namai › Salonas › Auksinio pjūvio kompasas. Fibonacci žymeklis ir jo naudojimas baldų gamyboje

Auksinio pjūvio kompasas. Fibonacci žymeklis ir jo naudojimas baldų gamyboje

Dinaminiai stačiakampiai

Platonas (427...347 m. pr. Kr.) taip pat žinojo apie auksinį padalijimą. Jo dialogas „Timejus“ skirtas matematinėms ir estetinėms pitagoriečių mokyklos pažiūroms ir ypač aukso padalijimo klausimams.

Senovės graikiškos Partenono šventyklos fasadas pasižymi auksinėmis proporcijomis. Jo kasinėjimų metu buvo aptikti kompasai, kuriuos naudojo senovės pasaulio architektai ir skulptoriai. Pompėjos kompasas (muziejus Neapolyje) taip pat turi auksinio padalijimo proporcijas.

Antikvarinis aukso pjūvio kompasas

Senovės literatūroje, kuri atėjo iki mūsų, aukso padalijimas pirmą kartą paminėtas Euklido elementuose. 2-oje „Principų“ knygoje pateikta geometrinė aukso padalijimo konstrukcija.Po Euklido aukso padalijimo tyrimus atliko Hipsiklis (II a. pr. Kr.), Papas (III a. po Kr.) ir kt. Viduramžių Europa, su auksiniu padalijimu Susipažinome per arabiškus Euklido elementų vertimus. Vertėjas J. Campano iš Navaros (III a.) pateikė pastabų dėl vertimo. Auksinės divizijos paslaptys buvo pavydžiai saugomos ir laikomos griežtoje paslaptyje. Juos žinojo tik iniciatoriai.

Renesanso epochoje mokslininkų ir menininkų susidomėjimas auksine dalyba išaugo dėl jos panaudojimo tiek geometrijoje, tiek mene, ypač architektūroje.Menininkas ir mokslininkas Leonardo da Vinci pastebėjo, kad italų menininkai yra daug empirinės patirties, bet mažai žinių. Jis pastojo ir pradėjo rašyti knygą apie geometriją, tačiau tuo metu pasirodė vienuolio Luca Pacioli knyga, o Leonardo atsisakė savo idėjos. Anot amžininkų ir mokslo istorikų, Luca Pacioli buvo tikras šviesulys, didžiausias Italijos matematikas laikotarpiu tarp Fibonačio ir Galilėjaus. Luca Pacioli buvo dailininko Piero della Franceschi mokinys, kuris parašė dvi knygas, iš kurių viena vadinosi „Apie tapybos perspektyvą“. Jis laikomas aprašomosios geometrijos kūrėju.

Leonardo da Vinci daug dėmesio skyrė ir auksinės divizijos tyrinėjimams. Jis padarė stereometrinio kūno dalis, sudarytas iš taisyklingų penkiakampių, ir kiekvieną kartą gaudavo stačiakampius, kurių kraštinių santykis buvo auksinėje padaloje. Štai kodėl jis šiam skyriui suteikė pavadinimą aukso pjūvis. Taigi jis vis dar išlieka populiariausias.

Tuo pačiu metu Europos šiaurėje, Vokietijoje, Albrechtas Diureris sprendė tas pačias problemas. Jis eskizuoja įvadą į pirmąjį traktato apie proporcijas variantą. Diureris rašo. „Būtina, kad tas, kuris moka ką nors padaryti, išmokytų to kitus, kuriems to reikia. Štai ką aš užsibrėžiau padaryti“.

Sprendžiant iš vieno iš Diurerio laiškų, jis susitiko su Luca Pacioli būdamas Italijoje. Albrechtas Dureris išsamiai plėtoja žmogaus kūno proporcijų teoriją. Diureris savo santykių sistemoje svarbią vietą skyrė aukso pjūviui. Žmogaus ūgį auksinėmis proporcijomis dalija diržo linija, taip pat linija, nubrėžta per nuleistų rankų vidurinių pirštų galiukus, apatinę veido dalį prie burnos ir kt. Diurerio proporcingas kompasas yra gerai žinomas.

Puikus XVI amžiaus astronomas. Johannesas Kepleris aukso pjūvį pavadino vienu iš geometrijos lobių. Jis pirmasis atkreipė dėmesį į auksinės proporcijos svarbą botanikai (augalų augimui ir jų struktūrai).

Kepleris auksinę proporciją pavadino savaime besitęsiančia. „Jos struktūra yra tokia, – rašė jis, – kad du žemiausi šios nesibaigiančios proporcijos nariai sudaro trečiąjį terminą ir bet kurios dvi paskutinės dalys, jei sudėjus kartu. , nurodykite kitą terminą ir ta pati proporcija išliks iki begalybės.

Auksinės proporcijos segmentų serijos konstravimas gali būti atliekamas tiek didėjimo kryptimi (didėjanti serija), tiek mažėjimo kryptimi (mažėjančia serija).

Jei yra savavališko ilgio tiesioje linijoje, segmentą atidėkite m, padėkite segmentą šalia jo M. Remdamiesi šiais dviem segmentais, sudarome didėjančios ir mažėjančios serijų auksinės proporcijos segmentų skalę.

Aukso proporcijų segmentų skalės konstravimas

Nuo seniausių laikų žmonėms rūpėjo klausimas, ar tokie sunkiai suvokiami dalykai kaip grožis ir harmonija yra matematiškai skaičiuojami. Žinoma, visi grožio dėsniai negali būti sutalpinti į kelias formules, tačiau studijuodami matematiką galime atrasti kai kuriuos grožio komponentus – aukso pjūvį. Mūsų užduotis yra išsiaiškinti, kas yra aukso pjūvis, ir nustatyti, kur žmonija rado aukso pjūvio panaudojimą.

Tikriausiai pastebėjote, kad supančios tikrovės objektus ir reiškinius traktuojame skirtingai. Būk h padorumas, bla h Formalumą ir neproporcingumą mes suvokiame kaip negražus ir sukelia atstumiantį įspūdį. O daiktai ir reiškiniai, pasižymintys proporcija, tikslingumu ir harmonija, suvokiami kaip gražūs ir sukelia susižavėjimo, džiaugsmo jausmą, pakelia nuotaiką.

Savo veikloje žmogus nuolat susiduria su objektais, kurių pagrindas – aukso pjūvis. Yra dalykų, kurių negalima paaiškinti. Taigi ateini prie tuščio suolo ir atsisėdi ant jo. Kur tu sėdėsi? Viduryje? O gal iš pačio krašto? Ne, greičiausiai, nei vienas, nei kitas. Sėdėsite taip, kad vienos suoliuko dalies ir kitos santykis jūsų kūno atžvilgiu būtų maždaug 1,62. Paprastas dalykas, absoliučiai instinktyvus... Sėdėdamas ant suoliuko atkartoji „auksinį pjūvį“.

Aukso pjūvis buvo žinomas dar senovės Egipte ir Babilone, Indijoje ir Kinijoje. Didysis Pitagoras sukūrė slaptą mokyklą, kurioje buvo tiriama mistinė „auksinio pjūvio“ esmė. Euklidas jį panaudojo kurdamas savo geometriją, o Fidijas – savo nemirtingas skulptūras. Platonas sakė, kad Visata yra išdėstyta pagal „aukso pjūvį“. Aristotelis rado atitikimą tarp „auksinio pjūvio“ ir etinio įstatymo. Aukščiausią „auksinio pjūvio“ harmoniją skelbs Leonardo da Vinci ir Mikelandželas, nes grožis ir „aukso pjūvis“ yra vienas ir tas pats. O krikščionių mistikai, bėgdami nuo velnio, ant savo vienuolynų sienų pieš „auksinio pjūvio“ pentagramas. Tuo pačiu metu mokslininkai – nuo Pacioli iki Einšteino – ieškos, bet niekada neras tikslios prasmės. Būk h paskutinė eilutė po kablelio yra 1,6180339887... Keistas, paslaptingas, nepaaiškinamas dalykas – ši dieviška proporcija mistiškai lydi viską, kas gyva. Negyva gamta nežino, kas yra „auksinis pjūvis“. Bet jūs tikrai pamatysite šią proporciją jūros kriauklių vingiuose ir gėlių formoje, ir vabalų išvaizdoje, ir nuostabiame žmogaus kūne. Viskas, kas gyva ir viskas, kas gražu - viskas paklūsta dieviškajam įstatymui, kurio pavadinimas yra „auksinis pjūvis“. Taigi, kas yra „auksinis santykis“? Kas yra šis tobulas, dieviškas derinys? Gal tai grožio dėsnis? O gal jis vis dar yra mistinė paslaptis? Mokslinis reiškinys ar etinis principas? Atsakymas vis dar nežinomas. Tiksliau – ne, tai žinoma. „Auksinis santykis“ yra abu. Tik ne atskirai, o vienu metu... Ir tai yra jo tikroji paslaptis, didžioji jo paslaptis.

Tikriausiai sunku rasti patikimą matą objektyviam paties grožio įvertinimui, o vien logika to nepadarysi. Tačiau čia padės patirtis tų, kuriems grožio paieškos buvo pati gyvenimo prasmė, kurie tai padarė savo profesija. Tai visų pirma meno žmonės, kaip mes juos vadiname: menininkai, architektai, skulptoriai, muzikantai, rašytojai. Bet tai ir tiksliųjų mokslų žmonės, pirmiausia matematikai.

Pasitikėdamas akimi labiau nei kitais jutimo organais, Žmogus pirmiausia išmoko atskirti jį supančius objektus pagal jų formą. Susidomėjimą daikto forma gali padiktuoti gyvybinė būtinybė, arba jį gali lemti formos grožis. Forma, pagrįsta simetrijos ir aukso pjūvio deriniu, prisideda prie geriausio vizualinio suvokimo ir grožio bei harmonijos jausmo atsiradimo. Visuma visada susideda iš dalių, skirtingo dydžio dalys yra tam tikru santykiu viena su kita ir su visuma. Aukso pjūvio principas yra aukščiausia visumos ir jos dalių struktūrinio ir funkcinio tobulumo apraiška mene, moksle, technikoje ir gamtoje.

AUKSINIS SANTYKIS – HARMONINĖ PROPORCIJA

Matematikoje proporcija yra dviejų santykių lygybė:

Tiesios linijos atkarpą AB galima padalyti į dvi dalis šiais būdais:

į dvi lygias dalis - AB:AC=AB:BC;
į dvi bet kokiu požiūriu nelygias dalis (tokios dalys nesudaro proporcijų);
taigi, kai AB:AC=AC:BC.

Paskutinis yra auksinis skyrius (skyrius).

Auksinis pjūvis yra toks proporcingas segmento padalijimas į nelygias dalis, kai visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi, kaip pati didesnė dalis yra susijusi su mažesne, kitaip tariant, mažesnis segmentas yra susijęs su didesne dalimi. vienas kaip didesnis yra visai

a:b=b:c arba c:b=b:a.

Geometrinis aukso pjūvio vaizdas

Praktinė pažintis su aukso pjūviu prasideda tiesios linijos segmento padalijimu auksine proporcija naudojant kompasą ir liniuotę.

Tiesios linijos atkarpos padalijimas naudojant auksinį pjūvį. BC=1/2AB; CD = BC

Iš taško B atkuriamas statmenas, lygus pusei AB. Gautas taškas C tiese sujungtas su tašku A. Ant gautos tiesės nutiesta atkarpa BC, kuri baigiasi tašku D. Atkarpa AD perkeliama į tiesę AB. Gautas taškas E padalija atkarpą AB auksine proporcija.

Auksinio pjūvio segmentai išreiškiami be h galutinė trupmena AE=0,618..., jei AB imamas kaip vienas, BE=0,382... Praktiniais tikslais dažnai naudojamos apytikslės reikšmės 0,62 ir 0,38. Jei atkarpa AB imta sudaryti 100 dalių, tai didesnė atkarpos dalis lygi 62, o mažesnė dalis – 38 dalys.

Aukso pjūvio savybės apibūdinamos lygtimi:

Šios lygties sprendimas:

Auksinio pjūvio savybės sukūrė romantišką paslapties aurą ir beveik mistinę kartą aplink šį skaičių. Pavyzdžiui, įprastoje penkiakampėje žvaigždėje kiekvienas segmentas yra padalintas iš atkarpos, kertančios jį aukso pjūvio proporcija (t. y. mėlynos atkarpos ir žalios, raudonos ir mėlynos, žalios ir violetinės santykis yra 1,618). .

ANTRAS AUKSO SANTYKIS

Ši proporcija randama architektūroje.

Antrojo aukso pjūvio statyba

Padalijimas atliekamas taip. AB segmentas yra padalintas proporcingai aukso pjūviui. Iš taško C atkuriamas statmenas CD. Spindulys AB yra taškas D, kuris tiese sujungtas su tašku A. Statusis kampas ACD dalijamas pusiau. Nuo taško C iki susikirtimo su tiese AD nubrėžiama linija. Taškas E dalija atkarpą AD santykiu 56:44.

Stačiakampio padalijimas su antrojo aukso pjūvio linija

Paveikslėlyje parodyta antrojo aukso pjūvio linijos padėtis. Jis yra viduryje tarp aukso pjūvio linijos ir vidurinės stačiakampio linijos.

AUKSINIS TRIKAMPIS (pentagrama)

Norėdami rasti kylančios ir mažėjančios serijos auksinės proporcijos segmentus, galite naudoti pentagramą.

Taisyklingo penkiakampio ir pentagramos konstrukcija

Norėdami sukurti pentagramą, turite sukurti įprastą penkiakampį. Jo konstravimo būdą sukūrė vokiečių tapytojas ir grafikas Albrechtas Dureris. Tegul O yra apskritimo centras, A yra apskritimo taškas, o E yra atkarpos OA vidurio taškas. Statmenas spinduliui OA, atkurtas taške O, kertasi su apskritimu taške D. Kompasu nubrėžkite atkarpą CE=ED ant skersmens. Į apskritimą įbrėžto taisyklingo penkiakampio kraštinės ilgis lygus DC. Ant apskritimo nubrėžiame atkarpas DC ir gauname penkis taškus, kad nubrėžtume taisyklingą penkiakampį. Penkiakampio kampus sujungiame vienas per kitą įstrižainėmis ir gauname pentagramą. Visos penkiakampio įstrižainės padalija viena kitą į segmentus, sujungtus aukso pjūviu.

Kiekvienas penkiakampės žvaigždės galas reiškia auksinį trikampį. Jo kraštinės viršūnėje sudaro 36 0 kampą, o pagrindas, padėtas iš šono, padalija jį aukso pjūvio proporcijomis.

Nubrėžiame tiesią AB. Iš taško A ant jo tris kartus paguldome savavališko dydžio atkarpą O, per gautą tašką P nubrėžiame statmeną tiesei AB, statmenoje į dešinę ir kairę nuo taško P atidedame atkarpas O. gautus taškus d ir d 1 sujunkite tiesiomis linijomis su tašku A. Atkarpą dd 1 įdedame į tiesę Ad 1, gaudami tašką C. Tiesę Ad 1 jis padalino aukso pjūvio proporcijomis. Eilutės Ad 1 ir dd 1 naudojamos „auksiniam“ stačiakampiui sukurti.

Auksinio trikampio konstrukcija

AUKSO SANTYKIO ISTORIJA

Iš tiesų, Cheopso piramidės, šventyklų, namų apyvokos daiktų ir papuošalų iš Tutanchamono kapo proporcijos rodo, kad Egipto meistrai juos kurdami naudojo aukso padalijimo santykius. Prancūzų architektas Le Corbusier nustatė, kad reljefe iš faraono Seti I šventyklos Abydos mieste ir reljefe, vaizduojančiame faraoną Ramzią, figūrų proporcijos atitinka aukso padalijimo vertes. Architektas Khesira, pavaizduotas ant jo vardu pavadinto kapo medinės lentos reljefo, rankose laiko matavimo prietaisus, kuriuose užfiksuotos aukso padalijimo proporcijos.

Graikai buvo įgudę geometrai. Jie netgi mokė aritmetikos savo vaikus naudodami geometrines figūras. Pitagoro kvadratas ir šios aikštės įstrižainė buvo dinamiškų stačiakampių konstravimo pagrindas.

Dinaminiai stačiakampiai

Platonas taip pat žinojo apie auksinį padalijimą. Pitagorietis Timėjas Platono to paties pavadinimo dialoge sako: „Neįmanoma, kad du dalykai būtų tobulai sujungti be trečiojo, nes tarp jų turi atsirasti daiktas, kuris juos laikytų kartu. Tai geriausiai galima atlikti pagal proporciją, nes jei trys skaičiai turi savybę, kad vidurkis yra mažesnis, tuo didesnis yra vidurkis, ir, atvirkščiai, mažesnis yra vidurkis, o vidurkis yra didesnis, tada pastarasis ir pirmasis bus vidutinis, o vidutinis – pirmas ir paskutinis. Taigi viskas, ko reikia, bus tas pats, o kadangi bus tas pats, tai ir sudarys visumą. Žemiškas pasaulis Platonas konstruoja naudodamas dviejų tipų trikampius: lygiašonius ir nelygiašonius. Pats gražiausias taisyklingas trikampis jis laiko tokį, kurio hipotenuzė yra dvigubai didesnė už mažesnę iš kojų (toks stačiakampis yra pusė lygiakraštės, pagrindinės babiloniečių figūros, jo santykis yra 1: 3 1/2, kuris skiriasi nuo auksinės santykis yra maždaug 1/25, o Timerding jį vadina „auksinių pjūvių varžovu“). Naudodamas trikampius, Platonas sukuria keturias taisyklingas daugiakampes, susiejančias jas su keturiais žemiškais elementais (žeme, vandeniu, oru ir ugnimi). Ir tik paskutinis iš penkių esamų taisyklingų daugiakampių – dodekaedras, iš kurių visi dvylika yra taisyklingi penkiakampiai, pretenduoja į simbolinį dangaus pasaulio vaizdą.

IKOSAEDRAS IR DODEKAEDRAS

Garbė atrasti dodekaedrą (arba, kaip buvo manoma, pačią Visatą, šią keturių elementų kvintesenciją, kurią atitinkamai simbolizuoja tetraedras, oktaedras, ikosaedras ir kubas) priklauso Hipasui, kuris vėliau žuvo sudužus laivui. Šioje figūroje tikrai užfiksuota daug aukso pjūvio santykių, todėl buvo priskirtas pastarasis pagrindinis vaidmuo dangiškame pasaulyje, ko vėliau reikalavo brolis Luca Pacioli.

Antikvarinis aukso pjūvio kompasas

Senovės literatūroje, kuri atėjo iki mūsų, aukso padalijimas pirmą kartą paminėtas Euklido elementuose. 2-oje elementų knygoje pateikta geometrinė aukso padalijimo konstrukcija. Po Euklido auksinio padalijimo tyrimus atliko Hypsicles (II a. pr. Kr.), Papas (III a. po Kr.) ir kt., Viduramžių Europoje jie susipažino su auksiniu padalijimu per arabiškus Euklido elementų vertimus. Vertėjas J. Campano iš Navaros (III a.) pateikė pastabų dėl vertimo. Auksinės divizijos paslaptys buvo pavydžiai saugomos ir laikomos griežtoje paslaptyje. Juos žinojo tik iniciatoriai.

Viduramžiais pentagrama buvo demonizuota (kaip ir daug kas senovės pagonybėje buvo laikoma dieviška) ir rado prieglobstį okultiniuose moksluose. Tačiau Renesansas vėl iškelia į dienos šviesą ir pentagramą, ir aukso pjūvį. Taigi tuo humanizmo įsigalėjimo laikotarpiu plačiai paplito diagrama, apibūdinanti žmogaus kūno sandarą.

Leonardo da Vinci taip pat ne kartą griebėsi tokio paveikslo, iš esmės atkartodamas pentagramą. Jos aiškinimas: žmogaus kūnas turi dievišką tobulumą, nes jam būdingos proporcijos yra tokios pačios kaip ir pagrindinėje dangiškoje figūroje. Leonardo da Vinci, menininkas ir mokslininkas, pamatė, kad italų menininkai turėjo daug empirinės patirties, bet mažai žinių. Jis pastojo ir pradėjo rašyti knygą apie geometriją, tačiau tuo metu pasirodė vienuolio Luca Pacioli knyga, o Leonardo atsisakė savo idėjos. Anot amžininkų ir mokslo istorikų, Luca Pacioli buvo tikras šviesulys, didžiausias Italijos matematikas laikotarpiu tarp Fibonačio ir Galilėjaus. Luca Pacioli buvo dailininko Piero della Franceschi mokinys, kuris parašė dvi knygas, iš kurių viena vadinosi „Apie tapybos perspektyvą“. Jis laikomas aprašomosios geometrijos kūrėju.

Luca Pacioli puikiai suprato mokslo svarbą menui.

1496 m., kunigaikščio Moreau kvietimu, atvyko į Milaną, kur skaitė matematikos paskaitas. Leonardo da Vinci tuo metu taip pat dirbo Milane, Moro teisme. 1509 m. Venecijoje buvo išleista Luca Pacioli knyga „Apie dieviškąją proporciją“ (De divina proporcija, 1497 m., išleista Venecijoje 1509 m.) su puikiai atliktomis iliustracijomis, todėl manoma, kad jas sukūrė Leonardo da Vinci. Knyga buvo entuziastingas aukso pjūvio himnas. Tokia proporcija yra tik viena, o unikalumas yra aukščiausia Dievo savybė. Ji įkūnija šventąją trejybę. Ši proporcija negali būti išreikšta prieinamu skaičiumi, lieka paslėpta ir slapta, o pačių matematikų vadinama neracionalia (taip pat Dievo negalima apibrėžti ar paaiškinti žodžiais). Dievas niekada nesikeičia ir vaizduoja viską visame kame ir viską kiekvienoje jo dalyje, todėl aukso pjūvis bet kokiam tęstiniam ir apibrėžtam kiekiui (nepriklausomai nuo to, ar jis didelis ar mažas) yra vienodas, negali būti nei keičiamas, nei keičiamas. kitaip suvokiamas priežastis. Dievas pašaukė egzistuoti dangiškąją dorybę, kitaip vadinamą penktąja substancija, su jos pagalba ir dar keturiais paprastais kūnais (keturiais elementais – žeme, vandeniu, oru, ugnimi) ir jų pagrindu pakvietė egzistuoti visus kitus gamtos daiktus; Taigi mūsų šventoji proporcija, pasak Platono Timėjuje, suteikia formalią egzistenciją pačiam dangui, nes jam priskiriama kūno, vadinamo dodekaedru, išvaizda, kuri negali būti sukonstruota be aukso pjūvio. Tai yra Pacioli argumentai.

Leonardo da Vinci daug dėmesio skyrė ir auksinės divizijos tyrinėjimams. Jis padarė stereometrinio kūno dalis, sudarytas iš taisyklingų penkiakampių, ir kiekvieną kartą gaudavo stačiakampius, kurių kraštinių santykis buvo auksinėje padaloje. Todėl šiam skyriui jis suteikė aukso pjūvio pavadinimą. Taigi jis vis dar išlieka populiariausias.

Tuo pačiu metu Europos šiaurėje, Vokietijoje, Albrechtas Diureris sprendė tas pačias problemas. Jis eskizuoja įvadą į pirmąjį traktato apie proporcijas variantą. Diureris rašo: „Būtina, kad tas, kuris žino, kaip ką nors padaryti, išmokytų to kitus, kuriems to reikia. Štai ką aš užsibrėžiau padaryti“.

Kepleris auksinę proporciją pavadino savaime besitęsiančia. „Jos struktūra yra tokia, – rašė jis, – kad du žemiausi šios begalinės proporcijos nariai sudaro trečiąjį terminą, o bet kurios dvi paskutinės dalys, sudėjus kartu, duoda kitą kadenciją, ir ta pati proporcija išlieka iki begalybės“.

Auksinės proporcijos segmentų serijos konstravimas gali būti atliekamas tiek didėjimo kryptimi (didėjanti serija), tiek mažėjimo kryptimi (mažėjančia serija).

Jei yra savavališko ilgio tiesioje linijoje, segmentą atidėkite m , padėkite segmentą šalia jo M . Remdamiesi šiais dviem segmentais, sudarome didėjančios ir mažėjančios serijų auksinės proporcijos segmentų skalę.

Aukso proporcijų segmentų skalės konstravimas

1855 m. vokiečių aukso pjūvio tyrinėtojas profesorius Zeisingas paskelbė savo veikalą „Estetikos studijos“. Zeisingui nutiko būtent tai, kas neišvengiamai turėtų nutikti tyrėjui, kuris reiškinį laiko tokiu, nesusijusiu su kitais reiškiniais. Jis suabsoliutino aukso pjūvio proporciją, paskelbdamas ją universalia visiems gamtos ir meno reiškiniams. Zeisingas turėjo daug pasekėjų, tačiau buvo ir priešininkų, kurie paskelbė, kad jo proporcijų doktrina yra „matematinė estetika“.

Zeisingas atliko puikų darbą. Jis išmatavo apie du tūkstančius žmonių kūnai ir priėjo prie išvados, kad aukso pjūvis išreiškia vidutinį statistinį dėsnį. Kūno padalijimas pagal bambos tašką yra svarbiausias aukso pjūvio rodiklis. Vyro kūno proporcijos svyruoja vidutiniškai 13:8 = 1,625 ir yra šiek tiek artimesnės auksiniam pjūviui nei proporcijos. moteriškas kūnas, kurio atžvilgiu vidutinė proporcijos reikšmė išreiškiama santykiu 8:5 = 1,6. Naujagimiui ši proporcija yra 1:1, sulaukus 13 metų – 1,6, o sulaukus 21 metų – vyro. Aukso pjūvio proporcijos atsiranda ir kitų kūno dalių atžvilgiu – peties, dilbio ir plaštakos ilgio, plaštakos ir pirštų ir kt.

Zeisingas išbandė savo teorijos pagrįstumą graikų statulomis. Jis detaliausiai sukūrė „Apollo Belvedere“ proporcijas. Graikiškos vazos buvo ištirtos architektūros statiniai skirtingos epochos, augalai, gyvūnai, paukščių kiaušiniai, muzikiniai tonai, poetiniai metrai. Zeisingas pateikė aukso pjūvio apibrėžimą ir parodė, kaip jis išreiškiamas tiesiomis atkarpomis ir skaičiais. Kai buvo gauti skaičiai, išreiškiantys segmentų ilgį, Zeisingas pamatė, kad jie sudaro Fibonačio seriją, kurią galima tęsti neribotą laiką viena ar kita kryptimi. Kita jo knyga buvo pavadinta „Auksinis skyrius kaip pagrindinis gamtos ir meno morfologinis dėsnis“. 1876 m. Rusijoje buvo išleista nedidelė knygelė, beveik brošiūra, kurioje buvo aprašytas šis Zeisingo darbas. Autorius prisiglaudė po inicialais Yu.F.V. Šiame leidime neminimas nė vienas tapybos kūrinys.

IN pabaigos XIX- XX amžiaus pradžia Atsirado daug grynai formalistinių teorijų apie aukso pjūvio panaudojimą meno kūriniuose ir architektūroje. Tobulėjant dizainui ir techninei estetikai aukso pjūvio dėsnis išsiplėtė ir automobilių, baldų ir kt.

AUKSINIS SANTYKIS IR SIMETRIJOS

Auksinis pjūvis negali būti nagrinėjamas atskirai, atskirai, be ryšio su simetrija. Didysis rusų kristalografas G.V. Vilkas (1863-1925) aukso pjūvį laikė viena iš simetrijos apraiškų.

Auksinis padalijimas nėra asimetrijos pasireiškimas, kažkas priešingo simetrijai. Pagal šiuolaikinės idėjos Auksinis padalijimas yra asimetrinė simetrija. Simetrijos mokslas apima tokias sąvokas kaip statinė ir dinaminė simetrija. Statinė simetrija apibūdina ramybę ir pusiausvyrą, o dinaminė – judėjimą ir augimą. Taigi gamtoje statinę simetriją reprezentuoja kristalų struktūra, o mene ji apibūdina ramybę, pusiausvyrą ir nejudrumą. Dinaminė simetrija išreiškia aktyvumą, apibūdina judėjimą, raidą, ritmą, yra gyvybės įrodymas. Statinei simetrijai būdingi vienodi segmentai ir vienodos reikšmės. Dinaminei simetrijai būdingas segmentų padidėjimas arba jų sumažėjimas, ir ji išreiškiama didėjančios arba mažėjančios serijos aukso pjūvio reikšmėmis.

FIBONACCI SERIJA

Italų matematiko vienuolio Leonardo iš Pizos, geriau žinomo kaip Fibonačio, vardas yra netiesiogiai susijęs su aukso pjūvio istorija. Jis daug keliavo po Rytus ir pristatė arabiškus skaitmenis Europai. 1202 metais buvo išleistas jo matematinis veikalas „Abako knyga“ (skaičiavimo lenta), kuriame surinktos visos tuo metu žinomos problemos.

Skaičių serija 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ir kt. žinoma kaip Fibonacci serija. Skaičių sekos ypatumas tas, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo trečiojo, yra lygus dviejų ankstesnių 2+3=5 sumai; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 ir t.t., o gretimų skaičių santykis serijoje artėja prie auksinio padalijimo santykio. Taigi, 21:34 = 0,617 ir 34:55 = 0,618. Šis santykis žymimas simboliu F. Tik šis santykis – 0,618:0,382 – duoda nuolatinį tiesios atkarpos padalijimą auksine proporcija, jį didinant arba sumažinant iki begalybės, kai mažesnė atkarpa yra susijusi su didesne kaip didesnis yra visumai.

Kaip parodyta apatiniame paveikslėlyje, kiekvieno piršto sąnario ilgis yra susietas su kito sąnario ilgiu proporcija F. Tas pats ryšys matomas visuose rankų ir kojų pirštuose. Šis ryšys kažkaip neįprastas, nes vienas pirštas ilgesnis už kitą be jokio matomo rašto, bet tai neatsitiktinai, kaip ir viskas žmogaus kūne neatsitiktinai. Atstumai ant pirštų, pažymėti nuo A iki B iki C iki D iki E, yra susiję vienas su kitu santykiu F, kaip ir pirštų falangos nuo F iki G iki H.

Pažvelkite į šį varlės skeletą ir pažiūrėkite, kaip kiekvienas kaulas atitinka F proporcijų modelį, kaip ir žmogaus kūne.

GENERALINIS AUKSO SANTYKIS

Mokslininkai toliau aktyviai plėtojo Fibonačio skaičių ir aukso pjūvio teoriją. Yu.Matiyasevičius išsprendžia Hilberto 10-ąją užduotį naudodamas Fibonačio skaičius. Atsiranda daugybė kibernetinių problemų sprendimo būdų (paieškos teorija, žaidimai, programavimas), naudojant Fibonačio skaičius ir auksinį pjūvį. JAV kuriama net Mathematical Fibonacci asociacija, kuri nuo 1963 metų leidžia specialų žurnalą.

Vienas iš šios srities laimėjimų – apibendrintų Fibonačio skaičių ir apibendrintų aukso santykio atradimas.

Jo atrastos Fibonačio serijos (1, 1, 2, 3, 5, 8) ir „dvejetainė“ svorių serija 1, 2, 4, 8 iš pirmo žvilgsnio visiškai skiriasi. Bet jų konstravimo algoritmai labai panašūs vienas į kitą: pirmuoju atveju kiekvienas skaičius yra ankstesnio skaičiaus suma su savimi 2=1+1; 4=2+2..., antrame - tai dviejų ankstesnių skaičių suma 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Ar galima rasti bendrą matematinį formulė, iš kurios gaunama „dvejetainė“ » serija ir Fibonačio serija? O gal ši formulė suteiks mums naujų skaitinių rinkinių, turinčių naujų unikalių savybių?

Iš tiesų, apibrėžkime skaitinį parametrą S, kuris gali turėti bet kokias reikšmes: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Panagrinėkime skaičių seką S+1, kurios pirmieji nariai yra vienetai, o kiekvienas paskesni yra lygūs dviejų ankstesnio narių sumai ir atskirti nuo ankstesnio S žingsniais. Jei šios serijos n-ąjį narį pažymėsime? S (n), tada gauname bendrą formulę? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Akivaizdu, kad su S=0 iš šios formulės gausime „dvejetainę“ eilutę, su S=1 - Fibonačio eilutę, su S=2, 3, 4. naujas skaičių eilutes, kurios vadinamos S-Fibonačio skaičiais. .

IN bendras vaizdas Auksinė S proporcija yra auksinės S pjūvio x S+1 -x S -1=0 lygties teigiama šaknis.

Nesunku parodyti, kad kai S = 0 atkarpa dalijama pusiau, o kai S = 1 gaunamas pažįstamas klasikinis aukso pjūvis.

Gretimų Fibonačio S skaičių santykiai sutampa su absoliučiu matematiniu tikslumu riboje su auksinėmis S proporcijomis! Matematikai tokiais atvejais sako, kad auksiniai S koeficientai yra skaitiniai Fibonačio S skaičių invariantai.

Faktus, patvirtinančius auksinių S pjūvių egzistavimą gamtoje, pateikia baltarusių mokslininkas E.M. Soroko knygoje „Struktūrinė sistemų harmonija“ (Minskas, „Mokslas ir technika“, 1984). Pavyzdžiui, paaiškėja, kad gerai ištirti dvejetainiai lydiniai turi specialių, ryškių funkcinių savybių (termiškai stabilūs, kieti, atsparūs dilimui, atsparūs oksidacijai ir kt.) tik tuo atveju, jei originalių komponentų savitieji svoriai yra susiję vienas su kitu. po vieną iš auksinių S proporcijų. Tai leido autoriui iškelti hipotezę, kad auksinės S pjūviai yra savaime besitvarkančių sistemų skaitiniai invariantai. Kai ši hipotezė bus patvirtinta eksperimentiškai, ji gali turėti esminės reikšmės plėtojant sinergiją – naują mokslo sritį, tiriančią procesus savaime besitvarkančiose sistemose.

Naudodami auksinius S proporcijų kodus, bet kurį realųjį skaičių galite išreikšti kaip auksinių S proporcijų galių sumą su sveikųjų skaičių koeficientais.

Esminis skirtumas tarp šio skaičių kodavimo būdo yra tas, kad naujų kodų, kurie yra auksinės S proporcijos, bazės pasirodo neracionaliais skaičiais, kai S>0. Taigi atrodo, kad naujos skaičių sistemos su neracionaliomis bazėmis iškelia istoriškai nusistovėjusią racionaliųjų ir neracionalių skaičių santykių hierarchiją „nuo galvos iki kojų“. Faktas yra tas, kad natūralūs skaičiai buvo pirmą kartą „atrasta“; tada jų santykiai yra racionalieji skaičiai. Ir tik vėliau, pitagoriečiams atradus nepalyginamus segmentus, gimė neracionalūs skaičiai. Pavyzdžiui, dešimtainėje, kvinarinėje, dvejetainėje ir kitose klasikinėse pozicinių skaičių sistemose natūralieji skaičiai buvo pasirinkti kaip savotiškas pagrindinis principas: 10, 5, 2, iš kurių pagal tam tikras taisykles visi kiti natūralieji skaičiai, taip pat racionalieji skaičiai. ir neracionalieji skaičiai, buvo sukonstruoti.

Savotiška alternatyva esamus metodusžymėjimas yra nauja, neracionali sistema, kurioje neracionalusis skaičius (kuris, prisimename, yra aukso pjūvio lygties šaknis) pasirenkamas kaip esminis žymėjimo pradžios pagrindas; per jį jau išreiškiami kiti realieji skaičiai.

Tokioje skaičių sistemoje bet koks natūralusis skaičius visada gali būti pavaizduotas kaip baigtinis, o ne begalinis, kaip manyta anksčiau! — bet kurios auksinės S proporcijos galių suma. Tai yra viena iš priežasčių, kodėl atrodo, kad „neracionali“ aritmetika, turinti nuostabų matematinį paprastumą ir eleganciją, įsisavino geriausios savybės klasikinė dvejetainė ir Fibonačio aritmetika.

FORMŲ FORMŲ GAMTOJE PRINCIPAI

Viskas, kas įgavo kažkokį pavidalą, formavosi, augo, siekė užimti vietą erdvėje ir išsaugoti save. Šis noras realizuojamas daugiausia dviem būdais: augant aukštyn arba plintant žemės paviršiumi ir besisukant spirale.

Korpusas susuktas spirale. Jei jį išskleisite, gausite šiek tiek trumpesnį nei gyvatės ilgį. Mažas dešimties centimetrų kiautas turi 35 cm ilgio spiralę.Spiralės gamtoje labai paplitusios. Auksinio pjūvio idėja bus neišsami, nekalbant apie spiralę.

Archimedo dėmesį patraukė spirališkai riesto apvalkalo forma. Jis jį ištyrė ir išvedė spiralės lygtį. Pagal šią lygtį nubrėžta spiralė vadinama jo vardu. Jos žingsnio padidėjimas visada vienodas. Šiuo metu Archimedo spiralė plačiai naudojama technikoje.

Goethe taip pat pabrėžė gamtos polinkį į spirališkumą. Sraigtinis ir spiralinis lapų išsidėstymas ant medžių šakų buvo pastebėtas jau seniai.

Spiralė buvo matyti saulėgrąžų sėklų, kankorėžių, ananasų, kaktusų ir kt. Bendras botanikų ir matematikų darbas atskleidė šiuos nuostabius gamtos reiškinius. Paaiškėjo, kad Fibonacci serija pasireiškia lapų išsidėstymu ant šakos (filotaksi), saulėgrąžų sėklomis ir kankorėžiais, todėl pasireiškia aukso pjūvio dėsnis. Voras savo tinklą audžia spiralės būdu. Uraganas sukasi kaip spiralė. Išsigandusi šiaurės elnių banda išsisklaido spirale. DNR molekulė susisukusi dviguba spirale. Goethe spiralę pavadino „gyvenimo kreive“.

Mandelbroto serija

Auksinė spiralė yra glaudžiai susijusi su ciklais. Šiuolaikinis chaoso mokslas tiria paprastas ciklines operacijas su grįžtamuoju ryšiu ir jų generuojamas fraktalų formas, kurios anksčiau nebuvo žinomos. Nuotraukoje pavaizduota garsioji Mandelbroto serija – puslapis iš žodyno h atskirų raštų galūnės, vadinamos Julian serija. Kai kurie mokslininkai Mandelbroto seriją sieja su genetinis kodas ląstelių branduoliai. Nuolat didėjantis sekcijų skaičius atskleidžia savo meniniu sudėtingumu stebinančius fraktalus. Ir čia taip pat yra logaritminės spiralės! Tai dar svarbiau, nes tiek Mandelbroto, tiek Juliano serijos nėra išradimai žmogaus protas. Jie kyla iš Platono prototipų srities. Kaip sakė gydytojas R. Penrose'as, „jie yra kaip Everesto kalnas“.

Tarp pakelės vaistažolių auga niekuo neišsiskiriantis augalas – cikorija. Pažvelkime į tai atidžiau. Iš pagrindinio stiebo susiformavo ūglis. Pirmasis lapas buvo čia pat.

Ūglis stipriai išsviedžia į erdvę, sustoja, paleidžia lapą, bet šis laikas trumpesnis nei pirmasis, vėl išsviedžia į erdvę, bet su mažesne jėga, paleidžia dar mažesnio dydžio lapą ir vėl išsviedžia.

Jei pirmoji emisija laikoma 100 vienetų, tada antroji yra lygi 62 vienetams, trečioji - 38, ketvirtoji - 24 ir tt. Žiedlapių ilgis taip pat priklauso nuo auksinės proporcijos. Augdamas ir užkariaujant erdvę augalas išlaikė tam tikras proporcijas. Jo augimo impulsai palaipsniui mažėjo proporcingai aukso pjūviui.

Cikorija

Daugelio drugelių krūtinės ir pilvo kūno dalių dydžių santykis atitinka auksinį pjūvį. Sulenkusi sparnus kandis sudaro taisyklingą lygiakraštį trikampį. Bet jei išskleisite sparnus, pamatysite tą patį kūno padalijimo į 2, 3, 5, 8 principą. Laumžirgis taip pat sukurtas pagal auksinės proporcijos dėsnius: uodegos ir kūno ilgių santykį. yra lygus viso ilgio ir uodegos ilgio santykiui.

Iš pirmo žvilgsnio driežas turi proporcijas, kurios džiugina mūsų akis – jo uodegos ilgis yra susijęs su likusios kūno dalies ilgiu nuo 62 iki 38.

Gyvas driežas

Tiek augalų, tiek gyvūnų pasauliuose atkakliai prasiveržia formuojantis gamtos polinkis – simetrija augimo ir judėjimo krypties atžvilgiu. Čia auksinis pjūvis atsiranda dalių proporcijose, statmenose augimo krypčiai.

Gamta atliko padalijimą į simetriškas dalis ir auksines proporcijas. Dalys atskleidžia visumos struktūros pasikartojimą.

Didelis susidomėjimas yra paukščių kiaušinių formų tyrimas. Įvairios jų formos svyruoja tarp dviejų kraštutinių tipų: vienas iš jų gali būti įrašytas į aukso pjūvio stačiakampį, kitas - į stačiakampį, kurio modulis yra 1,272 (aukso pjūvio šaknis).

Tokios paukščių kiaušinių formos nėra atsitiktinės, nes dabar nustatyta, kad aukso pjūvio santykiu apibūdinama kiaušinių forma atitinka didesnes kiaušinio lukšto stiprumo charakteristikas.

Dramblių ir išnykusių mamutų iltys, liūtų nagai ir papūgų snapai yra logaritminės formos ir primena ašies formą, kuri linkusi virsti spirale.

Gyvojoje gamtoje plačiai paplitusios „penkiakampe“ simetrija pagrįstos formos (žvaigždė, jūros ežiai, gėlės).

Aukso pjūvis yra visų kristalų struktūroje, tačiau dauguma kristalų yra mikroskopiškai maži, todėl plika akimi jų nematome. Tačiau snaigės, kurios taip pat yra vandens kristalai, yra gana matomos mūsų akimis. Visos nuostabiai gražios figūros, formuojančios snaiges, visos ašys, apskritimai ir geometrinės figūros snaigėse taip pat visada be išimties yra sukurtos pagal tobulą aiškią aukso pjūvio formulę.

Mikrokosme visur vyrauja trimatės logaritminės formos, sukurtos pagal auksines proporcijas. Pavyzdžiui, daugelis virusų turi trimatę geometrinę ikosaedro formą. Bene garsiausias iš šių virusų yra Adeno virusas. Adeno viruso baltyminis apvalkalas susidaro iš 252 vienetų baltymų ląstelių, išsidėsčiusių tam tikra seka. Kiekviename ikosaedro kampe yra 12 penkiakampės prizmės formos baltymų ląstelių vienetų, o iš šių kampų tęsiasi į stuburą panašios struktūros.

Adeno virusas

Auksinis pjūvis virusų struktūroje pirmą kartą buvo atrastas šeštajame dešimtmetyje. Londono Birkbeck koledžo mokslininkai A. Klugas ir D. Kasparas. Polio virusas pirmasis parodė logaritminę formą. Nustatyta, kad šio viruso forma yra panaši į Rhino viruso formą.

Kyla klausimas: kaip virusai formuoja tokias sudėtingas erdvines formas, kurių struktūroje yra aukso pjūvis, kurias gana sunku sukonstruoti net mūsų žmogaus protu? Šių virusų formų atradėjas virusologas A. Klugas pateikia tokį komentarą: „Su daktaru Kasparu parodėme, kad sferiniam viruso apvalkalui optimaliausia forma yra simetrija, tokia kaip ikosaedro forma. Ši tvarka sumažina jungiamųjų elementų skaičių... Dauguma Buckminster Fuller geodezinių pusrutulio formos kubelių yra pastatyti panašiu geometriniu principu. Tokiems kubeliams sumontuoti reikia itin tikslios ir išsamios paaiškinimo diagramos, o nesąmoningi virusai patys sukonstruoja tokį sudėtingą apvalkalą iš elastingų, lanksčių baltymų ląstelių vienetų.

Klugo komentaras dar kartą primena nepaprastai akivaizdžią tiesą: net ir mikroskopinio organizmo sandaroje, kurią mokslininkai priskiria „primityviausia gyvybės forma“. tokiu atveju viruso atveju yra aiškus planas ir įgyvendintas pagrįstas projektas. Šis projektas savo tobulumu ir vykdymo tikslumu nepalyginamas su pažangiausiais žmonių kuriamais architektūros projektais. Pavyzdžiui, genialaus architekto Buckminsterio Fullerio sukurti projektai.

Trimačiai dodekaedro ir ikosaedro modeliai taip pat yra vienaląsčių jūrinių mikroorganizmų radiolarijų (rajų), kurių skeletas pagamintas iš silicio dioksido, skeletų struktūroje.

Radiolariai formuoja savo kūnus labai išskirtinio, neįprasto grožio. Jų forma yra taisyklingo dodekaedro, o iš kiekvieno jo kampo išdygsta pseudopailgėjimas-galūnė ir kitos neįprastos formos-ataugos.

Didysis Gėtė, poetas, gamtininkas ir dailininkas (piešė ir tapė akvarele), svajojo sukurti vieningą organinių kūnų formos, formavimosi ir virsmo doktriną. Būtent jis įvedė morfologijos terminą į mokslinę vartoseną.

Pierre'as Curie šio amžiaus pradžioje suformulavo keletą gilių idėjų apie simetriją. Jis teigė, kad negalima svarstyti jokio kūno simetrijos neatsižvelgus į aplinkos simetriją.

„Auksinės“ simetrijos dėsniai pasireiškia elementariųjų dalelių energijos perėjimais, kai kurių cheminiai junginiai, planetų ir kosmoso sistemose, gyvų organizmų genų struktūrose. Šie modeliai, kaip nurodyta pirmiau, egzistuoja atskirų žmogaus organų ir viso kūno struktūroje, taip pat pasireiškia smegenų bioritmais ir funkcionavimu bei vizualiniu suvokimu.

ŽMOGAUS KŪNAS IR AUKSO SANTYKIS

Visi žmogaus kaulai laikomi proporcingai aukso pjūviui. Įvairių mūsų kūno dalių proporcijos yra labai artimos auksiniam pjūviui. Jei šios proporcijos sutampa su aukso pjūvio formule, tada žmogaus išvaizda ar kūnas yra laikomi idealiai proporcingi.

Auksinės proporcijos žmogaus kūno dalyse

Jei bambos tašką laikysime žmogaus kūno centru, o atstumą tarp žmogaus pėdos ir bambos taško – matavimo vienetu, tai žmogaus ūgis yra lygus skaičiui 1,618.

atstumas nuo pečių lygio iki galvos vainiko ir galvos dydis yra 1:1,618;
atstumas nuo bambos taško iki viršugalvio ir nuo pečių lygio iki viršugalvio yra 1:1,618;
bambos taško atstumas iki kelių ir nuo kelių iki pėdų yra 1:1,618;
atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės lūpos galiuko ir nuo viršutinės lūpos galiuko iki šnervių yra 1:1,618;
tikrasis tikslus auksinės proporcijos buvimas žmogaus veide yra grožio idealas žmogaus žvilgsniui;
atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės antakių linijos ir nuo viršutinės antakių linijos iki vainiko 1:1,618;
veido aukštis / plotis;
centrinis lūpų sujungimo su nosies pagrindu taškas/nosies ilgis;
veido aukštis/atstumas nuo smakro galo iki centrinio taško, kur susikerta lūpos;
burnos plotis/nosies plotis;
nosies plotis/atstumas tarp šnervių;
atstumas tarp vyzdžių/atstumas tarp antakių.

Pakanka tik priartinti delną prie savęs ir atidžiai pažvelgti smiliumi, ir joje iškart rasite aukso pjūvio formulę.

Kiekvienas mūsų rankos pirštas susideda iš trijų pirštakaulių. Pirmųjų dviejų piršto falangų ilgių suma viso piršto ilgio atžvilgiu suteikia aukso pjūvio skaičių (išskyrus nykštį).

Be to, vidurinio ir mažojo piršto santykis taip pat lygus auksiniam pjūviui.

Žmogus turi 2 rankas, kiekvienos rankos pirštai susideda iš 3 pirštakaulių (išskyrus nykštį). Ant kiekvienos rankos yra 5 pirštai, tai yra iš viso 10, tačiau, išskyrus du dvifalangės nykščius, pagal aukso pjūvio principą sukuriami tik 8 pirštai. Tuo tarpu visi šie skaičiai 2, 3, 5 ir 8 yra Fibonačio eilės numeriai.

Taip pat verta atkreipti dėmesį į tai, kad daugumai žmonių atstumas tarp ištiestų rankų galų yra lygus jų ūgiui.

Aukso pjūvio tiesos yra mumyse ir mūsų erdvėje. Bronchų, sudarančių žmogaus plaučius, ypatumas slypi jų asimetrijoje. Bronchai susideda iš dviejų pagrindinių kvėpavimo takų, iš kurių vienas (kairysis) yra ilgesnis, o kitas (dešinis) yra trumpesnis. Nustatyta, kad ši asimetrija tęsiasi bronchų šakose, visuose mažesniuose kvėpavimo takuose. Be to, trumpųjų ir ilgųjų bronchų ilgių santykis taip pat yra auksinis pjūvis ir yra lygus 1:1,618.

Žmogaus vidinėje ausyje yra organas, vadinamas Cochlea („Sraigė“), kuris atlieka garso vibracijos perdavimo funkciją. Ši kaulinė struktūra užpildyta skysčiu ir taip pat yra sraigės formos, turinti stabilią logaritminę spiralės formą = 73 0 43 ".

Veikiant širdžiai, keičiasi kraujospūdis. Didžiausią vertę jis pasiekia kairiajame širdies skilvelyje jo suspaudimo (sistolės) momentu. Arterijose širdies skilvelių sistolės metu kraujospūdis pasiekia didžiausią vertę, lygią 115-125 mm Hg jaunam žmogui, sveikas žmogus. Širdies raumens atsipalaidavimo (diastolės) momentu slėgis sumažėja iki 70-80 mm Hg. Maksimalaus (sistolinio) ir minimalaus (diastolinio) slėgio santykis yra vidutiniškai 1,6, tai yra artimas auksiniam pjūviui.

Jei vidutinį kraujospūdį aortoje paimsime kaip vienetą, tai sistolinis kraujospūdis aortoje yra 0,382, o diastolinis - 0,618, tai yra, jų santykis atitinka auksinę proporciją. Tai reiškia, kad širdies darbas, susijęs su laiko ciklais ir kraujospūdžio pokyčiais, optimizuojamas pagal tą patį principą – auksinės proporcijos dėsnį.

DNR molekulė susideda iš dviejų vertikaliai susipynusių spiralių. Kiekvienos iš šių spiralių ilgis yra 34 angstremai, o plotis - 21 angstremas. (1 angstromas yra šimta milijoninė centimetro dalis).

DNR molekulės spiralės sekcijos struktūra

Taigi, 21 ir 34 yra skaičiai, einantys vienas po kito Fibonačio skaičių sekoje, tai yra, DNR molekulės logaritminės spiralės ilgio ir pločio santykis turi aukso santykio formulę 1:1,618.

AUKSO SANTYKIS SKULPTŪROJE

Įamžinti statomi skulptūriniai statiniai ir paminklai reikšmingų įvykių, palikuonių atmintyje saugoti žinomų žmonių vardus, jų žygdarbius ir poelgius. Yra žinoma, kad net senovėje skulptūros pagrindas buvo proporcijų teorija. Žmogaus kūno dalių santykiai buvo siejami su aukso pjūvio formule. „Aukso pjūvio“ proporcijos sukuria harmonijos ir grožio įspūdį, todėl skulptoriai jas naudojo savo darbuose. Skulptoriai teigia, kad juosmuo padalija tobulą žmogaus kūną „aukso pjūvio“ atžvilgiu. Pavyzdžiui, garsioji Apolono Belvederio statula susideda iš dalių, padalintų pagal aukso proporcijas. Didysis senovės graikų skulptorius Phidias savo darbuose dažnai naudojo „auksinį pjūvį“. Žymiausi iš jų buvo Olimpiečio Dzeuso statula (kuri buvo laikoma vienu iš pasaulio stebuklų) ir Atėnų Partenonas.

Apolono Belvederio statulos auksinė proporcija yra žinoma: pavaizduoto asmens ūgis aukso pjūvyje yra padalintas iš bambos linijos.

AUKSO SANTYKIS ARCHITEKTŪROJE

Knygose apie „auksinį pjūvį“ galima rasti pastabą, kad architektūroje, kaip ir tapyboje, viskas priklauso nuo stebėtojo pozicijos ir jei pastate iš vienos pusės atrodo, kad kažkokios proporcijos sudaro „auksinį pjūvį“, tai iš kitų požiūrių jie atrodys kitaip. „Auksinis santykis“ suteikia ramiausią tam tikro ilgio dydžių santykį.

Vienas gražiausių senovės graikų architektūros kūrinių – Partenonas (V a. pr. Kr.).

Matosi nuotraukose visa linija modeliai, susiję su aukso pjūviu. Pastato proporcijas galima išreikšti per įvairių laipsnių skaičiai Ф=0,618...

Partenonas turi 8 stulpelius trumpose ir 17 ilgose pusėse. Iškyšos yra pagamintos tik iš Pentilijos marmuro kvadratų. Medžiagos, iš kurios buvo pastatyta šventykla, taurumas leido apriboti graikų architektūroje įprasto kolorito naudojimą, jis tik pabrėžia detales ir suformuoja spalvotą (mėlyną ir raudoną) skulptūros foną. Pastato aukščio ir ilgio santykis yra 0,618. Partenoną padalinę pagal „aukso pjūvį“, gausime tam tikrus fasado išsikišimus.

„Auksinius stačiakampius“ taip pat galima pamatyti Partenono grindų plane.

Katedros pastate matome aukso pjūvį Paryžiaus Dievo Motinos katedra(Paryžiaus katedra) ir Cheopso piramidėje.

Ne tik Egipto piramidės buvo pastatytos laikantis tobulų aukso pjūvio proporcijų; toks pat reiškinys buvo aptiktas Meksikos piramidėse.

Ilgą laiką buvo manoma, kad architektai Senovės Rusija Jie viską statė „iš akies“, be jokių specialių matematinių skaičiavimų. Tačiau naujausi tyrimai parodė, kad rusų architektai puikiai žinojo matematines proporcijas – tai įrodo senovinių šventyklų geometrijos analizė.

Žymus rusų architektas M. Kazakovas savo kūryboje plačiai naudojo „aukso pjūvį“. Jo talentas buvo daugialypis, tačiau jis labiau atsiskleidė daugybėje įgyvendintų gyvenamųjų pastatų ir dvarų projektų. Pavyzdžiui, „auksinį pjūvį“ galima rasti Kremliaus Senato pastato architektūroje. Pagal M. Kazakovo projektą Maskvoje buvo pastatyta Golicino ligoninė, kuri šiuo metu vadinama Pirmąja. klinikinė ligoninė pavadintas N.I. Pirogovas.

Petrovskio rūmai Maskvoje. Pastatytas pagal M.F. projektą. Kazakova

Kitas Maskvos architektūros šedevras – Paškovo namas – yra vienas tobuliausių V. Baženovo architektūros kūrinių.

Paškovo namas

Nuostabi V. Baženovo kūryba tvirtai įsiliejo į šiuolaikinės Maskvos centro ansamblį ir jį praturtino. Namo išorė išliko beveik nepakitusi iki šių dienų, nepaisant to, kad 1812 m. jis smarkiai apdegė. Restauruojant pastatas įgavo masyvesnių formų. Vidinis pastato išplanavimas neišsaugotas, tai matyti tik apatinio aukšto brėžinyje.

Šiandien daugelis architekto teiginių nusipelno dėmesio. Apie savo mėgstamą meną V. Baženovas sakė: „Architektūra turi tris pagrindinius objektus: grožį, ramybę ir pastato tvirtumą... Norint tai pasiekti, orientyru pasitarnauja proporcijų, perspektyvos, mechanikos ar apskritai fizikos žinios, o. jų visų bendras lyderis yra protas“.

AUKSO SANTYKIS MUZIKOJE

Bet kuris muzikos kūrinys turi laiko tęsinį ir tam tikrais „estetiniais etapais“ yra padalintas į atskiras dalis, kurios patraukia dėmesį ir palengvina suvokimą kaip visumą. Šie etapai gali būti muzikos kūrinio dinaminės ir intonacinės kulminacijos. Atskiri muzikinio kūrinio laiko intervalai, sujungti „kulminaciniu įvykiu“, paprastai yra aukso santykiu.

Dar 1925 metais menotyrininkė L.L. Sabanejevas, išanalizavęs 1770 42 autorių muzikinių kūrinių, parodė, kad didžiąją dalį iškilių kūrinių galima nesunkiai suskirstyti į dalis arba pagal temą, arba pagal intonacijos struktūrą, arba pagal modalinę struktūrą, kurios tarpusavyje susijusios su auksu. santykis. Be to, kuo talentingesnis kompozitorius, tuo daugiau aukso pjūvių randama jo kūriniuose. Anot Sabanejevo, aukso pjūvis sukuria ypatingos muzikinės kompozicijos harmonijos įspūdį. Sabanejevas patikrino šį rezultatą visuose 27 Šopeno etiuduose. Juose jis atrado 178 aukso pjūvius. Paaiškėjo, kad pagal trukmę auksinio pjūvio atžvilgiu yra suskirstytos ne tik didelės studijų dalys, bet ir viduje esančių studijų dalys dažnai skirstomos tokiu pačiu santykiu.

Kompozitorius ir mokslininkas M.A. Marutajevas suskaičiavo taktų skaičių garsiojoje sonatoje „Appassionata“ ir rado daugybę įdomių skaitinių ryšių. Visų pirma, vystyme - centriniame sonatos struktūriniame vienete, kuriame intensyviai vystomos temos ir keičiasi tonai - yra dvi pagrindinės dalys. Pirmajame - 43,25 matai, antrajame - 26,75. Santykis 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 suteikia auksinį pjūvį.

Daugiausia kūrinių, kuriuose yra Aukso pjūvis, yra Arenskio (95%), Bethoveno (97%), Haydno (97%), Mocarto (91%), Šopeno (92%), Schuberto (91%) kūrinių.

Jei muzika yra harmoninga garsų tvarka, tai poezija yra harmoninga kalbos tvarka. Aiškus ritmas, natūrali kirčiuotų ir nekirčiuotų skiemenų kaita, eilėraščių eilėraščių eilėraščio eilėraščiai tvarkingi metrai, emocinis turtingumas paverčia poeziją muzikos kūrinių seserimi. Auksinis pjūvis poezijoje pirmiausia pasireiškia kaip tam tikro eilėraščio momento (kulminacijos, semantinio posūkio, pagrindinės kūrinio idėjos) buvimas eilutėje, patenkančioje į padalijimo tašką. iš viso eilėraščio eilutės aukso proporcijomis. Taigi, jei eilėraštyje yra 100 eilučių, tada pirmasis auksinio santykio taškas patenka į 62-ą eilutę (62%), antrasis - į 38-ą (38%) ir kt. Aleksandro Sergejevičiaus Puškino darbai, įskaitant „Eugenijus Oneginas“, yra geriausias aukso proporcijos atitikimas! Šotos Rustaveli ir M.Yu kūriniai. Lermontovas taip pat pastatytas pagal aukso pjūvio principą.

Stradivaris rašė, kad naudojo aukso pjūvį, kad nustatytų f formos įpjovų vietas savo garsiųjų smuikų korpusuose.

AUKSO SANTYKIS POEZIJOJE

Poetinių kūrinių tyrimai iš šių pozicijų tik prasideda. O pradėti reikia nuo A.S. poezijos. Puškinas. Juk jo darbai – iškiliausių rusų kultūros kūrybos pavyzdys, pavyzdys aukščiausio lygio harmonija. Iš poezijos A.S. Puškinai, pradėsime ieškoti auksinės proporcijos – harmonijos ir grožio mato.

Daug poetinių kūrinių struktūra daro šią meno formą panašią į muziką. Aiškus ritmas, natūrali kirčiuotų ir nekirčiuotų skiemenų kaita, eilėraščių eilėraščių eilėraščio eilėraščiai tvarkingi metrai, emocinis turtingumas paverčia poeziją muzikos kūrinių seserimi. Kiekvienas posmas turi savo muzikinę formą, savo ritmą ir melodiją. Galima tikėtis, kad eilėraščių struktūroje atsiras kai kurie muzikos kūrinių bruožai, raštai. muzikos harmonija, taigi ir aukso pjūvis.

Pradėkime nuo eilėraščio dydžio, tai yra, eilučių skaičiaus jame. Atrodytų, kad šis eilėraščio parametras gali keistis savavališkai. Tačiau paaiškėjo, kad taip nėra. Pavyzdžiui, N. Vasyutinsky A. S. eilėraščių analizė. Puškina parodė, kad eilėraščių dydžiai pasiskirstę labai netolygiai; paaiškėjo, kad Puškinas aiškiai teikia pirmenybę 5, 8, 13, 21 ir 34 eilučių dydžiams (Fibonačio skaičiai).

Daugelis tyrinėtojų pastebėjo, kad eilėraščiai yra panašūs muzikos kūrinių; jie taip pat turi kulminacinius taškus, kurie skirsto eilėraštį proporcingai aukso pjūviui. Apsvarstykite, pavyzdžiui, A.S. eilėraštį. Puškino „Batsiuvys“:

Paanalizuokime šį palyginimą. Eilėraštis susideda iš 13 eilučių. Jį sudaro dvi semantinės dalys: pirmoji iš 8 eilučių ir antroji (palyginimo moralė) iš 5 eilučių (13, 8, 5 yra Fibonačio skaičiai).

Vienas paskutinių Puškino eilėraščių „Aš nevertinu garsių teisių...“ susideda iš 21 eilutės ir jame yra dvi semantinės dalys: 13 ir 8 eilučių:

Aš nevertinu garsių teisių,

Dėl ko sukasi ne viena galva.

Nesiskundžiu, kad dievai atsisakė

Mano mielas likimas mesti iššūkį mokesčiams

Arba neleiskite karaliams kovoti tarpusavyje;

Ir man neužtenka jaudintis, jei spauda laisva

Kvailinti idiotai arba jautri cenzūra

Žurnalų planuose juokdarys gėdijasi.

Visa tai, matote, yra žodžiai, žodžiai, žodžiai.

Kitos geresnės teisės man brangios:

Man reikia kitokios, geresnės laisvės:

Priklausykite nuo karaliaus, priklausykite nuo žmonių -

Ar mums rūpi? Dievas su jais.

Neduokite ataskaitos, tik sau

Tarnauti ir įtikti; už valdžią, už liviją

Nelenkite savo sąžinės, minčių, kaklo;

Norėdamas klaidžioti šen bei ten,

Stebėdamasis dievišku gamtos grožiu,

Ir prieš meno kūrinius ir įkvėpimą

Džiaugsmingai drebėdamas švelnumo pakylėjime,

Kokia laimė! Teisingai...

Būdinga, kad pirmoji šio eilėraščio dalis (13 eilučių) pagal semantinį turinį skirstoma į 8 ir 5 eilutes, tai yra, visas eilėraštis struktūrizuotas pagal auksinės proporcijos dėsnius.

Neabejotinai įdomi N. Vasiutinskio romano „Eugenijus Oneginas“ analizė. Šis romanas susideda iš 8 skyrių, kurių kiekviename yra vidutiniškai apie 50 eilių. Aštuntas skyrius yra tobuliausias, labiausiai nušlifuotas ir emociškai turtingiausias. Jame yra 51 eilutė. Kartu su Eugenijaus laišku Tatjanai (60 eilučių) tai tiksliai atitinka Fibonačio skaičių 55!

N. Vasyutinsky teigia: „Skyriaus kulminacija yra Jevgenijaus meilės pareiškimas Tatjanai – eilutė „Pablyškti ir išnykti... tai palaima! Ši eilutė padalija visą aštuntą skyrių į dvi dalis: pirmoji turi 477 eilutes, o antroji – 295 eilutes. Jų santykis yra 1,617! Geriausia aukso proporcijos vertės atitikimas! Tai puikus harmonijos stebuklas, kurį padarė Puškino genijus!

E. Rosenovas analizavo daugelį poetinių M.Yu kūrinių. Lermontovas, Šileris, A.K. Tolstojus ir taip pat juose atrado „auksinį pjūvį“.

Garsioji Lermontovo poema „Borodino“ yra padalinta į dvi dalis: įžangą, skirtą pasakotojui, užimančią tik vieną posmą („Pasakyk man, dėde, tai ne be reikalo...“) ir pagrindinę dalį, reprezentuojančią savarankišką visumą. kuri suskirstyta į dvi lygias dalis. Pirmajame iš jų, didėjant įtampai, aprašomas mūšio laukimas, antrasis – pats mūšis, įtampai palaipsniui mažėjant eilėraščio pabaigoje. Riba tarp šių dalių yra kūrinio kulminacijos taškas ir patenka tiksliai į padalijimo aukso pjūviu tašką.

Pagrindinę eilėraščio dalį sudaro 13 septynių eilučių, tai yra 91 eilutė. Padalinę jį iš aukso pjūvio (91:1,618=56,238), įsitikinome, kad padalijimo taškas yra 57 eilutės pradžioje, kur yra trumpa frazė: „Na, tai buvo diena! Būtent ši frazė yra „sujaudinto laukimo kulminacijos taškas“, užbaigiantis pirmąją eilėraščio dalį (mūšio laukimas) ir atidarantis antrąją dalį (mūšio aprašymas).

Taigi aukso pjūvis poezijoje atlieka labai reikšmingą vaidmenį, išryškindamas eilėraščio kulminaciją.

Daugelis Šotos Rustaveli eilėraščio „Riteris tigro odoje“ tyrinėtojų pastebi išskirtinę jo eilėraščio harmoniją ir melodingumą. Šios gruzinų mokslininko, akademiko G.V. eilėraščio savybės. Tsereteli priskiriama poeto sąmoningam aukso pjūvio naudojimui tiek formuojant eilėraščio formą, tiek statant jo eilėraščius.

Rustaveli eilėraštį sudaro 1587 posmai, kurių kiekviena susideda iš keturių eilučių. Kiekviena eilutė susideda iš 16 skiemenų ir yra padalinta į dvi lygias dalis po 8 skiemenis kiekviename puslapyje. Visi hemistichai yra suskirstyti į du dviejų tipų segmentus: A - hemistich su vienodais segmentais ir lyginis skaičius skiemenys (4+4); B yra hemistichas, turintis asimetrinį padalijimą į dvi nelygias dalis (5+3 arba 3+5). Taigi, hemistich B santykis yra 3:5:8, o tai yra auksinės proporcijos apytikslis dydis.

Nustatyta, kad Rustavelio eilėraštyje iš 1587 posmų daugiau nei pusė (863) sukonstruoti aukso pjūvio principu.

Mūsų laikais gimė nauja meno forma – kinas, sugėręs veiksmo, tapybos, muzikos dramą. Aukso pjūvio apraiškų ieškoti išskirtiniuose kino kūriniuose yra teisėta. Pirmasis tai padarė pasaulinio kino šedevro „Mūšio laivas Potiomkinas“ kūrėjas, režisierius Sergejus Eizenšteinas. Statydamas šį paveikslą jam pavyko įkūnyti pagrindinį harmonijos principą – aukso pjūvį. Kaip pažymi pats Eizenšteinas, raudona vėliava ant maištaujančio mūšio laivo stiebo (filmo kulminacija) plevėsuoja aukso pjūvio taške, skaičiuojant nuo filmo pabaigos.

AUKSINIS SANTYKIS Šriftuose IR NAMŲ DARBUOSE

Ypatingas vaizdas vaizdiniai menai Senovės Graikija Reikėtų pabrėžti visų rūšių indų gamybą ir dažymą. Elegantiškos formos aukso pjūvio proporcijos lengvai atspėjamos.

Tapydami ir skulptūruodami šventyklas, ant namų apyvokos daiktų senovės egiptiečiai dažniausiai vaizdavo dievus ir faraonus. Nustatyti kanonai vaizduoti žmogų stovint, einantį, sėdintį ir pan. Menininkai, naudodami lenteles ir pavyzdžius, privalėjo įsiminti atskiras formas ir vaizdų raštus. Senovės Graikijos menininkai specialiai keliavo į Egiptą, kad išmoktų naudotis kanonu.

OPTIMAlūs IŠORĖS APLINKOS FIZINIAI PARAMETRAI

Yra žinoma, kad maksimalus garso garsumas, sukeliantis skausmą, yra lygus 130 decibelų. Jei šį intervalą padalintume iš aukso santykio 1,618, gautume 80 decibelų, būdingų žmogaus riksmo garsumui. Jei dabar 80 decibelų padalintume iš aukso pjūvio, gautume 50 decibelų, o tai atitinka žmogaus kalbos garsumą. Galiausiai, jei 50 decibelų padalintume iš aukso santykio kvadrato 2,618, gautume 20 decibelų, o tai atitinka žmogaus šnabždesį. Taigi visi būdingi garso stiprumo parametrai yra tarpusavyje susiję per auksinę proporciją.

Esant 18-20 0 C temperatūros intervalui drėgmės Optimaliu laikomas 40-60 proc. Optimalaus drėgnumo intervalo ribas galima gauti, jei 100% absoliučią drėgmę padalijus du kartus iš aukso santykio: 100/2,618 = 38,2% (apatinė riba); 100/1,618=61,8 % (viršutinė riba).

At oro slėgis 0,5 MPa žmogus patiria nemalonius pojūčius, jo fizinės ir psichologinė veikla. Esant 0,3-0,35 MPa slėgiui, leidžiama dirbti tik trumpą laiką, o esant 0,2 MPa slėgiui – ne ilgiau kaip 8 minutes. Visi šie būdingi parametrai yra tarpusavyje susiję auksine proporcija: 0,5/1,618 = 0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Ribiniai parametrai lauko oro temperatūra, kurioje normali žmogaus egzistavimas (o, svarbiausia, atsiradimas tapo įmanomas), yra temperatūros diapazonas nuo 0 iki + (57-58) 0 C. Akivaizdu, kad nereikia aiškinti pirmoji riba.

Padalinkime nurodytą teigiamų temperatūrų diapazoną iš aukso pjūvio. Tokiu atveju gauname dvi ribas (abi ribos yra žmogaus organizmui būdingos temperatūros): pirmoji atitinka temperatūrą, antroji riba – maksimalią įmanomą žmogaus organizmui lauko oro temperatūrą.

AUKSO SANTYKIS DAŽYBĖJE

Dar Renesanso laikais menininkai atrado, kad bet koks paveikslas turi tam tikrus taškus, kurie nevalingai patraukia mūsų dėmesį, vadinamuosius vizualinius centrus. Šiuo atveju nesvarbu, kokio formato paveikslėlis – horizontalus ar vertikalus. Tokių taškų yra tik keturi ir jie yra 3/8 ir 5/8 atstumu nuo atitinkamų plokštumos kraštų.

Šį atradimą to meto menininkai vadino paveikslo „auksiniu pjūviu“.

Pereinant prie tapybos „auksinio pjūvio“ pavyzdžių, negalima susikoncentruoti ties Leonardo da Vinci kūryba. Jo asmenybė yra viena iš istorijos paslapčių. Pats Leonardo da Vinci sakė: „Tenedrįsta niekas, kuris nėra matematikas, skaityti mano darbus“.

Jis išgarsėjo kaip nepralenkiamas menininkas, puikus mokslininkas, genijus, numatęs daugybę išradimų, kurie nebuvo įgyvendinti iki XX a.

Neabejotina, kad Leonardo da Vinci buvo puikus menininkas, tai jau pripažino jo amžininkai, tačiau jo asmenybė ir veikla liks apgaubta paslapčių, nes palikuonims jis paliko ne nuoseklų savo idėjų pristatymą, o tik daugybę ranka užrašytų. eskizai, užrašai, kuriuose rašoma „apie viską pasaulyje“.

Rašė iš dešinės į kairę neįskaitoma rašysena ir kaire ranka. Tai garsiausias egzistuojantis veidrodinio rašymo pavyzdys.

Monnos Lizos (La Gioconda) portretas jau daugelį metų traukė tyrinėtojų dėmesį, kurie išsiaiškino, kad paveikslo kompozicija paremta auksiniais trikampiais, kurie yra taisyklingo žvaigždės formos penkiakampio dalys. Yra daug versijų apie šio portreto istoriją. Štai vienas iš jų.

Vieną dieną Leonardo da Vinci gavo bankininko Francesco dele Giocondo užsakymą nutapyti jaunos moters – bankininko žmonos Monnos Lizos – portretą. Moteris nebuvo graži, tačiau ją traukė išvaizdos paprastumas ir natūralumas. Leonardo sutiko nutapyti portretą. Jo modelis buvo liūdnas ir liūdnas, tačiau Leonardo jai papasakojo pasaką, kurią išgirdusi ji tapo gyva ir įdomi.

PASAKA. Kartą gyveno vienas vargšas, turėjo keturis sūnus: trys buvo protingi, vienas iš jų buvo tas ir anas. Ir tada tėvą atėjo mirtis. Prieš netekdamas gyvybės, jis pasikvietė vaikus pas save ir pasakė: „Mano sūnūs, aš greitai mirsiu. Kai tik mane palaidosi, užrakink trobelę ir eik į pasaulio galus, kad rastum laimės sau. Tegul kiekvienas iš jūsų ko nors išmoksta, kad galėtumėte pamaitinti save. Tėvas mirė, o sūnūs pasklido po pasaulį, sutikdami po trejų metų grįžti į savo gimtosios giraitės proskyną. Atėjo pirmasis brolis, kuris išmoko dailidė, nukirto medį ir nupjovė, padarė iš jo moterį, šiek tiek nuėjo ir laukė. Antrasis brolis grįžo, pamatė medinę moterį ir, būdamas siuvėjas, per minutę aprengė: kaip įgudęs amatininkas, pasiuvo jai gražius šilkinius drabužius. Trečiasis sūnus moterį papuošė auksu ir Brangūs akmenys– juk jis buvo juvelyras. Pagaliau atėjo ketvirtasis brolis. Jis nemokėjo nei staliaus, nei siūti, mokėjo tik klausytis, ką kalba žemė, medžiai, žolė, gyvūnai ir paukščiai, žinojo judesius. dangaus kūnai taip pat mokėjo dainuoti nuostabias dainas. Jis dainavo dainą, kuri verkė už krūmų pasislėpusius brolius. Šia daina jis atgaivino moterį, ji šypsojosi ir atsiduso. Broliai puolė prie jos ir kiekvienas šaukė tą patį: „Tu turi būti mano žmona“. Tačiau moteris atsakė: „Tu mane sukūrei - būk mano tėvas. Jūs mane aprengėte ir papuošėte – būkite mano broliai. O tu, kuris įkvėpei man sielą ir išmokei džiaugtis gyvenimu, esi vienintelis, kurio man reikia visą likusį gyvenimą.

Baigęs pasaką Leonardo pažvelgė į Monną Lizą, jos veidas nušvito šviesa, akys spindėjo. Tada, tarsi pabudusi iš sapno, ji atsiduso, perbraukė ranka per veidą ir be žodžio nuėjo į savo vietą, susidėjo rankas ir užėmė įprastą pozą. Bet darbas atliktas – menininkas pažadino abejingą statulą; Palaimos šypsena, lėtai dingstanti iš jos veido, liko jos burnos kampučiuose ir drebėjo, suteikdama jos veidui nuostabią, paslaptingą ir šiek tiek gudrią išraišką, kaip žmogaus, kuris sužinojo paslaptį ir, atidžiai ją saugodamas, negali. sulaikyti jo triumfą. Leonardo dirbo tyliai, bijodamas praleisti šią akimirką, šį saulės spindulį, kuris apšvietė jo nuobodų modelį...

Sunku pasakyti, kas buvo pastebėta šiame meno šedevre, tačiau visi kalbėjo apie Leonardo gilias žinias apie žmogaus kūno sandarą, kurių dėka jis sugebėjo užfiksuoti šią, atrodytų, paslaptingą šypseną. Jie kalbėjo apie atskirų paveikslo dalių išraiškingumą ir apie peizažą – precedento neturintį portreto palydovą. Kalbėjosi apie išraiškos natūralumą, pozos paprastumą, rankų grožį. Menininkas padarė kažką neregėto: paveiksle vaizduojamas oras, jis apgaubia figūrą skaidria migla. Nepaisant sėkmės, Leonardo buvo niūri, situacija Florencijoje menininkui atrodė skausminga, jis susiruošė į kelią. Priminimai apie užsakymų antplūdį jam nepadėjo.

Aukso pjūvis I.I. Šiškino „Pušynas“. Šiame garsiame I.I. Šiškinas aiškiai parodo aukso pjūvio motyvus. Ryškiai saulės apšviesta pušis (stovi pirmame plane) paveikslo ilgį dalija pagal aukso pjūvį. Į dešinę nuo pušies yra saulės apšviesta kalva. Jis padalija dešinę paveikslo pusę horizontaliai pagal aukso pjūvį. Kairėje nuo pagrindinės pušies yra daug pušų - jei norite, galite sėkmingai toliau dalyti paveikslą pagal aukso pušies pjūvį.

Pušų giraitė

Ryškių vertikalių ir horizontalių buvimas paveiksle, padalijantis jį aukso pjūvio atžvilgiu, suteikia pusiausvyros ir ramybės pobūdį pagal menininko ketinimą. Kai menininko intencija kitokia, jei, tarkime, jis kuria paveikslą su sparčiai besivystančiu veiksmu, tokia geometrinės kompozicijos schema (vyraujant vertikalioms ir horizontalioms) tampa nepriimtina.

Į IR. Surikovas. "Boyaryna Morozova"

Jos vaidmuo skiriamas vidurinei paveikslo daliai. Jį riboja paveikslo siužeto aukščiausio pakilimo ir žemiausio nuosmukio taškas: Morozovos rankos pakilimas su dvipirščiu kryžiaus ženklu kaip aukščiausias taškas; tai pačiai bajorei bejėgiškai ištiesta ranka, bet šį kartą senos moters - elgetos klajoklio ranka, ranka iš po kurios kartu su Paskutinė viltis Rogės galas išslysta, kad jus išgelbėtų.

Kaip apie " aukščiausias taškas"? Iš pirmo žvilgsnio turime akivaizdų prieštaravimą: juk A 1 B 1 atkarpa, nutolusi 0,618... nuo dešiniojo paveikslo krašto, nepraeina per ranką, net per bajorės galvą ar akį, bet atsiduria kažkur prieš bajoraitės burną.

Auksinis pjūvis čia išties nukerta patį svarbiausią dalyką. Jame ir būtent joje - didžiausia galia Morozova.

Nėra poetiškesnio paveikslo už Botticelli Sandro, o didysis Sandro neturi garsesnio paveikslo už jo „Venerą“. Botticelli jo Venera yra gamtoje dominuojančios „auksinės pjūvio“ universalios harmonijos idėjos įkūnijimas. Tuo mus įtikina proporcinga Veneros analizė.

Venera

Rafaelis „Atėnų mokykla“. Rafaelis nebuvo matematikas, bet, kaip ir daugelis to laikmečio menininkų, turėjo nemažai geometrijos žinių. Garsiojoje freskoje „Atėnų mokykla“, kur mokslo šventykloje yra didžiųjų antikos filosofų draugija, mūsų dėmesį patraukia didžiausio senovės graikų matematiko Euklido grupė, analizuojanti sudėtingą piešinį.

Išradingas dviejų trikampių derinys taip pat sukonstruotas pagal aukso pjūvio proporciją: jis gali būti įrašytas į stačiakampį, kurio kraštinių santykis yra 5/8. Šį piešinį stebėtinai lengva įterpti į viršutinę architektūros dalį. Viršutinis kampas trikampis remiasi į arkos kertinį akmenį arčiausiai žiūrovo esančioje srityje, apatinis - į perspektyvų nykimo tašką, o šoninė pjūvis nurodo erdvinio tarpo tarp dviejų arkų dalių proporcijas.

Auksinė spiralė Rafaelio paveiksle „Nekaltųjų žudynės“. Skirtingai nuo aukso pjūvio, dinamikos ir jaudulio pojūtis, ko gero, stipriausiai pasireiškia kitoje paprastoje geometrinėje figūroje – spirale. Daugiafigūrė kompozicija, kurią Rafaelis atliko 1509 - 1510 m., kai garsusis tapytojas kūrė savo freskas Vatikane, tiksliai išsiskiria siužeto dinamiškumu ir dramatiškumu. Rafaelis niekada neįvykdė savo plano, tačiau jo eskizą išgraviravo nežinomas italų grafikas Marcantinio Raimondi, kuris pagal šį eskizą sukūrė graviūrą „Nekaltųjų žudynės“.

Nekaltųjų žudynės

Jei Rafaelio parengiamajame eskize mintyse nubrėžiame linijas, einasi iš semantinio kompozicijos centro – taško, kur kario pirštai susiglaudė aplink vaiko kulkšnį, išilgai vaiko figūrų, jį priglaudusios moters, kario su pakelta figūra. kardą, o tada išilgai tos pačios grupės figūrų dešinėje pusėje eskizas (paveiksle šios linijos brėžiamos raudonai), o tada sujunkite šias dalis su lenkta punktyrine linija, tada labai dideliu tikslumu gaunama auksinė spiralė. Tai galima patikrinti išmatuojant spirale nupjautų atkarpų ilgių santykį tiesiose linijose, einančiose per kreivės pradžią.

AUKSINIS SANTYKIS IR VAIZDO SUVOKIMAS

Žmogaus vizualinio analizatoriaus gebėjimas atpažinti objektus, sukonstruotus naudojant aukso pjūvio algoritmą, kaip gražius, patrauklius ir harmoningus, žinomas jau seniai. Auksinis pjūvis suteikia tobuliausios visumos pojūtį. Daugelio knygų formatas atitinka aukso pjūvį. Jis pasirenkamas langams, paveikslams ir vokams, antspaudams, vizitinėms kortelėms. Žmogus gali nieko nežinoti apie skaičių F, bet objektų struktūroje, kaip ir įvykių sekoje, jis nesąmoningai randa auksinės proporcijos elementų.

Buvo atlikti tyrimai, kurių metu tiriamųjų buvo prašoma atrinkti ir nukopijuoti įvairių proporcijų stačiakampius. Galima buvo pasirinkti iš trijų stačiakampių: kvadrato (40:40 mm), „auksinio santykio“ stačiakampio, kurio kraštinių santykis yra 1:1,62 (31:50 mm) ir stačiakampio, kurio proporcijos pailgos 1:2,31 (26:60). mm).

Renkantis įprastos būklės stačiakampius, 1/2 atvejų pirmenybė teikiama kvadratui. Dešinysis pusrutulis pirmenybę teikia auksiniam pjūviui ir atmeta pailgą stačiakampį. Priešingai, kairysis pusrutulis traukiasi į pailgas proporcijas ir atmeta auksinį pjūvį.

Kopijuojant šiuos stačiakampius buvo pastebėta: kai buvo aktyvus dešinysis pusrutulis, proporcijos kopijose išlaikomos tiksliausiai; kai kairysis pusrutulis buvo aktyvus, visų stačiakampių proporcijos buvo iškraipytos, stačiakampiai pailginti (kvadratas nupieštas kaip stačiakampis, kurio kraštinių santykis yra 1:1,2; pailginto stačiakampio proporcijos smarkiai padidėjo ir pasiekė 1:2,8) . Labiausiai iškreiptos „auksinio“ stačiakampio proporcijos; jo proporcijos kopijose tapo stačiakampio proporcijomis 1:2,08.

Piešiant savo paveikslus vyrauja aukso pjūviui artimos proporcijos ir pailgos. Vidutiniškai proporcijos yra 1:2, kai dešinysis pusrutulis pirmenybę teikia aukso pjūvio proporcijoms, kairysis pusrutulis nutolsta nuo aukso pjūvio proporcijų ir nubrėžia raštą.

Dabar nubrėžkite keletą stačiakampių, išmatuokite jų kraštines ir raskite kraštinių santykį. Kuris pusrutulis tau dominuoja?

AUKSO SANTYKIS FOTOGRAFIJA

Aukso pjūvio panaudojimo fotografijoje pavyzdys yra pagrindinių kadro komponentų išdėstymas taškuose, kurie yra 3/8 ir 5/8 nuo kadro kraštų. Tai galima iliustruoti tokiu pavyzdžiu: katės nuotrauka, kuri yra savavališkoje kadro vietoje.

Dabar sąlyginai padalinkime rėmą į segmentus, proporcingai 1,62 viso ilgio iš kiekvienos rėmo pusės. Segmentų sankirtoje bus pagrindiniai „vizualiniai centrai“, kuriuose verta įdėti būtinus pagrindiniai elementai Vaizdai. Perkelkime savo katę į „vizualinių centrų“ taškus.

AUKSINIS SANTYKIS IR ERDVĖ

Iš astronomijos istorijos žinoma, kad XVIII amžiaus vokiečių astronomas I. Ticijus šios serijos pagalba rado atstumų tarp Saulės sistemos planetų šabloną ir tvarką.

Tačiau vienas atvejis, atrodė, prieštarauja įstatymui: tarp Marso ir Jupiterio nebuvo planetos. Tikslus šios dangaus dalies stebėjimas leido atrasti asteroido juostą. Tai atsitiko po Ticijaus mirties XIX amžiaus pradžioje. Fibonacci serija yra plačiai naudojama: ji naudojama gyvų būtybių architektonikai, žmogaus sukurtoms struktūroms ir Galaktikų struktūrai reprezentuoti. Šie faktai liudija skaičių serijos nepriklausomumą nuo jos pasireiškimo sąlygų, o tai yra vienas iš jos universalumo požymių.

Dvi galaktikos auksinės spiralės yra suderinamos su Dovydo žvaigžde.

Atkreipkite dėmesį į žvaigždes, kylančias iš galaktikos balta spirale. Lygiai 180 0 iš vienos spiralės išnyra kita besiskleidžianti spiralė... Ilgą laiką astronomai tiesiog tikėjo, kad viskas, kas yra, yra tai, ką mes matome; jei kas nors matoma, vadinasi, yra. Jie arba visiškai nežinojo apie nematomą Realybės dalį, arba nemanė, kad tai svarbu. Tačiau nematomoji mūsų Tikrovės pusė iš tikrųjų yra daug didesnė už matomąją pusę ir tikriausiai yra svarbesnė... Kitaip tariant, matoma Realybės dalis yra daug mažiau nei vienas procentas visumos – beveik nieko. Tiesą sakant, mūsų tikrieji namai yra nematoma visata...

Visatoje visos žmonijai žinomos galaktikos ir visi jose esantys kūnai egzistuoja spiralės pavidalu, atitinkančios aukso pjūvio formulę. Aukso pjūvis slypi mūsų galaktikos spiralėje

IŠVADA

Gamta, suprantama kaip visas pasaulis savo formų įvairove, susideda tarsi iš dviejų dalių: gyvosios ir negyvosios gamtos. Negyvosios gamtos kūriniai pasižymi dideliu stabilumu ir mažu kintamumu, sprendžiant iš žmogaus gyvenimo masto. Žmogus gimsta, gyvena, sensta, miršta, bet granito kalnai išlieka tie patys ir planetos sukasi aplink Saulę taip pat kaip Pitagoro laikais.

Gyvosios gamtos pasaulis mums atrodo visiškai kitoks – mobilus, permainingas ir stebėtinai įvairus. Gyvenimas mums parodo fantastišką kūrybinių derinių įvairovės ir unikalumo karnavalą! Negyvosios gamtos pasaulis – tai visų pirma simetrijos pasaulis, suteikiantis jo kūrybai stabilumo ir grožio. Gamtos pasaulis – tai visų pirma harmonijos pasaulis, kuriame veikia „auksinio pjūvio dėsnis“.

IN modernus pasaulis Mokslas įgyja ypatingą reikšmę dėl didėjančio žmogaus poveikio gamtai. Svarbūs uždaviniai dabartiniame etape – naujų žmogaus ir gamtos sambūvio būdų paieška, filosofinių, socialinių, ekonominių, švietimo ir kitų visuomenei kylančių problemų tyrimas.

Šiame darbe buvo nagrinėjama „aukso pjūvio“ savybių įtaka gyvajai ir negyvajai gamtai, istorinei žmonijos ir visos planetos istorijos raidos eigai. Analizuodami visa tai, kas išdėstyta pirmiau, galite dar kartą stebėtis pasaulio supratimo proceso milžiniškumu, vis naujų jo modelių atradimu ir daryti išvadą: aukso pjūvio principas yra aukščiausia pasaulio struktūrinio ir funkcinio tobulumo apraiška. visuma ir jos dalys mene, moksle, technikoje ir gamtoje. Galima tikėtis, kad įvairių gamtos sistemų vystymosi dėsniai, augimo dėsniai nėra labai įvairūs ir gali būti atsekami daugiausia įvairūs subjektai. Čia pasireiškia gamtos vienybė. Tokios vienybės idėja, pagrįsta tų pačių modelių pasireiškimu nevienalyčiuose gamtos reiškiniuose, išlaikė savo aktualumą nuo Pitagoro iki šių dienų.

Aukso santykis - universalus principas harmonija

„Dėl skonio nesiginčijama“, – kiek kartų kiekvienas iš mūsų yra girdėjęs šią formulę ar net ištaręs. Sutikdami su juo esame pasirengę apginti bet kokį pasipiktinimą, kurį gali sau leisti žmogaus vaizduotė. Žmogus, giliai savanaudis, veržlus, aistringas, neįpratęs klausytis pasaulio dideliuose ir mažuose, tiesiog neturi pagrindo lavinti skonį ir suvokti harmoniją, todėl jis sugeba pagimdyti pačią monstriškiausią estetiką, vadindama ją grožiu. „Jūs negalite uždrausti gyventi gražiai“, - paprastas vyras spjauna pro storas lūpas, gindamas savo skonį ir drausdamas kitiems dėl jų ginčytis. "Žinoma, žinoma, dėl skonio nesiginčysime! Kiekvienas yra savaip teisus, jei tik mums nekenkia", – antrina gyvūnai, prisidengiantys žmonių, kurie nesupranta savęs giliau už savo. kūno poreikiai. Ir jie apgyvendinti niūriuose būstuose, prikimšti destruktyvios muzikos, jie mokyklos laikai jie maitina jus nelaimingumu, patiekdami jį su neišvengiamybės padažu. Estetikos nuosmukis, nedėmesingumas grožiui visada yra žmonijos, kuri nebenori svajoti ar siekti grožio, nuosmukis. Tai kančia ir mirtis.

Asmeniui sunku atsispirti visai vulgarumo sistemai, jis yra pasmerktas jai paklusti ir žūti, jei neturės pakankamai žinių. Norėčiau tikėti, kad grožio jausmas, pasaulio harmonija gyvena kiekviename žmoguje – tereikia tai parodyti, išmokti juo naudotis.

Tikriausiai sunku rasti patikimą matą objektyviam paties grožio įvertinimui, o vien logika neapsieis. Tačiau čia padės patirtis tų, kuriems grožio paieškos buvo pati gyvenimo prasmė, kurie tai padarė savo profesija. Tai visų pirma meno žmonės, kaip mes juos vadiname: menininkai, architektai, skulptoriai, muzikantai, rašytojai. Bet tai ir tiksliųjų mokslų žmonės, pirmiausia matematikai.

Labiau nei kitais pojūčiais pasitikėdamas akimi, žmogus pirmiausia išmoko pagal formą atskirti jį supančius objektus. Susidomėjimą daikto forma gali padiktuoti gyvybinė būtinybė, arba jį gali lemti formos grožis. Forma, kurios konstrukcija paremta simetrijos ir aukso pjūvio deriniu, prisideda prie geriausio vizualinio suvokimo ir grožio bei harmonijos jausmo atsiradimo. Visuma visada susideda iš dalių, skirtingo dydžio dalys yra tam tikru santykiu viena su kita ir su visuma. Aukso pjūvio principas yra aukščiausia visumos ir jos dalių struktūrinio ir funkcinio tobulumo apraiška mene, moksle, technikoje ir gamtoje. Šiai idėjai pritarė ir palaiko daugelis iškilių šiuolaikinių mokslininkų, savo tyrimais įrodę, kad tikras grožis visada yra funkcionalus. Tarp jų – ir lėktuvų konstruktoriai. Ir architektai, ir antropologai, ir daugelis kitų.

Aukso pjūvio istorija

Visuotinai pripažįstama, kad auksinio padalijimo sąvoką moksliniu vartojimu įvedė Pitagoras, senovės graikų filosofas ir matematikas (VI a. pr. Kr.). Yra prielaida, kad Pitagoras savo žinias apie auksinį padalijimą pasiskolino iš egiptiečių ir babiloniečių. Iš tiesų, Cheopso piramidės, šventyklų, bareljefų, namų apyvokos daiktų ir papuošalų iš Tutanchamono kapo proporcijos rodo, kad Egipto meistrai juos kurdami naudojo auksinio padalijimo santykius. Prancūzų architektas Le Corbusier nustatė, kad reljefe iš faraono Seti I šventyklos Abydos mieste ir reljefe, vaizduojančiame faraoną Ramzią, figūrų proporcijos atitinka aukso padalijimo vertes. Architektas Khesira, pavaizduotas ant jo vardu pavadinto kapo medinės lentos reljefo, rankose laiko matavimo prietaisus, kuriuose užfiksuotos aukso padalijimo proporcijos.

Vokiečių profesorius G.E.Timerdingas, dvidešimtojo amžiaus pirmajame ketvirtyje parašęs knygą apie aukso pjūvį, teigia: „Pitagoriečiai<...>Paslaptingų galių ir savybių idėja buvo siejama su taisyklingu penkiakampiu, tačiau šios savybės atsiskleidžia tik tada, kai šalia įprasto taisyklingojo penkiakampio žvaigždė, gaunama nuosekliai sujungiant per vieną visas paprasto penkiakampio viršūnes, sudaro. pagal penkiakampio įstrižaines, yra laikomas“, ir toliau pažymi: penkiakampė žvaigždė vaidino didelį vaidmenį visuose magijos moksluose. Penkiakampė žvaigždė, kaip rodo Timerding, tiesiogine prasme užpildyta aukso pjūvio proporcijomis.

Platonas (427...347 m. pr. Kr.) taip pat žinojo apie auksinį padalijimą. Pitagorietis Timėjas Platono to paties pavadinimo dialoge sako: „Neįmanoma, kad du dalykai būtų tobulai sujungti be trečiojo, nes tarp jų turi atsirasti dalykas, kuris juos laikytų kartu. Geriausiai tai galima padaryti laikantis proporcijų, nes jei trys skaičiai turi savybę, kad vidutinis yra mažesnis, o didesnis yra vidurinis, ir, atvirkščiai, mažesnis yra vidutinis, nes vidutinis yra didesnis, tada paskutinis ir pirmasis bus vidurinis , o vidurys pirmas ir paskutinis. Taigi viskas, ko reikia, bus tas pats, o kadangi bus tas pats, tai sudarys visumą." Platonas kuria žemiškąjį pasaulį naudodamas dviejų tipų trikampius: lygiašonius ir nelygiašonius. Gražiausiu stačiu trikampiu jis laiko tą, kurio hipotenuzė yra dvigubai didesnė už mažesnę iš kojelių (toks stačiakampis yra pusė lygiakraštės, pagrindinės babiloniečių figūros, jo santykis yra 1:3 1/ 2, kuris nuo aukso pjūvio skiriasi maždaug 1/25 ir vadinamas Timerding „auksinio pjūvio varžovas“). Naudodamas trikampius, Platonas sukuria keturias taisyklingas daugiakampes, susiejančias jas su keturiais žemiškais elementais (žeme, vandeniu, oru ir ugnimi). Ir tik paskutinis iš penkių esamų taisyklingų daugiakampių – dodekaedras, kurio visi dvylika veidų yra taisyklingi penkiakampiai, pretenduoja būti simboliniu dangaus pasaulio atvaizdu.

Garbė atrasti dodekaedrą (arba, kaip buvo manoma, pačią Visatą, šią keturių elementų kvintesenciją, kurią atitinkamai simbolizuoja tetraedras, oktaedras, ikosaedras ir kubas) priklauso Hipasui, kuris vėliau žuvo sudužus laivui. Ši figūra tikrai atspindi daugelį aukso pjūvio santykių, todėl pastarajam buvo skirtas pagrindinis vaidmuo dangiškame pasaulyje, ko vėliau reikalavo mažametės brolis Luca Pacioli.

Senovės literatūroje, kuri atėjo iki mūsų, aukso padalijimas pirmą kartą paminėtas Euklido elementuose. 2-oje „Principų" knygoje pateikta geometrinė aukso padalijimo konstrukcija. Po Euklido aukso padalijimo tyrimą atliko Hypsicles (II a. pr. Kr.), Papas (III a. po Kr.) ir kt. m. Viduramžių Europa su auksiniu padalijimu Susipažinome per arabiškus Euklido elementų vertimus. Vertėjas J. Campano iš Navaros (III a.) pateikė pastabų dėl vertimo. Auksinės divizijos paslaptys buvo pavydžiai saugomos ir laikomos griežtoje paslaptyje. Juos žinojo tik iniciatoriai.

Leonardo da Vinci taip pat ne kartą griebėsi tokio paveikslo, iš esmės atkartodamas pentagramą. Jos aiškinimas: žmogaus kūnas turi dieviškas tobulumas, nes jai būdingos proporcijos yra tokios pačios kaip ir pagrindinėje dangaus figūroje. Leonardo da Vinci, menininkas ir mokslininkas, pamatė, kad italų menininkai turėjo daug empirinės patirties, bet mažai žinių. Jis pastojo ir pradėjo rašyti knygą apie geometriją, tačiau tuo metu pasirodė vienuolio Luca Pacioli knyga, o Leonardo atsisakė savo idėjos. Anot amžininkų ir mokslo istorikų, Luca Pacioli buvo tikras šviesulys, didžiausias Italijos matematikas laikotarpiu tarp Fibonačio ir Galilėjaus. Luca Pacioli buvo dailininko Piero della Francesca mokinys, kuris parašė dvi knygas, iš kurių viena vadinosi „Apie tapybos perspektyvą“. Jis laikomas aprašomosios geometrijos kūrėju.

Luca Pacioli puikiai suprato mokslo svarbą menui. 1496 m. Moro kunigaikščio kvietimu atvyko į Milaną, kur skaitė matematikos paskaitas. Leonardo da Vinci tuo metu taip pat dirbo Milane, Moro teisme. 1509 metais Venecijoje buvo išleista Luca Pacioli knyga „Dieviškoje proporcijoje“(De divina ratione, 1497 m., išleista Venecijoje 1509 m.) su puikiai atliktomis iliustracijomis, todėl manoma, kad jas sukūrė Leonardo da Vinci. Knyga buvo entuziastingas aukso pjūvio himnas. Tokia proporcija yra tik viena, o unikalumas yra aukščiausia Dievo savybė. Ji įkūnija šventąją trejybę. Ši proporcija negali būti išreikšta prieinamu skaičiumi, lieka paslėpta ir slapta, o pačių matematikų vadinama neracionalia (taip pat Dievo negalima apibrėžti ar paaiškinti žodžiais). Dievas niekada nesikeičia ir reprezentuoja viską visame kame ir viską kiekvienoje jo dalyje, todėl aukso pjūvis kiekvienam ištisiniam ir apibrėžtam dydžiui (nepriklausomai nuo to, didelis ar mažas) yra vienodas, negali būti keičiamas ar kitaip suvokiamas protu. Dievas pašaukė egzistuoti dangiškąją dorybę, kitaip vadinamą penktąja substancija, su jos pagalba ir dar keturiais paprastais kūnais (keturiais elementais – žeme, vandeniu, oru, ugnimi) ir jų pagrindu pakvietė egzistuoti visus kitus gamtos daiktus; Taigi mūsų šventoji proporcija, pasak Platono Timėjuje, suteikia formalią egzistenciją pačiam dangui, nes jam priskiriama kūno forma, vadinama dodekaedru, kuris negali būti sukonstruotas be aukso pjūvio. Tai yra Pacioli argumentai.

Tuo pačiu metu Europos šiaurėje, Vokietijoje, Albrechtas Diureris sprendė tas pačias problemas. Jis eskizuoja įvadą į pirmąjį traktato apie proporcijas variantą. Diureris rašo. "Būtina, kad tas, kuris žino, kaip ką nors padaryti, išmokytų to kitus, kuriems to reikia. Tai aš užsibrėžiau padaryti."

Auksinės proporcijos segmentų serijos konstravimas gali būti atliekamas tiek didėjimo kryptimi (didėjanti serija), tiek mažėjimo kryptimi (mažėjančia serija).

Vėlesniais šimtmečiais auksinės proporcijos taisyklė virto akademiniu kanonu, o kai laikui bėgant mene prasidėjo kova su akademine rutina, kovos įkarštyje „išmetė kūdikį su vonios vandeniu“. Aukso pjūvis vėl buvo „atrastas“ XIX amžiaus viduryje. 1855 m. vokiečių aukso pjūvio tyrinėtojas profesorius Zeisingas paskelbė savo veikalą „Estetikos studijos“. Zeisingui nutiko būtent tai, kas neišvengiamai turėtų nutikti tyrėjui, kuris reiškinį laiko tokiu, nesusijusiu su kitais reiškiniais. Jis suabsoliutino aukso pjūvio proporciją, paskelbdamas ją universalia visiems gamtos ir meno reiškiniams. Zeisingas turėjo daug pasekėjų, tačiau buvo ir priešininkų, kurie paskelbė, kad jo proporcijų doktrina yra „matematinė estetika“.

Zeisingas atliko puikų darbą. Jis išmatavo apie du tūkstančius žmonių kūnų ir padarė išvadą, kad aukso pjūvis išreiškia vidutinį statistinį dėsnį. Kūno padalijimas pagal bambos tašką yra svarbiausias aukso pjūvio rodiklis. Vyro kūno proporcijos svyruoja per vidutinį santykį 13:8 = 1,625 ir yra šiek tiek artimesnės auksiniam pjūviui nei moters kūno proporcijos, kurių atžvilgiu vidutinė proporcijos reikšmė išreiškiama santykiu 8: 5 = 1,6. Naujagimio santykis yra 1:1, iki 13 metų – 1,6, o sulaukus 21 metų – lygus vyro. Aukso pjūvio proporcijos atsiranda ir kitų kūno dalių atžvilgiu – peties, dilbio ir plaštakos ilgio, plaštakos ir pirštų ir kt.

Zeisingas išbandė savo teorijos pagrįstumą graikų statulomis. Jis detaliausiai sukūrė „Apollo Belvedere“ proporcijas. Buvo tiriamos graikiškos vazos, įvairių epochų architektūrinės struktūros, augalai, gyvūnai, paukščių kiaušiniai, muzikiniai tonai, poetiniai metrai. Zeisingas pateikė aukso pjūvio apibrėžimą ir parodė, kaip jis išreiškiamas tiesiomis atkarpomis ir skaičiais. Kai buvo gauti skaičiai, išreiškiantys segmentų ilgį, Zeisingas pamatė, kad jie sudaro Fibonačio seriją, kurią galima tęsti neribotą laiką viena ar kita kryptimi. Kita jo knyga buvo pavadinta „Auksinis skyrius kaip pagrindinis gamtos ir meno morfologinis dėsnis“. 1876 m. Rusijoje buvo išleista nedidelė knygelė, beveik brošiūra, kurioje buvo aprašytas šis Zeisingo darbas. Autorius prisiglaudė po inicialais Yu.F.V. Šiame leidime neminimas nė vienas tapybos kūrinys.

XIX amžiaus pabaigoje – XX amžiaus pradžioje. Atsirado daug grynai formalistinių teorijų apie aukso pjūvio panaudojimą meno kūriniuose ir architektūroje. Tobulėjant dizainui ir techninei estetikai aukso pjūvio dėsnis išsiplėtė ir automobilių, baldų ir kt.

Šiek tiek geometrijos

Matematikoje proporcija(lot. proportio) vadina dviejų santykių lygybe: a: b = c: d.

Tiesus segmentas AB galima padalyti į dvi dalis šiais būdais:

į dvi lygias dalis - AB: AC = AB: BC;

į dvi bet kokiu požiūriu nelygias dalis (tokios dalys nesudaro proporcijų);

taigi, kada AB: AC = AC: BC.

Pastarasis yra auksinis padalijimas arba segmento padalijimas kraštutiniu ir vidutiniu santykiu.

Auksinis pjūvis yra toks proporcingas atkarpos padalijimas į nelygias dalis, kai visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi, kaip pati didesnė dalis yra susijusi su mažesne; arba kitaip tariant, mažesnis segmentas yra didesnis, kaip didesnis yra visuma

a: b = b: carba c: b = b: a.

Praktinė pažintis su aukso pjūviu prasideda tiesios linijos segmento padalijimu auksine proporcija naudojant kompasą ir liniuotę.

Iš taško IN atstatomas statmenas, lygus pusei AB. Gautas taškas SU sujungta linija su tašku A. Gautoje tiesėje brėžiama atkarpa Saulė baigiasi tašku D. Linijos segmentas REKLAMA perkeltas į tiesioginį AB. Gautas taškas E padalija segmentą AB aukso pjūvio santykiu.

Auksinio pjūvio segmentai išreiškiami begaline neracionalia trupmena A.E.= 0,618..., jei AB imk kaip vieną BE= 0,382... Praktiniais tikslais dažnai naudojamos apytikslės vertės 0,62 ir 0,38. Jei segmentas AB imama kaip 100 dalių, tada didesnė segmento dalis yra lygi 62, o mažesnė dalis yra 38 dalys.

Aukso pjūvio savybės apibūdinamos lygtimi:

x2 – x – 1 = 0.

Šios lygties sprendimas:

Antrasis auksinis pjūvis

Bulgarijos žurnalas „Tėvynė“ (1983 m. Nr. 10) paskelbė Cvetano Tsekovo-Karandash straipsnį „Apie antrąjį auksinį pjūvį“, kuris seka iš pagrindinės dalies ir pateikia dar vieną santykį 44:56.

Ši proporcija randama architektūroje, taip pat atsiranda kuriant pailgo horizontalaus formato vaizdų kompozicijas.

Padalijimas atliekamas taip. Linijos segmentas AB padalintas pagal aukso pjūvį. Iš taško SU statmenas atstatomas CD. Spindulys AB yra taškas D, kuri linija sujungta su tašku A. Tiesus kampas ACD yra padalintas per pusę. Iš taško SU linija brėžiama tol, kol susikerta su linija REKLAMA. Taškas E padalija segmentą REKLAMA 56:44 atžvilgiu.

Paveikslėlyje parodyta antrojo aukso pjūvio linijos padėtis. Jis yra viduryje tarp aukso pjūvio linijos ir vidurinės stačiakampio linijos.

Auksinis trikampis

Norėdami rasti didėjančios ir mažėjančios serijų auksinės proporcijos segmentus, galite naudoti pentagrama.

Norėdami sukurti pentagramą, turite sukurti įprastą penkiakampį. Jo konstravimo būdą sukūrė vokiečių tapytojas ir grafikas Albrechtas Dureris (1471...1528). Leisti O- apskritimo centras, A- taškas ant apskritimo ir E- segmento vidurys OA. Statmenai spinduliui OA, restauruotas taške APIE, kerta apskritimą taške D. Naudodami kompasą nubrėžkite segmentą ant skersmens C.E. = ED. Į apskritimą įbrėžto taisyklingo penkiakampio kraštinės ilgis yra DC. Ant apskritimo išdėliokite segmentus DC ir gauname penkis taškus, kad nubrėžtume taisyklingą penkiakampį. Penkiakampio kampus sujungiame vienas per kitą įstrižainėmis ir gauname pentagramą. Visos penkiakampio įstrižainės padalija viena kitą į segmentus, sujungtus aukso pjūviu.

Kiekvienas penkiakampės žvaigždės galas reiškia auksinį trikampį. Jo šonai viršūnėje sudaro 36° kampą, o šone padėtas pagrindas jį dalija aukso pjūvio proporcijomis.

Vykdome tiesioginį AB. Iš taško A ant jo tris kartus nubraižome savavališko dydžio atkarpą O per gautą tašką R nubrėžkite statmeną linijai AB, statmenai į dešinę ir į kairę nuo taško R atidėkite segmentus APIE. Gauti taškai d Ir d1 sujungti tiesiomis linijomis prie taško A. Linijos segmentas dd1įdėti į liniją Skelbimas1, gauti tašką SU. Ji padalino liniją Skelbimas1 proporcingai aukso pjūviui. Linijos Skelbimas1 Ir dd1 naudojamas „auksiniam“ stačiakampiui konstruoti.

Fibonačio serija

Italų matematiko vienuolio Leonardo iš Pizos, geriau žinomo kaip Fibonacci (Bonačio sūnus), vardas yra netiesiogiai susijęs su aukso pjūvio istorija. Jis daug keliavo po Rytus, supažindino Europą su indiškais (arabiškais) skaitmenimis. 1202 metais buvo išleistas jo matematinis veikalas „Abako knyga“ (skaičiavimo lenta), kuriame surinktos visos tuo metu žinomos problemos. Viena iš problemų buvo tokia: „Kiek porų triušių gims iš vienos poros per vienerius metus“. Apmąstydamas šią temą, Fibonacci sukūrė tokią skaičių seką:

Mėnesių

ir tt

Triušių poros

ir tt

Skaičių serija 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ir kt. žinoma kaip Fibonacci serija. Skaičių sekos ypatumas yra tas, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo trečiojo, yra lygus dviejų ankstesnių 2 + 3 = 5 sumai; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 ir tt, o gretimų skaičių santykis serijoje artėja prie auksinio padalijimo santykio. Taigi, 21: 34 = 0,617 ir 34: 55 = 0,618. Šis santykis žymimas simboliu F. Tik šis santykis – 0,618: 0,382 – duoda nuolatinį tiesios atkarpos dalijimą auksine proporcija, ją didinant arba sumažinant iki begalybės, kai mažesnė atkarpa yra susijusi su didesne kaip didesnis yra viskam.

Fibonacci taip pat nagrinėjo praktinius prekybos poreikius: koks yra mažiausias svarelių skaičius, kuriuo galima sverti gaminį? Fibonacci įrodo, kad optimali svorių sistema yra: 1, 2, 4, 8, 16...

Fibonačio serija galėjo likti tik matematiniu incidentu, jei ne tai, kad visi auksinio padalinio tyrinėtojai augalų ir gyvūnų pasaulyje, jau nekalbant apie meną, visada atėjo į šią seriją kaip aritmetinę aukso dėsnio išraišką. padalinys.

Mokslininkai toliau aktyviai plėtojo Fibonačio skaičių ir aukso pjūvio teoriją. Yu.Matiyasevičius išsprendžia Hilberto 10-ąją užduotį naudodamas Fibonačio skaičius. Atsiranda elegantiškų būdų, kaip išspręsti daugybę kibernetinių problemų (paieškos teorija, žaidimai, programavimas), naudojant Fibonačio skaičius ir aukso pjūvį. JAV kuriama net Mathematical Fibonacci asociacija, kuri nuo 1963 metų leidžia specialų žurnalą.

Faktus, patvirtinančius aukso pjūvių ir jų darinių egzistavimą gamtoje, pateikia baltarusių mokslininkas E.M. Soroko knygoje „Struktūrinė sistemų harmonija“ (Minskas, „Mokslas ir technika“, 1984). Pavyzdžiui, paaiškėja, kad gerai ištirti dvejetainiai lydiniai pasižymi ypatingomis, ryškiomis funkcinėmis savybėmis (termiškai stabilus, kietas, atsparus dilimui, atsparus oksidacijai ir kt.) tik tuo atveju, jei originalių komponentų savitosios masės yra tarpusavyje susijusios. pagal vieną iš auksinių proporcijų. Tai leido autoriui iškelti hipotezę, kad auksiniai santykiai yra savaime besitvarkančių sistemų skaitinės konstantos. Eksperimentiškai patvirtinta, ši hipotezė gali turėti esminės reikšmės plėtojant sinergiką – naują mokslo sritį, tiriančią procesus savaime besitvarkančiose sistemose.

Formavimosi gamtoje principai

Viskas, kas įgavo kažkokį pavidalą, formavosi, augo, stengėsi užimti vietą erdvėje ir išsaugoti save. Šis noras realizuojamas daugiausia dviem variantais - augant aukštyn arba plintant žemės paviršiumi ir sukantis spirale.

Archimedo dėmesį patraukė spirališkai riesto apvalkalo forma. Jis išstudijavo tai ir sugalvojo spiralės lygtį. Pagal šią lygtį nubrėžta spiralė vadinama jo vardu. Jos žingsnio padidėjimas visada vienodas. Šiuo metu Archimedo spiralė plačiai naudojama technikoje.

Goethe taip pat pabrėžė gamtos polinkį į spirališkumą. Sraigtinis ir spiralinis lapų išsidėstymas ant medžių šakų buvo pastebėtas jau seniai. Spiralė buvo matyti saulėgrąžų sėklų, kankorėžių, ananasų, kaktusų ir kt. Bendras botanikų ir matematikų darbas atskleidė šiuos nuostabius gamtos reiškinius. Paaiškėjo, kad Fibonacci serija pasireiškia lapų išsidėstymu ant šakos (filotaksi), saulėgrąžų sėklomis ir kankorėžiais, todėl pasireiškia aukso pjūvio dėsnis. Voras savo tinklą audžia spiralės būdu. Uraganas sukasi kaip spiralė. Išsigandusi šiaurės elnių banda išsisklaido spirale. DNR molekulė susisukusi dviguba spirale. Goethe spiralę pavadino „gyvenimo kreive“.

Tarp pakelės vaistažolių auga niekuo neišsiskiriantis augalas – cikorija. Pažvelkime į tai atidžiau. Iš pagrindinio stiebo susiformavo ūglis. Pirmasis lapas buvo čia pat.

Ryžiai. 12. Cikorija

Ūglis stipriai išsviedžia į erdvę, sustoja, paleidžia lapą, bet šį kartą jis trumpesnis nei pirmasis, vėl išsviedžia į erdvę, bet su mažesne jėga išleidžia dar mažesnio dydžio lapą ir vėl išsviedžia . Jei pirmoji emisija laikoma 100 vienetų, tada antroji yra lygi 62 vienetams, trečioji - 38, ketvirtoji - 24 ir tt. Žiedlapių ilgis taip pat priklauso nuo auksinės proporcijos. Augdamas ir užkariaudamas erdvę augalas išlaikė tam tikras proporcijas. Jo augimo impulsai palaipsniui mažėjo proporcingai aukso pjūviui.

Ryžiai. 13.Gyvas driežas

Iš pirmo žvilgsnio driežo proporcijos yra malonios mūsų akiai – jo uodegos ilgis yra susijęs su likusios kūno dalies ilgiu nuo 62 iki 38.

Gamta atliko padalijimą į simetriškas dalis ir auksines proporcijas. Dalys atskleidžia visumos struktūros pasikartojimą.

Ryžiai. 14. paukščio kiaušinis

Pierre'as Curie šio amžiaus pradžioje suformulavo keletą gilių idėjų apie simetriją. Jis teigė, kad negalima svarstyti jokio kūno simetrijos neatsižvelgus į aplinkos simetriją.

„Auksinės“ simetrijos dėsniai pasireiškia elementariųjų dalelių energetiniuose perėjimuose, kai kurių cheminių junginių struktūroje, planetinėse ir kosminėse sistemose, gyvų organizmų genų struktūrose. Šie modeliai, kaip nurodyta pirmiau, egzistuoja atskirų žmogaus organų ir viso kūno struktūroje, taip pat pasireiškia smegenų bioritmais ir funkcionavimu bei vizualiniu suvokimu.

Auksinis santykis ir simetrija

Auksinis pjūvis negali būti nagrinėjamas atskirai, atskirai, be ryšio su simetrija. Didysis rusų kristalografas G.V. Wulfas (1863...1925) aukso pjūvį laikė viena iš simetrijos apraiškų.

Auksinis padalijimas nėra asimetrijos pasireiškimas, kažkas priešingo simetrijai.Pagal šiuolaikines idėjas auksinis padalijimas yra asimetrinė simetrija. Simetrijos mokslas apima tokias sąvokas kaip statinis Ir dinaminė simetrija. Statinė simetrija apibūdina ramybę ir pusiausvyrą, o dinaminė – judėjimą ir augimą. Taigi gamtoje statinę simetriją reprezentuoja kristalų struktūra, o mene ji apibūdina ramybę, pusiausvyrą ir nejudrumą. Dinaminė simetrija išreiškia aktyvumą, apibūdina judėjimą, raidą, ritmą, yra gyvybės įrodymas. Statinei simetrijai būdingi vienodi segmentai ir vienodos reikšmės. Dinaminei simetrijai būdingas segmentų padidėjimas arba jų sumažėjimas, jis išreiškiamas aukso pjūvio vertėmis.

Stebėkite ir pritaikykite

Auksinio pjūvio principo supratimas ir jo naudojimas neturėtų būti elito reikalas – tai yra elementariausios žinios, nuo kurių prasideda be galo sudėtingi harmonijos ir proporcingumo dėsniai. Prasmingam šių dėsnių taikymui kasdieniame gyvenime ribų nėra. Pagrindinio ir antrinio identifikavimas visumos atžvilgiu gali būti susijęs su bet kuo. Tai apima savo laiko paskirstymą ir bet kokį kūrybinį procesą, įskaitant visas meno rūšis, literatūrą, muziką, savo požiūrio į bet kokius procesus ir reiškinius formavimąsi. Tai yra auksinis vidurio kelias, apie kurį kalbėjo senovės žmonės.

Kiekvienas menininkas, kiekvienas režisierius, kiekvienas reklamos specialistas žino, kaip įvaizdį padaryti malonų akiai, kaip jį sukurti pagal harmonijos ir psichologijos dėsnius. žmogaus suvokimas. Kartais pikčiausi kultūros priešai pasiekia reikšmingų pergalių naudodamiesi gamtos dėsnių išmanymu. Taigi, prisidengdami kažkuo maloniu ir mielu, dažnai į savo širdį įsileidžiame pačius stipriausius nuodus. Žmonės tiek daug kalba apie laisvę, o patys apsinuodija savo noru, vėliau stebisi, iš kur jų ligos ir nelaimės.

Nežinioje negali būti laisvės. Reikia įveikti šiurkštumą ir beatodairišką skonį. Tegul tai rūpi tiek asmenims, tiek bendruomenėms, tiek valstybėms.

Sudarė R. Annenkovas

Ar dažnai susiduriate su situacija, kai jūsų nupieštas elementas „neskamba“? Kažkas negerai? Netinkamos proporcijos?

Neverta sakyti, kad gamtoje nėra idealo, nes jis egzistuoja ir buvo seniai išvestas matematikos ir geometrijos pagalba. Asmens, kuris pirmą kartą įvedė terminą „auksinis pjūvis“, vardas nežinomas, nors daugelis yra įpratę manyti, kad tai buvo Leonardo Da Vinci. Anksčiausiai šis terminas pasirodė 1835 m., Martino Ohmo dėka jo knygos „Pure elementary Mathematics“ antrojo leidimo pastaboje.

Kaip atrodo aukso pjūvio formulė?

Tai darnus ryšys tarp dviejų dydžių b ir a, a > b, kai a/b = (a+b)/a yra tiesa. Skaičius, lygus santykiui a/b, dažniausiai žymimas didžiąja graikiška raide

(\displaystyle \Phi)

Senovės graikų skulptoriaus ir architekto Phidias garbei.

Praktiniais tikslais apsiribokite apytiksle verte = 1,618 arba = 1,62. Suapvalintais procentais auksinis pjūvis yra bet kokios vertės padalijimas santykiu 62% ir 38%.

Kartais skaičius vadinamas „auksiniu skaičiumi“

Kad tu ir aš nesivargintume su matematika, protingi žmonės Jie sugalvojo tokį kompasą. Su jo pagalba jau galite patikrinti baigtus projektus dėl dalių santykio ir statyti naujas, atsižvelgiant į „auksinio pjūvio“ principą

Tegul jūsų projektai lieka pasaulio kultūros pavelde!

Populiarus kategorijoje: