenon memiliki 8 kolom di sisi pendek dan 17 kolom di sisi panjang. Tepiannya seluruhnya terbuat dari kotak marmer Pentilean. Kemuliaan bahan dari mana kuil itu dibangun memungkinkan untuk membatasi penggunaan pewarnaan yang umum dalam arsitektur Yunani, itu hanya menekankan detail dan membentuk latar belakang berwarna (biru dan merah) untuk patung itu. Rasio tinggi bangunan terhadap panjangnya adalah 0,618. Jika kita membagi Parthenon menurut "bagian emas", kita akan mendapatkan tonjolan fasad tertentu.

Di denah lantai Parthenon, Anda juga bisa melihat "persegi panjang emas".

Kita bisa melihat rasio emas pada bangunan katedral Notre Dame dari Paris(Notre Dame de Paris), dan di piramida Cheops.

Tidak hanya piramida Mesir yang dibangun sesuai dengan proporsi rasio emas yang sempurna; fenomena yang sama ditemukan di piramida Meksiko.

Untuk waktu yang lama diyakini bahwa para arsitek Rus Kuno membangun segalanya "dengan mata", tanpa perhitungan matematis khusus. Namun, penelitian terbaru menunjukkan bahwa arsitek Rusia mengetahui proporsi matematis dengan baik, sebagaimana dibuktikan dengan analisis geometri candi kuno.

Arsitek terkenal Rusia M. Kazakov banyak menggunakan "bagian emas" dalam karyanya. Bakatnya memiliki banyak segi, tetapi ia mengungkapkan dirinya lebih luas dalam berbagai proyek bangunan tempat tinggal dan perkebunan yang telah selesai. Misalnya, "bagian emas" dapat ditemukan pada arsitektur gedung Senat di Kremlin. Menurut proyek M. Kazakov, Rumah Sakit Golitsyn dibangun di Moskow, yang saat ini disebut Yang Pertama rumah sakit klinis dinamai N.I. Pirogov.

Istana Petrovsky di Moskow. Dibangun sesuai dengan proyek M.F. Kazakova

Mahakarya arsitektur Moskow lainnya - Rumah Pashkov - adalah salah satu karya arsitektur paling sempurna oleh V. Bazhenov.

Rumah Pashkov

Ciptaan V. Bazhenov yang luar biasa telah dengan mantap memasuki ansambel pusat kota Moskow modern, memperkayanya. Tampilan luar rumah hampir tidak berubah hingga hari ini, meskipun terbakar parah pada tahun 1812. Selama restorasi, bangunan tersebut memperoleh bentuk yang lebih masif. Tata letak bagian dalam bangunan juga tidak dipertahankan, yang hanya dapat diketahui oleh gambar lantai bawah.

Banyak pernyataan arsitek yang patut mendapat perhatian di zaman kita. Tentang seni favoritnya, V. Bazhenov berkata: “Arsitektur memiliki tiga mata pelajaran utama: keindahan, ketenangan dan kekuatan bangunan ... Untuk mencapainya, pengetahuan tentang proporsi, perspektif, mekanika atau fisika secara umum berfungsi sebagai panduan, dan semuanya memiliki pemimpin yang sama adalah alasan.

RASIO EMAS DALAM MUSIK

Karya musik apa pun memiliki rentang waktu dan dibagi menjadi beberapa "tonggak estetika" menjadi bagian-bagian terpisah yang menarik perhatian dan memfasilitasi persepsi secara keseluruhan. Tonggak-tonggak ini bisa menjadi titik kulminasi yang dinamis dan intonasional dari sebuah karya musik. Interval waktu terpisah dari sebuah karya musik, dihubungkan oleh "peristiwa klimaks", sebagai aturan, berada dalam rasio Rasio Emas.

Kembali pada tahun 1925, kritikus seni L.L. Sabaneev, setelah menganalisis 1.770 karya musik oleh 42 penulis, menunjukkan bahwa sebagian besar karya luar biasa dapat dengan mudah dibagi menjadi beberapa bagian baik berdasarkan tema, intonasi, atau sistem modal, yang terkait dengan bagian emas. Selain itu, semakin berbakat sang komposer, semakin banyak bagian emas yang ditemukan dalam karyanya. Menurut Sabaneev, rasio emas menimbulkan kesan harmoni yang istimewa dari sebuah komposisi musik. Hasil ini diverifikasi oleh Sabaneev pada semua 27 etudes Chopin. Dia menemukan 178 bagian emas di dalamnya. Pada saat yang sama, ternyata tidak hanya sebagian besar etude yang dibagi berdasarkan durasi dalam kaitannya dengan golden section, tetapi sebagian besar etude di dalamnya juga sering dibagi dengan rasio yang sama.

Komposer dan ilmuwan M.A. Marutaev menghitung jumlah takaran dalam sonata Appassionata yang terkenal dan menemukan sejumlah hubungan numerik yang menarik. Secara khusus, dalam pengembangan unit struktural pusat sonata, di mana tema dikembangkan secara intensif dan kunci saling menggantikan, ada dua bagian utama. Di siklus pertama - 43,25, di siklus kedua - 26,75. Rasio 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 menghasilkan rasio emas.

Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%) memiliki jumlah karya terbesar yang memiliki Golden Section.

Jika musik adalah urutan suara yang harmonis, maka puisi adalah urutan ucapan yang harmonis. Ritme yang jelas, pergantian suku kata yang ditekan dan tidak ditekan secara teratur, dimensi puisi yang teratur, kekayaan emosionalnya menjadikan puisi saudara dari karya musik. Rasio emas dalam puisi terutama memanifestasikan dirinya sebagai kehadiran momen puisi tertentu (klimaks, titik balik semantik, gagasan utama karya) dalam baris yang dikaitkan dengan titik pembagian. jumlah total baris puisi dalam rasio emas. Jadi, jika puisi itu berisi 100 baris, maka poin pertama Rasio Emas berada di baris ke-62 (62%), baris kedua - di baris ke-38 (38%), dll. Karya Alexander Sergeevich Pushkin, termasuk "Eugene Onegin", adalah korespondensi terbaik dengan rasio emas! Karya Shota Rustaveli dan M.Yu. Lermontov juga dibangun berdasarkan prinsip Bagian Emas.

Stradivari menulis bahwa dia menggunakan rasio emas untuk menentukan lokasi takik berbentuk f pada badan biolanya yang terkenal.

BAGIAN EMAS DALAM PUISI

Studi karya puisi dari posisi ini baru saja dimulai. Dan Anda harus mulai dengan puisi A.S. pushkin. Bagaimanapun, karyanya adalah contoh kreasi budaya Rusia yang paling menonjol, sebuah contoh tingkat tertinggi harmoni. Dari puisi A.S. Pushkin, kita akan mulai mencari rasio emas - ukuran harmoni dan keindahan.

Banyak struktur karya puitis membuat bentuk seni ini terkait dengan musik. Ritme yang jelas, pergantian suku kata yang ditekan dan tidak ditekan secara teratur, dimensi puisi yang teratur, kekayaan emosionalnya menjadikan puisi saudara dari karya musik. Setiap ayat memiliki bentuk musiknya sendiri, ritme dan melodinya sendiri. Diharapkan dalam struktur puisi akan muncul beberapa ciri karya musik, pola harmoni musik dan karenanya rasio emas.

Mari kita mulai dengan ukuran puisi, yaitu jumlah baris di dalamnya. Tampaknya parameter puisi ini dapat berubah secara sewenang-wenang. Namun, ternyata bukan itu masalahnya. Misalnya, analisis puisi karya A.S. Pushkin menunjukkan bahwa ukuran puisi didistribusikan dengan sangat tidak merata; ternyata Pushkin jelas lebih suka ukuran 5, 8, 13, 21 dan 34 baris (angka Fibonacci).

Banyak peneliti telah memperhatikan bahwa puisi itu serupa karya musik; mereka juga memiliki titik klimaks yang membagi puisi secara proporsional dengan rasio emas. Perhatikan, misalnya, puisi karya A.S. Pushkin "Pembuat sepatu":

Mari kita menganalisis perumpamaan ini. Puisi itu terdiri dari 13 baris. Ini menyoroti dua bagian semantik: yang pertama dalam 8 baris dan yang kedua (moral perumpamaan) dalam 5 baris (13, 8, 5 adalah angka Fibonacci).

Salah satu puisi terakhir Pushkin, "Saya tidak menghargai hak profil tinggi ..." terdiri dari 21 baris dan dua bagian semantik dibedakan di dalamnya: dalam 13 dan 8 baris:

Saya tidak menghargai hak profil tinggi,

Dari mana tidak ada yang pusing.

