पेनरोज ट्रायंगल के बारे में आपको क्या जानने की जरूरत है? पेनरोज़ त्रिकोण। एक असंभव त्रिभुज बनाएँ कैसे एक असंभव त्रिभुज बनाएँ भ्रम

अभिवादन प्रिय पाठकोंब्लॉग साइट। रुस्तम जकीरोव संपर्क में हैं और मेरे पास आपके लिए एक और लेख है, जिसका विषय है कि पेनरोज़ त्रिकोण कैसे बनाया जाए। आज मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि असंभव त्रिभुज बनाना कितना आसान है। हम इस त्रिकोण के दो चित्र बनाएंगे, एक साधारण होगा, और दूसरा वास्तविक 3D चित्र होगा। और यह सब आश्चर्यजनक रूप से सरल होगा। आप इस त्रिभुज का वास्तविक 3D आरेखण प्राप्त कर सकते हैं। मुझे संदेह है कि यह आपको कहीं और दिखाया जाएगा, इसलिए लेख को अंत तक और बहुत ध्यान से पढ़ें।

हमारे चित्र के लिए, हमेशा की तरह, हमें चाहिए: कागज का एक टुकड़ा साधारण पेंसिल(अधिमानतः एक "मध्यम", "अन्य नरम") और कुछ रंगीन पेंसिल या फ़ेल्ट-टिप पेन।

कोई भी 3D चित्र बनाना कितना आसान है।

मैंने इस असंभव त्रिकोण को इस साधारण तस्वीर से खींचा है, जो मुझे अभी-अभी इंटरनेट पर मिला है। ये रही वो।

और फिर एक दो मिनट में मदद से मैंने इसे 3डी में ट्रांसलेट किया . तो आप लगभग किसी भी इमेज को 3D में ट्रांसलेट कर सकते हैं। जो लोग इसे सीखना चाहते हैं, उनके लिए यहां क्लिक करें।

और हम अपनी ड्राइंग पर आगे बढ़ते हैं।

हम एक त्रिभुज की सामान्य रेखाचित्र बनाते हैं।

स्टेप 1। हम मॉनिटर स्क्रीन से अनुवाद करते हैं।

एक त्रिभुज बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे। आप अपना कागज का टुकड़ा लें और इसे मॉनिटर स्क्रीन पर त्रिकोण के सामने झुकाएं और बस इसका अनुवाद करें।

और चूंकि हमारा त्रिकोण बिल्कुल भी जटिल नहीं है, इसलिए इसके सभी कोनों में केवल मुख्य बिंदुओं को रखना पर्याप्त है।

और फिर हम मूल को देखते हैं और इन बिंदुओं को शासक से जोड़ते हैं। मुझे यह इस तरह मिला।

हमारा सारा त्रिकोण तैयार है। आप इसे ऐसे ही छोड़ सकते हैं, लेकिन चलिए इसे थोड़ा और सजाते हैं। मैंने इसे रंगीन पेंसिल से किया। अपने त्रिकोण को पूरी तरह से पेंट करने के बाद, हम इसे फिर से एक साधारण सॉफ्ट पेंसिल से पूरी तरह से रेखांकित करते हैं।

इस पर हमारा सामान्य पेनरोज़ त्रिभुज पूरी तरह से तैयार है, और हम उसी त्रिभुज की ओर बढ़ते हैं।

हम एक त्रिभुज की 3D रेखाचित्र बनाते हैं।

स्टेप 1। हम अनुवाद करते हैं।

हम सामान्य योजना के अनुसार उसी योजना के अनुसार कार्य करते हैं। मैं आपको पहले से ही 3डी प्रारूप में अनुवादित एक तैयार त्रिकोण देता हूं। यहाँ वह है।

और आप इसका अनुवाद करें। हम सब कुछ उसी तरह करते हैं जैसे एक नियमित ड्राइंग के साथ। आप अपनी शीट लेते हैं, इसे मॉनिटर स्क्रीन के सामने झुकाते हैं, शीट चमकती है, और आप बस तैयार 3डी ड्राइंग को अपनी शीट पर स्थानांतरित कर देते हैं।

यहाँ मेरे साथ क्या हुआ है।

त्रिभुज का आकार बढ़ाया या घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको बस अपने मॉनिटर के पैमाने को बदलने की जरूरत है। Ctrl कुंजी दबाए रखें और अपने माउस व्हील को रोल करें।

हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि हमारी 3डी ड्राइंग पहले से ही तैयार है। इसे करने में मुझे लगभग 3 मिनट का समय लगा। इस पर, सिद्धांत रूप में, हम सुरक्षित रूप से समाप्त कर सकते हैं, लेकिन हम अपने त्रिकोण को फिर से सजाते हैं।

दिमित्री राकोव

हमारी आंखें देख नहीं सकतीं
वस्तुओं की प्रकृति।
इसलिए उन्हें मजबूर मत करो
मानसिक भ्रम।

टाइटस ल्यूक्रेटियस कार

आम अभिव्यक्ति "आंखों का धोखा" अनिवार्य रूप से गलत है। आंखें हमें धोखा नहीं दे सकतीं, क्योंकि वे वस्तु और मानव मस्तिष्क के बीच केवल एक मध्यवर्ती कड़ी हैं। ऑप्टिकल धोखे आम तौर पर हम जो देखते हैं उसके कारण उत्पन्न नहीं होते हैं, लेकिन क्योंकि हम अनजाने में तर्क करते हैं और अनैच्छिक रूप से गलती करते हैं: "आंख के माध्यम से, आंख से नहीं, मन जानता है कि दुनिया को कैसे देखना है।"

असंभव आंकड़ों की छवि के आधार पर ऑप्टिकल कला (ऑप-आर्ट) के कलात्मक प्रवाह में सबसे शानदार रुझानों में से एक इम्-आर्ट (इम्प-आर्ट, असंभव कला) है। असंभव वस्तुएं एक विमान पर चित्र हैं (कोई भी विमान द्वि-आयामी है), त्रि-आयामी संरचनाओं को दर्शाता है, जिसका अस्तित्व वास्तविक त्रि-आयामी दुनिया में असंभव है। क्लासिक और सबसे सरल आकृतियों में से एक असंभव त्रिभुज है।

एक असंभव त्रिकोण में, प्रत्येक कोना अपने आप में संभव है, लेकिन जब हम इसे संपूर्ण मानते हैं तो एक विरोधाभास उत्पन्न होता है। त्रिभुज की भुजाएँ दर्शक की ओर और उससे दूर दोनों ओर निर्देशित होती हैं, इसलिए इसके अलग-अलग हिस्से वास्तविक त्रि-आयामी वस्तु नहीं बना सकते हैं।

वास्तव में, हमारा मस्तिष्क एक विमान पर एक चित्र को त्रि-आयामी मॉडल के रूप में व्याख्या करता है। चेतना "गहराई" निर्धारित करती है जिस पर छवि का प्रत्येक बिंदु स्थित होता है। वास्तविक दुनिया के बारे में हमारे विचार कुछ असंगतता के साथ संघर्ष में हैं, और हमें कुछ धारणाएँ बनानी होंगी:

• सीधी 2D रेखाओं की व्याख्या सीधी 3D रेखाओं के रूप में की जाती है;
• दो आयामी समानांतर रेखाएंत्रि-आयामी समांतर रेखाओं के रूप में व्याख्या की गई;
• तीव्र और अधिक कोणों को परिप्रेक्ष्य में समकोण के रूप में व्याख्यायित किया जाता है;
• बाहरी रेखाएँप्रपत्र की सीमा के रूप में माना जाता है। संपूर्ण छवि बनाने के लिए यह बाहरी सीमा अत्यंत महत्वपूर्ण है।

मानव मन पहले वस्तु की एक सामान्य छवि बनाता है, और फिर अलग-अलग हिस्सों की जांच करता है। प्रत्येक कोण स्थानिक परिप्रेक्ष्य के अनुकूल है, लेकिन जब पुन: जुड़ते हैं, तो वे एक स्थानिक विरोधाभास बनाते हैं। यदि आप त्रिभुज के किसी भी कोने को बंद कर देते हैं, तो असंभवता गायब हो जाती है।

असंभव आंकड़ों का इतिहास

एक हजार साल पहले कलाकारों द्वारा स्थानिक निर्माण में त्रुटियों का सामना किया गया था। लेकिन सबसे पहले असंभव वस्तुओं का निर्माण और विश्लेषण स्वीडिश कलाकार ऑस्कर रॉयटर्सवार्ड को माना जाता है, जिन्होंने 1934 में पहला असंभव त्रिकोण चित्रित किया था, जिसमें नौ क्यूब्स शामिल थे।

		"मॉस्को", ग्राफिक्स (स्याही, पेंसिल), 50x70 सेमी, 2003

रॉयटर्सवार्ड से स्वतंत्र, अंग्रेजी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी रोजर पेनरोज़ असंभव त्रिकोण को फिर से खोजते हैं और 1958 में ब्रिटिश मनोविज्ञान जर्नल में इसकी छवि प्रकाशित करते हैं। भ्रम "गलत परिप्रेक्ष्य" का उपयोग करता है। कभी-कभी इस तरह के दृष्टिकोण को चीनी कहा जाता है, क्योंकि ड्राइंग का एक समान तरीका, जब ड्राइंग की गहराई "अस्पष्ट" होती है, अक्सर चीनी कलाकारों के कार्यों में पाई जाती थी।

"तीन घोंघे" ड्राइंग में, छोटे और बड़े क्यूब्स सामान्य आइसोमेट्रिक दृश्य में उन्मुख नहीं होते हैं। छोटा घन सामने और पीछे की तरफ बड़े घन के साथ मेल खाता है, जिसका अर्थ है, त्रि-आयामी तर्क का पालन करते हुए, इसके कुछ पक्षों के समान आयाम बड़े वाले के समान हैं। सबसे पहले, ड्राइंग एक ठोस शरीर का वास्तविक प्रतिनिधित्व प्रतीत होता है, लेकिन जैसे-जैसे विश्लेषण आगे बढ़ता है, इस वस्तु के तार्किक विरोधाभास सामने आते हैं।

ड्राइंग "तीन घोंघे" दूसरी प्रसिद्ध असंभव आकृति - असंभव घन (बॉक्स) की परंपराओं को जारी रखता है।

"आईक्यू", ग्राफिक्स (स्याही, पेंसिल), 50x70 सेमी, 2001		"उतार व चढ़ाव", एम Escher

विभिन्न वस्तुओं का संयोजन भी गंभीर नहीं "आईक्यू" (बुद्धिमत्ता भागफल) आकृति में पाया जा सकता है। यह दिलचस्प है कि कुछ लोग असंभव वस्तुओं को इस तथ्य के कारण नहीं देखते हैं कि उनकी चेतना त्रि-आयामी वस्तुओं के साथ सपाट चित्रों की पहचान करने में सक्षम नहीं है।

डोनाल्ड ई. सिमानेक ने कहा कि दृश्य विरोधाभासों को समझना उस तरह के लक्षणों में से एक है रचनात्मकतासर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और कलाकारों के पास। विरोधाभासी वस्तुओं के साथ कई कार्यों को "बौद्धिक गणितीय खेल" के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। आधुनिक विज्ञानदुनिया के 7-आयामी या 26-आयामी मॉडल की बात करता है। ऐसी दुनिया को केवल गणितीय सूत्रों की मदद से मॉडल करना संभव है, एक व्यक्ति बस इसकी कल्पना करने में सक्षम नहीं है। और यहाँ वे उपयोगी हैं। असंभव आंकड़े. दार्शनिक दृष्टिकोण से, वे एक अनुस्मारक के रूप में कार्य करते हैं कि किसी भी घटना (सिस्टम विश्लेषण, विज्ञान, राजनीति, अर्थशास्त्र, आदि में) को सभी जटिल और गैर-स्पष्ट संबंधों में माना जाना चाहिए।

पेंटिंग "द इम्पॉसिबल अल्फाबेट" में विभिन्न प्रकार की असंभव (और संभव) वस्तुओं को प्रस्तुत किया गया है।

तीसरी लोकप्रिय असंभव आकृति पेनरोज़ द्वारा बनाई गई अविश्वसनीय सीढ़ी है। आप इसके साथ लगातार या तो चढ़ेंगे (वामावर्त) या उतरेंगे (घड़ी की दिशा में)। पेनरोज़ मॉडल ने आधार बनाया प्रसिद्ध पेंटिंगएम। एस्चर "ऊपर और नीचे" ("आरोही और अवरोही")।

वस्तुओं का एक और समूह है जिसे कार्यान्वित नहीं किया जा सकता है। क्लासिक आकृति असंभव त्रिशूल या "शैतान का कांटा" है।

तस्वीर का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने पर, आप देख सकते हैं कि तीन दांत धीरे-धीरे एक ही आधार पर दो में बदल जाते हैं, जिससे संघर्ष होता है। हम ऊपर और नीचे के दांतों की संख्या की तुलना करते हैं और इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि वस्तु असंभव है।

क्या दिमागी खेलों की तुलना में असंभव चित्रों के लिए कोई बड़ा उपयोग है? कुछ अस्पतालों में, असंभव वस्तुओं की छवियों को विशेष रूप से लटका दिया जाता है, क्योंकि उनकी परीक्षा रोगियों को लंबे समय तक ले जा सकती है। ऐसे चित्रों को बॉक्स ऑफिस, पुलिस और अन्य जगहों पर टांगना तर्कसंगत होगा, जहां अपनी बारी का इंतजार करना कभी-कभी हमेशा के लिए खत्म हो जाता है। चित्र एक प्रकार के "क्रोनोफेज" के रूप में कार्य कर सकते हैं, अर्थात। समय गवांने वाले।

असंभव त्रिभुज आश्चर्यजनक गणितीय विरोधाभासों में से एक है। पहली नज़र में आप उस पर एक सेकेंड के लिए भी शक नहीं कर सकते। वास्तविक अस्तित्व. हालाँकि, यह केवल एक भ्रम है, एक धोखा है। और इस तरह के भ्रम की संभावना हमें गणित द्वारा समझाई जाएगी!

पेनरोज़ की खोज

1958 में, ब्रिटिश साइकोलॉजिकल जर्नल ने एल. पेनरोज़ और आर. पेनरोज़ का एक लेख प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने विचार का परिचय दिया नया प्रकारऑप्टिकल इल्यूजन, जिसे उन्होंने "असंभव त्रिकोण" कहा।

नेत्रहीन असंभव त्रिकोण को एक संरचना के रूप में माना जाता है जो वास्तव में त्रि-आयामी अंतरिक्ष में मौजूद है और आयताकार सलाखों से बना है। लेकिन यह सिर्फ एक दृष्टि भ्रम है। असंभव त्रिभुज का वास्तविक मॉडल बनाना असंभव है।

पेनरोज़ लेख में एक असंभव त्रिकोण को दर्शाने के लिए कई विकल्प शामिल थे। - इसकी "क्लासिक" प्रस्तुति।

कौन से तत्व एक असंभव त्रिभुज बनाते हैं?

अधिक सटीक रूप से, यह हमें किन तत्वों से निर्मित लगता है? डिजाइन एक आयताकार कोने पर आधारित है, जो दो समान आयताकार सलाखों को समकोण पर जोड़कर प्राप्त किया जाता है। ऐसे तीन कोनों की आवश्यकता होती है, और सलाखों, इसलिए छह टुकड़े। इन कोनों को एक निश्चित तरीके से एक दूसरे से "जुड़ा हुआ" होना चाहिए ताकि वे एक बंद श्रृंखला बना सकें। क्या होता है असंभव त्रिकोण।

पहले कोने को क्षैतिज तल में रखें। हम इसके एक किनारे को ऊपर की ओर निर्देशित करते हुए इसके दूसरे कोने को जोड़ देंगे। अंत में, हम इस दूसरे कोने में एक तीसरा कोना जोड़ते हैं ताकि इसका किनारा मूल क्षैतिज तल के समानांतर हो। इस स्थिति में, पहले और तीसरे कोने के दो किनारे समानांतर होंगे और अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित होंगे।

यदि हम बार को इकाई लंबाई के एक खंड के रूप में मानते हैं, तो पहले कोने की सलाखों के सिरों में निर्देशांक होते हैं, और, दूसरे कोने - और, तीसरे - और। हमें एक "मुड़" संरचना मिली जो वास्तव में त्रि-आयामी अंतरिक्ष में मौजूद है।

और अब इसे मानसिक रूप से देखने की कोशिश करते हैं विभिन्न बिंदुअंतरिक्ष। कल्पना कीजिए कि यह एक बिंदु से, दूसरे से, तीसरे से कैसा दिखता है। अवलोकन के बिंदु को बदलते समय, ऐसा लगेगा कि हमारे कोनों के दो "अंत" किनारे एक दूसरे के सापेक्ष चलते हैं। ऐसी स्थिति खोजना मुश्किल नहीं है जिसमें वे जुड़ेंगे।

लेकिन अगर पसलियों के बीच की दूरी कोनों से उस बिंदु तक की दूरी से बहुत कम है जहां से हम अपनी संरचना को देख रहे हैं, तो हमारे लिए दोनों पसलियों की मोटाई समान होगी, और यह विचार उत्पन्न होगा कि ये दोनों पसलियां वास्तव में एक हैं एक दूसरे की निरंतरता। यह स्थिति 4 में दिखाई गई है।

वैसे, अगर हम एक साथ दर्पण में संरचना के प्रतिबिंब को देखें, तो हमें वहां एक बंद सर्किट नहीं दिखाई देगा।

और अवलोकन के चुने हुए बिंदु से, हम अपनी आँखों से एक चमत्कार देखते हैं जो हुआ है: तीन कोनों की एक बंद श्रृंखला है। बस देखने के बिंदु को मत बदलो ताकि यह भ्रम न टूटे। अब आप किसी ऐसी वस्तु को चित्रित कर सकते हैं जिसे आप देखते हैं या पाए गए बिंदु पर एक कैमरा लेंस रख सकते हैं और एक असंभव वस्तु की तस्वीर प्राप्त कर सकते हैं।

इस घटना में दिलचस्पी लेने वाले पहले पेनरोज़ थे। उन्होंने त्रि-आयामी अंतरिक्ष और त्रि-आयामी वस्तुओं को द्वि-आयामी विमान पर मानचित्रण करते समय उत्पन्न होने वाली संभावनाओं का उपयोग किया और कुछ डिज़ाइन अनिश्चितता पर ध्यान आकर्षित किया - तीन कोनों का एक खुला निर्माण एक बंद श्रृंखला के रूप में माना जा सकता है।

पेनरोज़ त्रिभुज की असंभवता का प्रमाण

एक विमान पर त्रि-आयामी वस्तुओं की द्वि-आयामी छवि की विशेषताओं का विश्लेषण करते हुए, हम समझ गए कि इस प्रदर्शन की विशेषताएं एक असंभव त्रिभुज की ओर कैसे ले जाती हैं। शायद किसी को विशुद्ध गणितीय प्रमाण में दिलचस्पी होगी।

यह साबित करना बेहद आसान है कि एक असंभव त्रिभुज मौजूद नहीं है, क्योंकि इसका प्रत्येक कोण सही है, और उनका योग 180 डिग्री "रखा" के बजाय 270 डिग्री है।

इसके अलावा, भले ही हम 90 डिग्री से कम कोनों से एक साथ चिपके हुए एक असंभव त्रिकोण पर विचार करें, तो इस मामले में हम यह साबित कर सकते हैं कि असंभव त्रिकोण मौजूद नहीं है।

हम तीन सपाट चेहरे देखते हैं। वे जोड़े में सीधी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। इन चेहरों वाले विमान जोड़ीदार ऑर्थोगोनल हैं, इसलिए वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

इसके अलावा, विमानों के पारस्परिक चौराहे की रेखाएँ इस बिंदु से होकर गुज़रनी चाहिए। इसलिए, सीधी रेखाएँ 1, 2, 3 को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना चाहिए।

लेकिन ऐसा नहीं है। इसलिए, प्रस्तुत निर्माण असंभव है।

"असंभव" कला

इस या उस विचार का भाग्य - वैज्ञानिक, तकनीकी, राजनीतिक - कई परिस्थितियों पर निर्भर करता है। और कम से कम उस रूप में नहीं जिसमें यह विचार प्रस्तुत किया जाएगा, किस छवि में यह आम जनता को दिखाई देगा। क्या अवतार शुष्क और देखने में कठिन होगा, या, इसके विपरीत, विचार की अभिव्यक्ति उज्ज्वल होगी, हमारी इच्छा के विरुद्ध भी हमारा ध्यान आकर्षित करेगी।

असंभव त्रिकोण का भाग्य शुभ होता है। 1961 में डच चित्रकारमोरिट्ज़ एस्चर ने लिथोग्राफ पूरा किया जिसे उन्होंने द वाटरफॉल कहा। कलाकार एक असंभव त्रिभुज के विचार से लेकर उसके अद्भुत कलात्मक अवतार तक एक लंबा लेकिन तेज़ रास्ता तय कर चुका है। याद कीजिए कि पेनरोज़ लेख 1958 में छपा था।

"झरना" के केंद्र में दो असंभव त्रिकोण दिखाए गए हैं। एक त्रिभुज बड़ा है, दूसरा त्रिभुज उसके भीतर स्थित है। ऐसा लग सकता है कि तीन समान असंभव त्रिकोण दर्शाए गए हैं। लेकिन यह बात नहीं है, प्रस्तुत डिजाइन काफी जटिल है।

एक सरसरी नज़र में, इसकी बेरुखी हर किसी को तुरंत दिखाई नहीं देगी, क्योंकि प्रस्तुत किया गया हर कनेक्शन संभव है। जैसा कि वे कहते हैं, स्थानीय रूप से, अर्थात्, ड्राइंग के एक छोटे से क्षेत्र में, ऐसा डिज़ाइन संभव है ... लेकिन सामान्य तौर पर, यह असंभव है! इसके अलग-अलग टुकड़े आपस में मेल नहीं खाते, एक-दूसरे से सहमत नहीं होते।

और इसे समझने के लिए हमें कुछ बौद्धिक और दृश्य प्रयास करने होंगे।

आइए संरचना के किनारों के साथ एक यात्रा करें। यह पथ इस मायने में उल्लेखनीय है कि इसके साथ, जैसा कि हमें लगता है, क्षैतिज तल के सापेक्ष स्तर अपरिवर्तित रहता है। इस रास्ते पर चलते हुए हम न तो ऊपर जाते हैं और न ही नीचे जाते हैं।

और सब कुछ ठीक होगा, परिचित, अगर रास्ते के अंत में - अर्थात् बिंदु पर - हम यह नहीं पाएंगे कि, शुरुआती बिंदु के सापेक्ष, हम किसी तरह रहस्यमय तरीके से अनजाने में ऊर्ध्वाधर ऊपर चढ़ गए!

इस विरोधाभासी परिणाम पर आने के लिए, हमें इस रास्ते को चुनना होगा, और यहां तक ​​कि क्षैतिज विमान के सापेक्ष स्तर की निगरानी भी करनी होगी ... यह आसान काम नहीं है। एस्चर अपने फैसले में ... पानी की मदद के लिए आया था। आइए फ्रांज़ शूबर्ट के अद्भुत गायन चक्र "द ब्यूटीफुल मिलर वुमन" के आंदोलन के बारे में गीत याद करें:

और पहले कल्पना में, और फिर एक अद्भुत गुरु के हाथ में, नंगी और सूखी संरचनाएं एक्वाडक्ट्स में बदल जाती हैं, जिसके माध्यम से पानी की साफ और तेज धाराएं चलती हैं। उनका आंदोलन हमारी टकटकी पर कब्जा कर लेता है, और अब, हमारी इच्छा के विरुद्ध, हम नीचे की ओर दौड़ते हैं, रास्ते के सभी मोड़ और मोड़ के साथ, साथ में हम धारा को तोड़ते हैं, एक पानी की चक्की के ब्लेड पर गिरते हैं, फिर नीचे की ओर भागते हैं। .

हम एक बार, दो बार, एक तिहाई ... इस रास्ते पर चलते हैं और तभी हमें एहसास होता है: नीचे और एस, हम किसी तरह शानदार तरीके सेचलो ऊपर उठो! प्रारंभिक आश्चर्य एक प्रकार की बौद्धिक बेचैनी में विकसित होता है। ऐसा लगता है कि हम किसी तरह के मज़ाक के शिकार हो गए हैं, किसी तरह के मज़ाक की वस्तु जो अभी तक समझ में नहीं आई है।

और फिर से हम इस रास्ते को एक अजीब नाली के साथ दोहराते हैं, अब धीरे-धीरे, सावधानी के साथ, जैसे कि एक विरोधाभासी तस्वीर से एक पकड़ से डरते हुए, गंभीर रूप से इस रहस्यमय रास्ते पर होने वाली हर चीज को देखते हुए।

हम उस रहस्य को उजागर करने की कोशिश कर रहे हैं जिसने हमें चकित कर दिया है, और हम इसकी कैद से तब तक नहीं बच सकते जब तक कि हम छिपे हुए झरने को नहीं खोज लेते जो इसके आधार पर स्थित है और अकल्पनीय बवंडर को निरंतर गति में लाता है।

कलाकार विशेष रूप से जोर देता है, हम पर अपने चित्रों की धारणा को वास्तविक त्रि-आयामी वस्तुओं की छवियों के रूप में लागू करता है। त्रि-आयामीता पर टावरों पर काफी वास्तविक पॉलीहेड्रॉन की छवि, जलसेतु की दीवारों में प्रत्येक ईंट के सबसे सटीक प्रतिनिधित्व के साथ ईंटवर्क, पृष्ठभूमि में बगीचों के साथ बढ़ते छतों पर जोर दिया जाता है। जो हो रहा है उसकी वास्तविकता को दर्शकों को समझाने के लिए सब कुछ डिज़ाइन किया गया है। और कला और उत्कृष्ट प्रौद्योगिकी के लिए धन्यवाद, यह लक्ष्य हासिल किया गया है।

जब हम उस कैद से बाहर निकलते हैं जिसमें हमारी चेतना गिरती है, हम तुलना करना शुरू करते हैं, तुलना करते हैं, विश्लेषण करते हैं, हम पाते हैं कि इस तस्वीर का आधार, डिजाइन सुविधाओं में छिपा हुआ है।

और हमें एक और मिला - "असंभव त्रिकोण" की असंभवता का "भौतिक" प्रमाण: यदि ऐसा त्रिकोण मौजूद था, तो एस्चर का "झरना" भी मौजूद होगा, जो अनिवार्य रूप से एक सतत गति मशीन है। लेकिन एक सतत गति मशीन असंभव है, इसलिए "असंभव त्रिकोण" भी असंभव है। और, शायद, यह "सबूत" सबसे ठोस है।

मोरिट्ज़ एस्चर को किस चीज़ ने एक विशिष्ट व्यक्ति बनाया, जिसका कला में कोई स्पष्ट पूर्ववर्ती नहीं था और जिसकी नकल नहीं की जा सकती? यह विमानों और आयतन का एक संयोजन है, करीबी ध्यानमाइक्रोवर्ल्ड के विचित्र रूपों के लिए - जीवित और निर्जीव, साधारण चीजों पर असामान्य दृष्टिकोण। उनकी रचनाओं का मुख्य प्रभाव परिचित वस्तुओं के बीच असंभव संबंधों के उभरने का प्रभाव है। पहली नजर में ये स्थितियाँ डरा सकती हैं और मुस्कान का कारण बन सकती हैं। आप कलाकार द्वारा प्रदान की जाने वाली मस्ती को खुशी से देख सकते हैं, या आप द्वंद्वात्मकता की गहराई में गंभीरता से उतर सकते हैं।

मोरिट्ज़ एस्चर ने दिखाया कि दुनिया उस तरह से नहीं हो सकती है जैसे हम इसे देखते हैं और इसे देखने के आदी हैं - आपको बस इसे एक अलग, नए कोण से देखने की ज़रूरत है!

मोरिट्ज़ एस्चर

एक कलाकार की तुलना में एक वैज्ञानिक के रूप में मोरिट्ज़ एस्चर अधिक भाग्यशाली थे। उनके उत्कीर्णन और लिथोग्राफ को सामान्य ज्ञान की अवहेलना करने वाले प्रमेयों या मूल प्रतिउदाहरणों को साबित करने की कुंजी के रूप में देखा गया था। सबसे खराब रूप से, उन्हें क्रिस्टलोग्राफी, समूह सिद्धांत, संज्ञानात्मक मनोविज्ञान या कंप्यूटर ग्राफिक्स पर वैज्ञानिक ग्रंथों के उत्कृष्ट उदाहरण के रूप में माना जाता था। मोरिट्ज़ एस्चर ने अंतरिक्ष-समय के संबंधों और उनकी पहचान के क्षेत्र में काम किया, उन्होंने मोज़ाइक के बुनियादी पैटर्न का इस्तेमाल किया, उन पर परिवर्तन लागू किया। यह महागुरु दृष्टिभ्रम. एस्चर के उत्कीर्णन सूत्रों की दुनिया नहीं, बल्कि दुनिया की सुंदरता को दर्शाते हैं। उनका बौद्धिक गोदाम मौलिक रूप से अतियथार्थवादियों की अतार्किक रचनाओं का विरोध करता है।

डच कलाकार मोरिट्ज़ कॉर्नेलियस एस्चर का जन्म 17 जून, 1898 को हॉलैंड प्रांत में हुआ था। जिस घर में एस्चर का जन्म हुआ था वह अब एक संग्रहालय है।

1907 से, मोरिट्ज़ बढ़ईगीरी का अध्ययन कर रहे हैं और पियानो बजा रहे हैं, अध्ययन कर रहे हैं उच्च विद्यालय. ड्राइंग को छोड़कर सभी विषयों में मोरिट्ज़ के ग्रेड खराब थे। कला शिक्षक ने लड़के की प्रतिभा पर ध्यान दिया और उसे लकड़बग्घा बनाना सिखाया।

1916 में, एस्चर ने अपना पहला ग्राफिक काम किया, बैंगनी लिनोलियम पर एक उत्कीर्णन - अपने पिता जी ए एस्चर का एक चित्र। वह कलाकार गर्ट स्टिगमैन की कार्यशाला का दौरा करता है, जिसके पास एक प्रिंटिंग प्रेस था। Escher की पहली नक्काशी इसी मशीन पर छपी थी।

1918-1919 में Escher ने डेल्फ़्ट के डच शहर में तकनीकी कॉलेज में भाग लिया। अपनी पढ़ाई जारी रखने के लिए उन्हें सैन्य सेवा से मोहलत मिलती है, लेकिन खराब स्वास्थ्य के कारण मोरिट्ज़ सामना नहीं कर सके पाठ्यक्रम, और निष्कासित कर दिया गया। नतीजतन, वह कभी प्राप्त नहीं हुआ उच्च शिक्षा. वह हरलेम में स्कूल ऑफ आर्किटेक्चर एंड अलंकरण में अध्ययन करता है, जहां वह सैमुअल जेसेरिन डे मेसकाइट से ड्राइंग सबक लेता है, जिसका एस्चर के जीवन और कार्य पर प्रारंभिक प्रभाव था।

1921 में एस्चर परिवार ने रिवेरा और इटली का दौरा किया। भूमध्यसागरीय जलवायु की वनस्पतियों और फूलों से मोहित होकर मोरिट्ज़ ने कैक्टि और जैतून के पेड़ों के विस्तृत चित्र बनाए। उन्होंने पहाड़ी परिदृश्य के कई रेखाचित्रों को रेखाचित्र बनाया, जो बाद में उनके काम का आधार बना। बाद में, वह लगातार इटली लौट आए, जो उनके लिए प्रेरणा स्रोत के रूप में काम करेगा।

एस्चर ने अपने लिए एक नई दिशा में प्रयोग करना शुरू किया, फिर भी उनके कार्यों में दर्पण चित्र, क्रिस्टल आकृतियाँ और गोले हैं।

मोरिट्ज़ के लिए बिसवां दशा का अंत बहुत ही फलदायी साबित हुआ। उनका काम हॉलैंड में कई प्रदर्शनियों में दिखाया गया था, और 1929 तक उनकी लोकप्रियता इस स्तर तक पहुंच गई थी कि हॉलैंड और स्विट्जरलैंड में एक वर्ष में पांच एकल प्रदर्शनियां आयोजित की गईं। यह इस अवधि के दौरान था कि एस्चर के चित्रों को पहले यांत्रिक और "तार्किक" कहा जाता था।

आशेर बहुत यात्रा करता है। इटली और स्विट्जरलैंड, बेल्जियम में रहता है। वह मूरिश मोज़ाइक का अध्ययन करता है, लिथोग्राफ बनाता है, उत्कीर्णन करता है। यात्रा रेखाचित्रों के आधार पर, वह असंभव वास्तविकता स्टिल लाइफ विद स्ट्रीट की अपनी पहली पेंटिंग बनाता है।

तीस के दशक के उत्तरार्ध में, एस्चर ने मोज़ाइक और परिवर्तनों के साथ प्रयोग करना जारी रखा। वह एक दूसरे की ओर उड़ने वाले दो पक्षियों के रूप में एक पच्चीकारी बनाता है, जिसने पेंटिंग "डे एंड नाइट" का आधार बनाया।

मई 1940 में, नाजियों ने हॉलैंड और बेल्जियम पर कब्जा कर लिया और 17 मई को ब्रसेल्स भी कब्जे वाले क्षेत्र में गिर गया, जहां उस समय एस्चर और उनका परिवार रहता था। वे वर्ना में एक घर ढूंढते हैं और फरवरी 1941 में वहां चले जाते हैं। अपने दिनों के अंत तक, एस्चर इसी शहर में रहेगा।

1946 में, Escher को गुरुत्वाकर्षण मुद्रण तकनीक में दिलचस्पी हो गई। और यद्यपि यह तकनीक पहले एस्चर द्वारा उपयोग की जाने वाली तकनीक की तुलना में बहुत अधिक जटिल थी और चित्र बनाने के लिए अधिक समय की आवश्यकता थी, परिणाम प्रभावशाली थे - पतली रेखाएँ और सटीक छाया प्रजनन। सबसे ज्यादा प्रसिद्ध कृतियांग्रेव्योर प्रिंटिंग में "ड्यूड्रॉप" 1948 में पूरा हुआ था।

1950 में, मोरिट्ज़ एस्चर ने व्याख्याता के रूप में लोकप्रियता हासिल की। फिर, 1950 में, संयुक्त राज्य अमेरिका में उनकी पहली एकल प्रदर्शनी आयोजित की गई और उनके काम को खरीदा जाने लगा। 27 अप्रैल, 1955 मोरिट्ज़ एस्चर को नाइट की उपाधि दी जाती है और वह एक रईस बन जाता है।

1950 के दशक के मध्य में, एस्चर ने मोज़ाइक को अनंत तक पहुँचने वाले आंकड़ों के साथ जोड़ा।

60 के दशक की शुरुआत में, Escher की कृतियों वाली पहली पुस्तक, Grafiek en Tekeningen प्रकाशित हुई थी, जिसमें लेखक ने स्वयं 76 कार्यों पर टिप्पणी की थी। इस पुस्तक ने रूस और कनाडा के कुछ गणितज्ञों और क्रिस्टलोग्राफरों के बीच समझ हासिल करने में मदद की है।

अगस्त 1960 में एशर ने कैंब्रिज में क्रिस्टलोग्राफी पर व्याख्यान दिया। एस्चर के काम के गणितीय और क्रिस्टलोग्राफिक पहलू बहुत लोकप्रिय हो रहे हैं।

1970 के बाद नई शृंखला Escher के संचालन में चले गए नया घरलारेन में, जिसका एक स्टूडियो था, लेकिन खराब स्वास्थ्य ने कड़ी मेहनत करना असंभव बना दिया।

मोरिट्ज़ एस्चर का 1971 में 73 वर्ष की आयु में निधन हो गया। एम.सी. एस्चर की दुनिया को अनुवादित देखने के लिए एस्चर काफी समय तक जीवित रहे अंग्रेजी भाषाऔर इससे बहुत प्रसन्न हुए।

गणितज्ञों और प्रोग्रामरों की वेबसाइटों पर तरह-तरह के असंभव चित्र मिलते हैं। अधिकांश पूर्ण संस्करणहमने जिन लोगों को देखा, उनमें से हमारी राय में, व्लाद अलेक्सेव की साइट है

यह साइट न केवल एक विस्तृत श्रृंखला प्रस्तुत करती है प्रसिद्ध चित्र, जिसमें एम. एस्चेर भी शामिल है, लेकिन साथ ही एनिमेटेड चित्र, असंभव जानवरों के मज़ेदार चित्र, सिक्के, टिकट आदि भी शामिल हैं। यह साइट रहती है, इसे समय-समय पर अद्यतन किया जाता है और अद्भुत चित्रों के साथ भर दिया जाता है।

कई असंभव आकृतियों का आविष्कार किया गया - एक सीढ़ी, एक त्रिकोण और एक एक्स-प्रोंग। त्रि-आयामी छवि में ये आंकड़े वास्तव में काफी वास्तविक हैं। लेकिन जब एक कलाकार कागज़ पर आयतन प्रस्तुत करता है, तो वस्तुएँ असंभव प्रतीत होती हैं। जिस त्रिकोण को "आदिवासी" भी कहा जाता है, वह इस बात का अद्भुत उदाहरण बन गया है कि जब आप प्रयास करते हैं तो असंभव कैसे संभव हो जाता है।

ये सभी आंकड़े सुंदर भ्रम हैं। मानव प्रतिभा की उपलब्धियों का उपयोग उन कलाकारों द्वारा किया जाता है जो इम्प आर्ट की शैली में पेंटिंग करते हैं।

कुछ भी असंभव नहीं है। पेनरोज़ त्रिभुज के बारे में भी यही कहा जा सकता है। यह एक ज्यामितीय रूप से असंभव आकृति है, जिसके तत्वों को जोड़ा नहीं जा सकता। फिर भी असंभव त्रिकोण संभव हो गया। स्वीडिश चित्रकार ऑस्कर रॉयटर्सवार्ड ने 1934 में दुनिया को क्यूब्स के एक असंभव त्रिकोण के साथ प्रस्तुत किया। O. Reutersvärd को इस दृश्य भ्रम का खोजकर्ता माना जाता है। इस आयोजन के सम्मान में, डाक टिकटस्वीडन ने इस चित्र को बाद में छापा।

और 1958 में, गणितज्ञ रोजर पेनरोज़ ने असंभव आंकड़ों के बारे में एक अंग्रेजी पत्रिका में एक प्रकाशन प्रकाशित किया। यह वह था जिसने भ्रम का वैज्ञानिक मॉडल बनाया था। रोजर पेनरोज़ एक अविश्वसनीय वैज्ञानिक थे। उन्होंने सापेक्षता के सिद्धांत के साथ-साथ आकर्षक क्वांटम सिद्धांत पर शोध किया। उन्हें एस. हॉकिंग के साथ वुल्फ पुरस्कार से सम्मानित किया गया था।

यह ज्ञात है कि इस लेख के प्रभाव में कलाकार मौरिट्स एस्चर ने अपने अद्भुत काम - लिथोग्राफ "वाटरफॉल" को चित्रित किया। लेकिन क्या पेनरोज़ त्रिभुज बनाना संभव है? यदि संभव हो तो इसे कैसे करें?

ट्राइबर और हकीकत

हालांकि यह आंकड़ा असंभव माना जाता है, फिर भी अपने हाथों से पेनरोज़ त्रिकोण बनाना पहले से कहीं ज्यादा आसान है। इसे कागज से बनाया जा सकता है। ओरिगेमी प्रेमी केवल त्रि-बार को अनदेखा नहीं कर सकते थे और फिर भी अपने हाथों में एक ऐसी चीज़ बनाने और धारण करने का एक तरीका खोज लिया जो पहले एक वैज्ञानिक की अपमानजनक कल्पना की तरह लगती थी।

हालाँकि, जब हम तीन लंब रेखाओं से त्रि-आयामी वस्तु के प्रक्षेपण को देखते हैं, तो हम अपनी आँखों से धोखा खा जाते हैं। प्रेक्षक को ऐसा प्रतीत होता है कि वह एक त्रिभुज देखता है, हालाँकि वास्तव में ऐसा नहीं है।

DIY ज्यामिति

ट्राइबर ट्राइएंगल, जैसा कहा गया है, वास्तव में ट्राइएंगल नहीं है। पेनरोज़ त्रिभुज एक भ्रम है। केवल एक निश्चित कोण पर वस्तु समबाहु त्रिभुज की तरह दिखती है। हालाँकि, वस्तु अपने प्राकृतिक रूप में एक घन के 3 चेहरे हैं। इस तरह के एक सममितीय प्रक्षेपण पर, 2 कोण समतल पर मिलते हैं: दर्शक से निकटतम और सबसे दूर।

जैसे ही आप इस वस्तु को उठाते हैं, ऑप्टिकल भ्रम, ज़ाहिर है, जल्दी से प्रकट होता है। और छाया भी भ्रम को प्रकट करती है, क्योंकि ट्राइबर की छाया स्पष्ट रूप से दर्शाती है कि कोण वास्तविकता में मेल नहीं खाते हैं।

पेपर ट्राइबर। योजना

कागज से अपने हाथों से पेनरोज़ त्रिकोण कैसे बनाएं? क्या इस मॉडल के लिए कोई योजनाबद्ध हैं? आज तक, ऐसे असंभव त्रिकोण को मोड़ने के लिए 2 लेआउट का आविष्कार किया गया है। ज्यामिति की मूल बातें आपको बताती हैं कि वास्तव में किसी वस्तु को कैसे मोड़ना है।

पेनरोज़ त्रिकोण को अपने हाथों से फोल्ड करने के लिए, आपको केवल 10-20 मिनट आवंटित करने की आवश्यकता होगी। आपको कई कटों के लिए गोंद, कैंची तैयार करने की आवश्यकता है और कागज जिस पर आरेख मुद्रित है।

ऐसे रिक्त स्थान से, सबसे लोकप्रिय असंभव त्रिभुज प्राप्त होता है। ओरिगेमी शिल्प बनाना बहुत कठिन नहीं है। इसलिए, यह निश्चित रूप से पहली बार निकलेगा, और यहां तक ​​\u200b\u200bकि एक स्कूली बच्चे के लिए भी जिसने अभी-अभी ज्यामिति का अध्ययन करना शुरू किया है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह एक बहुत अच्छा शिल्प निकला। दूसरा ब्लैंक अलग दिखता है और अलग तरह से फोल्ड होता है, लेकिन पेनरोज ट्रायंगल खुद ही एक जैसा दिखता है।

पेपर पेनरोज़ त्रिभुज बनाने के चरण।

आपके लिए सुविधाजनक 2 रिक्त स्थानों में से एक चुनें, फ़ाइल को कॉपी करें और प्रिंट करें। हम यहां दूसरे लेआउट मॉडल का उदाहरण देते हैं, जिसे थोड़ा आसान किया जाता है।

ट्राइबर ओरिगेमी ब्लैंक में पहले से ही सभी आवश्यक सुझाव हैं। वास्तव में, सर्किट के लिए निर्देशों की आवश्यकता नहीं होती है। यह केवल मोटे कागज के वाहक पर डाउनलोड करने के लिए पर्याप्त है, अन्यथा यह काम करने के लिए असुविधाजनक होगा और आंकड़ा काम नहीं करेगा। यदि कार्डबोर्ड पर तुरंत प्रिंट करना संभव नहीं है, तो आपको नई सामग्री के लिए एक स्केच संलग्न करना होगा और ड्राइंग को समोच्च के साथ काटना होगा। सुविधा के लिए, आप पेपर क्लिप के साथ बन्धन कर सकते हैं।

आगे क्या करना है? चरणों में पेनरोज़ त्रिकोण को अपने हाथों से कैसे मोड़ें? आपको इस कार्य योजना का पालन करना होगा:

1. हम निर्देशित करते हैं विपरीत पक्षनिर्देशों के अनुसार उन पंक्तियों को कैंची से काटें जहाँ आप झुकना चाहते हैं। सभी पंक्तियों को मोड़ो
2. जहां आवश्यक हो, हम कटौती करते हैं।
3. हम पीवीए की मदद से उन कतरों को गोंद करते हैं जिनका उद्देश्य एक पूरे में भाग को जकड़ना है।

तैयार मॉडल को किसी भी रंग में फिर से रंगा जा सकता है, या आप पहले से काम के लिए रंगीन कार्डबोर्ड ले सकते हैं। लेकिन भले ही वस्तु श्वेत पत्र से बनी हो, वैसे भी, हर कोई जो आपके लिविंग रूम में पहली बार प्रवेश करता है, निश्चित रूप से इस तरह के शिल्प से हतोत्साहित होगा।

त्रिभुज पैटर्न

पेनरोज़ त्रिभुज कैसे बनाएं? हर कोई ओरिगेमी पसंद नहीं करता है, लेकिन बहुत से लोग आकर्षित करना पसंद करते हैं।

आरंभ करने के लिए, किसी भी आकार का एक नियमित वर्ग दर्शाया गया है। फिर अंदर एक त्रिभुज खींचा जाता है, जिसका आधार वर्ग का निचला भाग होता है। एक छोटा आयत प्रत्येक कोने में फिट बैठता है, जिसके सभी किनारे मिट जाते हैं; केवल वे भुजाएँ बची हैं जो त्रिभुज से सटी हुई हैं। लाइनों को सीधा रखने के लिए यह जरूरी है। यह काटे गए कोनों के साथ एक त्रिकोण निकला है।

अगला चरण दूसरे आयाम की छवि है। ऊपरी निचले कोने के बाईं ओर से एक सख्त सीधी रेखा खींची जाती है। वही रेखा निचले बाएँ कोने से शुरू करके खींची जाती है, और पहली माप रेखा 2 तक नहीं लाई जाती है। मुख्य आकृति के निचले हिस्से के समानांतर दाएं कोने से एक और रेखा खींची गई है।

अंतिम चरण तीन और छोटी रेखाओं का उपयोग करके तीसरे आयाम को दूसरे आयाम के अंदर खींचना है। छोटी रेखाएँ दूसरे आयाम की रेखाओं से शुरू होती हैं और त्रि-आयामी आयतन की छवि को पूरा करती हैं।

अन्य पेनरोज़ आंकड़े

उसी सादृश्य से, आप अन्य आकृतियाँ बना सकते हैं - एक वर्ग या एक षट्भुज। भ्रम बना रहेगा। लेकिन फिर भी ये आंकड़े अब इतने आश्चर्यजनक नहीं रह गए हैं। ऐसे बहुभुज अत्यधिक मुड़े हुए प्रतीत होते हैं। आधुनिक ग्राफिक्स आपको प्रसिद्ध त्रिकोण के अधिक रोचक संस्करण बनाने की अनुमति देते हैं।

त्रिभुज के अलावा, पेनरोज़ सीढ़ी भी विश्व प्रसिद्ध है। विचार आंख को छलना है ताकि ऐसा लगे कि घड़ी की दिशा में चलते समय व्यक्ति लगातार ऊपर की ओर बढ़ रहा है, और यदि घड़ी की विपरीत दिशा में घूम रहा है तो नीचे की ओर।

एम. एस्चेर की पेंटिंग आरोही और वंश के सहयोग से निरंतर सीढ़ी को अधिक जाना जाता है। दिलचस्प बात यह है कि जब कोई व्यक्ति इस भ्रामक सीढ़ी की सभी 4 उड़ानों से गुजरता है, तो वह हमेशा वहीं समाप्त हो जाता है, जहां से उसने शुरू किया था।

अन्य वस्तुओं को मानव मन को गुमराह करने के लिए जाना जाता है, जैसे कि एक असंभव बार। या इंटरसेक्टिंग किनारों के साथ भ्रम के समान कानूनों के अनुसार बनाया गया एक बॉक्स। लेकिन इन सभी वस्तुओं का आविष्कार पहले ही एक उल्लेखनीय वैज्ञानिक - रोजर पेनरोज़ के एक लेख के आधार पर किया जा चुका है।

पर्थ में असंभव त्रिकोण

गणितज्ञ के नाम पर बनी आकृति को सम्मानित किया जाता है। उसने एक स्मारक बनवाया। 1999 में, ऑस्ट्रेलिया (पर्थ) के एक शहर में, एक बड़ा एल्यूमीनियम पेनरोज़ त्रिकोण स्थापित किया गया था, जो 13 मीटर ऊँचा है। एल्युमिनियम जायंट के बगल में तस्वीरें लेने के लिए पर्यटक खुश हैं। लेकिन अगर आप फोटोग्राफी के लिए एक अलग एंगल ऑफ व्यू चुनते हैं, तो धोखा स्पष्ट हो जाता है।

पर्यवेक्षक

गणित शिक्षक

1. परिचय …………………………………………………… 3

2. ऐतिहासिक पृष्ठभूमि………………………………………4

3. मुख्य भाग ………………………………………… .7

4. पेनरोज़ त्रिभुज की असंभवता का प्रमाण......9

5. निष्कर्ष ……………………………………………………… 11

6. साहित्य ……………………………………………………… 12

प्रासंगिकता:गणित एक ऐसा विषय है जिसका पहली से अध्ययन किया गया है स्नातक वर्ग. कई छात्रों को यह कठिन, अरुचिकर और अनावश्यक लगता है। लेकिन यदि आप पाठ्यपुस्तक के पन्नों से परे देखें, अतिरिक्त साहित्य, गणितीय कुतर्क और विरोधाभास पढ़ें, तो गणित का विचार बदलेगा, स्कूल के गणित पाठ्यक्रम में जितना पढ़ा जाता है, उससे अधिक पढ़ने की इच्छा होगी।

कार्य का लक्ष्य:

यह दिखाने के लिए कि असंभव आकृतियों का अस्तित्व किसी के क्षितिज को व्यापक करेगा, स्थानिक कल्पना विकसित करेगा, न केवल गणितज्ञों द्वारा बल्कि कलाकारों द्वारा भी प्रयोग किया जाता है।

कार्य :

1. इस विषय पर साहित्य का अध्ययन करें।

2. असंभव आकृतियों पर विचार करें, एक असंभव त्रिभुज का एक मॉडल बनाएं, सिद्ध करें कि एक समतल पर एक असंभव त्रिभुज का अस्तित्व नहीं है।

3. असंभव त्रिभुज को प्रकट करें।

4. ललित कला में असंभव त्रिभुज के उपयोग के उदाहरणों पर विचार करें।

परिचय

ऐतिहासिक रूप से, गणित ने दृश्य कलाओं में विशेष रूप से परिप्रेक्ष्य के चित्रण में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है, जिसमें एक सपाट कैनवास या कागज की शीट पर त्रि-आयामी दृश्य को वास्तविक रूप से चित्रित करना शामिल है। आधुनिक मतों के अनुसार गणित और कलाएक दूसरे से बहुत दूर के अनुशासन, पहला - विश्लेषणात्मक, दूसरा - भावनात्मक। अधिकांश नौकरियों में गणित स्पष्ट भूमिका नहीं निभाता है समकालीन कलाऔर, वास्तव में, कई कलाकार शायद ही कभी परिप्रेक्ष्य का उपयोग करते हैं या कभी भी नहीं करते हैं। हालाँकि, कई कलाकार ऐसे हैं जो गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं। दृश्य कला में कई महत्वपूर्ण हस्तियों ने इन व्यक्तियों के लिए मार्ग प्रशस्त किया।

वास्तव में, उपयोग पर कोई नियम या प्रतिबंध नहीं हैं कई विषयगणितीय कलाओं में, जैसे असंभव आंकड़े, मोबियस पट्टी, विरूपण या परिप्रेक्ष्य की असामान्य प्रणाली, और भग्न।

असंभव आंकड़ों का इतिहास

असंभव संख्या एक निश्चित प्रकार का गणितीय विरोधाभास है, जिसमें एक अनियमित परिसर में जुड़े नियमित टुकड़े शामिल होते हैं। यदि आप "असंभव वस्तुओं" शब्द की परिभाषा तैयार करने का प्रयास करते हैं, तो शायद यह कुछ ऐसा होगा - भौतिक रूप से संभव आंकड़े एक असंभव रूप में इकट्ठे हुए। लेकिन उन्हें देखना कहीं अधिक सुखद है, परिभाषाएँ बनाना।

एक हजार साल पहले कलाकारों द्वारा स्थानिक निर्माण में त्रुटियों का सामना किया गया था। लेकिन सबसे पहले असंभव वस्तुओं का निर्माण और विश्लेषण स्वीडिश कलाकार ऑस्कर रॉयटर्सवार्ड को माना जाता है, जिन्होंने 1934 में पेंटिंग की थी। पहला असंभव त्रिभुज, जिसमें नौ घन हों।

रॉयटर्सवार्ड त्रिकोण

रॉयटर्सवार्ड से स्वतंत्र, अंग्रेजी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी रोजर पेनरोज ने असंभव त्रिकोण को फिर से खोजा और 1958 में ब्रिटिश साइकोलॉजिकल जर्नल में इसकी छवि प्रकाशित की। भ्रम "गलत परिप्रेक्ष्य" का उपयोग करता है। कभी-कभी इस तरह के दृष्टिकोण को चीनी कहा जाता है, क्योंकि ड्राइंग का एक समान तरीका, जब ड्राइंग की गहराई "अस्पष्ट" होती है, अक्सर चीनी कलाकारों के कार्यों में पाई जाती थी।

एस्चर फॉल्स

1961 में डचमैन एम. एस्चर, प्रेरित असंभव त्रिकोणपेनरोस, प्रसिद्ध लिथोग्राफ "झरना" बनाता है। तस्वीर में पानी अंतहीन रूप से बहता है, पानी के पहिये के बाद यह आगे बढ़ता है और शुरुआती बिंदु पर वापस आ जाता है। वास्तव में, यह एक सतत गति मशीन की एक छवि है, लेकिन वास्तव में इस डिजाइन को बनाने का कोई भी प्रयास असफलता के लिए बर्बाद है।

असंभव आंकड़ों का एक और उदाहरण "मॉस्को" ड्राइंग में प्रस्तुत किया गया है, जो मॉस्को मेट्रो की एक असामान्य योजना को दर्शाता है। सबसे पहले, हम छवि को समग्र रूप से देखते हैं, लेकिन व्यक्तिगत रेखाओं को अपनी आँखों से देखते हुए, हम उनके अस्तित्व की असंभवता के बारे में आश्वस्त हैं।

« मॉस्को", ग्राफिक्स (स्याही, पेंसिल), 50x70 सेमी, 2003

ड्राइंग "तीन घोंघे" दूसरी प्रसिद्ध असंभव आकृति - एक असंभव घन (बॉक्स) की परंपराओं को जारी रखता है।

"तीन घोंघे" असंभव घन

विभिन्न वस्तुओं का संयोजन भी गंभीर "आईक्यू" (बुद्धिमत्ता भागफल) आकृति में पाया जा सकता है। यह दिलचस्प है कि कुछ लोग असंभव वस्तुओं को इस तथ्य के कारण नहीं देखते हैं कि उनकी चेतना त्रि-आयामी वस्तुओं के साथ सपाट चित्रों की पहचान करने में सक्षम नहीं है।

डोनाल्ड सिमानेक ने कहा कि दृश्य विरोधाभासों को समझना उस तरह की रचनात्मकता की पहचान है जो सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और कलाकारों के पास है। विरोधाभासी वस्तुओं के साथ कई कार्यों को "बौद्धिक गणितीय खेल" के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। आधुनिक विज्ञान दुनिया के 7-आयामी या 26-आयामी मॉडल की बात करता है। ऐसी दुनिया को केवल गणितीय सूत्रों की मदद से मॉडल करना संभव है, एक व्यक्ति बस इसकी कल्पना करने में सक्षम नहीं है। यहीं पर असंभव आंकड़े काम आते हैं।

तीसरी लोकप्रिय असंभव आकृति पेनरोज़ द्वारा बनाई गई अविश्वसनीय सीढ़ी है। आप इसके साथ लगातार या तो चढ़ेंगे (वामावर्त) या उतरेंगे (घड़ी की दिशा में)। पेनरोज़ मॉडल ने एम. एस्चर की प्रसिद्ध पेंटिंग "अप एंड डाउन" का आधार बनाया अतुल्य पेनरोज़ सीढ़ियाँ

असंभव त्रिशूल

"लानत कांटा"

वस्तुओं का एक और समूह है जिसे कार्यान्वित नहीं किया जा सकता है। क्लासिक आकृति असंभव त्रिशूल या "शैतान का कांटा" है। तस्वीर का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने पर, आप देख सकते हैं कि तीन दांत धीरे-धीरे एक ही आधार पर दो में बदल जाते हैं, जिससे संघर्ष होता है। हम ऊपर और नीचे के दांतों की संख्या की तुलना करते हैं और इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि वस्तु असंभव है। यदि आप त्रिशूल के ऊपरी भाग को अपने हाथ से बंद कर दें तो हमें पूरा दिखाई देगा असली तस्वीर- तीन गोल दांत। अगर हम त्रिशूल के निचले हिस्से को बंद कर दें तो हमें एक असली तस्वीर भी दिखाई देगी - दो आयताकार दांत। लेकिन, अगर हम पूरे आंकड़े पर विचार करें, तो यह पता चलता है कि तीन गोल दांत धीरे-धीरे दो आयताकार में बदल जाते हैं।

इस प्रकार, यह देखा जा सकता है कि सामने और पृष्ठभूमियह आंकड़ा संघर्ष में है। यानी मूल रूप से क्या था अग्रभूमिपीछे जाता है, और पृष्ठभूमि (बीच का दांत) आगे रेंगता है। अग्रभूमि और पृष्ठभूमि को बदलने के अलावा, इस ड्राइंग का एक और प्रभाव है - त्रिशूल के ऊपरी हिस्से के सपाट किनारे नीचे की ओर गोल हो जाते हैं।

मुख्य हिस्सा।

त्रिकोण- 3 आसन्न भागों से युक्त एक आकृति, जो इन भागों के अस्वीकार्य कनेक्शन की मदद से गणितीय दृष्टिकोण से एक असंभव संरचना का भ्रम पैदा करती है। एक अन्य प्रकार से इस तीन-बार को भी कहते हैं वर्ग Penrose

इस भ्रम के पीछे ग्राफिक सिद्धांत एक मनोवैज्ञानिक और उनके बेटे रोजर, एक भौतिक विज्ञानी के लिए तैयार किया गया है। पेनरोज़ स्क्वायर में 3 बार होते हैं वर्ग खंड 3 परस्पर लंबवत दिशाओं में स्थित; हर एक दूसरे से समकोण पर जुड़ता है, जो सभी त्रि-आयामी अंतरिक्ष में फिट होते हैं। पेनरोज़ वर्ग के इस सममितीय दृश्य को कैसे आकर्षित किया जाए, इसके लिए यहाँ एक सरल नुस्खा दिया गया है:

एक समबाहु त्रिभुज के कोनों को भुजाओं के समानांतर रेखाओं के साथ ट्रिम करें;

काट-छाँट किए गए त्रिभुज के अंदर की भुजाओं के समानांतर रेखाएँ बनाएँ;

कोनों को फिर से ट्रिम करें

एक बार फिर, समानताएं अंदर खींचें;

· एक कोने में दो संभावित घनों में से एक की कल्पना करें;

· इसे एल-आकार की "चीज़" के साथ जारी रखें;

इस डिज़ाइन को एक सर्कल में चलाएं।

यदि हम एक और घन चुनते हैं, तो वर्ग दूसरी दिशा में "मुड़" जाएगा .

एक असंभव त्रिकोण का विकास।

अंतराल वाली लकीर

प्रतिच्छेदन रेखा

कौन से तत्व एक असंभव त्रिभुज बनाते हैं? अधिक सटीक रूप से, यह हमें किन तत्वों से लगता है (ऐसा लगता है!) निर्मित? डिजाइन एक आयताकार कोने पर आधारित है, जो दो समान आयताकार सलाखों को समकोण पर जोड़कर प्राप्त किया जाता है। ऐसे तीन कोनों की आवश्यकता होती है, और सलाखों, इसलिए छह टुकड़े। इन कोनों को एक निश्चित तरीके से एक दूसरे से "जुड़ा हुआ" होना चाहिए ताकि वे एक बंद श्रृंखला बना सकें। क्या होता है असंभव त्रिकोण।

पहले कोने को क्षैतिज तल में रखें। हम इसके एक किनारे को ऊपर की ओर निर्देशित करते हुए इसके दूसरे कोने को जोड़ देंगे। अंत में, हम इस दूसरे कोने में एक तीसरा कोना जोड़ते हैं ताकि इसका किनारा मूल क्षैतिज तल के समानांतर हो। इस स्थिति में, पहले और तीसरे कोने के दो किनारे समानांतर होंगे और अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित होंगे।

और अब आइए अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से आकृति को देखने की कोशिश करें (या तार का वास्तविक मॉडल बनाएं)। कल्पना कीजिए कि यह एक बिंदु से, दूसरे से, तीसरे से कैसा दिखता है ... अवलोकन बिंदु बदलते समय (या - जो समान है - जब संरचना को अंतरिक्ष में घुमाया जाता है), ऐसा लगेगा कि दो "अंत" किनारे हमारे कोने एक दूसरे के सापेक्ष चलते हैं। ऐसी स्थिति का पता लगाना मुश्किल नहीं है जिसमें वे जुड़ेंगे (बेशक, इस मामले में, निकट का कोना हमें लंबे समय तक मोटा लगेगा)।

लेकिन अगर पसलियों के बीच की दूरी कोनों से उस बिंदु तक की दूरी से बहुत कम है जहां से हम अपनी संरचना को देख रहे हैं, तो हमारे लिए दोनों पसलियों की मोटाई समान होगी, और यह विचार उत्पन्न होगा कि ये दोनों पसलियां वास्तव में एक हैं एक दूसरे की निरंतरता।

वैसे, यदि हम एक साथ दर्पण में संरचना के प्रदर्शन को देखें, तो हमें वहां बंद सर्किट नहीं दिखाई देगा।

और अवलोकन के चुने हुए बिंदु से, हम अपनी आँखों से एक चमत्कार देखते हैं जो हुआ है: तीन कोनों की एक बंद श्रृंखला है। बस अवलोकन के बिंदु को न बदलें ताकि यह भ्रम (वास्तव में, यह एक भ्रम है!) टूट न जाए। अब आप किसी ऐसी वस्तु को चित्रित कर सकते हैं जिसे आप देखते हैं या पाए गए बिंदु पर एक कैमरा लेंस रख सकते हैं और एक असंभव वस्तु की तस्वीर प्राप्त कर सकते हैं।

इस घटना में दिलचस्पी लेने वाले पहले पेनरोज़ थे। उन्होंने त्रि-आयामी अंतरिक्ष और त्रि-आयामी वस्तुओं को द्वि-आयामी विमान (यानी, जब डिजाइन करते समय) मैप करते समय उत्पन्न होने वाली संभावनाओं का उपयोग किया और कुछ डिज़ाइन अनिश्चितता पर ध्यान आकर्षित किया - तीन कोनों का एक खुला डिज़ाइन एक बंद के रूप में माना जा सकता है सर्किट।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सरलतम मॉडल आसानी से तार से बनाया जा सकता है, जो सिद्धांत रूप में देखे गए प्रभाव की व्याख्या करता है। तार का एक सीधा टुकड़ा लें और इसे तीन बराबर भागों में विभाजित करें। फिर चरम भागों को मोड़ें ताकि वे मध्य भाग के साथ एक समकोण बनाएं और एक दूसरे के सापेक्ष 900 घुमाएँ। अब इस मूर्ति को पलटकर एक आँख से देखें। एक निश्चित स्थिति में, ऐसा लगेगा कि यह तार के एक बंद टुकड़े से बना है। टेबल लैंप को चालू करके, आप टेबल पर पड़ने वाली छाया को देख सकते हैं, जो अंतरिक्ष में आकृति की एक निश्चित स्थिति में त्रिकोण में भी बदल जाती है।

हालाँकि, यह डिज़ाइन विशेषता किसी अन्य स्थिति में देखी जा सकती है। यदि आप तार की एक अंगूठी बनाते हैं और फिर इसे अलग-अलग दिशाओं में फैलाते हैं, तो आपको बेलनाकार सर्पिल का एक मोड़ मिलता है। यह पाश, ज़ाहिर है, खुला है। लेकिन जब इसे एक विमान पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो आप एक बंद रेखा प्राप्त कर सकते हैं।

हमने एक बार फिर देखा है कि विमान पर प्रक्षेपण, ड्राइंग के अनुसार, त्रि-आयामी आकृति को अस्पष्ट रूप से बहाल किया गया है। अर्थात्, प्रक्षेपण में कुछ अस्पष्टता, समझ है, जो "असंभव त्रिकोण" को जन्म देती है।

और यह कहा जा सकता है कि पेनरोस का "असंभव त्रिकोण", कई अन्य लोगों की तरह दृष्टिभ्रम, के अनुरूप है तार्किक विरोधाभासऔर श्लेष।

पेनरोज़ त्रिभुज की असंभवता का प्रमाण

एक विमान पर त्रि-आयामी वस्तुओं की द्वि-आयामी छवि की विशेषताओं का विश्लेषण करते हुए, हम समझ गए कि इस प्रदर्शन की विशेषताएं एक असंभव त्रिभुज की ओर कैसे ले जाती हैं।

यह साबित करना बेहद आसान है कि एक असंभव त्रिकोण मौजूद नहीं है, क्योंकि इसका प्रत्येक कोण सही है, और उनका योग "रखी" 1800 के बजाय 2700 है।

इसके अलावा, भले ही हम 900 से कम कोनों से एक साथ चिपके हुए एक असंभव त्रिकोण पर विचार करें, तो इस मामले में यह साबित किया जा सकता है कि असंभव त्रिकोण मौजूद नहीं है।

एक अन्य त्रिभुज पर विचार करें, जिसमें कई भाग होते हैं। यदि इसमें शामिल भागों को अलग-अलग व्यवस्थित किया जाता है, तो बिल्कुल वही त्रिकोण प्राप्त किया जाएगा, लेकिन एक छोटे से दोष के साथ। एक वर्ग छूट जाएगा। यह कैसे संभव है? या यह सिर्फ एक भ्रम है।

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धारणा की घटना का उपयोग करना

क्या असंभव प्रभाव को बढ़ाने का कोई तरीका है? क्या कुछ वस्तुएं दूसरों की तुलना में "असंभव" हैं? और यहाँ सुविधाएँ बचाव के लिए आती हैं। मानवीय धारणा. मनोवैज्ञानिकों ने स्थापित किया है कि आंख निचले बाएँ कोने से वस्तु (चित्र) की जांच करना शुरू करती है, फिर टकटकी दाईं ओर केंद्र की ओर जाती है और चित्र के निचले दाएं कोने में उतरती है। ऐसा प्रक्षेपवक्र इस तथ्य के कारण हो सकता है कि हमारे पूर्वजों ने, जब दुश्मन से मिलते थे, तो सबसे पहले सबसे खतरनाक दाहिने हाथ को देखा, और फिर उनकी टकटकी बाईं ओर, चेहरे और आकृति पर चली गई। इस प्रकार, कलात्मक धारणाचित्र की रचना कैसे की जाती है, इस पर काफी हद तक निर्भर करेगा। मध्य युग में यह विशेषता टेपेस्ट्री के निर्माण में स्पष्ट रूप से प्रकट हुई थी: उनका पैटर्न था दर्पण छविमूल, और टेपेस्ट्री और मूल द्वारा बनाई गई छाप अलग है।

असंभव वस्तुओं के साथ रचना करते समय, "असंभवता की डिग्री" को बढ़ाने या घटाने पर इस संपत्ति का सफलतापूर्वक उपयोग किया जा सकता है। की संभावना भी खोलता है रोचक रचनाएँकंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करना या घुमाए गए कई चित्रों से (शायद उपयोग करना कुछ अलग किस्म कासमरूपता) एक दूसरे के सापेक्ष, वस्तु की एक अलग छाप और अवधारणा के सार की गहरी समझ पैदा करती है, या एक से जो कुछ कोणों पर एक सरल तंत्र की मदद से (लगातार या झटके से) घूमती है।

ऐसी दिशा को बहुभुज (बहुभुज) कहा जा सकता है। दृष्टांत छवियों को एक दूसरे के सापेक्ष घुमाते हुए दिखाते हैं। रचना इस प्रकार बनाई गई थी: स्याही और पेंसिल में कागज पर बनाई गई एक ड्राइंग को स्कैन, डिजिटाइज़ और संसाधित किया गया था ग्राफिक्स संपादक. हम एक नियमितता नोट कर सकते हैं - घुमाए गए चित्र में मूल की तुलना में "असंभावना की डिग्री" अधिक है। यह आसानी से समझाया गया है: काम की प्रक्रिया में, कलाकार अवचेतन रूप से "सही" छवि बनाने का प्रयास करता है।

निष्कर्ष

विभिन्न गणितीय आंकड़ों और कानूनों का उपयोग उपरोक्त उदाहरणों तक ही सीमित नहीं है। उपरोक्त सभी आंकड़ों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करके, आप इस लेख में उल्लिखित अन्य आंकड़ों को ढूंढ सकते हैं, ज्यामितीय निकायया गणितीय कानूनों की दृश्य व्याख्या।

गणितीय दृश्य कलाएं आज फल-फूल रही हैं, और कई कलाकार एस्चर की शैली में और अपने स्वयं के चित्रों का निर्माण करते हैं स्वयं की शैली. ये कलाकार विभिन्न माध्यमों में काम करते हैं, जिनमें मूर्तिकला, सपाट और त्रि-आयामी सतहों पर पेंटिंग, लिथोग्राफी और पेंटिंग शामिल हैं कंप्यूटर चित्रलेख. और गणितीय कला के सबसे लोकप्रिय विषय पॉलीहेड्रा, असंभव आंकड़े, मोबियस स्ट्रिप्स, परिप्रेक्ष्य की विकृत प्रणाली और भग्न हैं।

निष्कर्ष:

1. इसलिए, असंभव आंकड़ों का विचार हमारी स्थानिक कल्पना को विकसित करता है, विमान को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में "बाहर निकलने" में मदद करता है, जो स्टीरियोमेट्री के अध्ययन में मदद करेगा।

2. असंभव आकृतियों के मॉडल तल पर अनुमानों पर विचार करने में मदद करते हैं।

3. गणितीय कुतर्कों और विरोधाभासों पर विचार करने से गणित में रुचि पैदा होती है।

यह काम करते समय

1. मैंने जाना कि कैसे, कब, कहां और किसके द्वारा पहली बार असंभव आकृतियों पर विचार किया गया, कि ऐसी कई आकृतियां हैं, कलाकार इन आकृतियों को निरन्तर चित्रित करने का प्रयास कर रहे हैं।

2. अपने पिता के साथ मिलकर मैंने एक असंभव त्रिकोण का एक मॉडल बनाया, एक विमान पर इसके अनुमानों की जांच की, इस आकृति का विरोधाभास देखा।

3. इन आकृतियों को चित्रित करने वाले कलाकारों के पुनरुत्पादन की जांच की

4. मेरी पढ़ाई में मेरे सहपाठियों की दिलचस्पी थी।

भविष्य में, मैं गणित के पाठों में अर्जित ज्ञान का उपयोग करूंगा और मुझे इसमें दिलचस्पी थी, लेकिन क्या अन्य विरोधाभास हैं?

साहित्य

1. उम्मीदवार तकनीकी विज्ञानडी। राकोव असंभव आंकड़ों का इतिहास

2. रूट्सवर्ड ओ। असंभव आंकड़े।- एम .: स्ट्रोइज़्डैट, 1990।

3. वी. Alekseev भ्रम की वेबसाइट · 7 टिप्पणियाँ

4. जे तीमुथियुस Anrach। - अद्भुत आंकड़े।
(एलएलसी "पब्लिशिंग हाउस एएसटी", एलएलसी "पब्लिशिंग हाउस एस्ट्रेल", 2002, 168 पी।)

5. . - ललित कलाएं।
(आर्ट-स्प्रिंग, 2001)

6. डगलस हॉफस्टाटर। - गोडेल, एस्चर, बाख: यह अंतहीन माला। ( पब्लिशिंग हाउस"बहराख-एम", 2001)

7. ए कोनेंको - असंभव आंकड़ों का रहस्य
(ओम्स्क: लेफ्टी, 199)