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So verwenden Sie einen Augenbrauenkompass von Leonardo. Antiker Kompass für den Goldenen Schnitt. Verallgemeinerter Goldener Schnitt

Goldener Schnitt – ein universelles Prinzip der Harmonie

„Über den Geschmack lässt sich nicht streiten“ – wie oft hat jeder von uns diese Formel schon gehört oder sogar ausgesprochen. Indem wir damit einverstanden sind, sind wir bereit, jedes Verbrechen zu verteidigen, das sich die menschliche Vorstellungskraft leisten kann. Ein zutiefst egoistischer, wählerischer, leidenschaftlicher Mensch, der es nicht gewohnt ist, auf die Welt im Großen und Kleinen zu hören, hat einfach keine Grundlage, um Geschmack zu entwickeln und Harmonie zu verstehen, und ist daher in der Lage, die monströseste Ästhetik hervorzubringen, die er Schönheit nennt. „Man kann es nicht verbieten, schön zu leben“, spuckt der durchschnittliche Mann durch seine dicken Lippen, verteidigt seinen Geschmack und verbietet anderen, darüber zu streiten. „Natürlich, natürlich streiten wir uns nicht über Geschmäcker! Jeder hat auf seine Weise Recht, solange er uns nicht schadet“, ertönt das Echo von Tieren in Gestalt von Menschen, die sich selbst nicht tiefer verstehen als sie selbst körperliche Bedürfnisse. Und sie werden in elenden Behausungen untergebracht, sie werden mit zerstörerischer Musik vollgestopft, sie werden mit dem Elend aus der Schule gefüttert und mit der Soße der Unvermeidlichkeit serviert. Der Niedergang der Ästhetik, die Unachtsamkeit gegenüber der Schönheit ist immer auch der Niedergang der Menschheit, die nicht länger nach Schönheit träumen oder danach streben will. Das ist Leiden und Tod.

Es ist für den Einzelnen schwierig, einem ganzen System der Vulgarität zu widerstehen, und er ist dazu verdammt, sich ihm zu unterwerfen und zugrunde zu gehen, wenn er nicht über ausreichende Kenntnisse verfügt. Ich möchte glauben, dass das Gefühl der Schönheit, der Harmonie der Welt in jedem Menschen lebt – man muss es nur zeigen, lernen, es zu nutzen.

Es dürfte schwierig sein, ein verlässliches Maß für eine objektive Beurteilung der Schönheit selbst zu finden, und mit Logik allein wird man hier nicht auskommen. Hier helfen jedoch die Erfahrungen derer, für die die Suche nach Schönheit der Sinn des Lebens war, die sie zu ihrem Beruf machten. Das sind in erster Linie Menschen der Kunst, wie wir sie nennen: Künstler, Architekten, Bildhauer, Musiker, Schriftsteller. Aber das sind auch Menschen der exakten Wissenschaften, vor allem Mathematiker.

Der Mensch vertraute dem Auge mehr als anderen Sinnen und lernte zunächst, die ihn umgebenden Objekte anhand ihrer Form zu unterscheiden. Das Interesse an der Form eines Objekts kann durch eine lebenswichtige Notwendigkeit bedingt sein oder durch die Schönheit der Form verursacht werden. Die Form, deren Konstruktion auf einer Kombination aus Symmetrie und dem Goldenen Schnitt basiert, trägt zur besten visuellen Wahrnehmung und zum Erscheinungsbild eines Gefühls von Schönheit und Harmonie bei. Das Ganze besteht immer aus Teilen, unterschiedlich große Teile stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander und zum Ganzen. Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionalen Perfektion des Ganzen und seiner Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur. Diese Idee wurde und wird von vielen herausragenden modernen Wissenschaftlern geteilt und in ihrer Forschung bewiesen, dass wahre Schönheit immer funktional ist. Unter ihnen sind Flugzeugkonstrukteure. Und Architekten und Anthropologen und viele andere.

Geschichte des Goldenen Schnitts

Es ist allgemein anerkannt, dass das Konzept der goldenen Teilung von Pythagoras, einem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker (VI. Jahrhundert v. Chr.), in die wissenschaftliche Verwendung eingeführt wurde. Es wird vermutet, dass Pythagoras sein Wissen über die goldene Teilung von den Ägyptern und Babyloniern übernommen hat. Tatsächlich weisen die Proportionen der Cheops-Pyramide, der Tempel, Flachreliefs, Haushaltsgegenstände und des Schmucks aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass ägyptische Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten. Der französische Architekt Le Corbusier stellte fest, dass im Relief aus dem Tempel des Pharaos Sethos I. in Abydos und im Relief mit der Darstellung des Pharaos Ramses die Proportionen der Figuren den Werten der goldenen Teilung entsprechen. Der Architekt Khesira, abgebildet auf einem Relief einer Holztafel aus einem nach ihm benannten Grab, hält in seinen Händen Messgeräte, in denen die Proportionen der goldenen Teilung aufgezeichnet sind.

Der deutsche Professor G.E. Timerding, der im ersten Viertel des 20. Jahrhunderts ein Buch über den Goldenen Schnitt schrieb, sagt: „Die Pythagoräer<...>Die Idee mysteriöser Kräfte und Eigenschaften wurde mit dem regelmäßigen Fünfeck in Verbindung gebracht, aber diese Eigenschaften werden erst offenbart, wenn neben dem gewöhnlichen regelmäßigen Fünfeck der Stern entsteht, der durch aufeinanderfolgendes Verbinden aller Eckpunkte eines gewöhnlichen Fünfecks entsteht durch die Diagonalen des Fünfecks, wird berücksichtigt“, und weitere Anmerkungen: Das Pentagramm spielte in allen magischen Wissenschaften eine große Rolle. Der fünfzackige Stern ist, wie Timerding zeigt, buchstäblich mit den Proportionen des Goldenen Schnitts vollgestopft.

Die Griechen waren geschickte Geometer. Sie brachten ihren Kindern sogar das Rechnen mit geometrischen Figuren bei. Das pythagoräische Quadrat und die Diagonale dieses Quadrats waren die Grundlage für die Konstruktion dynamischer Rechtecke.

Auch Platon (427...347 v. Chr.) wusste von der Goldenen Teilung. Der pythagoräische Timaios sagt in Platons gleichnamigem Dialog: „Es ist unmöglich, dass zwei Dinge ohne ein Drittes vollkommen vereint sind, da zwischen ihnen etwas erscheinen muss, das sie zusammenhält. Dies.“ der beste Weg Verhältnis erfüllen kann, denn wenn drei Zahlen die Eigenschaft haben, dass der Durchschnitt zum Kleinen so ist, wie das Größere zum Durchschnitt, und umgekehrt das Kleinere zum Durchschnitt, wie der Durchschnitt zum Größeren, dann die letzte und die erste wird der Durchschnitt sein, und der Durchschnitt wird der erste und der letzte sein. So wird alles Notwendige gleich sein, und da es gleich sein wird, wird es ein Ganzes bilden.“ Platon baut die irdische Welt aus zwei Arten von Dreiecken auf: gleichschenkligen und nicht gleichschenkligen. Das schönste rechtwinklige Dreieck hält er für eines, bei dem die Hypotenuse doppelt so groß ist wie das kleinere der Beine (ein solches Rechteck ist die Hälfte der gleichseitigen Grundfigur der Babylonier, es hat ein Verhältnis von 1:3 1/2, was etwa vom Goldenen Schnitt abweicht 1/25 und heißt Timerding „Rivale des Goldenen Schnitts“). Aus Dreiecken baut Platon vier regelmäßige Polyeder und verknüpft sie mit den vier irdischen Elementen (Erde, Wasser, Luft und Feuer). Und nur das letzte der fünf existierenden regelmäßigen Polyeder – das Dodekaeder, dessen zwölf Flächen alle regelmäßige Fünfecke sind – erhebt den Anspruch, ein symbolisches Bild der himmlischen Welt zu sein.

Die Ehre, das Dodekaeder (oder, wie angenommen wurde, das Universum selbst, diese Quintessenz der vier Elemente, symbolisiert durch Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder und Würfel) zu entdecken, gebührt Hippasus, der später bei einem Schiffbruch starb. Diese Figur fängt viele Zusammenhänge des Goldenen Schnitts wirklich ein, so dass letzterer die Hauptrolle in der himmlischen Welt erhielt, worauf der Minoritenbruder Luca Pacioli später bestand.

Die Fassade des antiken griechischen Parthenon-Tempels weist goldene Proportionen auf. Bei seinen Ausgrabungen wurden Kompasse entdeckt, die von Architekten und Bildhauern der Antike verwendet wurden. Auch der pompejanische Kompass (Museum in Neapel) enthält die Proportionen der goldenen Teilung.

Im Vorhandenen antike Literatur Die goldene Teilung wurde erstmals in Euklids Elementen erwähnt. Im 2. Buch der „Grundsätze“ wird die geometrische Konstruktion der goldenen Teilung dargelegt. Nach Euklid wurde das Studium der goldenen Teilung von Hypsikles (II. Jahrhundert v. Chr.), Pappus (III. Jahrhundert n. Chr.) und anderen durchgeführt. In Das mittelalterliche Europa mit der goldenen Teilung. Wir lernten uns durch arabische Übersetzungen von Euklids Elementen kennen. Der Übersetzer J. Campano aus Navarra (III. Jahrhundert) machte Kommentare zur Übersetzung. Die Geheimnisse der Goldenen Division wurden sorgfältig gehütet und streng geheim gehalten. Sie waren nur Eingeweihten bekannt.

Im Mittelalter wurde das Pentagramm dämonisiert (wie übrigens vieles, was im antiken Heidentum als göttlich galt) und fand Zuflucht in den okkulten Wissenschaften. Die Renaissance bringt jedoch sowohl das Pentagramm als auch den Goldenen Schnitt wieder ans Licht. So verbreitete sich in dieser Epoche der Etablierung des Humanismus ein Diagramm, das die Struktur des menschlichen Körpers beschreibt:

Auch Leonardo da Vinci griff immer wieder auf ein solches Bild zurück und reproduzierte im Wesentlichen ein Pentagramm. Ihre Interpretation: Der menschliche Körper hat göttlich Perfektion, weil die ihr innewohnenden Proportionen die gleichen sind wie bei der Haupthimmelsfigur. Leonardo da Vinci, ein Künstler und Wissenschaftler, erkannte, dass italienische Künstler über viel empirische Erfahrung, aber wenig Wissen verfügten. Er konzipierte und begann ein Buch über Geometrie zu schreiben, doch zu dieser Zeit erschien ein Buch des Mönchs Luca Pacioli und Leonardo gab seine Idee auf. Zeitgenossen und Wissenschaftshistorikern zufolge war Luca Pacioli eine echte Koryphäe, der größte Mathematiker Italiens in der Zeit zwischen Fibonacci und Galileo. Luca Pacioli war ein Schüler des Künstlers Piero della Francesca, der zwei Bücher schrieb, von denen eines den Titel „Über die Perspektive der Malerei“ trug. Er gilt als Begründer der beschreibenden Geometrie.

Luca Pacioli verstand die Bedeutung der Wissenschaft für die Kunst perfekt. 1496 kam er auf Einladung des Herzogs von Moreau nach Mailand, wo er Vorlesungen über Mathematik hielt. Auch Leonardo da Vinci wirkte zu dieser Zeit in Mailand am Hof der Moro. 1509 wurde in Venedig ein Buch von Luca Pacioli veröffentlicht „Im göttlichen Verhältnis“(De divina proportione, 1497, erschienen 1509 in Venedig) mit brillant ausgeführten Illustrationen, weshalb sie vermutlich von Leonardo da Vinci stammen. Das Buch war eine begeisterte Hymne an den Goldenen Schnitt. Es gibt nur ein solches Verhältnis, und Einzigartigkeit ist die höchste Eigenschaft Gottes. Es verkörpert die Heilige Dreifaltigkeit. Dieses Verhältnis kann nicht in einer zugänglichen Zahl ausgedrückt werden, bleibt verborgen und geheim und wird von Mathematikern selbst als irrational bezeichnet (ebenso kann Gott nicht in Worten definiert oder erklärt werden). Gott verändert sich nie und repräsentiert alles in allem und alles in jedem seiner Teile, daher ist der Goldene Schnitt für jede kontinuierliche und bestimmte Größe (unabhängig davon, ob sie groß oder klein ist) derselbe und kann nicht geändert oder anderweitig mit der Vernunft wahrgenommen werden. Gott rief mit ihrer Hilfe und vier anderen einfachen Körpern (vier Elemente – Erde, Wasser, Luft, Feuer) die himmlische Tugend, auch fünfte Substanz genannt, ins Leben und erweckte auf ihrer Grundlage alles andere in der Natur; So gibt unser heiliger Proportion, laut Platon in Timaios, dem Himmel selbst formale Existenz, denn ihm wird die Form eines Körpers namens Dodekaeder zugeschrieben, der ohne den Goldenen Schnitt nicht konstruiert werden kann. Das sind Paciolis Argumente.

Auch Leonardo da Vinci widmete der Erforschung der Goldenen Teilung große Aufmerksamkeit. Er fertigte Abschnitte eines stereometrischen Körpers an, der aus regelmäßigen Fünfecken bestand, und jedes Mal erhielt er Rechtecke mit Seitenverhältnissen in der goldenen Teilung. Deshalb gab er dieser Abteilung den Namen Goldener Schnitt. Daher bleibt es immer noch das beliebteste.

Zur gleichen Zeit arbeitete Albrecht Dürer im Norden Europas, in Deutschland, an denselben Problemen. Er skizziert die Einleitung zur ersten Fassung der Abhandlung über Proportionen. Dürer schreibt. „Es ist notwendig, dass jemand, der weiß, wie man etwas macht, es auch anderen beibringt, die es brauchen. Das habe ich mir vorgenommen.“

Einem Brief Dürers zufolge traf er sich in Italien mit Luca Pacioli. Albrecht Dürer entwickelt ausführlich die Proportionslehre des menschlichen Körpers. Dürer wies dem Goldenen Schnitt einen wichtigen Platz in seinem Beziehungssystem zu. Die Körpergröße einer Person wird in goldenen Proportionen durch die Linie des Gürtels sowie durch eine Linie geteilt, die durch die Spitzen der Mittelfinger der gesenkten Hände, den unteren Teil des Gesichts durch den Mund usw. gezogen wird. Der Proportionalkompass von Dürer ist bekannt.

Großer Astronom des 16. Jahrhunderts. Johannes Kepler bezeichnete den Goldenen Schnitt als einen der Schätze der Geometrie. Er machte als erster auf die Bedeutung des Goldenen Schnitts für die Botanik (Pflanzenwachstum und deren Struktur) aufmerksam.

Kepler bezeichnete die Goldene Proportion als selbstkontinuierlich. „Sie ist so strukturiert“, schrieb er, „dass sich die beiden niedrigsten Terme dieser nie endenden Proportion zum dritten Term und zu den beiden letzten Termen addieren, wenn sie addiert werden.“ , gib den nächsten Term an, und das gleiche Verhältnis bleibt bis ins Unendliche bestehen.“

Die Konstruktion einer Reihe von Segmenten des Goldenen Schnitts kann sowohl in Richtung der Zunahme (aufsteigende Reihe) als auch in der Richtung der Abnahme (absteigende Reihe) erfolgen.

Wenn Sie sich auf einer geraden Linie beliebiger Länge befinden, legen Sie das Segment beiseite M, legen Sie das Segment daneben M. Basierend auf diesen beiden Segmenten erstellen wir eine Segmentskala des goldenen Anteils der aufsteigenden und absteigenden Reihe

In den folgenden Jahrhunderten wurde die Regel des Goldenen Schnitts zu einem akademischen Kanon, und als mit der Zeit der Kampf gegen den akademischen Alltag in der Kunst begann, „schüttete man in der Hitze des Kampfes das Baby mit dem Bade aus.“ Der Goldene Schnitt wurde in wiederentdeckt Mitte des 19 V. Im Jahr 1855 veröffentlichte der deutsche Forscher des Goldenen Schnitts, Professor Zeising, sein Werk „Ästhetische Studien“. Was Zeising passierte, war genau das, was zwangsläufig einem Forscher passieren sollte, der ein Phänomen als solches betrachtet, ohne Zusammenhang mit anderen Phänomenen. Er verabsolutierte die Proportionen des Goldenen Schnitts und erklärte ihn für universell für alle Phänomene der Natur und der Kunst. Zeising hatte zahlreiche Anhänger, aber es gab auch Gegner, die seine Proportionslehre zur „mathematischen Ästhetik“ erklärten.

Zeising hat großartige Arbeit geleistet. Er vermaß etwa zweitausend menschliche Körper und kam zu dem Schluss, dass der Goldene Schnitt das durchschnittliche statistische Gesetz ausdrückt. Die Teilung des Körpers durch den Nabelpunkt ist der wichtigste Indikator für den Goldenen Schnitt. Proportionen männlicher Körper schwanken im durchschnittlichen Verhältnis von 13:8 = 1,625 und kommen dem Goldenen Schnitt etwas näher als die Proportionen Weiblicher Körper, bezogen auf den der Durchschnittswert des Anteils im Verhältnis 8: 5 = 1,6 ausgedrückt wird. Bei einem Neugeborenen beträgt das Verhältnis 1:1, mit 13 Jahren beträgt es 1,6 und mit 21 Jahren entspricht es dem eines Mannes. Die Proportionen des Goldenen Schnitts erscheinen auch im Verhältnis zu anderen Körperteilen – der Länge von Schulter, Unterarm und Hand, Hand und Fingern usw.

Zeising testete die Gültigkeit seiner Theorie an griechischen Statuen. Er entwickelte die Proportionen des Apollo Belvedere bis ins kleinste Detail. Untersucht wurden griechische Vasen, architektonische Strukturen verschiedener Epochen, Pflanzen, Tiere, Vogeleier, Musiktöne und poetische Metren. Zeising definierte den Goldenen Schnitt und zeigte, wie er in geraden Linienabschnitten und in Zahlen ausgedrückt wird. Als man die Zahlen erhielt, die die Längen der Segmente ausdrückten, erkannte Zeising, dass sie eine Fibonacci-Reihe darstellten, die in die eine oder andere Richtung unendlich fortgesetzt werden konnte. Sein nächstes Buch trug den Titel „Die goldene Teilung als grundlegendes morphologisches Gesetz in Natur und Kunst“. Im Jahr 1876 wurde in Russland ein kleines Buch, fast eine Broschüre, veröffentlicht, in dem dieses Werk von Zeising dargelegt wurde. Der Autor flüchtete unter den Initialen Yu.F.V. In dieser Ausgabe wird kein einziges Gemälde erwähnt.

IN Ende des 19. Jahrhunderts- frühes 20. Jahrhundert Über die Verwendung des Goldenen Schnitts in Kunstwerken und Architektur tauchten viele rein formalistische Theorien auf. Mit der Entwicklung des Designs und der technischen Ästhetik weitete sich das Gesetz des Goldenen Schnitts auf die Gestaltung von Autos, Möbeln usw. aus.

Ein bisschen Geometrie

In Mathematik Anteil(lat. proportio) nennen die Gleichheit zweier Beziehungen: a: b = c: d.

Gerades Segment AB lässt sich wie folgt in zwei Teile gliedern:

in zwei gleiche Teile - AB: AC = AB: BC;

in zwei in irgendeiner Hinsicht ungleiche Teile (solche Teile bilden keine Proportionen);

also wann AB: AC = AC: BC.

Letzteres ist die goldene Einteilung bzw. Aufteilung eines Segments in Extrem- und Durchschnittsverhältnis.

Der Goldene Schnitt ist eine solche proportionale Aufteilung eines Segments in ungleiche Teile, bei der das gesamte Segment zum größeren Teil in Beziehung steht, wie der größere Teil selbst zum kleineren Teil; oder mit anderen Worten: Das kleinere Segment verhält sich zum Größeren wie das Größere zum Ganzen

a: b = b: coder c: b = b: a.

Das praktische Kennenlernen des Goldenen Schnitts beginnt damit, dass man mit Zirkel und Lineal ein gerades Liniensegment im Goldenen Schnitt teilt.

Von Punkt IN eine Senkrechte gleich der Hälfte wird wiederhergestellt AB. Erhaltener Punkt MIT durch eine Linie mit einem Punkt verbunden A. Auf der resultierenden Linie wird ein Segment aufgetragen Sonne endet mit einem Punkt D. Liniensegment ANZEIGE auf direkt übertragen AB. Der resultierende Punkt E teilt ein Segment AB im Goldenen Schnitt.

Segmente des Goldenen Schnitts werden als unendlicher irrationaler Bruch ausgedrückt A.E.= 0,618..., wenn AB als eins nehmen SEI= 0,382... Aus praktischen Gründen werden häufig Näherungswerte von 0,62 und 0,38 verwendet. Wenn das Segment AB Wenn wir 100 Teile nehmen, beträgt der größere Teil des Segments 62 und der kleinere Teil 38 Teile.

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts werden durch die Gleichung beschrieben:

x2 - x - 1 = 0.

Lösung dieser Gleichung:

Zweiter Goldener Schnitt

In der bulgarischen Zeitschrift „Vaterland“ (Nr. 10, 1983) erschien ein Artikel von Tsvetan Tsekov-Karandash „Über den zweiten Goldenen Schnitt“, der sich an den Hauptteil anschließt und ein weiteres Verhältnis von 44:56 angibt.

Dieses Verhältnis findet sich in der Architektur und kommt auch bei der Konstruktion von Bildkompositionen im länglichen Querformat vor.

Die Aufteilung erfolgt wie folgt. Liniensegment AB geteilt nach dem Goldenen Schnitt. Von Punkt MIT die Senkrechte wird wiederhergestellt CD. Radius AB Es gibt einen Punkt D, der durch eine Linie mit einem Punkt verbunden ist A. Rechter Winkel ACD ist in zwei Hälften geteilt. Von Punkt MIT Eine Linie wird so lange gezeichnet, bis sie die Linie schneidet ANZEIGE. Punkt E teilt ein Segment ANZEIGE im Verhältnis 56:44.

Die Abbildung zeigt die Lage der Linie des zweiten Goldenen Schnitts. Es liegt in der Mitte zwischen der Linie des Goldenen Schnitts und der Mittellinie des Rechtecks.

goldenes Dreieck

Um Segmente des goldenen Anteils der aufsteigenden und absteigenden Reihe zu finden, können Sie verwenden Pentagramm.

Um ein Pentagramm zu bauen, müssen Sie ein regelmäßiges Fünfeck bauen. Die Bauweise wurde vom deutschen Maler und Grafiker Albrecht Dürer (1471...1528) entwickelt. Lassen Ö- Mittelpunkt des Kreises, A- ein Punkt auf einem Kreis und E- die Mitte des Segments OA. Senkrecht zum Radius OA, an der Stelle restauriert UM, schneidet den Kreis im Punkt D. Zeichnen Sie mit einem Kompass ein Segment auf dem Durchmesser ein C.E. = ED. Die Seitenlänge eines in einen Kreis eingeschriebenen regelmäßigen Fünfecks beträgt Gleichstrom. Legen Sie Segmente auf den Kreis Gleichstrom und wir bekommen fünf Punkte, um ein regelmäßiges Fünfeck zu zeichnen. Wir verbinden die Ecken des Fünfecks mit Diagonalen durcheinander und erhalten ein Pentagramm. Alle Diagonalen des Fünfecks unterteilen sich gegenseitig in Segmente, die durch den Goldenen Schnitt verbunden sind.

Jedes Ende des fünfeckigen Sterns stellt ein goldenes Dreieck dar. Seine Seiten bilden an der Spitze einen Winkel von 36° und die seitlich gelegte Basis teilt ihn im Verhältnis des Goldenen Schnitts.

Wir führen eine direkte durch AB. Von Punkt A Wir zeichnen darauf dreimal eine Strecke O beliebiger Größe durch den resultierenden Punkt ein R Zeichne eine Senkrechte zur Linie AB, auf der Senkrechten rechts und links vom Punkt R Legen Sie die Segmente beiseite UM. Punkte erhalten D Und d1 mit geraden Linien zu einem Punkt verbinden A. Liniensegment dd1 online stellen Anzeige1, einen Punkt bekommen MIT. Sie hat die Linie geteilt Anzeige1 im Verhältnis zum Goldenen Schnitt. Linien Anzeige1 Und dd1 Wird verwendet, um ein „goldenes“ Rechteck zu konstruieren.

Fibonacci-Reihe

Der Name des italienischen Mathematikermönchs Leonardo von Pisa, besser bekannt als Fibonacci (Sohn von Bonacci), ist indirekt mit der Geschichte des Goldenen Schnitts verbunden. Er reiste viel in den Osten und führte Europa in die indischen (arabischen) Ziffern ein. Im Jahr 1202 erschien sein mathematisches Werk „Das Buch des Abakus“ (Zählbrett), das alle damals bekannten Probleme zusammenfasste. Eine der Aufgaben lautete: „Wie viele Kaninchenpaare werden in einem Jahr aus einem Paar geboren?“ Als Fibonacci über dieses Thema nachdachte, baute er die folgende Zahlenreihe auf:

Monate

usw.

Kaninchenpaare

usw.

Eine Reihe von Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 usw. bekannt als Fibonacci-Reihe. Die Besonderheit der Zahlenfolge besteht darin, dass jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem dritten, gleich der Summe der beiden vorherigen ist 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 usw., und das Verhältnis benachbarter Zahlen in der Reihe nähert sich dem Verhältnis der goldenen Division. Also 21: 34 = 0,617 und 34: 55 = 0,618. Dieses Verhältnis wird mit dem Symbol F bezeichnet. Nur dieses Verhältnis – 0,618:0,382 – ergibt eine kontinuierliche Unterteilung eines geraden Liniensegments im goldenen Verhältnis, wobei es bis ins Unendliche erhöht oder verringert wird, wenn das kleinere Segment mit dem größeren in Beziehung gesetzt wird der größere ist für alles.

Fibonacci befasste sich auch mit den praktischen Bedürfnissen des Handels: Wie viele Gewichte kann man zum Wiegen eines Produkts am wenigsten verwenden? Fibonacci beweist, dass das optimale Gewichtungssystem ist: 1, 2, 4, 8, 16...

Die Fibonacci-Reihe hätte nur ein mathematischer Vorfall bleiben können, wenn nicht alle Forscher der goldenen Teilung in der Pflanzen- und Tierwelt, ganz zu schweigen von der Kunst, diese Reihe ausnahmslos als arithmetischen Ausdruck des Gesetzes des Goldenen betrachteten Aufteilung.

Wissenschaftler entwickelten die Theorie der Fibonacci-Zahlen und des Goldenen Schnitts aktiv weiter. Yu. Matiyasevich löst Hilberts 10. Problem mithilfe von Fibonacci-Zahlen. Es entstehen elegante Methoden zur Lösung einer Reihe kybernetischer Probleme (Suchtheorie, Spiele, Programmierung) mithilfe von Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt. In den USA entsteht sogar die Mathematical Fibonacci Association, die seit 1963 eine Sonderzeitschrift herausgibt.

Fakten, die die Existenz des Goldenen Schnitts und seiner Derivate in der Natur bestätigen, werden vom belarussischen Wissenschaftler E.M. angeführt. Soroko im Buch „Structural Harmony of Systems“ (Minsk, „Science and Technology“, 1984). Es stellt sich beispielsweise heraus, dass gut untersuchte binäre Legierungen nur dann besondere, ausgeprägte funktionelle Eigenschaften (thermisch stabil, hart, verschleißfest, oxidationsbeständig usw.) aufweisen, wenn die spezifischen Gewichte der ursprünglichen Komponenten miteinander in Beziehung gesetzt werden von einem mit goldenen Proportionen. Dies ermöglichte es dem Autor, die Hypothese aufzustellen, dass die Goldenen Schnitte numerische Konstanten für selbstorganisierende Systeme sind. Diese experimentell bestätigte Hypothese könnte von grundlegender Bedeutung für die Entwicklung der Synergetik sein – einem neuen Wissenschaftsgebiet, das Prozesse in selbstorganisierenden Systemen untersucht.

Prinzipien der Bildung in der Natur

Alles, was irgendeine Form annahm, formte sich, wuchs, strebte danach, seinen Platz im Raum einzunehmen und sich zu bewahren. Dieser Wunsch wird hauptsächlich durch zwei Möglichkeiten verwirklicht: nach oben wachsen oder sich über die Erdoberfläche ausbreiten und spiralförmig drehen.

Die Schale ist spiralförmig verdreht. Wenn man es auseinanderfaltet, erhält man eine Länge, die etwas kürzer ist als die Länge der Schlange. Eine kleine, zehn Zentimeter große Muschel hat eine 35 cm lange Spirale. Spiralen kommen in der Natur sehr häufig vor. Die Idee des Goldenen Schnitts wäre unvollständig, ohne über die Spirale zu sprechen.

Die Form der spiralförmig gewundenen Muschel erregte die Aufmerksamkeit von Archimedes. Er studierte es und entwickelte eine Gleichung für die Spirale. Die nach dieser Gleichung gezeichnete Spirale trägt seinen Namen. Die Steigerung ihres Schritts ist immer gleichmäßig. Derzeit ist die Archimedes-Spirale in der Technik weit verbreitet.

Goethe betonte auch die Tendenz der Natur zur Spiralität. Die helikale und spiralförmige Anordnung der Blätter an Baumzweigen wurde schon vor langer Zeit bemerkt. Die Spirale wurde in der Anordnung von Sonnenblumenkernen, Tannenzapfen, Ananas, Kakteen usw. gesehen. Die gemeinsame Arbeit von Botanikern und Mathematikern hat Licht auf diese erstaunlichen Naturphänomene geworfen. Es stellte sich heraus, dass sich die Fibonacci-Reihe in der Anordnung von Blättern auf einem Ast (Phylotaxis), Sonnenblumenkernen und Tannenzapfen manifestiert und somit das Gesetz des Goldenen Schnitts zum Ausdruck kommt. Die Spinne webt ihr Netz spiralförmig. Ein Hurrikan dreht sich wie eine Spirale. Eine verängstigte Rentierherde läuft spiralförmig davon. Das DNA-Molekül ist in einer Doppelhelix verdreht. Goethe nannte die Spirale die „Kurve des Lebens“.

Zwischen den Kräutern am Straßenrand wächst eine unauffällige Pflanze – Chicorée. Schauen wir es uns genauer an. Aus dem Hauptstamm hat sich ein Spross gebildet. Das erste Blatt befand sich genau dort.

Reis. 12. Chicoree

Der Spross macht einen kräftigen Auswurf in den Weltraum, stoppt, gibt ein Blatt frei, aber dieses Mal ist es kürzer als der erste, führt erneut einen Auswurf in den Weltraum durch, aber mit weniger Kraft, lässt ein noch kleineres Blatt frei und wird erneut ausgeworfen . Wenn die erste Emission mit 100 Einheiten angenommen wird, entspricht die zweite 62 Einheiten, die dritte 38, die vierte 24 usw. Auch die Länge der Blütenblätter unterliegt dem goldenen Verhältnis. Beim Wachsen und Erobern des Raums behielt die Pflanze bestimmte Proportionen bei. Die Wachstumsimpulse nahmen im Verhältnis zum Goldenen Schnitt allmählich ab.

Reis. 13.Lebendgebärende Eidechse

Auf den ersten Blick hat die Eidechse für unsere Augen angenehme Proportionen – die Länge ihres Schwanzes verhält sich im Verhältnis zur Länge des restlichen Körpers bei 62 zu 38.

Sowohl in der Pflanzen- als auch in der Tierwelt bricht immer wieder die Gestaltungstendenz der Natur durch – die Symmetrie hinsichtlich der Wachstums- und Bewegungsrichtung. Hier erscheint der Goldene Schnitt in den Anteilen senkrecht zur Wachstumsrichtung.

Die Natur hat die Einteilung in symmetrische Teile und goldene Proportionen vorgenommen. Die Teile offenbaren eine Wiederholung der Struktur des Ganzen.

Reis. 14. Vogelei

Der große Goethe, ein Dichter, Naturforscher und Künstler (er zeichnete und malte in Aquarellen), träumte davon, eine einheitliche Lehre über die Form, Bildung und Transformation organischer Körper zu schaffen. Er war es, der den Begriff Morphologie in den wissenschaftlichen Gebrauch einführte.

Pierre Curie formulierte zu Beginn dieses Jahrhunderts eine Reihe tiefgreifender Ideen zur Symmetrie. Er argumentierte, dass man die Symmetrie eines Körpers nicht berücksichtigen könne, ohne die Symmetrie der Umgebung zu berücksichtigen.

Die Gesetze der „goldenen“ Symmetrie manifestieren sich in den Energieübergängen von Elementarteilchen, in der Struktur einiger chemischer Verbindungen, in Planeten- und kosmischen Systemen, in den Genstrukturen lebender Organismen. Diese Muster existieren, wie oben angedeutet, in der Struktur einzelner menschlicher Organe und des Körpers als Ganzes und manifestieren sich auch im Biorhythmus und in der Funktionsweise des Gehirns und der visuellen Wahrnehmung.

Goldener Schnitt und Symmetrie

Der Goldene Schnitt kann nicht isoliert und ohne Zusammenhang mit der Symmetrie betrachtet werden. Der große russische Kristallograph G.V. Wulf (1863...1925) betrachtete den Goldenen Schnitt als eine der Erscheinungsformen der Symmetrie.

Die goldene Teilung ist keine Manifestation von Asymmetrie, also etwas Gegenteil von Symmetrie. Nach modernen Vorstellungen ist die goldene Teilung eine asymmetrische Symmetrie. Die Wissenschaft der Symmetrie umfasst Konzepte wie statisch Und dynamische Symmetrie. Statische Symmetrie kennzeichnet Frieden und Ausgeglichenheit, während dynamische Symmetrie Bewegung und Wachstum kennzeichnet. So wird statische Symmetrie in der Natur durch die Struktur von Kristallen repräsentiert und in der Kunst charakterisiert sie Ruhe, Ausgeglichenheit und Unbeweglichkeit. Dynamische Symmetrie drückt Aktivität aus, charakterisiert Bewegung, Entwicklung, Rhythmus, sie ist Lebensbeweis. Statische Symmetrie zeichnet sich durch gleiche Segmente und gleiche Werte aus. Dynamische Symmetrie ist durch eine Zunahme oder Abnahme von Segmenten gekennzeichnet und wird in den Werten des Goldenen Schnitts ausgedrückt.

Beobachten und anwenden

Das Verständnis und die Anwendung des Prinzips des Goldenen Schnitts sollte nicht das Los einer Elite sein – dies ist das grundlegendste Wissen, aus dem die unendlich komplexen Gesetze der Harmonie und Verhältnismäßigkeit hervorgehen. Der sinnvollen Anwendung dieser Gesetze im Alltag sind keine Grenzen gesetzt. Die Identifizierung des Haupt- und Nebengrundes im Verhältnis zum Ganzen kann alles betreffen. Dazu gehören die Verteilung der eigenen Zeit und jeder kreative Prozess, einschließlich aller Arten von Kunst, Literatur, Musik, sowie die Bildung der eigenen Einstellung zu allen Prozessen und Phänomenen. Dies ist der goldene Mittelweg, von dem die Alten sprachen.

Jeder Künstler, jeder Regisseur, jeder Werbefachmann weiß, wie man ein Bild optisch ansprechend gestaltet und nach den Gesetzen der Harmonie und Psychologie aufbaut. menschliche Wahrnehmung. Manchmal erringen die schlimmsten Feinde der Kultur bedeutende Siege, indem sie die Naturgesetze kennen. Unter dem Deckmantel von etwas Angenehmem und Liebenswertem lassen wir daher oft die stärksten Gifte in unser Herz eindringen. Die Menschen reden so viel über Freiheit, während sie selbst freiwillig vergiftet werden und sich später fragen, woher ihre Krankheiten und ihr Unglück kommen.

In Unwissenheit kann es keine Freiheit geben. Rauheit und wahlloser Geschmack müssen überwunden werden. Lassen Sie dies ein Anliegen für Einzelpersonen, Gemeinschaften und Staaten gleichermaßen sein.

Zusammengestellt von R. Annenkov

Ein Mensch unterscheidet Gegenstände um ihn herum anhand ihrer Form. Das Interesse an der Form eines Objekts kann durch eine lebenswichtige Notwendigkeit bedingt sein oder durch die Schönheit der Form verursacht werden. Die Form, deren Konstruktion auf einer Kombination aus Symmetrie und dem Goldenen Schnitt basiert, trägt zur besten visuellen Wahrnehmung und zum Erscheinungsbild eines Gefühls von Schönheit und Harmonie bei. Das Ganze besteht immer aus Teilen, unterschiedlich große Teile stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander und zum Ganzen. Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionalen Perfektion des Ganzen und seiner Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur.

Goldener Schnitt – harmonische Proportion

In Mathematik Anteil(lat. proportio) nennen die Gleichheit zweier Beziehungen: A : B = C : D.

Gerades Segment AB lässt sich wie folgt in zwei Teile gliedern:

in zwei gleiche Teile - AB : Wechselstrom = AB : Sonne;

in zwei in irgendeiner Hinsicht ungleiche Teile (solche Teile bilden keine Proportionen);

also wann AB : Wechselstrom = Wechselstrom : Sonne.

Letzteres ist die goldene Einteilung bzw. Aufteilung eines Segments in Extrem- und Durchschnittsverhältnis.

A : B = B : C oder Mit : B = B : A.

Reis. 1. Geometrisches Bild Goldener Schnitt

Das praktische Kennenlernen des Goldenen Schnitts beginnt damit, dass man mit Zirkel und Lineal ein gerades Liniensegment im Goldenen Schnitt teilt.

Reis. 2. Teilen eines geraden Liniensegments mithilfe des Goldenen Schnitts. B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts werden durch die Gleichung beschrieben:

X 2 - X - 1 = 0.

Lösung dieser Gleichung:

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts haben rund um diese Zahl eine romantische Aura des Mysteriums und einer fast mystischen Verehrung geschaffen.

Zweiter Goldener Schnitt

Dieses Verhältnis findet sich in der Architektur und kommt auch bei der Konstruktion von Bildkompositionen im länglichen Querformat vor.

Reis. 3. Konstruktion des zweiten Goldenen Schnitts

Die Aufteilung erfolgt wie folgt (siehe Abb. 3). Liniensegment AB geteilt nach dem Goldenen Schnitt. Von Punkt MIT die Senkrechte wird wiederhergestellt CD. Radius AB Es gibt einen Punkt D, der durch eine Linie mit einem Punkt verbunden ist A. Rechter Winkel ACD ist in zwei Hälften geteilt. Von Punkt MIT Eine Linie wird so lange gezeichnet, bis sie die Linie schneidet ANZEIGE. Punkt E teilt ein Segment ANZEIGE im Verhältnis 56:44.

Reis. 4. Teilen eines Rechtecks mit der Linie des zweiten Goldenen Schnitts

In Abb. Abbildung 4 zeigt die Lage der Linie des zweiten Goldenen Schnitts. Es liegt in der Mitte zwischen der Linie des Goldenen Schnitts und der Mittellinie des Rechtecks.

goldenes Dreieck

Um Segmente des goldenen Anteils der aufsteigenden und absteigenden Reihe zu finden, können Sie verwenden Pentagramm.

Reis. 5. Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks und Pentagramms

Reis. 6. Aufbau des Goldenen Dreiecks

Wir führen eine direkte durch AB. Von Punkt A Legen Sie dreimal ein Segment darauf UM beliebiger Wert, durch den resultierenden Punkt R Zeichne eine Senkrechte zur Linie AB, auf der Senkrechten rechts und links vom Punkt R Legen Sie die Segmente beiseite UM. Punkte erhalten D Und D 1 Verbinde mit geraden Linien zu einem Punkt A. Liniensegment dd Setzen Sie 1 auf die Linie Anzeige 1, einen Punkt bekommen MIT. Sie hat die Linie geteilt Anzeige 1 im Verhältnis zum Goldenen Schnitt. Linien Anzeige 1 und dd 1 wird verwendet, um ein „goldenes“ Rechteck zu konstruieren.

Geschichte des Goldenen Schnitts

Reis. 7. Dynamische Rechtecke

Auch Platon (427...347 v. Chr.) wusste von der Goldenen Teilung. Sein Dialog „Timaios“ widmet sich den mathematischen und ästhetischen Ansichten der pythagoräischen Schule und insbesondere den Fragen der Goldenen Teilung.

Reis. 8. Antiker Kompass Goldener Schnitt

In der antiken Literatur, die uns überliefert ist, wurde die goldene Teilung erstmals in Euklids „Elementen“ erwähnt. Im 2. Buch der „Grundsätze“ wird die geometrische Konstruktion der goldenen Teilung dargelegt. Nach Euklid wurde das Studium der goldenen Teilung von Hypsikles (2. Jahrhundert v. Chr.), Pappus (III. Jahrhundert n. Chr.) und anderen durchgeführt Das mittelalterliche Europa mit der goldenen Teilung. Wir lernten uns durch arabische Übersetzungen von Euklids Elementen kennen. Der Übersetzer J. Campano aus Navarra (III. Jahrhundert) machte Kommentare zur Übersetzung. Die Geheimnisse der Goldenen Division wurden sorgfältig gehütet und streng geheim gehalten. Sie waren nur Eingeweihten bekannt.

Während der Renaissance wuchs das Interesse an der Goldenen Teilung bei Wissenschaftlern und Künstlern aufgrund ihrer Verwendung sowohl in der Geometrie als auch in der Kunst, insbesondere in der Architektur. Leonardo da Vinci, ein Künstler und Wissenschaftler, erkannte, dass italienische Künstler über viel empirische Erfahrung, aber wenig verfügten Wissen. Er konzipierte und begann ein Buch über Geometrie zu schreiben, doch zu dieser Zeit erschien ein Buch des Mönchs Luca Pacioli und Leonardo gab seine Idee auf. Zeitgenossen und Wissenschaftshistorikern zufolge war Luca Pacioli eine echte Koryphäe, der größte Mathematiker Italiens in der Zeit zwischen Fibonacci und Galileo. Luca Pacioli war ein Schüler des Künstlers Piero della Franceschi, der zwei Bücher schrieb, eines davon mit dem Titel „Über die Perspektive in der Malerei“. Er gilt als Begründer der beschreibenden Geometrie.

Zur gleichen Zeit arbeitete Albrecht Dürer im Norden Europas, in Deutschland, an denselben Problemen. Er skizziert die Einleitung zur ersten Fassung der Abhandlung über Proportionen. Dürer schreibt. „Es ist notwendig, dass jemand, der weiß, wie man etwas macht, es anderen beibringt, die es brauchen. Das habe ich mir vorgenommen.“

Kepler bezeichnete die Goldene Proportion als selbstkontinuierlich. „Sie ist so aufgebaut“, schrieb er, „dass sich die beiden niedrigsten Terme dieser nie endenden Proportion zum dritten Term und zu den beiden letzten Termen addieren, wenn man sie addiert.“ Geben Sie den nächsten Term an, und das gleiche Verhältnis bleibt bis ins Unendliche erhalten.

Die Konstruktion einer Reihe von Segmenten des Goldenen Schnitts kann sowohl in Richtung der Zunahme (aufsteigende Reihe) als auch in der Richtung der Abnahme (absteigende Reihe) erfolgen.

Reis. 9. Konstruktion einer Skala aus goldenen Proportionssegmenten

In den folgenden Jahrhunderten wurde die Regel des Goldenen Schnitts zu einem akademischen Kanon, und als mit der Zeit der Kampf gegen den akademischen Alltag in der Kunst begann, „schüttete man in der Hitze des Kampfes das Baby mit dem Bade aus.“ Der Goldene Schnitt wurde Mitte des 19. Jahrhunderts wieder „entdeckt“. Im Jahr 1855 veröffentlichte der deutsche Forscher des Goldenen Schnitts, Professor Zeising, sein Werk „Ästhetische Studien“. Was Zeising passierte, war genau das, was zwangsläufig einem Forscher passieren sollte, der ein Phänomen als solches betrachtet, ohne Zusammenhang mit anderen Phänomenen. Er verabsolutierte die Proportionen des Goldenen Schnitts und erklärte ihn für universell für alle Phänomene der Natur und der Kunst. Zeising hatte zahlreiche Anhänger, aber es gab auch Gegner, die seine Proportionslehre zur „mathematischen Ästhetik“ erklärten.

Reis. 10. Goldene Proportionen in Teilen des menschlichen Körpers

Zeising hat großartige Arbeit geleistet. Er vermaß etwa zweitausend menschliche Körper und kam zu dem Schluss, dass der Goldene Schnitt das durchschnittliche statistische Gesetz ausdrückt. Die Teilung des Körpers durch den Nabelpunkt ist der wichtigste Indikator für den Goldenen Schnitt. Die Proportionen des männlichen Körpers schwanken im durchschnittlichen Verhältnis von 13:8 = 1,625 und liegen etwas näher am Goldenen Schnitt als die Proportionen des weiblichen Körpers, wobei sich der Durchschnittswert der Proportionen im Verhältnis 8 ausdrückt: 5 = 1,6. Bei einem Neugeborenen beträgt das Verhältnis 1:1, mit 13 Jahren beträgt es 1,6 und mit 21 Jahren entspricht es dem eines Mannes. Die Proportionen des Goldenen Schnitts erscheinen auch im Verhältnis zu anderen Körperteilen – der Länge von Schulter, Unterarm und Hand, Hand und Fingern usw.

Reis. elf. Goldene Proportionen in der menschlichen Figur

Ende des 19. – Anfang des 20. Jahrhunderts. Über die Verwendung des Goldenen Schnitts in Kunstwerken und Architektur tauchten viele rein formalistische Theorien auf. Mit der Entwicklung des Designs und der technischen Ästhetik weitete sich das Gesetz des Goldenen Schnitts auf die Gestaltung von Autos, Möbeln usw. aus.

Fibonacci-Reihe

Eine Reihe von Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 usw. bekannt als Fibonacci-Reihe. Die Besonderheit der Zahlenfolge besteht darin, dass jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem dritten, gleich der Summe der beiden vorherigen ist 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 usw., und das Verhältnis benachbarter Zahlen in der Reihe nähert sich dem Verhältnis der goldenen Division. Also 21: 34 = 0,617 und 34: 55 = 0,618. Diese Beziehung wird durch das Symbol gekennzeichnet F. Nur dieses Verhältnis – 0,618:0,382 – ergibt eine kontinuierliche Unterteilung eines geraden Linienabschnitts im goldenen Verhältnis, indem er ihn bis ins Unendliche vergrößert oder verkleinert, wenn der kleinere Abschnitt zum größeren wie der größere zum Ganzen in Beziehung steht.

Verallgemeinerter Goldener Schnitt

Eine der Errungenschaften auf diesem Gebiet ist die Entdeckung verallgemeinerter Fibonacci-Zahlen und verallgemeinerter Goldener Schnitte.

Die Fibonacci-Reihe (1, 1, 2, 3, 5, 8) und die von ihm entdeckte „binäre“ Gewichtsreihe 1, 2, 4, 8, 16... sind auf den ersten Blick völlig unterschiedlich. Aber die Algorithmen für ihre Konstruktion sind einander sehr ähnlich: Im ersten Fall ist jede Zahl die Summe der vorherigen Zahl mit sich selbst 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., im zweiten - das ist die Summe der beiden vorherigen Zahlen 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Ist es möglich, einen General zu finden? mathematische Formel, aus der wir „Binärreihe und Fibonacci-Reihe“ erhalten? Oder liefert uns diese Formel vielleicht neue Zahlenmengen mit einigen neuen einzigartigen Eigenschaften?

Lassen Sie uns tatsächlich den numerischen Parameter festlegen S, die beliebige Werte annehmen kann: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Betrachten Sie eine Zahlenreihe, S+ 1 der ersten Terme davon sind Einheiten, und jeder der nachfolgenden ist gleich der Summe von zwei Termen des vorherigen und vom vorherigen durch getrennt S Schritte. Wenn N Den dritten Term dieser Reihe bezeichnen wir mit φ S ( N), dann erhalten wir die allgemeine Formel φ S ( N) = φ S ( N- 1) + φ S ( N - S - 1).

Es ist offensichtlich, wann S= 0 aus dieser Formel erhalten wir eine „binäre“ Reihe mit S= 1 - Fibonacci-Reihe, mit S= 2, 3, 4. neue Zahlenreihe, die aufgerufen wird S-Fibonacci-Zahlen.

IN Gesamtansicht golden S-Proportion ist die positive Wurzel der goldenen Gleichung S-Abschnitte x S+1 - x S - 1 = 0.

Es ist leicht zu zeigen, wann S= 0, das Segment wird in zwei Hälften geteilt und wann S= 1 – der bekannte klassische Goldene Schnitt.

Beziehungen zwischen Nachbarn S- Fibonacci-Zahlen stimmen mit absoluter mathematischer Genauigkeit im Grenzbereich mit Gold überein S-Proportionen! Mathematiker sagen in solchen Fällen, dass Gold S-Abschnitte sind numerische Invarianten S-Fibonacci-Zahlen.

Fakten, die die Existenz von Gold bestätigen S-Abschnitte in der Natur, zitiert der belarussische Wissenschaftler E.M. Soroko im Buch „Structural Harmony of Systems“ (Minsk, „Science and Technology“, 1984). Es stellt sich beispielsweise heraus, dass gut untersuchte binäre Legierungen nur dann besondere, ausgeprägte funktionelle Eigenschaften (thermisch stabil, hart, verschleißfest, oxidationsbeständig usw.) aufweisen, wenn die spezifischen Gewichte der ursprünglichen Komponenten miteinander in Beziehung gesetzt werden von einem aus Gold S-Proportionen. Dies ermöglichte es dem Autor, die Hypothese aufzustellen, dass Gold S-Abschnitte sind numerische Invarianten selbstorganisierender Systeme. Sobald diese Hypothese experimentell bestätigt wird, könnte sie von grundlegender Bedeutung für die Entwicklung der Synergetik sein – einem neuen Wissenschaftsgebiet, das Prozesse in selbstorganisierenden Systemen untersucht.

Verwendung von Goldcodes S-Proportionen können durch jede reelle Zahl als Summe von Goldpotenzen ausgedrückt werden S-Proportionen mit ganzzahligen Koeffizienten.

Der grundlegende Unterschied zwischen dieser Methode zur Kodierung von Zahlen besteht darin, dass die Grundlagen der neuen Codes golden sind S-Proportionen, mit S> 0 erweisen sich als irrationale Zahlen. Somit scheinen neue Zahlensysteme mit irrationalen Grundlagen die historisch etablierte Hierarchie der Beziehungen zwischen rationalen und irrationalen Zahlen „von Kopf bis Fuß“ zu verändern. Tatsache ist, dass die natürlichen Zahlen zuerst „entdeckt“ wurden; dann sind ihre Verhältnisse rationale Zahlen. Und erst später – nach der Entdeckung inkommensurabler Segmente durch die Pythagoräer – wurden irrationale Zahlen geboren. Beispielsweise wurden in dezimalen, quinären, binären und anderen klassischen Positionszahlensystemen natürliche Zahlen als eine Art Grundprinzip gewählt – 10, 5, 2 – aus denen nach bestimmten Regeln alle anderen natürlichen Zahlen sowie rationale Zahlen abgeleitet werden und irrationale Zahlen wurden konstruiert.

Eine Art Alternative zu den bestehenden Notationsmethoden ist ein neues, irrationales System als Grundprinzip, dessen Anfang eine irrationale Zahl ist (die, wie wir uns erinnern, die Wurzel der Gleichung des Goldenen Schnitts ist); andere reelle Zahlen werden bereits dadurch ausgedrückt.

In einem solchen Zahlensystem kann jede natürliche Zahl immer als endlich dargestellt werden – und nicht als unendlich, wie bisher angenommen! - die Summe der Goldgrade S-Proportionen. Dies ist einer der Gründe, warum die „irrationale“ Arithmetik, die eine erstaunliche mathematische Einfachheit und Eleganz besitzt, scheinbar absorbiert wurde beste Qualitäten klassische Binär- und Fibonacci-Arithmetik.

Prinzipien der Bildung in der Natur

Reis. 12. Archimedes-Spirale

Reis. 13. Chicoree

Reis. 14. Lebendgebärende Eidechse

Auf den ersten Blick hat die Eidechse für unsere Augen angenehme Proportionen – die Länge ihres Schwanzes verhält sich im Verhältnis zur Länge des restlichen Körpers bei 62 zu 38.

Die Natur hat die Einteilung in symmetrische Teile und goldene Proportionen vorgenommen. Die Teile offenbaren eine Wiederholung der Struktur des Ganzen.

Reis. 15. Vogelei

Goldener Schnitt und Symmetrie

Dynamische Rechtecke

Antiker Kompass mit goldenem Schnitt

Zur gleichen Zeit arbeitete Albrecht Dürer im Norden Europas, in Deutschland, an denselben Problemen. Er skizziert die Einleitung zur ersten Fassung der Abhandlung über Proportionen. Dürer schreibt. „Es ist notwendig, dass jemand, der weiß, wie man etwas macht, es anderen beibringt, die es brauchen. Das habe ich mir vorgenommen.“

Die Konstruktion einer Reihe von Segmenten des Goldenen Schnitts kann sowohl in Richtung der Zunahme (aufsteigende Reihe) als auch in der Richtung der Abnahme (absteigende Reihe) erfolgen.

Konstruktion einer Skala aus goldenen Proportionssegmenten

Seit der Antike beschäftigt die Menschheit die Frage, ob so schwer fassbare Dinge wie Schönheit und Harmonie Gegenstand mathematischer Berechnungen sind. Natürlich können nicht alle Gesetze der Schönheit in ein paar Formeln zusammengefasst werden, aber durch das Studium der Mathematik können wir einige Komponenten der Schönheit entdecken – den Goldenen Schnitt. Unsere Aufgabe besteht darin, herauszufinden, was der Goldene Schnitt ist, und herauszufinden, wo die Menschheit den Goldenen Schnitt genutzt hat.

Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass wir Objekte und Phänomene der umgebenden Realität unterschiedlich behandeln. Sei H Anstand, bla H Formalität und Unverhältnismäßigkeit werden von uns als hässlich empfunden und erzeugen einen abstoßenden Eindruck. Und Objekte und Phänomene, die sich durch Proportionen, Zweckmäßigkeit und Harmonie auszeichnen, werden als schön wahrgenommen und rufen in uns ein Gefühl der Bewunderung, Freude hervor und heben unsere Stimmung.

Bei seinen Aktivitäten stößt ein Mensch ständig auf Objekte, die auf dem Goldenen Schnitt basieren. Es gibt Dinge, die kann man nicht erklären. Du kommst also zu einer leeren Bank und setzt dich darauf. Wo wirst du sitzen? Mitten drin? Oder vielleicht vom äußersten Rand? Nein, höchstwahrscheinlich weder das eine noch das andere. Sie sitzen so, dass das Verhältnis eines Teils der Bank zum anderen relativ zu Ihrem Körper etwa 1,62 beträgt. Eine einfache Sache, absolut instinktiv ... Sie haben auf einer Bank sitzend den „Goldenen Schnitt“ nachgebildet.

Der Goldene Schnitt war bereits im alten Ägypten und Babylon, in Indien und China bekannt. Der große Pythagoras gründete eine geheime Schule, in der er studierte mystische Essenz"Goldener Schnitt". Euklid verwendete es bei der Erstellung seiner Geometrie und Phidias – seine unsterblichen Skulpturen. Platon sagte, dass das Universum nach dem „Goldenen Schnitt“ geordnet sei. Aristoteles fand eine Entsprechung zwischen dem „Goldenen Schnitt“ und dem ethischen Gesetz. Die höchste Harmonie des „Goldenen Schnitts“ wird von Leonardo da Vinci und Michelangelo gepredigt, denn Schönheit und der „Goldene Schnitt“ sind ein und dasselbe. Und christliche Mystiker werden auf der Flucht vor dem Teufel Pentagramme des „Goldenen Schnitts“ an die Wände ihrer Klöster zeichnen. Gleichzeitig werden Wissenschaftler – von Pacioli bis Einstein – ihn suchen, aber nie finden genauer Wert. Sei H die letzte Zeile nach dem Komma ist 1,6180339887... Eine seltsame, mysteriöse, unerklärliche Sache – diese göttliche Proportion begleitet auf mystische Weise alles Lebendige. Die unbelebte Natur kennt den „Goldenen Schnitt“ nicht. Aber Sie werden dieses Verhältnis sicherlich in den Kurven der Muscheln, in der Form von Blumen, im Aussehen von Käfern und im schönen menschlichen Körper sehen. Alles Lebendige und alles Schöne – alles gehorcht dem göttlichen Gesetz, dessen Name der „Goldene Schnitt“ ist. Was ist also der „Goldene Schnitt“? Was ist diese perfekte, göttliche Kombination? Vielleicht ist das das Gesetz der Schönheit? Oder ist er immer noch ein mystisches Geheimnis? Wissenschaftliches Phänomen oder ethisches Prinzip? Die Antwort ist noch unbekannt. Genauer gesagt: Nein, es ist bekannt. Der „Goldene Schnitt“ ist beides. Nur nicht einzeln, sondern gleichzeitig... Und das ist sein wahres Geheimnis, sein großes Geheimnis.

Es dürfte schwierig sein, ein verlässliches Maß für eine objektive Beurteilung der Schönheit selbst zu finden, und Logik allein reicht dazu nicht aus. Hier helfen jedoch die Erfahrungen derer, für die die Suche nach Schönheit der Sinn des Lebens war, die sie zu ihrem Beruf machten. Das sind in erster Linie Menschen der Kunst, wie wir sie nennen: Künstler, Architekten, Bildhauer, Musiker, Schriftsteller. Aber das sind auch Leute der exakten Wissenschaften, vor allem Mathematiker.

Der Mensch vertraute dem Auge mehr als anderen Sinnesorganen und lernte zunächst, die Objekte um ihn herum anhand ihrer Form zu unterscheiden. Das Interesse an der Form eines Objekts kann durch eine lebenswichtige Notwendigkeit bedingt sein oder durch die Schönheit der Form verursacht werden. Die Form, die auf einer Kombination aus Symmetrie und dem Goldenen Schnitt basiert, trägt zur besten visuellen Wahrnehmung und dem Anschein eines Gefühls von Schönheit und Harmonie bei. Das Ganze besteht immer aus Teilen, unterschiedlich große Teile stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander und zum Ganzen. Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionalen Perfektion des Ganzen und seiner Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur.

GOLDENER VERHÄLTNIS – HARMONISCHES PROPORTION

In der Mathematik ist ein Verhältnis die Gleichheit zweier Verhältnisse:

Ein gerades Segment AB kann auf folgende Weise in zwei Teile geteilt werden:

in zwei gleiche Teile - AB:AC=AB:BC;
in zwei in irgendeiner Hinsicht ungleiche Teile (solche Teile bilden keine Proportionen);
also, wenn AB:AC=AC:BC.

Die letzte ist die goldene Abteilung (Abschnitt).

Der Goldene Schnitt ist eine solche proportionale Aufteilung eines Segments in ungleiche Teile, bei der das gesamte Segment zum größeren Teil in Beziehung steht, wie der größere Teil selbst zum kleineren, mit anderen Worten, das kleinere Segment zum größeren Eins wie das Größere ist für das Ganze

a:b=b:c oder c:b=b:a.

Geometrisches Bild des Goldenen Schnitts

Das praktische Kennenlernen des Goldenen Schnitts beginnt damit, dass man mit Zirkel und Lineal ein gerades Liniensegment im Goldenen Schnitt teilt.

Teilen eines geraden Liniensegments mithilfe des Goldenen Schnitts. BC=1/2AB; CD=BC

Von Punkt B aus wird eine Senkrechte gleich der Hälfte AB wiederhergestellt. Der resultierende Punkt C wird durch eine Linie mit Punkt A verbunden. Auf der resultierenden Linie wird ein Segment BC gelegt, das mit Punkt D endet. Das Segment AD wird auf die Gerade AB übertragen. Der resultierende Punkt E teilt das Segment AB im goldenen Verhältnis.

Segmente des Goldenen Schnitts werden ohne ausgedrückt H der endgültige Bruch AE=0,618..., wenn AB als eins genommen wird, BE=0,382... Aus praktischen Gründen werden häufig Näherungswerte von 0,62 und 0,38 verwendet. Wenn das Segment AB aus 100 Teilen besteht, beträgt der größere Teil des Segments 62 und der kleinere Teil 38 Teile.

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts werden durch die Gleichung beschrieben:

Lösung dieser Gleichung:

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts haben eine romantische Aura des Mysteriums und eine fast mystische Generation rund um diese Zahl geschaffen. Beispielsweise wird in einem regelmäßigen fünfzackigen Stern jedes Segment durch das Segment, das es schneidet, im Verhältnis des Goldenen Schnitts geteilt (d. h. das Verhältnis des blauen Segments zum Grün, des Roten zum Blauen, des Grüns zum Violetten beträgt 1,618). .

ZWEITER GOLDENER VERHÄLTNIS

Dieser Anteil findet sich in der Architektur.

Konstruktion des zweiten Goldenen Schnitts

Die Aufteilung erfolgt wie folgt. Das Segment AB wird proportional zum Goldenen Schnitt geteilt. Von Punkt C aus wird eine senkrechte CD wiederhergestellt. Der Radius AB ist Punkt D, der durch eine Linie mit Punkt A verbunden ist. Der rechte Winkel ACD wird in zwei Hälften geteilt. Eine Linie wird vom Punkt C bis zum Schnittpunkt mit der Linie AD gezogen. Punkt E teilt das Segment AD im Verhältnis 56:44.

Teilen eines Rechtecks mit der Linie des zweiten Goldenen Schnitts

Die Abbildung zeigt die Lage der Linie des zweiten Goldenen Schnitts. Es liegt in der Mitte zwischen der Linie des Goldenen Schnitts und der Mittellinie des Rechtecks.

GOLDENES DREIECK (Pentagramm)

Um Segmente des goldenen Anteils der aufsteigenden und absteigenden Reihe zu finden, können Sie das Pentagramm verwenden.

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks und Pentagramms

Um ein Pentagramm zu bauen, müssen Sie ein regelmäßiges Fünfeck bauen. Die Bauweise wurde vom deutschen Maler und Grafiker Albrecht Dürer entwickelt. Sei O der Mittelpunkt des Kreises, A ein Punkt auf dem Kreis und E der Mittelpunkt des Segments OA. Die Senkrechte zum Radius OA, wiederhergestellt am Punkt O, schneidet den Kreis am Punkt D. Zeichnen Sie mit einem Zirkel die Strecke CE=ED auf dem Durchmesser ein. Die Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist, ist gleich DC. Wir zeichnen die Segmente DC auf dem Kreis ein und erhalten fünf Punkte, um ein regelmäßiges Fünfeck zu zeichnen. Wir verbinden die Ecken des Fünfecks mit Diagonalen durcheinander und erhalten ein Pentagramm. Alle Diagonalen des Fünfecks unterteilen sich gegenseitig in Segmente, die durch den Goldenen Schnitt verbunden sind.

Jedes Ende des fünfeckigen Sterns stellt ein goldenes Dreieck dar. Seine Seiten bilden an der Spitze einen Winkel von 36°, und die seitlich gelegte Basis teilt ihn im Verhältnis des Goldenen Schnitts.

Wir zeichnen gerade AB. Von Punkt A aus legen wir dreimal ein Segment O beliebiger Größe darauf ab, durch den resultierenden Punkt P ziehen wir eine Senkrechte zur Linie AB, auf der Senkrechten rechts und links von Punkt P legen wir Segmente O ab. Wir Verbinden Sie die resultierenden Punkte D und D 1 mit geraden Linien mit Punkt A. Segment dd 1 Wir legen es auf die Linie Ad 1 und erhalten Punkt C. Es teilt die Linie Ad 1 im Verhältnis zum Goldenen Schnitt. Die Linien Ad 1 und dd 1 werden verwendet, um ein „goldenes“ Rechteck zu konstruieren.

Aufbau des Goldenen Dreiecks

GESCHICHTE DES GOLDENEN VERHÄLTNISSES

Tatsächlich deuten die Proportionen der Cheops-Pyramide, der Tempel, Haushaltsgegenstände und des Schmucks aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass ägyptische Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten. Der französische Architekt Le Corbusier stellte fest, dass im Relief aus dem Tempel des Pharaos Sethos I. in Abydos und im Relief mit der Darstellung des Pharaos Ramses die Proportionen der Figuren den Werten der goldenen Teilung entsprechen. Der Architekt Khesira, abgebildet auf einem Relief einer Holztafel aus einem nach ihm benannten Grab, hält in seinen Händen Messgeräte, in denen die Proportionen der goldenen Teilung aufgezeichnet sind.

Dynamische Rechtecke

Auch Platon wusste von der goldenen Teilung. Der pythagoräische Timaios sagt in Platons gleichnamigem Dialog: „Es ist unmöglich, dass zwei Dinge ohne ein Drittes vollkommen vereint sind, da zwischen ihnen etwas erscheinen muss, das sie zusammenhält.“ Dies kann am besten durch Proportionen erreicht werden, denn wenn drei Zahlen die Eigenschaft haben, dass der Durchschnitt zum Kleinen so ist, wie das Größere zum Durchschnitt, und umgekehrt, das Kleinere zum Durchschnitt, wie der Durchschnitt zum Größeren, dann gilt: Letzteres und Erstes werden durchschnittlich sein und Durchschnitt - Erstes und Letztes. Somit wird alles Notwendige gleich sein, und da es gleich sein wird, wird es das Ganze bilden.“ Platon baut die irdische Welt aus zwei Arten von Dreiecken auf: gleichschenkligen und nicht gleichschenkligen. Er hält das schönste rechtwinklige Dreieck für eines, bei dem die Hypotenuse doppelt so groß ist wie das kleinere der Beine (ein solches Rechteck ist die Hälfte der gleichseitigen Grundfigur der Babylonier, es hat ein Verhältnis von 1:3 1/ 2, der etwa 1/25 vom Goldenen Schnitt abweicht und als Timerding „Rivale des Goldenen Schnitts“ bezeichnet wird. Aus Dreiecken baut Platon vier regelmäßige Polyeder und verknüpft sie mit den vier irdischen Elementen (Erde, Wasser, Luft und Feuer). Und nur das letzte der fünf existierenden regelmäßigen Polyeder – das Dodekaeder, von denen alle zwölf regelmäßige Fünfecke sind – erhebt den Anspruch, ein symbolisches Bild der himmlischen Welt zu sein.

IKOSAEDER UND DODEKAEDER

Die Ehre, das Dodekaeder (oder, wie angenommen wurde, das Universum selbst, diese Quintessenz der vier Elemente, symbolisiert durch Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder und Würfel) zu entdecken, gebührt Hippasus, der später bei einem Schiffbruch starb. Diese Figur erfasst tatsächlich viele Beziehungen des Goldenen Schnitts, so dass letzterer die Hauptrolle in der himmlischen Welt erhielt, worauf der Minoritenbruder Luca Pacioli später bestand.

Antiker Kompass mit goldenem Schnitt

In der antiken Literatur, die uns überliefert ist, wurde die goldene Teilung erstmals in Euklids „Elementen“ erwähnt. Im 2. Buch der Elemente wird eine geometrische Konstruktion der goldenen Teilung gegeben. Nach Euklid wurde die Erforschung der goldenen Teilung von Hypsikles (2. Jahrhundert v. Chr.), Pappus (3. Jahrhundert n. Chr.) und anderen durchgeführt. Im mittelalterlichen Europa lernten sie die goldene Teilung durch arabische Übersetzungen von Euklids Elementen kennen. Der Übersetzer J. Campano aus Navarra (III. Jahrhundert) machte Kommentare zur Übersetzung. Die Geheimnisse der Goldenen Division wurden sorgfältig gehütet und streng geheim gehalten. Sie waren nur Eingeweihten bekannt.

Im Mittelalter wurde das Pentagramm dämonisiert (wie übrigens vieles, was im antiken Heidentum als göttlich galt) und fand Zuflucht in den okkulten Wissenschaften. Die Renaissance bringt jedoch sowohl das Pentagramm als auch den Goldenen Schnitt wieder ans Licht. So verbreitete sich in dieser Zeit der Etablierung des Humanismus ein Diagramm, das die Struktur des menschlichen Körpers beschreibt.

Auch Leonardo da Vinci griff immer wieder auf ein solches Bild zurück und reproduzierte im Wesentlichen ein Pentagramm. Ihre Interpretation: Der menschliche Körper besitzt göttliche Vollkommenheit, weil die ihm innewohnenden Proportionen die gleichen sind wie in der himmlischen Hauptfigur. Leonardo da Vinci, ein Künstler und Wissenschaftler, erkannte, dass italienische Künstler über viel empirische Erfahrung, aber wenig Wissen verfügten. Er konzipierte und begann ein Buch über Geometrie zu schreiben, doch zu dieser Zeit erschien ein Buch des Mönchs Luca Pacioli und Leonardo gab seine Idee auf. Zeitgenossen und Wissenschaftshistorikern zufolge war Luca Pacioli eine echte Koryphäe, der größte Mathematiker Italiens in der Zeit zwischen Fibonacci und Galileo. Luca Pacioli war ein Schüler des Künstlers Piero della Franceschi, der zwei Bücher schrieb, eines davon mit dem Titel „Über die Perspektive in der Malerei“. Er gilt als Begründer der beschreibenden Geometrie.

Luca Pacioli verstand die Bedeutung der Wissenschaft für die Kunst perfekt.

1496 kam er auf Einladung von Herzog Moreau nach Mailand, wo er Vorlesungen über Mathematik hielt. Auch Leonardo da Vinci wirkte zu dieser Zeit in Mailand am Hof der Moro. Im Jahr 1509 erschien in Venedig das Buch „Über die göttlichen Proportionen“ (De divina proportione, 1497, erschienen 1509 in Venedig) von Luca Pacioli mit brillant ausgeführten Illustrationen, weshalb angenommen wird, dass sie von Leonardo da Vinci stammen. Das Buch war eine begeisterte Hymne an den Goldenen Schnitt. Es gibt nur ein solches Verhältnis, und Einzigartigkeit ist die höchste Eigenschaft Gottes. Es verkörpert die Heilige Dreifaltigkeit. Dieses Verhältnis kann nicht in einer zugänglichen Zahl ausgedrückt werden, bleibt verborgen und geheim und wird von Mathematikern selbst als irrational bezeichnet (ebenso kann Gott nicht in Worten definiert oder erklärt werden). Gott verändert sich nie und repräsentiert alles in allem und alles in jedem seiner Teile, daher ist der Goldene Schnitt für jede kontinuierliche und bestimmte Größe (unabhängig davon, ob sie groß oder klein ist) derselbe, kann weder geändert noch geändert werden. anders wahrgenommen von Grund. Gott rief mit ihrer Hilfe und vier anderen einfachen Körpern (vier Elemente – Erde, Wasser, Luft, Feuer) die himmlische Tugend, auch fünfte Substanz genannt, ins Leben und erweckte auf ihrer Grundlage alles andere in der Natur; So gibt unser heiliger Proportion, laut Platon im Timaios, dem Himmel selbst formale Existenz, denn ihm wird die Erscheinung eines Körpers namens Dodekaeder zugeschrieben, der ohne den Goldenen Schnitt nicht konstruiert werden kann. Das sind Paciolis Argumente.

Auch Leonardo da Vinci widmete der Erforschung der Goldenen Teilung große Aufmerksamkeit. Er fertigte Abschnitte eines stereometrischen Körpers an, der aus regelmäßigen Fünfecken bestand, und jedes Mal erhielt er Rechtecke mit Seitenverhältnissen in der goldenen Teilung. Deshalb gab er dieser Abteilung den Namen Goldener Schnitt. Daher bleibt es immer noch das beliebteste.

Zur gleichen Zeit arbeitete Albrecht Dürer im Norden Europas, in Deutschland, an denselben Problemen. Er skizziert die Einleitung zur ersten Fassung der Abhandlung über Proportionen. Dürer schreibt: „Es ist notwendig, dass jemand, der weiß, wie man etwas macht, es auch anderen beibringt, die es brauchen.“ Das habe ich mir vorgenommen.“

Kepler nannte die Goldene Proportion selbstkontinuierlich. „Sie ist so aufgebaut“, schrieb er, „dass die beiden niedrigsten Terme dieser endlosen Proportion sich zum dritten Term addieren und zwei beliebige letzte Terme, wenn man sie addiert, ergeben.“ der nächste Term, und das gleiche Verhältnis bleibt bis ins Unendliche bestehen.“

Die Konstruktion einer Reihe von Segmenten des Goldenen Schnitts kann sowohl in Richtung der Zunahme (aufsteigende Reihe) als auch in der Richtung der Abnahme (absteigende Reihe) erfolgen.

Wenn Sie sich auf einer geraden Linie beliebiger Länge befinden, legen Sie das Segment beiseite M , legen Sie das Segment daneben M . Basierend auf diesen beiden Segmenten erstellen wir eine Segmentskala des goldenen Anteils der aufsteigenden und absteigenden Reihe.

Konstruktion einer Skala aus goldenen Proportionssegmenten

Im Jahr 1855 veröffentlichte der deutsche Forscher des Goldenen Schnitts, Professor Zeising, sein Werk „Ästhetische Studien“. Was Zeising passierte, war genau das, was zwangsläufig einem Forscher passieren sollte, der ein Phänomen als solches betrachtet, ohne Zusammenhang mit anderen Phänomenen. Er verabsolutierte die Proportionen des Goldenen Schnitts und erklärte ihn für universell für alle Phänomene der Natur und der Kunst. Zeising hatte zahlreiche Anhänger, aber es gab auch Gegner, die seine Proportionslehre zur „mathematischen Ästhetik“ erklärten.

Zeising hat großartige Arbeit geleistet. Er vermaß etwa zweitausend menschliche Körper und kam zu dem Schluss, dass der Goldene Schnitt das durchschnittliche statistische Gesetz ausdrückt. Die Teilung des Körpers durch den Nabelpunkt ist der wichtigste Indikator für den Goldenen Schnitt. Die Proportionen des männlichen Körpers schwanken im durchschnittlichen Verhältnis von 13:8 = 1,625 und liegen etwas näher am Goldenen Schnitt als die Proportionen des weiblichen Körpers, bei denen der Durchschnittswert der Proportionen im Verhältnis 8 ausgedrückt wird :5 = 1,6. Bei einem Neugeborenen beträgt das Verhältnis 1:1, mit 13 Jahren beträgt es 1,6 und mit 21 Jahren entspricht es dem eines Mannes. Die Proportionen des Goldenen Schnitts erscheinen auch im Verhältnis zu anderen Körperteilen – der Länge von Schulter, Unterarm und Hand, Hand und Fingern usw.

GOLDENER VERHÄLTNIS UND SYMMETRIE

Der Goldene Schnitt kann nicht isoliert und ohne Zusammenhang mit der Symmetrie betrachtet werden. Der große russische Kristallograph G.V. Wolf (1863-1925) betrachtete den Goldenen Schnitt als eine der Manifestationen der Symmetrie.

Die goldene Teilung ist keine Manifestation von Asymmetrie, also etwas Gegenteil von Symmetrie. Nach modernen Vorstellungen ist die goldene Teilung eine asymmetrische Symmetrie. Die Wissenschaft der Symmetrie umfasst Konzepte wie statische und dynamische Symmetrie. Statische Symmetrie kennzeichnet Frieden und Ausgeglichenheit, während dynamische Symmetrie Bewegung und Wachstum kennzeichnet. So wird statische Symmetrie in der Natur durch die Struktur von Kristallen repräsentiert und in der Kunst charakterisiert sie Ruhe, Ausgeglichenheit und Unbeweglichkeit. Dynamische Symmetrie drückt Aktivität aus, charakterisiert Bewegung, Entwicklung, Rhythmus, sie ist Lebensbeweis. Statische Symmetrie zeichnet sich durch gleiche Segmente und gleiche Werte aus. Dynamische Symmetrie ist durch eine Zunahme oder Abnahme von Segmenten gekennzeichnet und wird in den Werten des Goldenen Schnitts einer zunehmenden oder abnehmenden Reihe ausgedrückt.

FIBONACCI-SERIE

Der Name des italienischen Mathematikermönchs Leonardo von Pisa, besser bekannt als Fibonacci, ist indirekt mit der Geschichte des Goldenen Schnitts verbunden. Er reiste viel in den Osten und führte arabische Ziffern in Europa ein. Im Jahr 1202 erschien sein mathematisches Werk „Das Buch des Abakus“ (Zählbrett), das alle damals bekannten Probleme zusammenfasste.

Eine Reihe von Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 usw. bekannt als Fibonacci-Reihe. Die Besonderheit der Zahlenfolge besteht darin, dass jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem dritten, gleich der Summe der beiden vorherigen ist 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 usw., und das Verhältnis benachbarter Zahlen in der Reihe nähert sich dem Verhältnis der goldenen Division. Also 21:34 = 0,617 und 34:55 = 0,618. Dieses Verhältnis wird mit dem Symbol F bezeichnet. Nur dieses Verhältnis – 0,618:0,382 – ergibt eine kontinuierliche Unterteilung eines geraden Liniensegments im goldenen Verhältnis, indem es es bis ins Unendliche erhöht oder verringert, wenn das kleinere Segment mit dem größeren in Beziehung gesetzt wird das Größere gilt für das Ganze.

Wie in der unteren Abbildung dargestellt, steht die Länge jedes Fingergelenks im Verhältnis zur Länge des nächsten Gelenks im Verhältnis F. Die gleiche Beziehung tritt bei allen Fingern und Zehen auf. Dieser Zusammenhang ist irgendwie ungewöhnlich, weil ein Finger länger als der andere ist und kein sichtbares Muster aufweist, aber das ist kein Zufall, so wie alles im menschlichen Körper nicht zufällig ist. Die Abstände an den Fingern, die von A über B über C bis D bis E markiert sind, stehen alle durch das Verhältnis F zueinander in Beziehung, ebenso wie die Fingerglieder von F über G bis H.

Werfen Sie einen Blick auf dieses Froschskelett und sehen Sie, wie jeder Knochen dem F-Proportionsmuster entspricht, genau wie im menschlichen Körper.

ALLGEMEINER GOLDENER VERHÄLTNIS

Wissenschaftler entwickelten die Theorie der Fibonacci-Zahlen und des Goldenen Schnitts aktiv weiter. Yu. Matiyasevich löst Hilberts 10. Problem mithilfe von Fibonacci-Zahlen. Es entstehen Methoden zur Lösung einer Reihe kybernetischer Probleme (Suchtheorie, Spiele, Programmierung) mithilfe von Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt. In den USA entsteht sogar die Mathematical Fibonacci Association, die seit 1963 eine Sonderzeitschrift herausgibt.

Eine der Errungenschaften auf diesem Gebiet ist die Entdeckung verallgemeinerter Fibonacci-Zahlen und verallgemeinerter Goldener Schnitte.

Die Fibonacci-Reihe (1, 1, 2, 3, 5, 8) und die von ihm entdeckte „binäre“ Reihe der Gewichte 1, 2, 4, 8 sind auf den ersten Blick völlig unterschiedlich. Aber die Algorithmen für ihre Konstruktion sind einander sehr ähnlich: Im ersten Fall ist jede Zahl die Summe der vorherigen Zahl mit sich selbst 2=1+1; 4=2+2..., im zweiten - das ist die Summe der beiden vorherigen Zahlen 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Ist es möglich, eine allgemeine Mathematik zu finden? Formel, aus der man „binär“ erhält » Reihe und Fibonacci-Reihe? Oder liefert uns diese Formel vielleicht neue Zahlenmengen mit einigen neuen einzigartigen Eigenschaften?

Definieren wir nämlich einen numerischen Parameter S, der beliebige Werte annehmen kann: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Betrachten Sie eine Zahlenreihe S+1, deren erste Terme Einsen sind, und zwar jeweils Die nachfolgenden sind gleich der Summe zweier Terme des vorherigen und durch S Schritte vom vorherigen getrennt. Wenn wir den n-ten Term dieser Reihe mit bezeichnen? S(n), dann erhalten wir die allgemeine Formel? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Es ist offensichtlich, dass wir mit S=0 aus dieser Formel eine „binäre“ Reihe erhalten, mit S=1 – die Fibonacci-Reihe, mit S=2, 3, 4. Neue Zahlenreihen, die S-Fibonacci-Zahlen genannt werden .

Allgemein goldenes S-Verhältnis ist die positive Wurzel der goldenen S-Schnitt-Gleichung x S+1 -x S -1=0.

Es lässt sich leicht zeigen, dass bei S = 0 das Segment in zwei Hälften geteilt wird und bei S = 1 der bekannte klassische Goldene Schnitt erhalten wird.

Die Verhältnisse benachbarter Fibonacci-S-Zahlen stimmen mit absoluter mathematischer Genauigkeit im Grenzfall mit den goldenen S-Proportionen überein! Mathematiker sagen in solchen Fällen, dass die goldenen S-Verhältnisse numerische Invarianten der Fibonacci-S-Zahlen sind.

Fakten, die die Existenz goldener S-Abschnitte in der Natur bestätigen, werden vom belarussischen Wissenschaftler E.M. angeführt. Soroko im Buch „Structural Harmony of Systems“ (Minsk, „Science and Technology“, 1984). Es stellt sich beispielsweise heraus, dass gut untersuchte binäre Legierungen nur dann besondere, ausgeprägte funktionelle Eigenschaften (thermisch stabil, hart, verschleißfest, oxidationsbeständig usw.) aufweisen, wenn die spezifischen Gewichte der ursprünglichen Komponenten miteinander in Beziehung gesetzt werden nacheinander aus goldenen S-Proportionen. Dies ermöglichte es dem Autor, die Hypothese aufzustellen, dass die goldenen S-Schnitte numerische Invarianten selbstorganisierender Systeme sind. Sobald diese Hypothese experimentell bestätigt wird, könnte sie von grundlegender Bedeutung für die Entwicklung der Synergetik sein – einem neuen Wissenschaftsgebiet, das Prozesse in selbstorganisierenden Systemen untersucht.

Mithilfe von Codes für goldene S-Proportionen können Sie jede reelle Zahl als Summe von Potenzen goldener S-Proportionen mit ganzzahligen Koeffizienten ausdrücken.

Der grundlegende Unterschied zwischen dieser Methode zur Kodierung von Zahlen besteht darin, dass sich die Grundlagen der neuen Codes, die goldenen S-Proportionen, als irrationale Zahlen herausstellen, wenn S>0. Somit scheinen neue Zahlensysteme mit irrationalen Grundlagen die historisch etablierte Hierarchie der Beziehungen zwischen rationalen und irrationalen Zahlen „von Kopf bis Fuß“ zu verändern. Tatsache ist, dass die natürlichen Zahlen zuerst „entdeckt“ wurden; dann sind ihre Verhältnisse rationale Zahlen. Und erst später, nachdem die Pythagoräer inkommensurable Segmente entdeckten, wurden irrationale Zahlen geboren. Beispielsweise wurden in dezimalen, quinären, binären und anderen klassischen Positionszahlensystemen natürliche Zahlen als eine Art Grundprinzip gewählt: 10, 5, 2, aus denen nach bestimmten Regeln alle anderen natürlichen Zahlen sowie rationale Zahlen abgeleitet werden und irrationale Zahlen wurden konstruiert.

Eine Art Alternative zu den bestehenden Notationsmethoden ist ein neues, irrationales System, bei dem eine irrationale Zahl (die, wie wir uns erinnern, die Wurzel der Gleichung des Goldenen Schnitts ist) als grundlegende Grundlage für den Beginn der Notation gewählt wird; andere reelle Zahlen werden bereits dadurch ausgedrückt.

In einem solchen Zahlensystem kann jede natürliche Zahl immer als endlich dargestellt werden – und nicht als unendlich, wie bisher angenommen! – die Summe der Potenzen aller goldenen S-Proportionen. Dies ist einer der Gründe, warum die „irrationale“ Arithmetik mit ihrer erstaunlichen mathematischen Einfachheit und Eleganz offenbar die besten Eigenschaften der klassischen Binär- und „Fibonacci“-Arithmetik übernommen hat.

GRUNDSÄTZE DER FORMBILDUNG IN DER NATUR

Alles, was irgendeine Form annahm, formte sich, wuchs, suchte danach, im Raum Platz zu nehmen und sich zu bewahren. Dieser Wunsch wird hauptsächlich auf zwei Arten verwirklicht: nach oben wachsen oder sich über die Erdoberfläche ausbreiten und spiralförmig drehen.

Die Form der spiralförmig gewundenen Muschel erregte die Aufmerksamkeit von Archimedes. Er studierte es und leitete die Gleichung der Spirale ab. Die nach dieser Gleichung gezeichnete Spirale trägt seinen Namen. Die Steigerung ihres Schritts ist immer gleichmäßig. Derzeit ist die Archimedes-Spirale in der Technik weit verbreitet.

Goethe betonte auch die Tendenz der Natur zur Spiralität. Die helikale und spiralförmige Anordnung der Blätter an Baumzweigen wurde schon vor langer Zeit bemerkt.

Die Spirale wurde in der Anordnung von Sonnenblumenkernen, Tannenzapfen, Ananas, Kakteen usw. gesehen. Die gemeinsame Arbeit von Botanikern und Mathematikern hat Licht auf diese erstaunlichen Naturphänomene geworfen. Es stellte sich heraus, dass sich die Fibonacci-Reihe in der Anordnung von Blättern auf einem Ast (Phylotaxis), Sonnenblumenkernen und Tannenzapfen manifestiert und somit das Gesetz des Goldenen Schnitts zum Ausdruck kommt. Die Spinne webt ihr Netz spiralförmig. Ein Hurrikan dreht sich wie eine Spirale. Eine verängstigte Rentierherde läuft spiralförmig davon. Das DNA-Molekül ist in einer Doppelhelix verdreht. Goethe nannte die Spirale die „Kurve des Lebens“.

Mandelbrot-Reihe

Die Goldene Spirale ist eng mit Zyklen verbunden. Moderne Wissenschaftüber Chaos studiert einfache zyklische Operationen mit Rückmeldung und die von ihnen erzeugten fraktalen Formen waren bisher unbekannt. Das Bild zeigt die berühmte Mandelbrot-Reihe – eine Seite aus dem Wörterbuch H Gliedmaßen einzelner Muster, sogenannte Julianische Reihen. Einige Wissenschaftler assoziieren die Mandelbrot-Reihe mit genetischer Code Zellkerne. Eine konsequente Vergrößerung der Ausschnitte bringt Fraktale zum Vorschein, die in ihrer künstlerischen Komplexität verblüffen. Und auch hier gibt es logarithmische Spiralen! Dies ist umso wichtiger, als sowohl die Mandelbrot-Reihe als auch die Julian-Reihe keine Erfindung des menschlichen Geistes sind. Sie entstammen dem Bereich der Vorbilder Platons. Wie Arzt R. Penrose sagte: „Sie sind wie der Mount Everest.“

Der Spross macht einen kräftigen Auswurf in den Weltraum, stoppt, gibt ein Blatt frei, aber dieses Mal ist es kürzer als beim ersten Mal, führt erneut einen Auswurf in den Weltraum durch, aber mit weniger Kraft, lässt ein noch kleineres Blatt frei und wird erneut ausgeworfen.

Wenn man davon ausgeht, dass die erste Emission 100 Einheiten beträgt, dann entspricht die zweite 62 Einheiten, die dritte 38, die vierte 24 usw. Auch die Länge der Blütenblätter unterliegt dem goldenen Verhältnis. Beim Wachstum und der Eroberung des Weltraums behielt die Pflanze bestimmte Proportionen bei. Die Wachstumsimpulse nahmen im Verhältnis zum Goldenen Schnitt allmählich ab.

Chicoree

Bei vielen Schmetterlingen entspricht das Größenverhältnis der Brust- und Bauchkörperteile dem Goldenen Schnitt. Die Motte faltet ihre Flügel und bildet ein regelmäßiges gleichseitiges Dreieck. Aber wenn Sie Ihre Flügel ausbreiten, werden Sie das gleiche Prinzip der Teilung des Körpers in 2, 3, 5, 8 sehen. Auch die Libelle entsteht nach den Gesetzen des Goldenen Schnitts: dem Verhältnis der Längen von Schwanz und Körper ist gleich dem Verhältnis der Gesamtlänge zur Schwanzlänge.

Auf den ersten Blick hat die Eidechse Proportionen, die unseren Augen gefallen – die Länge ihres Schwanzes verhält sich im Verhältnis zur Länge des restlichen Körpers bei 62 zu 38.

Lebendgebärende Eidechse

Die Natur hat die Einteilung in symmetrische Teile und goldene Proportionen vorgenommen. Die Teile offenbaren eine Wiederholung der Struktur des Ganzen.

Von großem Interesse ist die Untersuchung der Formen von Vogeleiern. Ihre verschiedenen Formen schwanken zwischen zwei extremen Typen: Einer von ihnen kann in ein Rechteck des Goldenen Schnitts eingeschrieben werden, der andere in ein Rechteck mit einem Modul von 1,272 (der Wurzel des Goldenen Schnitts).

Solche Formen von Vogeleiern sind kein Zufall, da inzwischen festgestellt wurde, dass die durch den Goldenen Schnitt beschriebene Form von Eiern höheren Festigkeitseigenschaften der Eierschale entspricht.

Die Stoßzähne von Elefanten und ausgestorbenen Mammuts, die Klauen von Löwen und die Schnäbel von Papageien haben eine logarithmische Form und ähneln der Form einer Achse, die dazu neigt, sich in eine Spirale zu verwandeln.

In der belebten Natur sind Formen weit verbreitet, die auf „fünfeckiger“ Symmetrie basieren (Seesterne, Seeigel, Blumen).

Der Goldene Schnitt ist in der Struktur aller Kristalle vorhanden, die meisten Kristalle sind jedoch mikroskopisch klein, sodass wir sie mit bloßem Auge nicht erkennen können. Allerdings sind Schneeflocken, bei denen es sich ebenfalls um Wasserkristalle handelt, für unser Auge durchaus sichtbar. Auch alle überaus schönen Figuren, die Schneeflocken bilden, alle Achsen, Kreise und geometrischen Figuren in Schneeflocken sind ausnahmslos immer nach der vollkommen klaren Formel des Goldenen Schnitts gebaut.

Im Mikrokosmos sind dreidimensionale logarithmische Formen, die nach goldenen Proportionen aufgebaut sind, allgegenwärtig. Viele Viren haben beispielsweise die dreidimensionale geometrische Form eines Ikosaeders. Der vielleicht bekannteste dieser Viren ist der Adeno-Virus. Die Proteinhülle des Adenovirus besteht aus 252 Einheiten von Proteinzellen, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind. An jeder Ecke des Ikosaeders befinden sich 12 Einheiten Proteinzellen in Form eines fünfeckigen Prismas, und von diesen Ecken erstrecken sich wirbelsäulenartige Strukturen.

Adeno-Virus

Der Goldene Schnitt in der Struktur von Viren wurde erstmals in den 1950er Jahren entdeckt. Wissenschaftler vom Birkbeck College London A. Klug und D. Kaspar. Der Polyo-Virus war der erste, der eine logarithmische Form aufwies. Es wurde festgestellt, dass die Form dieses Virus der des Rhino-Virus ähnelt.

Es stellt sich die Frage: Wie bilden Viren solch komplexe dreidimensionale Formen, deren Struktur den Goldenen Schnitt enthält, die selbst mit unserem menschlichen Verstand nur schwer zu konstruieren sind? Der Entdecker dieser Virenformen, der Virologe A. Klug, äußert sich wie folgt: „Dr. Kaspar und ich haben gezeigt, dass für die Kugelhülle des Virus die Symmetrie wie die Ikosaederform die optimalste Form ist.“ Diese Reihenfolge minimiert die Anzahl der Verbindungselemente... Die meisten geodätischen Halbkugelwürfel von Buckminster Fuller sind nach einem ähnlichen geometrischen Prinzip aufgebaut. Der Einbau solcher Würfel erfordert ein äußerst präzises und detailliertes Erklärungsschema, während unbewusste Viren selbst eine solch komplexe Hülle aus elastischen, flexiblen Protein-Zelleinheiten aufbauen.“

Klugs Kommentar erinnert uns einmal mehr an eine äußerst offensichtliche Wahrheit: Selbst in der Struktur eines mikroskopisch kleinen Organismus, den Wissenschaftler als „die primitivste Lebensform“ einstufen, in diesem Fall eines Virus, gibt es einen klaren Plan und ein intelligentes Design. Dieses Projekt ist in seiner Perfektion und Präzision in der Ausführung nicht mit den fortschrittlichsten von Menschen geschaffenen Architekturprojekten zu vergleichen. Zum Beispiel Projekte des brillanten Architekten Buckminster Fuller.

Dreidimensionale Modelle des Dodekaeders und Ikosaeders finden sich auch in der Struktur der Skelette einzelliger Meeresmikroorganismen Radiolarien (Rochenfische), deren Skelett aus Kieselsäure besteht.

Radiolarier formen ihre Körper von sehr exquisiter, ungewöhnlicher Schönheit. Ihre Form ist ein regelmäßiges Dodekaeder, und aus jeder seiner Ecken sprießen ein Pseudo-Längsschenkel und andere ungewöhnliche Formauswüchse.

DER MENSCHLICHE KÖRPER UND DER GOLDENE VERHÄLTNIS

Alle menschlichen Knochen werden im Verhältnis zum Goldenen Schnitt gehalten. Proportionen verschiedene Teile Unser Körper ist eine Zahl, die dem Goldenen Schnitt sehr nahe kommt. Wenn diese Proportionen mit der Formel des Goldenen Schnitts übereinstimmen, gilt das Aussehen bzw. der Körper der Person als ideal proportioniert.

Goldene Proportionen in Teilen des menschlichen Körpers

Wenn wir den Nabelpunkt als Mittelpunkt des menschlichen Körpers und den Abstand zwischen dem Fuß einer Person und dem Nabelpunkt als Maßeinheit nehmen, entspricht die Körpergröße einer Person der Zahl 1,618.

der Abstand von Schulterhöhe bis zum Scheitel und die Größe des Kopfes beträgt 1:1,618;
der Abstand vom Nabelpunkt bis zum Scheitel des Kopfes und von der Schulterhöhe bis zum Scheitel des Kopfes beträgt 1:1,618;
der Abstand des Nabelpunktes zu den Knien und von den Knien zu den Füßen beträgt 1:1,618;
der Abstand von der Kinnspitze bis zur Oberlippenspitze und von der Oberlippenspitze bis zu den Nasenlöchern beträgt 1:1,618;
Das tatsächliche Vorhandensein des goldenen Schnitts im Gesicht eines Menschen ist das Schönheitsideal für den menschlichen Blick.
der Abstand von der Kinnspitze bis zur oberen Augenbrauenlinie und von der oberen Augenbrauenlinie bis zum Scheitel beträgt 1:1,618;
Gesichtshöhe/Gesichtsbreite;
der zentrale Verbindungspunkt der Lippen zum Nasenansatz/die Länge der Nase;
Gesichtshöhe/Abstand von der Kinnspitze bis zum zentralen Punkt, an dem sich die Lippen treffen;
Mundbreite/Nasenbreite;
Nasenbreite/Abstand zwischen den Nasenlöchern;
Abstand zwischen Pupillen/Abstand zwischen Augenbrauen.

Es reicht aus, die Handfläche näher an sich heranzuführen und genau hinzusehen Zeigefinger, und Sie finden darin sofort die Formel des Goldenen Schnitts.

Jeder Finger unserer Hand besteht aus drei Fingergliedern. Die Summe der Längen der ersten beiden Fingerglieder im Verhältnis zur Gesamtlänge des Fingers ergibt die Zahl des Goldenen Schnitts (mit Ausnahme des Daumens).

Darüber hinaus entspricht auch das Verhältnis zwischen Mittelfinger und kleinem Finger dem Goldenen Schnitt.

Ein Mensch hat 2 Hände, die Finger jeder Hand bestehen aus 3 Fingergliedern (außer dem Daumen). An jeder Hand gibt es 5 Finger, also insgesamt 10, aber mit Ausnahme von zwei Zwei-Phalanx-Daumen sind nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts nur 8 Finger entstanden. Während alle diese Zahlen 2, 3, 5 und 8 Fibonacci-Folgezahlen sind.

Bemerkenswert ist auch die Tatsache, dass bei den meisten Menschen der Abstand zwischen den Enden ihrer ausgestreckten Arme ihrer Körpergröße entspricht.

Die Wahrheiten des Goldenen Schnitts liegen in uns und in unserem Raum. Die Besonderheit der Bronchien, aus denen die menschliche Lunge besteht, liegt in ihrer Asymmetrie. Die Bronchien bestehen aus zwei Hauptluftwegen, von denen einer (der linke) länger und der andere (der rechte) kürzer ist. Es wurde festgestellt, dass sich diese Asymmetrie in den Ästen der Bronchien, in allen kleineren Atemwegen, fortsetzt. Darüber hinaus ist das Verhältnis der Längen der kurzen und langen Bronchien auch der Goldene Schnitt und beträgt 1:1,618.

Im menschlichen Innenohr gibt es ein Organ namens Cochlea („Schnecke“), das die Funktion hat, Schallschwingungen zu übertragen. Diese knöcherne Struktur ist mit Flüssigkeit gefüllt und hat auch die Form einer Schnecke mit einer stabilen logarithmischen Spiralform = 73 0 43 Zoll.

Der Blutdruck verändert sich, wenn das Herz arbeitet. Seinen größten Wert erreicht es im linken Ventrikel des Herzens im Moment seiner Kompression (Systole). In den Arterien erreicht der Blutdruck während der Systole der Herzkammern bei einem jungen, gesunden Menschen einen Maximalwert von 115-125 mmHg. Im Moment der Entspannung des Herzmuskels (Diastole) sinkt der Druck auf 70-80 mm Hg. Kunst. Das Verhältnis von maximalem (systolischem) zu minimalem (diastolischem) Druck beträgt im Durchschnitt 1,6, also nahe am Goldenen Schnitt.

Wenn wir den durchschnittlichen Blutdruck in der Aorta als Einheit nehmen, beträgt der systolische Blutdruck in der Aorta 0,382 und der diastolische Druck 0,618, d. h. ihr Verhältnis entspricht dem Goldenen Schnitt. Das bedeutet, dass die Arbeit des Herzens im Verhältnis zu Zeitzyklen und Blutdruckänderungen nach dem gleichen Prinzip, dem Gesetz des Goldenen Schnitts, optimiert wird.

Das DNA-Molekül besteht aus zwei vertikal ineinander verschlungenen Helices. Die Länge jeder dieser Spiralen beträgt 34 Angström und die Breite 21 Angström. (1 Angström ist ein Hundertmillionstel Zentimeter).

Die Struktur des Helixabschnitts des DNA-Moleküls

21 und 34 sind also aufeinander folgende Zahlen in der Folge der Fibonacci-Zahlen, das heißt, das Verhältnis der Länge und Breite der logarithmischen Spirale des DNA-Moleküls entspricht der Formel des Goldenen Schnitts 1:1,618.

GOLDENER VERHÄLTNIS IN DER SKULPTUR

Skulpturale Bauwerke und Denkmäler werden errichtet, um sie zu verewigen Wichtige Veranstaltungen, im Gedächtnis der Nachkommen die Namen berühmter Persönlichkeiten, ihre Heldentaten und Taten bewahren. Es ist bekannt, dass schon in der Antike die Grundlage der Bildhauerei die Proportionslehre war. Die Beziehungen zwischen den Teilen des menschlichen Körpers wurden mit der Formel des Goldenen Schnitts in Verbindung gebracht. Die Proportionen des „Goldenen Schnitts“ erwecken den Eindruck von Harmonie und Schönheit, weshalb Bildhauer sie in ihren Werken verwendeten. Bildhauer behaupten, dass die Taille den perfekten menschlichen Körper im Verhältnis zum „Goldenen Schnitt“ unterteilt. Zum Beispiel, berühmte Statue Apollo Belvedere besteht aus Teilen, die nach dem Goldenen Schnitt unterteilt sind. Der große antike griechische Bildhauer Phidias verwendete in seinen Werken häufig den „Goldenen Schnitt“. Die berühmtesten davon waren die Statue des olympischen Zeus (die als eines der Weltwunder galt) und der Parthenon von Athen.

Der goldene Anteil der Statue des Apollo Belvedere ist bekannt: Im goldenen Schnitt wird die Körpergröße der abgebildeten Person durch die Nabellinie geteilt.

GOLDENER VERHÄLTNIS IN DER ARCHITEKTUR

In Büchern über den „Goldenen Schnitt“ findet man die Bemerkung, dass in der Architektur, wie auch in der Malerei, alles von der Position des Betrachters abhängt, und wenn manche Proportionen in einem Gebäude von einer Seite aus den „Goldenen Schnitt“ zu bilden scheinen, dann aus anderen Blickwinkeln werden sie anders aussehen. Der „Goldene Schnitt“ gibt das entspannteste Verhältnis der Größen bestimmter Längen an.

Eines der schönsten Werke der antiken griechischen Architektur ist der Parthenon (5. Jahrhundert v. Chr.).

Auf den Bildern sichtbar ganze Zeile Muster, die mit dem Goldenen Schnitt verbunden sind. Die Proportionen des Gebäudes können durch verschiedene Potenzen der Zahl Ф=0,618 ausgedrückt werden...

Der Parthenon hat 8 Säulen an den kurzen Seiten und 17 an den langen Seiten. Die Vorsprünge bestehen vollständig aus Quadraten aus pentileischem Marmor. Das edle Material, aus dem der Tempel gebaut wurde, ermöglichte es, die in der griechischen Architektur übliche Verwendung von Farben einzuschränken; sie betonen nur die Details und bilden einen farbigen Hintergrund (blau und rot) für die Skulptur. Das Verhältnis der Gebäudehöhe zur Gebäudelänge beträgt 0,618. Wenn wir den Parthenon nach dem „Goldenen Schnitt“ teilen, erhalten wir bestimmte Vorsprünge der Fassade.

Die „goldenen Rechtecke“ sind auch auf dem Grundriss des Parthenon zu sehen.

Wir können den Goldenen Schnitt im Kathedralengebäude sehen Notre Dame von Paris(Notre Dame de Paris) und in der Cheopspyramide.

Nicht nur die ägyptischen Pyramiden wurden nach den perfekten Proportionen des Goldenen Schnitts gebaut; Das gleiche Phänomen wurde bei den mexikanischen Pyramiden festgestellt.

Lange Zeit glaubte, dass die Architekten Altes Russland Sie bauten alles „nach Augenmaß“, ohne besondere mathematische Berechnungen. Neueste Forschungen haben jedoch gezeigt, dass russische Architekten sich der mathematischen Proportionen durchaus bewusst waren, wie die Analyse der Geometrie antiker Tempel beweist.

Der berühmte russische Architekt M. Kazakov verwendete in seiner Arbeit häufig den „Goldenen Schnitt“. Sein Talent war vielfältig, zeigte sich aber vor allem in den zahlreichen realisierten Wohnbau- und Siedlungsprojekten. Der „Goldene Schnitt“ findet sich beispielsweise in der Architektur des Senatsgebäudes im Kreml wieder. Nach dem Projekt von M. Kazakov wurde in Moskau das Golitsyn-Krankenhaus gebaut, das derzeit als Erstes bezeichnet wird klinisches Krankenhaus benannt nach N.I. Pirogow.

Petrowski-Palast in Moskau. Gebaut nach dem Entwurf von M.F. Kazakova

Ein weiteres architektonisches Meisterwerk Moskaus – das Paschkow-Haus – ist eines der perfektesten Architekturwerke von V. Bazhenov.

Paschkow-Haus

Die wunderbare Schöpfung von V. Bazhenov ist fest in das Ensemble des Zentrums des modernen Moskau eingedrungen und hat es bereichert. Das Äußere des Hauses ist bis heute nahezu unverändert geblieben, obwohl es 1812 schwer niedergebrannt war. Bei der Restaurierung erhielt das Gebäude massivere Formen. Die Innenaufteilung des Gebäudes ist nicht erhalten, was nur aus der Zeichnung des Untergeschosses ersichtlich ist.

Viele Aussagen des Architekten verdienen heute Beachtung. Über seine Lieblingskunst sagte V. Bazhenov: „Architektur hat drei Hauptziele: Schönheit, Ruhe und Stärke des Gebäudes... Um dies zu erreichen, dient das Wissen über Proportionen, Perspektive, Mechanik oder Physik im Allgemeinen als Leitfaden und.“ Der gemeinsame Anführer von allen ist die Vernunft.“

GOLDENER VERHÄLTNIS IN DER MUSIK

Jedes Musikstück hat eine zeitliche Ausdehnung und wird durch bestimmte „ästhetische Meilensteine“ in einzelne Teile unterteilt, die Aufmerksamkeit erregen und die Wahrnehmung als Ganzes erleichtern. Diese Meilensteine können die dynamischen und intonatorischen Höhepunkte eines Musikwerks sein. Einzelne Zeitintervalle eines Musikwerks, die durch ein „Höhepunktereignis“ verbunden sind, liegen in der Regel im Goldenen Schnitt.

Bereits 1925 schrieb der Kunstkritiker L.L. Nachdem Sabaneev 1.770 Musikwerke von 42 Autoren analysiert hatte, zeigte er, dass die überwiegende Mehrheit der herausragenden Werke leicht in Teile unterteilt werden kann, entweder nach Thema, nach Intonationsstruktur oder nach Modalstruktur, die in Bezug auf das Goldene miteinander in Beziehung stehen Verhältnis. Je talentierter der Komponist ist, desto mehr goldene Schnitte finden sich in seinen Werken. Laut Sabaneev erweckt der Goldene Schnitt den Eindruck einer besonderen Harmonie musikalische Komposition. Sabaneev überprüfte dieses Ergebnis an allen 27 Chopin-Etüden. Er entdeckte darin 178 Goldene Schnitte. Es stellte sich heraus, dass nicht nur große Teile des Studiums in Bezug auf den Goldenen Schnitt nach Dauer unterteilt sind, sondern auch Teile des Studiums innerhalb oft im gleichen Verhältnis unterteilt sind.

Komponist und Wissenschaftler M.A. Marutaev zählte die Anzahl der Takte in der berühmten Sonate „Appassionata“ und fand eine Reihe interessanter Zahlenbeziehungen. Insbesondere in der Durchführung – der zentralen Struktureinheit der Sonate, in der sich Themen intensiv entwickeln und Töne einander ersetzen – gibt es zwei Hauptabschnitte. Im ersten - 43,25 Takte, im zweiten - 26,75. Das Verhältnis 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 ergibt den Goldenen Schnitt.

Die meisten Werke, in denen der Goldene Schnitt vorhanden ist, stammen von Arensky (95 %), Beethoven (97 %), Haydn (97 %), Mozart (91 %), Chopin (92 %), Schubert (91 %).

Wenn Musik die harmonische Ordnung von Klängen ist, dann ist Poesie die harmonische Ordnung von Sprache. Ein klarer Rhythmus, ein natürlicher Wechsel von betonten und unbetonten Silben, ein geordnetes Versmaß der Gedichte und ihr emotionaler Reichtum machen Poesie aus Schwester Musikalische Werke. Der Goldene Schnitt in der Poesie manifestiert sich in erster Linie als Präsenz eines bestimmten Moments im Gedicht (Höhepunkt, semantischer Wendepunkt, Hauptidee Produkt) in der Linie am Teilungspunkt Gesamtzahl Zeilen eines Gedichts im goldenen Schnitt. Wenn ein Gedicht also 100 Zeilen enthält, dann fällt der erste Punkt des Goldenen Schnitts auf die 62. Zeile (62 %), der zweite auf die 38. Zeile (38 %) usw. Die Werke von Alexander Sergejewitsch Puschkin, darunter „Eugen Onegin“, sind die beste Entsprechung zum Goldenen Schnitt! Werke von Shota Rustaveli und M.Yu. Lermontov sind ebenfalls nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts gebaut.

Stradivari schrieb, er habe den Goldenen Schnitt verwendet, um die Positionen der F-förmigen Kerben auf den Korpussen seiner berühmten Geigen zu bestimmen.

GOLDENER VERHÄLTNIS IN DER POESIE

Forschung poetische Werke Diese Positionen sind nur der Anfang. Und Sie müssen mit der Poesie von A.S. beginnen. Puschkin. Schließlich sind seine Werke ein Beispiel für die herausragendsten Schöpfungen der russischen Kultur, ein Beispiel das höchste Niveau Harmonie. Aus der Poesie von A.S. Puschkin, wir beginnen mit der Suche nach dem goldenen Verhältnis – dem Maß für Harmonie und Schönheit.

Vieles in der Struktur poetischer Werke ähnelt dieser Kunstform der Musik. Ein klarer Rhythmus, ein natürlicher Wechsel von betonten und unbetonten Silben, ein geordnetes Versmaß der Gedichte und ihr emotionaler Reichtum machen die Poesie zur Schwester musikalischer Werke. Jeder Vers hat seinen eigenen musikalische Form, mit seinem Rhythmus und seiner Melodie. Es ist zu erwarten, dass einige Merkmale musikalischer Werke, Muster, in der Struktur von Gedichten auftauchen. musikalische Harmonie und damit der Goldene Schnitt.

Beginnen wir mit der Größe des Gedichts, also der Anzahl der Zeilen darin. Es scheint, dass sich dieser Parameter des Gedichts beliebig ändern kann. Es stellte sich jedoch heraus, dass dies nicht der Fall war. Zum Beispiel N. Vasyutinskys Analyse der Gedichte von A.S. Puschkina zeigte, dass die Gedichtgrößen sehr ungleichmäßig verteilt sind; Es stellte sich heraus, dass Puschkin eindeutig die Größen 5, 8, 13, 21 und 34 Zeilen (Fibonacci-Zahlen) bevorzugt.

Viele Forscher haben festgestellt, dass Gedichte ähnlich sind Musikalische Werke; Sie haben auch Kulminationspunkte, die das Gedicht proportional zum Goldenen Schnitt unterteilen. Betrachten Sie zum Beispiel das Gedicht von A.S. Puschkins „Schuhmacher“:

Lassen Sie uns dieses Gleichnis analysieren. Das Gedicht besteht aus 13 Zeilen. Es hat zwei semantische Teile: den ersten in 8 Zeilen und den zweiten (die Moral des Gleichnisses) in 5 Zeilen (13, 8, 5 sind Fibonacci-Zahlen).

Eines von Puschkins letzten Gedichten, „Ich schätze laute Rechte nicht…“, besteht aus 21 Zeilen und enthält zwei semantische Teile: 13 und 8 Zeilen:

Ich lege keinen großen Wert auf laute Rechte,

Das sorgt für mehr als einen Kopf.

Ich beschwere mich nicht darüber, dass die Götter sich geweigert haben

Es ist mein süßes Schicksal, Steuern anzufechten

Oder verhindern Sie, dass Könige gegeneinander kämpfen.

Und es reicht mir nicht, mir Sorgen zu machen, ob die Presse frei ist

Täuschende Idioten oder sensible Zensur

In Zeitschriftenplänen ist der Joker peinlich.

Sie sehen, das alles sind Worte, Worte, Worte.

Andere, bessere Rechte liegen mir am Herzen:

Ich brauche eine andere, bessere Freiheit:

Verlassen Sie sich auf den König, verlassen Sie sich auf das Volk –

Interessiert es uns? Gott sei mit ihnen.

Geben Sie keinen Bericht ab, sondern nur an sich selbst

Um zu dienen und zu gefallen; für Macht, für Lackierung

Verbiegen Sie nicht Ihr Gewissen, Ihre Gedanken, Ihren Nacken;

Nach Belieben hier und da wandern,

Bewundern Sie die göttliche Schönheit der Natur,

Und vor den Kreationen von Kunst und Inspiration

Fröhlich zitternd im Rausch der Zärtlichkeit,

Was für ein Glück! Das ist richtig...

Bezeichnend ist, dass der erste Teil dieses Verses (13 Zeilen) seinem semantischen Inhalt nach in 8 und 5 Zeilen unterteilt ist, das heißt, das gesamte Gedicht ist nach den Gesetzen des Goldenen Schnitts aufgebaut.

Die Analyse des Romans „Eugen Onegin“ von N. Vasyutinsky ist zweifellos von Interesse. Dieser Roman besteht aus 8 Kapiteln mit jeweils durchschnittlich etwa 50 Versen. Das achte Kapitel ist das perfekteste, ausgefeilteste und emotional reichhaltigste. Es hat 51 Verse. Zusammen mit Eugenes Brief an Tatiana (60 Zeilen) entspricht dies genau der Fibonacci-Zahl 55!

N. Vasyutinsky erklärt: „Der Höhepunkt des Kapitels ist Evgenys Liebeserklärung an Tatjana – die Zeile „Blass werden und verblassen ... das ist Glückseligkeit!“ Diese Zeile teilt das gesamte achte Kapitel in zwei Teile: Der erste hat 477 Zeilen und der zweite 295 Zeilen. Ihr Verhältnis beträgt 1,617! Die beste Übereinstimmung mit dem Wert des Goldenen Schnitts! Das ist ein großes Wunder der Harmonie, das das Genie Puschkins vollbracht hat!“

E. Rosenov analysierte viele der poetischen Werke von M. Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoi und entdeckte in ihnen auch den „Goldenen Schnitt“.

Lermontovs berühmtes Gedicht „Borodino“ ist in zwei Teile gegliedert: eine an den Erzähler gerichtete Einleitung, die nur eine Strophe einnimmt („Sag mir, Onkel, es ist nicht umsonst ...“) und Hauptteil, ein unabhängiges Ganzes darstellend, das sich in zwei gleiche Teile aufteilt. Der erste von ihnen beschreibt mit zunehmender Spannung die Vorfreude auf die Schlacht, der zweite beschreibt die Schlacht selbst, wobei die Spannung gegen Ende des Gedichts allmählich nachlässt. Die Grenze zwischen diesen Teilen ist der Kulminationspunkt der Arbeit und liegt genau am Punkt der Teilung durch den Goldenen Schnitt.

Der Hauptteil des Gedichts besteht aus 13 siebenzeiligen Zeilen, also 91 Zeilen. Nachdem wir es durch den Goldenen Schnitt geteilt haben (91:1,618=56,238), sind wir überzeugt, dass der Teilungspunkt am Anfang des 57. Verses liegt, wo es einen kurzen Satz gibt: „Nun, es war ein Tag!“ Es ist dieser Satz, der den „Kulminationspunkt aufgeregter Vorfreude“ darstellt und den ersten Teil des Gedichts (Vorfreude auf die Schlacht) vervollständigt und den zweiten Teil (Beschreibung der Schlacht) eröffnet.

Daher spielt der Goldene Schnitt in der Poesie eine sehr bedeutsame Rolle, da er den Höhepunkt des Gedichts hervorhebt.

Viele Forscher von Shota Rustavelis Gedicht „Der Ritter im Fell eines Tigers“ bemerken die außergewöhnliche Harmonie und Melodie seines Verses. Diese Eigenschaften des Gedichts des georgischen Wissenschaftlers, Akademikers G.V. Tsereteli wird darauf zurückgeführt, dass der Dichter den Goldenen Schnitt sowohl bei der Gestaltung der Form des Gedichts als auch bei der Konstruktion seiner Verse bewusst einsetzte.

Rustavelis Gedicht besteht aus 1587 Strophen, von denen jede aus vier Zeilen besteht. Jede Zeile besteht aus 16 Silben und ist in jedem Halbstich in zwei gleiche Teile zu je 8 Silben unterteilt. Alle Hemistiche sind in zwei Segmente von zwei Typen unterteilt: A – Hemistiche mit gleichen Segmenten und einer geraden Silbenzahl (4+4); B ist ein Halbstich mit einer asymmetrischen Aufteilung in zwei ungleiche Teile (5+3 oder 3+5). Im Halbstich B beträgt das Verhältnis also 3:5:8, was einer Annäherung an den Goldenen Schnitt entspricht.

Es wurde festgestellt, dass in Rustavelis Gedicht von 1587 Strophen mehr als die Hälfte (863) nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts aufgebaut sind.

In unserer Zeit wurde eine neue Kunstform geboren – das Kino, das das Drama von Aktion, Malerei und Musik aufnahm. Es ist legitim, in herausragenden Filmwerken nach Manifestationen des Goldenen Schnitts zu suchen. Der erste, der dies tat, war der Schöpfer des Weltkino-Meisterwerks „Panzerkreuzer Potemkin“, Filmregisseur Sergej Eisenstein. Bei der Konstruktion dieses Bildes gelang es ihm, das Grundprinzip der Harmonie – den Goldenen Schnitt – zu verkörpern. Wie Eisenstein selbst anmerkt, weht die rote Flagge am Mast des meuternden Schlachtschiffs (Höhepunkt des Films) am Punkt des Goldenen Schnitts, gerechnet vom Ende des Films an.

GOLDENER VERHÄLTNIS BEI SCHRIFTARTEN UND HAUSHALTSGEGENSTÄNDEN

Besondere Aussicht bildende Kunst Antikes Griechenland Hervorzuheben sind die Herstellung und Bemalung von Gefäßen aller Art. In eleganter Form sind die Proportionen des Goldenen Schnitts leicht zu erraten.

Auf Gemälden und Skulpturen von Tempeln sowie auf Haushaltsgegenständen stellten die alten Ägypter am häufigsten Götter und Pharaonen dar. Die Kanons für die Darstellung einer stehenden, gehenden, sitzenden Person usw. wurden festgelegt. Künstler mussten sich anhand von Tabellen und Mustern einzelne Formen und Bildmuster einprägen. Die Künstler des antiken Griechenlands unternahmen besondere Reisen nach Ägypten, um den Umgang mit dem Kanon zu erlernen.

OPTIMALE PHYSIKALISCHE PARAMETER DER EXTERNEN UMGEBUNG

Es ist bekannt, dass das Maximum Lautstärke, die Schmerzen verursacht, beträgt 130 Dezibel. Wenn wir dieses Intervall durch den Goldenen Schnitt von 1,618 dividieren, erhalten wir 80 Dezibel, was typisch für die Lautstärke eines menschlichen Schreis ist. Wenn wir nun 80 Dezibel durch den Goldenen Schnitt teilen, erhalten wir 50 Dezibel, was der Lautstärke menschlicher Sprache entspricht. Wenn wir schließlich 50 Dezibel durch das Quadrat des Goldenen Schnitts 2,618 dividieren, erhalten wir 20 Dezibel, was einem menschlichen Flüstern entspricht. Somit sind alle charakteristischen Parameter der Klanglautstärke durch den goldenen Anteil miteinander verbunden.

Bei einer Temperatur von 18–20 °C Feuchtigkeit 40-60 % gelten als optimal. Die Grenzen des optimalen Feuchtebereichs erhält man, wenn man die absolute Feuchte von 100 % zweimal durch den Goldenen Schnitt dividiert: 100/2,618 = 38,2 % (untere Grenze); 100/1,618=61,8 % (Obergrenze).

Bei Luftdruck 0,5 MPa verspürt ein Mensch unangenehme Empfindungen, seine körperlichen und psychologische Aktivität. Bei einem Druck von 0,3–0,35 MPa ist nur kurzzeitige Arbeit zulässig, bei einem Druck von 0,2 MPa ist eine Arbeit von nicht mehr als 8 Minuten zulässig. Alle diese charakteristischen Parameter stehen im goldenen Verhältnis zueinander: 0,5/1,618 = 0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Grenzparameter Außenlufttemperatur, innerhalb dessen die normale Existenz (und vor allem der möglich gewordene Ursprung) eines Menschen möglich ist, ist der Temperaturbereich von 0 bis + (57-58) 0 C. Erklärungen hierfür sind offensichtlich nicht erforderlich erste Grenze.

Teilen wir den angegebenen Bereich positiver Temperaturen durch den Goldenen Schnitt. In diesem Fall erhalten wir zwei Grenzen (beide Grenzen sind für den menschlichen Körper charakteristische Temperaturen): Die erste entspricht der Temperatur, die zweite Grenze entspricht der maximal möglichen Außenlufttemperatur für den menschlichen Körper.

GOLDENER VERHÄLTNIS IN DER MALEREI

Schon in der Renaissance entdeckten Künstler, dass jedes Bild bestimmte Punkte hat, die unsere Aufmerksamkeit unwillkürlich erregen, die sogenannten visuellen Zentren. Dabei spielt es keine Rolle, welches Format das Bild hat – horizontal oder vertikal. Es gibt nur vier solcher Punkte, und sie liegen in einem Abstand von 3/8 und 5/8 von den entsprechenden Kanten der Ebene.

Diese Entdeckung wurde von damaligen Künstlern als „Goldener Schnitt“ des Gemäldes bezeichnet.

Wenn man sich Beispiele für den „Goldenen Schnitt“ in der Malerei anschaut, kommt man nicht umhin, sich auf das Werk von Leonardo da Vinci zu konzentrieren. Seine Persönlichkeit ist eines der Geheimnisse der Geschichte. Leonardo da Vinci selbst sagte: „Niemand, der kein Mathematiker ist, wagt es, meine Werke zu lesen.“

Er erlangte Berühmtheit als unübertroffener Künstler, großer Wissenschaftler und Genie, das viele Erfindungen vorwegnahm, die erst im 20. Jahrhundert realisiert wurden.

Es besteht kein Zweifel, dass Leonardo da Vinci ein großer Künstler war, dies wurde bereits von seinen Zeitgenossen erkannt, doch seine Persönlichkeit und sein Wirken bleiben geheimnisvoll, da er seinen Nachkommen keine zusammenhängende Darstellung seiner Ideen, sondern nur zahlreiche handschriftliche Werke hinterließ Skizzen, Notizen, die „über alles auf der Welt“ sagen.

Er schrieb von rechts nach links in unleserlicher Handschrift und mit der linken Hand. Dies ist das berühmteste existierende Beispiel für Spiegelschrift.

Das Porträt von Monna Lisa (La Gioconda) erregt seit vielen Jahren die Aufmerksamkeit von Forschern, die entdeckten, dass die Komposition des Bildes auf goldenen Dreiecken basiert, die Teile eines regelmäßigen sternförmigen Fünfecks sind. Über die Geschichte dieses Porträts gibt es viele Versionen. Hier ist einer davon.

Eines Tages erhielt Leonardo da Vinci vom Bankier Francesco dele Giocondo den Auftrag, ein Porträt einer jungen Frau, der Frau des Bankiers, Monna Lisa, zu malen. Die Frau war nicht schön, aber sie war von der Einfachheit und Natürlichkeit ihres Aussehens angezogen. Leonardo erklärte sich bereit, das Porträt zu malen. Sein Modell war traurig und traurig, aber Leonardo erzählte ihr ein Märchen, nachdem sie es gehört hatte, wurde sie lebhaft und interessant.

MÄRCHEN. Es war einmal ein armer Mann, der hatte vier Söhne: drei waren klug, und einer von ihnen war dieser und jener. Und dann kam der Tod für den Vater. Bevor er sein Leben verlor, rief er seine Kinder zu sich und sagte: „Meine Söhne, ich werde bald sterben.“ Sobald du mich begraben hast, verschließe die Hütte und gehe bis ans Ende der Welt, um dein Glück zu finden. Lassen Sie jeden von Ihnen etwas lernen, damit Sie sich selbst ernähren können.“ Der Vater starb, und die Söhne zerstreuten sich in der ganzen Welt und stimmten zu, drei Jahre später auf die Lichtung ihres Heimathains zurückzukehren. Der erste Bruder kam, der Zimmermann lernte, einen Baum fällte und behauen, eine Frau daraus machte, ein Stück wegging und wartete. Der zweite Bruder kam zurück, sah die hölzerne Frau und kleidete sie, da er Schneider war, in einer Minute an: wie erfahrener Handwerker Er fertigte wunderschöne Seidenkleider für sie an. Der dritte Sohn schmückte die Frau mit Gold und Edelsteine- schließlich war er Juwelier. Endlich kam der vierte Bruder. Er konnte nicht zimmern oder nähen, er konnte nur auf das hören, was die Erde, die Bäume, das Gras, die Tiere und Vögel sagten, er kannte die Bewegungen der Himmelskörper und wusste auch, wie man wunderbare Lieder singt. Er sang ein Lied, das die Brüder, die sich hinter den Büschen versteckten, zum Weinen brachte. Mit diesem Lied erweckte er die Frau wieder zum Leben, sie lächelte und seufzte. Die Brüder stürzten auf sie zu und jeder rief dasselbe: „Du musst meine Frau sein.“ Aber die Frau antwortete: „Du hast mich erschaffen – sei mein Vater.“ Du hast mich angezogen und geschmückt – seid meine Brüder. Und du, der du mir meine Seele eingehaucht und mir beigebracht hast, das Leben zu genießen, du bist der Einzige, den ich für den Rest meines Lebens brauche.“

Nachdem er die Geschichte beendet hatte, blickte Leonardo Monna Lisa an, ihr Gesicht erstrahlte im Licht, ihre Augen leuchteten. Dann, als würde sie aus einem Traum erwachen, seufzte sie, fuhr sich mit der Hand übers Gesicht und ging wortlos zu ihrem Platz, faltete die Hände und nahm ihre übliche Haltung ein. Aber die Arbeit war erledigt – der Künstler weckte die gleichgültige Statue; ein glückseliges Lächeln, das langsam aus ihrem Gesicht verschwand, blieb in ihren Mundwinkeln und zitterte und verlieh ihrem Gesicht einen erstaunlichen, geheimnisvollen und leicht schlauen Ausdruck, wie der einer Person, die ein Geheimnis erfahren hat und es, sorgfältig gehütet, nicht kann seinen Triumph eindämmen. Leonardo arbeitete schweigend und hatte Angst, diesen Moment zu verpassen, diesen Sonnenstrahl, der sein langweiliges Modell erleuchtete ...

Es ist schwer zu sagen, was an diesem Meisterwerk der Kunst aufgefallen ist, aber alle sprachen über Leonardos tiefes Wissen über die Struktur des menschlichen Körpers, dank dessen er dieses scheinbar mysteriöse Lächeln einfangen konnte. Sie sprachen über die Ausdruckskraft einzelner Bildteile und über die Landschaft, einen beispiellosen Begleiter des Porträts. Sie sprachen über die Natürlichkeit des Ausdrucks, die Einfachheit der Pose, die Schönheit der Hände. Der Künstler hat etwas noch nie Dagewesenes geschafft: Das Bild stellt Luft dar, es hüllt die Figur in einen transparenten Dunst. Trotz des Erfolgs war Leonardo düster; die Situation in Florenz erschien dem Künstler schmerzhaft; er machte sich bereit, auf die Reise zu gehen. Erinnerungen an den Auftragseingang halfen ihm nicht weiter.

Der Goldene Schnitt im Gemälde von I.I. Shishkin „Pine Grove“. In diesem berühmten Gemälde von I.I. Shishkin zeigt deutlich die Motive des Goldenen Schnitts. Eine hell sonnenbeschienene Kiefer (im Vordergrund stehend) teilt die Bildlänge entsprechend dem Goldenen Schnitt. Rechts von der Kiefer befindet sich ein sonnenbeschienener Hügel. Es teilt die rechte Seite des Bildes horizontal entsprechend dem Goldenen Schnitt. Links von der Hauptkiefer befinden sich viele Kiefern – wenn Sie möchten, können Sie das Bild nach dem Goldenen Schnitt erfolgreich weiter unterteilen.

Kiefernhain

Das Vorhandensein heller Vertikalen und Horizontalen im Bild, die es im Verhältnis zum Goldenen Schnitt unterteilen, verleiht ihm einen Charakter von Ausgeglichenheit und Ruhe, entsprechend der Absicht des Künstlers. Wenn die Absicht des Künstlers eine andere ist, wenn er beispielsweise ein Bild mit sich schnell entwickelnder Aktion schafft, wird ein solches geometrisches Kompositionsschema (mit einem Vorherrschen von Vertikalen und Horizontalen) inakzeptabel.

IN UND. Surikow. „Boyaryna Morozova“

Ihre Rolle kommt dem mittleren Teil des Bildes zu. Es wird durch den Punkt des höchsten Anstiegs und den Punkt des niedrigsten Abfalls der Bildhandlung begrenzt: das Heben von Morozovas Hand mit dem zweifingerigen Kreuzzeichen als höchstem Punkt; eine Hand streckte sich hilflos derselben Adligen entgegen, diesmal jedoch die Hand einer alten Frau – einer Bettlerwanderin, eine Hand unter der, zusammen mit die letzte Hoffnung Das Ende des Schlittens lässt sich herausschieben, um Sie zu retten.

Wie wäre es mit " höchster Punkt„? Auf den ersten Blick liegt ein scheinbarer Widerspruch vor: Schließlich geht der Abschnitt A 1 B 1 im Abstand von 0,618... vom rechten Bildrand nicht durch die Hand, nicht einmal durch den Kopf oder das Auge der Adligen, landet aber irgendwo vor dem Mund der Adligen.

Der Goldene Schnitt bringt hier wirklich das Wichtigste auf den Punkt. Darin und genau darin - größte Macht Morozova.

Es gibt kein poetischeres Gemälde als das von Botticelli Sandro, und der große Sandro hat kein berühmteres Gemälde als seine „Venus“. Für Botticelli ist seine Venus die Verkörperung einer Idee universelle Harmonie„Goldener Schnitt“, der in der Natur vorherrscht. Davon überzeugt uns die Proportionalanalyse der Venus.

Venus

Raffael „Die Schule von Athen“. Raphael war kein Mathematiker, aber wie viele Künstler dieser Zeit verfügte er über beträchtliche Kenntnisse der Geometrie. Im berühmten Fresko „Die Schule von Athen“, in dem sich im Tempel der Wissenschaft eine Gesellschaft der großen Philosophen der Antike befindet, wird unsere Aufmerksamkeit auf die Gruppe von Euklid gelenkt, dem größten antiken griechischen Mathematiker, der eine komplexe Zeichnung analysiert.

Auch die raffinierte Kombination zweier Dreiecke ist nach den Proportionen des Goldenen Schnitts aufgebaut: Sie lässt sich in ein Rechteck mit einem Seitenverhältnis von 5/8 einschreiben. Diese Zeichnung lässt sich überraschend einfach in den oberen Teil der Architektur einfügen. Obere Ecke Das Dreieck ruht auf dem Schlussstein des Bogens im dem Betrachter am nächsten gelegenen Bereich, das untere auf dem Fluchtpunkt der Perspektiven und der seitliche Abschnitt zeigt die Proportionen der räumlichen Lücke zwischen den beiden Teilen des Bogens an.

Goldene Spirale in Raffaels Gemälde „Massaker der Unschuldigen“. Im Gegensatz zum Goldenen Schnitt manifestiert sich das Gefühl von Dynamik und Aufregung vielleicht am stärksten in einer anderen einfachen geometrischen Figur – einer Spirale. Die mehrfigurige Komposition, die 1509 - 1510 von Raffael geschaffen wurde, als der berühmte Maler seine Fresken im Vatikan schuf, zeichnet sich gerade durch die Dynamik und Dramatik der Handlung aus. Raphael brachte seinen Plan nie zur Vollendung, aber seine Skizze wurde von dem unbekannten italienischen Grafiker Marcantinio Raimondi gestochen, der auf der Grundlage dieser Skizze den Stich „Massaker der Unschuldigen“ schuf.

Massaker an Unschuldigen

Wenn wir in Raffaels vorbereitender Skizze im Geiste Linien zeichnen, die vom semantischen Zentrum der Komposition ausgehen – dem Punkt, an dem sich die Finger des Kriegers um den Knöchel des Kindes schlossen, entlang der Figuren des Kindes, der Frau, die es festhält, des Kriegers mit erhobenem Arm Schwert, und dann entlang der Figuren derselben Gruppe auf der rechten Seite skizzieren (in der Abbildung sind diese Linien rot gezeichnet) und dann diese Teile mit einer geschwungenen gepunkteten Linie verbinden, dann wird mit sehr großer Genauigkeit eine goldene Spirale erhalten. Dies kann überprüft werden, indem das Verhältnis der Längen der von einer Spirale geschnittenen Segmente auf geraden Linien gemessen wird, die durch den Anfang der Kurve verlaufen.

Goldener Schnitt und Bildwahrnehmung

Die Fähigkeit des menschlichen visuellen Analysators, mithilfe des Algorithmus des Goldenen Schnitts konstruierte Objekte als schön, attraktiv und harmonisch zu identifizieren, ist seit langem bekannt. Der Goldene Schnitt vermittelt das Gefühl des vollkommensten Ganzen. Das Format vieler Bücher folgt dem Goldenen Schnitt. Es wird für Fenster, Gemälde und Umschläge, Briefmarken und Visitenkarten ausgewählt. Ein Mensch weiß vielleicht nichts über die Zahl F, aber in der Struktur von Objekten sowie in der Abfolge von Ereignissen findet er unbewusst Elemente des goldenen Verhältnisses.

Es wurden Studien durchgeführt, bei denen Probanden gebeten wurden, Rechtecke unterschiedlicher Proportionen auszuwählen und zu kopieren. Zur Auswahl standen drei Rechtecke: ein Quadrat (40:40 mm), ein „Goldener Schnitt“-Rechteck mit einem Seitenverhältnis von 1:1,62 (31:50 mm) und ein Rechteck mit länglichen Proportionen 1:2,31 (26:60). mm).

Bei der Auswahl von Rechtecken im Normalzustand wird in der Hälfte der Fälle dem Quadrat der Vorzug gegeben. Die rechte Hemisphäre bevorzugt den Goldenen Schnitt und lehnt das längliche Rechteck ab. Im Gegenteil, die linke Hemisphäre tendiert zu länglichen Proportionen und lehnt den Goldenen Schnitt ab.

Beim Kopieren dieser Rechtecke wurde Folgendes beobachtet: Bei aktiver rechter Hemisphäre blieben die Proportionen in den Kopien am genauesten erhalten; bei aktiver linker Hemisphäre waren die Proportionen aller Rechtecke verzerrt, die Rechtecke wurden verlängert (das Quadrat wurde als Rechteck mit einem Seitenverhältnis von 1:1,2 gezeichnet; die Proportionen des verlängerten Rechtecks nahmen stark zu und erreichten 1:2,8) . Die Proportionen des „goldenen“ Rechtecks waren am stärksten verzerrt; seine Proportionen in Kopien wurden zu den Proportionen eines Rechtecks 1:2,08.

Beim Zeichnen eigener Bilder herrschen Proportionen nahe am Goldenen Schnitt und längliche vor. Im Durchschnitt liegen die Proportionen bei 1:2, wobei die rechte Hemisphäre den Proportionen des Goldenen Schnitts den Vorzug gibt, die linke Hemisphäre sich von den Proportionen des Goldenen Schnitts entfernt und das Muster zeichnet.

Zeichnen Sie nun einige Rechtecke, messen Sie ihre Seiten und ermitteln Sie das Seitenverhältnis. Welche Hemisphäre ist für Sie dominant?

GOLDENER VERHÄLTNIS IN DER FOTOGRAFIE

Ein Beispiel für die Verwendung des Goldenen Schnitts in der Fotografie ist die Platzierung wichtiger Rahmenkomponenten an Punkten, die 3/8 und 5/8 von den Rändern des Rahmens entfernt liegen. Dies lässt sich an folgendem Beispiel veranschaulichen: einem Foto einer Katze, die sich an einer beliebigen Stelle im Bild befindet.

Lassen Sie uns nun den Rahmen bedingt in Segmente unterteilen, im Verhältnis zu 1,62 Gesamtlängen von jeder Seite des Rahmens. Am Schnittpunkt der Segmente befinden sich die wichtigsten „Sehzentren“, in denen es sich lohnt, das Notwendige zu platzieren Schlüsselelemente Bilder. Bewegen wir unsere Katze zu den Punkten der „Sehzentren“.

GOLDENER VERHÄLTNIS UND RAUM

Aus der Geschichte der Astronomie ist bekannt, dass I. Titius, ein deutscher Astronom des 18. Jahrhunderts, mit Hilfe dieser Reihe ein Muster und eine Ordnung in den Abständen zwischen den Planeten des Sonnensystems fand.

Ein Fall schien jedoch dem Gesetz zu widersprechen: Zwischen Mars und Jupiter gab es keinen Planeten. Die gezielte Beobachtung dieses Teils des Himmels führte zur Entdeckung des Asteroidengürtels. Dies geschah nach dem Tod von Titius zu Beginn des 19. Jahrhunderts. Die Fibonacci-Reihe ist weit verbreitet: Sie wird verwendet, um die Architektur von Lebewesen, von Menschen geschaffenen Strukturen und der Struktur von Galaxien darzustellen. Diese Tatsachen sind ein Beweis für die Unabhängigkeit der Zahlenreihe von den Bedingungen ihrer Manifestation, was eines der Zeichen ihrer Universalität ist.

Die beiden Goldenen Spiralen der Galaxie sind mit dem Davidstern kompatibel.

Beachten Sie die Sterne, die in einer weißen Spirale aus der Galaxie auftauchen. Genau 180° von einer der Spiralen entfernt entsteht eine weitere, sich entfaltende Spirale... Lange Zeit glaubten Astronomen einfach, dass alles, was da ist, das ist, was wir sehen; Wenn etwas sichtbar ist, dann existiert es. Entweder waren sie sich des unsichtbaren Teils der Realität überhaupt nicht bewusst oder sie hielten ihn für nicht wichtig. Aber die unsichtbare Seite unserer Realität ist tatsächlich viel größer als die sichtbare Seite und wahrscheinlich wichtiger ... Mit anderen Worten: Der sichtbare Teil der Realität macht viel weniger als ein Prozent des Ganzen aus – fast nichts. Tatsächlich ist unser wahres Zuhause das unsichtbare Universum ...

Im Universum existieren alle der Menschheit bekannten Galaxien und alle darin enthaltenen Körper in Form einer Spirale, entsprechend der Formel des Goldenen Schnitts. Der Goldene Schnitt liegt in der Spirale unserer Galaxie

ABSCHLUSS

Die Natur, verstanden als die ganze Welt in der Vielfalt ihrer Formen, besteht gewissermaßen aus zwei Teilen: der belebten und der unbelebten Natur. Geschöpfe unbelebter Natur zeichnen sich gemessen am Ausmaß des menschlichen Lebens durch hohe Stabilität und geringe Variabilität aus. Ein Mensch wird geboren, lebt, altert, stirbt, aber die Granitberge bleiben dieselben und die Planeten kreisen auf die gleiche Weise um die Sonne wie zur Zeit des Pythagoras.

Die Welt der belebten Natur erscheint uns völlig anders – mobil, wandelbar und überraschend vielfältig. Das Leben zeigt uns einen fantastischen Karneval voller Vielfalt und Einzigartigkeit kreativer Kombinationen! Die Welt der unbelebten Natur ist vor allem eine Welt der Symmetrie, die seinen Kreationen Stabilität und Schönheit verleiht. Die natürliche Welt ist in erster Linie eine Welt der Harmonie, in der das „Gesetz des Goldenen Schnitts“ gilt.

In der modernen Welt kommt der Wissenschaft aufgrund des zunehmenden Einflusses des Menschen auf die Natur eine besondere Bedeutung zu. Wichtige Aufgaben in der gegenwärtigen Phase sind die Suche nach neuen Wegen des Zusammenlebens von Mensch und Natur, die Untersuchung philosophischer, sozialer, wirtschaftlicher, pädagogischer und anderer Probleme der Gesellschaft.

In dieser Arbeit wurde der Einfluss der Eigenschaften des „Goldenen Schnitts“ auf Leben und Nichtleben untersucht Tierwelt, über den historischen Entwicklungsverlauf der Geschichte der Menschheit und des Planeten insgesamt. Wenn man all das analysiert, kann man erneut über die enorme Bedeutung des Prozesses des Verständnisses der Welt und der Entdeckung ihrer immer neuen Muster staunen und zu dem Schluss kommen: Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionalen Perfektion der Welt Das Ganze und seine Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur. Es ist zu erwarten, dass die Entwicklungsgesetze verschiedener natürlicher Systeme, die Wachstumsgesetze, nicht sehr vielfältig sind und sich in den unterschiedlichsten Ausprägungen nachweisen lassen. Hier manifestiert sich die Einheit der Natur. Die Idee einer solchen Einheit, die auf der Manifestation derselben Muster in heterogenen Naturphänomenen basiert, hat von Pythagoras bis heute ihre Relevanz behalten.

Nachdem ich dies getan habe antikes Instrument, haben Sie die Möglichkeit, tolle Projekte zu realisieren.

Der „Goldene Schnitt“ wurde von den alten Griechen und Ägyptern bei der Berechnung von Gebäuden und als Modell für die Umsetzung verwendet perfekte Proportionen.

Sie können es auch in Ihren Projekten verwenden, ausgestattet mit einem Fibonacci-Messgerät.

Um Ihr eigenes Messgerät zu erhalten, erstellen Sie zunächst eine Zeichnung des Instruments entsprechend den in der Abbildung angegebenen Abmessungen.

Schneiden Sie die Zuschnitte aus 1,6 mm dickem Hartholz (ein gutes dickes Furnier reicht aus) und bearbeiten Sie die drei Arme A, B, C auf die gewünschte Breite und Form. (Wir haben Ahorn verwendet, aber auch andere Hölzer funktionieren gut.)

Übertragen Sie die Mittelpunkte der Löcher aus der Zeichnung in Originalgröße auf die Arme des Messgeräts. Bohren Sie an der gezeigten Stelle ein 5,5-mm-Loch und stellen Sie jede Schulter fertig.

Montieren Sie die Teile, indem Sie sie mit Klemmschrauben befestigen und Leim hinzufügen, damit sie sich mit der Zeit nicht lösen.

Basierend auf Materialien aus der Zeitschrift „Wood-Master“

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