Saya tidak mengomel tentang fakta bahwa para dewa menolak

Saya berada di banyak tantangan pajak yang manis

Atau mencegah raja-raja berkelahi satu sama lain;

Dan sedikit kesedihan bagi saya, apakah pers bebas

Payudara bodoh, atau sensor sensitif

Dalam rencana majalah, joker itu memalukan.

Semua ini, Anda lihat, kata, kata, kata.

Lainnya, lebih baik, hak saya sayangi:

Lain, lebih baik, saya butuh kebebasan:

Bergantung pada raja, bergantung pada rakyat -

Bukankah kita semua peduli? Tuhan menyertai mereka.

Jangan memberikan laporan, hanya untuk diri sendiri

Sajikan dan tolong; untuk tenaga, untuk corak

Jangan menekuk hati nurani, atau pikiran, atau leher;

Pada keinginan Anda untuk berkeliaran di sana-sini,

Mengagumi keindahan ilahi alam,

Dan sebelum makhluk seni dan inspirasi

Gemetar gembira dalam kenikmatan kelembutan,

Inilah kebahagiaan! Itu benar...

Ciri khasnya adalah bagian pertama dari ayat ini (13 baris) dibagi menjadi 8 dan 5 baris dalam hal konten semantik, yaitu keseluruhan puisi dibangun menurut hukum rasio emas.

Yang tidak diragukan lagi menarik adalah analisis novel "Eugene Onegin" yang dibuat oleh N. Vasyutinskiy. Novel ini terdiri dari 8 bab, masing-masing bab rata-rata sekitar 50 ayat. Yang paling sempurna, paling halus dan kaya secara emosional adalah bab kedelapan. Ini memiliki 51 ayat. Bersama dengan surat Yevgeny kepada Tatyana (60 baris), ini persis sama dengan angka Fibonacci 55!

N. Vasyutinsky menyatakan: “Puncak dari bab ini adalah pernyataan cinta Evgeny untuk Tatyana - baris “Pucat dan pudar ... itu kebahagiaan!” Baris ini membagi seluruh bab kedelapan menjadi dua bagian: yang pertama memiliki 477 baris, dan yang kedua memiliki 295 baris. Rasio mereka adalah 1,617! Korespondensi paling halus dengan nilai rasio emas! Ini adalah keajaiban harmoni yang luar biasa, yang dicapai oleh kejeniusan Pushkin!

E. Rosenov menganalisis banyak karya puisi M.Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoy dan juga menemukan "bagian emas" di dalamnya.

Puisi terkenal Lermontov "Borodino" dibagi menjadi dua bagian: pengantar yang ditujukan kepada narator, hanya menempati satu bait ("Katakan padaku, paman, bukan tanpa alasan ..."), dan bagian utama, mewakili keseluruhan yang independen, yang dibagi menjadi dua bagian yang setara. Yang pertama menggambarkan, dengan ketegangan yang meningkat, ekspektasi akan pertempuran, yang kedua menggambarkan pertempuran itu sendiri dengan penurunan ketegangan secara bertahap menjelang akhir puisi. Perbatasan antara bagian-bagian ini adalah klimaks dari karya tersebut dan jatuh tepat pada titik pembagiannya dengan bagian emas.

Bagian utama puisi terdiri dari 13 tujuh baris, yaitu 91 baris. Membaginya dengan rasio emas (91:1.618=56.238), kita pastikan bahwa titik pembagiannya ada di awal ayat ke-57, di mana ada kalimat pendek: “Wah, hari itu!” Ungkapan inilah yang mewakili "titik puncak dari harapan yang menggembirakan", yang mengakhiri bagian pertama puisi (harapan pertempuran) dan membuka bagian keduanya (deskripsi pertempuran).

Dengan demikian, rasio emas memainkan peran yang sangat berarti dalam puisi, menonjolkan klimaks puisi tersebut.

Banyak peneliti puisi Shota Rustaveli "The Knight in the Panther's Skin" mencatat harmoni dan melodi yang luar biasa dari syairnya. Sifat-sifat puisi ilmuwan Georgia ini, akademisi G.V. Tsereteli mengaitkannya dengan penggunaan rasio emas secara sadar oleh penyair baik dalam pembentukan bentuk puisi maupun dalam konstruksi puisinya.

Puisi Rustaveli terdiri dari 1587 bait yang masing-masing terdiri dari empat baris. Setiap baris terdiri dari 16 suku kata dan dibagi menjadi dua bagian yang sama dari 8 suku kata di setiap setengah baris. Semua hemistich dibagi menjadi dua segmen dari dua jenis: A - hemistich dengan segmen yang sama dan sebuah angka genap suku kata (4+4); B adalah setengah garis dengan pembagian asimetris menjadi dua bagian yang tidak sama (5+3 atau 3+5). Jadi, pada setengah garis B, rasionya adalah 3:5:8, yang merupakan perkiraan rasio emas.

Telah ditetapkan bahwa dari 1587 bait dalam puisi Rustaveli, lebih dari setengahnya (863) dibangun menurut prinsip bagian emas.

Di zaman kita, jenis seni baru telah lahir - sinema, yang menyerap dramaturgi aksi, lukisan, musik. Sah-sah saja mencari manifestasi bagian emas dalam karya sinematografi yang luar biasa. Yang pertama melakukan ini adalah pencipta mahakarya sinema dunia "Battleship Potemkin", sutradara film Sergei Eisenstein. Dalam konstruksi gambar ini, ia berhasil mewujudkan prinsip dasar harmoni - rasio emas. Seperti yang dicatat Eisenstein sendiri, bendera merah di tiang kapal perang pemberontak (titik puncak film) berkibar di titik rasio emas, dihitung dari akhir film.

RASIO EMAS DALAM FONT DAN ITEM RUMAH TANGGA

jenis khusus seni visual Yunani kuno perlu untuk menyoroti pembuatan dan pengecatan berbagai kapal. Dalam bentuk yang elegan, proporsi bagian emas mudah ditebak.

Dalam lukisan dan pahatan kuil, pada barang-barang rumah tangga, orang Mesir kuno paling sering menggambarkan dewa dan firaun. Kanon gambar orang yang berdiri, berjalan, duduk, dll. Seniman diminta untuk menghafal bentuk dan skema gambar individu dari tabel dan sampel. Seniman Yunani kuno melakukan perjalanan khusus ke Mesir untuk mempelajari cara menggunakan kanon.

PARAMETER FISIK OPTIMAL LINGKUNGAN EKSTERNAL

Maksimal diketahui volume suara, yang menyebabkan rasa sakit, sama dengan 130 desibel. Jika kita membagi interval ini dengan rasio emas 1,618, kita mendapatkan 80 desibel, yang khas untuk kerasnya jeritan manusia. Jika sekarang kita membagi 80 desibel dengan rasio emas, kita mendapatkan 50 desibel, yang sesuai dengan kerasnya ucapan manusia. Terakhir, jika kita membagi 50 desibel dengan kuadrat rasio emas 2,618, kita mendapatkan 20 desibel, yang setara dengan bisikan manusia. Dengan demikian, semua parameter karakteristik volume suara saling berhubungan melalui rasio emas.

Pada suhu interval 18-20 0 C kelembaban 40-60% dianggap optimal. Batas kisaran kelembaban optimal dapat diperoleh jika kelembaban absolut 100% dibagi dua kali dengan rasio emas: 100 / 2,618 = 38,2% (batas bawah); 100/1,618=61,8% (batas atas).

Pada tekanan udara 0,5 MPa, seseorang mengalami ketidaknyamanan, fisik dan aktivitas psikologis. Pada tekanan 0,3-0,35 MPa, hanya operasi jangka pendek yang diperbolehkan, dan pada tekanan 0,2 MPa, dibiarkan bekerja tidak lebih dari 8 menit. Semua parameter karakteristik ini saling berhubungan dengan rasio emas: 0,5/1,618=0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Parameter batas suhu luar ruangan, di mana keberadaan normal (dan, yang terpenting, asal usul) seseorang dimungkinkan, adalah kisaran suhu dari 0 hingga + (57-58) 0 C. Jelas, batas penjelasan pertama dapat dihilangkan.

Kami membagi kisaran suhu positif yang ditunjukkan dengan rasio emas. Dalam hal ini, kami memperoleh dua batasan (kedua batasan adalah karakteristik suhu tubuh manusia): yang pertama sesuai dengan suhu, batas kedua sesuai dengan suhu udara luar maksimum yang mungkin untuk tubuh manusia.

BAGIAN EMAS DALAM LUKISAN

Bahkan di zaman Renaisans, para seniman menemukan bahwa gambar apa pun memiliki titik-titik tertentu yang secara tidak sengaja menarik perhatian kita, yang disebut pusat visual. Dalam hal ini, tidak masalah format gambar apa yang horizontal atau vertikal. Hanya ada empat titik seperti itu, dan terletak pada jarak 3/8 dan 5/8 dari tepi bidang yang sesuai.

Penemuan di antara para seniman pada masa itu disebut "bagian emas" dari lukisan itu.

Beralih ke contoh "bagian emas" dalam seni lukis, orang tidak bisa berhenti memperhatikan karya Leonardo da Vinci. Identitasnya adalah salah satu misteri sejarah. Leonardo da Vinci sendiri berkata: "Jangan ada orang yang bukan ahli matematika yang berani membaca karya saya."

Dia memperoleh ketenaran sebagai seniman yang tak tertandingi, ilmuwan hebat, jenius yang mengantisipasi banyak penemuan yang baru diterapkan pada abad ke-20.

Tidak diragukan lagi bahwa Leonardo da Vinci adalah seorang seniman hebat, orang-orang sezamannya telah mengakui hal ini, tetapi kepribadian dan aktivitasnya akan tetap diselimuti misteri, karena ia meninggalkan kepada anak cucu bukan presentasi ide-idenya yang koheren, tetapi hanya banyak sketsa tulisan tangan, catatan yang mengatakan "keduanya segala sesuatu di dunia."

Dia menulis dari kanan ke kiri dengan tulisan tangan yang tidak terbaca dan dengan tangan kirinya. Ini adalah contoh tulisan cermin paling terkenal yang pernah ada.

Potret Monna Lisa (Gioconda) telah menarik perhatian para peneliti selama bertahun-tahun, yang menemukan bahwa komposisi gambar tersebut didasarkan pada segitiga emas yang merupakan bagian dari pentagon bintang biasa. Ada banyak versi tentang sejarah potret ini. Ini salah satunya.

Suatu ketika Leonardo da Vinci menerima perintah dari bankir Francesco del Giocondo untuk melukis potret seorang wanita muda, istri bankir, Monna Lisa. Wanita itu tidak cantik, tetapi dia tertarik dengan kesederhanaan dan kealamian penampilannya. Leonardo setuju untuk melukis potret. Modelnya sedih dan sedih, tetapi Leonardo menceritakan sebuah dongeng, setelah mendengarnya menjadi hidup dan menarik.

DONGENG. Dahulu kala ada seorang pria miskin, dia memiliki empat putra: tiga pintar, dan salah satunya begini dan begitu. Dan kemudian kematian datang untuk sang ayah. Sebelum berpisah dengan hidupnya, dia memanggil anak-anaknya dan berkata: “Anak-anakku, aku akan segera mati. Segera setelah Anda menguburkan saya, kunci gubuknya dan pergi ke ujung dunia untuk mendapatkan kekayaan Anda sendiri. Semoga Anda masing-masing mempelajari sesuatu sehingga Anda dapat memberi makan diri Anda sendiri.” Sang ayah meninggal, dan putra-putranya menyebar ke seluruh dunia, setuju untuk kembali ke rawa hutan asal mereka tiga tahun kemudian. Saudara pertama datang, yang belajar pertukangan, menebang pohon dan menebangnya, menjadikannya seorang wanita, berjalan pergi sedikit dan menunggu. Kakak kedua kembali, melihat seorang wanita kayu dan, karena dia seorang penjahit, dalam satu menit mendandaninya: sebagai pengrajin yang terampil, dia menjahit pakaian sutra yang indah untuknya. Putra ketiga menghiasi wanita itu dengan emas dan batu mulia Karena dia adalah seorang pembuat perhiasan. Akhirnya, saudara keempat tiba. Dia tidak tahu bagaimana pertukangan dan menjahit, dia hanya tahu bagaimana mendengarkan apa yang dikatakan bumi, pohon, rerumputan, hewan dan burung, dia tahu jalannya. benda angkasa dan dia bisa menyanyikan lagu-lagu indah. Dia menyanyikan lagu yang membuat saudara-saudara yang bersembunyi di balik semak-semak menangis. Dengan lagu ini, dia menghidupkan kembali wanita itu, dia tersenyum dan menghela nafas. Saudara-saudara bergegas ke arahnya dan masing-masing meneriakkan hal yang sama: "Kamu pasti istriku." Tetapi wanita itu menjawab: “Kamu menciptakan saya - jadilah ayah saya. Anda mendandani saya, dan Anda menghiasi saya - jadilah saudara laki-laki saya. Dan Anda, yang menghembuskan jiwa saya ke dalam diri saya dan mengajari saya untuk menikmati hidup, saya membutuhkan Anda sendirian seumur hidup.

Setelah menyelesaikan ceritanya, Leonardo menatap Monna Lisa, wajahnya bersinar terang, matanya bersinar. Kemudian, seolah-olah terbangun dari mimpi, dia menghela nafas, mengusap wajahnya, dan tanpa sepatah kata pun pergi ke tempatnya, melipat tangannya dan mengambil postur tubuhnya yang biasa. Tetapi perbuatan itu telah selesai - sang seniman membangunkan patung yang acuh tak acuh itu; senyum kebahagiaan, perlahan menghilang dari wajahnya, tetap berada di sudut mulutnya dan bergetar, memberikan wajahnya ekspresi yang luar biasa, misterius dan sedikit licik, seperti seseorang yang telah mempelajari sebuah rahasia dan, dengan hati-hati menyimpannya, tidak dapat menahan kemenangannya. Leonardo bekerja dalam diam, takut melewatkan momen ini, sinar matahari yang menyinari modelnya yang membosankan...

Sulit untuk mencatat apa yang diperhatikan dalam mahakarya seni ini, tetapi semua orang berbicara tentang pengetahuan mendalam Leonardo tentang struktur tubuh manusia, berkat itu ia berhasil menangkap senyuman misterius ini. Mereka berbicara tentang ekspresi bagian individu dari gambar dan tentang lanskap, pendamping potret yang belum pernah terjadi sebelumnya. Mereka berbicara tentang kealamian ekspresi, kesederhanaan pose, keindahan tangan. Sang seniman telah melakukan sesuatu yang belum pernah terjadi sebelumnya: lukisan itu menggambarkan udara, menyelimuti sosok itu dengan kabut transparan. Meski sukses, Leonardo murung, situasi di Florence tampak menyakitkan bagi artis, dia bersiap untuk pergi. Pengingat pesanan banjir tidak membantunya.

Bagian emas pada gambar I.I. Shishkin "Hutan Pinus". Dalam lukisan terkenal karya I.I. Shishkin, motif bagian emas terlihat jelas. Pohon pinus yang terang benderang (berdiri di latar depan) membagi panjang gambar menurut rasio emas. Di sebelah kanan pohon pinus ada bukit kecil yang diterangi matahari. Ini membagi sisi kanan gambar secara horizontal sesuai dengan rasio emas. Di sebelah kiri pinus utama ada banyak pinus - jika mau, Anda dapat terus membagi gambar sesuai dengan rasio emas dan selanjutnya.

hutan pinus

Kehadiran dalam gambar vertikal dan horizontal yang cerah, membaginya dalam kaitannya dengan bagian emas, memberikan karakter keseimbangan dan ketenangan sesuai dengan niat senimannya. Ketika niat seniman berbeda, jika, katakanlah, ia membuat gambar dengan aksi yang berkembang pesat, skema komposisi geometris seperti itu (dengan dominasi vertikal dan horizontal) menjadi tidak dapat diterima.

DI DAN. Surikov. "Boyar Morozova"

Perannya ditugaskan ke bagian tengah gambar. Itu terikat oleh titik naik tertinggi dan titik jatuh terendah plot gambar: naiknya tangan Morozova dengan tanda salib dengan dua jari, sebagai titik tertinggi; mengulurkan tangan tak berdaya kepada wanita bangsawan yang sama, tetapi kali ini tangan seorang wanita tua - seorang pengemis pengembara, sebuah tangan dari mana, bersama dengan harapan terakhir ujung kereta luncur keluar untuk keselamatan.

Dan bagaimana dengan " titik tertinggi"? Pada pandangan pertama, kita memiliki kontradiksi yang tampak: bagaimanapun juga, bagian A 1 B 1, yaitu 0,618 ... dari tepi kanan gambar, tidak melewati lengan, bahkan tidak melewati kepala atau mata dari wanita bangsawan, tapi ternyata berada di suatu tempat di depan mulut wanita bangsawan itu.

Rasio emas benar-benar memotong hal yang paling penting di sini. Di dalamnya, dan di dalamnya - kekuatan terbesar Morozova.

Tidak ada lukisan yang lebih puitis daripada lukisan Sandro Botticelli, dan lukisan Sandro yang agung tidak lebih terkenal daripada Venus-nya. Bagi Botticelli, Venus-nya adalah perwujudan dari gagasan harmoni universal dari "bagian emas" yang berlaku di alam. Analisis proporsional Venus meyakinkan kita akan hal ini.

Venus

Raphael "Sekolah Athena". Raphael bukanlah seorang ahli matematika, tetapi, seperti banyak seniman pada masa itu, dia memiliki pengetahuan yang luas tentang geometri. Dalam lukisan dinding terkenal "The School of Athens", di mana masyarakat filsuf besar zaman kuno diadakan di kuil sains, perhatian kita tertuju pada kelompok Euclid, ahli matematika Yunani kuno terbesar, yang membongkar gambar yang rumit.

Kombinasi cerdik dari dua segitiga juga dibangun sesuai dengan rasio emas: dapat ditorehkan dalam persegi panjang dengan rasio aspek 5/8. Gambar ini sangat mudah untuk disisipkan ke bagian atas arsitektur. Sudut atas segitiga bertumpu pada batu kunci lengkungan di area yang paling dekat dengan pemirsa, yang lebih rendah - pada titik hilang perspektif, dan bagian samping menunjukkan proporsi celah spasial antara dua bagian lengkungan.

Spiral emas dalam lukisan Raphael "The Massacre of the Innocents". Berbeda dengan bagian emas, perasaan dinamis, kegembiraan, mungkin paling menonjol dalam sosok geometris sederhana lainnya - spiral. Komposisi multi-figur, dibuat pada 1509 - 1510 oleh Raphael, ketika pelukis terkenal membuat lukisan dindingnya di Vatikan, hanya dibedakan oleh dinamisme dan drama plotnya. Raphael tidak pernah menyelesaikan idenya, namun sketsanya diukir oleh seniman grafis Italia yang tidak dikenal Marcantinio Raimondi, yang, berdasarkan sketsa ini, membuat ukiran Massacre of the Innocents.

Pembantaian orang tak berdosa

Jika pada sketsa persiapan Raphael kita secara mental menggambar garis-garis dari pusat semantik komposisi - titik-titik di mana jari-jari prajurit menutup di sekitar pergelangan kaki anak itu, di sepanjang sosok anak itu, wanita itu mencengkeramnya ke dirinya sendiri, prajurit dengan pedang terangkat, dan kemudian di sepanjang gambar dari kelompok yang sama di sisi kanan sketsa (pada gambar, garis-garis ini digambar dengan warna merah), dan kemudian hubungkan potongan-potongan kurva ini dengan garis putus-putus, kemudian garis emas spiral diperoleh dengan akurasi yang sangat tinggi. Ini dapat diperiksa dengan mengukur rasio panjang segmen yang dipotong oleh spiral pada garis lurus yang melewati awal kurva.

RASIO EMAS DAN PERSEPSI CITRA

Kemampuan penganalisa visual manusia untuk membedakan objek yang dibangun menurut algoritma bagian emas sebagai indah, menarik, dan harmonis telah lama diketahui. Rasio emas memberikan perasaan kesatuan yang paling sempurna. Format banyak buku mengikuti rasio emas. Itu dipilih untuk jendela, lukisan dan amplop, perangko, kartu nama. Seseorang mungkin tidak tahu apa-apa tentang angka Ф, tetapi dalam struktur objek, serta dalam urutan peristiwa, dia secara tidak sadar menemukan elemen rasio emas.

Studi telah dilakukan di mana subjek diminta untuk memilih dan menyalin persegi panjang dengan berbagai proporsi. Ada tiga persegi panjang yang dapat dipilih: persegi (40:40 mm), persegi panjang "bagian emas" dengan rasio aspek 1:1,62 (31:50 mm) dan persegi panjang dengan proporsi memanjang 1:2,31 (26: 60mm).

Saat memilih persegi panjang dalam keadaan normal, dalam 1/2 kasus, preferensi diberikan pada persegi. Belahan kanan lebih menyukai rasio emas dan menolak persegi panjang memanjang. Sebaliknya, belahan kiri condong ke arah proporsi memanjang dan menolak rasio emas.

Saat menyalin persegi panjang ini, hal berikut diamati: saat belahan kanan aktif, proporsi salinan dipertahankan paling akurat; ketika belahan kiri aktif, proporsi semua persegi panjang terdistorsi, persegi panjang diregangkan (persegi digambar sebagai persegi panjang dengan rasio aspek 1:1.2; proporsi persegi panjang yang diregangkan meningkat tajam dan mencapai 1:2.8 ). Proporsi persegi panjang "emas" terdistorsi paling kuat; proporsinya dalam salinan menjadi proporsi persegi panjang 1:2.08.

Saat menggambar gambar Anda sendiri, proporsi yang mendekati rasio emas dan memanjang berlaku. Rata-rata, proporsinya adalah 1:2, sedangkan belahan kanan lebih menyukai proporsi bagian emas, belahan kiri menjauh dari proporsi bagian emas dan meregangkan polanya.

Sekarang gambar beberapa persegi panjang, ukur sisi-sisinya dan temukan rasio aspeknya. Hemisfer manakah yang Anda miliki?

RASIO EMAS DALAM FOTOGRAFI

Contoh penggunaan golden ratio dalam fotografi adalah letak komponen kunci frame pada titik-titik yang terletak 3/8 dan 5/8 dari tepi frame. Hal ini dapat diilustrasikan dengan contoh berikut: foto seekor kucing, yang terletak di sembarang tempat dalam bingkai.

Sekarang mari kita bagi bingkai secara kondisional menjadi segmen-segmen, dengan proporsi 1,62 dari total panjang dari setiap sisi bingkai. Di persimpangan segmen akan ada "pusat visual" utama di mana perlu menempatkan yang diperlukan elemen kunci Gambar-gambar. Mari pindahkan kucing kita ke titik "pusat visual".

RASIO EMAS DAN RUANG

Diketahui dari sejarah astronomi bahwa I. Titius, seorang astronom Jerman abad ke-18, menggunakan deret ini, menemukan keteraturan dan keteraturan jarak antar planet tata surya.

Namun, satu kasus yang tampaknya bertentangan dengan hukum: tidak ada planet di antara Mars dan Jupiter. Pengamatan terfokus pada area langit ini mengarah pada penemuan sabuk asteroid. Ini terjadi setelah kematian Titius pada awal abad ke-19. Seri Fibonacci banyak digunakan: dengan bantuannya, mereka mewakili arsitektur makhluk hidup, dan struktur buatan manusia, dan struktur Galaksi. Fakta-fakta tersebut merupakan bukti kemandirian deret bilangan dari syarat perwujudannya yang merupakan salah satu tanda universalitasnya.

Dua Spiral Emas galaksi cocok dengan Bintang Daud.

Perhatikan bintang-bintang yang muncul dari galaksi dalam bentuk spiral putih. Tepat 180 0 dari salah satu spiral, spiral lain yang terbuka keluar ... Untuk waktu yang lama, para astronom hanya percaya bahwa semua yang ada adalah apa yang kita lihat; jika sesuatu terlihat, maka itu ada. Mereka sama sekali tidak memperhatikan bagian Realitas yang tidak terlihat, atau mereka tidak menganggapnya penting. Tetapi sisi tak terlihat dari Realitas kita sebenarnya jauh lebih besar daripada sisi yang terlihat dan, mungkin, lebih penting... Dengan kata lain, bagian Realitas yang terlihat jauh lebih kecil dari satu persen dari keseluruhan - hampir tidak ada. Faktanya, rumah kita yang sebenarnya adalah alam semesta yang tak terlihat...

Di Alam Semesta, semua galaksi yang dikenal umat manusia dan semua benda di dalamnya ada dalam bentuk spiral, sesuai dengan rumus bagian emas. Dalam spiral galaksi kita terdapat rasio emas

KESIMPULAN

Alam, dipahami sebagai seluruh dunia dalam keragaman bentuknya, seolah-olah terdiri dari dua bagian: alam hidup dan alam mati. Ciptaan alam mati dicirikan oleh stabilitas tinggi, variabilitas rendah, dilihat dari skala kehidupan manusia. Seseorang lahir, hidup, menjadi tua, mati, tetapi pegunungan granit tetap sama dan planet-planet berputar mengelilingi Matahari dengan cara yang sama seperti pada zaman Pythagoras.

Dunia margasatwa tampak sangat berbeda di hadapan kita - bergerak, dapat berubah, dan sangat beragam. Hidup menunjukkan kepada kita karnaval keragaman dan orisinalitas kombinasi kreatif yang fantastis! Dunia alam mati, pertama-tama, adalah dunia simetri yang memberikan stabilitas dan keindahan pada ciptaannya. Dunia alam, pertama-tama, adalah dunia harmoni, di mana "hukum bagian emas" bekerja.

DI DALAM dunia modern sains menjadi sangat penting, sehubungan dengan meningkatnya dampak manusia terhadap alam. Tugas penting pada tahap ini adalah pencarian cara baru koeksistensi manusia dan alam, studi filosofis, sosial, ekonomi, pendidikan dan masalah lain yang dihadapi masyarakat.

Dalam makalah ini, pengaruh sifat-sifat "bagian emas" pada alam hidup dan tidak hidup, pada perjalanan sejarah perkembangan sejarah umat manusia dan planet secara keseluruhan dipertimbangkan. Menganalisis semua hal di atas, orang dapat sekali lagi mengagumi keagungan proses kognisi dunia, penemuan polanya yang selalu baru dan menyimpulkan: prinsip bagian emas adalah manifestasi tertinggi dari kesempurnaan struktural dan fungsional dari keseluruhan dan bagian-bagiannya dalam seni, ilmu pengetahuan, teknologi dan alam. Dapat diharapkan bahwa hukum perkembangan berbagai sistem alam, hukum pertumbuhan, tidak terlalu beragam dan paling banyak ditelusuri berbagai formasi. Ini adalah manifestasi dari kesatuan alam. Gagasan tentang kesatuan semacam itu, berdasarkan manifestasi pola yang sama dalam fenomena alam yang heterogen, telah mempertahankan relevansinya dari Pythagoras hingga saat ini.

rasio emas - prinsip universal harmoni

"Rasa tidak berdebat" - berapa kali kita masing-masing mendengar formula ini, dan bahkan mengucapkannya. Dengan menyetujuinya, kami dengan demikian siap untuk mempertahankan aib apa pun yang dapat diberikan oleh imajinasi manusia. Seseorang yang sangat egois, cerewet, bersemangat, tidak terbiasa mendengarkan dunia besar dan kecil, tidak punya alasan untuk mengembangkan rasa dan memahami harmoni, dan oleh karena itu ia mampu menghasilkan estetika yang paling mengerikan, sambil menyebutnya keindahan. "Kamu tidak bisa melarang kehidupan yang indah," penduduk itu meludahkan bibirnya yang berminyak, mempertahankan seleranya dan melarang orang lain untuk berdebat tentangnya. "Tentu saja, tentu saja, kami tidak akan memperdebatkan selera! Setiap orang benar dengan caranya sendiri, selama dia tidak menyakiti kita," hewan dalam wujud manusia bergema, tidak memahami diri mereka lebih dalam dari kebutuhan tubuh. Dan mereka menetap di tempat tinggal yang jorok, mereka dipenuhi dengan musik yang merusak, begitulah adanya bangku sekolah mereka memberi makan kemalangan, menyajikannya di bawah saus keniscayaan. Kemunduran estetika, ketidakpedulian terhadap keindahan selalu merupakan kemunduran umat manusia, yang tidak lagi ingin bermimpi atau memperjuangkan keindahan. Itu adalah penderitaan dan kematian.

Sulit bagi seseorang untuk melawan seluruh sistem vulgar, dan dia ditakdirkan untuk tunduk padanya dan binasa jika dia tidak memiliki pengetahuan yang cukup. Saya ingin percaya bahwa perasaan keindahan, keharmonisan dunia hidup dalam diri setiap orang - Anda hanya perlu menunjukkannya, belajar bagaimana menggunakannya.

Mungkin sulit untuk menemukan ukuran yang dapat diandalkan untuk penilaian objektif tentang kecantikan itu sendiri, dan logika saja tidak cukup di sini. Namun, pengalaman mereka yang mencari keindahan adalah makna hidup, yang menjadikannya profesi mereka, akan membantu di sini. Pertama-tama, ini adalah orang-orang seni, sebagaimana kami menyebutnya: seniman, arsitek, pematung, musisi, penulis. Tapi ini juga orang-orang dari ilmu eksakta, - pertama-tama, ahli matematika.

Mempercayai mata lebih dari organ indera lainnya, seseorang pertama-tama belajar membedakan benda-benda di sekitarnya berdasarkan bentuknya. Ketertarikan pada bentuk suatu objek mungkin ditentukan oleh kebutuhan vital, atau mungkin disebabkan oleh keindahan bentuk. Bentuknya, yang didasarkan pada kombinasi simetri dan bagian emas, berkontribusi pada persepsi visual terbaik dan munculnya rasa keindahan dan harmoni. Keseluruhan selalu terdiri dari bagian-bagian, bagian-bagian dengan ukuran berbeda berada dalam hubungan tertentu satu sama lain dan dengan keseluruhan. Prinsip bagian emas adalah manifestasi tertinggi dari kesempurnaan struktural dan fungsional dari keseluruhan dan bagian-bagiannya dalam seni, sains, teknologi, dan alam. Gagasan ini dibagikan dan dibagikan oleh banyak ilmuwan modern terkemuka, membuktikan dalam studi mereka bahwa kecantikan sejati selalu fungsional. Diantaranya adalah desainer pesawat. Dan arsitek, dan antropolog, dan banyak lainnya.

Sejarah rasio emas

Secara umum diterima bahwa konsep pembagian emas diperkenalkan ke dalam penggunaan ilmiah oleh Pythagoras, seorang filsuf dan matematikawan Yunani kuno (abad VI SM). Ada anggapan bahwa Pythagoras meminjam pengetahuannya tentang pembagian emas dari orang Mesir dan Babilonia. Memang, proporsi piramida Cheops, kuil, relief dasar, barang-barang rumah tangga, dan dekorasi dari makam Tutankhamun menunjukkan bahwa pengrajin Mesir menggunakan rasio pembagian emas saat membuatnya. Arsitek Prancis Le Corbusier menemukan bahwa pada relief dari kuil Firaun Seti I di Abydos dan pada relief yang menggambarkan Firaun Ramses, proporsi figurnya sesuai dengan nilai pembagian emas. Arsitek Khesira, yang digambarkan pada relief papan kayu dari makam namanya, memegang alat ukur di tangannya, di mana proporsi pembagian emas ditetapkan.

Profesor Jerman G.E. Timerding, yang menulis buku tentang rasio emas pada kuartal pertama abad ke-20, menyatakan: "Di antara kaum Pythagoras<...>pemikiran tentang gaya dan sifat misterius dikaitkan dengan pentagon biasa, tetapi sifat-sifat ini terungkap hanya ketika, di sebelah pentagon biasa, bintang itu dipertimbangkan, yang diperoleh dengan menghubungkan secara berurutan melalui salah satu dari semua simpul pentagon biasa , disusun oleh diagonal pentagon "- dan catatan selanjutnya: pentagram memainkan peran besar dalam semua ilmu magis. Bintang berujung lima, seperti yang ditunjukkan oleh Timerding, secara harfiah diisi dengan proporsi bagian emas.

Plato (427...347 SM) juga tahu tentang pembagian emas. Timaeus Pythagoras dalam dialog Plato dengan nama yang sama mengatakan: "Tidak mungkin dua hal terhubung dengan sempurna tanpa yang ketiga, karena sesuatu harus muncul di antara mereka yang akan menyatukan mereka. Ini paling baik dilakukan secara proporsional, karena jika tiga angka memiliki sifat rata-rata jadi semakin kecil semakin besar ke tengah, dan sebaliknya, semakin kecil ke rata-rata karena rata-rata ke semakin besar, maka yang terakhir dan yang pertama akan menjadi tengah, dan yang di tengah adalah yang pertama dan yang terakhir. karena akan sama, maka akan menjadi satu kesatuan." Plato membangun dunia duniawi menggunakan segitiga dari dua jenis: sama kaki dan tidak sama kaki. Dia menganggap segitiga siku-siku yang paling indah adalah segitiga yang sisi miringnya dua kali lebih kecil dari kakinya (persegi panjang seperti itu setengah sama sisi, sosok utama orang Babilonia, rasionya 1: 3 1/2 , yang berbeda dari rasio emas sekitar 1/25, dan disebut Timerding "lawan rasio emas"). Menggunakan segitiga, Plato membangun empat polihedra biasa, menghubungkannya dengan empat elemen duniawi (tanah, air, udara, dan api). Dan hanya yang terakhir dari lima polihedra biasa yang ada - dodecahedron, yang kedua belas wajahnya adalah segi lima biasa, yang diklaim sebagai gambar simbolis dunia surgawi.

Kehormatan untuk menemukan dodecahedron (atau, seperti yang diharapkan, Semesta itu sendiri, intisari dari empat elemen ini, masing-masing dilambangkan dengan tetrahedron, octahedron, icosahedron dan cube) adalah milik Hippasus, yang kemudian meninggal dalam kecelakaan kapal. Sosok ini benar-benar menangkap banyak hubungan dari bagian emas, sehingga yang terakhir diberi peran utama di dunia surgawi, yang kemudian ditegaskan oleh adik laki-laki Luca Pacioli.

Dalam literatur kuno yang sampai kepada kita, pembagian emas pertama kali disebutkan dalam "Awal" Euclid. Dalam buku ke-2 "Permulaan" diberikan konstruksi geometris dari pembagian emas. Setelah Euclid, Hypsicles (abad II SM), Pappus (abad III M) dan lainnya terlibat dalam studi tentang pembagian emas. Di Eropa abad pertengahan dengan divisi emas Kami bertemu melalui terjemahan bahasa Arab dari "Permulaan" Euclid. Penerjemah J. Campano dari Navarre (abad ke-3) mengomentari terjemahan tersebut. Rahasia divisi emas dijaga ketat, dijaga kerahasiaannya. Mereka hanya diketahui oleh para inisiat.

Pada Abad Pertengahan, pentagram dijelekkan (seperti, memang, banyak yang dianggap ilahi dalam paganisme kuno) dan mendapat perlindungan dalam ilmu gaib. Namun, Renaisans kembali mengungkap pentagram dan rasio emas. Jadi, skema yang menggambarkan struktur tubuh manusia beredar luas pada periode penegasan humanisme itu:

Leonardo da Vinci juga berulang kali menggunakan gambar seperti itu, yang pada dasarnya mereproduksi pentagram. Interpretasinya: tubuh manusia memiliki bersifat ketuhanan kesempurnaan, karena proporsi yang melekat di dalamnya sama dengan sosok langit utama. Leonardo da Vinci, seorang seniman dan ilmuwan, melihat bahwa seniman Italia memiliki banyak pengalaman empiris, tetapi sedikit pengetahuan. Dia mengandung dan mulai menulis buku tentang geometri, tetapi pada saat itu sebuah buku oleh biksu Luca Pacioli muncul, dan Leonardo meninggalkan idenya. Menurut orang-orang sezaman dan sejarawan sains, Luca Pacioli adalah seorang termasyhur sejati, ahli matematika terhebat di Italia antara Fibonacci dan Galileo. Luca Pacioli adalah murid seniman Piero della Francesca, yang menulis dua buku, salah satunya berjudul On Perspective in Painting. Ia dianggap sebagai pencipta geometri deskriptif.

Luca Pacioli sangat menyadari pentingnya sains untuk seni. Pada 1496, atas undangan Duke of Moreau, dia datang ke Milan, di mana dia mengajar matematika. Leonardo da Vinci juga bekerja di pengadilan Moro di Milan saat itu. Pada 1509, sebuah buku karya Luca Pacioli diterbitkan di Venesia "Tentang Proporsi Ilahi"(De divina proportionale, 1497, diterbitkan di Venesia pada 1509) dengan ilustrasi yang dieksekusi dengan cemerlang, itulah sebabnya diyakini dibuat oleh Leonardo da Vinci. Buku itu adalah himne yang antusias dengan rasio emas. Hanya ada satu proporsi seperti itu, dan keunikan adalah sifat tertinggi Tuhan. Itu mewujudkan trinitas suci. Proporsi ini tidak dapat diungkapkan dengan angka yang dapat diakses, tetap tersembunyi dan rahasia, dan disebut irasional oleh ahli matematika itu sendiri (sehingga Tuhan tidak dapat didefinisikan atau dijelaskan dengan kata-kata). Tuhan tidak pernah mengubah dan mewakili segala sesuatu dalam segala hal dan segala sesuatu di setiap bagiannya, jadi rasio emas untuk kuantitas yang terus menerus dan pasti (terlepas dari apakah itu besar atau kecil) adalah sama, tidak dapat diubah atau dirasakan oleh pikiran. Tuhan memanggil kebajikan surgawi, atau disebut substansi kelima, dengan bantuannya empat benda sederhana lainnya (empat elemen - bumi, air, udara, api), dan atas dasar mereka, setiap hal lain di alam diciptakan; jadi proporsi suci kita, menurut Plato dalam Timaeus, memberikan keberadaan formal pada langit itu sendiri, karena itu dikaitkan dengan bentuk tubuh yang disebut dodecahedron, yang tidak dapat dibangun tanpa bagian emas. Ini adalah argumen Pacioli.

Pada saat yang sama, di Eropa utara, di Jerman, Albrecht Dürer mengerjakan masalah yang sama. Dia membuat sketsa pengantar draf pertama risalah tentang proporsi. Durer menulis. "Adalah penting bagi orang yang tahu bagaimana mengajarkannya kepada orang lain yang membutuhkannya. Inilah yang ingin saya lakukan."

Kepler menyebut rasio emas berlanjut dengan sendirinya. “Itu diatur sedemikian rupa,” tulisnya, “bahwa dua suku junior dari proporsi tak terhingga ini dijumlahkan dengan suku ketiga, dan dua suku terakhir mana pun, jika dijumlahkan, memberikan suku berikutnya, dan proporsi yang sama tetap sampai tak terhingga".

Konstruksi rangkaian segmen rasio emas dapat dilakukan baik ke arah naik (rangkaian naik) maupun ke arah turun (deret turun).

Jika pada garis lurus dengan panjang sewenang-wenang, tunda segmen tersebut M, sisihkan segmen M. Berdasarkan dua segmen ini, kami membangun skala segmen proporsi emas dari rangkaian naik dan turun

Pada abad-abad berikutnya, aturan rasio emas berubah menjadi kanon akademik, dan ketika, seiring waktu, perjuangan dimulai dalam seni dengan rutinitas akademik, dalam panasnya perjuangan "mereka membuang anak itu dengan air". Bagian emas "ditemukan" lagi di pertengahan abad ke-19. Pada tahun 1855, peneliti Jerman dari bagian emas, Profesor Zeising, menerbitkan karyanya "Aesthetic Research". Dengan Zeising, apa yang sebenarnya terjadi pasti akan terjadi pada peneliti yang menganggap fenomena itu seperti itu, tanpa ada kaitannya dengan fenomena lain. Dia memutlakkan proporsi bagian emas, menyatakannya universal untuk semua fenomena alam dan seni. Zeising memiliki banyak pengikut, tetapi ada juga penentang yang menyatakan doktrin proporsinya sebagai "estetika matematika".

Zeising melakukan pekerjaan dengan baik. Dia mengukur sekitar dua ribu tubuh manusia dan sampai pada kesimpulan bahwa rasio emas mengungkapkan hukum statistik rata-rata. Pembagian tubuh dengan titik pusar adalah indikator rasio emas yang paling penting. Proporsi tubuh laki-laki berfluktuasi dalam rasio rata-rata 13: 8 = 1,625 dan agak mendekati rasio emas daripada proporsi tubuh perempuan, dalam kaitannya dengan nilai rata-rata proporsi dinyatakan dalam rasio 8: 5 = 1,6. Pada bayi baru lahir, proporsinya adalah 1: 1, pada usia 13 tahun menjadi 1,6, dan pada usia 21 tahun sama dengan laki-laki. Proporsi bagian emas juga dimanifestasikan dalam kaitannya dengan bagian tubuh lainnya - panjang bahu, lengan bawah dan tangan, tangan dan jari, dll.

Zeising menguji validitas teorinya pada patung-patung Yunani. Dia mengembangkan proporsi Apollo Belvedere dengan sangat detail. Vas Yunani, struktur arsitektur dari berbagai era, tumbuhan, hewan, telur burung, nada musik, meteran puitis menjadi sasaran penelitian. Zeising mendefinisikan rasio emas, menunjukkan bagaimana hal itu diekspresikan dalam segmen garis dan angka. Ketika angka yang menyatakan panjang segmen diperoleh, Zeising melihat bahwa mereka merupakan deret Fibonacci, yang dapat dilanjutkan tanpa batas waktu ke satu arah dan arah lainnya. Buku berikutnya berjudul "Pembagian emas sebagai hukum morfologi dasar dalam alam dan seni." Pada tahun 1876, sebuah buku kecil, hampir sebuah pamflet, diterbitkan di Rusia, yang menguraikan karya Zeising. Penulis berlindung di bawah inisial Yu.F.V. Tidak ada satu lukisan pun yang disebutkan dalam edisi ini.

Di akhir XIX - awal abad XX. banyak teori formalistik murni muncul tentang penggunaan bagian emas dalam karya seni dan arsitektur. Dengan perkembangan desain dan estetika teknis, hukum rasio emas meluas ke desain mobil, furnitur, dll.

Sedikit geometri

Dalam matematika proporsi(lat.proportio) sebut persamaan dua hubungan: a:b = c:d.

Segmen garis AB dapat dibagi menjadi dua bagian dengan cara sebagai berikut:

menjadi dua bagian yang sama AB: AC = AB: BC;

menjadi dua bagian yang tidak sama dalam rasio apa pun (bagian tersebut tidak membentuk proporsi);

jadi ketika AB: AC = AC: BC.

Yang terakhir adalah pembagian emas atau pembagian segmen dalam rasio ekstrim dan rata-rata.

Bagian emas adalah pembagian proporsional dari suatu segmen menjadi bagian-bagian yang tidak sama, di mana seluruh segmen berhubungan dengan bagian yang lebih besar dengan cara yang sama seperti bagian yang lebih besar itu sendiri berhubungan dengan yang lebih kecil; atau dengan kata lain, segmen yang lebih kecil terkait dengan segmen yang lebih besar sebagaimana segmen yang lebih besar terkait dengan segalanya

a:b = b:catau c: b = b: a.

Kenalan praktis dengan rasio emas dimulai dengan membagi ruas garis lurus dalam rasio emas menggunakan kompas dan penggaris.

Dari satu titik DI DALAM tegak lurus dipulihkan sama dengan setengah AB. Poin yang diterima DENGAN dihubungkan dengan garis ke titik A. Sebuah segmen digambar pada garis yang dihasilkan matahari, diakhiri dengan titik D. Segmen garis IKLAN dipindahkan ke garis lurus AB. Titik yang dihasilkan e membagi segmen AB dalam rasio emas.

Segmen rasio emas diekspresikan oleh fraksi irasional tak terbatas AE= 0,618... jika AB ambil sebagai satu kesatuan MENJADI\u003d 0,382 ... Untuk tujuan praktis, nilai perkiraan 0,62 dan 0,38 sering digunakan. Jika segmen AB diambil 100 bagian, maka bagian terbesar dari ruas tersebut adalah 62, dan bagian yang lebih kecil adalah 38 bagian.

Sifat-sifat bagian emas dijelaskan oleh persamaan:

x2 - x - 1 = 0.

Solusi untuk persamaan ini:

Rasio emas kedua

Majalah Bulgaria "Tanah Air" (No. 10, 1983) menerbitkan sebuah artikel oleh Tsvetan Tsekov-Karandash "On the second golden section", yang mengikuti dari bagian utama dan memberikan rasio lain 44: 56.

Proporsi seperti itu ditemukan dalam arsitektur, dan juga terjadi dalam konstruksi komposisi gambar dengan format horizontal memanjang.

Pembagian dilakukan sebagai berikut. Segmen garis AB dibagi menurut rasio emas. Dari satu titik DENGAN tegak lurus dipulihkan CD. Radius AB ada titik D, yang dihubungkan oleh garis ke suatu titik A. Sudut kanan ACD dibagi dua. Dari satu titik DENGAN garis ditarik sampai berpotongan dengan garis IKLAN. Dot e membagi segmen IKLAN sehubungan dengan 56:44.

Angka tersebut menunjukkan posisi garis bagian emas kedua. Itu terletak di tengah antara garis bagian emas dan garis tengah persegi panjang.

segitiga emas

Untuk menemukan segmen rasio emas dari deret naik dan turun, Anda dapat menggunakan pentagram.

Untuk membuat pentagram, Anda perlu membuat pentagon biasa. Metode pembuatannya dikembangkan oleh pelukis dan seniman grafis Jerman Albrecht Dürer (1471...1528). Membiarkan HAI- pusat lingkaran A- titik pada lingkaran dan e- segmen tengah OA. Tegak lurus terhadap Radius OA, dipulihkan pada intinya TENTANG, memotong lingkaran di suatu titik D. Dengan menggunakan kompas, sisihkan segmen pada diameternya CE = ED. Panjang sisi segi lima beraturan yang ditulisi lingkaran adalah DC. Menempatkan segmen pada lingkaran DC dan dapatkan lima poin untuk menggambar segi lima beraturan. Kami menghubungkan sudut segi lima melalui satu diagonal dan mendapatkan pentagram. Semua diagonal segi lima saling membagi menjadi segmen-segmen yang dihubungkan oleh rasio emas.

Setiap ujung bintang pentagonal adalah segitiga emas. Sisi-sisinya membentuk sudut 36° di bagian atas, dan alas yang diletakkan di samping membaginya secara proporsional dengan bagian emas.

Kami menggambar garis lurus AB. dari titik A sisihkan di atasnya tiga kali segmen O dengan ukuran sewenang-wenang, melalui titik yang dihasilkan R menggambar garis tegak lurus AB, pada garis tegak lurus ke kanan dan kiri titik tersebut R sisihkan segmen TENTANG. Poin yang diterima D Dan d1 terhubung dengan garis lurus A. Segmen garis dd1 letakkan di garis Iklan1, mendapatkan poin DENGAN. Dia membagi garis Iklan1 sebanding dengan rasio emas. baris Iklan1 Dan dd1 digunakan untuk membangun persegi panjang "emas".

Deret Fibonacci

Nama biksu matematika Italia Leonardo dari Pisa, lebih dikenal sebagai Fibonacci (putra Bonacci), secara tidak langsung terkait dengan sejarah rasio emas. Dia sering bepergian di Timur, memperkenalkan Eropa ke angka India (Arab). Pada 1202, karya matematikanya "The Book of the Abacus" (papan hitung) diterbitkan, di mana semua masalah yang diketahui pada waktu itu dikumpulkan. Salah satu tugas berbunyi "Berapa pasang kelinci dalam satu tahun dari satu pasang yang akan lahir." Merefleksikan topik ini, Fibonacci membangun rangkaian angka berikut:

Bulan

dll.

Sepasang kelinci

dll.

Serangkaian angka 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, dst. dikenal sebagai deret Fibonacci. Keunikan dari deret bilangan adalah bahwa setiap anggotanya, mulai dari yang ketiga, sama dengan jumlah dari dua sebelumnya 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, dst., dan rasio bilangan deret yang berdekatan mendekati rasio pembagian emas. Jadi, 21:34 = 0,617, dan 34:55 = 0,618. Rasio ini dilambangkan dengan simbol Ф. Hanya rasio ini - 0,618: 0,382 - yang memberikan pembagian berkelanjutan dari segmen garis lurus dalam rasio emas, menambah atau menguranginya hingga tak terbatas, ketika segmen yang lebih kecil dikaitkan dengan yang lebih besar sebagai yang lebih besar adalah segalanya.

Fibonacci juga menangani kebutuhan praktis perdagangan: berapa jumlah bobot terkecil yang dapat digunakan untuk menimbang suatu komoditas? Fibonacci membuktikan bahwa sistem bobot berikut optimal: 1, 2, 4, 8, 16...

Deret Fibonacci hanya bisa menjadi insiden matematika jika bukan karena fakta bahwa semua peneliti pembagian emas di dunia tumbuhan dan hewan, belum lagi seni, selalu datang ke deret ini sebagai ekspresi aritmatika dari hukum pembagian emas. .

Ilmuwan terus aktif mengembangkan teori bilangan Fibonacci dan rasio emas. Yu Matiyasevich memecahkan masalah ke-10 Hilbert menggunakan angka Fibonacci. Ada metode elegan untuk menyelesaikan sejumlah masalah cybernetic (teori pencarian, permainan, pemrograman) menggunakan angka Fibonacci dan bagian emas. Di AS, bahkan Asosiasi Fibonacci Matematika sedang dibuat, yang telah menerbitkan jurnal khusus sejak 1963.

Fakta yang mengkonfirmasi keberadaan bagian emas dan turunannya di alam diberikan oleh ilmuwan Belarusia E.M. Soroko dalam buku "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Ternyata, misalnya, paduan biner yang dipelajari dengan baik memiliki sifat fungsional khusus yang diucapkan (stabil secara termal, keras, tahan aus, tahan oksidasi, dll.) Hanya jika gravitasi spesifik dari komponen awal terkait satu sama lain. oleh salah satu proporsi emas. Ini memungkinkan penulis untuk mengajukan hipotesis bahwa bagian emas adalah konstanta numerik untuk sistem yang mengatur dirinya sendiri. Dikonfirmasi secara eksperimental, hipotesis ini dapat menjadi sangat penting untuk pengembangan sinergis - bidang sains baru yang mempelajari proses dalam sistem yang mengatur dirinya sendiri.

Prinsip pembentukan di alam

Segala sesuatu yang berwujud, terbentuk, tumbuh, berjuang untuk mengambil tempat di ruang angkasa dan melestarikan dirinya sendiri. Aspirasi ini terwujud terutama dalam dua varian - pertumbuhan ke atas atau menyebar ke permukaan bumi dan memutar dalam bentuk spiral.

Bahkan Goethe menekankan kecenderungan alam pada spiralitas. Susunan spiral dan spiral daun pada dahan pohon sudah lama diketahui. Spiral terlihat pada susunan biji bunga matahari, pada buah cemara, nanas, kaktus, dll. Kerja sama ahli botani dan ahli matematika telah menjelaskan fenomena alam yang menakjubkan ini. Ternyata dalam susunan daun pada cabang (phylotaxis), biji bunga matahari, kerucut pinus, deret Fibonacci memanifestasikan dirinya, dan oleh karena itu, hukum bagian emas memanifestasikan dirinya. Laba-laba memutar jaringnya dalam pola spiral. Badai sedang berputar. Kawanan rusa kutub yang ketakutan menyebar dalam bentuk spiral. Molekul DNA dipelintir menjadi heliks ganda. Goethe menyebut spiral itu "kurva kehidupan".

Di antara tumbuhan pinggir jalan, tanaman biasa-biasa saja tumbuh - sawi putih. Mari kita lihat lebih dekat. Sebuah cabang terbentuk dari batang utama. Ini daun pertama.

Beras. 12. Chicory

Proses tersebut membuat lontaran yang kuat ke luar angkasa, berhenti, melepaskan daun, tetapi sudah lebih pendek dari yang pertama, sekali lagi membuat lontaran ke luar angkasa, tetapi dengan kekuatan yang lebih kecil, melepaskan daun dengan ukuran yang lebih kecil dan lontaran lagi. Jika outlier pertama diambil 100 satuan, maka outlier kedua 62 satuan, ketiga 38, keempat 24, dan seterusnya. Panjang kelopak juga tunduk pada rasio emas. Dalam pertumbuhan, penaklukan ruang, tanaman mempertahankan proporsi tertentu. Impuls pertumbuhannya secara bertahap menurun sebanding dengan rasio emas.

Beras. 13.kadal vivipar

Pada kadal, pada pandangan pertama, proporsi yang enak dipandang mata kita ditangkap - panjang ekornya berhubungan dengan panjang bagian tubuh lainnya antara 62 hingga 38.

Baik di dunia tumbuhan maupun hewan, kecenderungan alam untuk membangun bentuk terus-menerus menerobos - simetri sehubungan dengan arah pertumbuhan dan pergerakan. Di sini rasio emas muncul dalam proporsi bagian yang tegak lurus terhadap arah pertumbuhan.

Alam telah melakukan pembagian menjadi bagian-bagian simetris dan proporsi emas. Di bagian-bagian, pengulangan struktur keseluruhan dimanifestasikan.

Beras. 14. telur burung

Goethe yang agung, seorang penyair, naturalis, dan seniman (dia menggambar dan melukis dengan cat air), bermimpi menciptakan doktrin terpadu tentang bentuk, pembentukan, dan transformasi tubuh organik. Dialah yang memperkenalkan istilah morfologi ke dalam penggunaan ilmiah.

Keteraturan simetri "emas" dimanifestasikan dalam transisi energi partikel elementer, dalam struktur beberapa senyawa kimia, dalam sistem planet dan luar angkasa, dalam struktur gen organisme hidup. Pola-pola ini, seperti yang ditunjukkan di atas, berada dalam struktur masing-masing organ manusia dan tubuh secara keseluruhan, dan juga dimanifestasikan dalam bioritme dan fungsi otak serta persepsi visual.

Rasio emas dan simetri

Rasio emas tidak dapat dipertimbangkan dengan sendirinya, secara terpisah, tanpa kaitannya dengan simetri. Ahli kristalografi Rusia G.V. Wulff (1863...1925) menganggap rasio emas sebagai salah satu perwujudan simetri.

Pembagian emas bukanlah manifestasi dari asimetri, sesuatu yang berlawanan dengan simetri Menurut konsep modern, pembagian emas adalah simetri asimetris. Ilmu simetri mencakup konsep-konsep seperti statis Dan simetri dinamis. Simetri statis mencirikan istirahat, keseimbangan, dan simetri dinamis mencirikan gerakan, pertumbuhan. Jadi, di alam, simetri statis diwakili oleh struktur kristal, dan dalam seni itu mencirikan kedamaian, keseimbangan, dan imobilitas. Simetri dinamis mengekspresikan aktivitas, mencirikan gerakan, perkembangan, ritme, itu adalah bukti kehidupan. Simetri statis dicirikan oleh segmen yang sama, besaran yang sama. Simetri dinamis ditandai dengan peningkatan segmen atau penurunannya, dan dinyatakan dalam nilai bagian emas.

Amati dan terapkan

Memahami dan menggunakan prinsip bagian emas seharusnya tidak menjadi urusan beberapa elit - ini adalah pengetahuan paling dasar dari mana hukum harmoni dan proporsi yang sangat kompleks dimulai. Tidak ada batasan untuk penerapan yang berarti dari hukum-hukum ini dalam kehidupan sehari-hari. Alokasi yang utama dan sekunder dalam kaitannya dengan keseluruhan dapat menyangkut apa saja. Ini adalah pembagian waktu seseorang, dan proses kreatif apa pun, termasuk semua jenis seni, sastra, musik, dan pembentukan sikap seseorang terhadap proses dan fenomena apa pun. Ini adalah Jalan Tengah Emas, yang dibicarakan orang dahulu.

Setiap artis, setiap sutradara, setiap spesialis periklanan tahu bagaimana membuat gambar yang enak dipandang, bagaimana membangunnya sesuai dengan hukum harmoni dan psikologi. persepsi manusia. Terkadang musuh terburuk budaya mencapai kemenangan yang signifikan dengan menggunakan pengetahuan tentang hukum Alam. Jadi, dengan kedok sesuatu yang menyenangkan dan menawan, kita sering membiarkan racun terkuat masuk ke dalam hati kita. Begitu banyak orang berbicara tentang kebebasan, sementara mereka sendiri meracuni diri mereka sendiri secara sukarela, kemudian bertanya-tanya dari mana datangnya penyakit dan kemalangan mereka.

Tidak ada kebebasan dalam ketidaktahuan. Kekasaran dan ketidakterbacaan rasa harus diatasi. Biarkan ini menjadi perhatian baik individu maupun komunitas dan negara.

Disusun oleh R. Annenkov

Seringkali Anda harus menghadapi situasi ketika elemen yang Anda gambar "tidak berdering"? Sesuatu yang salah? Proporsi yang salah?

Tidak boleh diperdebatkan bahwa tidak ada cita-cita di alam, karena itu ada dan telah lama disimpulkan dengan bantuan matematika dan geometri. Nama orang yang pertama kali memperkenalkan istilah "bagian emas" tidak diketahui, meski banyak yang terbiasa percaya bahwa ini adalah Leonardo Da Vinci. Kemunculan paling awal dari istilah ini adalah pada tahun 1835 berkat Martin Ohm, dalam catatan kaki edisi kedua Matematika Dasar Murni miliknya.

Seperti apa rumus bagian emas itu?

Ini adalah rasio harmonis dari dua besaran b dan a, a > b, ketika a/b = (a+b)/a benar. Angka yang sama dengan rasio a/b biasanya dilambangkan dengan huruf besar Yunani

(\displaystyle \phi )

Untuk menghormati pematung dan arsitek Yunani kuno Phidias.

Untuk tujuan praktis, mereka dibatasi pada nilai perkiraan = 1,618 atau = 1,62. Dalam persentase bulat, rasio emas adalah pembagian nilai dalam kaitannya dengan 62% dan 38%.

Terkadang nomor itu disebut "nomor emas"

Agar Anda dan saya tidak repot dengan matematika, orang pintar datang dengan lingkaran seperti itu. Dengan itu, Anda sudah bisa mengecek proyek selesai pada rasio bagian, dan buat yang baru, dengan mempertimbangkan prinsip "bagian emas"

Biarkan proyek Anda tetap menjadi warisan budaya dunia!

Populer dalam kategori: