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Kompasse des Goldenen Schnitts. Fibonacci-Schreiber und seine Verwendung bei der Herstellung von Möbeln

Dynamische Rechtecke

Auch Platon (427...347 v. Chr.) wusste von der Goldenen Teilung. Sein Dialog „Timaios“ widmet sich den mathematischen und ästhetischen Ansichten der Schule des Pythagoras und insbesondere den Fragen der Goldenen Teilung.

In der Fassade des antiken griechischen Parthenon-Tempels gibt es goldene Proportionen. Bei seinen Ausgrabungen wurden Kompasse gefunden, die von Architekten und Bildhauern der Antike verwendet wurden. Auch der pompejanische Kompass (Museum in Neapel) enthält die Proportionen der goldenen Teilung.

Antike Kompasse mit goldenem Schnitt

In der uns überlieferten antiken Literatur wurde die goldene Teilung erstmals in Euklids „Elementen“ erwähnt. Im 2. Buch der „Anfänge“ wird die geometrische Konstruktion der Goldenen Teilung dargelegt. Nach Euklid beschäftigten sich Hypsikles (II. Jahrhundert v. Chr.), Pappus (III. Jahrhundert n. Chr.) und andere mit dem Studium der Goldenen Teilung. Im mittelalterlichen Europa mit der goldenen Teilung Wir lernten uns durch arabische Übersetzungen von Euklids Elementen kennen. Der Übersetzer J. Campano aus Navarra (3. Jahrhundert) kommentierte die Übersetzung. Die Geheimnisse der Goldenen Division wurden sorgfältig gehütet und streng geheim gehalten. Sie waren nur den Eingeweihten bekannt.

Während der Renaissance wuchs das Interesse an der Goldenen Einteilung unter Wissenschaftlern und Künstlern aufgrund ihrer Anwendung sowohl in der Geometrie als auch in der Kunst, insbesondere in der Architektur. Leonardo da Vinci, ein Künstler und Wissenschaftler, sah das Italienische Künstler Die empirische Erfahrung ist groß, das Wissen jedoch gering. Er konzipierte und begann ein Buch über Geometrie zu schreiben, doch zu dieser Zeit erschien ein Buch des Mönchs Luca Pacioli und Leonardo gab seine Idee auf. Zeitgenossen und Wissenschaftshistorikern zufolge war Luca Pacioli eine echte Koryphäe, der größte Mathematiker Italiens zwischen Fibonacci und Galileo. Luca Pacioli war ein Schüler des Künstlers Piero della Francesca, der zwei Bücher schrieb, eines davon mit dem Titel „On Perspective in Painting“. Er gilt als Begründer der beschreibenden Geometrie.

Auch Leonardo da Vinci widmete dem Studium der Goldenen Teilung große Aufmerksamkeit. Er fertigte Abschnitte eines stereometrischen Körpers an, der aus regelmäßigen Fünfecken bestand, und jedes Mal erhielt er Rechtecke mit Seitenverhältnissen in goldener Teilung. Deshalb gab er dieser Abteilung den Namen Goldener Schnitt. Es ist also immer noch das beliebteste.

Zur gleichen Zeit arbeitete Albrecht Dürer in Nordeuropa, in Deutschland, an denselben Problemen. Er skizziert eine Einleitung zum ersten Entwurf einer Abhandlung über Proportionen. Dürer schreibt. „Es ist notwendig, dass derjenige, der etwas weiß, es auch anderen beibringt, die es brauchen. Das habe ich mir vorgenommen.“

Einem Brief Dürers zufolge traf er während seines Italienaufenthalts mit Luca Pacioli zusammen. Albrecht Dürer entwickelt ausführlich die Theorie der Proportionen des menschlichen Körpers. Dürer wies dem Goldenen Schnitt einen wichtigen Platz in seinem Verhältnissystem zu. Die Körpergröße einer Person wird in goldenen Proportionen durch die Gürtellinie sowie durch die Linie geteilt, die durch die Spitzen der Mittelfinger der gesenkten Hände, den unteren Teil des Gesichts – durch den Mund usw. – gezogen wird. Bekannter Proportionalkompass Dürer.

Großer Astronom des 16. Jahrhunderts Johannes Kepler bezeichnete den Goldenen Schnitt als einen der Schätze der Geometrie. Er macht als Erster auf die Bedeutung des Goldenen Schnitts für die Botanik (Pflanzenwachstum und -struktur) aufmerksam.

Kepler bezeichnete den Goldenen Schnitt als sich selbst fortsetzend. „Er ist so angeordnet“, schrieb er, „dass die beiden unteren Terme dieser unendlichen Proportion sich zum dritten Term addieren und zwei beliebige letzte Terme zusammengenommen ergeben.“ der nächste Term, und das gleiche Verhältnis bleibt bis ins Unendliche bestehen.“

Die Konstruktion einer Reihe von Segmenten des Goldenen Schnitts kann sowohl in steigender Richtung (aufsteigende Reihe) als auch in abnehmender Richtung (absteigende Reihe) erfolgen.

Wenn Sie auf einer geraden Linie beliebiger Länge liegen, verschieben Sie das Segment M, legen Sie ein Segment beiseite M. Basierend auf diesen beiden Segmenten erstellen wir eine Segmentskala des goldenen Anteils der aufsteigenden und absteigenden Reihe

Erstellen einer Skala aus Segmenten des Goldenen Schnitts

Seit jeher beschäftigt die Frage die Frage, ob so schwer fassbare Dinge wie Schönheit und Harmonie Gegenstand mathematischer Berechnungen sind. Natürlich können nicht alle Gesetze der Schönheit in ein paar Formeln zusammengefasst werden, aber durch das Studium der Mathematik können wir einige Begriffe der Schönheit entdecken – den Goldenen Schnitt. Unsere Aufgabe ist es herauszufinden, was der Goldene Schnitt ist und wo die Menschheit den Goldenen Schnitt genutzt hat.

Sie haben wahrscheinlich darauf geachtet, dass wir Objekte und Phänomene der umgebenden Realität unterschiedlich behandeln. Sei H Anstand, sei H Gleichförmigkeit, Missverhältnis werden von uns als hässlich empfunden und erzeugen einen abstoßenden Eindruck. Und Gegenstände und Phänomene, die sich durch Maß, Zweckmäßigkeit und Harmonie auszeichnen, werden als schön wahrgenommen und lösen in uns ein Gefühl der Bewunderung, Freude und Aufmunterung aus.

Ein Mensch stößt bei seiner Tätigkeit ständig auf Objekte, die auf dem Goldenen Schnitt basieren. Es gibt Dinge, die kann man nicht erklären. Du kommst also zu einer leeren Bank und setzt dich darauf. Wo wirst du sitzen? mitten drin? Oder vielleicht vom äußersten Rand? Nein, höchstwahrscheinlich weder das eine noch das andere. Sie werden so sitzen, dass das Verhältnis eines Teils der Bank zum anderen relativ zu Ihrem Körper etwa 1,62 beträgt. Eine einfache Sache, absolut instinktiv... Auf einer Bank sitzend haben Sie den „Goldenen Schnitt“ nachgebildet.

Der Goldene Schnitt war im alten Ägypten und Babylon, in Indien und China bekannt. Der große Pythagoras gründete eine geheime Schule, in der die mystische Essenz des „Goldenen Schnitts“ studiert wurde. Euklid wandte es an und schuf seine Geometrie und Phidias – seine unsterblichen Skulpturen. Platon sagte, dass das Universum nach dem „Goldenen Schnitt“ geordnet sei. Aristoteles fand die Entsprechung des „Goldenen Schnitts“ zum ethischen Gesetz. Die höchste Harmonie des „Goldenen Schnitts“ wird von Leonardo da Vinci und Michelangelo gepredigt, denn Schönheit und „Goldener Schnitt“ sind ein und dasselbe. Und christliche Mystiker werden auf der Flucht vor dem Teufel Pentagramme des „Goldenen Schnitts“ an die Wände ihrer Klöster zeichnen. Gleichzeitig werden Wissenschaftler – von Pacioli bis Einstein – suchen, aber nie die genaue Bedeutung finden. Sei H die letzte Zeile nach dem Komma ist 1,6180339887... Eine seltsame, mysteriöse, unerklärliche Sache – diese göttliche Proportion begleitet auf mystische Weise alles Lebendige. Die unbelebte Natur kennt den „Goldenen Schnitt“ nicht. Aber Sie werden dieses Verhältnis sicherlich in den Kurven von Muscheln und in der Form von Blumen und in der Form von Käfern und in einem wunderschönen menschlichen Körper sehen. Alles Lebendige und alles Schöne – alles gehorcht dem göttlichen Gesetz, dessen Name der „Goldene Schnitt“ ist. Was ist also der „Goldene Schnitt“? Was ist diese perfekte, göttliche Kombination? Vielleicht ist es das Gesetz der Schönheit? Oder ist es immer noch ein mystisches Geheimnis? Wissenschaftliches Phänomen oder ethisches Prinzip? Die Antwort ist noch unbekannt. Genauer gesagt: Nein, es ist bekannt. „Goldener Schnitt“ ist sowohl das als auch das andere und das dritte. Nur nicht einzeln, sondern gleichzeitig ... Und das ist sein wahres Geheimnis, sein großes Geheimnis.

Es dürfte schwierig sein, ein verlässliches Maß für eine objektive Beurteilung der Schönheit selbst zu finden, und Logik allein reicht hier nicht aus. Hier helfen jedoch die Erfahrungen derer, für die die Suche nach Schönheit der Sinn des Lebens war, die sie zu ihrem Beruf machten. Das sind in erster Linie Menschen der Kunst, wie wir sie nennen: Künstler, Architekten, Bildhauer, Musiker, Schriftsteller. Aber das sind Leute der exakten Wissenschaften, vor allem Mathematiker.

Der Mensch vertraute dem Auge mehr als anderen Sinnesorganen und lernte zunächst, die ihn umgebenden Objekte anhand ihrer Form zu unterscheiden. Das Interesse an der Form eines Objekts kann durch eine lebenswichtige Notwendigkeit bedingt sein oder durch die Schönheit der Form verursacht werden. Die Form, die auf einer Kombination aus Symmetrie und dem Goldenen Schnitt basiert, trägt zur besten visuellen Wahrnehmung und zum Anschein eines Sinns für Schönheit und Harmonie bei. Das Ganze besteht immer aus Teilen, unterschiedlich große Teile stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander und zum Ganzen. Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionalen Perfektion des Ganzen und seiner Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur.

GOLDENER SCHNITT – HARMONISCHES PROPORTION

In der Mathematik ist ein Verhältnis die Gleichheit zweier Verhältnisse:

Das Liniensegment AB kann auf folgende Weise in zwei Teile geteilt werden:

in zwei gleiche Teile - AB: AC = AB: BC;
in zwei ungleiche Teile in beliebigem Verhältnis (solche Teile bilden keine Proportionen);
also, wenn AB:AC=AC:BC.

Letzteres ist die goldene Einteilung (Schnitt).

Der Goldene Schnitt ist eine solche proportionale Aufteilung eines Segments in ungleiche Teile, bei der das gesamte Segment zum größeren Teil genauso in Beziehung steht wie der größere Teil selbst zum kleineren, also das kleinere Segment auf das Größere bezogen, wie das Größere auf alles

a:b=b:c oder c:b=b:a.

Geometrische Darstellung des Goldenen Schnitts

Das praktische Kennenlernen des Goldenen Schnitts beginnt mit der Teilung eines geraden Liniensegments im Goldenen Schnitt mit Zirkel und Lineal.

Aufteilung eines Liniensegments nach dem Goldenen Schnitt. BC=1/2AB; CD=BC

Von Punkt B aus wird eine Senkrechte gleich der Hälfte AB wiederhergestellt. Der resultierende Punkt C wird durch eine Linie mit Punkt A verbunden. Auf der resultierenden Linie ist eine Strecke BC eingezeichnet, die mit Punkt D endet. Die Strecke AD wird auf die Gerade AB übertragen. Der resultierende Punkt E teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnitts.

Segmente des Goldenen Schnitts werden ohne ausgedrückt H Endbruch AE=0,618..., wenn AB als Einheit genommen wird, BE=0,382... Aus praktischen Gründen werden häufig Näherungswerte von 0,62 und 0,38 verwendet. Wenn das Segment AB als 100 Teile angenommen wird, beträgt der größte Teil des Segments 62 und der kleinere 38 Teile.

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts werden durch die Gleichung beschrieben:

Lösung dieser Gleichung:

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts schufen um diese Zahl herum eine romantische Aura des Mysteriums und eine fast mystische Generation. Beispielsweise wird bei einem regelmäßigen fünfzackigen Stern jedes Segment durch das Segment, das es kreuzt, im Verhältnis zum Goldenen Schnitt geteilt (d. h. das Verhältnis des blauen Segments zu Grün, von Rot zu Blau, von Grün zu Lila beträgt 1,618).

ZWEITER GOLDENER ABSCHNITT

Dieser Anteil findet sich in der Architektur.

Bau des zweiten Goldenen Schnitts

Die Aufteilung erfolgt wie folgt. Das Segment AB wird proportional zum Goldenen Schnitt geteilt. Von Punkt C aus wird die senkrechte CD wiederhergestellt. Der Radius AB ist Punkt D, der durch eine Linie mit Punkt A verbunden ist. Der rechte Winkel ACD wird halbiert. Eine Linie wird vom Punkt C bis zum Schnittpunkt mit der Linie AD gezogen. Punkt E teilt das Segment AD im Verhältnis 56:44.

Teilung eines Rechtecks durch eine Linie des zweiten Goldenen Schnitts

Die Abbildung zeigt die Lage der Linie des zweiten Goldenen Schnitts. Es liegt in der Mitte zwischen der goldenen Schnittlinie und der Mittellinie des Rechtecks.

GOLDENES DREIECK (Pentagramm)

Um Segmente des Goldenen Schnitts der aufsteigenden und absteigenden Zeilen zu finden, können Sie das Pentagramm verwenden.

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks und Pentagramms

Um ein Pentagramm zu bauen, müssen Sie ein regelmäßiges Fünfeck bauen. Die Bauweise wurde vom deutschen Maler und Grafiker Albrecht Dürer entwickelt. Sei O der Mittelpunkt des Kreises, A ein Punkt auf dem Kreis und E der Mittelpunkt des Segments OA. Die Senkrechte zum Radius OA, angehoben im Punkt O, schneidet den Kreis im Punkt D. Markieren Sie mit einem Zirkel das Segment CE=ED auf dem Durchmesser. Die Länge einer Seite eines regelmäßigen Fünfecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist, beträgt DC. Wir legen die Segmente DC auf dem Kreis beiseite und erhalten fünf Punkte für das Zeichnen eines regelmäßigen Fünfecks. Wir verbinden die Ecken des Fünfecks durch eine Diagonale und erhalten ein Pentagramm. Alle Diagonalen des Fünfecks unterteilen sich gegenseitig in Segmente, die durch den Goldenen Schnitt verbunden sind.

Jedes Ende des fünfeckigen Sterns ist ein goldenes Dreieck. Seine Seiten bilden oben einen Winkel von 36°, und die seitlich gelegte Basis teilt ihn im Verhältnis zum Goldenen Schnitt.

Zeichnen Sie die Gerade AB. Von Punkt A aus legen wir dreimal ein Segment O beliebiger Größe darauf ab, durch den resultierenden Punkt P zeichnen wir eine Senkrechte zur Linie AB, auf der Senkrechten rechts und links von Punkt P legen wir Segmente O ab. Das Ergebnis Die Punkte d und d 1 sind durch gerade Linien mit Punkt A verbunden. Segment dd 1 Wir legen es auf die Linie Ad 1 und erhalten Punkt C. Sie teilte die Linie Ad 1 im Verhältnis zum Goldenen Schnitt. Die Linien Ad 1 und dd 1 werden verwendet, um ein „goldenes“ Rechteck zu bilden.

Aufbau des Goldenen Dreiecks

GESCHICHTE DES GOLDENEN SCHNITTS

Tatsächlich deuten die Proportionen der Cheopspyramide, der Tempel, Haushaltsgegenstände und Dekorationen aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass die ägyptischen Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten. Der französische Architekt Le Corbusier stellte fest, dass im Relief aus dem Tempel des Pharaos Sethos I. in Abydos und im Relief mit der Darstellung des Pharaos Ramses die Proportionen der Figuren den Werten der goldenen Teilung entsprechen. Der Architekt Khesira, abgebildet auf einem Relief einer Holztafel aus dem Grab seines Namens, hält in seinen Händen Messinstrumente, in denen die Proportionen der goldenen Teilung festgelegt sind.

Die Griechen waren geschickte Geometer. Sogar das Rechnen wurde ihren Kindern mit Hilfe geometrischer Figuren beigebracht. Das Quadrat des Pythagoras und die Diagonale dieses Quadrats waren die Grundlage für die Konstruktion dynamischer Rechtecke.

Dynamische Rechtecke

Auch Platon wusste von der goldenen Teilung. Der pythagoräische Timaios sagt in Platons gleichnamigem Dialog: „Es ist unmöglich, dass zwei Dinge ohne ein Drittes vollkommen vereint sind, da zwischen ihnen etwas erscheinen muss, das sie zusammenhält.“ Proportionen können dies am besten erreichen, denn wenn drei Zahlen die Eigenschaft haben, dass sich der Mittelwert zu der kleineren verhält, wie die größere zum Mittelwert, und umgekehrt, die kleinere zum Mittelwert wie der Mittelwert zur größeren, dann die letzte und der Erste wird die Mitte sein, und die Mitte wird der Erste und der Letzte sein. Somit wird alles Notwendige gleich sein, und da es gleich sein wird, wird es ein Ganzes ergeben. irdische Welt Platon baut aus zwei Arten von Dreiecken: gleichschenkligen und nicht gleichschenkligen. der schönste rechtwinkliges Dreieck er betrachtet eine, bei der die Hypotenuse doppelt so groß ist wie das kleinere der Beine (ein solches Rechteck ist ein halbes Gleichseitiges, die Hauptfigur der Babylonier hat ein Verhältnis von 1:3 1/2, was etwa vom Goldenen Schnitt abweicht 1/25 und wird von Thymerding „der Rivale der Goldenen Schnitte“ genannt). Aus Dreiecken baut Platon vier regelmäßige Polyeder und verknüpft sie mit den vier irdischen Elementen (Erde, Wasser, Luft und Feuer). Und nur das letzte der fünf existierenden regelmäßigen Polyeder – das Dodekaeder, dessen zwölf Flächen regelmäßige Fünfecke sind – erhebt den Anspruch, ein symbolisches Bild der himmlischen Welt zu sein.

Ikosaeder und Dodekaeder

Die Ehre, das Dodekaeder (oder, wie angenommen wurde, das Universum selbst, diese Quintessenz der vier Elemente, symbolisiert durch Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder und Würfel) zu entdecken, gebührt Hippasus, der später bei einem Schiffbruch starb. Diese Figur fängt wirklich viele Beziehungen des Goldenen Schnitts ein, weshalb letzterer angegeben wurde Hauptrolle in der himmlischen Welt, worauf Bruder Minor Luca Pacioli später bestand.

Antike Kompasse mit goldenem Schnitt

In der uns überlieferten antiken Literatur wurde die goldene Teilung erstmals in Euklids „Elementen“ erwähnt. Im 2. Buch der „Anfänge“ wird der geometrische Aufbau der Goldenen Teilung angegeben. Nach Euklid untersuchten Hypsikles (2. Jahrhundert v. Chr.), Pappus (3. Jahrhundert n. Chr.) und andere die goldene Teilung. Im mittelalterlichen Europa lernten sie die goldene Teilung aus arabischen Übersetzungen von Euklids „Anfängen“ kennen. Der Übersetzer J. Campano aus Navarra (3. Jahrhundert) kommentierte die Übersetzung. Die Geheimnisse der Goldenen Division wurden sorgfältig gehütet und streng geheim gehalten. Sie waren nur den Eingeweihten bekannt.

Im Mittelalter wurde das Pentagramm dämonisiert (wie übrigens vieles, was im antiken Heidentum als göttlich galt) und fand Zuflucht in den okkulten Wissenschaften. Die Renaissance bringt jedoch sowohl das Pentagramm als auch den Goldenen Schnitt wieder ans Licht. So erlangte ein Schema, das die Struktur des menschlichen Körpers beschreibt, in der Zeit der Durchsetzung des Humanismus weite Verbreitung.

Auch Leonardo da Vinci griff immer wieder auf ein solches Bild zurück und reproduzierte tatsächlich ein Pentagramm. Seine Interpretation: Der menschliche Körper besitzt göttliche Vollkommenheit, weil die ihm innewohnenden Proportionen dieselben sind wie die Hauptfigur des Himmels. Leonardo da Vinci, ein Künstler und Wissenschaftler, erkannte, dass italienische Künstler über viel empirische Erfahrung, aber wenig Wissen verfügten. Er konzipierte und begann ein Buch über Geometrie zu schreiben, doch zu dieser Zeit erschien ein Buch des Mönchs Luca Pacioli und Leonardo gab seine Idee auf. Zeitgenossen und Wissenschaftshistorikern zufolge war Luca Pacioli eine echte Koryphäe, der größte Mathematiker Italiens zwischen Fibonacci und Galileo. Luca Pacioli war ein Schüler des Künstlers Piero della Francesca, der zwei Bücher schrieb, eines davon mit dem Titel „On Perspective in Painting“. Er gilt als Begründer der beschreibenden Geometrie.

Luca Pacioli war sich der Bedeutung der Wissenschaft für die Kunst durchaus bewusst.

1496 kam er auf Einladung von Herzog Moreau nach Mailand, wo er Vorlesungen über Mathematik hielt. Leonardo da Vinci arbeitete zu dieser Zeit auch am Moro-Hof in Mailand. Im Jahr 1509 erschien in Venedig das 1509 in Venedig erschienene Werk „De divina proportione, 1497“ von Luca Pacioli mit brillant ausgeführten Illustrationen, weshalb angenommen wird, dass sie von Leonardo da Vinci stammen. Das Buch war eine begeisterte Hymne an den Goldenen Schnitt. Es gibt nur ein solches Verhältnis, und Einzigartigkeit ist die höchste Eigenschaft Gottes. Es verkörpert die Heilige Dreifaltigkeit. Dieses Verhältnis kann nicht durch eine zugängliche Zahl ausgedrückt werden, bleibt verborgen und geheim und wird von Mathematikern selbst als irrational bezeichnet (so dass Gott weder durch Worte definiert noch erklärt werden kann). Gott verändert sich nie und stellt alles in allem und alles in jedem seiner Teile dar, daher ist der Goldene Schnitt für jede kontinuierliche und bestimmte Größe (unabhängig davon, ob sie groß oder klein ist) derselbe, kann nicht geändert oder verändert werden. Anders wahrgenommen von der Geist. Gott erschuf die himmlische Tugend, auch fünfte Substanz genannt, mit ihrer Hilfe vier weitere einfache Körper (vier Elemente – Erde, Wasser, Luft, Feuer) und erweckte auf ihrer Grundlage alles andere in der Natur; So verleiht unser heiliges Verhältnis nach Platon im Timaios dem Himmel selbst formale Existenz, denn es wird der Form eines Körpers namens Dodekaeder zugeschrieben, der ohne den Goldenen Schnitt nicht gebaut werden kann. Das sind Paciolis Argumente.

Auch Leonardo da Vinci widmete dem Studium der Goldenen Teilung große Aufmerksamkeit. Er fertigte Abschnitte eines stereometrischen Körpers an, der aus regelmäßigen Fünfecken bestand, und jedes Mal erhielt er Rechtecke mit Seitenverhältnissen in goldener Teilung. Deshalb gab er dieser Abteilung den Namen Goldener Schnitt. Es ist also immer noch das beliebteste.

Zur gleichen Zeit arbeitete Albrecht Dürer in Nordeuropa, in Deutschland, an denselben Problemen. Er skizziert eine Einleitung zum ersten Entwurf einer Abhandlung über Proportionen. Dürer schreibt: „Es ist notwendig, dass derjenige, der etwas weiß, es auch anderen beibringt, die es brauchen.“ Das habe ich mir vorgenommen.“

Einem Brief Dürers zufolge traf er während seines Italienaufenthalts mit Luca Pacioli zusammen. Albrecht Dürer entwickelt ausführlich die Theorie der Proportionen des menschlichen Körpers. Dürer wies dem Goldenen Schnitt einen wichtigen Platz in seinem Verhältnissystem zu. Die Körpergröße einer Person wird in goldenen Proportionen durch die Gürtellinie sowie eine Linie geteilt, die durch die Spitzen der Mittelfinger der gesenkten Hände, den unteren Teil des Gesichts – durch den Mund usw. – gezogen wird. Bekannter Proportionalkompass Dürer.

Die Konstruktion einer Reihe von Segmenten des Goldenen Schnitts kann sowohl in steigender Richtung (aufsteigende Reihe) als auch in abnehmender Richtung (absteigende Reihe) erfolgen.

Wenn Sie auf einer geraden Linie beliebiger Länge liegen, verschieben Sie das Segment M , legen Sie ein Segment beiseite M . Basierend auf diesen beiden Segmenten erstellen wir eine Segmentskala des goldenen Anteils der aufsteigenden und absteigenden Zeilen.

Erstellen einer Skala aus Segmenten des Goldenen Schnitts

Im Jahr 1855 veröffentlichte der deutsche Forscher des Goldenen Schnitts, Professor Zeising, sein Werk „Ästhetische Forschung“. Bei Zeising musste genau das, was passierte, dem Forscher passieren, der das Phänomen als solches betrachtete, ohne Zusammenhang mit anderen Phänomenen. Er verabsolutierte die Proportionen des Goldenen Schnitts und erklärte ihn für universell für alle Phänomene der Natur und der Kunst. Zeising hatte zahlreiche Anhänger, aber es gab auch Gegner, die seine Proportionslehre zur „mathematischen Ästhetik“ erklärten.

Zeising hat einen tollen Job gemacht. Er maß etwa zweitausend menschliche Körper und kam zu dem Schluss, dass der Goldene Schnitt das durchschnittliche statistische Gesetz ausdrückt. Die Teilung des Körpers durch den Nabelpunkt ist der wichtigste Indikator für den Goldenen Schnitt. Die Proportionen des männlichen Körpers schwanken im durchschnittlichen Verhältnis von 13:8 = 1,625 und liegen etwas näher am Goldenen Schnitt als die Proportionen Weiblicher Körper, wobei der Durchschnittswert des Verhältnisses im Verhältnis 8:5=1,6 ausgedrückt wird. Bei einem Neugeborenen beträgt das Verhältnis 1:1, im Alter von 13 Jahren sind es 1,6 und im Alter von 21 Jahren ist es gleich dem des Mannes. Die Proportionen des Goldenen Schnitts zeigen sich auch im Verhältnis zu anderen Körperteilen – der Länge von Schulter, Unterarm und Hand, Hand und Fingern usw.

Zeising testete die Gültigkeit seiner Theorie an griechischen Statuen. Er entwickelte die Proportionen des Apollo Belvedere bis ins kleinste Detail. Griechische Vasen wurden untersucht, architektonische Strukturen verschiedene Epochen, Pflanzen, Tiere, Vogeleier, Musiktöne, poetische Metren. Zeising definierte den Goldenen Schnitt und zeigte, wie er in Liniensegmenten und in Zahlen ausgedrückt wird. Als man die Zahlen erhielt, die die Längen der Segmente ausdrückten, erkannte Zeising, dass sie eine Fibonacci-Reihe darstellten, die in die eine und andere Richtung unbegrenzt fortgesetzt werden konnte. Sein nächstes Buch trug den Titel „Goldene Teilung als grundlegendes morphologisches Gesetz in Natur und Kunst“. 1876 erschien in Russland ein kleines Buch, fast eine Broschüre, in dem Zeisings Werk dargelegt wurde. Der Autor flüchtete unter den Initialen Yu.F.V. In dieser Ausgabe wird kein einziges Gemälde erwähnt.

IN Ende des 19. Jahrhunderts- Anfang des 20. Jahrhunderts. Es tauchten viele rein formalistische Theorien über die Verwendung des Goldenen Schnitts in Kunstwerken und Architektur auf. Mit der Entwicklung des Designs und der technischen Ästhetik weitete sich das Gesetz des Goldenen Schnitts auf die Gestaltung von Autos, Möbeln usw. aus.

GOLDENER VERHÄLTNIS UND SYMMETRIE

Der Goldene Schnitt kann nicht isoliert und ohne Zusammenhang mit der Symmetrie betrachtet werden. Der große russische Kristallograph G.V. Wulff (1863-1925) betrachtete den Goldenen Schnitt als eine der Manifestationen der Symmetrie.

Die goldene Teilung ist keine Manifestation von Asymmetrie, also etwas Gegenteil von Symmetrie. Entsprechend moderne Ideen Die goldene Einteilung ist die asymmetrische Symmetrie. Die Wissenschaft der Symmetrie umfasst Konzepte wie statische und dynamische Symmetrie. Statische Symmetrie kennzeichnet Ruhe, Gleichgewicht und dynamische Symmetrie kennzeichnet Bewegung und Wachstum. So wird statische Symmetrie in der Natur durch die Struktur von Kristallen repräsentiert und in der Kunst charakterisiert sie Frieden, Ausgeglichenheit und Unbeweglichkeit. Dynamische Symmetrie drückt Aktivität aus, charakterisiert Bewegung, Entwicklung, Rhythmus, sie ist Lebensbeweis. Statische Symmetrie ist durch gleiche Segmente und gleiche Größen gekennzeichnet. Dynamische Symmetrie ist durch eine Zunahme oder Abnahme von Segmenten gekennzeichnet und wird in den Werten des Goldenen Schnitts einer zunehmenden oder abnehmenden Reihe ausgedrückt.

FIBONACCCI-SERIE

Der Name des italienischen Mathematikermönchs Leonardo aus Pisa, besser bekannt als Fibonacci, ist indirekt mit der Geschichte des Goldenen Schnitts verbunden. Er reiste viel in den Osten und führte Europa in die arabischen Ziffern ein. Im Jahr 1202 erschien sein mathematisches Werk „Das Buch des Abakus“ (Zähltafel), in dem alle damals bekannten Probleme zusammengefasst waren.

Eine Reihe von Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 usw. bekannt als Fibonacci-Reihe. Die Besonderheit der Zahlenfolge besteht darin, dass jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem dritten, gleich der Summe der beiden vorherigen ist 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 usw., und das Verhältnis benachbarter Zahlen der Reihe nähert sich dem Verhältnis der goldenen Division. Also 21:34=0,617 und 34:55=0,618. Dieses Verhältnis wird mit dem Symbol Ф bezeichnet. Nur dieses Verhältnis – 0,618:0,382 – ergibt eine kontinuierliche Unterteilung eines geraden Liniensegments im Goldenen Schnitt, seine Zunahme oder Abnahme bis ins Unendliche, wenn das kleinere Segment mit dem größeren in Beziehung gesetzt wird größer ist alles.

Wie in der Abbildung unten gezeigt, hängt die Länge jedes Fingerknöchels mit der Länge des nächsten Fingerknöchels im F-Verhältnis zusammen. Die gleiche Beziehung ist bei allen Fingern und Zehen zu beobachten. Dieser Zusammenhang ist irgendwie ungewöhnlich, weil ein Finger länger als der andere ist und kein sichtbares Muster aufweist, aber das ist kein Zufall, so wie alles im menschlichen Körper nicht zufällig ist. Die Abstände an den Fingern, die von A über B über C bis D bis E markiert sind, stehen alle im Verhältnis F zueinander in Beziehung, ebenso wie die Fingerglieder von F über G bis H.

Werfen Sie einen Blick auf dieses Froschskelett und sehen Sie, wie sich jeder Knochen dem F-Verhältnis-Muster anpasst, genau wie im menschlichen Körper.

ALLGEMEINER GOLDENER VERHÄLTNIS

Wissenschaftler entwickelten die Theorie der Fibonacci-Zahlen und des Goldenen Schnitts aktiv weiter. Yu. Matiyasevich löst Hilberts 10. Problem mithilfe von Fibonacci-Zahlen. Es gibt Methoden zur Lösung einer Reihe kybernetischer Probleme (Suchtheorie, Spiele, Programmierung) mithilfe von Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt. In den USA entsteht sogar die Mathematical Fibonacci Association, die seit 1963 eine Sonderzeitschrift herausgibt.

Eine der Errungenschaften auf diesem Gebiet ist die Entdeckung verallgemeinerter Fibonacci-Zahlen und verallgemeinerter Goldener Schnitte.

Die Fibonacci-Reihe (1, 1, 2, 3, 5, 8) und die von ihm entdeckte „binäre“ Reihe der Gewichte 1, 2, 4, 8 sind auf den ersten Blick völlig unterschiedlich. Aber die Algorithmen zu ihrer Konstruktion sind einander sehr ähnlich: Im ersten Fall ist jede Zahl die Summe der vorherigen Zahl mit sich selbst 2=1+1; 4=2+2..., im zweiten - das ist die Summe der beiden vorherigen Zahlen 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Ist es möglich, eine allgemeine Mathematik zu finden? Formel aus welcher „binären“ Reihe und der Fibonacci-Reihe? Oder liefert uns diese Formel vielleicht neue Zahlenmengen mit einigen neuen einzigartigen Eigenschaften?

Stellen wir nämlich einen numerischen Parameter S ein, der beliebige Werte annehmen kann: 0, 1, 2, 3, 4, 5... und vom vorherigen um S Schritte getrennt ist. Wenn wir das n-te Glied dieser Reihe mit bezeichnen? S(n), dann erhalten wir die allgemeine Formel? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Offensichtlich erhalten wir mit S=0 aus dieser Formel eine „binäre“ Reihe, mit S=1 – eine Fibonacci-Reihe, mit S=2, 3, 4. Neue Zahlenreihen, die S-Fibonacci-Zahlen genannt werden.

IN Gesamtansicht Der goldene S-Anteil ist die positive Wurzel der goldenen S-Schnitt-Gleichung x S+1 -x S -1=0.

Es ist leicht zu zeigen, dass bei S=0 die Teilung des Segments in zwei Hälften erfolgt und bei S=1 der bekannte klassische Goldene Schnitt.

Die Verhältnisse benachbarter Fibonacci-S-Zahlen mit absoluter mathematischer Genauigkeit stimmen im Grenzfall mit den goldenen S-Proportionen überein! Mathematiker sagen in solchen Fällen, dass goldene S-Schnitte numerische Invarianten von Fibonacci-S-Zahlen sind.

Die Fakten, die die Existenz goldener S-Abschnitte in der Natur bestätigen, werden vom belarussischen Wissenschaftler E.M. angeführt. Soroko im Buch „Structural Harmony of Systems“ (Minsk, „Science and Technology“, 1984). Es stellt sich beispielsweise heraus, dass gut untersuchte binäre Legierungen nur dann besondere, ausgeprägte funktionelle Eigenschaften (thermisch stabil, hart, verschleißfest, oxidationsbeständig usw.) aufweisen, wenn die spezifischen Gewichte der Ausgangskomponenten miteinander in Beziehung gesetzt werden nacheinander aus goldenen S-Proportionen. Dies ermöglichte es dem Autor, die Hypothese aufzustellen, dass goldene S-Schnitte numerische Invarianten selbstorganisierender Systeme sind. Diese experimentell bestätigte Hypothese kann von grundlegender Bedeutung für die Entwicklung der Synergetik sein, einem neuen Wissenschaftsgebiet, das Prozesse in selbstorganisierenden Systemen untersucht.

Mithilfe von Codes für goldene S-Proportionen kann jede reelle Zahl als Summe von Graden goldener S-Proportionen mit ganzzahligen Koeffizienten ausgedrückt werden.

Der grundlegende Unterschied zwischen dieser Methode zur Kodierung von Zahlen besteht darin, dass die Grundlagen neuer Codes, die goldene S-Proportionen sind, sich für S>0 als irrationale Zahlen herausstellen. Damit stellten die neuen Zahlensysteme mit irrationalen Grundlagen die historisch etablierte Hierarchie der Beziehungen zwischen rationalen und irrationalen Zahlen gewissermaßen „auf den Kopf“. Tatsache ist, dass zunächst die natürlichen Zahlen „entdeckt“ wurden; dann sind ihre Verhältnisse rationale Zahlen. Und erst später, nachdem die Pythagoräer inkommensurable Segmente entdeckten, tauchten irrationale Zahlen auf. Beispielsweise wurden in dezimalen, quinären, binären und anderen klassischen Positionszahlensystemen natürliche Zahlen als eine Art Grundprinzip gewählt: 10, 5, 2, aus denen nach bestimmten Regeln alle anderen natürlichen, sowie rationalen und Es wurden irrationale Zahlen konstruiert.

Irgendwie eine Alternative bestehende Wege Die Infinitesimalrechnung ist ein neues, irrationales System, da das Grundprinzip des Beginns der Berechnung darin besteht, dass eine irrationale Zahl gewählt wird (die, wie wir uns erinnern, die Wurzel der Gleichung des Goldenen Schnitts ist); andere reelle Zahlen werden bereits dadurch ausgedrückt.

In einem solchen Zahlensystem ist jede natürliche Zahl immer als endliche Zahl darstellbar – und nicht als unendlich, wie bisher angenommen! sind die Potenzsummen aller goldenen S-Proportionen. Dies ist einer der Gründe, warum die „irrationale“ Arithmetik mit ihrer erstaunlichen mathematischen Einfachheit und Eleganz scheinbar absorbiert wurde beste Qualitäten klassische Binär- und „Fibonacci“-Arithmetik.

GRUNDSÄTZE DER GESTALTUNG IN DER NATUR

Alles, was irgendeine Form annahm, sich formte, wuchs, strebte danach, einen Platz im Raum einzunehmen und sich zu bewahren. Verwirklichung findet dieser Anspruch vor allem in zwei Varianten: nach oben wachsend oder sich über die Erdoberfläche ausbreitend und spiralförmig verdrehen.

Die Schale ist spiralförmig verdreht. Wenn man es auffaltet, erhält man eine Länge, die etwas unter der Länge der Schlange liegt. Eine kleine, zehn Zentimeter große Muschel hat eine 35 cm lange Spirale. Spiralen kommen in der Natur sehr häufig vor. Das Konzept des Goldenen Schnitts wird unvollständig sein, ganz zu schweigen von der Spirale.

Die Form der spiralförmig gewundenen Muschel erregte die Aufmerksamkeit von Archimedes. Er studierte es und leitete die Gleichung der Spirale ab. Die nach dieser Gleichung gezeichnete Spirale trägt seinen Namen. Die Steigerung ihres Schritts ist immer gleichmäßig. Gegenwärtig wird die Archimedes-Spirale häufig in der Technik eingesetzt.

Schon Goethe betonte die Tendenz der Natur zur Spiralität. Die spiralförmige und spiralförmige Anordnung der Blätter an Baumzweigen ist schon vor langer Zeit aufgefallen.

Die Spirale wurde in der Anordnung von Sonnenblumenkernen, in Tannenzapfen, Ananas, Kakteen usw. gesehen. Die gemeinsame Arbeit von Botanikern und Mathematikern hat Licht auf diese erstaunlichen Naturphänomene geworfen. Es stellte sich heraus, dass sich in der Anordnung von Blättern auf einem Ast (Phylotaxis), Sonnenblumenkernen, Tannenzapfen die Fibonacci-Reihe und damit das Gesetz des Goldenen Schnitts manifestiert. Die Spinne spinnt ihr Netz spiralförmig. Ein Hurrikan nimmt eine Spirale auf. Eine verängstigte Rentierherde zerstreut sich spiralförmig. Das DNA-Molekül ist zu einer Doppelhelix verdreht. Goethe nannte die Spirale „die Kurve des Lebens“.

Mandelbrot-Reihe

Die goldene Spirale ist eng mit Zyklen verbunden. Die moderne Chaoswissenschaft untersucht einfache zyklische Rückkopplungsoperationen und die durch sie erzeugten fraktalen Formen, die bisher unbekannt waren. Die Abbildung zeigt die bekannte Mandelbrot-Reihe – eine Seite aus dem Wörterbuch H Glieder einzelner Muster, sogenannte Julianische Reihe. Einige Wissenschaftler assoziieren die Mandelbrot-Reihe mit genetischer Code Zellkerne. Eine konsequente Steigerung der Ausschnitte offenbart erstaunliche Fraktale in ihrer künstlerischen Komplexität. Und auch hier gibt es logarithmische Spiralen! Dies ist umso wichtiger, als sowohl die Mandelbrot-Reihe als auch die Julianische Reihe keine Erfindungen sind. menschlicher Verstand. Sie entstammen dem Reich der Prototypen Platons. Wie der Arzt R. Penrose sagte: „Sie sind wie der Mount Everest.“

Zwischen den Gräsern am Straßenrand wächst eine unauffällige Pflanze – Chicorée. Schauen wir es uns genauer an. Aus dem Hauptstamm wurde ein Zweig gebildet. Hier ist das erste Blatt.

Das Fortsatz führt einen starken Auswurf in den Weltraum aus, stoppt, gibt ein Blatt frei, das jedoch bereits kürzer als das erste ist, führt erneut einen Auswurf in den Weltraum aus, jedoch mit geringerer Kraft, lässt ein noch kleineres Blatt frei und wirft es erneut aus.

Wenn der erste Ausreißer 100 Einheiten beträgt, beträgt der zweite 62 Einheiten, der dritte 38, der vierte 24 und so weiter. Auch die Länge der Blütenblätter unterliegt dem Goldenen Schnitt. Beim Wachstum, bei der Eroberung des Weltraums behielt die Pflanze gewisse Proportionen bei. Seine Wachstumsimpulse nahmen proportional zum Goldenen Schnitt allmählich ab.

Chicoree

Bei vielen Schmetterlingen entspricht das Größenverhältnis der Brust- und Bauchkörperteile dem Goldenen Schnitt. Nachdem er seine Flügel gefaltet hat, bildet der Nachtschmetterling ein regelmäßiges gleichseitiges Dreieck. Aber es lohnt sich, die Flügel auszubreiten, und Sie werden das gleiche Prinzip der Aufteilung des Körpers in 2, 3, 5, 8 sehen. Auch die Libelle entsteht nach den Gesetzen des Goldenen Schnitts: dem Verhältnis der Schwanzlängen und Körper ist gleich dem Verhältnis der Gesamtlänge zur Schwanzlänge.

Bei der Eidechse fallen auf den ersten Blick angenehme Proportionen auf – die Länge ihres Schwanzes verhält sich zur Länge des übrigen Körpers mit 62 zu 38.

lebendgebärende Eidechse

Sowohl in der Pflanzen- als auch in der Tierwelt bricht immer wieder die Gestaltungstendenz der Natur durch – die Symmetrie in Bezug auf Wachstums- und Bewegungsrichtung. Hier erscheint der Goldene Schnitt in den Anteilen senkrecht zur Wachstumsrichtung.

Die Einteilung in symmetrische Teile und goldene Proportionen hat die Natur vorgenommen. Teilweise manifestiert sich eine Wiederholung der Struktur des Ganzen.

Von großem Interesse ist die Untersuchung der Formen von Vogeleiern. Ihre verschiedenen Formen schwanken zwischen zwei extremen Typen: Einer von ihnen kann in ein Rechteck des Goldenen Schnitts eingeschrieben werden, der andere in ein Rechteck mit einem Modul von 1,272 (der Wurzel des Goldenen Schnitts).

Solche Formen von Vogeleiern sind kein Zufall, da inzwischen festgestellt wurde, dass die durch das Verhältnis des Goldenen Schnitts beschriebene Form von Eiern höheren Festigkeitseigenschaften der Eierschale entspricht.

Die Stoßzähne von Elefanten und ausgestorbenen Mammuts, die Klauen von Löwen und die Schnäbel von Papageien sind logarithmische Formen und ähneln der Form einer Achse, die dazu neigt, sich in eine Spirale zu verwandeln.

In der Tierwelt sind Formen, die auf „fünfeckiger“ Symmetrie basieren (Seesterne, Seeigel, Blumen), weit verbreitet.

Der Goldene Schnitt ist in der Struktur aller Kristalle vorhanden, die meisten Kristalle sind jedoch mikroskopisch klein, sodass wir sie mit bloßem Auge nicht erkennen können. Allerdings sind Schneeflocken, bei denen es sich ebenfalls um Wasserkristalle handelt, für unser Auge durchaus zugänglich. Auch alle Figuren von erlesener Schönheit, die Schneeflocken bilden, alle Achsen, Kreise und geometrischen Figuren in Schneeflocken sind ausnahmslos immer nach der vollkommen klaren Formel des Goldenen Schnitts gebaut.

Im Mikrokosmos sind dreidimensionale logarithmische Formen, die nach goldenen Proportionen aufgebaut sind, allgegenwärtig. Viele Viren haben beispielsweise die dreidimensionale geometrische Form eines Ikosaeders. Der vielleicht bekannteste dieser Viren ist der Adeno-Virus. Die Proteinhülle des Adenovirus besteht aus 252 Einheiten von Proteinzellen, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind. An jeder Ecke des Ikosaeders befinden sich 12 Proteinzelleinheiten in Form eines fünfeckigen Prismas, und von diesen Ecken erstrecken sich spitzenartige Strukturen.

Adeno-Virus

Der Goldene Schnitt in der Struktur von Viren wurde erstmals in den 1950er Jahren entdeckt. Wissenschaftler des Londoner Birkbeck College A. Klug und D. Kaspar. Die erste logarithmische Form wurde vom Polyovirus selbst entdeckt. Es stellte sich heraus, dass die Form dieses Virus der des Rhino-Virus ähnelte.

Es stellt sich die Frage: Wie bilden Viren solch komplexe dreidimensionale Formen, deren Struktur den Goldenen Schnitt enthält, der selbst mit unserem menschlichen Verstand nur schwer zu konstruieren ist? Der Entdecker dieser Virenformen, der Virologe A. Klug, äußert sich wie folgt: „Dr. Kaspar und ich haben gezeigt, dass für die Kugelhülle des Virus die Symmetrie wie die Form des Ikosaeders die optimalste Form ist.“ Eine solche Reihenfolge minimiert die Anzahl der Verbindungselemente... Die meisten geodätischen Halbkugelwürfel von Buckminster Fuller sind nach einem ähnlichen geometrischen Prinzip konstruiert. Der Einbau solcher Würfel erfordert ein äußerst präzises und detailliertes Erklärungsschema, während unbewusste Viren selbst eine solch komplexe Hülle aus elastischen, flexiblen Proteinzelleinheiten konstruieren.

Klugs Kommentar erinnert einmal mehr an eine äußerst offensichtliche Wahrheit: in der Struktur selbst eines mikroskopisch kleinen Organismus, den Wissenschaftler als „die primitivste Lebensform“ einstufen dieser Fall Im Virus steckt eine klare Absicht und ein vernünftiges Design. Dieses Projekt ist in seiner Perfektion und Präzision in der Ausführung unvergleichlich mit den fortschrittlichsten Architekturprojekten, die von Menschen geschaffen wurden. Zum Beispiel Projekte des brillanten Architekten Buckminster Fuller.

Dreidimensionale Modelle des Dodekaeders und Ikosaeders finden sich auch in der Struktur der Skelette einzelliger Meeresmikroorganismen Radiolarien (Beamer), deren Skelett aus Kieselsäure besteht.

Radiolarien haben einen Körper von sehr exquisiter, ungewöhnlicher Schönheit. Ihre Form ist ein regelmäßiges Dodekaeder, und aus jeder seiner Ecken wachsen ein Pseudo-Dehnungsschenkel und andere ungewöhnliche Formauswüchse.

Der große Goethe, ein Dichter, Naturforscher und Künstler (er malte und malte in Aquarell), träumte davon, eine einheitliche Lehre über die Form, Bildung und Transformation organischer Körper zu schaffen. Er war es, der den Begriff Morphologie in den wissenschaftlichen Gebrauch einführte.

Pierre Curie formulierte zu Beginn unseres Jahrhunderts eine Reihe tiefgreifender Symmetrieideen. Er argumentierte, dass man die Symmetrie eines Körpers nicht berücksichtigen könne, ohne die Symmetrie der Umgebung zu berücksichtigen.

Die Gesetze der „goldenen“ Symmetrie manifestieren sich in den Energieübergängen von Elementarteilchen, in der Struktur einiger Chemische Komponenten, in Planeten- und Weltraumsystemen, in den Genstrukturen lebender Organismen. Diese Muster liegen, wie oben angedeutet, in der Struktur einzelner menschlicher Organe und des Körpers als Ganzes vor und manifestieren sich auch im Biorhythmus und in der Funktion des Gehirns und der visuellen Wahrnehmung.

DER MENSCHLICHE KÖRPER UND DER GOLDENE SCHNITT

Alle menschlichen Knochen entsprechen dem Goldenen Schnitt. Die Proportionen der verschiedenen Körperteile bilden eine Zahl, die dem Goldenen Schnitt sehr nahe kommt. Wenn diese Proportionen mit der Formel des Goldenen Schnitts übereinstimmen, gilt das Aussehen bzw. der Körper eines Menschen als ideal gebaut.

Goldene Proportionen in Teilen des menschlichen Körpers

Wenn wir den Nabelpunkt als Mittelpunkt des menschlichen Körpers und den Abstand zwischen dem menschlichen Fuß und dem Nabelpunkt als Maßeinheit nehmen, entspricht die Körpergröße einer Person der Zahl 1,618.

der Abstand von der Höhe der Schulter bis zum Scheitel und die Größe des Kopfes beträgt 1:1,618;
der Abstand von der Spitze des Nabels bis zum Scheitel des Kopfes und von der Höhe der Schulter bis zum Scheitel des Kopfes beträgt 1:1,618;
der Abstand des Nabelpunktes zu den Knien und von den Knien zu den Füßen beträgt 1:1,618;
der Abstand von der Kinnspitze bis zur Oberlippenspitze und von der Oberlippenspitze bis zu den Nasenlöchern beträgt 1:1,618;
Tatsächlich ist das genaue Vorhandensein des goldenen Anteils im Gesicht eines Menschen das Schönheitsideal für den menschlichen Blick.
der Abstand von der Kinnspitze bis zur Oberlinie der Augenbrauen und von der Oberlinie der Augenbrauen bis zum Scheitel beträgt 1:1,618;
Gesichtshöhe/Gesichtsbreite;
der zentrale Verbindungspunkt der Lippen zum Nasenansatz / Länge der Nase;
Gesichtshöhe/Abstand von der Kinnspitze bis zum Mittelpunkt der Lippenverbindung;
Mundbreite/Nasenbreite;
Breite der Nase/Abstand zwischen den Nasenlöchern;
Abstand zwischen Pupillen / Abstand zwischen Augenbrauen.

Jetzt reicht es aus, die Handfläche näher an sich heranzuführen und genau hinzusehen Zeigefinger, und Sie werden sofort die Formel des Goldenen Schnitts darin finden.

Jeder Finger unserer Hand besteht aus drei Fingergliedern. Die Summe der Längen der ersten beiden Fingerglieder im Verhältnis zur Gesamtlänge des Fingers ergibt den Goldenen Schnitt (mit Ausnahme des Daumens).

Darüber hinaus entspricht auch das Verhältnis zwischen Mittelfinger und kleinem Finger dem Goldenen Schnitt.

Ein Mensch hat 2 Hände, die Finger jeder Hand bestehen aus 3 Fingergliedern (mit Ausnahme des Daumens). Jede Hand hat 5 Finger, also insgesamt 10, aber mit Ausnahme von zwei zweizeiligen Daumen sind nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts nur 8 Finger entstanden. Während alle diese Zahlen 2, 3, 5 und 8 die Zahlen der Fibonacci-Folge sind.

Es ist auch zu beachten, dass bei den meisten Menschen der Abstand zwischen den Enden der gespreizten Arme gleich der Körpergröße ist.

Die Wahrheiten des Goldenen Schnitts liegen in uns und in unserem Raum. Die Besonderheit der Bronchien, aus denen die Lunge eines Menschen besteht, liegt in ihrer Asymmetrie. Die Bronchien bestehen aus zwei Hauptluftwegen, einer (links) ist länger und der andere (rechts) kürzer. Es wurde festgestellt, dass sich diese Asymmetrie in den Ästen der Bronchien, in allen kleineren Atemwegen, fortsetzt. Darüber hinaus ist das Längenverhältnis der kurzen und langen Bronchien auch der Goldene Schnitt und beträgt 1:1,618.

Im menschlichen Innenohr befindet sich ein Organ Cochlea („Schnecke“), das die Funktion der Schallschwingungsübertragung übernimmt. Diese knöcherne Struktur ist mit Flüssigkeit gefüllt und hat ebenfalls die Form einer Schnecke, die eine stabile logarithmische Spiralform enthält = 73 0 43".

Der Blutdruck verändert sich, wenn das Herz schlägt. Seinen größten Wert erreicht es im linken Ventrikel des Herzens zum Zeitpunkt seiner Kontraktion (Systole). In den Arterien erreicht der Blutdruck während der Systole der Herzkammern einen Maximalwert von 115-125 mm Hg bei jungen, gesunde Person. Im Moment der Entspannung des Herzmuskels (Diastole) sinkt der Druck auf 70-80 mm Hg. Kunst. Das Verhältnis des maximalen (systolischen) zum minimalen (diastolischen) Druck beträgt im Durchschnitt 1,6, also nahe am Goldenen Schnitt.

Wenn wir den durchschnittlichen Blutdruck in der Aorta als Einheit nehmen, beträgt der systolische Blutdruck in der Aorta 0,382 und der diastolische 0,618, d. h. ihr Verhältnis entspricht dem Goldenen Schnitt. Dies bedeutet, dass die Arbeit des Herzens in Bezug auf Zeitzyklen und Blutdruckänderungen nach dem gleichen Prinzip des Gesetzes des Goldenen Schnitts optimiert wird.

Das DNA-Molekül besteht aus zwei vertikal ineinander verschlungenen Helices. Jede dieser Spiralen ist 34 Angström lang und 21 Angström breit. (1 Angström ist ein Hundertmillionstel Zentimeter).

Die Struktur des Helixabschnitts des DNA-Moleküls

21 und 34 sind also aufeinanderfolgende Zahlen in der Folge der Fibonacci-Zahlen, das heißt, das Verhältnis von Länge und Breite der logarithmischen Helix des DNA-Moleküls trägt die Formel des Goldenen Schnitts 1:1,618.

GOLDENER SCHNITT IN DER SKULPTUR

Zum Gedenken werden Skulpturen und Denkmäler errichtet Wichtige Veranstaltungen, um die Namen berühmter Persönlichkeiten, ihre Heldentaten und Taten im Gedächtnis der Nachkommen zu bewahren. Es ist bekannt, dass schon in der Antike die Grundlage der Bildhauerei die Proportionslehre war. Beziehungen zwischen Teilen des menschlichen Körpers wurden mit der Formel des Goldenen Schnitts in Verbindung gebracht. Die Proportionen des „Goldenen Schnitts“ erwecken den Eindruck von Harmonie und Schönheit, weshalb die Bildhauer sie in ihren Werken verwendeten. Bildhauer behaupten, dass die Taille den perfekten menschlichen Körper im Verhältnis zum „Goldenen Schnitt“ unterteilt. So besteht beispielsweise die berühmte Apollo-Statue von Belvedere aus Teilen, die nach dem Goldenen Schnitt unterteilt sind. Der große antike griechische Bildhauer Phidias verwendete in seinen Werken oft den „Goldenen Schnitt“. Die berühmtesten davon waren die Statue des olympischen Zeus (der als eines der Weltwunder galt) und der Athena Parthenon.

Der goldene Anteil der Statue des Apollo Belvedere ist bekannt: Im goldenen Schnitt wird die Körpergröße der abgebildeten Person durch die Nabellinie geteilt.

GOLDENER ABSCHNITT IN DER ARCHITEKTUR

In Büchern zum „Goldenen Schnitt“ findet man den Hinweis, dass in der Architektur wie in der Malerei alles von der Position des Betrachters abhängt, und wenn manche Proportionen in einem Gebäude einerseits den „Goldenen Schnitt“ zu bilden scheinen, dann werden sie aus anderen Blickwinkeln anders aussehen. Der „Goldene Schnitt“ gibt das entspannteste Verhältnis der Größen bestimmter Längen an.

Eines der schönsten Werke der antiken griechischen Architektur ist der Parthenon (5. Jahrhundert v. Chr.).

In den Zeichnungen zu sehen ganze Zeile Muster, die mit dem Goldenen Schnitt verbunden sind. Die Proportionen eines Gebäudes können in Form von ausgedrückt werden verschiedene Grade Zahlen Ф=0,618...

Der Parthenon hat 8 Säulen an den kurzen Seiten und 17 an den langen. Die Simse bestehen vollständig aus Quadraten aus pentileischem Marmor. Das edle Material, aus dem der Tempel gebaut wurde, ermöglichte es, den in der griechischen Architektur üblichen Einsatz von Farben einzuschränken, sie betonen nur die Details und bilden einen farbigen Hintergrund (blau und rot) für die Skulptur. Das Verhältnis der Höhe des Gebäudes zu seiner Länge beträgt 0,618. Wenn wir den Parthenon nach dem „Goldenen Schnitt“ teilen, erhalten wir bestimmte Vorsprünge der Fassade.

Auf dem Grundriss des Parthenon sind auch die „goldenen Rechtecke“ zu sehen.

Den Goldenen Schnitt können wir im Gebäude der Kathedrale erkennen Notre Dame von Paris(Notre Dame de Paris) und in der Cheopspyramide.

Nicht nur die ägyptischen Pyramiden wurden nach den perfekten Proportionen des Goldenen Schnitts gebaut; Das gleiche Phänomen findet man bei den mexikanischen Pyramiden.

Lange Zeit glaubte man, dass Architekten Altes Russland baute alles „nach Augenmaß“, ohne besondere mathematische Berechnungen. Neueste Forschungen haben jedoch gezeigt, dass russische Architekten mathematische Proportionen gut kannten, wie die Analyse der Geometrie antiker Tempel beweist.

Der berühmte russische Architekt M. Kazakov verwendete in seiner Arbeit häufig den „Goldenen Schnitt“. Sein Talent war vielfältig, vor allem aber zeigte er sich in zahlreichen realisierten Wohn- und Siedlungsprojekten. Der „Goldene Schnitt“ findet sich beispielsweise in der Architektur des Senatsgebäudes im Kreml. Nach dem Projekt von M. Kazakov wurde in Moskau das Golitsyn-Krankenhaus gebaut, das derzeit als Erstes bezeichnet wird klinisches Krankenhaus benannt nach N.I. Pirogow.

Petrowski-Palast in Moskau. Gebaut nach dem Projekt von M.F. Kazakova

Ein weiteres architektonisches Meisterwerk Moskaus – das Paschkow-Haus – ist eines der perfektesten Architekturwerke von V. Bazhenov.

Paschkow-Haus

Die wunderbare Schöpfung von V. Bazhenov ist fest in das Ensemble des Zentrums des modernen Moskau eingedrungen und hat es bereichert. Das äußere Erscheinungsbild des Hauses ist bis heute nahezu unverändert geblieben, obwohl es 1812 schwer niedergebrannt war. Bei der Restaurierung erhielt das Gebäude massivere Formen. Auch die Innenaufteilung des Gebäudes ist nicht erhalten, wovon nur die Zeichnung des Untergeschosses einen Eindruck vermittelt.

Viele Aussagen des Architekten verdienen heutzutage Beachtung. Über seine Lieblingskunst sagte V. Bazhenov: „Architektur hat drei Hauptthemen: Schönheit, Ruhe und Stärke des Gebäudes ... Um dies zu erreichen, dient das Wissen über Proportionen, Perspektive, Mechanik oder Physik im Allgemeinen als Leitfaden und.“ Sie alle haben einen gemeinsamen Anführer, nämlich die Vernunft.“

GOLDENER VERHÄLTNIS IN DER MUSIK

Jedes Musikstück hat eine Zeitspanne und ist durch einige „ästhetische Meilensteine“ in einzelne Teile unterteilt, die Aufmerksamkeit erregen und die Wahrnehmung als Ganzes erleichtern. Diese Meilensteine können dynamische und intonatorische Höhepunkte eines Musikwerks sein. Einzelne Zeitintervalle eines Musikstücks, verbunden durch ein „Höhepunktereignis“, stehen in der Regel im Verhältnis des Goldenen Schnitts.

Bereits 1925 schrieb der Kunstkritiker L.L. Nachdem Sabaneev 1770 Musikstücke von 42 Autoren analysiert hatte, zeigte er, dass die überwiegende Mehrheit der herausragenden Werke leicht in Teile unterteilt werden kann, entweder nach Thema, nach Intonation oder nach einem Modalsystem, die sich auf den Goldenen Schnitt beziehen. Je talentierter der Komponist war, desto mehr goldene Schnitte fanden sich in seinen Werken. Laut Sabaneev erweckt der Goldene Schnitt den Eindruck einer besonderen Harmonie einer Musikkomposition. Dieses Ergebnis wurde von Sabaneev an allen 27 Chopin-Etüden bestätigt. Er fand darin 178 Goldene Schnitte. Gleichzeitig stellte sich heraus, dass nicht nur große Teile der Etüden im Verhältnis zum Goldenen Schnitt nach Dauer unterteilt sind, sondern auch Teile der darin enthaltenen Etüden häufig im gleichen Verhältnis unterteilt sind.

Komponist und Wissenschaftler M.A. Marutaev zählte die Anzahl der Takte in der berühmten Appassionata-Sonate und fand eine Reihe interessanter Zahlenbeziehungen. Insbesondere in der Durchführung, der zentralen Struktureinheit der Sonate, in der Themen intensiv entwickelt werden und Tonarten einander ersetzen, gibt es zwei Hauptabschnitte. Im ersten - 43,25 Zyklen, im zweiten - 26,75. Das Verhältnis 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 ergibt den Goldenen Schnitt.

Arensky (95 %), Beethoven (97 %), Haydn (97 %), Mozart (91 %), Chopin (92 %), Schubert (91 %) haben die meisten Werke, in denen es einen Goldenen Schnitt gibt.

Wenn Musik die harmonische Ordnung von Klängen ist, dann ist Poesie die harmonische Ordnung von Sprache. Ein klarer Rhythmus, ein regelmäßiger Wechsel betonter und unbetonter Silben, eine geordnete Dimensionalität der Gedichte, ihr emotionaler Reichtum machen die Poesie zu einer Schwester musikalischer Werke. Der Goldene Schnitt in der Poesie äußert sich in erster Linie durch das Vorhandensein eines bestimmten Moments des Gedichts (Höhepunkt, semantischer Wendepunkt, Hauptgedanke des Werkes) in der dem Teilungspunkt zuzuordnenden Zeile Gesamtzahl Zeilen des Gedichts im Goldenen Schnitt. Wenn das Gedicht also 100 Zeilen enthält, liegt der erste Punkt des Goldenen Schnitts in der 62. Zeile (62 %), der zweite in der 38. Zeile (38 %) usw. Die Werke von Alexander Sergejewitsch Puschkin, darunter „Eugen Onegin“, sind die beste Entsprechung zum Goldenen Schnitt! Die Werke von Shota Rustaveli und M.Yu. Lermontov sind ebenfalls nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts gebaut.

Stradivari schrieb, er habe den Goldenen Schnitt verwendet, um die Positionen der F-förmigen Kerben auf den Korpussen seiner berühmten Geigen zu bestimmen.

GOLDENER ABSCHNITT IN DER POESIE

Studien zu poetischen Werken aus diesen Positionen stehen erst am Anfang. Und Sie müssen mit der Poesie von A.S. beginnen. Puschkin. Schließlich sind seine Werke ein Beispiel für die herausragendsten Schöpfungen der russischen Kultur, ein Beispiel das höchste Niveau Harmonie. Aus der Poesie von A.S. Puschkin, wir beginnen mit der Suche nach dem Goldenen Schnitt – dem Maß für Harmonie und Schönheit.

Vieles in der Struktur poetischer Werke bringt diese Kunstform mit der Musik in Verbindung. Ein klarer Rhythmus, ein regelmäßiger Wechsel betonter und unbetonter Silben, eine geordnete Dimensionalität der Gedichte, ihr emotionaler Reichtum machen die Poesie zu einer Schwester musikalischer Werke. Jeder Vers hat seine eigene musikalische Form, seinen eigenen Rhythmus und seine eigene Melodie. Es ist zu erwarten, dass in der Struktur von Gedichten einige Merkmale musikalischer Werke, Muster, auftauchen musikalische Harmonie und daher der Goldene Schnitt.

Beginnen wir mit der Größe des Gedichts, also der Anzahl der Zeilen darin. Es scheint, dass sich dieser Parameter des Gedichts beliebig ändern kann. Es stellte sich jedoch heraus, dass dies nicht der Fall war. Zum Beispiel die Analyse von Gedichten von A.S. Puschkin zeigte, dass die Versgrößen sehr ungleichmäßig verteilt sind; Es stellte sich heraus, dass Puschkin eindeutig die Größen 5, 8, 13, 21 und 34 Zeilen (Fibonacci-Zahlen) bevorzugt.

Viele Forscher haben festgestellt, dass Gedichte ähnlich sind Musikalische Werke; Sie haben auch Höhepunkte, die das Gedicht proportional zum Goldenen Schnitt unterteilen. Betrachten Sie zum Beispiel ein Gedicht von A.S. Puschkin „Schuhmacher“:

Lassen Sie uns dieses Gleichnis analysieren. Das Gedicht besteht aus 13 Zeilen. Es hebt zwei semantische Teile hervor: den ersten in 8 Zeilen und den zweiten (die Moral des Gleichnisses) in 5 Zeilen (13, 8, 5 sind die Fibonacci-Zahlen).

Eines von Puschkins letzten Gedichten, „Ich lege keinen Wert auf hochkarätige Rechte ...“, besteht aus 21 Zeilen und darin werden zwei semantische Teile unterschieden: in 13 und 8 Zeilen:

Ich lege keinen Wert auf hochkarätige Rechte,

Davon wird keinem schwindelig.

Ich beschwere mich nicht darüber, dass die Götter sich geweigert haben

Ich stecke in der süßen Gruppe der herausfordernden Steuern

Oder verhindern Sie, dass die Könige miteinander kämpfen;

Und was mich wenig stört, ist, dass die Presse frei ist

Täuschende Dummköpfe oder sensible Zensur

In Zeitschriftenplänen ist der Joker peinlich.

Das alles sind Worte, Worte, Worte.

Andere, bessere Rechte liegen mir am Herzen:

Noch besser: Ich brauche Freiheit:

Verlassen Sie sich auf den König, verlassen Sie sich auf das Volk –

Interessiert es uns alle nicht? Gott ist mit ihnen.

Geben Sie keinen Bericht ab, sondern nur an sich selbst

Servieren und erfreuen; für Macht, für Lackierung

Beuge weder das Gewissen noch die Gedanken noch den Hals;

Nach Lust und Laune wandern Sie hier und da,

Bewundern Sie die göttliche Schönheit der Natur,

Und vor den Geschöpfen der Kunst und Inspiration

Fröhlich zitternd vor Freuden der Zärtlichkeit,

Hier ist Glück! Das ist richtig...

Bezeichnend ist, dass der erste Teil dieses Verses (13 Zeilen) semantisch in 8 und 5 Zeilen unterteilt ist, das heißt, das gesamte Gedicht ist nach den Gesetzen des Goldenen Schnitts aufgebaut.

Von zweifellosem Interesse ist die Analyse des Romans „Eugen Onegin“ von N. Vasyutinskiy. Dieser Roman besteht aus 8 Kapiteln mit jeweils durchschnittlich etwa 50 Versen. Das vollkommenste, raffinierteste und emotional reichste ist das achte Kapitel. Es hat 51 Verse. Zusammen mit Jewgenis Brief an Tatjana (60 Zeilen) entspricht dies genau der Fibonacci-Zahl 55!

N. Vasyutinsky erklärt: „Der Höhepunkt des Kapitels ist Evgenys Liebeserklärung an Tatjana – die Zeile „Blass und verblasst ... das ist Glückseligkeit!“ Diese Zeile teilt das gesamte achte Kapitel in zwei Teile: Der erste hat 477 Zeilen und der zweite 295 Zeilen. Ihr Verhältnis beträgt 1,617! Die subtilste Übereinstimmung mit dem Wert des Goldenen Schnitts! Das ist ein großes Wunder der Harmonie, vollbracht durch das Genie Puschkins!

E. Rosenov analysierte viele poetische Werke von M. Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoi und entdeckte in ihnen auch den „Goldenen Schnitt“.

Lermontovs berühmtes Gedicht „Borodino“ gliedert sich in zwei Teile: eine an den Erzähler gerichtete Einleitung, die nur eine Strophe einnimmt („Sag mir, Onkel, es ist nicht ohne Grund ...“) und der Hauptteil, der ein eigenständiges Ganzes darstellt, welches in zwei gleichwertige Teile geteilt ist. Der erste von ihnen beschreibt mit zunehmender Spannung die Erwartung eines Kampfes, der zweite beschreibt den Kampf selbst mit einem allmählichen Nachlassen der Spannung gegen Ende des Gedichts. Die Grenze zwischen diesen Teilen ist der Höhepunkt des Werkes und liegt genau an der Stelle, an der es durch den Goldenen Schnitt geteilt wird.

Der Hauptteil des Gedichts besteht aus 13 sieben Zeilen, also 91 Zeilen. Indem wir es mit dem Goldenen Schnitt teilen (91:1,618=56,238), stellen wir sicher, dass der Teilungspunkt am Anfang des 57. Verses liegt, wo es einen kurzen Satz gibt: „Nun, es war ein Tag!“ Es ist dieser Satz, der den „Höhepunkt aufgeregter Erwartung“ darstellt, der den ersten Teil des Gedichts (Erwartung der Schlacht) abschließt und seinen zweiten Teil (Beschreibung der Schlacht) eröffnet.

Daher spielt der Goldene Schnitt in der Poesie eine sehr bedeutsame Rolle, da er den Höhepunkt des Gedichts hervorhebt.

Viele Forscher von Shota Rustavelis Gedicht „Der Ritter im Pantherfell“ bemerken die außergewöhnliche Harmonie und Melodie seines Verses. Diese Eigenschaften des Gedichts des georgischen Wissenschaftlers, Akademiker G.V. Tsereteli führt dies auf den bewussten Einsatz des Goldenen Schnitts durch die Dichterin sowohl bei der Gestaltung der Gedichtform als auch bei der Konstruktion ihrer Gedichte zurück.

Rustavelis Gedicht besteht aus 1587 Strophen, von denen jede aus vier Zeilen besteht. Jede Zeile besteht aus 16 Silben und ist in jeder Halbzeile in zwei gleiche Teile zu je 8 Silben unterteilt. Alle Hemistiche sind in zwei Segmente von zwei Typen unterteilt: A - ein Hemistich mit gleichen Segmenten und gerade Zahl Silben (4+4); B ist eine Halblinie mit einer asymmetrischen Aufteilung in zwei ungleiche Teile (5+3 oder 3+5). Somit betragen die Verhältnisse in der Halblinie B 3:5:8, was eine Annäherung an den Goldenen Schnitt darstellt.

Es wurde festgestellt, dass von 1587 Strophen in Rustavelis Gedicht mehr als die Hälfte (863) nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts aufgebaut sind.

In unserer Zeit wurde eine neue Art von Kunst geboren – das Kino, das die Dramaturgie von Aktion, Malerei und Musik aufnahm. In herausragenden Werken der Kinematographie ist es legitim, nach Manifestationen des Goldenen Schnitts zu suchen. Der erste, der dies tat, war der Schöpfer des Meisterwerks des Weltkinos „Panzerkreuzer Potemkin“, der Filmregisseur Sergej Eisenstein. Bei der Konstruktion dieses Bildes gelang es ihm, das Grundprinzip der Harmonie – den Goldenen Schnitt – zu verkörpern. Wie Eisenstein selbst feststellt, weht die rote Flagge am Mast des rebellischen Schlachtschiffs (dem Höhepunkt des Films) am Punkt des Goldenen Schnitts, gerechnet vom Ende des Films an.

GOLDENER VERHÄLTNIS BEI SCHRIFTARTEN UND HAUSHALTSGEGENSTÄNDEN

besondere Art bildende Kunst Antikes Griechenland Hervorzuheben ist die Herstellung und Bemalung verschiedener Gefäße. In eleganter Form sind die Proportionen des Goldenen Schnitts leicht zu erraten.

In der Malerei und Skulptur von Tempeln sowie auf Haushaltsgegenständen stellten die alten Ägypter am häufigsten Götter und Pharaonen dar. Die Kanons des Bildes einer stehenden, gehenden, sitzenden Person usw. wurden festgelegt. Künstler mussten sich einzelne Formen und Schemata von Bildern anhand von Tabellen und Mustern einprägen. Antike griechische Künstler unternahmen besondere Reisen nach Ägypten, um den Umgang mit dem Kanon zu erlernen.

OPTIMALE PHYSIKALISCHE PARAMETER DER EXTERNEN UMGEBUNG

Es ist bekannt, dass das Maximum Lautstärke, die Schmerzen verursacht, beträgt 130 Dezibel. Wenn wir dieses Intervall durch den Goldenen Schnitt von 1,618 dividieren, erhalten wir 80 Dezibel, was typisch für die Lautstärke eines menschlichen Schreis ist. Wenn wir nun 80 Dezibel durch den Goldenen Schnitt teilen, erhalten wir 50 Dezibel, was der Lautstärke der menschlichen Sprache entspricht. Wenn wir schließlich 50 Dezibel durch das Quadrat des Goldenen Schnitts von 2,618 dividieren, erhalten wir 20 Dezibel, was einem menschlichen Flüstern entspricht. Somit sind alle charakteristischen Parameter der Lautstärke durch den Goldenen Schnitt miteinander verbunden.

Bei einer Temperatur von 18–20 °C Feuchtigkeit 40-60 % gelten als optimal. Die Grenzen des optimalen Luftfeuchtigkeitsbereiches erhält man, wenn man die absolute Luftfeuchtigkeit von 100 % zweimal durch den Goldenen Schnitt dividiert: 100 / 2,618 = 38,2 % (untere Grenze); 100/1,618=61,8 % (Obergrenze).

Bei Luftdruck 0,5 MPa verspürt eine Person Beschwerden, ihre körperliche und psychologische Aktivität. Bei einem Druck von 0,3-0,35 MPa ist nur ein Kurzzeitbetrieb zulässig, bei einem Druck von 0,2 MPa darf nicht länger als 8 Minuten gearbeitet werden. Alle diese charakteristischen Parameter sind durch den Goldenen Schnitt miteinander verbunden: 0,5/1,618=0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Grenzparameter Außentemperatur, innerhalb dessen die normale Existenz (und vor allem die Herkunft) eines Menschen möglich ist, ist der Temperaturbereich von 0 bis + (57-58) 0 C. Offensichtlich kann die erste Erklärungsgrenze weggelassen werden.

Wir dividieren den angegebenen Bereich positiver Temperaturen durch den Goldenen Schnitt. In diesem Fall erhalten wir zwei Grenzen (beide Grenzen sind für den menschlichen Körper charakteristische Temperaturen): Die erste entspricht der Temperatur, die zweite Grenze entspricht der maximal möglichen Außenlufttemperatur für den menschlichen Körper.

GOLDENER SCHNITT IN DER MALEREI

Schon in der Renaissance entdeckten Künstler, dass jedes Bild bestimmte Punkte hat, die unsere Aufmerksamkeit unwillkürlich erregen, die sogenannten visuellen Zentren. Dabei spielt es keine Rolle, welches Format das Bild horizontal oder vertikal hat. Es gibt nur vier solcher Punkte, und sie liegen in einem Abstand von 3/8 und 5/8 von den entsprechenden Kanten der Ebene.

Diese Entdeckung wurde unter den damaligen Künstlern als „Goldener Schnitt“ des Bildes bezeichnet.

Wenn man sich Beispiele des „Goldenen Schnitts“ in der Malerei zuwendet, kann man nicht umhin, seine Aufmerksamkeit auf das Werk von Leonardo da Vinci zu richten. Seine Identität ist eines der Geheimnisse der Geschichte. Leonardo da Vinci selbst sagte: „Niemand, der kein Mathematiker ist, wagt es, meine Werke zu lesen.“

Er erlangte Berühmtheit als unübertroffener Künstler, großer Wissenschaftler und Genie, das viele Erfindungen vorwegnahm, die erst im 20. Jahrhundert umgesetzt wurden.

Es besteht kein Zweifel, dass Leonardo da Vinci ein großer Künstler war, das erkannten bereits seine Zeitgenossen, doch seine Persönlichkeit und sein Wirken bleiben geheimnisvoll, da er der Nachwelt keine zusammenhängende Darstellung seiner Ideen, sondern lediglich zahlreiche handschriftliche Skizzen und Notizen hinterließ die sagen „sowohl alles auf der Welt.“

Er schrieb von rechts nach links in unleserlicher Handschrift und mit der linken Hand. Dies ist das berühmteste Beispiel für Spiegelschrift, das es gibt.

Das Porträt von Monna Lisa (Gioconda) erregt seit vielen Jahren die Aufmerksamkeit von Forschern, die herausfanden, dass die Komposition der Zeichnung auf goldenen Dreiecken basiert, die Teile eines regelmäßigen Sternfünfecks sind. Über die Geschichte dieses Porträts gibt es viele Versionen. Hier ist einer davon.

Einmal erhielt Leonardo da Vinci vom Bankier Francesco del Giocondo den Auftrag, ein Porträt einer jungen Frau zu malen, der Frau des Bankiers, Monna Lisa. Die Frau war nicht schön, aber sie war von der Einfachheit und Natürlichkeit ihres Aussehens angezogen. Leonardo stimmte zu, ein Porträt zu malen. Sein Modell war traurig und traurig, aber Leonardo erzählte ihr ein Märchen, nachdem er es gehört hatte, wurde sie lebendig und interessant.

MÄRCHEN. Es war einmal ein armer Mann, er hatte vier Söhne: drei kluge, und einer von ihnen hier und da. Und dann kam der Tod für den Vater. Bevor er sich von seinem Leben trennte, rief er seine Kinder zu sich und sagte: „Meine Söhne, bald werde ich sterben.“ Sobald du mich begraben hast, verschließe die Hütte und gehe bis ans Ende der Welt, um dein eigenes Vermögen zu machen. Möge jeder von euch etwas lernen, damit er sich selbst ernähren kann.“ Der Vater starb, und die Söhne zerstreuten sich in der ganzen Welt und stimmten zu, drei Jahre später in die Lichtung ihres Heimathains zurückzukehren. Der erste Bruder kam, der lernte Zimmermann, fällte einen Baum und behaue ihn, machte eine Frau daraus, ging ein wenig weg und wartete. Der zweite Bruder kam zurück, sah eine hölzerne Frau und kleidete sie, da er Schneider war, in einer Minute an: Als erfahrener Handwerker nähte er wunderschöne Seidenkleider für sie. Der dritte Sohn schmückte die Frau mit Gold und Edelsteine Weil er Juwelier war. Endlich kam der vierte Bruder. Er konnte nicht zimmern und nähen, er konnte nur auf das hören, was die Erde, die Bäume, Gräser, Tiere und Vögel sagten, er kannte den Weg Himmelskörper und er konnte wundervolle Lieder singen. Er sang ein Lied, das die Brüder, die sich hinter den Büschen versteckten, zum Weinen brachte. Mit diesem Lied erweckte er die Frau wieder zum Leben, sie lächelte und seufzte. Die Brüder stürzten auf sie zu und jeder rief dasselbe: „Du musst meine Frau sein.“ Aber die Frau antwortete: „Du hast mich erschaffen – sei mein Vater.“ Du hast mich angezogen und geschmückt – seid meine Brüder. Und du, der du mir meine Seele eingehaucht hast und mich gelehrt hast, das Leben zu genießen, ich brauche dich allein für das Leben.

Nachdem er die Geschichte beendet hatte, blickte Leonardo Monna Lisa an, ihr Gesicht erstrahlte im Licht, ihre Augen leuchteten. Dann seufzte sie, als ob sie aus einem Traum erwachte, fuhr sich mit der Hand übers Gesicht, ging wortlos zu ihrem Platz, faltete die Hände und nahm ihre übliche Haltung ein. Aber die Tat war geschehen – der Künstler erweckte die gleichgültige Statue; Das Lächeln der Glückseligkeit, das langsam aus ihrem Gesicht verschwand, blieb in ihren Mundwinkeln und zitterte und verlieh ihrem Gesicht einen erstaunlichen, geheimnisvollen und leicht verschlagenen Ausdruck, wie der einer Person, die ein Geheimnis erfahren hat und es, wenn sie es sorgfältig bewahrt, nicht kann halte seinen Triumph zurück. Leonardo arbeitete schweigend und hatte Angst, diesen Moment zu verpassen, diesen Sonnenstrahl, der sein langweiliges Modell erleuchtete ...

Es ist schwer zu sagen, was in diesem Meisterwerk der Kunst aufgefallen ist, aber alle sprachen über Leonardos tiefes Wissen über die Struktur des menschlichen Körpers, dank dessen es ihm gelang, dieses sozusagen geheimnisvolle Lächeln einzufangen. Sie sprachen über die Ausdruckskraft einzelner Bildteile und über die Landschaft, einen beispiellosen Begleiter des Porträts. Sie sprachen über die Natürlichkeit des Ausdrucks, die Einfachheit der Pose, die Schönheit der Hände. Dem Künstler ist etwas Beispielloses gelungen: Das Bild stellt Luft dar, es umhüllt die Figur mit einem transparenten Dunst. Trotz des Erfolgs war Leonardo düster, die Situation in Florenz erschien dem Künstler schmerzhaft, er machte sich bereit zu gehen. Erinnerungen an Überschwemmungsbefehle halfen ihm nicht weiter.

Der goldene Schnitt im Bild von I.I. Shishkin „Pine Grove“. In diesem berühmten Gemälde von I.I. Shishkin, die Motive des Goldenen Schnitts sind deutlich zu erkennen. Die hell erleuchtete Kiefer (im Vordergrund stehend) teilt die Bildlänge entsprechend dem Goldenen Schnitt. Rechts von der Kiefer befindet sich ein von der Sonne beleuchteter Hügel. Es teilt die rechte Seite des Bildes horizontal entsprechend dem Goldenen Schnitt. Links von der Hauptkiefer gibt es viele Kiefern – wenn Sie möchten, können Sie das Bild erfolgreich weiter nach dem Goldenen Schnitt und weiter unterteilen.

Pinienhain

Das Vorhandensein heller Vertikalen und Horizontalen im Bild, die es im Verhältnis zum Goldenen Schnitt unterteilen, verleiht ihm den Charakter von Ausgeglichenheit und Ruhe, entsprechend der Absicht des Künstlers. Wenn die Absicht des Künstlers anders ist, wenn er beispielsweise ein Bild mit einer sich schnell entwickelnden Aktion schafft, wird ein solches geometrisches Kompositionsschema (mit einem Vorherrschen von Vertikalen und Horizontalen) inakzeptabel.

IN UND. Surikow. „Bojar Morozova“

Ihre Rolle ist dem mittleren Teil des Bildes zugeordnet. Es wird durch den Punkt des höchsten Anstiegs und den Punkt des niedrigsten Abfalls der Bildhandlung begrenzt: das Anheben von Morozovas Hand mit dem Kreuzzeichen mit zwei Fingern als höchstem Punkt; hilflos ausgestreckte Hand derselben Adligen, diesmal jedoch die Hand einer alten Frau - einer Bettlerwanderin, eine Hand unter der, zusammen mit die letzte Hoffnung Das Ende des Schlittens rutscht zur Erlösung heraus.

Und was ist mit dem „ höchster Punkt„? Auf den ersten Blick haben wir einen scheinbaren Widerspruch: Schließlich geht der Abschnitt A 1 B 1, der 0,618 ... vom rechten Bildrand beträgt, nicht durch den Arm, nicht einmal durch den Kopf oder das Auge des Adlige, aber es stellt sich heraus, dass sie sich irgendwo vor dem Mund der Adligen befindet.

Der Goldene Schnitt trifft hier wirklich das Wichtigste. Darin, und es ist darin - größte Macht Morozova.

Es gibt kein Gemälde, das poetischer ist als das von Sandro Botticelli, und der große Sandro hat kein Gemälde, das berühmter ist als seine Venus. Für Botticelli ist seine Venus die Verkörperung der Idee der universellen Harmonie des „Goldenen Schnitts“, die in der Natur vorherrscht. Davon überzeugt uns die Proportionalanalyse der Venus.

Venus

Raffael „Schule von Athen“. Raphael war kein Mathematiker, aber wie viele Künstler dieser Zeit verfügte er über beträchtliche Kenntnisse der Geometrie. Im berühmten Fresko „Die Schule von Athen“, in dem die Gesellschaft der großen Philosophen der Antike im Tempel der Wissenschaft tagt, wird unsere Aufmerksamkeit auf die Gruppe von Euklid, dem größten antiken griechischen Mathematiker, gelenkt, der eine komplexe Zeichnung zerlegt.

Auch die raffinierte Kombination zweier Dreiecke ist nach dem Goldenen Schnitt aufgebaut: Sie lässt sich in ein Rechteck mit einem Seitenverhältnis von 5/8 einschreiben. Diese Zeichnung lässt sich überraschend einfach in den oberen Teil der Architektur einfügen. Obere Ecke Das Dreieck ruht auf dem Schlussstein des Bogens in dem dem Betrachter am nächsten gelegenen Bereich, das untere - am Fluchtpunkt der Perspektiven, und der seitliche Abschnitt zeigt die Proportionen der räumlichen Lücke zwischen den beiden Teilen des Bogens an.

Die goldene Spirale in Raffaels Gemälde „Das Massaker der Unschuldigen“. Im Gegensatz zum Goldenen Schnitt ist das Gefühl von Dynamik und Aufregung vielleicht bei einer anderen einfachen geometrischen Figur am ausgeprägtesten – der Spirale. Die mehrfigurige Komposition, die 1509 - 1510 von Raffael geschaffen wurde, als der berühmte Maler seine Fresken im Vatikan schuf, zeichnet sich gerade durch die Dynamik und Dramatik der Handlung aus. Raphael brachte seine Idee nie zur Vollendung, seine Skizze wurde jedoch von einem unbekannten italienischen Grafiker, Marcantinio Raimondi, gestochen, der auf der Grundlage dieser Skizze den Stich „Massaker der Unschuldigen“ schuf.

Massaker an Unschuldigen

Wenn wir auf der vorbereitenden Skizze von Raffael im Geiste Linien zeichnen, die vom semantischen Zentrum der Komposition ausgehen – den Punkten, an denen sich die Finger des Kriegers um den Knöchel des Kindes schlossen, entlang der Figuren des Kindes, der Frau, die es an sich drückt, der Krieger mit erhobenem Schwert, und dann entlang der Figuren derselben Gruppe auf der rechten Seite skizzieren (in der Abbildung sind diese Linien rot gezeichnet) und dann diese Kurvenstücke mit einer gepunkteten Linie und dann mit einer goldenen Linie verbinden Die Spirale wird mit sehr hoher Genauigkeit erhalten. Dies kann überprüft werden, indem das Verhältnis der Längen der von der Spirale geschnittenen Segmente auf den geraden Linien gemessen wird, die durch den Anfang der Kurve verlaufen.

Goldener Schnitt und Bildwahrnehmung

Die Fähigkeit des menschlichen visuellen Analysators, Objekte, die nach dem Algorithmus des Goldenen Schnitts gebaut wurden, als schön, attraktiv und harmonisch zu unterscheiden, ist seit langem bekannt. Der Goldene Schnitt vermittelt das Gefühl des vollkommensten einheitlichen Ganzen. Das Format vieler Bücher folgt dem Goldenen Schnitt. Es wird für Fenster, Gemälde und Umschläge, Briefmarken und Visitenkarten ausgewählt. Ein Mensch weiß vielleicht nichts über die Zahl Ф, aber in der Struktur von Objekten sowie in der Abfolge von Ereignissen findet er unbewusst Elemente des Goldenen Schnitts.

Es wurden Studien durchgeführt, bei denen Probanden gebeten wurden, Rechtecke unterschiedlicher Proportionen auszuwählen und zu kopieren. Zur Auswahl standen drei Rechtecke: ein Quadrat (40:40 mm), ein „Goldener Schnitt“-Rechteck mit einem Seitenverhältnis von 1:1,62 (31:50 mm) und ein Rechteck mit länglichen Proportionen von 1:2,31 (26: 60 mm).

Bei der Auswahl von Rechtecken im Normalzustand wird in 1/2 Fällen einem Quadrat der Vorzug gegeben. Die rechte Hemisphäre bevorzugt den Goldenen Schnitt und lehnt das längliche Rechteck ab. Im Gegenteil, die linke Hemisphäre tendiert zu länglichen Proportionen und lehnt den Goldenen Schnitt ab.

Beim Kopieren dieser Rechtecke wurde Folgendes beobachtet: Bei aktiver rechter Hemisphäre blieben die Proportionen in den Kopien am genauesten erhalten; Wenn die linke Hemisphäre aktiv war, wurden die Proportionen aller Rechtecke verzerrt, die Rechtecke wurden gestreckt (das Quadrat wurde als Rechteck mit einem Seitenverhältnis von 1:1,2 gezeichnet; die Proportionen des gestreckten Rechtecks nahmen stark zu und erreichten 1:2,8). ). Die Proportionen des „goldenen“ Rechtecks waren am stärksten verzerrt; seine Proportionen in Kopien wurden zu den Proportionen des Rechtecks 1:2,08.

Beim Zeichnen eigener Zeichnungen herrschen Proportionen nahe am Goldenen Schnitt und länglich vor. Im Durchschnitt betragen die Proportionen 1:2, während die rechte Hemisphäre die Proportionen des Goldenen Schnitts bevorzugt, entfernt sich die linke Hemisphäre von den Proportionen des Goldenen Schnitts und streckt das Muster.

Zeichnen Sie nun einige Rechtecke, messen Sie ihre Seiten und ermitteln Sie das Seitenverhältnis. Welche Hemisphäre hast du?

DER GOLDENE VERHÄLTNIS IN DER FOTOGRAFIE

Ein Beispiel für die Verwendung des Goldenen Schnitts in der Fotografie ist die Anordnung der Schlüsselkomponenten des Rahmens an Punkten, die 3/8 und 5/8 von den Rändern des Rahmens entfernt liegen. Dies lässt sich an folgendem Beispiel veranschaulichen: einem Foto einer Katze, die sich an einer beliebigen Stelle im Bild befindet.

Teilen wir nun den Rahmen bedingt in Segmente auf, und zwar im Verhältnis 1,62 zur Gesamtlänge von jeder Seite des Rahmens. Am Schnittpunkt der Segmente befinden sich die wichtigsten „Sehzentren“, in denen es sich lohnt, das Notwendige zu platzieren Schlüsselelemente Bilder. Bewegen wir unsere Katze zu den Punkten der „Sehzentren“.

GOLDENER VERHÄLTNIS UND RAUM

Aus der Geschichte der Astronomie ist bekannt, dass I. Titius, ein deutscher Astronom des 18. Jahrhunderts, anhand dieser Reihe Regelmäßigkeit und Ordnung in den Abständen zwischen den Planeten des Sonnensystems fand.

Ein Fall schien jedoch gegen das Gesetz zu verstoßen: Zwischen Mars und Jupiter gab es keinen Planeten. Die gezielte Beobachtung dieses Himmelsbereichs führte zur Entdeckung des Asteroidengürtels. Dies geschah nach dem Tod von Titius zu Beginn des 19. Jahrhunderts. Die Fibonacci-Reihe ist weit verbreitet: Mit ihrer Hilfe stellen sie die Architektur von Lebewesen, von Menschen geschaffenen Strukturen und der Struktur von Galaxien dar. Diese Tatsachen sind ein Beweis für die Unabhängigkeit der Zahlenreihe von den Bedingungen ihrer Manifestation, was eines der Zeichen ihrer Universalität ist.

Die beiden Goldenen Spiralen der Galaxie sind mit dem Davidstern kompatibel.

Achten Sie auf die Sterne, die in einer weißen Spirale aus der Galaxie auftauchen. Genau 180 ° von einer der Spiralen entfernt kommt eine weitere sich entfaltende Spirale heraus ... Lange Zeit glaubten Astronomen einfach, dass alles, was da ist, das ist, was wir sehen; Wenn etwas sichtbar ist, dann existiert es. Entweder bemerkten sie den unsichtbaren Teil der Realität überhaupt nicht oder sie hielten ihn für nicht wichtig. Aber die unsichtbare Seite unserer Realität ist tatsächlich viel größer als die sichtbare Seite und wahrscheinlich wichtiger ... Mit anderen Worten, der sichtbare Teil der Realität macht viel weniger als ein Prozent des Ganzen aus – fast nichts. Tatsächlich ist unser wahres Zuhause das unsichtbare Universum ...

Im Universum existieren alle der Menschheit bekannten Galaxien und alle darin enthaltenen Körper in Form einer Spirale, entsprechend der Formel des Goldenen Schnitts. In der Spirale unserer Galaxie liegt der Goldene Schnitt

ABSCHLUSS

Die Natur, verstanden als die ganze Welt in der Vielfalt ihrer Formen, besteht sozusagen aus zwei Teilen: der belebten und der unbelebten Natur. Geschöpfe unbelebter Natur zeichnen sich durch hohe Stabilität und geringe Variabilität aus, gemessen am Ausmaß des menschlichen Lebens. Ein Mensch wird geboren, lebt, wird alt, stirbt, aber die Granitberge bleiben dieselben und die Planeten kreisen auf die gleiche Weise um die Sonne wie zur Zeit des Pythagoras.

Die Welt der Wildtiere erscheint uns völlig anders – mobil, wandelbar und überraschend vielfältig. Das Leben zeigt uns einen fantastischen Karneval voller Vielfalt und Originalität kreativer Kombinationen! Die Welt der unbelebten Natur ist vor allem eine Welt der Symmetrie, die seinen Kreationen Stabilität und Schönheit verleiht. Die Welt der Natur ist in erster Linie eine Welt der Harmonie, in der das „Gesetz des Goldenen Schnitts“ wirkt.

IN moderne Welt Der Wissenschaft kommt im Zusammenhang mit dem zunehmenden Einfluss des Menschen auf die Natur eine besondere Bedeutung zu. Wichtige Aufgaben in der gegenwärtigen Phase sind die Suche nach neuen Wegen des Zusammenlebens von Mensch und Natur, die Erforschung philosophischer, sozialer, wirtschaftlicher, pädagogischer und anderer Probleme der Gesellschaft.

In dieser Arbeit wurde der Einfluss der Eigenschaften des „Goldenen Schnitts“ auf die belebte und unbelebte Natur, auf den historischen Verlauf der Entwicklung der Geschichte der Menschheit und des Planeten insgesamt betrachtet. Wenn man all das analysiert, kann man noch einmal über die Größe des Erkenntnisprozesses der Welt, die Entdeckung ihrer immer neuen Muster staunen und zu dem Schluss kommen: Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionalen Perfektion von das Ganze und seine Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur. Es ist zu erwarten, dass die Entwicklungsgesetze verschiedener Natursysteme, die Wachstumsgesetze, nicht sehr vielfältig und am besten nachvollziehbar sind verschiedene Formationen. Dies ist die Manifestation der Einheit der Natur. Die Idee einer solchen Einheit, die auf der Manifestation derselben Muster in heterogenen Naturphänomenen basiert, hat von Pythagoras bis heute ihre Relevanz behalten.

Goldener Schnitt - universelles Prinzip Harmonie

„Über den Geschmack lässt sich nicht streiten“ – wie oft hat jeder von uns diese Formel gehört und sie sogar ausgesprochen. Indem wir damit einverstanden sind, sind wir bereit, jede Schande zu verteidigen, die sich die menschliche Vorstellungskraft leisten kann. Ein zutiefst egoistischer, wählerischer, leidenschaftlicher Mensch, der es nicht gewohnt ist, auf die Welt im Großen und Kleinen zu hören, hat einfach keinen Grund, Geschmack zu entwickeln und Harmonie zu verstehen, und ist daher in der Lage, die monströseste Ästhetik zu erzeugen und sie gleichzeitig Schönheit zu nennen. „Ein schönes Leben kann man nicht verbieten“, spuckt der Bewohner mit seinen fettigen Lippen aus, verteidigt seinen Geschmack und verbietet anderen, darüber zu streiten. „Natürlich, natürlich werden wir nicht über den Geschmack streiten! Jeder hat auf seine Weise Recht, solange er uns nicht schadet“, wiederholen Tiere in Menschengestalt, die sich selbst nicht tiefer als die körperlichen Bedürfnisse verstehen. Und sie werden in schäbigen Behausungen untergebracht, sie sind vollgestopft mit zerstörerischer Musik, das sind sie Schulbank Sie nähren das Elend und servieren es unter der Soße der Unvermeidlichkeit. Der Niedergang der Ästhetik, die Unachtsamkeit gegenüber der Schönheit ist immer auch der Niedergang der Menschheit, die nicht mehr nach Schönheit träumen oder danach streben will. Es ist Leiden und Tod.

Für einen einzelnen Menschen ist es schwierig, dem gesamten System der Vulgarität zu widerstehen, und er ist dazu verdammt, sich ihm zu unterwerfen und zugrunde zu gehen, wenn er nicht über ausreichende Kenntnisse verfügt. Ich möchte glauben, dass das Gefühl der Schönheit, der Harmonie der Welt in jedem Menschen lebt – man muss es nur zeigen, lernen, es zu nutzen.

Es dürfte schwierig sein, ein verlässliches Maß für eine objektive Beurteilung der Schönheit selbst zu finden, und Logik allein reicht hier nicht aus. Hier helfen jedoch die Erfahrungen derer, für die die Suche nach Schönheit der Sinn des Lebens war, die sie zu ihrem Beruf machten. Das sind in erster Linie Menschen der Kunst, wie wir sie nennen: Künstler, Architekten, Bildhauer, Musiker, Schriftsteller. Aber das sind auch Menschen der exakten Wissenschaften – vor allem Mathematiker.

Der Mensch vertraute dem Auge mehr als anderen Sinnesorganen und lernte zunächst, die ihn umgebenden Objekte anhand ihrer Form zu unterscheiden. Das Interesse an der Form eines Objekts kann durch eine lebenswichtige Notwendigkeit bedingt sein oder durch die Schönheit der Form verursacht werden. Die Form, die auf einer Kombination aus Symmetrie und dem Goldenen Schnitt basiert, trägt zu bester visueller Wahrnehmung und dem Anschein eines Sinns für Schönheit und Harmonie bei. Das Ganze besteht immer aus Teilen, unterschiedlich große Teile stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander und zum Ganzen. Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionalen Perfektion des Ganzen und seiner Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur. Diese Idee wurde von vielen prominenten modernen Wissenschaftlern geteilt und bewiesen in ihren Studien, dass wahre Schönheit immer funktionell ist. Unter ihnen sind Flugzeugkonstrukteure. Und Architekten und Anthropologen und viele andere.

Geschichte des Goldenen Schnitts

Es ist allgemein anerkannt, dass das Konzept der goldenen Teilung von Pythagoras, einem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker (VI. Jahrhundert v. Chr.), in die wissenschaftliche Verwendung eingeführt wurde. Es wird vermutet, dass Pythagoras sein Wissen über die goldene Teilung von den Ägyptern und Babyloniern übernommen hat. Tatsächlich weisen die Proportionen der Cheops-Pyramide, der Tempel, Flachreliefs, Haushaltsgegenstände und Dekorationen aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass die ägyptischen Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten. Der französische Architekt Le Corbusier stellte fest, dass im Relief aus dem Tempel des Pharaos Sethos I. in Abydos und im Relief mit der Darstellung des Pharaos Ramses die Proportionen der Figuren den Werten der goldenen Teilung entsprechen. Der Architekt Khesira, abgebildet auf einem Relief einer Holztafel aus dem Grab seines Namens, hält in seinen Händen Messinstrumente, in denen die Proportionen der goldenen Teilung festgelegt sind.

Der deutsche Professor G.E. Timerding, der im ersten Viertel des 20. Jahrhunderts ein Buch über den Goldenen Schnitt schrieb, sagt: „Unter den Pythagoräern.“<...>Der Gedanke an mysteriöse Kräfte und Eigenschaften wurde mit dem regelmäßigen Fünfeck in Verbindung gebracht, aber diese Eigenschaften offenbaren sich nur, wenn man neben dem gewöhnlichen regelmäßigen Fünfeck den Stern betrachtet, der durch sequentielles Verbinden aller Eckpunkte eines gewöhnlichen Fünfecks durch einen entsteht , zusammengesetzt aus den Diagonalen des Fünfecks“ – und weitere Anmerkungen: Das Pentagramm spielte in allen magischen Wissenschaften eine große Rolle. Der fünfzackige Stern ist, wie Timerding zeigt, buchstäblich mit den Proportionen des Goldenen Schnitts vollgestopft.

Auch Platon (427...347 v. Chr.) wusste von der Goldenen Teilung. Der pythagoreische Timaios sagt im gleichnamigen Dialog Platons: „Es ist unmöglich, dass zwei Dinge ohne ein Drittes perfekt verbunden sind, da zwischen ihnen etwas erscheinen muss, das sie zusammenhält. Dies kann am besten durch Proportionen geschehen, denn wenn.“ Drei Zahlen haben die Eigenschaft, dass sich der Durchschnitt für die Kleinere so verhält wie die Größere für die Mitte, und umgekehrt, die Kleinere für den Mittelwert wie der Mittelwert für die Größere, dann sind die letzte und die erste die Mitte. und die Mitte das Erste und das Letzte. Da es dasselbe sein wird, wird es ein Ganzes ergeben.“ Platon baut die irdische Welt aus zwei Arten von Dreiecken auf: gleichschenkligen und nicht gleichschenkligen. Er hält das schönste rechtwinklige Dreieck für eines, bei dem die Hypotenuse doppelt so groß ist wie das kleinere der Beine (ein solches Rechteck ist ein halbes Gleichseitiges, die Hauptfigur der Babylonier, es hat ein Verhältnis von 1:3 1/2). , der etwa 1/25 vom Goldenen Schnitt abweicht und als Timerding bezeichnet wird „Gegner des Goldenen Schnitts“). Aus Dreiecken baut Platon vier regelmäßige Polyeder und verknüpft sie mit den vier irdischen Elementen (Erde, Wasser, Luft und Feuer). Und nur das letzte der fünf existierenden regelmäßigen Polyeder – das Dodekaeder, dessen zwölf Flächen regelmäßige Fünfecke sind – erhebt den Anspruch, ein symbolisches Bild der himmlischen Welt zu sein.

Die Ehre, das Dodekaeder (oder, wie angenommen wurde, das Universum selbst, diese Quintessenz der vier Elemente, symbolisiert durch Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder und Würfel) zu entdecken, gebührt Hippasus, der später bei einem Schiffbruch starb. Diese Figur fängt wirklich viele Beziehungen des Goldenen Schnitts ein, so dass letzterem die Hauptrolle in der himmlischen Welt zugeschrieben wurde, worauf später der minderjährige Bruder Luca Pacioli bestand.

In der uns überlieferten antiken Literatur wurde die goldene Teilung erstmals in den „Anfängen“ von Euklid erwähnt. Im 2. Buch der „Anfänge“ wird die geometrische Konstruktion der Goldenen Teilung dargelegt. Nach Euklid beschäftigten sich Hypsikles (II. Jahrhundert v. Chr.), Pappus (III. Jahrhundert n. Chr.) und andere mit dem Studium der Goldenen Teilung. Im mittelalterlichen Europa mit der goldenen Teilung Wir lernten uns durch arabische Übersetzungen von Euklids „Anfängen“ kennen. Der Übersetzer J. Campano aus Navarra (3. Jahrhundert) kommentierte die Übersetzung. Die Geheimnisse der Goldenen Division wurden sorgfältig gehütet und streng geheim gehalten. Sie waren nur den Eingeweihten bekannt.

Im Mittelalter wurde das Pentagramm dämonisiert (wie übrigens vieles, was im antiken Heidentum als göttlich galt) und fand Zuflucht in den okkulten Wissenschaften. Die Renaissance bringt jedoch sowohl das Pentagramm als auch den Goldenen Schnitt wieder ans Licht. So erlangte in der Zeit der Durchsetzung des Humanismus ein Schema, das die Struktur des menschlichen Körpers beschreibt, weite Verbreitung:

Auch Leonardo da Vinci griff immer wieder auf ein solches Bild zurück und reproduzierte im Wesentlichen ein Pentagramm. Ihre Interpretation: Der menschliche Körper hat göttlich Perfektion, weil die ihr innewohnenden Proportionen die gleichen sind wie bei der Haupthimmelsfigur. Leonardo da Vinci, ein Künstler und Wissenschaftler, erkannte, dass italienische Künstler über viel empirische Erfahrung, aber wenig Wissen verfügten. Er konzipierte und begann ein Buch über Geometrie zu schreiben, doch zu dieser Zeit erschien ein Buch des Mönchs Luca Pacioli und Leonardo gab seine Idee auf. Zeitgenossen und Wissenschaftshistorikern zufolge war Luca Pacioli eine echte Koryphäe, der größte Mathematiker Italiens zwischen Fibonacci und Galileo. Luca Pacioli war ein Schüler des Künstlers Piero della Francesca, der zwei Bücher schrieb, eines davon mit dem Titel „On Perspective in Painting“. Er gilt als Begründer der beschreibenden Geometrie.

Luca Pacioli war sich der Bedeutung der Wissenschaft für die Kunst durchaus bewusst. 1496 kam er auf Einladung des Herzogs von Moreau nach Mailand, wo er Vorlesungen über Mathematik hielt. Leonardo da Vinci arbeitete zu dieser Zeit auch am Moro-Hof in Mailand. 1509 wurde in Venedig ein Buch von Luca Pacioli veröffentlicht „Im göttlichen Verhältnis“(De divina proportione, 1497, erschienen 1509 in Venedig) mit brillant ausgeführten Illustrationen, weshalb sie vermutlich von Leonardo da Vinci stammen. Das Buch war eine begeisterte Hymne an den Goldenen Schnitt. Es gibt nur ein solches Verhältnis, und Einzigartigkeit ist die höchste Eigenschaft Gottes. Es verkörpert die Heilige Dreifaltigkeit. Dieses Verhältnis kann nicht durch eine zugängliche Zahl ausgedrückt werden, bleibt verborgen und geheim und wird von Mathematikern selbst als irrational bezeichnet (so dass Gott weder durch Worte definiert noch erklärt werden kann). Gott verändert sich nie und stellt alles in allem und alles in jedem seiner Teile dar, daher ist der Goldene Schnitt für jede kontinuierliche und bestimmte Größe (unabhängig davon, ob sie groß oder klein ist) derselbe und kann vom Geist nicht geändert oder anderweitig wahrgenommen werden. Gott erschuf die himmlische Tugend, auch fünfte Substanz genannt, mit ihrer Hilfe vier weitere einfache Körper (vier Elemente – Erde, Wasser, Luft, Feuer) und erweckte auf ihrer Grundlage alles andere in der Natur; So verleiht unser heiliges Verhältnis nach Platon im Timaios dem Himmel selbst formale Existenz, denn es wird der Form eines Körpers namens Dodekaeder zugeschrieben, der ohne den Goldenen Schnitt nicht gebaut werden kann. Das sind Paciolis Argumente.

Zur gleichen Zeit arbeitete Albrecht Dürer in Nordeuropa, in Deutschland, an denselben Problemen. Er skizziert eine Einleitung zum ersten Entwurf einer Abhandlung über Proportionen. Dürer schreibt. „Es ist notwendig, dass jemand, der weiß, wie man es anderen beibringt, die es brauchen. Das habe ich mir vorgenommen.“

Kepler bezeichnete den Goldenen Schnitt als sich selbst fortsetzend. „Er ist so angeordnet“, schrieb er, „dass sich die beiden Junior-Terme dieser unendlichen Proportion zum dritten Term addieren und zwei beliebige letzte Terme, wenn sie addiert werden, den ergeben.“ nächsten Term, und derselbe Anteil bleibt bis ins Unendliche bestehen.

Die Konstruktion einer Reihe von Segmenten des Goldenen Schnitts kann sowohl in steigender Richtung (aufsteigende Reihe) als auch in abnehmender Richtung (absteigende Reihe) erfolgen.

In den folgenden Jahrhunderten wurde die Regel des Goldenen Schnitts zu einem akademischen Kanon, und als im Laufe der Zeit in der Kunst ein Kampf mit der akademischen Routine begann, „warf man in der Hitze des Kampfes das Kind mit dem Wasser hinaus“. Mitte des 19. Jahrhunderts wurde der Goldene Schnitt wieder „entdeckt“. Im Jahr 1855 veröffentlichte der deutsche Forscher des Goldenen Schnitts, Professor Zeising, sein Werk „Ästhetische Forschung“. Bei Zeising musste genau das, was passierte, dem Forscher passieren, der das Phänomen als solches betrachtete, ohne Zusammenhang mit anderen Phänomenen. Er verabsolutierte die Proportionen des Goldenen Schnitts und erklärte ihn für universell für alle Phänomene der Natur und der Kunst. Zeising hatte zahlreiche Anhänger, aber es gab auch Gegner, die seine Proportionslehre zur „mathematischen Ästhetik“ erklärten.

Zeising hat einen tollen Job gemacht. Er vermaß etwa zweitausend menschliche Körper und kam zu dem Schluss, dass der Goldene Schnitt das durchschnittliche statistische Gesetz ausdrückt. Die Teilung des Körpers durch den Nabelpunkt ist der wichtigste Indikator für den Goldenen Schnitt. Die Proportionen des männlichen Körpers schwanken im durchschnittlichen Verhältnis von 13:8 = 1,625 und liegen etwas näher am Goldenen Schnitt als die Proportionen des weiblichen Körpers, wobei sich der Durchschnittswert der Proportionen im Verhältnis 8 ausdrückt: 5 = 1,6. Bei einem Neugeborenen beträgt das Verhältnis 1:1, im Alter von 13 Jahren sind es 1,6 und im Alter von 21 Jahren ist es gleich dem des Mannes. Die Proportionen des Goldenen Schnitts zeigen sich auch im Verhältnis zu anderen Körperteilen – der Länge von Schulter, Unterarm und Hand, Hand und Fingern usw.

Zeising testete die Gültigkeit seiner Theorie an griechischen Statuen. Er entwickelte die Proportionen des Apollo Belvedere bis ins kleinste Detail. Griechische Vasen, architektonische Strukturen verschiedener Epochen, Pflanzen, Tiere, Vogeleier, Musiktöne und poetische Metren wurden der Forschung unterzogen. Zeising definierte den Goldenen Schnitt und zeigte, wie er in Liniensegmenten und in Zahlen ausgedrückt wird. Als man die Zahlen erhielt, die die Längen der Segmente ausdrückten, erkannte Zeising, dass sie eine Fibonacci-Reihe darstellten, die in die eine und andere Richtung unbegrenzt fortgesetzt werden konnte. Sein nächstes Buch trug den Titel „Goldene Teilung als grundlegendes morphologisches Gesetz in Natur und Kunst“. 1876 erschien in Russland ein kleines Buch, fast eine Broschüre, in dem Zeisings Werk dargelegt wurde. Der Autor flüchtete unter den Initialen Yu.F.V. In dieser Ausgabe wird kein einziges Gemälde erwähnt.

Ende des 19. – Anfang des 20. Jahrhunderts. Es tauchten viele rein formalistische Theorien über die Verwendung des Goldenen Schnitts in Kunstwerken und Architektur auf. Mit der Entwicklung des Designs und der technischen Ästhetik weitete sich das Gesetz des Goldenen Schnitts auf die Gestaltung von Autos, Möbeln usw. aus.

Ein bisschen Geometrie

In Mathematik Anteil(lat. proportio) nennen die Gleichheit zweier Beziehungen: a:b = c:d.

Liniensegment AB lässt sich wie folgt in zwei Teile gliedern:

in zwei gleiche Teile AB: AC = AB: BC;

in zwei ungleiche Teile in beliebigem Verhältnis (solche Teile bilden keine Proportionen);

also wann AB: AC = AC: BC.

Letzteres ist die goldene Teilung bzw. Teilung des Segments im Extrem- und Durchschnittsverhältnis.

Der Goldene Schnitt ist eine solche proportionale Aufteilung eines Segments in ungleiche Teile, bei der sich das gesamte Segment auf den größeren Teil in der gleichen Weise bezieht, wie sich der größere Teil selbst auf den kleineren bezieht; oder mit anderen Worten: Das kleinere Segment ist mit dem größeren verbunden, so wie das größere mit allem

a:b = b:coder c: b = b: a.

Das praktische Kennenlernen des Goldenen Schnitts beginnt mit der Teilung eines geraden Liniensegments im Goldenen Schnitt mit Zirkel und Lineal.

Von einem Punkt IN eine Senkrechte wird gleich der Hälfte wiederhergestellt AB. Erhaltener Punkt MIT durch eine Linie mit einem Punkt verbunden A. Auf der resultierenden Linie wird ein Segment gezeichnet Sonne, endet mit einem Punkt D. Liniensegment ANZEIGE auf eine Gerade übertragen AB. Der resultierende Punkt E teilt das Segment AB im Goldenen Schnitt.

Segmente des Goldenen Schnitts werden durch einen unendlichen irrationalen Bruch ausgedrückt AE= 0,618... wenn AB als Einheit nehmen SEI\u003d 0,382 ... Aus praktischen Gründen werden häufig Näherungswerte von 0,62 und 0,38 verwendet. Wenn das Segment AB Als 100 Teile angenommen, beträgt der größte Teil des Segments 62 und der kleinere 38 Teile.

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts werden durch die Gleichung beschrieben:

x2 - x - 1 = 0.

Lösung dieser Gleichung:

Der zweite Goldene Schnitt

In der bulgarischen Zeitschrift „Vaterland“ (Nr. 10, 1983) erschien ein Artikel von Tsvetan Tsekov-Karandash „Über den zweiten Goldenen Schnitt“, der sich an den Hauptteil anschließt und ein weiteres Verhältnis von 44:56 angibt.

Ein solches Verhältnis findet sich in der Architektur und findet auch bei der Konstruktion von Bildkompositionen im länglichen Querformat statt.

Die Aufteilung erfolgt wie folgt. Liniensegment AB wird nach dem Goldenen Schnitt geteilt. Von einem Punkt MIT die Senkrechte wird wiederhergestellt CD. Radius AB Es gibt einen Punkt D, der durch eine Linie mit einem Punkt verbunden ist A. Rechter Winkel ACD ist in zwei Hälften geteilt. Von einem Punkt MIT Eine Linie wird so lange gezeichnet, bis sie eine Linie schneidet ANZEIGE. Punkt E teilt das Segment ANZEIGE im Verhältnis 56:44.

Die Abbildung zeigt die Lage der Linie des zweiten Goldenen Schnitts. Es liegt in der Mitte zwischen der goldenen Schnittlinie und der Mittellinie des Rechtecks.

goldenes Dreieck

Um Segmente des Goldenen Schnitts der aufsteigenden und absteigenden Reihe zu finden, können Sie verwenden Pentagramm.

Um ein Pentagramm zu bauen, müssen Sie ein regelmäßiges Fünfeck bauen. Die Bauweise wurde vom deutschen Maler und Grafiker Albrecht Dürer (1471...1528) entwickelt. Lassen Ö- der Mittelpunkt des Kreises A- ein Punkt auf dem Kreis und E- Mitte des Segments OA. Senkrecht zum Radius OA, an der Stelle restauriert UM, schneidet den Kreis in einem Punkt D. Markieren Sie mit einem Zirkel ein Segment auf dem Durchmesser CE = ED. Die Länge einer Seite eines regelmäßigen Fünfecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist, beträgt Gleichstrom. Segmente auf den Kreis legen Gleichstrom und erhalte fünf Punkte, um ein regelmäßiges Fünfeck zu zeichnen. Wir verbinden die Ecken des Fünfecks durch eine Diagonale und erhalten ein Pentagramm. Alle Diagonalen des Fünfecks unterteilen sich gegenseitig in Segmente, die durch den Goldenen Schnitt verbunden sind.

Jedes Ende des fünfeckigen Sterns ist ein goldenes Dreieck. Seine Seiten bilden oben einen Winkel von 36°, und die seitlich gelegte Basis teilt es proportional zum Goldenen Schnitt.

Wir zeichnen eine gerade Linie AB. vom Punkt A Legen Sie darauf dreimal ein Segment O beliebiger Größe durch den resultierenden Punkt beiseite R Zeichne eine Senkrechte zur Linie AB, auf der Senkrechten rechts und links vom Punkt R Segmente beiseite legen UM. Punkte erhalten D Und d1 mit einer geraden Linie verbinden A. Liniensegment dd1 aufs Spiel setzen Anzeige1, einen Punkt bekommen MIT. Sie hat die Linie geteilt Anzeige1 im Verhältnis zum Goldenen Schnitt. Linien Anzeige1 Und dd1 wird verwendet, um ein „goldenes“ Rechteck zu bilden.

Fibonacci-Reihe

Der Name des italienischen Mathematikermönchs Leonardo aus Pisa, besser bekannt als Fibonacci (Sohn von Bonacci), ist indirekt mit der Geschichte des Goldenen Schnitts verbunden. Er reiste viel in den Osten und führte Europa in die indischen (arabischen) Ziffern ein. Im Jahr 1202 erschien sein mathematisches Werk „Das Buch des Abakus“ (Zähltafel), in dem alle damals bekannten Probleme zusammengefasst waren. Eine der Aufgaben lautete: „Wie viele Kaninchenpaare werden in einem Jahr von einem Paar geboren?“ Als Fibonacci über dieses Thema nachdachte, baute er die folgende Zahlenreihe auf:

Monate

usw.

Kaninchenpaare

usw.

Eine Reihe von Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 usw. bekannt als Fibonacci-Reihe. Die Besonderheit der Zahlenfolge besteht darin, dass jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem dritten, gleich der Summe der beiden vorherigen ist 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 usw. und das Verhältnis benachbarter Zahlen der Reihe nähert sich dem Verhältnis der goldenen Division. Also 21:34 = 0,617 und 34:55 = 0,618. Dieses Verhältnis wird mit dem Symbol Ф bezeichnet. Nur dieses Verhältnis – 0,618:0,382 – ergibt eine kontinuierliche Unterteilung eines geraden Liniensegments im Goldenen Schnitt, wobei es bis ins Unendliche erhöht oder verringert wird, wenn das kleinere Segment mit dem größeren in Beziehung gesetzt wird der größere ist für alles.

Fibonacci befasste sich auch mit den praktischen Bedürfnissen des Handels: Wie viele Gewichte kann man zum Wiegen einer Ware am wenigsten verwenden? Fibonacci beweist, dass das folgende Gewichtungssystem optimal ist: 1, 2, 4, 8, 16...

Die Fibonacci-Reihe hätte nur ein mathematischer Vorfall bleiben können, wenn nicht alle Forscher der goldenen Teilung in der Pflanzen- und Tierwelt, ganz zu schweigen von der Kunst, diese Reihe ausnahmslos als arithmetischen Ausdruck des Gesetzes der goldenen Teilung betrachteten .

Wissenschaftler entwickelten die Theorie der Fibonacci-Zahlen und des Goldenen Schnitts aktiv weiter. Yu. Matiyasevich löst Hilberts 10. Problem mithilfe von Fibonacci-Zahlen. Es gibt elegante Methoden zur Lösung einer Reihe kybernetischer Probleme (Suchtheorie, Spiele, Programmierung) mithilfe von Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt. In den USA entsteht sogar die Mathematical Fibonacci Association, die seit 1963 eine Sonderzeitschrift herausgibt.

Die Fakten, die die Existenz des Goldenen Schnitts und seiner Derivate in der Natur bestätigen, werden vom belarussischen Wissenschaftler E.M. angeführt. Soroko im Buch „Structural Harmony of Systems“ (Minsk, „Science and Technology“, 1984). Es stellt sich beispielsweise heraus, dass gut untersuchte binäre Legierungen nur dann besondere, ausgeprägte funktionelle Eigenschaften (thermisch stabil, hart, verschleißfest, oxidationsbeständig usw.) aufweisen, wenn die spezifischen Gewichte der Ausgangskomponenten miteinander in Beziehung stehen von einem mit goldenen Proportionen. Dies ermöglichte es dem Autor, die Hypothese aufzustellen, dass die Goldenen Schnitte numerische Konstanten für selbstorganisierende Systeme sind. Diese experimentell bestätigte Hypothese kann von grundlegender Bedeutung für die Entwicklung der Synergetik sein – einem neuen Wissenschaftsgebiet, das Prozesse in selbstorganisierenden Systemen untersucht.

Prinzipien der Gestaltung in der Natur

Alles, was irgendeine Form annahm, bildete sich, wuchs, strebte danach, seinen Platz im Raum einzunehmen und sich zu erhalten. Dieser Anspruch findet seine Verwirklichung vor allem in zwei Varianten – dem Wachstum nach oben oder der Ausbreitung über die Erdoberfläche und der Spirale.

Schon Goethe betonte die Tendenz der Natur zur Spiralität. Die spiralförmige und spiralförmige Anordnung der Blätter an Baumzweigen ist schon vor langer Zeit aufgefallen. Die Spirale wurde in der Anordnung von Sonnenblumenkernen, in Tannenzapfen, Ananas, Kakteen usw. gesehen. Die gemeinsame Arbeit von Botanikern und Mathematikern hat Licht auf diese erstaunlichen Naturphänomene geworfen. Es stellte sich heraus, dass sich in der Anordnung von Blättern auf einem Ast (Phylotaxis), Sonnenblumenkernen, Tannenzapfen die Fibonacci-Reihe und damit das Gesetz des Goldenen Schnitts manifestiert. Die Spinne spinnt ihr Netz spiralförmig. Ein Hurrikan nimmt eine Spirale auf. Eine verängstigte Rentierherde zerstreut sich spiralförmig. Das DNA-Molekül ist zu einer Doppelhelix verdreht. Goethe nannte die Spirale „die Kurve des Lebens“.

Unter den Kräutern am Straßenrand wächst eine unauffällige Pflanze – Chicorée. Schauen wir es uns genauer an. Aus dem Hauptstamm wurde ein Zweig gebildet. Hier ist das erste Blatt.

Reis. 12. Chicoree

Der Vorgang macht einen starken Auswurf in den Weltraum, stoppt, gibt ein Blatt frei, das jedoch bereits kürzer als der erste ist, führt erneut einen Auswurf in den Weltraum durch, aber mit geringerer Kraft, gibt ein noch kleineres Blatt frei und wirft es erneut aus. Wenn der erste Ausreißer 100 Einheiten beträgt, beträgt der zweite 62 Einheiten, der dritte 38, der vierte 24 und so weiter. Auch die Länge der Blütenblätter unterliegt dem Goldenen Schnitt. Beim Wachstum, bei der Eroberung des Weltraums behielt die Pflanze gewisse Proportionen bei. Seine Wachstumsimpulse nahmen proportional zum Goldenen Schnitt allmählich ab.

Reis. 13.lebendgebärende Eidechse

Bei einer Eidechse fallen auf den ersten Blick angenehme Proportionen auf – die Länge ihres Schwanzes verhält sich zur Länge des restlichen Körpers mit 62 zu 38.

Sowohl in der Pflanzen- als auch in der Tierwelt bricht immer wieder die formbildende Tendenz der Natur durch – die Symmetrie in Bezug auf Wachstums- und Bewegungsrichtung. Hier erscheint der Goldene Schnitt in den Anteilen senkrecht zur Wachstumsrichtung.

Die Einteilung in symmetrische Teile und goldene Proportionen hat die Natur vorgenommen. Teilweise manifestiert sich eine Wiederholung der Struktur des Ganzen.

Reis. 14. Vogelei

Der große Goethe, ein Dichter, Naturforscher und Künstler (er zeichnete und malte in Aquarell), träumte davon, eine einheitliche Lehre über die Form, Bildung und Transformation organischer Körper zu schaffen. Er war es, der den Begriff Morphologie in den wissenschaftlichen Gebrauch einführte.

Gesetzmäßigkeiten der „goldenen“ Symmetrie manifestieren sich in den Energieübergängen von Elementarteilchen, in der Struktur einiger chemischer Verbindungen, in Planeten- und Weltraumsystemen, in den Genstrukturen lebender Organismen. Diese Muster liegen, wie oben angedeutet, in der Struktur einzelner menschlicher Organe und des Körpers als Ganzes vor und manifestieren sich auch im Biorhythmus und in der Funktion des Gehirns und der visuellen Wahrnehmung.

Goldener Schnitt und Symmetrie

Der Goldene Schnitt kann nicht isoliert und ohne Zusammenhang mit der Symmetrie betrachtet werden. Der große russische Kristallograph G.V. Wulff (1863...1925) betrachtete den Goldenen Schnitt als eine der Erscheinungsformen der Symmetrie.

Die goldene Teilung ist keine Manifestation von Asymmetrie, also etwas Gegenteil von Symmetrie. Nach modernen Vorstellungen ist die goldene Teilung eine asymmetrische Symmetrie. Die Wissenschaft der Symmetrie umfasst Konzepte wie statisch Und dynamische Symmetrie. Statische Symmetrie kennzeichnet Ruhe, Gleichgewicht und dynamische Symmetrie kennzeichnet Bewegung und Wachstum. So wird statische Symmetrie in der Natur durch die Struktur von Kristallen repräsentiert und in der Kunst charakterisiert sie Frieden, Ausgeglichenheit und Unbeweglichkeit. Dynamische Symmetrie drückt Aktivität aus, charakterisiert Bewegung, Entwicklung, Rhythmus, sie ist Lebensbeweis. Statische Symmetrie ist durch gleiche Segmente und gleiche Größen gekennzeichnet. Dynamische Symmetrie ist durch eine Zunahme oder Abnahme von Segmenten gekennzeichnet und wird in den Werten des Goldenen Schnitts ausgedrückt.

Beobachten und anwenden

Das Verständnis und die Anwendung des Prinzips des Goldenen Schnitts sollte nicht das Los einer Elite sein – dies ist das grundlegendste Wissen, aus dem die unendlich komplexen Gesetze der Harmonie und Proportionen hervorgehen. Der sinnvollen Anwendung dieser Gesetze im Alltag sind keine Grenzen gesetzt. Die Zuordnung von Haupt- und Nebengrund im Verhältnis zum Ganzen kann alles betreffen. Dies ist die Verteilung der eigenen Zeit und jedes kreativen Prozesses, einschließlich aller Arten von Kunst, Literatur, Musik, und die Bildung der eigenen Einstellung zu allen Prozessen und Phänomenen. Dies ist der Goldene, mittlere Weg, von dem die Alten sprachen.

Jeder Künstler, jeder Regisseur, jeder Werbefachmann weiß, wie man ein Bild optisch ansprechend gestaltet und nach den Gesetzen der Harmonie und Psychologie aufbaut. menschliche Wahrnehmung. Manchmal erringen die schlimmsten Feinde der Kultur bedeutende Siege, indem sie die Naturgesetze kennen. Unter dem Deckmantel von etwas Angenehmem und Liebenswertem lassen wir daher oft zu, dass die stärksten Gifte in unser Herz eindringen. So viele Menschen reden von Freiheit, während sie sich selbst freiwillig vergiften und sich später fragen, woher ihre Krankheiten und ihr Unglück kommen.

In Unwissenheit kann es keine Freiheit geben. Rauheit und Unleserlichkeit des Geschmacks müssen überwunden werden. Dies soll sowohl das Anliegen von Einzelpersonen als auch von Gemeinschaften und Staaten sein.

Zusammengestellt von R. Annenkov

Haben Sie es oft mit der Situation zu tun, dass das von Ihnen gezeichnete Element „nicht klingelt“? Stimmt etwas nicht? Falsche Proportionen?

Es sollte nicht argumentiert werden, dass es in der Natur kein Ideal gibt, denn es existiert und wurde vor langer Zeit mit Hilfe von Mathematik und Geometrie abgeleitet. Der Name der Person, die als Erster den Begriff „Goldener Schnitt“ eingeführt hat, ist unbekannt, obwohl viele glauben, dass es sich dabei um Leonardo Da Vinci handelt. Die früheste Erwähnung dieses Begriffs erfolgte 1835 dank Martin Ohm in einer Fußnote zur zweiten Auflage seiner Pure Elementary Mathematics.

Wie sieht die Formel des Goldenen Schnitts aus?

Dies ist ein harmonisches Verhältnis zweier Größen b und a, a > b, wenn a/b = (a+b)/a gilt. Eine Zahl, die dem Verhältnis a/b entspricht, wird normalerweise mit einem griechischen Großbuchstaben bezeichnet

(\displaystyle \phi )

Zu Ehren des antiken griechischen Bildhauers und Architekten Phidias.

Aus praktischen Gründen sind sie auf einen ungefähren Wert von = 1,618 oder = 1,62 begrenzt. In einem gerundeten Prozentsatz ist der Goldene Schnitt die Division eines Wertes im Verhältnis zu 62 % und 38 %.

Manchmal wird die Zahl auch die „goldene Zahl“ genannt.

Damit Sie und ich uns nicht mit Mathematik beschäftigen, schlaue Menschen habe mir einen solchen Kreis ausgedacht. Damit können Sie bereits überprüfen abgeschlossene Projekteüber das Verhältnis der Teile und den Bau neuer Teile unter Berücksichtigung des Prinzips des „Goldenen Schnitts“

Lassen Sie Ihre Projekte im Weltkulturerbe bleiben!

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