namai › elektros įranga › Kaip naudotis „Leonardo“ antakių kompasu. Antikvariniai aukso pjūvio kompasai Apibendrintas aukso pjūvis

Kaip naudotis „Leonardo“ antakių kompasu. Antikvariniai aukso pjūvio kompasai Apibendrintas aukso pjūvis

Auksinis pjūvis yra universalus harmonijos principas

„Skoniai nesiginčija“ – kiek kartų kiekvienas esame girdėję šią formulę ir net ištarę. Sutikdami su juo, esame pasirengę apginti bet kokią gėdą, kurią gali sau leisti žmogaus vaizduotė. Žmogus, kuris yra giliai savanaudis, įkyrus, aistringas, neįpratęs klausytis pasaulio dideliuose ir mažuose, tiesiog neturi pagrindo lavinti skonį ir suvokti harmoniją, todėl jis sugeba sukurti pačią monstriškiausią estetiką, vadindamas tai grožiu. „Graaus gyvenimo uždrausti negali“, – riebiomis lūpomis išspjauna gyventojas, gindamas savo skonį ir drausdamas kitiems dėl jų ginčytis. "Žinoma, aišku, dėl skonių nesiginčysime! Kiekvienas savaip teisus, jei tik mums nepakenks", – aidi žmonių pavidalo gyvūnai, nesuprasdami savęs giliau nei kūno poreikiai. Ir įkurdinami niūriuose būstuose, prikimšti griaunančios muzikos, iš mokyklos suolo maitinami vargas, patiekiant jį po neišvengiamybės padažu. Estetikos nuosmukis, nedėmesingumas grožiui visada yra žmonijos nuosmukis, kuris nebenori svajoti ar siekti grožio. Tai kančia ir mirtis.

Atskiram žmogui sunku atsispirti visai vulgarumo sistemai, jis yra pasmerktas jai pasiduoti ir žūti, jei neturės pakankamai žinių. Norėčiau tikėti, kad grožio jausmas, pasaulio harmonija gyvena kiekviename žmoguje – tereikia tai parodyti, išmokti juo naudotis.

Tikriausiai sunku rasti patikimą matą objektyviam paties grožio įvertinimui, o vien logika čia nepadės. Tačiau čia padės patirtis tų, kuriems grožio paieškos buvo pati gyvenimo prasmė, kurie tai padarė savo profesija. Visų pirma, tai meno žmonės, kaip mes juos vadiname: menininkai, architektai, skulptoriai, muzikantai, rašytojai. Bet tai ir tiksliųjų mokslų žmonės, – pirmiausia matematikai.

Akimi labiau nei kitais jutimo organais pasitikėdamas žmogus pirmiausia išmoko pagal formą atskirti jį supančius objektus. Susidomėjimą daikto forma gali lemti gyvybinė būtinybė arba formos grožis. Forma, pagrįsta simetrijos ir aukso pjūvio deriniu, prisideda prie geriausio vizualinio suvokimo ir grožio bei harmonijos pojūčio atsiradimo. Visuma visada susideda iš dalių, skirtingo dydžio dalys yra tam tikru santykiu viena su kita ir su visuma. Aukso pjūvio principas yra aukščiausia visumos ir jos dalių struktūrinio ir funkcinio tobulumo apraiška mene, moksle, technikoje ir gamtoje. Šia idėja dalijosi ir jai pritarė daugelis iškilių šiuolaikinių mokslininkų, savo studijomis įrodę, kad tikras grožis visada yra funkcionalus. Tarp jų – ir lėktuvų konstruktoriai. Ir architektai, ir antropologai, ir daugelis kitų.

Aukso pjūvio istorija

Visuotinai pripažįstama, kad auksinio padalijimo sąvoką moksliniu vartojimu įvedė Pitagoras, senovės graikų filosofas ir matematikas (VI a. pr. Kr.). Yra prielaida, kad Pitagoras savo žinias apie auksinį padalijimą pasiskolino iš egiptiečių ir babiloniečių. Iš tiesų, Cheopso piramidės, šventyklų, bareljefų, namų apyvokos daiktų ir Tutanchamono kapo dekoracijų proporcijos rodo, kad Egipto meistrai jas kurdami naudojo auksinio padalijimo santykius. Prancūzų architektas Le Corbusier nustatė, kad reljefe iš faraono Seti I šventyklos Abydos mieste ir reljefe, vaizduojančiame faraoną Ramzią, figūrų proporcijos atitinka aukso padalijimo vertes. Architektas Khesira, pavaizduotas ant savo vardo kapo medinės lentos reljefo, rankose laiko matavimo prietaisus, kuriuose užfiksuotos auksinio padalijimo proporcijos.

Vokiečių profesorius G.E.Timerdingas, dvidešimtojo amžiaus pirmajame ketvirtyje parašęs knygą apie aukso pjūvį, teigia: „Tarp pitagoriečių<...>mintis apie paslaptingas jėgas ir savybes buvo siejama su taisyklingu penkiakampiu, tačiau šios savybės atsiskleidžia tik tada, kai šalia paprasto taisyklingojo penkiakampio atsižvelgiama į tą žvaigždę, kuri gaunama nuosekliai sujungiant per vieną iš visų paprasto penkiakampio viršūnių. , sudarytas iš penkiakampio įstrižainių "- ir tolimesnės pastabos: pentagrama vaidino svarbų vaidmenį visuose magijos moksluose. Penkiakampė žvaigždė, kaip rodo Timerding, yra tiesiog užpildyta aukso pjūvio proporcijomis.

Graikai buvo įgudę geometrai. Net aritmetikos jų vaikai buvo mokomi geometrinių figūrų pagalba. Pitagoro kvadratas ir šios aikštės įstrižainė buvo dinamiškų stačiakampių konstravimo pagrindas.

Platonas (427...347 m. pr. Kr.) taip pat žinojo apie auksinį padalijimą. Pitagorietis Timėjas Platono to paties pavadinimo dialoge sako: „Neįmanoma, kad du dalykai būtų tobulai sujungti be trečiojo, nes tarp jų turi atsirasti daiktas, kuris juos laikytų kartu. geriausias būdas proporcija gali būti įvykdyta, nes jei trys skaičiai turi savybę, kad vidurkis yra susijęs su mažesniu, kaip didesnis yra su vidurkiu, ir, atvirkščiai, mažesnis yra susijęs su vidurkiu, nes vidurkis yra su didesniu, tada paskutinis ir pirmasis bus vidurkis, o vidurkis – pirmas ir paskutinis. Taigi viskas, ko reikia, bus tas pats, o kadangi bus tas pats, tai ir sudarys visumą.“Platonas kuria žemiškąjį pasaulį naudodamas dviejų atmainų trikampius: lygiašonius ir nelygiašonius. Gražiausią jis laiko stačiakampiu. trikampis turi būti toks, kurio hipotenuzė yra dvigubai didesnė už mažesnę iš kojelių (toks stačiakampis yra pusė lygiakraščio, pagrindinė babiloniečių figūra, jo santykis yra 1:3 1/2, kuris skiriasi nuo auksinės santykis yra maždaug 1/25 ir vadinamas laikmačiu „auksinio pjūvio priešininkas“). Naudodamas trikampius, Platonas sukuria keturias taisyklingas daugiakampes, susiejančias jas su keturiais žemiškais elementais (žeme, vandeniu, oru ir ugnimi). Ir tik paskutinis iš penkių esamų taisyklingų daugiakampių – dodekaedras, kurio visi dvylika veidų yra taisyklingi penkiakampiai, pretenduoja į simbolinį dangiškojo pasaulio atvaizdą.

Garbė atrasti dodekaedrą (arba, kaip buvo manoma, pačią Visatą, šią keturių elementų kvintesenciją, kurią atitinkamai simbolizuoja tetraedras, oktaedras, ikosaedras ir kubas) priklauso Hipasui, kuris vėliau žuvo laivo katastrofoje. Šioje figūroje tikrai užfiksuota daugybė auksinės pjūvio santykių, todėl pastarajam buvo paskirtas pagrindinis vaidmuo dangiškame pasaulyje, kurio vėliau primygtinai reikalavo nepilnametis brolis Luca Pacioli.

Senovės Graikijos Partenono šventyklos fasade yra auksinės proporcijos. Jo kasinėjimų metu buvo rasti kompasai, kuriais naudojosi senovės pasaulio architektai ir skulptoriai. Pompėjos kompasas (muziejus Neapolyje) taip pat turi auksinio padalijimo proporcijas.

Tuo, kas atėjo pas mus senovės literatūra auksinis skyrius pirmą kartą paminėtas Euklido elementuose. 2-oje „Pradžių" knygoje pateikta geometrinė aukso padalijimo konstrukcija. Po Euklido aukso padalijimo tyrinėjimais užsiėmė Hipsiklis (II a. pr. Kr.), Papas (III a. po Kr.) ir kt. Viduramžių Europoje su auksine dalyba Susipažinome per arabiškus Euklido „Pradžių“ vertimus. Vertimą komentavo vertėjas J. Campano iš Navaros (III a.). Auksinės divizijos paslaptys buvo pavydžiai saugomos, laikomos griežtoje paslaptyje. Juos žinojo tik iniciatoriai.

Viduramžiais pentagrama buvo demonizuota (kaip ir daug kas senovės pagonybėje buvo laikoma dieviška) ir rado prieglobstį okultiniuose moksluose. Tačiau Renesansas vėl iškelia į dienos šviesą ir pentagramą, ir aukso pjūvį. Taigi žmogaus kūno sandarą apibūdinanti schema plačiai paplito tuo humanizmo tvirtinimo laikotarpiu:

Leonardo da Vinci taip pat ne kartą griebėsi tokio paveikslo, iš esmės atkartodamas pentagramą. Jos aiškinimas: žmogaus kūnas turi dieviškas tobulumas, nes jai būdingos proporcijos yra tokios pačios kaip ir pagrindinėje dangaus figūroje. Leonardo da Vinci, menininkas ir mokslininkas, pamatė, kad italų menininkai turėjo daug empirinės patirties, bet mažai žinių. Jis pastojo ir pradėjo rašyti knygą apie geometriją, tačiau tuo metu pasirodė vienuolio Luca Pacioli knyga, o Leonardo atsisakė savo idėjos. Anot amžininkų ir mokslo istorikų, Luca Pacioli buvo tikras šviesulys, didžiausias matematikas Italijoje tarp Fibonačio ir Galilėjaus. Luca Pacioli buvo dailininko Piero della Francesca mokinys, kuris parašė dvi knygas, iš kurių viena vadinosi „Apie tapybos perspektyvą“. Jis laikomas aprašomosios geometrijos kūrėju.

Luca Pacioli puikiai suvokė mokslo svarbą menui. 1496 m. Moro kunigaikščio kvietimu atvyko į Milaną, kur skaitė matematikos paskaitas. Leonardo da Vinci tuo metu taip pat dirbo Moro teisme Milane. 1509 metais Venecijoje buvo išleista Luca Pacioli knyga „Dieviškoje proporcijoje“(De divina ratione, 1497 m., išleista Venecijoje 1509 m.) su puikiai atliktomis iliustracijomis, todėl manoma, kad jas sukūrė Leonardo da Vinci. Knyga buvo entuziastingas aukso pjūvio himnas. Tokia proporcija yra tik viena, o unikalumas yra aukščiausia Dievo savybė. Ji įkūnija šventąją trejybę. Ši proporcija negali būti išreikšta prieinamu skaičiumi, lieka paslėpta ir slapta, o pačių matematikų vadinama neracionalia (taigi Dievo negalima nei apibrėžti, nei paaiškinti žodžiais). Dievas niekada nesikeičia ir reprezentuoja viską visame kame ir viską kiekvienoje savo dalyje, todėl aukso pjūvis bet kokiam tęstiniam ir apibrėžtam kiekiui (nepriklausomai nuo to, didelis ar mažas) yra vienodas, negali būti keičiamas ar kitaip suvokiamas protu. Dievas pašaukė būti dangiškąją dorybę, kitaip vadinamą penktąja substancija, su jos pagalba dar keturis paprastus kūnus (keturis elementus – žemę, vandenį, orą, ugnį) ir jų pagrindu pakvietė būti visus kitus gamtos daiktus; taigi mūsų šventoji proporcija, pasak Platono Timėjuje, pačiam dangui suteikia formalią būtį, nes ji priskiriama kūno formai, vadinamai dodekaedru, kurio negalima pastatyti be aukso pjūvio. Tai yra Pacioli argumentai.

Leonardo da Vinci taip pat daug dėmesio skyrė auksinio padalinio tyrimams. Jis padarė stereometrinio kūno dalis, sudarytas iš taisyklingų penkiakampių, ir kiekvieną kartą gaudavo stačiakampius su aukso padalijimu. Taigi jis suteikė šiam skyriui pavadinimą aukso pjūvis. Taigi jis vis dar yra populiariausias.

Tuo pačiu metu šiaurės Europoje, Vokietijoje, Albrechtas Diureris sprendė tas pačias problemas. Jis pateikia įvadą į pirmąjį traktato apie proporcijas projektą. Rašo Dureris. "Reikia, kad tas, kuris žino, kaip to išmokyti kitus, kuriems to reikia. Taip ir užsimaniau."

Sprendžiant iš vieno Diurerio laiškų, jis susitiko su Luca Pacioli viešėdamas Italijoje. Albrechtas Diureris išsamiai plėtoja žmogaus kūno proporcijų teoriją. Diureris savo santykių sistemoje svarbią vietą skyrė aukso pjūviui. Žmogaus ūgį auksinėmis proporcijomis dalija diržo linija, taip pat linija, nubrėžta per nuleistų rankų vidurinių pirštų galiukus, apatinė veido dalis - prie burnos ir kt. Žinomas proporcinis kompasas Dürer.

Puikus XVI amžiaus astronomas Johannesas Kepleris aukso pjūvį pavadino vienu iš geometrijos lobių. Jis pirmasis atkreipė dėmesį į aukso pjūvio reikšmę botanikai (augalų augimui ir struktūrai).

Kepleris pavadino auksinį pjūvį besitęsiančiu. „Jis yra išdėstytas taip, – rašė jis, – kad du jaunesni šios begalinės proporcijos nariai sudaro trečiąjį terminą, o bet kurios dvi paskutinės dalys, sudėjus kartu, sudaro kitą kadenciją, ir ta pati proporcija išlieka iki begalybės“.

Auksinio pjūvio segmentų serijos konstravimas gali būti atliekamas tiek didėjimo kryptimi (didėjanti serija), tiek mažėjimo kryptimi (mažėjanti serija).

Jei tiesioje savavališko ilgio linijoje, atidėti segmentą m, atidėkite segmentą M. Remdamiesi šiais dviem segmentais, sudarome didėjančios ir mažėjančios serijų auksinės proporcijos segmentų skalę.

Vėlesniais šimtmečiais aukso pjūvio taisyklė virto akademiniu kanonu, o kai laikui bėgant mene prasidėjo kova su akademine rutina, kovos įkarštyje „vaiką išmetė su vandeniu“. Auksinis pjūvis vėl buvo „atrastas“. devynioliktos vidurys V. 1855 metais vokiečių aukso pjūvio tyrinėtojas profesorius Zeisingas paskelbė savo veikalą „Estetinis tyrimas“. Su Zeisingu tiksliai tai, kas atsitiko, turėjo nutikti tyrėjui, kuris reiškinį laiko tokiu, nesusijusiu su kitais reiškiniais. Jis suabsoliutino aukso pjūvio proporciją, paskelbdamas ją universalia visiems gamtos ir meno reiškiniams. Zeisingas turėjo daug pasekėjų, tačiau buvo ir priešininkų, kurie jo proporcijų doktriną paskelbė „matematine estetika“.

Zeisingas atliko puikų darbą. Jis išmatavo apie du tūkstančius žmonių kūnų ir padarė išvadą, kad aukso pjūvis išreiškia vidutinį statistinį dėsnį. Kūno padalijimas pagal bambos tašką yra svarbiausias aukso pjūvio rodiklis. Proporcijos vyriškas kūnas svyruoja per vidutinį santykį 13:8 = 1,625 ir yra šiek tiek artimesni auksiniam pjūviui nei proporcijos moteriškas kūnas, kurio atžvilgiu vidutinė proporcijos reikšmė išreiškiama santykiu 8: 5 = 1,6. Naujagimiui proporcija yra 1: 1, sulaukus 13 metų – 1,6, o sulaukus 21 metų – vyro. Aukso pjūvio proporcijos pasireiškia ir kitų kūno dalių atžvilgiu – peties, dilbio ir plaštakos, plaštakos ir pirštų ilgio ir kt.

Zeisingas išbandė savo teorijos pagrįstumą graikų statulomis. Jis detaliausiai sukūrė Apollo Belvedere proporcijas. Buvo tiriamos graikiškos vazos, įvairių epochų architektūrinės struktūros, augalai, gyvūnai, paukščių kiaušiniai, muzikiniai tonai, poetiniai metrai. Zeisingas apibrėžė aukso pjūvį, parodė, kaip jis išreiškiamas linijų atkarpomis ir skaičiais. Kai buvo gautos figūros, išreiškiančios segmentų ilgį, Zeisingas pamatė, kad jos sudaro Fibonačio seriją, kurią galima tęsti neribotą laiką viena ir kita kryptimi. Kita jo knyga vadinosi „Auksinis padalijimas kaip pagrindinis gamtos ir meno morfologinis dėsnis“. 1876 m. Rusijoje buvo išleista nedidelė knygelė, beveik brošiūra, apibrėžianti Zeisingo kūrybą. Autorius prisiglaudė po inicialais Yu.F.V. Šiame leidime neminimas nė vienas paveikslas.

IN pabaigos XIX- XX amžiaus pradžia. atsirado daug grynai formalistinių teorijų apie aukso pjūvio panaudojimą meno ir architektūros kūriniuose. Tobulėjant dizainui ir techninei estetikai aukso pjūvio dėsnis išsiplėtė ir automobilių, baldų ir kt.

Šiek tiek geometrijos

Matematikoje proporcija(lot. proportio) vadina dviejų santykių lygybe: a:b = c:d.

Linijos segmentas AB galima padalyti į dvi dalis šiais būdais:

į dvi lygias dalis AB: AC = AB: BC;

į dvi nelygias dalis bet kokiu santykiu (tokios dalys nesudaro proporcijų);

todėl, kai AB: AC = AC: BC.

Pastarasis yra segmento auksinis padalijimas arba padalijimas kraštutiniu ir vidutiniu santykiu.

Auksinė pjūvis yra toks proporcingas atkarpos padalijimas į nelygias dalis, kai visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi taip pat, kaip pati didesnė dalis yra susijusi su mažesne; arba kitaip tariant, mažesnis segmentas yra susijęs su didesniu, kaip didesnis yra su viskuo

a:b = b:carba c: b = b: a.

Praktinė pažintis su aukso pjūviu prasideda tiesios linijos segmento padalijimu aukso pjūviu naudojant kompasą ir liniuotę.

Iš taško IN atstatomas statmenas, lygus pusei AB. Gautas taškas SU sujungta linija su tašku A. Gautoje tiesėje nubrėžiamas segmentas Saulė, baigiasi tašku D. Linijos segmentas REKLAMA perkelta į tiesią liniją AB. Gautas taškas E dalija segmentą AB aukso pjūviu.

Auksinio pjūvio segmentai išreiškiami begaline neracionalia trupmena AE= 0,618... jei AB imti kaip vienetą BE\u003d 0,382 ... Praktiniais tikslais dažnai naudojamos apytikslės vertės 0,62 ir 0,38. Jei segmentas AB imama kaip 100 dalių, tada didžiausia segmento dalis yra 62, o mažesnė - 38 dalys.

Aukso pjūvio savybės apibūdinamos lygtimi:

x2 – x – 1 = 0.

Šios lygties sprendimas:

Antrasis aukso pjūvis

Bulgarijos žurnalas „Tėvynė“ (1983 m. Nr. 10) išspausdino Cvetano Tsekovo-Karandash straipsnį „Apie antrąjį auksinį pjūvį“, kuris seka iš pagrindinės dalies ir pateikia kitą santykį 44:56.

Tokia proporcija yra architektūroje, taip pat vyksta kuriant pailgo horizontalaus formato vaizdų kompozicijas.

Padalijimas atliekamas taip. Linijos segmentas AB yra padalintas pagal aukso pjūvį. Iš taško SU statmenas atstatomas CD. Spindulys AB yra taškas D, kuri linija sujungta su tašku A. Tiesus kampas ACD yra padalintas per pusę. Iš taško SU linija brėžiama tol, kol susikerta su linija REKLAMA. Taškas E dalija segmentą REKLAMA 56:44 atžvilgiu.

Paveikslėlyje parodyta antrosios auksinės dalies linijos padėtis. Jis yra viduryje tarp auksinės pjūvio linijos ir vidurinės stačiakampio linijos.

Auksinis trikampis

Norėdami rasti didėjančios ir mažėjančios serijų auksinio santykio segmentus, galite naudoti pentagrama.

Norėdami sukurti pentagramą, turite sukurti įprastą penkiakampį. Jo konstravimo būdą sukūrė vokiečių tapytojas ir grafikas Albrechtas Diureris (1471...1528). Leisti O- apskritimo centras A- taškas ant apskritimo ir E- segmento vidurys OA. Statmenai spinduliui OA, restauruotas taške APIE, kerta apskritimą taške D. Naudodami kompasą, atidėkite skersmens segmentą CE = ED. Į apskritimą įbrėžto taisyklingo penkiakampio kraštinės ilgis yra DC. Segmentų uždėjimas ant apskritimo DC ir gaukite penkis taškus, kad nubrėžtumėte taisyklingą penkiakampį. Penkiakampio kampus sujungiame per vieną įstrižainę ir gauname pentagramą. Visos penkiakampio įstrižainės padalija viena kitą į segmentus, sujungtus aukso pjūviu.

Kiekvienas penkiakampės žvaigždės galas yra auksinis trikampis. Jos šonai viršuje sudaro 36° kampą, o šone paklotas pagrindas jį padalija proporcingai auksinei pjūviui.

Nubrėžiame tiesią liniją AB. nuo taško A atidėkite ant jo tris kartus savavališko dydžio atkarpą O per gautą tašką R nubrėžkite statmeną linijai AB, statmenai į dešinę ir į kairę nuo taško R atidėkite segmentus APIE. Gauti taškai d Ir d1 sujungti tiesia linija A. Linijos segmentas dd1įdėti į liniją Skelbimas1, gauti tašką SU. Ji padalino liniją Skelbimas1 proporcingai aukso pjūviui. linijos Skelbimas1 Ir dd1 naudojamas „auksiniam“ stačiakampiui statyti.

Fibonačio serija

Italų matematiko vienuolio Leonardo iš Pizos, geriau žinomo kaip Fibonacci (Bonačio sūnus), vardas yra netiesiogiai susijęs su aukso pjūvio istorija. Jis daug keliavo po Rytus, supažindino Europą su indiškais (arabiškais) skaitmenimis. 1202 metais buvo išleistas jo matematinis veikalas „Abako knyga“ (skaičiavimo lenta), kuriame buvo surinkti visi tuo metu žinomi uždaviniai. Viena iš užduočių buvo tokia: „Kiek porų triušių per vienerius metus gims iš vienos poros“. Apmąstydamas šią temą, Fibonacci sukūrė tokią skaičių seką:

Mėnesių

ir tt

Triušių poros

ir tt

Skaičių serija 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ir kt. žinoma kaip Fibonacci serija. Skaičių sekos ypatumas yra tas, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo trečiojo, yra lygus dviejų ankstesnių 2 + 3 = 5 sumai; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 ir tt, o gretimų serijos skaičių santykis artėja prie auksinio padalijimo santykio. Taigi, 21:34 = 0,617 ir 34:55 = 0,618. Šis santykis žymimas simboliu Ф. Tik šis santykis - 0,618: 0,382 - duoda nuolatinį tiesios linijos atkarpos dalijimą auksiniu pjūviu, jį didinant arba sumažinant iki begalybės, kai mažesnioji atkarpa yra susijusi su didesniu kaip didesnis yra viskam.

Fibonacci taip pat nagrinėjo praktinius prekybos poreikius: koks yra mažiausias svarelių skaičius, kuriuo galima pasverti prekę? Fibonacci įrodo, kad tokia svorių sistema yra optimali: 1, 2, 4, 8, 16...

Fibonačio serija galėjo likti tik matematiniu incidentu, jei ne tai, kad visi auksinio padalinio tyrinėtojai augalų ir gyvūnų pasaulyje, jau nekalbant apie meną, visada atėjo į šią seriją kaip auksinio padalijimo dėsnio aritmetinę išraišką. .

Mokslininkai toliau aktyviai plėtojo Fibonačio skaičių ir aukso pjūvio teoriją. Yu.Matiyasevičius išsprendžia Hilberto 10-ąją užduotį naudodamas Fibonačio skaičius. Yra elegantiškų būdų, kaip išspręsti daugybę kibernetinių problemų (paieškos teorija, žaidimai, programavimas), naudojant Fibonačio skaičius ir aukso pjūvį. JAV kuriama net Mathematical Fibonacci asociacija, kuri nuo 1963 metų leidžia specialų žurnalą.

Faktus, patvirtinančius aukso pjūvių ir jų darinių egzistavimą gamtoje, pateikia baltarusių mokslininkas E.M. Soroko knygoje „Struktūrinė sistemų harmonija“ (Minskas, „Mokslas ir technika“, 1984). Pavyzdžiui, paaiškėja, kad gerai ištirti dvejetainiai lydiniai pasižymi ypatingomis, ryškiomis funkcinėmis savybėmis (termiškai stabilus, kietas, atsparus dilimui, atsparus oksidacijai ir kt.) tik tuo atveju, jei pradinių komponentų savitosios masės yra tarpusavyje susijusios. viena aukso proporcijų. Tai leido autoriui iškelti hipotezę, kad aukso pjūviai yra savaime besiorganizuojančių sistemų skaitinės konstantos. Patvirtinta eksperimentiškai, ši hipotezė gali turėti esminės reikšmės plėtojant sinergetiką – naują mokslo sritį, tiriančią procesus savaime besitvarkančiose sistemose.

Formavimo gamtoje principai

Viskas, kas įgavo kažkokią formą, formavosi, augo, stengėsi užimti vietą erdvėje ir išsaugoti save. Šis siekis realizuojasi daugiausia dviem variantais – augant aukštyn arba plintant žemės paviršiumi ir besisukant spirale.

Korpusas susuktas spirale. Jei jį išskleisite, gausite šiek tiek prastesnį nei gyvatės ilgį. Mažas dešimties centimetrų kiautas turi 35 cm ilgio spiralę.Spiralės gamtoje labai paplitusios. Aukso pjūvio koncepcija bus neišsami, jei nekalbu apie spiralę.

Archimedo dėmesį patraukė spirališkai riesto apvalkalo forma. Jis jį ištyrė ir išvedė spiralės lygtį. Pagal šią lygtį nubrėžta spiralė vadinama jo vardu. Jos žingsnio padidėjimas visada vienodas. Šiuo metu Archimedo spiralė plačiai naudojama inžinerijoje.

Net Goethe pabrėžė gamtos polinkį į spirališkumą. Spiralinis ir spiralinis lapų išsidėstymas ant medžių šakų buvo pastebėtas seniai. Spiralė buvo matyti saulėgrąžų sėklose, kankorėžiuose, ananasuose, kaktusuose ir kt. Bendras botanikų ir matematikų darbas atskleidė šiuos nuostabius gamtos reiškinius. Paaiškėjo, kad lapų išdėstyme ant šakos (filotaksės), saulėgrąžų sėklose, kankorėžiuose pasireiškia Fibonačio serija, taigi ir aukso pjūvio dėsnis. Voras sukasi savo tinklą spirale. Uraganas sklinda spirale. Išsigandusi šiaurės elnių banda išsisklaido spirale. DNR molekulė yra susukta į dvigubą spiralę. Goethe spiralę pavadino „gyvenimo kreive“.

Tarp pakelės vaistažolių auga niekuo neišsiskiriantis augalas – cikorija. Pažvelkime į tai atidžiau. Iš pagrindinio stiebo susiformavo šaka. Štai pirmasis lapas.

Ryžiai. 12. Cikorija

Procesas stipriai išsviedžia į erdvę, sustoja, paleidžia lapą, bet jau trumpesnį nei pirmasis, vėl išsviedžia į erdvę, bet mažesnės jėgos, paleidžia dar mažesnio dydžio lapą ir vėl išsviedžia. Jei pirmasis išskirtinis dydis yra 100 vienetų, tada antrasis yra 62 vienetai, trečiasis yra 38, ketvirtasis yra 24 ir pan. Žiedlapių ilgis taip pat priklauso nuo aukso pjūvio. Augdamas, užkariaujant erdvę, augalas išlaikė tam tikras proporcijas. Jo augimo impulsai palaipsniui mažėjo proporcingai aukso pjūviui.

Ryžiai. 13.gyvybingas driežas

Drieže iš pirmo žvilgsnio užfiksuojamos mūsų akiai malonios proporcijos - jo uodegos ilgis yra susijęs su likusios kūno dalies ilgiu nuo 62 iki 38.

Tiek augalų, tiek gyvūnų pasaulyje atkakliai prasiveržia gamtos formavimosi tendencija – simetrija augimo ir judėjimo krypties atžvilgiu. Čia auksinis pjūvis atsiranda dalių proporcijose, statmenose augimo krypčiai.

Gamta atliko padalijimą į simetriškas dalis ir auksines proporcijas. Dalimis pasireiškia visumos struktūros pasikartojimas.

Ryžiai. 14. paukščio kiaušinis

Didysis Gėtė, poetas, gamtininkas ir dailininkas (piešė ir tapė akvarele), svajojo sukurti vieningą organinių kūnų formos, formavimosi ir transformacijos doktriną. Būtent jis įvedė morfologijos terminą į mokslinę vartoseną.

Pierre'as Curie mūsų amžiaus pradžioje suformulavo daugybę gilių simetrijos idėjų. Jis teigė, kad negalima svarstyti jokio kūno simetrijos neatsižvelgus į aplinkos simetriją.

„Auksinės“ simetrijos dėsningumai pasireiškia elementariųjų dalelių energetiniuose perėjimuose, kai kurių cheminių junginių struktūroje, planetų ir kosmoso sistemose, gyvų organizmų genų struktūrose. Šie modeliai, kaip nurodyta pirmiau, yra atskirų žmogaus organų ir viso kūno struktūroje, taip pat pasireiškia bioritmais ir smegenų funkcionavimu bei vizualiniu suvokimu.

Auksinis santykis ir simetrija

Auksinis pjūvis negali būti nagrinėjamas pats savaime, atskirai, be ryšio su simetrija. Didysis rusų kristalografas G.V. Wulffas (1863...1925) aukso pjūvį laikė viena iš simetrijos apraiškų.

Auksinis padalijimas nėra asimetrijos pasireiškimas, kažkas priešingo simetrijai.Pagal šiuolaikines sampratas auksinė padalija yra asimetrinė simetrija. Simetrijos mokslas apima tokias sąvokas kaip statinis Ir dinaminė simetrija. Statinė simetrija apibūdina poilsį, pusiausvyrą, o dinaminė – judėjimą, augimą. Taigi gamtoje statinę simetriją reprezentuoja kristalų struktūra, o mene ji apibūdina ramybę, pusiausvyrą ir nejudrumą. Dinaminė simetrija išreiškia aktyvumą, apibūdina judėjimą, raidą, ritmą, yra gyvybės įrodymas. Statinei simetrijai būdingi vienodi segmentai, vienodi dydžiai. Dinaminei simetrijai būdingas segmentų padidėjimas arba jų sumažėjimas, jis išreiškiamas aukso pjūvio vertėmis.

Stebėkite ir pritaikykite

Aukso pjūvio principo supratimas ir naudojimas neturėtų būti kažkokio elito reikalas – tai elementariausios žinios, nuo kurių prasideda be galo sudėtingi harmonijos ir proporcijos dėsniai. Prasmingam šių dėsnių taikymui kasdieniame gyvenime nėra ribų. Pagrindinio ir antrinio paskirstymas visumos atžvilgiu gali būti susijęs su bet kuo. Tai yra savo laiko paskirstymas ir bet koks kūrybinis procesas, įskaitant visas meno rūšis, literatūrą, muziką, savo požiūrio į bet kokius procesus ir reiškinius formavimas. Tai yra auksinis vidurio kelias, apie kurį kalbėjo senoliai.

Kiekvienas menininkas, kiekvienas režisierius, kiekvienas reklamos specialistas žino, kaip įvaizdį padaryti malonų akiai, kaip jį sukurti pagal harmonijos ir psichologijos dėsnius. žmogaus suvokimas. Kartais pikčiausi kultūros priešai pasiekia reikšmingų pergalių naudodamiesi gamtos dėsnių išmanymu. Taigi, prisidengdami kažkuo maloniu ir mielu, dažnai leidžiame į savo širdis įsiskverbti stipriausius nuodus. Tiek daug žmonių kalba apie laisvę, o patys nuodijasi savo noru, vėliau susimąstę, iš kur jų ligos ir nelaimės.

Nežinioje negali būti laisvės. Reikia įveikti šiurkštumą ir skonio neįskaitomumą. Tebūnie tai ir individų, ir bendruomenių, ir valstybių rūpestis.

Sudarė R. Annenkovas

Žmogus aplinkinius objektus skiria pagal formą. Susidomėjimą daikto forma gali lemti gyvybinė būtinybė arba formos grožis. Forma, pagrįsta simetrijos ir aukso pjūvio deriniu, prisideda prie geriausio vizualinio suvokimo ir grožio bei harmonijos pojūčio atsiradimo. Visuma visada susideda iš dalių, skirtingo dydžio dalys yra tam tikru santykiu viena su kita ir su visuma. Aukso pjūvio principas yra aukščiausia visumos ir jos dalių struktūrinio ir funkcinio tobulumo apraiška mene, moksle, technikoje ir gamtoje.

Auksinis santykis – harmoninga proporcija

Matematikoje proporcija(lot. proportio) vadina dviejų santykių lygybe: a : b = c : d.

Linijos segmentas AB galima padalyti į dvi dalis šiais būdais:

į dvi lygias dalis AB : AC = AB : Saulė;

į dvi nelygias dalis bet kokiu santykiu (tokios dalys nesudaro proporcijų);

todėl, kai AB : AC = AC : Saulė.

Pastarasis yra segmento auksinis padalijimas arba padalijimas kraštutiniu ir vidutiniu santykiu.

a : b = b : c arba Su : b = b : A.

Ryžiai. 1. geometrinis vaizdas aukso pjūvis

Praktinė pažintis su aukso pjūviu prasideda tiesios linijos segmento padalijimu aukso pjūviu naudojant kompasą ir liniuotę.

Ryžiai. 2. Linijos atkarpos padalijimas pagal aukso pjūvį. pr. Kr = 1/2 AB; CD = pr. Kr

Aukso pjūvio savybės apibūdinamos lygtimi:

x 2 - x - 1 = 0.

Šios lygties sprendimas:

Auksinės pjūvio savybės aplink šį skaičių sukūrė romantišką paslapties ir beveik mistiško garbinimo aurą.

Antrasis aukso pjūvis

Bulgarijos žurnalas „Tėvynė“ (1983 m. Nr. 10) paskelbė Cvetano Tsekovo-Karandash straipsnį „Apie antrąjį auksinį pjūvį“, kuris seka iš pagrindinės dalies ir pateikia kitokį santykį 44:56.

Tokia proporcija yra architektūroje, taip pat vyksta kuriant pailgo horizontalaus formato vaizdų kompozicijas.

Ryžiai. 3. Antrosios auksinės dalies statyba

Padalijimas atliekamas taip (žr. 3 pav.). Linijos segmentas AB yra padalintas pagal aukso pjūvį. Iš taško SU statmenas atstatomas CD. Spindulys AB yra taškas D, kuri linija sujungta su tašku A. Tiesus kampas ACD yra padalintas per pusę. Iš taško SU linija brėžiama tol, kol susikerta su linija REKLAMA. Taškas E dalija segmentą REKLAMA 56:44 atžvilgiu.

Ryžiai. 4. Stačiakampio padalijimas iš antrojo aukso pjūvio linijos

Ant pav. 4 parodyta antrosios auksinės dalies linijos padėtis. Jis yra viduryje tarp auksinės pjūvio linijos ir vidurinės stačiakampio linijos.

Auksinis trikampis

Norėdami rasti didėjančios ir mažėjančios serijų auksinio santykio segmentus, galite naudoti pentagrama.

Ryžiai. 5. Taisyklingo penkiakampio ir pentagramos konstrukcija

Kiekvienas penkiakampės žvaigždės galas yra auksinis trikampis. Jos šonai viršuje sudaro 36° kampą, o šone paklotas pagrindas jį padalija proporcingai auksinei pjūviui.

Ryžiai. 6. Auksinio trikampio konstrukcija

Nubrėžiame tiesią liniją AB. nuo taško A tris kartus padėkite ant jo segmentą APIE savavališka reikšmė per gautą tašką R nubrėžkite statmeną linijai AB, statmenai į dešinę ir į kairę nuo taško R atidėkite segmentus APIE. Gauti taškai d Ir d 1 tiesiomis linijomis prijunkite prie taško A. Linijos segmentas dd 1 atidėtas ant linijos Reklama 1, gaunu tašką SU. Ji padalino liniją Reklama 1 proporcingai aukso pjūviui. linijos Reklama 1 ir dd 1 naudojamas „auksiniam“ stačiakampiui statyti.

Aukso pjūvio istorija

Ryžiai. 7. Dinaminiai stačiakampiai

Platonas (427...347 m. pr. Kr.) taip pat žinojo apie auksinį padalijimą. Jo dialogas „Timeus“ skirtas matematinėms ir estetinėms Pitagoro mokyklos pažiūroms ir ypač aukso padalijimo klausimams.

Ryžiai. 8. Senoviniai kompasai aukso pjūvis

Senovės literatūroje, kuri atėjo iki mūsų, aukso padalijimas pirmą kartą paminėtas Euklido elementuose. 2-oje „Pradžių" knygoje pateikta geometrinė aukso padalijimo konstrukcija. Po Euklido aukso padalijimo tyrinėjimais užsiėmė Hipsiklis (II a. pr. Kr.), Papas (III a. po Kr.) ir kt. Viduramžių Europoje su auksiniu skyriumi Susipažinome per arabiškus Euklido elementų vertimus. Vertimą komentavo vertėjas J. Campano iš Navaros (III a.). Auksinės divizijos paslaptys buvo pavydžiai saugomos, laikomos griežtoje paslaptyje. Juos žinojo tik iniciatoriai.

Renesanso laikais mokslininkų ir menininkų susidomėjimas auksine padalijimu išaugo dėl jo panaudojimo geometrijoje ir mene, ypač architektūroje. Menininkas ir mokslininkas Leonardo da Vinci pastebėjo, kad italų menininkai turi didelę empirinę patirtį, bet mažai žinių. . Jis pastojo ir pradėjo rašyti knygą apie geometriją, tačiau tuo metu pasirodė vienuolio Luca Pacioli knyga, o Leonardo atsisakė savo idėjos. Anot amžininkų ir mokslo istorikų, Luca Pacioli buvo tikras šviesulys, didžiausias matematikas Italijoje tarp Fibonačio ir Galilėjaus. Luca Pacioli buvo dailininko Piero della Francesca mokinys, kuris parašė dvi knygas, iš kurių viena vadinosi „Apie tapybos perspektyvą“. Jis laikomas aprašomosios geometrijos kūrėju.

Tuo pačiu metu šiaurės Europoje, Vokietijoje, Albrechtas Diureris sprendė tas pačias problemas. Jis pateikia įvadą į pirmąjį traktato apie proporcijas projektą. Rašo Dureris. „Reikia, kad tas, kuris ką nors žino, išmokytų to kitus, kuriems to reikia. Štai ką aš užsibrėžiau padaryti“.

Kepleris aukso pjūvį pavadino savaime besitęsiančiu. „Jis yra išdėstytas taip, – rašė jis, – kad du jaunesni šios begalinės proporcijos nariai sudaro trečiąjį terminą, o bet kurios dvi paskutinės dalys, sudėjus kartu, duoda kitą kadenciją, ir ta pati proporcija išlieka iki begalybės“.

Auksinio pjūvio segmentų serijos konstravimas gali būti atliekamas tiek didėjimo kryptimi (didėjanti serija), tiek mažėjimo kryptimi (mažėjanti serija).

Ryžiai. 9. Auksinio pjūvio segmentų skalės kūrimas

Vėlesniais šimtmečiais aukso pjūvio taisyklė virto akademiniu kanonu, o kai laikui bėgant mene prasidėjo kova su akademine rutina, kovos įkarštyje „vaiką išmetė su vandeniu“. Aukso pjūvis vėl buvo „atrastas“ XIX amžiaus viduryje. 1855 metais vokiečių aukso pjūvio tyrinėtojas profesorius Zeisingas paskelbė savo veikalą „Estetinis tyrimas“. Su Zeisingu tiksliai tai, kas atsitiko, turėjo nutikti tyrėjui, kuris reiškinį laiko tokiu, nesusijusiu su kitais reiškiniais. Jis suabsoliutino aukso pjūvio proporciją, paskelbdamas ją universalia visiems gamtos ir meno reiškiniams. Zeisingas turėjo daug pasekėjų, tačiau buvo ir priešininkų, kurie jo proporcijų doktriną paskelbė „matematine estetika“.

Ryžiai. 10. Auksinės proporcijos žmogaus kūno dalyse

Zeisingas atliko puikų darbą. Jis išmatavo apie du tūkstančius žmonių kūnų ir padarė išvadą, kad aukso pjūvis išreiškia vidutinį statistinį dėsnį. Kūno padalijimas pagal bambos tašką yra svarbiausias aukso pjūvio rodiklis. Vyro kūno proporcijos svyruoja per vidutinį santykį 13:8 = 1,625 ir yra šiek tiek artimesnės auksiniam pjūviui nei moters kūno proporcijos, kurių atžvilgiu vidutinė proporcijos reikšmė išreiškiama santykiu 8: 5 = 1,6. Naujagimiui proporcija yra 1: 1, sulaukus 13 metų – 1,6, o sulaukus 21 metų – vyro. Aukso pjūvio proporcijos pasireiškia ir kitų kūno dalių atžvilgiu – peties, dilbio ir plaštakos, plaštakos ir pirštų ilgio ir kt.

Ryžiai. vienuolika. Auksinės proporcijos žmogaus figūroje

XIX pabaigoje – XX amžiaus pradžioje. atsirado daug grynai formalistinių teorijų apie aukso pjūvio panaudojimą meno ir architektūros kūriniuose. Tobulėjant dizainui ir techninei estetikai aukso pjūvio dėsnis išsiplėtė ir automobilių, baldų ir kt.

Fibonačio serija

Italų matematiko vienuolio Leonardo iš Pizos, geriau žinomo kaip Fibonacci (Bonačio sūnus), vardas yra netiesiogiai susijęs su aukso pjūvio istorija. Jis daug keliavo po Rytus, supažindino Europą su indiškais (arabiškais) skaitmenimis. 1202 metais buvo išleistas jo matematinis veikalas „Abako knyga“ (Skaičiavimo lenta), kuriame buvo surinktos visos tuo metu žinomos problemos. Viena iš užduočių buvo tokia: „Kiek porų triušių per vienerius metus gims iš vienos poros“. Apmąstydamas šią temą, Fibonacci sukūrė tokią skaičių seką:

Skaičių serija 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ir kt. žinoma kaip Fibonacci serija. Skaičių sekos ypatumas yra tas, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo trečiojo, yra lygus dviejų ankstesnių 2 + 3 = 5 sumai; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 ir tt, o gretimų serijos skaičių santykis artėja prie auksinio padalijimo santykio. Taigi, 21:34 = 0,617 ir 34:55 = 0,618. Šis santykis simbolizuojamas F. Tik šis santykis – 0,618: 0,382 – suteikia nenutrūkstamą tiesios atkarpos padalijimą aukso pjūviu, jo didėjimą arba mažėjimą iki begalybės, kai mažesnioji atkarpa yra susijusi su didesniu, kaip didesnė su viskuo.

Apibendrintas aukso pjūvis

Vienas iš šios srities laimėjimų – apibendrintų Fibonačio skaičių ir apibendrintų aukso santykio atradimas.

Fibonačio serija (1, 1, 2, 3, 5, 8) ir jo atrasta „dvejetainė“ svorių serija 1, 2, 4, 8, 16... iš pirmo žvilgsnio visiškai skiriasi. Tačiau jų konstravimo algoritmai yra labai panašūs vienas į kitą: pirmuoju atveju kiekvienas skaičius yra ankstesnio skaičiaus suma su savimi 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., antrame - tai dviejų ankstesnių skaičių suma 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Ar tai įmanoma rasti bendrą matematinę formulę, iš kurios " dvejetainės eilutės ir Fibonačio eilutės? O gal ši formulė suteiks mums naujų skaičių rinkinių su naujomis unikaliomis savybėmis?

Iš tiesų, nustatykime skaitinį parametrą S, kuri gali turėti bet kokias reikšmes: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Apsvarstykite skaičių eilutę, S+ 1, kurio pirmieji nariai yra vienetai, o kiekvienas iš paskesnių yra lygus dviejų ankstesnio ir tos, kurią nuo ankstesnio skiria Sžingsniai. Jeigu nšios serijos tąjį narį pažymime φ S ( n), tada gauname bendrąją formulę φ S ( n) = φ S ( n– 1) + φ S ( n - S - 1).

Akivaizdu, kad val S= 0 iš šios formulės gauname "dvejetainę" eilutę, su S= 1 – Fibonačio serija, su S\u003d 2, 3, 4. nauja skaičių serija, kuri vadinama S- Fibonačio skaičiai.

IN bendras vaizdas auksinis S-proporcija yra teigiama auksinės lygties šaknis S-skyriai x S+1 - x S - 1 = 0.

Nesunku parodyti, kad kada S= 0, gauname atkarpos padalijimą per pusę, o kada S= 1 - pažįstamas klasikinis aukso pjūvis.

Kaimynų santykiai S-Fibonačio skaičiai su absoliučiu matematiniu tikslumu sutampa su auksine riba S- proporcijos! Matematikai tokiais atvejais sako, kad auksas S-skyriai yra skaitiniai invariantai S- Fibonačio skaičiai.

Faktai, patvirtinantys aukso egzistavimą S-skyrius gamtoje, baltarusių mokslininkas E.M. Soroko knygoje „Struktūrinė sistemų harmonija“ (Minskas, „Mokslas ir technika“, 1984). Pavyzdžiui, paaiškėja, kad gerai ištirti dvejetainiai lydiniai pasižymi ypatingomis, ryškiomis funkcinėmis savybėmis (termiškai stabilus, kietas, atsparus dilimui, atsparus oksidacijai ir kt.) tik tuo atveju, jei pradinių komponentų savitosios masės yra tarpusavyje susijusios. vienu auksiniu S- proporcijos. Tai leido autoriui iškelti hipotezę, kad auksas S-sekcijos yra savaime besitvarkančių sistemų skaitiniai invariantai. Patvirtinta eksperimentiškai, ši hipotezė gali turėti esminės reikšmės plėtojant sinergiją – naują mokslo sritį, tiriančią procesus savaime besitvarkančiose sistemose.

Su auksiniais kodais S-proporcijos gali išreikšti bet kurį realųjį skaičių kaip aukso laipsnių sumą S-proporcijos su sveikųjų skaičių koeficientais.

Esminis skirtumas tarp šio skaičių kodavimo metodo yra tas, kad naujų kodų, kurie yra auksiniai, pagrindai S- proporcijos, S> 0 yra neracionalūs skaičiai. Taigi naujos skaičių sistemos su neracionaliais pagrindais tarsi „aukštyn kojom“ apvertė istoriškai nusistovėjusią racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių santykių hierarchiją. Faktas yra tas, kad iš pradžių buvo „atrasta“ natūralieji skaičiai; tada jų santykiai yra racionalieji skaičiai. Ir tik vėliau – pitagoriečiams atradus nepalyginamus segmentus – atsirado neracionalūs skaičiai. Pavyzdžiui, dešimtainėje, kvinarinėje, dvejetainėje ir kitose klasikinėse pozicinių skaičių sistemose natūralieji skaičiai – 10, 5, 2 – buvo pasirinkti kaip savotiškas pamatinis principas, iš kurio pagal tam tikras taisykles galioja visi kiti gamtiniai, taip pat racionalieji. ir buvo sukurti neracionalūs skaičiai.

Savotiška alternatyva esamiems numeravimo metodams yra nauja, neracionali sistema, kaip pagrindinis principas, kurio pradžia pasirenkama iracionaliuoju skaičiumi (kuris, prisimename, yra aukso pjūvio lygties šaknis); per jį jau išreiškiami kiti realieji skaičiai.

Tokioje skaičių sistemoje bet koks natūralusis skaičius visada pavaizduojamas kaip baigtinis skaičius – o ne begalinis, kaip manyta anksčiau! - bet kurio aukso laipsnių sumos S- proporcijos. Tai viena iš priežasčių, kodėl atrodo, kad „neracionali“ aritmetika su savo nuostabiu matematiniu paprastumu ir elegancija įsisavino geriausios savybės klasikinė dvejetainė ir „Fibonačio“ aritmetika.

Formavimo gamtoje principai

Ryžiai. 12. Archimedo spiralė

Tarp pakelės vaistažolių auga niekuo neišsiskiriantis augalas – cikorija. Pažvelkime į tai atidžiau. Iš pagrindinio stiebo susiformavo šaka. Štai pirmasis lapas.

Ryžiai. 13. Cikorija

Ryžiai. 14. gyvybingas driežas

Drieže iš pirmo žvilgsnio užfiksuojamos mūsų akiai malonios proporcijos - jo uodegos ilgis yra susijęs su likusios kūno dalies ilgiu nuo 62 iki 38.

Gamta atliko padalijimą į simetriškas dalis ir auksines proporcijas. Dalimis pasireiškia visumos struktūros pasikartojimas.

Ryžiai. 15. paukščio kiaušinis

Pierre'as Curie mūsų amžiaus pradžioje suformulavo daugybę gilių simetrijos idėjų. Jis teigė, kad negalima svarstyti jokio kūno simetrijos neatsižvelgus į aplinkos simetriją.

„Auksinės“ simetrijos modeliai pasireiškia elementariųjų dalelių energetiniuose perėjimuose, kai kurių cheminių junginių struktūroje, planetų ir kosmoso sistemose, gyvų organizmų genų struktūrose. Šie modeliai, kaip nurodyta pirmiau, yra atskirų žmogaus organų ir viso kūno struktūroje, taip pat pasireiškia bioritmais ir smegenų funkcionavimu bei vizualiniu suvokimu.

Auksinis santykis ir simetrija

Dinaminiai stačiakampiai

Antikvariniai aukso pjūvio kompasai

Tuo pačiu metu šiaurės Europoje, Vokietijoje, Albrechtas Diureris sprendė tas pačias problemas. Jis pateikia įvadą į pirmąjį traktato apie proporcijas projektą. Rašo Dureris. „Reikia, kad tas, kuris ką nors žino, išmokytų to kitus, kuriems to reikia. Štai ką aš užsibrėžiau padaryti“.

Auksinio pjūvio segmentų serijos konstravimas gali būti atliekamas tiek didėjimo kryptimi (didėjanti serija), tiek mažėjimo kryptimi (mažėjanti serija).

Auksinio pjūvio segmentų skalės kūrimas

Nuo seniausių laikų žmones nerimavo klausimas, ar tokie sunkiai suvokiami dalykai kaip grožis ir harmonija yra matematiškai skaičiuojami. Žinoma, visi grožio dėsniai negali būti sutalpinti į kelias formules, tačiau studijuodami matematiką galime atrasti kai kuriuos grožio terminus – aukso pjūvį. Mūsų užduotis yra išsiaiškinti, kas yra aukso pjūvis, ir nustatyti, kur žmonija panaudojo aukso pjūvį.

Tikriausiai atkreipei dėmesį į tai, kad supančios tikrovės objektus ir reiškinius traktuojame skirtingai. Būk h padorumas, būk h vienodumą, neproporcingumą suvokiame kaip negražų ir sukelia atstumiantį įspūdį. O daiktai ir reiškiniai, kuriems būdingas saikas, tikslingumas ir harmonija, suvokiami kaip gražūs ir sukelia susižavėjimo, džiaugsmo, nudžiuginimo jausmą.

Žmogus savo veikloje nuolat susiduria su objektais, paremtais aukso pjūviu. Yra dalykų, kurių negalima paaiškinti. Taigi ateini prie tuščio suolo ir atsisėdi ant jo. Kur tu sėdėsi? viduryje? O gal iš pačio krašto? Ne, greičiausiai ne vienas ar kitas. Sėdėsite taip, kad vienos suoliuko dalies ir kitos dalies santykis jūsų kūno atžvilgiu būtų maždaug 1,62. Paprastas dalykas, absoliučiai instinktyvus... Atsisėdęs ant suoliuko atkartoji „auksinį pjūvį“.

Aukso pjūvis buvo žinomas senovės Egipte ir Babilone, Indijoje ir Kinijoje. Didysis Pitagoras sukūrė slaptą mokyklą, kurioje mokėsi mistinė esmė„aukso pjūvis“. Euklidas jį pritaikė, kurdamas savo geometriją, o Fidias – savo nemirtingas skulptūras. Platonas sakė, kad visata yra išdėstyta pagal „aukso pjūvį“. Aristotelis rado „aukso pjūvio“ atitikimą etiniam įstatymui. Aukščiausią „aukso pjūvio“ harmoniją skelbs Leonardo da Vinci ir Mikelandželas, nes grožis ir „aukso pjūvis“ yra vienas ir tas pats. O krikščionys mistikai ant savo vienuolynų sienų pieš „aukso pjūvio“ pentagramas, pabėgdami nuo Velnio. Tuo pačiu metu mokslininkai – nuo Pacioli iki Einšteino – ieškos, bet niekada jo neras. tiksli vertė. Būk h paskutinė eilutė po kablelio yra 1,6180339887... Keistas, paslaptingas, nepaaiškinamas dalykas – ši dieviška proporcija mistiškai lydi viską, kas gyva. Negyva gamta nežino, kas yra „aukso pjūvis“. Bet jūs tikrai pamatysite šią proporciją jūros kriauklių vingiuose ir gėlių pavidalu, ir vabalų pavidalu, ir gražiame žmogaus kūne. Viskas, kas gyva ir kas gražu – viskas paklūsta dieviškajam įstatymui, kurio pavadinimas yra „aukso pjūvis“. Taigi, kas yra „auksinis santykis“? Kas yra šis tobulas, dieviškas derinys? Gal tai grožio dėsnis? O gal tai vis dar yra mistinė paslaptis? Mokslinis reiškinys ar etinis principas? Atsakymas vis dar nežinomas. Tiksliau – ne, tai žinoma. „Auksinė pjūvis“ yra ir ta, ir kita, ir trečia. Tik ne atskirai, o tuo pačiu... Ir tai yra jo tikroji paslaptis, didžioji jo paslaptis.

Tikriausiai sunku rasti patikimą matą objektyviam paties grožio įvertinimui, o vien logika čia nepadės. Tačiau čia padės patirtis tų, kuriems grožio paieškos buvo pati gyvenimo prasmė, kurie tai padarė savo profesija. Visų pirma, tai meno žmonės, kaip mes juos vadiname: menininkai, architektai, skulptoriai, muzikantai, rašytojai. Bet tai yra tiksliųjų mokslų žmonės, pirmiausia matematikai.

Pasitikėdamas akimi labiau nei kitais jutimo organais, Žmogus pirmiausia išmoko atskirti jį supančius objektus pagal formą. Susidomėjimą daikto forma gali lemti gyvybinė būtinybė arba formos grožis. Forma, pagrįsta simetrijos ir aukso pjūvio deriniu, prisideda prie geriausio vizualinio suvokimo ir grožio bei harmonijos pojūčio atsiradimo. Visuma visada susideda iš dalių, skirtingo dydžio dalys yra tam tikru santykiu viena su kita ir su visuma. Aukso pjūvio principas yra aukščiausia visumos ir jos dalių struktūrinio ir funkcinio tobulumo apraiška mene, moksle, technikoje ir gamtoje.

AUKSO SKYRIUS – HARMONINĖ PROPORCIJA

Matematikoje proporcija yra dviejų santykių lygybė:

Linijos atkarpa AB gali būti padalinta į dvi dalis šiais būdais:

į dvi lygias dalis - AB: AC = AB: BC;
į dvi nelygias dalis bet kokiu santykiu (tokios dalys nesudaro proporcijų);
taigi, kai AB:AC=AC:BC.

Pastarasis yra auksinis skyrius (skyrius).

Aukso pjūvis yra toks proporcingas atkarpos padalijimas į nelygias dalis, kai visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi taip pat, kaip pati didesnė dalis yra susijusi su mažesne, kitaip tariant, mažesnė dalis yra susijusi su didesne dalimi. susijęs su didesniu, kaip ir didesnis yra su viskuo

a:b=b:c arba c:b=b:a.

Geometrinis aukso pjūvio vaizdas

Praktinė pažintis su aukso pjūviu prasideda tiesios linijos segmento padalijimu aukso pjūviu naudojant kompasą ir liniuotę.

Linijos atkarpos padalijimas pagal aukso pjūvį. BC=1/2AB; CD = BC

Iš taško B atkuriamas statmenas, lygus pusei AB. Gautas taškas C tiese sujungtas su tašku A. Gautoje tiesėje nubrėžta atkarpa BC, kuri baigiasi tašku D. Atkarpa AD perkeliama į tiesę AB. Gautas taškas E padalija atkarpą AB aukso pjūvio santykiu.

Auksinio pjūvio segmentai išreiškiami be h galutinė trupmena AE=0,618..., jei AB imamas vienetu, BE=0,382... Praktiniais tikslais dažnai naudojamos apytikslės reikšmės 0,62 ir 0,38. Jei atkarpą AB imame kaip 100 dalių, tai didžiausia atkarpos dalis yra 62, o mažesnė – 38 dalys.

Aukso pjūvio savybės apibūdinamos lygtimi:

Šios lygties sprendimas:

Aukso pjūvio savybės aplink šį skaičių sukūrė romantišką paslapties aurą ir beveik mistinę kartą. Pavyzdžiui, įprastoje penkiakampėje žvaigždėje kiekvienas segmentas yra padalintas iš jį kertančios atkarpos proporcingai aukso pjūviui (t. y. mėlynos ir žalios, raudonos ir mėlynos, žalios ir violetinės spalvos santykis yra 1,618).

ANTRAS AUKSO SKYRIUS

Ši proporcija randama architektūroje.

Antrosios auksinės dalies statyba

Padalijimas atliekamas taip. Atkarpa AB yra padalinta proporcingai aukso pjūviui. Iš taško C atkuriamas statmenas CD. Spindulys AB yra taškas D, kuris tiese sujungtas su tašku A. Stačiakampis ACD yra padalintas į pusę. Nuo taško C iki susikirtimo su tiese AD nubrėžiama linija. Taškas E padalija atkarpą AD santykiu 56:44.

Stačiakampio padalijimas iš antrojo aukso pjūvio linijos

Paveikslėlyje parodyta antrosios auksinės dalies linijos padėtis. Jis yra viduryje tarp auksinės pjūvio linijos ir vidurinės stačiakampio linijos.

AUKSINIS TRIKAMPIS (pentagrama)

Norėdami rasti kylančios ir mažėjančios eilučių auksinio santykio segmentus, galite naudoti pentagramą.

Taisyklingo penkiakampio ir pentagramos konstrukcija

Norėdami sukurti pentagramą, turite sukurti įprastą penkiakampį. Jo konstravimo būdą sukūrė vokiečių tapytojas ir grafikas Albrechtas Diureris. Tegul O yra apskritimo centras, A yra apskritimo taškas, o E yra atkarpos OA vidurio taškas. Statmenas spinduliui OA, pakeltas taške O, kertasi su apskritimu taške D. Kompasu pažymėkite skersmenyje atkarpą CE=ED. Į apskritimą įbrėžto taisyklingo penkiakampio kraštinės ilgis yra DC. Apskritime atidedame DC segmentus ir gauname penkis taškus už taisyklingo penkiakampio nubrėžimą. Penkiakampio kampus sujungiame per vieną įstrižainę ir gauname pentagramą. Visos penkiakampio įstrižainės padalija viena kitą į segmentus, sujungtus aukso pjūviu.

Kiekvienas penkiakampės žvaigždės galas yra auksinis trikampis. Jo kraštinės viršuje sudaro 36 0 kampą, o šone padėtas pagrindas padalija jį proporcingai aukso pjūviui.

Nubrėžkite tiesią liniją AB. Iš taško A tris kartus atidedame savavališko dydžio atkarpą O, per gautą tašką P nubrėžiame statmeną tiesei AB, statmeną į dešinę ir kairę nuo taško P atidedame atkarpas O. taškai d ir d 1 yra sujungti tiesiomis linijomis su tašku A. Segmentą dd 1 įdedame į tiesę Ad 1, gaudami tašką C. Tiesę Ad 1 ji padalino proporcingai aukso pjūviui. Linijos Ad 1 ir dd 1 naudojamos „auksiniam“ stačiakampiui sukurti.

Auksinio trikampio konstrukcija

AUKSO SKYRIAUS ISTORIJA

Iš tiesų Cheopso piramidės proporcijos, šventyklos, namų apyvokos daiktai ir Tutanchamono kapo dekoracijos rodo, kad Egipto meistrai jas kurdami naudojo aukso padalijimo santykius. Prancūzų architektas Le Corbusier nustatė, kad reljefe iš faraono Seti I šventyklos Abydos mieste ir reljefe, vaizduojančiame faraoną Ramzią, figūrų proporcijos atitinka aukso padalijimo vertes. Architektas Khesira, pavaizduotas ant savo vardo kapo medinės lentos reljefo, rankose laiko matavimo prietaisus, kuriuose užfiksuotos auksinio padalijimo proporcijos.

Dinaminiai stačiakampiai

Platonas taip pat žinojo apie auksinį padalijimą. Pitagorietis Timėjas Platono to paties pavadinimo dialoge sako: „Neįmanoma, kad du dalykai būtų tobulai sujungti be trečiojo, nes tarp jų turi atsirasti daiktas, kuris juos laikytų kartu. Tai geriausiai galima pasiekti naudojant proporciją, nes jei trys skaičiai turi savybę, kad vidurkis yra susijęs su mažesniu, tuo didesnis yra su vidurkiu, ir atvirkščiai, mažesnis yra su vidurkiu, nes vidurkis yra su didesniu, tada paskutinis ir pirmasis bus vidurinis, o vidurinis - pirmas ir paskutinis. Taigi viskas, ko reikia, bus tas pats, o kadangi bus tas pats, tai sudarys visumą. Platonas kuria žemiškąjį pasaulį naudodamas dviejų tipų trikampius: lygiašonius ir nelygiašonius. Gražiausiu stačiakampiu trikampiu jis laiko tokį, kurio hipotenuzė yra dvigubai mažesnė už kojeles (toks stačiakampis yra pusė lygiakraštės, pagrindinė babiloniečių figūra, jo santykis yra 1:3 1/2). , kuris nuo aukso pjūvio skiriasi maždaug 1/25 ir vadinamas Timerding „aukso pjūvio varžovu“). Naudodamas trikampius, Platonas sukuria keturias taisyklingas daugiakampes, susiejančias jas su keturiais žemiškais elementais (žeme, vandeniu, oru ir ugnimi). Ir tik paskutinis iš penkių esamų taisyklingų daugiakampių – dodekaedras, kurio visi dvylika veidų yra taisyklingi penkiakampiai, pretenduoja į simbolinį dangiškojo pasaulio atvaizdą.

ikosaedras ir dodekaedras

Antikvariniai aukso pjūvio kompasai

Senovės literatūroje, kuri atėjo iki mūsų, aukso padalijimas pirmą kartą paminėtas Euklido elementuose. 2-ojoje „Pradžių“ knygoje pateikta auksinės padalos geometrinė konstrukcija. Auksinį skirstymą po Euklido tyrinėjo Hipsiklis (II a. pr. Kr.), Papas (III a. po Kr.) ir kiti, kurie viduramžių Europoje su auksiniu skyrimu susipažino iš Euklido „Pradžių“ arabiškų vertimų. Vertimą komentavo vertėjas J. Campano iš Navaros (III a.). Auksinės divizijos paslaptys buvo pavydžiai saugomos, laikomos griežtoje paslaptyje. Juos žinojo tik iniciatoriai.

Viduramžiais pentagrama buvo demonizuota (kaip ir daug kas senovės pagonybėje buvo laikoma dieviška) ir rado prieglobstį okultiniuose moksluose. Tačiau Renesansas vėl iškelia į dienos šviesą ir pentagramą, ir aukso pjūvį. Taigi žmogaus kūno sandarą apibūdinanti schema tuo humanizmo tvirtinimo laikotarpiu plačiai paplito.

Leonardo da Vinci taip pat ne kartą griebėsi tokio paveikslo, iš tikrųjų atkartodamas pentagramą. Jo aiškinimas: žmogaus kūnas turi dievišką tobulumą, nes jam būdingos proporcijos yra tokios pačios kaip ir pagrindinėje dangaus figūroje. Leonardo da Vinci, menininkas ir mokslininkas, pamatė, kad italų menininkai turėjo daug empirinės patirties, bet mažai žinių. Jis pastojo ir pradėjo rašyti knygą apie geometriją, tačiau tuo metu pasirodė vienuolio Luca Pacioli knyga, o Leonardo atsisakė savo idėjos. Anot amžininkų ir mokslo istorikų, Luca Pacioli buvo tikras šviesulys, didžiausias matematikas Italijoje tarp Fibonačio ir Galilėjaus. Luca Pacioli buvo dailininko Piero della Francesca mokinys, kuris parašė dvi knygas, iš kurių viena vadinosi „Apie tapybos perspektyvą“. Jis laikomas aprašomosios geometrijos kūrėju.

Luca Pacioli puikiai suvokė mokslo svarbą menui.

1496 m., kunigaikščio Moreau kvietimu, atvyko į Milaną, kur skaitė matematikos paskaitas. Leonardo da Vinci tuo metu taip pat dirbo Moro teisme Milane. 1509 m. Venecijoje buvo išleista Luca Pacioli knyga „De divina ratione“, 1497 m., išleista Venecijoje 1509 m., su puikiai atliktomis iliustracijomis, todėl manoma, kad jas sukūrė Leonardo da Vinci. Knyga buvo entuziastingas aukso pjūvio himnas. Tokia proporcija yra tik viena, o unikalumas yra aukščiausia Dievo savybė. Ji įkūnija šventąją trejybę. Ši proporcija negali būti išreikšta prieinamu skaičiumi, lieka paslėpta ir slapta, o pačių matematikų vadinama neracionalia (taigi Dievo negalima nei apibrėžti, nei paaiškinti žodžiais). Dievas niekada nesikeičia ir vaizduoja viską visame kame ir viskam kiekvienoje savo dalyje, todėl aukso pjūvis bet kuriam nuolatiniam ir apibrėžtam kiekiui (nepriklausomai nuo to, ar jis didelis, ar mažas) yra vienodas, negali būti keičiamas ar keičiamas. protas. Dievas pašaukė būti dangiškąją dorybę, kitaip vadinamą penktąja substancija, su jos pagalba dar keturis paprastus kūnus (keturis elementus – žemę, vandenį, orą, ugnį) ir jų pagrindu pakvietė būti visus kitus gamtos daiktus; taigi mūsų šventoji proporcija, pasak Platono Timėjuje, pačiam dangui suteikia formalią būtį, nes ji priskiriama kūno formai, vadinamai dodekaedru, kurio negalima pastatyti be aukso pjūvio. Tai yra Pacioli argumentai.

Leonardo da Vinci taip pat daug dėmesio skyrė auksinio padalinio tyrimams. Jis padarė stereometrinio kūno dalis, sudarytas iš taisyklingų penkiakampių, ir kiekvieną kartą gaudavo stačiakampius su aukso padalijimu. Todėl šiam skyriui jis suteikė aukso pjūvio pavadinimą. Taigi jis vis dar yra populiariausias.

Tuo pačiu metu šiaurės Europoje, Vokietijoje, Albrechtas Diureris sprendė tas pačias problemas. Jis pateikia įvadą į pirmąjį traktato apie proporcijas projektą. Diureris rašo: „Būtina, kad tas, kuris ką nors žino, išmokytų to kitus, kuriems to reikia. Štai ką aš užsibrėžiau padaryti“.

Auksinio pjūvio segmentų serijos konstravimas gali būti atliekamas tiek didėjimo kryptimi (didėjanti serija), tiek mažėjimo kryptimi (mažėjanti serija).

Jei tiesioje savavališko ilgio linijoje, atidėti segmentą m , atidėkite segmentą M . Remdamiesi šiais dviem segmentais, sudarome didėjančios ir mažėjančios eilučių auksinės proporcijos segmentų skalę.

Auksinio pjūvio segmentų skalės kūrimas

1855 metais vokiečių aukso pjūvio tyrinėtojas profesorius Zeisingas paskelbė savo veikalą „Estetinis tyrimas“. Su Zeisingu tiksliai tai, kas atsitiko, turėjo nutikti tyrėjui, kuris reiškinį laiko tokiu, nesusijusiu su kitais reiškiniais. Jis suabsoliutino aukso pjūvio proporciją, paskelbdamas ją universalia visiems gamtos ir meno reiškiniams. Zeisingas turėjo daug pasekėjų, tačiau buvo ir priešininkų, kurie jo proporcijų doktriną paskelbė „matematine estetika“.

Zeisingas atliko puikų darbą. Jis išmatavo apie du tūkstančius žmonių kūnų ir padarė išvadą, kad aukso pjūvis išreiškia vidutinį statistinį dėsnį. Kūno padalijimas pagal bambos tašką yra svarbiausias aukso pjūvio rodiklis. Vyro kūno proporcijos svyruoja tarp vidutinio santykio 13:8=1,625 ir yra šiek tiek artimesnės auksiniam pjūviui nei moters kūno proporcijos, kurių atžvilgiu vidutinė proporcijos reikšmė išreiškiama santykiu 8:5. =1.6. Naujagimiui proporcija yra 1: 1, sulaukus 13 metų – 1,6, o sulaukus 21 metų – vyro. Aukso pjūvio proporcijos pasireiškia ir kitų kūno dalių atžvilgiu – peties, dilbio ir plaštakos, plaštakos ir pirštų ilgio ir kt.

XIX amžiaus pabaigoje – XX amžiaus pradžioje. atsirado daug grynai formalistinių teorijų apie aukso pjūvio panaudojimą meno ir architektūros kūriniuose. Tobulėjant dizainui ir techninei estetikai aukso pjūvio dėsnis išsiplėtė ir automobilių, baldų ir kt.

AUKSINIS SANTYKIS IR SIMETRIJOS

Auksinis pjūvis negali būti nagrinėjamas pats savaime, atskirai, be ryšio su simetrija. Didysis rusų kristalografas G.V. Wulffas (1863-1925) aukso pjūvį laikė viena iš simetrijos apraiškų.

Auksinis padalijimas nėra asimetrijos pasireiškimas, kažkas priešingo simetrijai. Remiantis šiuolaikinėmis koncepcijomis, aukso padalijimas yra asimetrinė simetrija. Simetrijos mokslas apima tokias sąvokas kaip statinė ir dinaminė simetrija. Statinė simetrija apibūdina poilsį, pusiausvyrą, o dinaminė – judėjimą, augimą. Taigi gamtoje statinę simetriją reprezentuoja kristalų struktūra, o mene ji apibūdina ramybę, pusiausvyrą ir nejudrumą. Dinaminė simetrija išreiškia aktyvumą, apibūdina judėjimą, raidą, ritmą, yra gyvybės įrodymas. Statinei simetrijai būdingi vienodi segmentai, vienodi dydžiai. Dinaminei simetrijai būdingas segmentų padidėjimas arba jų sumažėjimas, ir ji išreiškiama didėjančios arba mažėjančios serijos aukso pjūvio reikšmėmis.

FIBONACCCI SERIJA

Italų matematiko vienuolio Leonardo iš Pizos, geriau žinomo kaip Fibonačio, vardas netiesiogiai susijęs su aukso pjūvio istorija. Jis daug keliavo po Rytus, supažindino Europą su arabiškais skaitmenimis. 1202 metais buvo išleistas jo matematinis veikalas „Abako knyga“ (skaičiavimo lenta), kuriame surinktos visos tuo metu žinomos problemos.

Skaičių serija 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ir kt. žinoma kaip Fibonacci serija. Skaičių sekos ypatumas tas, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo trečiojo, yra lygus dviejų ankstesnių 2+3=5 sumai; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 ir pan., o gretimų eilučių skaičių santykis artėja prie auksinės padalos santykio. Taigi, 21:34 = 0,617 ir 34:55 = 0,618. Šis santykis žymimas simboliu Ф. Tik šis santykis – 0,618: 0,382 – suteikia nenutrūkstamą tiesios linijos atkarpos padalijimą auksiniu pjūviu, jo padidėjimą arba sumažėjimą iki begalybės, kai mažesnis segmentas yra susijęs su didesniu kaip didesnis yra viskam.

Kaip parodyta toliau esančiame paveikslėlyje, kiekvieno piršto sąnario ilgis yra susijęs su kito piršto ilgiu F proporcijoje. Toks pat ryšys matomas visuose rankų ir kojų pirštuose. Šis ryšys kažkaip neįprastas, nes vienas pirštas ilgesnis už kitą be jokio matomo rašto, bet tai neatsitiktinai, kaip ir viskas žmogaus kūne neatsitiktinai. Atstumai ant pirštų, pažymėti nuo A iki B iki C iki D iki E, yra susiję vienas su kitu santykiu F, kaip ir pirštų falangos nuo F iki G iki H.

Pažvelkite į šį varlės skeletą ir pažiūrėkite, kaip kiekvienas kaulas atitinka F santykio modelį, kaip ir žmogaus kūne.

GENERALINIS AUKSO SANTYKIS

Mokslininkai toliau aktyviai plėtojo Fibonačio skaičių ir aukso pjūvio teoriją. Yu.Matiyasevičius išsprendžia Hilberto 10-ąją užduotį naudodamas Fibonačio skaičius. Yra daugybė kibernetinių problemų sprendimo būdų (paieškos teorija, žaidimai, programavimas), naudojant Fibonačio skaičius ir aukso pjūvį. JAV kuriama net Mathematical Fibonacci asociacija, kuri nuo 1963 metų leidžia specialų žurnalą.

Vienas iš šios srities laimėjimų – apibendrintų Fibonačio skaičių ir apibendrintų aukso santykio atradimas.

Fibonačio serijos (1, 1, 2, 3, 5, 8) ir jo atrastos „dvejetainės“ svorių serijos 1, 2, 4, 8 iš pirmo žvilgsnio visiškai skiriasi. Bet jų konstravimo algoritmai labai panašūs vienas į kitą: pirmuoju atveju kiekvienas skaičius yra ankstesnio skaičiaus suma su savimi 2=1+1; 4=2+2..., antrame - tai dviejų ankstesnių skaičių suma 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Ar galima rasti bendrą matematinį formulė iš kurios "dvejetainės » serijos ir Fibonačio serijos? O gal ši formulė suteiks mums naujų skaičių rinkinių su naujomis unikaliomis savybėmis?

Iš tiesų, nustatykime skaitinį parametrą S, kuris gali turėti bet kokias reikšmes: 0, 1, 2, 3, 4, 5... ir atskirtas nuo ankstesnio S žingsniais. Jei n-ąjį šios serijos narį pažymėsime? S (n), tada gauname bendrą formulę? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Akivaizdu, kad su S=0 iš šios formulės gausime „dvejetainę“ eilutę, su S=1 – Fibonačio eilutę, su S=2, 3, 4. naujas skaičių eilutes, kurios vadinamos S-Fibonačio skaičiais.

Apskritai auksinė S proporcija yra auksinės S pjūvio lygties x S+1 -x S -1=0 teigiama šaknis.

Nesunku parodyti, kad kai S=0, gaunamas atkarpos padalijimas per pusę, o kai S=1 – pažįstamas klasikinis aukso pjūvis.

Gretimų Fibonačio S skaičių santykiai su absoliučiu matematiniu tikslumu sutampa su auksinėmis S proporcijomis! Matematikai tokiais atvejais sako, kad auksiniai S pjūviai yra skaitiniai Fibonačio S skaičių invariantai.

Faktus, patvirtinančius auksinių S pjūvių egzistavimą gamtoje, pateikia baltarusių mokslininkas E.M. Soroko knygoje „Struktūrinė sistemų harmonija“ (Minskas, „Mokslas ir technika“, 1984). Pavyzdžiui, paaiškėja, kad gerai ištirti dvejetainiai lydiniai pasižymi ypatingomis, ryškiomis funkcinėmis savybėmis (termiškai stabilus, kietas, atsparus dilimui, atsparus oksidacijai ir kt.) tik tuo atveju, jei pradinių komponentų savitieji svoriai yra susiję vienas su kitu. po vieną iš auksinių S proporcijų. Tai leido autoriui iškelti hipotezę, kad auksiniai S pjūviai yra savaime besiorganizuojančių sistemų skaitiniai invariantai. Patvirtinta eksperimentiškai, ši hipotezė gali turėti esminės reikšmės plėtojant sinergiką – naują mokslo sritį, tiriančią procesus savaime besitvarkančiose sistemose.

Naudojant auksinius S proporcijų kodus, bet koks realusis skaičius gali būti išreikštas kaip auksinių S proporcijų laipsnių suma su sveikųjų skaičių koeficientais.

Esminis skirtumas tarp šio skaičių kodavimo būdo yra tas, kad naujų kodų, kurie yra auksinės S proporcijos, bazės pasirodo neracionaliais skaičiais, kai S>0. Taigi naujos skaičių sistemos su neracionaliais pagrindais tarsi „aukštyn kojom“ apvertė istoriškai nusistovėjusią racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių santykių hierarchiją. Faktas yra tas, kad iš pradžių buvo „atrasta“ natūralieji skaičiai; tada jų santykiai yra racionalieji skaičiai. Ir tik vėliau, pitagoriečiams atradus nepalyginamus segmentus, atsirado neracionalūs skaičiai. Pavyzdžiui, dešimtainėje, kvinarinėje, dvejetainėje ir kitose klasikinėse pozicinių skaičių sistemose natūralieji skaičiai buvo pasirinkti kaip savotiškas pamatinis principas: 10, 5, 2, iš kurių pagal tam tikras taisykles visi kiti gamtiniai, taip pat racionalieji ir buvo sukurti neracionalūs skaičiai.

Savotiška alternatyva esamiems numeravimo metodams yra nauja, neracionali sistema, kurios pagrindinis skaičiavimo pradžios principas pasirenkamas neracionalusis skaičius (kuris, kaip prisimename, yra aukso pjūvio lygties šaknis) ; per jį jau išreiškiami kiti realieji skaičiai.

Tokioje skaičių sistemoje bet koks natūralusis skaičius visada pavaizduojamas kaip baigtinis skaičius – o ne begalinis, kaip manyta anksčiau! yra bet kurios auksinės S proporcijos galių sumos. Tai viena iš priežasčių, kodėl „neracionali“ aritmetika, turinti stulbinamo matematinio paprastumo ir elegancijos, tarsi perėmė geriausias klasikinės dvejetainės ir „Fibonačio“ aritmetikos savybes.

FORMAVIMO GAMTOJE PRINCIPAI

Viskas, kas įgavo kažkokį pavidalą, formavosi, augo, stengėsi užimti vietą erdvėje ir išsaugoti save. Šis siekis įgyvendinamas daugiausia dviem variantais: augant aukštyn arba plintant žemės paviršiumi ir besisukant spirale.

Net Goethe pabrėžė gamtos polinkį į spirališkumą. Spiralinis ir spiralinis lapų išsidėstymas ant medžių šakų buvo pastebėtas seniai.

Spiralė buvo matyti saulėgrąžų sėklose, kankorėžiuose, ananasuose, kaktusuose ir kt. Bendras botanikų ir matematikų darbas atskleidė šiuos nuostabius gamtos reiškinius. Paaiškėjo, kad lapų išdėstyme ant šakos (filotaksės), saulėgrąžų sėklose, kankorėžiuose pasireiškia Fibonačio serija, taigi ir aukso pjūvio dėsnis. Voras sukasi savo tinklą spirale. Uraganas sklinda spirale. Išsigandusi šiaurės elnių banda išsisklaido spirale. DNR molekulė yra susukta į dvigubą spiralę. Goethe spiralę pavadino „gyvenimo kreive“.

Mandelbroto serija

Auksinė spiralė yra glaudžiai susijusi su ciklais. šiuolaikinis mokslas apie chaosą tiria paprastas ciklines operacijas su Atsiliepimas ir jų generuojamos fraktalinės formos, anksčiau nežinomos. Paveiksle pavaizduota gerai žinoma Mandelbroto serija – puslapis iš žodyno h atskirų raštų galūnės, vadinamos Julian serija. Kai kurie mokslininkai Mandelbroto seriją sieja su genetinis kodas ląstelių branduoliai. Nuolat didėjantis sekcijų skaičius atskleidžia nuostabius fraktalus savo meniniu sudėtingumu. Ir čia taip pat yra logaritminės spiralės! Tai dar svarbiau, nes tiek Mandelbroto, tiek Juliano serijos nėra žmogaus proto išradimai. Jie kyla iš Platono prototipų srities. Kaip sakė gydytojas R. Penrose'as, „jie kaip Everestas“

Tarp pakelės žolių auga niekuo neišsiskiriantis augalas – cikorija. Pažvelkime į tai atidžiau. Iš pagrindinio stiebo susiformavo šaka. Štai pirmasis lapas.

Priedas stipriai išsviedžia į erdvę, sustoja, paleidžia lapą, bet jau trumpesnį už pirmąjį, vėl išsviedžia į erdvę, bet mažesnės jėgos, paleidžia dar mažesnio dydžio lapą ir vėl išstumia.

Jei pirmasis išskirtinis dydis yra 100 vienetų, tada antrasis yra 62 vienetai, trečiasis yra 38, ketvirtasis yra 24 ir pan. Žiedlapių ilgis taip pat priklauso nuo aukso pjūvio. Augdamas, užkariaujant erdvę, augalas išlaikė tam tikras proporcijas. Jo augimo impulsai palaipsniui mažėjo proporcingai aukso pjūviui.

Cikorija

Daugelio drugelių krūtinės ir pilvo kūno dalių dydžio santykis atitinka auksinį pjūvį. Sulenkęs sparnus, naktinis drugelis sudaro taisyklingą lygiakraštį trikampį. Tačiau verta išskleisti sparnus, ir pamatysite tą patį kūno padalijimo principą į 2, 3, 5, 8. Laumžirgis taip pat sukurtas pagal aukso pjūvio dėsnius: uodegos ilgių santykį. o kūnas lygus viso ilgio ir uodegos ilgio santykiui.

Drieže iš pirmo žvilgsnio užfiksuojamos mūsų akiai malonios proporcijos - jo uodegos ilgis yra susijęs su likusios kūno dalies ilgiu nuo 62 iki 38.

gyvybingas driežas

Gamta atliko padalijimą į simetriškas dalis ir auksines proporcijas. Dalimis pasireiškia visumos struktūros pasikartojimas.

Didelis susidomėjimas yra paukščių kiaušinių formų tyrimas. Įvairios jų formos svyruoja tarp dviejų kraštutinių tipų: vienas iš jų gali būti įrašytas į aukso pjūvio stačiakampį, kitas - į stačiakampį, kurio modulis yra 1,272 (aukso pjūvio šaknis).

Tokios paukščių kiaušinių formos nėra atsitiktinės, nes dabar nustatyta, kad aukso pjūvio santykiu apibūdinama kiaušinių forma atitinka didesnes kiaušinio lukšto stiprumo charakteristikas.

Dramblių ir išnykusių mamutų iltys, liūtų nagai ir papūgų snapai yra logaritminės formos ir primena ašies formą, kuri linkusi virsti spirale.

Laukinėje gamtoje plačiai paplitusios formos, pagrįstos „penkiakampe“ simetrija (žvaigždė, jūros ežiai, gėlės).

Aukso pjūvis yra visų kristalų struktūroje, tačiau dauguma kristalų yra mikroskopiškai maži, todėl plika akimi jų nematome. Tačiau snaigės, kurios taip pat yra vandens kristalai, yra gana prieinamos mūsų akims. Visos išskirtinio grožio figūrėlės, formuojančios snaiges, visos ašys, apskritimai ir geometrinės figūros snaigėse taip pat visada be išimties yra pastatytos pagal tobulą aiškią aukso pjūvio formulę.

Mikrokosme visur vyrauja trimatės logaritminės formos, sukurtos pagal auksines proporcijas. Pavyzdžiui, daugelis virusų turi trimatę geometrinę ikosaedro formą. Bene garsiausias iš šių virusų yra Adeno virusas. Adeno viruso baltyminis apvalkalas susidaro iš 252 vienetų baltymų ląstelių, išsidėsčiusių tam tikra seka. Kiekviename ikosaedro kampe yra 12 baltymų ląstelių vienetų penkiakampės prizmės pavidalu, o iš šių kampų tęsiasi į smaigalį panašios struktūros.

Adeno virusas

Auksinis pjūvis virusų struktūroje pirmą kartą buvo atrastas šeštajame dešimtmetyje. mokslininkai iš Londono Birkbeck koledžo A. Klugas ir D. Kasparas. Pirmąją logaritminę formą atskleidė polio virusas. Šio viruso forma pasirodė panaši į Rhino viruso formą.

Kyla klausimas: kaip virusai formuoja tokias sudėtingas erdvines formas, kurių įrenginyje yra aukso pjūvis, kurį gana sunku sukonstruoti net mūsų žmogaus protu? Šių virusų formų atradėjas virusologas A. Klugas komentuoja štai ką: „Su daktaru Kasparu parodėme, kad sferiniam viruso apvalkalui optimaliausia forma yra simetrija kaip ikosaedro forma. Tokia tvarka sumažina jungiamųjų elementų skaičių... Dauguma Buckminster Fuller geodezinių pusrutulio formos kubelių yra sukonstruoti panašiu geometriniu principu. Tokiems kubeliams sumontuoti reikia itin tikslios ir detalios paaiškinimo schemos, o nesąmoningi virusai patys sukonstruoja tokį sudėtingą elastingų, lanksčių baltymų ląstelių vienetų apvalkalą.

Klugo komentaras dar kartą primena itin akivaizdžią tiesą: net ir mikroskopinio organizmo, kurį mokslininkai priskiria prie „primityviausios gyvybės formos“, šiuo atveju viruso, struktūroje yra aiškus planas ir pagrįstas projektas. buvo įgyvendinta. Šis projektas savo tobulumu ir vykdymo tikslumu nepalyginamas su pažangiausiais žmonių sukurtais architektūros projektais. Pavyzdžiui, genialaus architekto Buckminsterio Fullerio sukurti projektai.

Trimačiai dodekaedro ir ikosaedro modeliai taip pat yra vienaląsčių jūrinių mikroorganizmų radioląsčių (spindulių), kurių skeletas pagamintas iš silicio dioksido, skeletų struktūroje.

Radiolariai formuoja savo kūną labai išskirtinio, neįprasto grožio. Jų forma yra taisyklingas dodekaedras, o iš kiekvieno jo kampo išauga pseudopailgėjimas-galūnė ir kitos neįprastos formos-ataugos.

Didysis Gėtė, poetas, gamtininkas ir menininkas (tapė ir tapė akvarele), svajojo sukurti vieningą organinių kūnų formos, formavimosi ir transformacijos doktriną. Būtent jis įvedė morfologijos terminą į mokslinę vartoseną.

Pierre'as Curie mūsų amžiaus pradžioje suformulavo daugybę gilių simetrijos idėjų. Jis teigė, kad negalima svarstyti jokio kūno simetrijos neatsižvelgus į aplinkos simetriją.

ŽMOGAUS KŪNAS IR AUKSO SKYRIUS

Visi žmogaus kaulai yra proporcingi aukso pjūviui. Proporcijos įvairios dalys mūsų kūnas yra skaičius, labai artimas auksiniam pjūviui. Jei šios proporcijos sutampa su aukso pjūvio formule, tada žmogaus išvaizda ar kūnas laikomas idealiai sukonstruotu.

Auksinės proporcijos žmogaus kūno dalyse

Jei bambos tašką imtume kaip žmogaus kūno centrą, o atstumą tarp žmogaus pėdos ir bambos taško – matavimo vienetu, tai žmogaus ūgis prilygsta skaičiui 1,618.

atstumas nuo peties lygio iki galvos vainiko ir galvos dydis yra 1:1,618;
atstumas nuo bambos taško iki viršugalvio ir nuo peties lygio iki viršugalvio yra 1:1,618;
bambos taško atstumas iki kelių ir nuo kelių iki pėdų yra 1:1,618;
atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės lūpos galiuko ir nuo viršutinės lūpos galiuko iki šnervių yra 1:1,618;
iš tikrųjų tikslus auksinės proporcijos buvimas žmogaus veide yra grožio idealas žmogaus žvilgsniui;
atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės antakių linijos ir nuo viršutinės antakių linijos iki vainiko yra 1:1,618;
veido aukštis / plotis;
centrinis lūpų sujungimo su nosies pagrindu taškas / nosies ilgis;
veido aukštis/atstumas nuo smakro galo iki lūpų jungties centro taško;
burnos plotis/nosies plotis;
nosies plotis/atstumas tarp šnervių;
atstumas tarp vyzdžių / atstumas tarp antakių.

Užtenka tiesiog priartinti delną prie savęs ir atidžiai pažiūrėti smiliumi, ir joje iškart rasite aukso pjūvio formulę.

Kiekvienas mūsų rankos pirštas susideda iš trijų pirštakaulių. Pirmųjų dviejų piršto falangų ilgių suma viso piršto ilgio atžvilgiu suteikia auksinį pjūvį (išskyrus nykštį).

Be to, vidurinio ir mažojo piršto santykis taip pat lygus auksiniam pjūviui.

Žmogus turi 2 rankas, kiekvienos rankos pirštai susideda iš 3 pirštakaulių (išskyrus nykštį). Kiekviena ranka turi 5 pirštus, tai yra iš viso 10, tačiau, išskyrus du dvifalanginius nykščius, pagal aukso pjūvio principą sukuriami tik 8 pirštai. Tuo tarpu visi šie skaičiai 2, 3, 5 ir 8 yra Fibonačio sekos skaičiai.

Taip pat reikia pažymėti, kad daugumos žmonių atstumas tarp išskleistų rankų galų yra lygus aukščiui.

Aukso pjūvio tiesos yra mumyse ir mūsų erdvėje. Bronchų, sudarančių žmogaus plaučius, ypatumas slypi jų asimetrijoje. Bronchus sudaro du pagrindiniai kvėpavimo takai, vienas (kairysis) yra ilgesnis, o kitas (dešinėje) yra trumpesnis. Nustatyta, kad ši asimetrija tęsiasi bronchų šakose, visuose mažesniuose kvėpavimo takuose. Be to, trumpųjų ir ilgųjų bronchų ilgio santykis taip pat yra auksinis pjūvis ir yra lygus 1:1,618.

Žmogaus vidinėje ausyje yra organas Cochlea ("Sraigė"), kuris atlieka garso vibracijos perdavimo funkciją. Ši kaulinė struktūra užpildyta skysčiu ir taip pat sukurta sraigės pavidalu, turinti stabilią logaritminę spiralės formą = 73 0 43 ".

Kraujospūdis kinta plakant širdžiai. Didžiausią vertę jis pasiekia kairiajame širdies skilvelyje jo susitraukimo (sistolės) metu. Arterijose širdies skilvelių sistolės metu jaunam, sveikam žmogui kraujospūdis pasiekia maksimalią vertę, lygią 115-125 mm Hg. Širdies raumens atsipalaidavimo (diastolės) momentu slėgis sumažėja iki 70-80 mm Hg. Maksimalaus (sistolinio) ir minimalaus (diastolinio) slėgio santykis yra vidutiniškai 1,6, tai yra artimas auksiniam pjūviui.

Jei vidutinį kraujospūdį aortoje imsime kaip vienetą, tai sistolinis kraujospūdis aortoje yra 0,382, o diastolinis 0,618, tai yra, jų santykis atitinka auksinį pjūvį. Tai reiškia, kad širdies darbas, susijęs su laiko ciklais ir kraujospūdžio pokyčiais, optimizuojamas pagal tą patį aukso pjūvio dėsnio principą.

DNR molekulė susideda iš dviejų vertikaliai susipynusių spiralių. Kiekviena iš šių spiralių yra 34 angstremų ilgio ir 21 angstremo pločio. (1 angstromas yra šimta milijoninė centimetro dalis).

DNR molekulės spiralės sekcijos struktūra

Taigi 21 ir 34 yra skaičiai, einantys vienas po kito Fibonačio skaičių sekoje, tai yra, DNR molekulės logaritminės spiralės ilgio ir pločio santykis turi aukso pjūvio formulę 1: 1,618.

AUKSO SKYRIUS SKULPTŪROJE

Atminimui statomos skulptūros, paminklai reikšmingų įvykių, palikti palikuonių atmintyje žinomų žmonių vardus, jų žygdarbius ir poelgius. Yra žinoma, kad net senovėje skulptūros pagrindas buvo proporcijų teorija. Žmogaus kūno dalių santykis buvo siejamas su aukso pjūvio formule. „Aukso pjūvio“ proporcijos sukuria harmonijos, grožio įspūdį, todėl skulptoriai jas panaudojo savo darbuose. Skulptoriai tvirtina, kad juosmuo padalija tobulą žmogaus kūną „aukso pjūvio“ atžvilgiu. Pavyzdžiui, garsioji statula„Apollo Belvedere“ susideda iš dalių, kurios suskirstytos pagal aukso santykį. Didysis senovės graikų skulptorius Fidias savo darbuose dažnai naudojo „auksinį pjūvį“. Žymiausi iš jų buvo Olimpiečio Dzeuso statula (kuri buvo laikoma vienu iš pasaulio stebuklų) ir Atėnės Partenonas.

Apolono Belvederio statulos auksinė proporcija yra žinoma: pavaizduoto asmens ūgis aukso pjūvyje yra padalintas iš bambos linijos.

AUKSO SKYRIUS ARCHITEKTŪROJE

Knygose apie „aukso pjūvį“ galima rasti pastabą, kad architektūroje, kaip ir tapyboje, viskas priklauso nuo stebėtojo padėties, o jei, viena vertus, kai kurios pastato proporcijos sudaro „aukso pjūvį“, tada iš kitų požiūrių jie atrodys kitaip. „Auksinė dalis“ suteikia ramiausią tam tikro ilgio dydžių santykį.

Vienas gražiausių senovės graikų architektūros kūrinių – Partenonas (V a. pr. Kr.).

Matosi brėžiniuose visa linija modeliai, susiję su aukso pjūviu. Pastato proporcijas galima išreikšti įvairiais laipsniais skaičiaus Ф = 0,618 ...

Partenonas turi 8 stulpelius trumpose pusėse ir 17 ilgose. Atbrailos yra pagamintos tik iš Pentilijos marmuro kvadratų. Medžiagos, iš kurios buvo pastatyta šventykla, taurumas leido apriboti graikų architektūroje įprasto kolorito naudojimą, jis tik pabrėžia detales ir suformuoja spalvotą (mėlyną ir raudoną) skulptūros foną. Pastato aukščio ir ilgio santykis yra 0,618. Jeigu Partenoną padalinsime pagal „aukso pjūvį“, gausime tam tikrus fasado iškilimus.

Partenono grindų plane taip pat galite pamatyti „auksinius stačiakampius“.

Katedros pastate matome aukso pjūvį Paryžiaus Dievo Motinos katedra(Paryžiaus katedra), ir Cheopso piramidėje.

Ne tik Egipto piramidės buvo pastatytos laikantis tobulų aukso pjūvio proporcijų; toks pat reiškinys aptinkamas ir Meksikos piramidėse.

Ilgam laikui tikėjo, kad architektai Senovės Rusija viską pastatė „iš akies“, be ypatingų matematinių skaičiavimų. Tačiau naujausi tyrimai parodė, kad rusų architektai gerai išmanė matematines proporcijas – tai įrodo senovinių šventyklų geometrijos analizė.

Žymus rusų architektas M. Kazakovas savo kūryboje plačiai panaudojo „aukso pjūvį“. Jo talentas buvo daugialypis, tačiau labiau jis atsiskleidė daugelyje baigtų gyvenamųjų pastatų ir dvarų projektų. Pavyzdžiui, „aukso pjūvį“ galima rasti Kremliaus Senato pastato architektūroje. Pagal M. Kazakovo projektą Maskvoje buvo pastatyta Golicino ligoninė, kuri šiuo metu vadinama Pirmąja. klinikinė ligoninė pavadintas N.I. Pirogovas.

Petrovskio rūmai Maskvoje. Pastatytas pagal M.F. projektą. Kazakova

Kitas Maskvos architektūros šedevras – Paškovo namas – yra vienas tobuliausių V. Baženovo architektūros kūrinių.

Paškovo namas

Nuostabi V. Baženovo kūryba tvirtai įsiliejo į šiuolaikinės Maskvos centro ansamblį, jį praturtino. Išorinis namo vaizdas išliko beveik nepakitęs iki šių dienų, nepaisant to, kad 1812 m. jis smarkiai apdegė. Restauravimo metu pastatas įgavo masyvesnių formų. Neišsaugotas ir vidinis pastato išplanavimas, apie kurį įsivaizduoti leidžia tik apatinio aukšto brėžinys.

Daugybė architekto teiginių nusipelno dėmesio mūsų dienomis. Apie savo mėgstamą meną V. Baženovas sakė: „Architektūra turi tris pagrindinius dalykus: pastato grožį, ramybę ir tvirtumą... Norint tai pasiekti, orientyras yra proporcijos, perspektyvos, mechanikos ar apskritai fizikos žinios, o visi jie turi bendrą lyderį, yra priežastis“.

AUKSO SANTYKIS MUZIKOJE

Bet kuris muzikos kūrinys turi tam tikrą laiko tarpą ir yra padalintas į kai kuriuos „estetinius etapus“ į atskiras dalis, kurios patraukia dėmesį ir palengvina suvokimą kaip visumą. Šie etapai gali būti dinamiški ir intonaciniai muzikinio kūrinio kulminacijos taškai. Atskiri muzikos kūrinio laiko intervalai, sujungti „klimatiniu įvykiu“, paprastai yra auksinio santykio santykiu.

Dar 1925 metais menotyrininkė L.L. Sabanejevas, išanalizavęs 1770 42 autorių muzikos kūrinių, parodė, kad didžiąją dalį iškilių kūrinių galima nesunkiai suskirstyti į dalis arba pagal temą, arba pagal intonaciją, arba pagal modalinę sistemą, kurios yra susijusios su aukso pjūviu. Be to, kuo talentingesnis kompozitorius, tuo daugiau aukso pjūvių buvo jo kūriniuose. Pasak Sabanejevo, aukso pjūvis sukuria ypatingos harmonijos įspūdį muzikinė kompozicija. Šį rezultatą Sabanejevas patvirtino visuose 27 Šopeno etiuduose. Juose jis rado 178 aukso pjūvius. Kartu paaiškėjo, kad pagal trukmę aukso pjūvio atžvilgiu skirstomos ne tik didelės etiudų dalys, bet ir viduje esančių etiudų dalys dažnai skirstomos tokiu pačiu santykiu.

Kompozitorius ir mokslininkas M.A. Marutajevas suskaičiavo taktų skaičių garsiojoje Appassionata sonatoje ir rado daugybę įdomių skaitinių ryšių. Visų pirma, plėtojant centrinį sonatos struktūrinį vienetą, kuriame temos intensyviai plėtojamos ir klavišai keičia vienas kitą, yra dvi pagrindinės dalys. Pirmajame - 43,25 ciklai, antrajame - 26,75. Santykis 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 suteikia auksinį pjūvį.

Daugiausia kūrinių, kuriuose yra aukso pjūvis, turi Arenskis (95%), Bethovenas (97%), Haydnas (97%), Mocartas (91%), Šopenas (92%), Schubertas (91%).

Jei muzika yra harmoninga garsų tvarka, tai poezija yra harmoninga kalbos tvarka. Aiškus ritmas, taisyklinga kirčiuotų ir nekirčiuotų skiemenų kaita, tvarkingas eilėraščių dimensiškumas, emocinis turtingumas kuria poeziją sesuo muzikos kūrinių. Auksinis pjūvis poezijoje pirmiausia pasireiškia kaip tam tikro eilėraščio momento buvimas (kulminacija, semantinis posūkis, Pagrindinė mintis produktai) skirstymo taškui priskirtoje eilutėje iš viso eilėraščio eilutės aukso pjūviu. Taigi, jei eilėraštyje yra 100 eilučių, tada pirmasis auksinio santykio taškas patenka į 62-ą eilutę (62%), antrasis - į 38-ą (38%) ir t. Aleksandro Sergejevičiaus Puškino darbai, įskaitant „Eugenijų Oneginą“, yra geriausias aukso pjūvio atitikimas! Šotos Rustaveli ir M.Yu darbai. Lermontovas taip pat yra pastatytas aukso pjūvio principu.

Stradivaris rašė, kad naudojo aukso pjūvį, kad nustatytų f formos įpjovų vietas savo garsiųjų smuikų korpusuose.

AUKSO SKYRIUS POEZIJOJE

Tyrimas poezija nuo šių pozicijų tik prasideda. O pradėti reikia nuo A.S. poezijos. Puškinas. Juk jo darbai – iškiliausių rusų kultūros kūrybos pavyzdys, pavyzdys aukščiausio lygio harmonija. Iš poezijos A.S. Puškinai, pradėsime ieškoti aukso pjūvio – harmonijos ir grožio mato.

Daug poetinių kūrinių struktūros ši meno forma yra susijusi su muzika. Aiškus ritmas, taisyklinga kirčiuotų ir nekirčiuotų skiemenų kaita, tvarkingas eilėraščių dimensiškumas, emocinis turtingumas poeziją paverčia muzikos kūrinių seserimi. Kiekviena eilutė turi savo muzikine forma, jo ritmas ir melodija. Galima tikėtis, kad eilėraščių struktūroje atsiras kai kurie muzikos kūrinių bruožai, raštai muzikos harmonija taigi ir aukso pjūvis.

Pradėkime nuo eilėraščio dydžio, tai yra, eilučių skaičiaus jame. Atrodytų, kad šis eilėraščio parametras gali keistis savavališkai. Tačiau paaiškėjo, kad taip nėra. Pavyzdžiui, A.S. eilėraščių analizė. Puškinas parodė, kad eilėraščių dydžiai pasiskirstę labai netolygiai; paaiškėjo, kad Puškinas aiškiai teikia pirmenybę 5, 8, 13, 21 ir 34 eilučių dydžiams (Fibonačio skaičiai).

Daugelis tyrinėtojų pastebėjo, kad eilėraščiai yra panašūs muzikos kūrinių; jie taip pat turi kulminacinius taškus, kurie skirsto eilėraštį proporcingai aukso pjūviui. Apsvarstykite, pavyzdžiui, A.S. eilėraštį. Puškinas „Batsiuvys“:

Paanalizuokime šį palyginimą. Eilėraštį sudaro 13 eilučių. Jame išryškinamos dvi semantinės dalys: pirmoji 8 eilutėse ir antroji (palyginimo moralė) 5 eilutėmis (13, 8, 5 yra Fibonačio skaičiai).

Vienas paskutinių Puškino eilėraščių „Aš nevertinu aukšto lygio teisių...“ susideda iš 21 eilutės ir jame išskiriamos dvi semantinės dalys: 13 ir 8 eilučių:

Aš nevertinu aukšto lygio teisių,

Nuo kurio ne vienas svaigsta.

Aš nesigriebiu dėl to, kad dievai atsisakė

Man patinka sudėtingi mokesčiai

Arba neleiskite karaliams kautis tarpusavyje;

Ir man mažai liūdna, spauda yra laisva

Kvailiojimas arba jautri cenzūra

Žurnalų planuose juokdarys yra gėdingas.

Visa tai, matai, žodžiai, žodžiai, žodžiai.

Kitos, geriau, teisės man brangios:

Kitas, geriau, man reikia laisvės:

Priklausykite nuo karaliaus, priklausykite nuo žmonių -

Ar mums visiems nerūpi? Dievas yra su jais.

Neduokite ataskaitos, tik sau

Patiekite ir prašau; už valdžią, už liviją

Nelenkite nei sąžinės, nei minčių, nei kaklo;

Pagal savo užgaidą klaidžioti šen bei ten,

Stebėdamasis dievišku gamtos grožiu,

Ir prieš meno ir įkvėpimo būtybes

Džiaugsmingai drebėdamas švelnumo džiaugsmuose,

Štai laimė! Teisingai...

Būdinga, kad pirmoji šio eilėraščio dalis (13 eilučių) pagal semantinį turinį suskirstyta į 8 ir 5 eilutes, tai yra, visas eilėraštis pastatytas pagal aukso pjūvio dėsnius.

Neabejotinai įdomi yra N. Vasyutinskio atlikta romano „Eugenijus Oneginas“ analizė. Šis romanas susideda iš 8 skyrių, kurių kiekviename yra vidutiniškai apie 50 eilių. Tobuliausias, rafinuotiausias ir emociškai turtingiausias yra aštuntas skyrius. Jame yra 51 eilutė. Kartu su Jevgenijaus laišku Tatjanai (60 eilučių) tai tiksliai atitinka Fibonačio skaičių 55!

N. Vasyutinsky teigia: „Skyriaus kulminacija yra Jevgenijaus meilės pareiškimas Tatjanai – eilutė „Blyški ir išblukti... tai palaima! Ši eilutė padalija visą aštuntą skyrių į dvi dalis: pirmoji turi 477 eilutes, o antroji – 295 eilutes. Jų santykis yra 1,617! Subtiliausias aukso pjūvio vertės atitikimas! Tai puikus harmonijos stebuklas, kurį padarė Puškino genijus!

E. Rosenovas analizavo daugybę poetinių M.Yu kūrinių. Lermontovas, Šileris, A.K. Tolstojus ir taip pat juose atrado „aukso pjūvį“.

Garsioji Lermontovo poema „Borodino“ yra padalinta į dvi dalis: įžangą, skirtą pasakotojui, užimančią tik vieną posmą („Pasakyk man, dėde, tai ne veltui ...“) ir Pagrindinė dalis, atstovaujanti nepriklausomą visumą, kuri yra padalinta į dvi lygiavertes dalis. Pirmoji jų, didėjant įtampai, apibūdina mūšio lūkesčius, antroji – patį mūšį, palaipsniui mažėjant įtampai eilėraščio pabaigoje. Riba tarp šių dalių yra kūrinio kulminacija ir nukrenta tiksliai ties tašku, kurį reikia padalyti iš aukso pjūvio.

Pagrindinę eilėraščio dalį sudaro 13 septynių eilučių, tai yra 91 eilutė. Padalydami jį aukso pjūviu (91:1,618=56,238), įsitikiname, kad padalijimo taškas yra 57 eilutės pradžioje, kur yra trumpa frazė: „Na, tai buvo diena! Būtent ši frazė reprezentuoja „sujaudinto laukimo kulminacinį tašką“, kuris užbaigia pirmąją eilėraščio dalį (mūšio laukimas) ir atidaro antrąją dalį (mūšio aprašymas).

Taigi aukso pjūvis poezijoje atlieka labai reikšmingą vaidmenį, išryškindamas eilėraščio kulminaciją.

Daugelis Šotos Rustaveli poemos „Riteris panteros odoje“ tyrinėtojų pastebi išskirtinę jo eilėraščio harmoniją ir melodingumą. Šios poemos savybės gruzinų mokslininkas, akademikas G.V. Tsereteli priskiria tai sąmoningam poetės aukso pjūvio naudojimui tiek formuojant eilėraščio formą, tiek statant eilėraščius.

Rustaveli eilėraštį sudaro 1587 posmai, kurių kiekviena susideda iš keturių eilučių. Kiekviena eilutė susideda iš 16 skiemenų ir yra padalinta į dvi lygias dalis po 8 skiemenis kiekvienoje pusės eilutėje. Visi puslapiai skirstomi į du dviejų tipų segmentus: A – hemistichas, turintis vienodus segmentus ir lyginį skiemenų skaičių (4 + 4); B – pustiesė su asimetriškai padalinta į dvi nelygias dalis (5+3 arba 3+5). Taigi, pusės eilutėje B santykiai yra 3:5:8, o tai yra auksinio pjūvio apytikslis rodiklis.

Nustatyta, kad iš 1587 Rustavelio eilėraščio posmų daugiau nei pusė (863) yra sukonstruoti aukso pjūvio principu.

Mūsų laikais gimė nauja meno rūšis – kinas, sugėręs veiksmo, tapybos, muzikos dramaturgiją. Aukso pjūvio apraiškų ieškoti išskirtiniuose kinematografijos darbuose yra teisėta. Pirmasis tai padarė pasaulinio kino šedevro „Mūšio laivas Potiomkinas“ kūrėjas, režisierius Sergejus Eizenšteinas. Kuriant šį paveikslą jam pavyko įkūnyti pagrindinį harmonijos principą – aukso pjūvį. Kaip pastebi pats Eizenšteinas, raudona vėliava ant maištaujančio mūšio laivo stiebo (filmo apogėjaus taškas) plevėsuoja aukso pjūvio taške, skaičiuojant nuo filmo pabaigos.

AUKSINIS SANTYKIS ŠRIFTOSE IR BUITINĖS DARBUOSE

ypatinga rūšis vaizdiniai menai Senovės Graikija būtina pabrėžti įvairių indų gamybą ir dažymą. Elegantiškos formos auksinės pjūvio proporcijos lengvai atspėjamos.

Tapydami ir skulptūruodami šventyklas, ant namų apyvokos daiktų, senovės egiptiečiai dažniausiai vaizdavo dievus ir faraonus. Buvo nustatyti stovinčio žmogaus įvaizdžio kanonai, vaikščiojantys, sėdintys ir kt. Menininkai privalėjo įsiminti atskiras vaizdų formas ir schemas iš lentelių ir pavyzdžių. Senovės graikų menininkai specialiai keliavo į Egiptą, norėdami išmokti naudotis kanonu.

OPTIMALUSI IŠORĖS APLINKOS FIZINIAI PARAMETRAI

Yra žinoma, kad maksimalus garso garsumas, sukeliantis skausmą, yra lygus 130 decibelų. Jei šį intervalą padalintume iš aukso santykio 1,618, gautume 80 decibelų, būdingų žmogaus riksmo garsumui. Jei dabar 80 decibelų padalintume iš aukso pjūvio, gautume 50 decibelų, o tai atitinka žmogaus kalbos garsumą. Galiausiai, jei 50 decibelų padalinsime iš auksinio santykio 2,618 kvadrato, gautume 20 decibelų, o tai atitinka žmogaus šnabždesį. Taigi visi būdingi garso stiprumo parametrai yra tarpusavyje susiję per auksinį pjūvį.

Esant 18-20 0 C temperatūros intervalui drėgmės Optimaliu laikomas 40-60 proc. Optimalaus drėgmės diapazono ribas galima gauti, jei 100% absoliučią drėgmę padalijus du kartus iš aukso santykio: 100 / 2,618 = 38,2% (apatinė riba); 100/1,618=61,8 % (viršutinė riba).

At oro slėgis 0,5 MPa, žmogus patiria diskomfortą, jo fizinis ir psichologinė veikla. Esant 0,3-0,35 MPa slėgiui, leidžiamas tik trumpalaikis veikimas, o esant 0,2 MPa slėgiui – ne ilgiau kaip 8 minutes. Visi šie būdingi parametrai yra tarpusavyje susiję aukso pjūviu: 0,5/1,618=0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Ribiniai parametrai lauko temperatūra, kurio ribose galimas normalus žmogaus egzistavimas (ir, svarbiausia, kilmė), yra temperatūros diapazonas nuo 0 iki + (57-58) 0 C. Akivaizdu, kad pirmosios paaiškinimų ribos galima praleisti.

Nurodytą teigiamų temperatūrų diapazoną padalijame iš aukso pjūvio. Tokiu atveju gauname dvi ribas (abi ribos yra žmogaus organizmui būdingos temperatūros): pirmoji atitinka temperatūrą, antroji riba – maksimalią įmanomą žmogaus organizmui lauko oro temperatūrą.

AUKSO SKYRIUS TAPYBOSJE

Dar Renesanso laikais menininkai atrado, kad bet koks paveikslas turi tam tikrus taškus, kurie nevalingai patraukia mūsų dėmesį, vadinamuosius vizualinius centrus. Šiuo atveju nesvarbu, kokio formato paveikslėlis yra horizontalus ar vertikalus. Tokių taškų yra tik keturi ir jie yra 3/8 ir 5/8 atstumu nuo atitinkamų plokštumos kraštų.

Šis atradimas tarp to meto menininkų buvo vadinamas paveikslo „auksine dalimi“.

Žvelgiant į tapybos „aukso pjūvio“ pavyzdžius, negalima nesustoti dėmesio į Leonardo da Vinci kūrybą. Jo tapatybė yra viena iš istorijos paslapčių. Pats Leonardo da Vinci sakė: „Tenedrįsta niekas, kas nėra matematikas, skaityti mano kūrinius“.

Jis išgarsėjo kaip nepralenkiamas menininkas, puikus mokslininkas, genijus, numatęs daugybę išradimų, kurie nebuvo įgyvendinti iki XX a.

Neabejotina, kad Leonardo da Vinci buvo puikus menininkas, tai jau pripažino jo amžininkai, tačiau jo asmenybė ir veikla liks apgaubta paslapčių, nes paliko palikuonims ne nuoseklų savo idėjų pristatymą, o tik daugybę ranka rašytų eskizų, užrašų. kurie sako „viskas pasaulyje“.

Rašė iš dešinės į kairę neįskaitoma rašysena ir kaire ranka. Tai garsiausias egzistuojantis veidrodinio rašymo pavyzdys.

Monnos Lizos (Gioconda) portretas jau daugelį metų traukė tyrinėtojų dėmesį, kurie išsiaiškino, kad piešinio kompozicija paremta auksiniais trikampiais, kurie yra taisyklingo žvaigždės penkiakampio dalys. Yra daug versijų apie šio portreto istoriją. Štai vienas iš jų.

Kartą Leonardo da Vinci gavo bankininko Francesco del Giocondo užsakymą nupiešti jaunos moters, bankininko žmonos Monnos Lizos, portretą. Moteris nebuvo graži, tačiau ją traukė išvaizdos paprastumas ir natūralumas. Leonardo sutiko nutapyti portretą. Jo modelis buvo liūdnas ir liūdnas, tačiau Leonardo jai papasakojo pasaką, kurią išgirdusi ji tapo gyva ir įdomi.

PASAKA. Kažkada gyveno vienas vargšas, jis turėjo keturis sūnus: tris protingus ir vieną iš jų tai ir anok. Ir tada tėvą atėjo mirtis. Prieš atsisveikindamas su savo gyvenimu, jis pasišaukė savo vaikus ir pasakė: „Mano sūnūs, greitai aš mirsiu. Kai tik mane palaidosite, užrakinkite trobelę ir eikite į pasaulio galus, kad uždirbtumėte savo turtą. Tegul kiekvienas iš jūsų ko nors išmoksta, kad galėtumėte pamaitinti save. Tėvas mirė, o sūnūs pasklido po pasaulį, sutikdami po trejų metų grįžti į savo gimtosios giraitės laukymę. Atėjo pirmasis brolis, kuris išmoko dailidė, nukirto medį ir nupjovė, padarė iš jo moterį, šiek tiek nuėjo ir laukia. Antrasis brolis grįžo, pamatė medinę moterį ir, kadangi buvo siuvėjas, per minutę ją aprengė: kvalifikuotas meistras jis padarė jai gražius šilkinius drabužius. Trečiasis sūnus moterį papuošė auksu ir Brangūs akmenys Nes jis buvo juvelyras. Pagaliau atvyko ketvirtas brolis. Nemokėjo nei dailidės, nei siūti, mokėjo tik klausytis, ką kalba žemė, medžiai, žolės, žvėrys ir paukščiai, žinojo dangaus kūnų eigą, taip pat mokėjo dainuoti nuostabias dainas. Jis dainavo dainą, kuri verkė už krūmų pasislėpusius brolius. Šia daina jis atgaivino moterį, ji šypsojosi ir atsiduso. Broliai puolė prie jos ir kiekvienas šaukė tą patį: „Tu turi būti mano žmona“. Tačiau moteris atsakė: „Tu mane sukūrei - būk mano tėvas. Jūs mane aprengėte ir papuošėte – būkite mano broliai. O tu, kuris įkvėpei man sielą ir išmokei džiaugtis gyvenimu, man reikia tavęs vienos visą gyvenimą.

Baigęs pasaką, Leonardo pažvelgė į Monną Lizą, jos veidas nušvito šviesa, akys spindėjo. Tada, tarsi pabudusi iš sapno, ji atsiduso, perbraukė ranka per veidą ir be žodžio nuėjo į savo vietą, susidėjo rankas ir užėmė įprastą laikyseną. Bet poelgis buvo padarytas – menininkas pažadino abejingą statulą; Palaimos šypsena, pamažu dingstanti nuo jos veido, liko jos burnos kampučiuose ir drebėjo, suteikdama jos veidui nuostabią, paslaptingą ir šiek tiek gudrią išraišką, kaip žmogaus, kuris sužinojo paslaptį ir, atidžiai ją saugodamas, negali. sulaikyti jo triumfą. Leonardo dirbo tylėdamas, bijodamas praleisti šią akimirką, šį saulės spindulį, kuris apšvietė jo nuobodų modelį...

Sunku pastebėti, kas buvo pastebėta šiame meno šedevre, tačiau visi kalbėjo apie Leonardo gilias žinias apie žmogaus kūno sandarą, kurių dėka jam pavyko pagauti šią, tarytum, paslaptingą šypseną. Jie kalbėjo apie atskirų paveikslo dalių išraiškingumą ir apie kraštovaizdį – precedento neturintį portreto palydovą. Kalbėjosi apie išraiškos natūralumą, pozos paprastumą, rankų grožį. Menininkas padarė kažką neregėto: paveiksle vaizduojamas oras, jis apgaubia figūrą skaidria migla. Nepaisant sėkmės, Leonardo buvo niūri, situacija Florencijoje menininkui atrodė skausminga, jis susiruošė važiuoti. Priminimai apie potvynį jam nepadėjo.

Auksinė pjūvis I.I. Šiškino „Pušynas“. Šiame garsiame I.I. Šiškino, aukso pjūvio motyvai aiškiai matomi. Ryškiai apšviesta pušis (stovi pirmame plane) skirsto paveikslo ilgį pagal aukso pjūvį. Pušies dešinėje yra saulės apšviesta kalva. Jis padalija dešinę paveikslo pusę horizontaliai pagal aukso pjūvį. Į kairę nuo pagrindinės pušies yra daug pušų – jei norite, galite sėkmingai tęsti paveikslo dalijimą pagal aukso pjūvį ir toliau.

pušynas

Ryškių vertikalių ir horizontalių buvimas paveiksle, padalijant jį aukso pjūvio atžvilgiu, suteikia pusiausvyros ir ramybės pobūdį pagal menininko ketinimą. Kai menininko intencija kitokia, jei, tarkime, jis kuria paveikslą su sparčiai besivystančiu veiksmu, tokia geometrinė kompozicijos schema (vyraujant vertikalioms ir horizontalioms) tampa nepriimtina.

Į IR. Surikovas. "Bojaras Morozova"

Jos vaidmuo priskirtas vidurinei paveikslo daliai. Jį riboja paveikslo siužeto aukščiausio pakilimo ir žemiausio kritimo taškas: Morozovos rankos su kryžiaus ženklu dviem pirštais iškilimas kaip aukščiausias taškas; bejėgiškai ištiesta ranka tai pačiai bajoraitei, bet šį kartą senos moters ranka – elgetos klajoklis, ranka iš po kurios kartu su Paskutinė viltis rogių galas išslysta išsigelbėjimui.

O kaip su " aukščiausias taškas"? Iš pirmo žvilgsnio matome prieštaravimą: juk atkarpa A 1 B 1, kuri yra 0,618 ... nuo dešiniojo paveikslo krašto, nepraeina per ranką, net per galvą ar akį. bajoraitė, bet pasirodo esanti kažkur prieš bajoraitės burną.

Auksinis pjūvis čia tikrai nukerta patį svarbiausią dalyką. Jame ir yra jame - didžiausia galia Morozova.

Nėra poetiškesnio paveikslo už Sandro Botticelli paveikslą, o didysis Sandro neturi garsesnio paveikslo už jo Venerą. Botticelli jo Venera yra idėjos įsikūnijimas visuotinė harmonija gamtoje vyraujantis „aukso pjūvis“. Tuo mus įtikina proporcinga Veneros analizė.

Venera

Rafaelis „Atėnų mokykla“. Rafaelis nebuvo matematikas, bet, kaip ir daugelis to laikmečio menininkų, turėjo nemažai geometrijos žinių. Garsiojoje freskoje „Atėnų mokykla“, kur mokslo šventykloje įsikūrusi didžiųjų antikos filosofų draugija, mūsų dėmesį patraukia Euklido, didžiausio senovės graikų matematiko, grupė, išardanti sudėtingą piešinį.

Išradingas dviejų trikampių derinys taip pat sukurtas pagal aukso pjūvį: jis gali būti įrašytas į stačiakampį, kurio kraštinių santykis yra 5/8. Šį piešinį stebėtinai lengva įterpti į viršutinę architektūros dalį. Viršutinis kampas trikampis remiasi į arkos kertinį akmenį arčiausiai žiūrovo esančioje srityje, apatinis - ties išnykimo perspektyvų tašku, o šoninė pjūvis nurodo erdvinio tarpo tarp dviejų arkų dalių proporcijas.

Auksinė spiralė Rafaelio paveiksle „Nekaltųjų žudynės“. Skirtingai nuo aukso pjūvio, dinamikos pojūtis, jaudulys bene ryškiausiai pasireiškia kitoje paprastoje geometrinėje figūroje – spiralėje. Daugiafigūrė kompozicija, sukurta 1509 - 1510 m. Rafaelio, kai garsusis tapytojas kūrė savo freskas Vatikane, tiesiog išsiskiria siužeto dinamiškumu ir dramatiškumu. Rafaelis savo idėjos taip ir neįgyvendino, tačiau jo eskizą išgraviravo nežinomas italų grafikas Marcantinio Raimondi, pagal šį eskizą sukūręs graviūrą „Nekaltųjų žudynės“.

Nekaltųjų žudynės

Jei parengiamajame Rafaelio eskize mintyse nubrėžiame linijas, einasi iš semantinio kompozicijos centro - taškais, kur kario pirštai užsidarė aplink vaiko kulkšnį, išilgai vaiko figūrų, moteriai priglaudus jį prie savęs, karys su pakeltu kardu, o tada išilgai tos pačios grupės figūrų dešinėje pusėje eskizas (paveiksle šios linijos nubrėžtos raudonai), o tada šias kreivės dalis sujunkite punktyrine linija, tada auksine spiralė gaunama labai dideliu tikslumu. Tai galima patikrinti išmatuojant spirale nupjautų atkarpų ilgių santykį tiesiose linijose, einančiose per kreivės pradžią.

AUKSINIS SANTYKIS IR VAIZDO SUVOKIMAS

Žmogaus vizualinio analizatoriaus gebėjimas atskirti pagal aukso pjūvio algoritmą pastatytus objektus kaip gražius, patrauklius ir harmoningus žinomas jau seniai. Auksinis pjūvis suteikia tobuliausios vieningos visumos pojūtį. Daugelio knygų formatas atitinka aukso pjūvį. Jis pasirenkamas langams, paveikslams ir vokams, antspaudams, vizitinėms kortelėms. Žmogus gali nieko nežinoti apie skaičių Ф, tačiau objektų struktūroje, kaip ir įvykių sekoje, jis nesąmoningai randa aukso pjūvio elementų.

Buvo atlikti tyrimai, kurių metu tiriamųjų buvo prašoma atrinkti ir nukopijuoti įvairių proporcijų stačiakampius. Galima buvo pasirinkti iš trijų stačiakampių: kvadrato (40:40 mm), „auksinio pjūvio“ stačiakampio, kurio kraštinių santykis yra 1:1,62 (31:50 mm) ir stačiakampio, kurio pailgos proporcijos yra 1:2,31 (26: 60 mm).

Renkantis įprastos būklės stačiakampius, 1/2 atvejų pirmenybė teikiama kvadratui. Dešinysis pusrutulis pirmenybę teikia auksiniam pjūviui ir atmeta pailgą stačiakampį. Priešingai, kairysis pusrutulis traukiasi į pailgas proporcijas ir atmeta auksinį pjūvį.

Kopijuojant šiuos stačiakampius buvo pastebėta: kai buvo aktyvus dešinysis pusrutulis, proporcijos kopijose išlaikomos tiksliausiai; kai kairysis pusrutulis buvo aktyvus, visų stačiakampių proporcijos buvo iškraipytos, stačiakampiai ištempti (kvadratas nupieštas kaip stačiakampis, kurio kraštinių santykis 1:1,2; ištempto stačiakampio proporcijos smarkiai padidėjo ir pasiekė 1:2,8). ). Stipriausiai buvo iškreiptos „auksinio“ stačiakampio proporcijos; jo proporcijos kopijose tapo stačiakampio proporcijomis 1:2,08.

Piešiant savo piešinius vyrauja aukso pjūviui artimos proporcijos ir pailgos. Vidutiniškai proporcijos yra 1:2, o dešinysis pusrutulis pirmenybę teikia aukso pjūvio proporcijoms, kairysis pusrutulis nutolsta nuo aukso pjūvio proporcijų ir ištempia raštą.

Dabar nubrėžkite keletą stačiakampių, išmatuokite jų kraštines ir raskite kraštinių santykį. Kurį pusrutulį turite?

AUKSINIS SANTYKIS FOTOGRAFIJA

Aukso pjūvio naudojimo fotografijoje pavyzdys yra pagrindinių kadro komponentų vieta taškuose, kurie yra 3/8 ir 5/8 nuo kadro kraštų. Tai galima iliustruoti tokiu pavyzdžiu: katės nuotrauka, kuri yra savavališkoje kadro vietoje.

Dabar sąlygiškai padalinkime rėmą į segmentus, proporcingai 1,62 viso ilgio iš kiekvienos rėmo pusės. Segmentų sankirtoje bus pagrindiniai „vizualiniai centrai“, kuriuose verta dėti reikiamus pagrindiniai elementai Vaizdai. Perkelkime savo katę į „vizualinių centrų“ taškus.

AUKSINIS SANTYKIS IR ERDVĖ

Iš astronomijos istorijos žinoma, kad XVIII amžiaus vokiečių astronomas I. Ticijus, naudodamas šią seriją, atstumuose tarp Saulės sistemos planetų rado dėsningumą ir tvarką.

Tačiau vienas atvejis, kuris atrodė prieštaraujantis įstatymui: tarp Marso ir Jupiterio nebuvo planetos. Tikslus šios dangaus srities stebėjimas leido atrasti asteroido juostą. Tai atsitiko po Ticijaus mirties XIX amžiaus pradžioje. Fibonacci serija yra plačiai naudojama: jos pagalba jie reprezentuoja gyvų būtybių architektoniką ir žmogaus sukurtas struktūras bei Galaktikų struktūrą. Šie faktai liudija skaičių serijos nepriklausomumą nuo jos pasireiškimo sąlygų, o tai yra vienas iš jos universalumo požymių.

Dvi galaktikos auksinės spiralės yra suderinamos su Dovydo žvaigžde.

Atkreipkite dėmesį į žvaigždes, kylančias iš galaktikos balta spirale. Lygiai 180 0 iš vienos spiralės išlenda kita besiskleidžianti spiralė... Ilgą laiką astronomai tiesiog tikėjo, kad viskas, kas yra, yra tai, ką mes matome; jei kažkas matoma, vadinasi, tai egzistuoja. Jie arba visai nepastebėjo nematomos Realybės dalies, arba nemanė jos svarbia. Tačiau nematomoji mūsų Tikrovės pusė iš tikrųjų yra daug didesnė už matomąją pusę ir, ko gero, svarbesnė... Kitaip tariant, matoma Realybės dalis yra daug mažiau nei vienas procentas visumos – beveik nieko. Tiesą sakant, mūsų tikrieji namai yra nematoma visata...

Visatoje visos žmonijai žinomos galaktikos ir visi jose esantys kūnai egzistuoja spiralės pavidalu, atitinkančios aukso pjūvio formulę. Mūsų galaktikos spiralėje yra aukso pjūvis

IŠVADA

Gamta, suprantama kaip visas pasaulis savo formų įvairove, susideda tarsi iš dviejų dalių: gyvosios ir negyvosios gamtos. Negyvosios gamtos kūriniai pasižymi dideliu stabilumu, mažu kintamumu, sprendžiant iš žmogaus gyvenimo masto. Žmogus gimsta, gyvena, sensta, miršta, bet granito kalnai išlieka tie patys ir planetos sukasi aplink Saulę taip, kaip Pitagoro laikais.

Laukinės gamtos pasaulis mums iškyla visiškai kitoks – mobilus, permainingas ir stebėtinai įvairus. Gyvenimas mums parodo fantastišką kūrybinių derinių įvairovės ir originalumo karnavalą! Negyvosios gamtos pasaulis – tai visų pirma simetrijos pasaulis, suteikiantis jo kūrybai stabilumo ir grožio. Gamtos pasaulis – tai visų pirma harmonijos pasaulis, kuriame veikia „aukso pjūvio dėsnis“.

Šiuolaikiniame pasaulyje mokslas yra ypač svarbus dėl padidėjusio žmogaus poveikio gamtai. Svarbūs uždaviniai šiuo metu yra naujų žmogaus ir gamtos sambūvio būdų paieška, filosofinių, socialinių, ekonominių, švietimo ir kitų visuomenei kylančių problemų tyrimas.

Šiame darbe „aukso pjūvio“ savybių įtaka gyviesiems ir negyviesiems laukinė gamta, apie žmonijos ir visos planetos istorijos istorinę raidos eigą. Analizuojant visa tai, kas išdėstyta, galima dar kartą stebėtis pasaulio pažinimo proceso didybe, vis naujų jo modelių atradimu ir daryti išvadą: aukso pjūvio principas yra aukščiausia pasaulio struktūrinio ir funkcinio tobulumo apraiška. visuma ir jos dalys mene, moksle, technikoje ir gamtoje. Galima tikėtis, kad įvairių gamtos sistemų vystymosi dėsniai, augimo dėsniai nėra labai įvairūs ir atsekami pačiomis įvairiausiomis dariniais. Tai gamtos vienybės pasireiškimas. Tokios vienybės idėja, pagrįsta tų pačių modelių pasireiškimu nevienalyčiuose gamtos reiškiniuose, išlaikė savo aktualumą nuo Pitagoro iki šių dienų.

Tai padaręs senovinis instrumentas, galėsite kurti puikius projektus.

„Aukso pjūvį“ naudojo senovės graikai ir egiptiečiai apskaičiuodami pastatus ir kaip pavyzdį, kaip pasiekti idealios proporcijos.

Jūs taip pat galite jį naudoti savo projektuose, apsiginklavęs Fibonacci matuokliu.

Norėdami turėti savo matuoklį, pirmiausia nupieškite įrankio brėžinį pagal paveikslėlyje nurodytus matmenis.

Iš 1,6 mm storio kietmedžio (tiks ir stora fanera), supjaustykite ruošinius ir apdirbkite tris strypus A, B, C iki norimo pločio ir formos. (Naudojome klevą, bet tinka ir kiti miškai.)

Perkelkite skylių centrus iš viso dydžio brėžinio į matuoklio svirtis. Išgręžkite 5,5 mm skersmens skylę, kur parodyta, ir užbaikite kiekvieną petį.

Surinkite dalis, sujungdami jas veržliarakčiais ir pridėdami klijų, kad laikui bėgant jos neatsipalaiduotų.

Pagal žurnalą "Wood-Master"

Patogi ir graži patalynė turi ypatingą magiška galia. Ir kaip malonu kiekvieną rytą pabusti erdvioje lovoje, nepaleidžiant rankų. Dar maloniau, kai linas pasiūtas
Suteikite savo patiekalui papildomo žavesio su šiuo gražiai apvaliu druskos ir pipirų plaktuvų rinkiniu. Jei norite gauti tokį rinkinį šiandien, pasirinkite medžiagą (iš
Siūlau paprastą įrenginį, kuris padės, kai ilgos dalies gale reikės išgręžti vertikalią skylę.
Kam ant darbastalio dėti medžio trinkeles, kad prireikus ant jų būtų uždėtas ruošinys, kai yra specialūs stovai? Ant jų surinkite korpusinius baldus naudodami tarpus kempinėms
Padarykite keliolika ar du C formos spaustukus, kuriuos mėgsta muzikos instrumentų gamintojai, ir galėsite tolygiai paskirstyti spaudimą ant bet kurio išlenkto krašto.

Populiarus kategorijoje: