hjem › Elektrisk utstyr › Hvordan bruke et Leonardo øyenbrynskompass. Antikk gyldent snitt kompass Generalisert gyldent snitt

Hvordan bruke et Leonardo øyenbrynskompass. Antikk gyldent snitt kompass Generalisert gyldent snitt

Golden ratio - et universelt prinsipp for harmoni

"Det er ingen tvist om smak," - hvor mange ganger har hver av oss hørt denne formelen, eller til og med uttalt den. Ved å gå med på det, er vi dermed klare til å forsvare enhver forargelse som den menneskelige fantasien har råd til. En person, dypt egoistisk, masete, lidenskapelig, uvant med å lytte til verden i stort og smått, har rett og slett ikke noe grunnlag for å utvikle smak og forstå harmoni, og derfor er han i stand til å føde den mest monstrøse estetikk, kalle det skjønnhet. «Du kan ikke forby å leve vakkert,» spytter den gjennomsnittlige mannen gjennom de tjukke leppene sine, forsvarer sin smak og forbyr andre å krangle om dem. "Selvfølgelig, selvfølgelig vil vi ikke krangle om smak! Alle har rett på sin måte, så lenge de ikke skader oss," ekko dyr i skikkelse av mennesker, som ikke forstår seg selv dypere enn deres kroppslige behov. Og de er bosatt i elendige boliger, de er fylt med destruktiv musikk, de blir matet elendighet fra skolen, og serverer den med sausen av uunngåelighet. Nedgangen av estetikk, uoppmerksomhet på skjønnhet er alltid nedgangen til menneskeheten, som ikke lenger ønsker å drømme eller strebe etter skjønnhet. Dette er lidelse og død.

Det er vanskelig for et individ å motstå et helt system av vulgaritet, og han er dømt til å underkaste seg det og gå til grunne hvis han ikke har tilstrekkelig kunnskap. Jeg vil gjerne tro at følelsen av skjønnhet, harmonien i verden bor i hver person - du trenger bare å vise den, lære å bruke den.

Det er nok vanskelig å finne et pålitelig mål for en objektiv vurdering av skjønnheten i seg selv, og logikken alene vil ikke klare seg. Imidlertid vil opplevelsen til de for hvem søken etter skjønnhet var selve meningen med livet, som gjorde det til sitt yrke, hjelpe her. Dette er for det første kunstfolk, som vi kaller dem: kunstnere, arkitekter, skulptører, musikere, forfattere. Men dette er også mennesker med eksakte vitenskaper, først og fremst matematikere.

Ved å stole mer på øyet enn andre sanser, lærte en person først og fremst å skille gjenstandene rundt seg etter form. Interessen for formen til et objekt kan dikteres av vital nødvendighet, eller det kan være forårsaket av formens skjønnhet. Formen, hvis konstruksjon er basert på en kombinasjon av symmetri og det gylne snitt, bidrar til den beste visuelle oppfatningen og utseendet til en følelse av skjønnhet og harmoni. Helheten består alltid av deler, deler av ulik størrelse står i et visst forhold til hverandre og til helheten. Prinsippet om det gylne snitt er den høyeste manifestasjonen av den strukturelle og funksjonelle perfeksjonen av helheten og dens deler i kunst, vitenskap, teknologi og natur. Denne ideen ble og deles av mange fremragende moderne forskere, og beviser i sin forskning at ekte skjønnhet alltid er funksjonell. Blant dem er flydesignere. Og arkitekter og antropologer og mange andre.

Historien om det gylne snitt

Det er generelt akseptert at konseptet med den gylne inndelingen ble introdusert i vitenskapelig bruk av Pythagoras, en gammel gresk filosof og matematiker (VI århundre f.Kr.). Det er en antagelse om at Pythagoras lånte sin kunnskap om den gylne divisjonen fra egypterne og babylonerne. Faktisk indikerer proporsjonene til Cheops-pyramiden, templene, bas-relieffer, husholdningsartikler og smykker fra graven til Tutankhamun at egyptiske håndverkere brukte forholdene til den gylne divisjonen når de laget dem. Den franske arkitekten Le Corbusier fant at i relieffet fra tempelet til farao Seti I i Abydos og i relieffet som skildrer farao Ramses, samsvarer proporsjonene til figurene med verdiene til den gyldne divisjonen. Arkitekten Khesira, avbildet på et relieff av en treplate fra en grav oppkalt etter ham, holder i hendene måleinstrumenter der proporsjonene til den gylne inndelingen er registrert.

Den tyske professoren G.E. Timerding, som skrev en bok om det gylne snitt i første kvartal av det tjuende århundre, sier: «Pythagoreerne<...>Ideen om mystiske krefter og egenskaper ble assosiert med den vanlige femkanten, men disse egenskapene avsløres bare når, ved siden av den vanlige vanlige femkanten, stjernen som oppnås ved å sekvensielt koble gjennom en alle toppunktene til en vanlig femkant, sammensatt ved diagonalene til femkanten, vurderes," og bemerker videre: pentagrammet spilte en stor rolle i alle magiske vitenskaper. Den femspissede stjernen, som Timerding viser, er bokstavelig talt fylt med proporsjonene til det gylne snitt.

Grekerne var dyktige geometre. De lærte til og med aritmetikk til barna sine ved å bruke geometriske figurer. Det pytagoreiske kvadratet og diagonalen til dette kvadratet var grunnlaget for konstruksjonen av dynamiske rektangler.

Platon (427...347 f.Kr.) visste også om den gylne inndelingen. Pythagorasen Timaeus sier i Platons dialog med samme navn: «Det er umulig for to ting å være perfekt forent uten en tredje, siden det mellom dem må dukke opp en ting som vil holde dem sammen. den beste måten proporsjon kan oppfylle, for hvis tre tall har egenskapen at gjennomsnittet er til det minste som det større er til gjennomsnittet, og omvendt, det minste er til gjennomsnittet som gjennomsnittet er til det større, så er det siste og det første vil være gjennomsnittet, og gjennomsnittet vil være det første og det siste. Dermed vil alt nødvendig være det samme, og siden det vil være det samme, vil det danne en helhet." Platon bygger den jordiske verden ved å bruke trekanter av to typer: likebenete og ikke-likebenete. Han anser den vakreste rettvinklede trekanten for å være en der hypotenusen er doblet større enn den minste av bena (et slikt rektangel er halvparten av den likesidede grunnfiguren til babylonerne, den har et forhold på 1: 3 1/2, som skiller seg fra det gylne snitt med ca. 1/25, og kalles Timerding "rival av det gylne snitt"). Ved å bruke trekanter bygger Platon fire vanlige polyedre, og assosierer dem med de fire jordiske elementene (jord, vann, luft og ild). Og bare den siste av de fem eksisterende regulære polyedrene - dodekaederet, hvis ansikter alle tolv er vanlige femkanter, hevder å være et symbolsk bilde av den himmelske verden.

Æren ved å oppdage dodekaederet (eller, som det ble antatt, selve universet, denne kvintessensen av de fire elementene, symbolisert henholdsvis av tetraederet, oktaederet, ikosaederet og kuben) tilhører Hippasus, som senere døde i et forlis. Denne figuren fanger virkelig mange av forholdene til det gylne snitt, så sistnevnte fikk hovedrollen i den himmelske verden, noe minorit-broren Luca Pacioli senere insisterte på.

Fasaden til det gamle greske tempelet i Parthenon har gylne proporsjoner. Under utgravningene ble det oppdaget kompass som ble brukt av arkitekter og skulptører fra den antikke verden. Det pompeianske kompasset (museet i Napoli) inneholder også proporsjonene til den gylne inndelingen.

I det eksisterende gammel litteratur Den gylne inndelingen ble først nevnt i Euklids elementer. I den 2. boken til "Prinsiplene" er den geometriske konstruksjonen av den gylne inndelingen gitt. Etter Euklid ble studien av den gylne inndelingen utført av Hypsicles (II århundre f.Kr.), Pappus (III århundre e.Kr.) og andre. I middelalderens Europa, med den gylne inndelingen Vi møttes gjennom arabiske oversettelser av Euklids elementer. Oversetteren J. Campano fra Navarra (III århundre) kom med kommentarer til oversettelsen. Hemmelighetene til den gylne divisjonen ble nidkjært bevoktet og holdt i streng hemmelighet. De var bare kjent for innviede.

I middelalderen ble pentagrammet demonisert (som faktisk mye som ble ansett som guddommelig i antikkens hedenskap) og fant ly i de okkulte vitenskapene. Imidlertid bringer renessansen igjen frem i lyset både pentagrammet og det gylne snitt. I løpet av den perioden med etableringen av humanismen ble et diagram som beskrev strukturen til menneskekroppen utbredt:

Leonardo da Vinci tydde også gjentatte ganger til et slikt bilde, og reproduserte egentlig et pentagram. Hennes tolkning: menneskekroppen har guddommelig perfeksjon, fordi proporsjonene som ligger i den er de samme som i den himmelske hovedfiguren. Leonardo da Vinci, en kunstner og vitenskapsmann, så at italienske kunstnere hadde mye empirisk erfaring, men lite kunnskap. Han ble unnfanget og begynte å skrive en bok om geometri, men på den tiden dukket det opp en bok av munken Luca Pacioli, og Leonardo forlot ideen. I følge samtidige og vitenskapshistorikere var Luca Pacioli en ekte lysmann, den største matematikeren i Italia i perioden mellom Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var en elev av kunstneren Piero della Francesca, som skrev to bøker, hvorav den ene ble kalt «On Perspective in Painting». Han regnes som skaperen av beskrivende geometri.

Luca Pacioli forsto perfekt betydningen av vitenskap for kunst. I 1496, på invitasjon fra hertugen av Moreau, kom han til Milano, hvor han foreleste om matematikk. Leonardo da Vinci jobbet også i Milano ved Moro-domstolen på den tiden. I 1509 ble en bok av Luca Pacioli utgitt i Venezia "På guddommelig proporsjon"(De divina proportione, 1497, utgitt i Venezia i 1509) med strålende utførte illustrasjoner, som er grunnen til at de antas å ha blitt laget av Leonardo da Vinci. Boken var en entusiastisk salme til det gylne snitt. Det er bare én slik andel, og unikhet er Guds høyeste eiendom. Den legemliggjør den hellige treenigheten. Denne andelen kan ikke uttrykkes i et tilgjengelig tall, forblir skjult og hemmelig og kalles irrasjonell av matematikere selv (akkurat som Gud ikke kan defineres eller forklares med ord). Gud forandrer seg aldri og representerer alt i alt og alt i hver av dens deler, så det gyldne snitt for hver kontinuerlig og bestemt størrelse (uansett om den er stor eller liten) er den samme, kan ikke endres eller på annen måte oppfattes av fornuften. Gud kalte til himmelsk dyd, ellers kalt den femte substansen, med dens hjelp og fire andre enkle legemer (fire elementer - jord, vann, luft, ild), og kalte på grunnlag av deres tilværelse alle andre ting i naturen; så vår hellige andel, ifølge Platon i Timaeus, gir formell eksistens til himmelen selv, for den tilskrives formen til en kropp kalt dodekaeder, som ikke kan konstrueres uten det gylne snitt. Dette er Paciolis argumenter.

Leonardo da Vinci ga også mye oppmerksomhet til studiet av den gylne divisjonen. Han laget seksjoner av en stereometrisk kropp dannet av vanlige femkanter, og hver gang fikk han rektangler med sideforhold i den gylne inndelingen. Det var derfor han ga denne avdelingen navnet gyldne snitt. Så det er fortsatt som det mest populære.

Samtidig, i Nord-Europa, i Tyskland, jobbet Albrecht Dürer med de samme problemene. Han skisserer innledningen til den første versjonen av avhandlingen om proporsjoner. Dürer skriver. "Det er nødvendig at noen som vet hvordan man gjør noe, skal lære det til andre som trenger det. Dette er hva jeg har tenkt å gjøre."

Etter et av Dürers brev å dømme møtte han Luca Pacioli mens han var i Italia. Albrecht Durer utvikler i detalj teorien om proporsjoner av menneskekroppen. Dürer tildelte det gylne snitt en viktig plass i sitt system av relasjoner. En persons høyde er delt i gylne proporsjoner av beltets linje, så vel som av en linje trukket gjennom tuppene av langfingrene på de senkede hendene, den nedre delen av ansiktet ved munnen, etc. Dürers proporsjonalkompass er velkjent.

Stor astronom på 1500-tallet. Johannes Kepler kalte det gylne snitt for en av geometriens skatter. Han var den første som gjorde oppmerksom på betydningen av den gyldne proporsjon for botanikk (plantevekst og deres struktur).

Kepler kalte den gyldne proporsjonen for selvgående. "Den er strukturert på en slik måte," skrev han, "at de to laveste leddene i denne uendelige andelen summerer seg til det tredje leddet, og eventuelle to siste ledd, hvis de legges sammen. , gi neste ledd, og den samme andelen forblir til uendelig."

Konstruksjonen av en serie segmenter av den gylne andelen kan gjøres både i retning av økning (økende serie) og i retning av nedgang (synkende serie).

Hvis du er på en rett linje med vilkårlig lengde, sett til side segmentet m, sett segmentet ved siden av M. Basert på disse to segmentene bygger vi en skala av segmenter av den gyldne andelen av stigende og synkende serier

I de påfølgende århundrene ble regelen om den gyldne proporsjon til en akademisk kanon, og da kampen mot akademisk rutine over tid begynte i kunsten, i kampens hete, "kastet de ut babyen med badevannet." Det gylne snitt ble gjenoppdaget i midten av 19 V. I 1855 publiserte den tyske forskeren av det gylne snitt, professor Zeising, sitt arbeid "Estetiske studier". Det som skjedde med Zeising var akkurat det som uunngåelig skulle skje med en forsker som vurderer et fenomen som sådan, uten sammenheng med andre fenomener. Han absolutterte andelen av det gyldne snitt, og erklærte det universelt for alle fenomener av natur og kunst. Zeising hadde mange tilhengere, men det var også motstandere som erklærte hans proporsjonsdoktrine for å være «matematisk estetikk».

Zeising gjorde en kjempejobb. Han målte rundt to tusen menneskekropper og kom til den konklusjon at det gylne snitt uttrykker den gjennomsnittlige statistiske loven. Delingen av kroppen etter navlepunktet er den viktigste indikatoren på det gylne snitt. Proporsjoner mannlig kropp svinge innenfor gjennomsnittsforholdet 13:8 = 1,625 og kommer noe nærmere det gylne snitt enn proporsjonene kvinnekropp, i forhold til hvilken gjennomsnittsverdien av andelen er uttrykt i forholdet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1:1, ved 13 års alder er den 1,6, og ved 21 år er den lik en mann. Proporsjonene til det gyldne snitt vises også i forhold til andre deler av kroppen - lengden på skulderen, underarmen og hånden, hånd og fingre, etc.

Zeising testet gyldigheten av teorien hans på greske statuer. Han utviklet proporsjonene til Apollo Belvedere mest detaljert. Greske vaser, arkitektoniske strukturer fra ulike tidsepoker, planter, dyr, fugleegg, musikalske toner og poetiske metre ble studert. Zeising ga en definisjon av det gylne snitt og viste hvordan det uttrykkes i rette linjesegmenter og i tall. Da tallene som uttrykker lengdene til segmentene ble oppnådd, så Zeising at de utgjorde en Fibonacci-serie, som kunne fortsettes i det uendelige i den ene eller den andre retningen. Hans neste bok fikk tittelen "Den gylne divisjon som den grunnleggende morfologiske loven i natur og kunst." I 1876 ble en liten bok, nesten en brosjyre, utgitt i Russland som skisserte dette arbeidet til Zeising. Forfatteren søkte tilflukt under initialene Yu.F.V. Denne utgaven nevner ikke et eneste malerverk.

I sent XIX- tidlig på 1900-tallet Mange rent formalistiske teorier dukket opp om bruken av det gylne snitt i kunstverk og arkitektur. Med utviklingen av design og teknisk estetikk utvidet loven om det gylne snitt seg til design av biler, møbler osv.

Litt geometri

I matematikk proporsjon(lat. proportio) kaller likheten mellom to relasjoner: a: b = c: d.

Rett segment AB kan deles inn i to deler på følgende måter:

i to like deler - AB: AC = AB: BC;

i to ulike deler på noen måte (slike deler danner ikke proporsjoner);

altså når AB: AC = AC: BC.

Sistnevnte er den gylne inndelingen eller inndelingen av et segment i ekstreme og gjennomsnittlige forhold.

Det gylne snitt er en slik proporsjonal inndeling av et segment i ulik deler, der hele segmentet er relatert til den større delen som den større delen selv er relatert til den mindre; eller med andre ord, det mindre segmentet er til det større som det større er for helheten

a: b = b: celler c: b = b: a.

Praktisk bekjentskap med det gyldne snitt begynner med å dele et rett linjesegment i den gyldne proporsjonen ved hjelp av et kompass og linjal.

Fra punkt I en perpendikulær lik halvparten gjenopprettes AB. Mottatt poeng MED forbundet med en linje til et punkt EN. Et segment plottes på den resulterende linjen Sol slutter med en prikk D. Linjestykke AD overført til direkte AB. Det resulterende punktet E deler et segment AB i det gylne snitt.

Segmenter av det gylne snitt uttrykkes som en uendelig irrasjonell brøkdel A.E.= 0,618..., hvis AB ta som en VÆRE= 0,382... For praktiske formål brukes ofte omtrentlige verdier på 0,62 og 0,38. Hvis segmentet AB tatt som 100 deler, så er den største delen av segmentet lik 62, og den mindre delen er 38 deler.

Egenskapene til det gylne snitt er beskrevet av ligningen:

x2 - x - 1 = 0.

Løsning på denne ligningen:

Andre gylne snitt

Det bulgarske magasinet «Fatherland» (nr. 10, 1983) publiserte en artikkel av Tsvetan Tsekov-Karandash «On the second golden section», som følger av hoveddelen og gir et nytt forhold på 44:56.

Denne andelen finnes i arkitektur, og oppstår også når man konstruerer komposisjoner av bilder av et langstrakt horisontalt format.

Inndelingen utføres som følger. Linjestykke AB delt etter det gylne snitt. Fra punkt MED perpendikulæren gjenopprettes CD. Radius AB det er et poeng D, som er forbundet med en linje til et punkt EN. Rett vinkel ACD er delt i to. Fra punkt MED en linje trekkes til den skjærer linjen AD. Punktum E deler et segment AD i forhold til 56:44.

Figuren viser posisjonen til linjen til det andre gylne snittet. Den er plassert midt mellom den gyldne snittlinjen og midtlinjen i rektangelet.

Gylden trekant

For å finne segmenter av den gylne andelen av stigende og synkende serier, kan du bruke pentagram.

For å bygge et pentagram, må du bygge en vanlig femkant. Metoden for konstruksjonen ble utviklet av den tyske maleren og grafikeren Albrecht Durer (1471...1528). La O- sentrum av sirkelen, EN- et punkt på en sirkel og E- midten av segmentet OA. Vinkelrett på radius OA, gjenopprettet på punktet OM, skjærer sirkelen i punktet D. Bruk et kompass til å tegne et segment på diameteren C.E. = ED. Sidelengden til en vanlig femkant innskrevet i en sirkel er DC. Legg ut segmenter på sirkelen DC og vi får fem poeng for å trekke en vanlig femkant. Vi kobler hjørnene av femkanten gjennom hverandre med diagonaler og får et femkant. Alle diagonaler i femkanten deler hverandre i segmenter forbundet med det gylne snitt.

Hver ende av den femkantede stjernen representerer en gylden trekant. Sidene danner en vinkel på 36° på toppen, og basen, lagt på siden, deler den i forholdet til det gylne snitt.

Vi gjennomfører en direkte AB. Fra punkt EN vi plotter på det tre ganger et segment O av en vilkårlig størrelse, gjennom det resulterende punktet R tegne en vinkelrett på linjen AB, på vinkelrett til høyre og venstre for punktet R sett til side segmentene OM. Fikk poeng d Og d1 koble med rette linjer til et punkt EN. Linjestykke dd1 sette på linje Annonse1, får et poeng MED. Hun delte linjen Annonse1 i forhold til det gylne snitt. Linjer Annonse1 Og dd1 brukes til å konstruere et "gyllent" rektangel.

Fibonacci-serien

Navnet på den italienske matematikermunken Leonardo av Pisa, bedre kjent som Fibonacci (sønn av Bonacci), er indirekte forbundet med historien til det gylne snitt. Han reiste mye i øst, introduserte Europa for indiske (arabiske) tall. I 1202 ble hans matematiske verk "The Book of the Abacus" (tellebrett) utgitt, som samlet alle problemene som var kjent på den tiden. Et av problemene lød: "Hvor mange par kaniner vil bli født fra ett par i løpet av ett år." Etter å ha reflektert over dette emnet, bygde Fibonacci følgende serie med tall:

Måneder

etc.

Par kaniner

etc.

En serie med tall 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. kjent som Fibonacci-serien. Det særegne ved tallsekvensen er at hver av dens medlemmer, fra den tredje, er lik summen av de to foregående 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 osv., og forholdet mellom tilstøtende tall i serien nærmer seg forholdet mellom den gylne divisjonen. Så, 21: 34 = 0,617 og 34: 55 = 0,618. Dette forholdet er betegnet med symbolet F. Bare dette forholdet - 0,618: 0,382 - gir en kontinuerlig inndeling av et rett linjesegment i den gylne proporsjonen, øker eller reduserer den til uendelig, når det mindre segmentet er relatert til det større som den større er til alt.

Fibonacci tok også for seg de praktiske behovene til handel: hva er det minste antallet vekter som kan brukes til å veie et produkt? Fibonacci beviser at det optimale vektsystemet er: 1, 2, 4, 8, 16...

Fibonacci-serien kunne ha forblitt bare en matematisk hendelse, hvis ikke for det faktum at alle forskere av den gylne divisjonen i plante- og dyreverdenen, for ikke å nevne kunst, alltid kom til denne serien som et aritmetisk uttrykk for loven om det gylne. inndeling.

Forskere fortsatte å aktivt utvikle teorien om Fibonacci-tall og det gylne snitt. Yu. Matiyasevich løser Hilberts 10. problem ved å bruke Fibonacci-tall. Det dukker opp elegante metoder for å løse en rekke kybernetiske problemer (søketeori, spill, programmering) ved hjelp av Fibonacci-tall og det gylne snitt. I USA opprettes til og med Mathematical Fibonacci Association, som har publisert et spesialtidsskrift siden 1963.

Fakta som bekrefter eksistensen av gylne snitt og deres derivater i naturen er gitt av den hviterussiske forskeren E.M. Soroko i boken "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det viser seg for eksempel at godt studerte binære legeringer har spesielle, utpregede funksjonelle egenskaper (termisk stabile, harde, slitesterke, motstandsdyktige mot oksidasjon, etc.) bare hvis egenvekten til de originale komponentene er relatert til hverandre av en av gylne proporsjoner. Dette tillot forfatteren å fremsette hypotesen om at de gylne forholdene er numeriske konstanter for selvorganiserende systemer. Bekreftet eksperimentelt kan denne hypotesen være av grunnleggende betydning for utviklingen av synergetikk – et nytt vitenskapsfelt som studerer prosesser i selvorganiserende systemer.

Prinsipper for dannelse i naturen

Alt som tok en eller annen form ble dannet, vokste, strebet etter å ta plass i rommet og bevare seg selv. Dette ønsket realiseres hovedsakelig i to alternativer - å vokse oppover eller spre seg over jordens overflate og vri seg i en spiral.

Skallet er vridd i en spiral. Bretter du den ut får du en lengde litt kortere enn lengden på slangen. Et lite ti-centimeters skall har en spiral på 35 cm.Spiraler er svært vanlig i naturen. Ideen om det gylne snitt vil være ufullstendig uten å snakke om spiralen.

Formen på det spiralkrøllede skallet tiltrakk seg oppmerksomheten til Archimedes. Han studerte det og kom opp med en ligning for spiralen. Spiralen tegnet i henhold til denne ligningen kalles ved hans navn. Økningen i trinnet hennes er alltid jevn. For tiden er Archimedes-spiralen mye brukt i teknologi.

Goethe la også vekt på naturens tendens til spiralitet. Det spiralformede og spiralformede arrangementet av blader på tregrener ble lagt merke til for lenge siden. Spiralen ble sett i arrangementet av solsikkefrø, kongler, ananas, kaktus, etc. Botanikernes og matematikernes felles arbeid har kastet lys over disse fantastiske naturfenomenene. Det viste seg at Fibonacci-serien manifesterer seg i arrangementet av blader på en gren (phylotaxis), solsikkefrø og furukongler, og derfor manifesterer loven om det gylne snitt seg. Edderkoppen vever nettet i et spiralmønster. En orkan snurrer som en spiral. En skremt reinflokk sprer seg i en spiral. DNA-molekylet er vridd i en dobbel helix. Goethe kalte spiralen «livets kurve».

Blant urtene langs veien vokser en umerkelig plante - sikori. La oss se nærmere på det. Et skudd har dannet seg fra hovedstammen. Det første bladet lå akkurat der.

Ris. 12. Sikori

Skuddet gjør et kraftig utkast ut i rommet, stopper, slipper et blad, men denne gangen er det kortere enn det første, gjør igjen et utkast ut i rommet, men med mindre kraft, slipper ut et blad av en enda mindre størrelse og skytes ut igjen . Hvis det første utslippet tas som 100 enheter, er det andre lik 62 enheter, det tredje - 38, det fjerde - 24, etc. Lengden på kronbladene er også underlagt den gyldne proporsjonen. I å vokse og erobre plass opprettholdt planten visse proporsjoner. Vekstimpulsene avtok gradvis i forhold til det gylne snitt.

Ris. 1. 3.Viviparøs øgle

Ved første øyekast har øglen proporsjoner som er behagelige for øynene våre - lengden på halen er relatert til lengden på resten av kroppen som 62 til 38.

Både i plante- og dyreverdenen bryter naturens dannelsestendens vedvarende gjennom - symmetri om vekstretning og bevegelsesretning. Her vises det gylne snitt i proporsjonene av deler vinkelrett på vekstretningen.

Naturen har gjennomført inndeling i symmetriske deler og gylne proporsjoner. Delene avslører en repetisjon av strukturen i helheten.

Ris. 14. fugleegg

Den store Goethe, en poet, naturforsker og kunstner (han tegnet og malte i akvareller), drømte om å skape en enhetlig doktrine om form, dannelse og transformasjon av organiske kropper. Det var han som introduserte begrepet morfologi i vitenskapelig bruk.

Pierre Curie formulerte på begynnelsen av dette århundret en rekke dyptgripende ideer om symmetri. Han hevdet at man ikke kan vurdere symmetrien til noen kropp uten å ta hensyn til miljøets symmetri.

Lovene om "gylden" symmetri manifesteres i energiovergangene til elementære partikler, i strukturen til noen kjemiske forbindelser, i planetariske og kosmiske systemer, i genstrukturene til levende organismer. Disse mønstrene, som angitt ovenfor, eksisterer i strukturen til individuelle menneskelige organer og kroppen som helhet, og manifesterer seg også i biorytmene og funksjonen til hjernen og visuell persepsjon.

Gyldent snitt og symmetri

Det gylne snitt kan ikke vurderes alene, separat, uten sammenheng med symmetri. Den store russiske krystallografen G.V. Wulf (1863...1925) anså det gylne snitt for å være en av manifestasjonene av symmetri.

Den gyldne divisjonen er ikke en manifestasjon av asymmetri, noe motsatt av symmetri.I følge moderne ideer er den gyldne divisjon asymmetrisk symmetri. Vitenskapen om symmetri inkluderer slike begreper som statisk Og dynamisk symmetri. Statisk symmetri kjennetegner fred og balanse, mens dynamisk symmetri kjennetegner bevegelse og vekst. I naturen er statisk symmetri således representert av strukturen til krystaller, og i kunsten karakteriserer den fred, balanse og immobilitet. Dynamisk symmetri uttrykker aktivitet, karakteriserer bevegelse, utvikling, rytme, det er bevis på liv. Statisk symmetri er preget av like segmenter og like verdier. Dynamisk symmetri er preget av en økning i segmenter eller deres reduksjon, og det uttrykkes i verdiene til det gylne snitt.

Observer og bruk

Å forstå og bruke prinsippet om det gylne snitt bør ikke være partiet til noen elite - dette er den mest grunnleggende kunnskapen som de uendelig komplekse lovene om harmoni og proporsjonalitet begynner fra. Det er ingen grenser for meningsfull anvendelse av disse lovene i hverdagen. Identifikasjonen av hoved og sekundær i forhold til helheten kan gjelde hva som helst. Dette inkluderer fordeling av ens tid, og enhver kreativ prosess, inkludert alle typer kunst, litteratur, musikk, og dannelsen av ens egen holdning til alle prosesser og fenomener. Dette er den gyldne middelveien som de gamle snakket om.

Hver kunstner, hver regissør, hver reklamespesialist vet hvordan man gjør et bilde behagelig for øyet, hvordan man bygger det i henhold til lovene om harmoni og psykologi. menneskelig oppfatning. Noen ganger oppnår de verste kulturfiendene betydelige seire ved å bruke kunnskap om naturens lover. Derfor, under dekke av noe hyggelig og kjærlig, slipper vi ofte de sterkeste giftene inn i våre hjerter. Folk snakker så mye om frihet, mens de selv blir forgiftet frivillig, og lurer senere på hvor sykdommene og ulykkene deres kommer fra.

Det kan ikke være frihet i uvitenhet. Ruhet og vilkårlig smak må overvinnes. La dette være en bekymring for enkeltpersoner, lokalsamfunn og stater.

Satt sammen av R. Annenkov

En person skiller gjenstander rundt seg ved deres form. Interessen for formen til et objekt kan dikteres av vital nødvendighet, eller det kan være forårsaket av formens skjønnhet. Formen, hvis konstruksjon er basert på en kombinasjon av symmetri og det gylne snitt, bidrar til den beste visuelle oppfatningen og utseendet til en følelse av skjønnhet og harmoni. Helheten består alltid av deler, deler av ulik størrelse står i et visst forhold til hverandre og til helheten. Prinsippet om det gylne snitt er den høyeste manifestasjonen av den strukturelle og funksjonelle perfeksjonen av helheten og dens deler i kunst, vitenskap, teknologi og natur.

Gyldent forhold - harmonisk proporsjon

I matematikk proporsjon(lat. proportio) kaller likheten mellom to relasjoner: en : b = c : d.

Rett segment AB kan deles inn i to deler på følgende måter:

i to like deler - AB : AC = AB : Sol;

i to ulike deler på noen måte (slike deler danner ikke proporsjoner);

altså når AB : AC = AC : Sol.

Sistnevnte er den gylne inndelingen eller inndelingen av et segment i ekstreme og gjennomsnittlige forhold.

en : b = b : c eller Med : b = b : EN.

Ris. 1. Geometrisk bilde gyldne snitt

Praktisk bekjentskap med det gyldne snitt begynner med å dele et rett linjesegment i den gyldne proporsjonen ved hjelp av et kompass og linjal.

Ris. 2. Dele et rett linjestykke ved hjelp av det gylne snitt. B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Egenskapene til det gylne snitt er beskrevet av ligningen:

x 2 - x - 1 = 0.

Løsning på denne ligningen:

Egenskapene til det gylne snitt har skapt en romantisk aura av mystikk og nesten mystisk tilbedelse rundt dette nummeret.

Andre gylne snitt

Det bulgarske magasinet «Fatherland» (nr. 10, 1983) publiserte en artikkel av Tsvetan Tsekov-Karandash «On the second golden section», som følger av hoveddelen og gir et nytt forhold på 44:56.

Denne andelen finnes i arkitektur, og oppstår også når man konstruerer komposisjoner av bilder av et langstrakt horisontalt format.

Ris. 3. Konstruksjon av det andre gylne snitt

Inndelingen utføres som følger (se fig. 3). Linjestykke AB delt etter det gylne snitt. Fra punkt MED perpendikulæren gjenopprettes CD. Radius AB det er et poeng D, som er forbundet med en linje til et punkt EN. Rett vinkel ACD er delt i to. Fra punkt MED en linje trekkes til den skjærer linjen AD. Punktum E deler et segment AD i forhold til 56:44.

Ris. 4.Å dele et rektangel med linjen til det andre gylne snittet

I fig. Figur 4 viser posisjonen til linjen til det andre gylne snitt. Den er plassert midt mellom den gyldne snittlinjen og midtlinjen i rektangelet.

Gylden trekant

For å finne segmenter av den gylne andelen av stigende og synkende serier, kan du bruke pentagram.

Ris. 5. Konstruksjon av en vanlig femkant og pentagram

Hver ende av den femkantede stjernen representerer en gylden trekant. Sidene danner en vinkel på 36° på toppen, og basen, lagt på siden, deler den i forholdet til det gylne snitt.

Ris. 6. Konstruksjon av den gyldne trekanten

Vi gjennomfører en direkte AB. Fra punkt EN legg et segment på den tre ganger OM vilkårlig verdi, gjennom det resulterende punktet R tegne en vinkelrett på linjen AB, på vinkelrett til høyre og venstre for punktet R sett til side segmentene OM. Fikk poeng d Og d 1 koble med rette linjer til et punkt EN. Linjestykke dd sett 1 på streken Annonse 1, får et poeng MED. Hun delte linjen Annonse 1 i forhold til det gylne snitt. Linjer Annonse 1 og dd 1 brukes til å konstruere et "gyllent" rektangel.

Historien om det gylne snitt

Ris. 7. Dynamiske rektangler

Platon (427...347 f.Kr.) visste også om den gylne inndelingen. Dialogen hans "Timaeus" er viet til de matematiske og estetiske synspunktene til den pythagorasiske skolen og spesielt til spørsmålene om den gylne divisjonen.

Ris. 8. Antikt kompass gyldne snitt

I den gamle litteraturen som har kommet ned til oss, ble den gyldne inndelingen først nevnt i Euklids elementer. I den 2. boken av "Prinsiplene" er den geometriske konstruksjonen av den gylne inndelingen gitt. Etter Euklid ble studien av den gylne inndelingen utført av Hypsicles (2. århundre f.Kr.), Pappus (III århundre e.Kr.) og andre. I middelalderens Europa, med den gylne inndelingen Vi møttes gjennom arabiske oversettelser av Euklids elementer. Oversetteren J. Campano fra Navarra (III århundre) kom med kommentarer til oversettelsen. Hemmelighetene til den gylne divisjonen ble nidkjært bevoktet og holdt i streng hemmelighet. De var bare kjent for innviede.

Under renessansen økte interessen for den gylne divisjonen blant forskere og kunstnere på grunn av bruken i både geometri og kunst, spesielt innen arkitektur.Leonardo da Vinci, en kunstner og vitenskapsmann, så at italienske kunstnere hadde mye empirisk erfaring, men lite kunnskap. Han ble unnfanget og begynte å skrive en bok om geometri, men på den tiden dukket det opp en bok av munken Luca Pacioli, og Leonardo forlot ideen. I følge samtidige og vitenskapshistorikere var Luca Pacioli en ekte lysmann, den største matematikeren i Italia i perioden mellom Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var en elev av kunstneren Piero della Franceschi, som skrev to bøker, hvorav den ene ble kalt «On Perspective in Painting». Han regnes som skaperen av beskrivende geometri.

Luca Pacioli forsto perfekt betydningen av vitenskap for kunst. I 1496, på invitasjon fra hertugen av Moreau, kom han til Milano, hvor han foreleste om matematikk. Leonardo da Vinci jobbet også i Milano ved Moro-domstolen på den tiden. I 1509 ble Luca Paciolis bok "The Divine Proportion" utgitt i Venezia med strålende utførte illustrasjoner, og det er derfor det antas at de ble laget av Leonardo da Vinci. Boken var en entusiastisk salme til det gylne snitt. Blant de mange fordelene med den gyldne proporsjon, unnlot ikke munken Luca Pacioli å navngi dens "guddommelige essens" som et uttrykk for den guddommelige treenigheten - Gud sønnen, Gud faren og Gud den hellige ånd (det ble antydet at den lille segmentet er personifiseringen av Gud sønnen, det større segmentet - Gud faren, og hele segmentet - Den Hellige Ånds Gud).

Samtidig, i Nord-Europa, i Tyskland, jobbet Albrecht Dürer med de samme problemene. Han skisserer innledningen til den første versjonen av avhandlingen om proporsjoner. Dürer skriver. «Det er nødvendig at noen som vet hvordan man gjør noe, skal lære det til andre som trenger det. Dette er hva jeg satte meg for å gjøre."

Konstruksjonen av en serie segmenter av den gylne andelen kan gjøres både i retning av økning (økende serie) og i retning av nedgang (synkende serie).

Ris. 9. Konstruksjon av en skala av gylne proporsjonssegmenter

I de påfølgende århundrene ble regelen om den gyldne proporsjon til en akademisk kanon, og da kampen mot akademisk rutine over tid begynte i kunsten, i kampens hete, "kastet de ut babyen med badevannet." Det gyldne snitt ble "oppdaget" igjen på midten av 1800-tallet. I 1855 publiserte den tyske forskeren av det gylne snitt, professor Zeising, sitt arbeid "Estetiske studier". Det som skjedde med Zeising var akkurat det som uunngåelig skulle skje med en forsker som vurderer et fenomen som sådan, uten sammenheng med andre fenomener. Han absolutterte andelen av det gyldne snitt, og erklærte det universelt for alle fenomener av natur og kunst. Zeising hadde mange tilhengere, men det var også motstandere som erklærte hans proporsjonsdoktrine for å være «matematisk estetikk».

Ris. 10. Gylne proporsjoner i deler av menneskekroppen

Zeising gjorde en kjempejobb. Han målte rundt to tusen menneskekropper og kom til den konklusjon at det gylne snitt uttrykker den gjennomsnittlige statistiske loven. Delingen av kroppen etter navlepunktet er den viktigste indikatoren på det gylne snitt. Andelene til den mannlige kroppen svinger innenfor gjennomsnittsforholdet 13: 8 = 1,625 og er noe nærmere det gyldne snitt enn proporsjonene til kvinnekroppen, i forhold til hvilken gjennomsnittsverdien av andelen er uttrykt i forholdet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1:1, ved 13 års alder er den 1,6, og ved 21 år er den lik en mann. Proporsjonene til det gyldne snitt vises også i forhold til andre deler av kroppen - lengden på skulderen, underarmen og hånden, hånd og fingre, etc.

Ris. elleve. Gylne proporsjoner i menneskefiguren

På slutten av det 19. - begynnelsen av det 20. århundre. Mange rent formalistiske teorier dukket opp om bruken av det gylne snitt i kunstverk og arkitektur. Med utviklingen av design og teknisk estetikk utvidet loven om det gylne snitt seg til design av biler, møbler osv.

Fibonacci-serien

Navnet på den italienske matematikermunken Leonardo av Pisa, bedre kjent som Fibonacci (sønn av Bonacci), er indirekte forbundet med historien til det gylne snitt. Han reiste mye i øst, introduserte Europa for indiske (arabiske) tall. I 1202 ble hans matematiske verk "The Book of the Abacus" (tellebrett) utgitt, som samlet alle problemene som var kjent på den tiden. Et av problemene var "Hvor mange par kaniner vil bli født fra ett par på ett år." Etter å ha reflektert over dette emnet, bygde Fibonacci følgende serie med tall:

En serie med tall 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. kjent som Fibonacci-serien. Det særegne ved tallsekvensen er at hver av dens medlemmer, fra den tredje, er lik summen av de to foregående 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 osv., og forholdet mellom tilstøtende tall i serien nærmer seg forholdet mellom den gylne divisjonen. Så, 21: 34 = 0,617 og 34: 55 = 0,618. Dette forholdet er angitt med symbolet F. Bare dette forholdet - 0,618: 0,382 - gir en kontinuerlig inndeling av et rett linjesegment i den gylne proporsjonen, øker eller reduserer det til uendelig, når det mindre segmentet er relatert til det større som det større er til helheten.

Generalisert gyldent snitt

En av prestasjonene på dette feltet er oppdagelsen av generaliserte Fibonacci-tall og generaliserte gylne snitt.

Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) og den "binære" serien med vekter oppdaget av ham 1, 2, 4, 8, 16... ved første øyekast er helt forskjellige. Men algoritmene for deres konstruksjon er veldig like hverandre: i det første tilfellet er hvert tall summen av det forrige tallet med seg selv 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., i den andre - dette er summen av de to foregående tallene 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Er det mulig å finne en generell matematisk formel som vi henter fra " binære serier og Fibonacci serier? Eller kanskje denne formelen vil gi oss nye numeriske sett som har noen nye unike egenskaper?

Faktisk, la oss angi den numeriske parameteren S, som kan ha alle verdier: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tenk på en tallserie, S+ 1 av de første leddene er enheter, og hver av de påfølgende er lik summen av to ledd av den forrige og atskilt fra den forrige med S trinn. Hvis n Vi betegner det tredje leddet i denne serien med φ S ( n), så får vi den generelle formelen φ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Det er åpenbart at når S= 0 fra denne formelen får vi en "binær" serie, med S= 1 - Fibonacci-serien, med S= 2, 3, 4. ny serie med tall, som kalles S-Fibonacci-tall.

I generelt syn gylden S-proporsjon er den positive roten til den gyldne ligningen S-seksjoner x S+1 - x S - 1 = 0.

Det er lett å vise at når S= 0, segmentet er delt i to, og når S= 1 - det kjente klassiske gylne snittet.

Forholdet mellom naboer S- Fibonacci-tall sammenfaller med absolutt matematisk nøyaktighet i grensen med gull S-proporsjoner! Matematikere i slike tilfeller sier at gull S-seksjoner er numeriske invarianter S-Fibonacci-tall.

Fakta som bekrefter eksistensen av gull S-seksjoner i naturen, siterer den hviterussiske forskeren E.M. Soroko i boken "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det viser seg for eksempel at godt studerte binære legeringer har spesielle, utpregede funksjonelle egenskaper (termisk stabile, harde, slitesterke, motstandsdyktige mot oksidasjon, etc.) bare hvis egenvekten til de originale komponentene er relatert til hverandre av en av gull S-proporsjoner. Dette tillot forfatteren å fremsette hypotesen om at gull S-seksjoner er numeriske invarianter av selvorganiserende systemer. Når den først er bekreftet eksperimentelt, kan denne hypotesen være av grunnleggende betydning for utviklingen av synergetikk – et nytt vitenskapsfelt som studerer prosesser i selvorganiserende systemer.

Bruker gylne koder S-proporsjoner kan uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall som summen av gullkrefter S-proporsjoner med heltallskoeffisienter.

Den grunnleggende forskjellen mellom denne metoden for å kode tall er at basene til de nye kodene, som er gylne S-proporsjoner, med S> 0 viser seg å være irrasjonelle tall. Dermed ser nye tallsystemer med irrasjonelle baser ut til å sette det historisk etablerte hierarkiet av relasjoner mellom rasjonelle og irrasjonelle tall "fra topp til fot." Faktum er at de naturlige tallene først ble "oppdaget"; da er forholdstallene deres rasjonelle tall. Og først senere - etter oppdagelsen av inkommensurable segmenter av pytagoreerne - ble irrasjonelle tall født. For eksempel, i desimale, quinære, binære og andre klassiske posisjonelle tallsystemer ble naturlige tall valgt som et slags grunnleggende prinsipp - 10, 5, 2 - hvorfra, i henhold til visse regler, alle andre naturlige tall, så vel som rasjonelle tall. og irrasjonelle tall, ble konstruert.

Et slags alternativ til de eksisterende metodene for notasjon er et nytt, irrasjonelt system, som et grunnleggende prinsipp, hvis begynnelse er et irrasjonelt tall (som, husker du, er roten til det gyldne snitt-ligningen); andre reelle tall er allerede uttrykt gjennom den.

I et slikt tallsystem kan ethvert naturlig tall alltid representeres som endelig – og ikke uendelig, som tidligere antatt! - summen av gradene til noe av gullet S-proporsjoner. Dette er en av grunnene til at "irrasjonell" aritmetikk, med fantastisk matematisk enkelhet og eleganse, ser ut til å ha absorbert beste kvaliteter klassisk binær og Fibonacci-aritmetikk.

Prinsipper for dannelse i naturen

Ris. 12. Arkimedes spiral

Blant urtene langs veien vokser en umerkelig plante - sikori. La oss se nærmere på det. Et skudd har dannet seg fra hovedstammen. Det første bladet lå akkurat der.

Ris. 1. 3. Sikori

Ris. 14. Viviparøs øgle

Ved første øyekast har øglen proporsjoner som er behagelige for øynene våre - lengden på halen er relatert til lengden på resten av kroppen som 62 til 38.

Naturen har gjennomført inndeling i symmetriske deler og gylne proporsjoner. Delene avslører en repetisjon av strukturen i helheten.

Ris. 15. fugleegg

Gyldent snitt og symmetri

Dynamiske rektangler

Antikt kompass med gyldne snitt

Luca Pacioli forsto perfekt betydningen av vitenskap for kunst. I 1496, på invitasjon fra hertugen av Moreau, kom han til Milano, hvor han foreleste om matematikk. Leonardo da Vinci jobbet også i Milano ved Moro-domstolen på den tiden. I 1509 ble Luca Paciolis bok "The Divine Proportion" utgitt i Venezia med strålende utførte illustrasjoner, og det er derfor det antas at de ble laget av Leonardo da Vinci. Boken var en entusiastisk salme til det gylne snitt. Blant de mange fordelene med den gyldne proporsjon, unnlot ikke munken Luca Pacioli å navngi dens "guddommelige essens" som et uttrykk for den guddommelige treenigheten - Gud sønnen, Gud faren og Gud den hellige ånd (det ble antydet at den lille segmentet er personifiseringen av Gud sønnen, det større segmentet - Gud faren, og hele segmentet - Den Hellige Ånds Gud).

Samtidig, i Nord-Europa, i Tyskland, jobbet Albrecht Dürer med de samme problemene. Han skisserer innledningen til den første versjonen av avhandlingen om proporsjoner. Dürer skriver. «Det er nødvendig at noen som vet hvordan man gjør noe, skal lære det til andre som trenger det. Dette er hva jeg satte meg for å gjøre."

Konstruksjonen av en serie segmenter av den gylne andelen kan gjøres både i retning av økning (økende serie) og i retning av nedgang (synkende serie).

Konstruksjon av en skala av gylne proporsjonssegmenter

Siden antikken har folk vært opptatt av spørsmålet om slike unnvikende ting som skjønnhet og harmoni er underlagt noen matematiske beregninger. Selvfølgelig kan ikke alle skjønnhetslovene inneholde noen få formler, men ved å studere matematikk kan vi oppdage noen komponenter av skjønnhet - det gylne snitt. Vår oppgave er å finne ut hva det gylne snitt er og finne ut hvor menneskeheten har funnet bruken av det gylne snitt.

Du har sikkert lagt merke til at vi behandler objekter og fenomener i den omkringliggende virkeligheten annerledes. Være h anstendighet, bla h Formalitet og misforhold oppfattes av oss som stygge og gir et frastøtende inntrykk. Og gjenstander og fenomener som er preget av proporsjoner, hensiktsmessighet og harmoni oppfattes som vakre og fremkaller en følelse av beundring, glede og løfter i oss.

I sine aktiviteter møter en person konstant gjenstander som er basert på det gylne snitt. Det er ting som ikke kan forklares. Så du kommer til en tom benk og setter deg ned på den. Hvor skal du sitte? I midten? Eller kanskje helt fra kanten? Nei, mest sannsynlig, verken det ene eller det andre. Du vil sitte slik at forholdet mellom den ene delen av benken og den andre i forhold til kroppen din er omtrent 1,62. En enkel ting, absolutt instinktiv... Når du satt på en benk, gjengav du det "gyldne snittet".

Det gyldne snitt var kjent tilbake i det gamle Egypt og Babylon, i India og Kina. Den store Pythagoras opprettet en hemmelig skole hvor han studerte mystisk essens"gyldne snitt". Euclid brukte det når han skapte geometrien sin, og Phidias - hans udødelige skulpturer. Platon sa at universet er ordnet i henhold til det "gyldne snittet". Aristoteles fant en samsvar mellom "det gylne snitt" og den etiske loven. Den høyeste harmonien i "det gylne snittet" vil bli forkynt av Leonardo da Vinci og Michelangelo, fordi skjønnhet og det "gyldne snitt" er en og samme ting. Og kristne mystikere vil tegne pentagrammer av det "gyldne snitt" på veggene til klostrene deres, på flukt fra Djevelen. Samtidig vil forskere – fra Pacioli til Einstein – søke, men aldri finne ham eksakt verdi. Være h den siste raden etter desimaltegnet er 1,6180339887... En merkelig, mystisk, uforklarlig ting - denne guddommelige proporsjonen følger mystisk med alle levende ting. Den livløse naturen vet ikke hva det "gyldne snittet" er. Men du vil helt sikkert se denne andelen i kurvene til skjell, og i form av blomster, og i utseendet til biller, og i den vakre menneskekroppen. Alt levende og alt vakkert - alt adlyder den guddommelige loven, hvis navn er det "gyldne snitt". Så hva er det "gyldne snittet"? Hva er denne perfekte, guddommelige kombinasjonen? Kanskje dette er skjønnhetsloven? Eller er han fortsatt en mystisk hemmelighet? Vitenskapelig fenomen eller etisk prinsipp? Svaret er fortsatt ukjent. Mer presist - nei, det er kjent. Det "gyldne snitt" er begge deler. Bare ikke hver for seg, men samtidig... Og dette er hans sanne mysterium, hans store hemmelighet.

Det er sannsynligvis vanskelig å finne et pålitelig mål for en objektiv vurdering av skjønnheten i seg selv, og logikk alene vil ikke gjøre det. Imidlertid vil opplevelsen til de for hvem søken etter skjønnhet var selve meningen med livet, som gjorde det til sitt yrke, hjelpe her. Dette er for det første kunstfolk, som vi kaller dem: kunstnere, arkitekter, skulptører, musikere, forfattere. Men dette er også folk med eksakte vitenskaper, først og fremst matematikere.

Ved å stole mer på øyet enn andre sanseorganer, lærte mennesket først å skille gjenstandene rundt seg ved deres form. Interessen for formen til et objekt kan dikteres av vital nødvendighet, eller det kan være forårsaket av formens skjønnhet. Formen, som er basert på en kombinasjon av symmetri og det gyldne snitt, bidrar til den beste visuelle oppfatningen og utseendet til en følelse av skjønnhet og harmoni. Helheten består alltid av deler, deler av ulik størrelse står i et visst forhold til hverandre og til helheten. Prinsippet om det gylne snitt er den høyeste manifestasjonen av den strukturelle og funksjonelle perfeksjonen av helheten og dens deler i kunst, vitenskap, teknologi og natur.

GYLDNE FORHOLD - HARMONISK FORHOLD

I matematikk er en andel likheten mellom to forhold:

Et rett linjesegment AB kan deles inn i to deler på følgende måter:

i to like deler - AB:AC=AB:BC;
i to ulike deler på noen måte (slike deler danner ikke proporsjoner);
altså når AB:AC=AC:BC.

Den siste er den gylne divisjonen (seksjon).

Det gyldne snitt er en slik proporsjonal inndeling av et segment i ulik deler, der hele segmentet er relatert til den største delen ettersom den større delen selv er relatert til den mindre, med andre ord, det mindre segmentet er relatert til det større. en som den større er til helheten

a:b=b:c eller c:b=b:a.

Geometrisk bilde av det gylne snitt

Praktisk bekjentskap med det gyldne snitt begynner med å dele et rett linjesegment i den gyldne proporsjonen ved hjelp av et kompass og linjal.

Dele et rett linjestykke ved hjelp av det gylne snitt. BC=1/2AB; CD=BC

Fra punkt B gjenopprettes en perpendikulær lik halve AB. Det resulterende punktet C er forbundet med en linje til punktet A. På den resulterende linjen legges et stykke BC, som slutter med punktet D. Stykket AD overføres til den rette linjen AB. Det resulterende punktet E deler segmentet AB i den gylne proporsjonen.

Segmenter av det gylne snitt uttrykkes uten h den endelige fraksjonen AE=0,618..., hvis AB tas som én, BE=0,382... For praktiske formål brukes ofte omtrentlige verdier på 0,62 og 0,38. Hvis segment AB tas til å være 100 deler, er den største delen av segmentet lik 62, og den mindre delen er 38 deler.

Egenskapene til det gylne snitt er beskrevet av ligningen:

Løsning på denne ligningen:

Egenskapene til det gylne snitt har skapt en romantisk aura av mystikk og en nesten mystisk generasjon rundt dette nummeret. For eksempel, i en vanlig femspiss stjerne, er hvert segment delt av segmentet som skjærer det i forholdet til det gylne snittet (dvs. forholdet mellom det blå segmentet og det grønne, rødt til blått, grønt til fiolett er 1,618) .

ANDRE GYLNE FORHOLD

Denne andelen finnes i arkitektur.

Konstruksjon av det andre gylne snitt

Inndelingen utføres som følger. Segment AB er delt i forhold til det gylne snitt. Fra punkt C gjenopprettes en vinkelrett CD. Radius AB er punkt D, som er forbundet med en linje til punkt A. Rett vinkel ACD er delt i to. Det trekkes en linje fra punkt C til skjæringspunktet med linje AD. Punkt E deler segment AD i forholdet 56:44.

Å dele et rektangel med linjen til det andre gylne snittet

Figuren viser posisjonen til linjen til det andre gylne snittet. Den er plassert midt mellom den gyldne snittlinjen og midtlinjen i rektangelet.

GYLLEN TREKANT (pentagram)

For å finne segmenter av den gylne andelen av stigende og synkende serier, kan du bruke pentagrammet.

Konstruksjon av en vanlig femkant og pentagram

For å bygge et pentagram, må du bygge en vanlig femkant. Metoden for dens konstruksjon ble utviklet av den tyske maleren og grafikeren Albrecht Durer. La O være sentrum av sirkelen, A et punkt på sirkelen og E midtpunktet av segment OA. Perpendikulæren til radius OA, gjenopprettet ved punkt O, skjærer sirkelen ved punkt D. Bruk et kompass og plott segmentet CE=ED på diameteren. Sidelengden til en vanlig femkant innskrevet i en sirkel er lik DC. Vi plotter segmentene DC på sirkelen og får fem poeng for å tegne en vanlig femkant. Vi kobler hjørnene av femkanten gjennom hverandre med diagonaler og får et femkant. Alle diagonaler i femkanten deler hverandre i segmenter forbundet med det gylne snitt.

Hver ende av den femkantede stjernen representerer en gylden trekant. Sidene danner en vinkel på 36 0 på toppen, og basen, lagt på siden, deler den i forholdet til det gylne snitt.

Vi tegner rett AB. Fra punkt A legger vi ned på det tre ganger et segment O av en vilkårlig størrelse, gjennom det resulterende punktet P trekker vi en vinkelrett på linjen AB, på vinkelrett til høyre og venstre for punkt P legger vi av segmenter O. Vi koble de resulterende punktene d og d 1 med rette linjer til punkt A. Segment dd 1 vi legger det på linjen Ad 1, får punkt C. Det delte linjen Ad 1 i forholdet til det gylne snitt. Linjene Ad 1 og dd 1 brukes til å konstruere et "gyllent" rektangel.

Konstruksjon av den gyldne trekanten

HISTORIE OM DET GYLNE FORHOLD

Faktisk indikerer proporsjonene til Cheops-pyramiden, templene, husholdningsartikler og smykker fra graven til Tutankhamun at egyptiske håndverkere brukte forholdene til den gylne divisjonen når de laget dem. Den franske arkitekten Le Corbusier fant at i relieffet fra tempelet til farao Seti I i Abydos og i relieffet som viser farao Ramses, samsvarer proporsjonene av figurene med verdiene til den gylne inndelingen. Arkitekten Khesira, avbildet på et relieff av en treplate fra en grav oppkalt etter ham, holder i hendene måleinstrumenter der proporsjonene til den gylne inndelingen er registrert.

Dynamiske rektangler

Platon visste også om den gylne divisjonen. Pythagoraseren Timaeus sier i Platons dialog med samme navn: «Det er umulig for to ting å være perfekt forent uten en tredje, siden det må dukke opp en ting mellom dem som vil holde dem sammen. Dette kan best oppnås etter proporsjoner, for hvis tre tall har egenskapen at gjennomsnittet er til det minste som det større er til gjennomsnittet, og omvendt, det minste er til gjennomsnittet som gjennomsnittet er til det større, så sistnevnte og første vil være gjennomsnittlig, og gjennomsnittlig - først og sist. Dermed vil alt nødvendig være det samme, og siden det vil være det samme, vil det utgjøre helheten.» Platon bygger den jordiske verden ved å bruke trekanter av to typer: likebenete og ikke-likebenede. Han anser den vakreste rettvinklet trekant for å være en der hypotenusen er dobbelt så stor som den minste av bena (et slikt rektangel er halvparten av den likesidede grunnfiguren til babylonerne, den har et forhold på 1: 3 1/ 2, som skiller seg fra det gylne snitt med omtrent 1/25, og kalles Timerding "rival of the golden ratio"). Ved å bruke trekanter bygger Platon fire vanlige polyedre, og assosierer dem med de fire jordiske elementene (jord, vann, luft og ild). Og bare den siste av de fem eksisterende regulære polyedrene - dodekaederet, som alle tolv er vanlige femkanter, hevder å være et symbolsk bilde av den himmelske verden.

ICOSAHEDRON OG DODECAHEDRON

Æren ved å oppdage dodekaederet (eller, som det ble antatt, selve universet, denne kvintessensen av de fire elementene, symbolisert henholdsvis av tetraederet, oktaederet, ikosaederet og kuben) tilhører Hippasus, som senere døde i et forlis. Denne figuren fanger faktisk mange relasjoner av det gylne snitt, så sistnevnte fikk hovedrollen i den himmelske verden, som var det minorittiske broren Luca Pacioli senere insisterte på.

Antikt kompass med gyldne snitt

I den gamle litteraturen som har kommet ned til oss, ble den gyldne inndelingen først nevnt i Euklids elementer. I elementets 2. bok er det gitt en geometrisk konstruksjon av den gylne inndelingen. Etter Euklid ble studiet av den gylne inndelingen utført av Hypsikler (2. århundre f.Kr.), Pappus (3. århundre e.Kr.) m.fl.. I middelalderens Europa ble de kjent med den gylne inndelingen gjennom arabiske oversettelser av Euklids elementer. Oversetteren J. Campano fra Navarra (III århundre) kom med kommentarer til oversettelsen. Hemmelighetene til den gylne divisjonen ble nidkjært bevoktet og holdt i streng hemmelighet. De var bare kjent for innviede.

Leonardo da Vinci tydde også gjentatte ganger til et slikt bilde, og reproduserte egentlig et pentagram. Hennes tolkning: menneskekroppen har guddommelig perfeksjon, fordi proporsjonene som ligger i den er de samme som i den himmelske hovedfiguren. Leonardo da Vinci, en kunstner og vitenskapsmann, så at italienske kunstnere hadde mye empirisk erfaring, men lite kunnskap. Han ble unnfanget og begynte å skrive en bok om geometri, men på den tiden dukket det opp en bok av munken Luca Pacioli, og Leonardo forlot ideen. I følge samtidige og vitenskapshistorikere var Luca Pacioli en ekte lysmann, den største matematikeren i Italia i perioden mellom Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var en elev av kunstneren Piero della Franceschi, som skrev to bøker, hvorav den ene ble kalt «On Perspective in Painting». Han regnes som skaperen av beskrivende geometri.

Luca Pacioli forsto perfekt betydningen av vitenskap for kunst.

I 1496, på invitasjon fra hertug Moreau, kom han til Milano, hvor han holdt forelesninger om matematikk. Leonardo da Vinci jobbet også i Milano ved Moro-domstolen på den tiden. I 1509 ble Luca Paciolis bok "On the Divine Proportion" (De divina proportione, 1497, utgitt i Venezia i 1509) utgitt i Venezia med strålende utførte illustrasjoner, og det er derfor det antas at de ble laget av Leonardo da Vinci. Boken var en entusiastisk salme til det gylne snitt. Det er bare én slik andel, og unikhet er Guds høyeste eiendom. Den legemliggjør den hellige treenigheten. Denne andelen kan ikke uttrykkes i et tilgjengelig tall, forblir skjult og hemmelig, og kalles irrasjonell av matematikere selv (på samme måte kan Gud ikke defineres eller forklares med ord). Gud forandrer seg aldri og representerer alt i alt og alt i hver av dets deler, så det gyldne snitt for enhver kontinuerlig og bestemt mengde (uansett om den er stor eller liten) er den samme, kan verken endres eller endres. ellers oppfattet av grunnen til. Gud kalte til himmelsk dyd, ellers kalt den femte substansen, med dens hjelp og fire andre enkle legemer (fire elementer - jord, vann, luft, ild), og kalte på grunnlag av deres tilværelse alle andre ting i naturen; så vår hellige andel, ifølge Platon i Timaeus, gir formell eksistens til himmelen selv, for den tilskrives utseendet til en kropp kalt dodekaeder, som ikke kan konstrueres uten det gylne snitt. Dette er Paciolis argumenter.

Leonardo da Vinci ga også mye oppmerksomhet til studiet av den gylne divisjonen. Han laget seksjoner av en stereometrisk kropp dannet av vanlige femkanter, og hver gang fikk han rektangler med sideforhold i den gylne inndelingen. Derfor ga han denne inndelingen navnet gyldne snitt. Så det er fortsatt som det mest populære.

Samtidig, i Nord-Europa, i Tyskland, jobbet Albrecht Dürer med de samme problemene. Han skisserer innledningen til den første versjonen av avhandlingen om proporsjoner. Dürer skriver: «Det er nødvendig at noen som vet hvordan man gjør noe, skal lære det til andre som trenger det. Dette er hva jeg satte meg for å gjøre."

Kepler kalte den gyldne proporsjonen selv-fortsatt. "Den er strukturert på en slik måte," skrev han, "at de to laveste leddene i denne endeløse andelen summerer seg til det tredje leddet, og eventuelle to siste ledd, hvis de legges sammen, gir neste termin, og den samme andelen forblir til det uendelige."

Konstruksjonen av en serie segmenter av den gylne andelen kan gjøres både i retning av økning (økende serie) og i retning av nedgang (synkende serie).

Hvis du er på en rett linje med vilkårlig lengde, sett til side segmentet m , sett segmentet ved siden av M . Basert på disse to segmentene bygger vi en skala av segmenter av den gylne andelen av stigende og synkende serier.

Konstruksjon av en skala av gylne proporsjonssegmenter

I 1855 publiserte den tyske forskeren av det gylne snitt, professor Zeising, sitt arbeid "Estetiske studier". Det som skjedde med Zeising var akkurat det som uunngåelig skulle skje med en forsker som vurderer et fenomen som sådan, uten sammenheng med andre fenomener. Han absolutterte andelen av det gyldne snitt, og erklærte det universelt for alle fenomener av natur og kunst. Zeising hadde mange tilhengere, men det var også motstandere som erklærte hans proporsjonsdoktrine for å være «matematisk estetikk».

Zeising gjorde en kjempejobb. Han målte rundt to tusen menneskekropper og kom til den konklusjon at det gylne snitt uttrykker den gjennomsnittlige statistiske loven. Delingen av kroppen etter navlepunktet er den viktigste indikatoren på det gylne snitt. Andelene til den mannlige kroppen svinger innenfor gjennomsnittsforholdet 13:8 = 1,625 og er noe nærmere det gylne snitt enn kvinnekroppens proporsjoner, hvor gjennomsnittsandelen er uttrykt i forholdet 8:5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1:1, i en alder av 13 er den 1,6, og i en alder av 21 er den lik en mann. Proporsjonene til det gyldne snitt vises også i forhold til andre deler av kroppen - lengden på skulderen, underarmen og hånden, hånd og fingre, etc.

GYLDNE FORHOLD OG SYMMETRI

Det gylne snitt kan ikke vurderes alene, separat, uten sammenheng med symmetri. Den store russiske krystallografen G.V. Wolf (1863-1925) anså det gylne snitt for å være en av manifestasjonene av symmetri.

Den gylne inndelingen er ikke en manifestasjon av asymmetri, noe motsatt av symmetri. I følge moderne konsepter er den gyldne inndelingen en asymmetrisk symmetri. Vitenskapen om symmetri inkluderer slike begreper som statisk og dynamisk symmetri. Statisk symmetri kjennetegner fred og balanse, mens dynamisk symmetri kjennetegner bevegelse og vekst. I naturen er statisk symmetri således representert av strukturen til krystaller, og i kunsten karakteriserer den fred, balanse og immobilitet. Dynamisk symmetri uttrykker aktivitet, karakteriserer bevegelse, utvikling, rytme, det er bevis på liv. Statisk symmetri er preget av like segmenter og like verdier. Dynamisk symmetri er preget av en økning i segmenter eller deres reduksjon, og det uttrykkes i verdiene til det gyldne snitt i en økende eller avtagende serie.

FIBONACCI-SERIEN

Navnet på den italienske matematikermunken Leonardo av Pisa, bedre kjent som Fibonacci, er indirekte forbundet med historien til det gylne snitt. Han reiste mye i øst og introduserte arabiske tall til Europa. I 1202 ble hans matematiske verk "The Book of the Abacus" (tellebrett) utgitt, som samlet alle problemene som var kjent på den tiden.

En serie med tall 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. kjent som Fibonacci-serien. Det særegne ved tallrekkefølgen er at hver av dens medlemmer, fra den tredje, er lik summen av de to foregående 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 osv., og forholdet mellom tilstøtende tall i serien nærmer seg forholdet mellom den gylne divisjonen. Så 21:34 = 0,617 og 34:55 = 0,618. Dette forholdet er betegnet med symbolet F. Bare dette forholdet - 0,618:0,382 - gir en kontinuerlig inndeling av et rett linjestykke i den gylne proporsjonen, øker eller reduserer den til uendelig, når det mindre segmentet er relatert til det større som den større er for helheten.

Som vist i den nederste figuren er lengden på hvert fingerledd relatert til lengden på neste ledd med andelen F. Det samme forholdet vises i alle fingre og tær. Denne forbindelsen er på en eller annen måte uvanlig, fordi den ene fingeren er lengre enn den andre uten noe synlig mønster, men dette er ikke tilfeldig, akkurat som alt i menneskekroppen ikke er tilfeldig. Avstandene på fingrene, markert fra A til B til C til D til E, er alle relatert til hverandre med proporsjonen F, i likhet med fingrenes falanger fra F til G til H.

Ta en titt på dette froskeskjelettet og se hvordan hvert bein passer til F-proporsjonsmønsteret akkurat som i menneskekroppen.

GENERALISERT GYLDNE FORHOLD

Forskere fortsatte å aktivt utvikle teorien om Fibonacci-tall og det gylne snitt. Yu. Matiyasevich løser Hilberts 10. problem ved å bruke Fibonacci-tall. Det dukker opp metoder for å løse en rekke kybernetiske problemer (søketeori, spill, programmering) ved hjelp av Fibonacci-tall og det gylne snitt. I USA opprettes til og med Mathematical Fibonacci Association, som har publisert et spesialtidsskrift siden 1963.

En av prestasjonene på dette feltet er oppdagelsen av generaliserte Fibonacci-tall og generaliserte gylne snitt.

Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) og den "binære" serien med vekter 1, 2, 4, 8, oppdaget av ham, er ved første øyekast helt forskjellige. Men algoritmene for deres konstruksjon er veldig like hverandre: i det første tilfellet er hvert tall summen av det forrige tallet med seg selv 2=1+1; 4=2+2..., i den andre - dette er summen av de to foregående tallene 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Er det mulig å finne en generell matematisk formel fra hvilken "binær" er oppnådd »-serien, og Fibonacci-serien? Eller kanskje denne formelen vil gi oss nye numeriske sett som har noen nye unike egenskaper?

Faktisk, la oss definere en numerisk parameter S, som kan ha alle verdier: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tenk på en tallserie, S+1, hvor de første leddene er enere, og hver av de påfølgende er lik summen av to ledd av den forrige og atskilt fra den forrige med S trinn. Hvis vi betegner det n. leddet i denne serien med? S (n), så får vi den generelle formelen? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Det er åpenbart at med S=0 fra denne formelen vil vi få en "binær" serie, med S=1 - Fibonacci-serien, med S=2, 3, 4. nye tallserier, som kalles S-Fibonacci-tall .

Generelt gyldent S-forhold er den positive roten av den gyldne S-seksjonsligningen x S+1 -x S -1=0.

Det er lett å vise at når S = 0 er segmentet delt i to, og når S = 1 oppnås det kjente klassiske gylne snittet.

Forholdene til nærliggende Fibonacci S-tall sammenfaller med absolutt matematisk nøyaktighet i grensen med de gylne S-proporsjonene! Matematikere sier i slike tilfeller at de gylne S-forholdene er numeriske invarianter av Fibonacci S-tallene.

Fakta som bekrefter eksistensen av gylne S-snitt i naturen er gitt av den hviterussiske forskeren E.M. Soroko i boken "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det viser seg for eksempel at godt studerte binære legeringer har spesielle, utpregede funksjonelle egenskaper (termisk stabile, harde, slitesterke, motstandsdyktige mot oksidasjon, etc.) bare hvis egenvekten til de originale komponentene er relatert til hverandre av en fra gylne S-proporsjoner. Dette tillot forfatteren å fremsette hypotesen om at de gylne S-snittene er numeriske invarianter av selvorganiserende systemer. Når den først er bekreftet eksperimentelt, kan denne hypotesen være av grunnleggende betydning for utviklingen av synergetikk – et nytt vitenskapsfelt som studerer prosesser i selvorganiserende systemer.

Ved å bruke gylne S-proporsjonskoder kan du uttrykke et hvilket som helst reelt tall som en sum av potenser av gylne S-proporsjoner med heltallskoeffisienter.

Den grunnleggende forskjellen mellom denne metoden for å kode tall er at basisen til de nye kodene, som er de gyldne S-proporsjonene, viser seg å være irrasjonelle tall når S>0. Dermed ser nye tallsystemer med irrasjonelle baser ut til å sette det historisk etablerte hierarkiet av relasjoner mellom rasjonelle og irrasjonelle tall "fra topp til fot." Faktum er at de naturlige tallene først ble "oppdaget"; da er forholdstallene deres rasjonelle tall. Og først senere, etter at pytagoreerne oppdaget inkommensurable segmenter, ble irrasjonelle tall født. For eksempel, i desimal-, quinær-, binær- og andre klassiske posisjonstallsystemer ble naturlige tall valgt som et slags grunnleggende prinsipp: 10, 5, 2, hvorfra, i henhold til visse regler, alle andre naturlige tall, så vel som rasjonelle tall. og irrasjonelle tall, ble konstruert.

Et slags alternativ til de eksisterende metodene for notasjon er et nytt, irrasjonelt system, der et irrasjonelt tall (som, husker du, er roten til det gylne snitt-ligningen) er valgt som det grunnleggende grunnlaget for begynnelsen av notasjonen; andre reelle tall er allerede uttrykt gjennom den.

I et slikt tallsystem kan ethvert naturlig tall alltid representeres som endelig – og ikke uendelig, som tidligere antatt! — summen av potensene til noen av de gylne S-proporsjonene. Dette er en av grunnene til at "irrasjonell" aritmetikk, med fantastisk matematisk enkelhet og eleganse, ser ut til å ha absorbert de beste egenskapene til klassisk binær og "Fibonacci" aritmetikk.

PRINSIPPER FOR FORMDANNING I NATUREN

Alt som tok en eller annen form ble dannet, vokste, søkte å ta plass i rommet og bevare seg selv. Dette ønsket realiseres hovedsakelig på to måter: ved å vokse oppover eller spre seg over jordens overflate og vri seg i en spiral.

Formen på det spiralkrøllede skallet tiltrakk seg oppmerksomheten til Archimedes. Han studerte det og utledet spiralens ligning. Spiralen tegnet i henhold til denne ligningen kalles ved hans navn. Økningen i trinnet hennes er alltid jevn. For tiden er Archimedes-spiralen mye brukt i teknologi.

Goethe la også vekt på naturens tendens til spiralitet. Det spiralformede og spiralformede arrangementet av blader på tregrener ble lagt merke til for lenge siden.

Spiralen ble sett i arrangementet av solsikkefrø, kongler, ananas, kaktus, etc. Botanikernes og matematikernes felles arbeid har kastet lys over disse fantastiske naturfenomenene. Det viste seg at Fibonacci-serien manifesterer seg i arrangementet av blader på en gren (phylotaxis), solsikkefrø og furukongler, og derfor manifesterer loven om det gylne snitt seg. Edderkoppen vever nettet sitt i en spiralform. En orkan snurrer som en spiral. En skremt reinflokk sprer seg i en spiral. DNA-molekylet er vridd i en dobbel helix. Goethe kalte spiralen «livets kurve».

Mandelbrot-serien

Den gylne spiral er nært knyttet til sykluser. Moderne vitenskap om kaosstudier enkle sykliske operasjoner med tilbakemelding og fraktalformene generert av dem, tidligere ukjent. Bildet viser den kjente Mandelbrot-serien - en side fra ordboken h lemmer av individuelle mønstre kalt julianske serier. Noen forskere forbinder Mandelbrot-serien med genetisk kode cellekjerner. En konsekvent økning i seksjoner avslører fraktaler som er fantastiske i sin kunstneriske kompleksitet. Og også her er det logaritmiske spiraler! Dette er desto viktigere siden både Mandelbrot-serien og Julian-serien ikke er en oppfinnelse av menneskesinnet. De kommer fra området til Platons prototyper. Som doktor R. Penrose sa, "de er som Mount Everest."

Blant urtene langs veien vokser en umerkelig plante - sikori. La oss se nærmere på det. Et skudd har dannet seg fra hovedstammen. Det første bladet lå akkurat der.

Skuddet gjør et kraftig utkast ut i rommet, stopper, slipper et blad, men denne tiden er kortere enn det første, gjør igjen et utkast ut i rommet, men med mindre kraft, slipper ut et blad av enda mindre størrelse og kastes ut igjen.

Hvis det første utslippet antas å være 100 enheter, er det andre lik 62 enheter, det tredje er 38, det fjerde er 24 osv. Lengden på kronbladene er også underlagt den gyldne proporsjonen. I vekst og erobring av verdensrommet beholdt planten visse proporsjoner. Vekstimpulsene avtok gradvis i forhold til det gylne snitt.

Sikori

Hos mange sommerfugler tilsvarer forholdet mellom størrelsene på bryst- og bukdelen av kroppen det gylne snitt. Møllen folder vingene og danner en vanlig likesidet trekant. Men hvis du sprer vingene, vil du se det samme prinsippet om å dele kroppen i 2, 3, 5, 8. Øyenstikkeren er også skapt i henhold til lovene til den gylne proporsjonen: forholdet mellom lengdene på halen og kroppen er lik forholdet mellom den totale lengden og lengden på halen.

Ved første øyekast har øglen proporsjoner som er behagelige for øynene våre - lengden på halen er relatert til lengden på resten av kroppen som 62 til 38.

Viviparøs øgle

Naturen har gjennomført inndeling i symmetriske deler og gylne proporsjoner. Delene avslører en repetisjon av strukturen i helheten.

Av stor interesse er studiet av formene til fugleegg. Deres forskjellige former svinger mellom to ekstreme typer: en av dem kan skrives inn i et rektangel med det gylne snitt, den andre i et rektangel med en modul på 1,272 (roten av det gylne snitt)

Slike former av fugleegg er ikke tilfeldige, siden det nå er fastslått at formen på eggene beskrevet av det gylne snitt tilsvarer høyere styrkeegenskaper til eggeskallet.

Stenner av elefanter og utdødde mammuter, klørne til løver og nebbene til papegøyer er logaritmiske i form og ligner formen på en akse som har en tendens til å bli til en spiral.

I levende natur er former basert på "femkantet" symmetri utbredt (sjøstjerne, kråkeboller, blomster).

Det gylne snitt er tilstede i strukturen til alle krystaller, men de fleste krystaller er mikroskopisk små, så vi kan ikke se dem med det blotte øye. Imidlertid er snøflak, som også er vannkrystaller, ganske synlige for øynene våre. Alle de utsøkt vakre figurene som danner snøfnugg, alle økser, sirkler og geometriske figurer i snøfnugg er også alltid, uten unntak, bygget etter den perfekte klare formelen for det gylne snitt.

I mikrokosmos er tredimensjonale logaritmiske former bygget i henhold til gylne proporsjoner allestedsnærværende. For eksempel har mange virus den tredimensjonale geometriske formen til et ikosaeder. Det kanskje mest kjente av disse virusene er Adeno-viruset. Proteinskallet til Adeno-viruset er dannet av 252 enheter av proteinceller arrangert i en bestemt sekvens. Ved hvert hjørne av ikosaederet er det 12 enheter proteinceller i form av et femkantet prisme, og ryggradslignende strukturer strekker seg fra disse hjørnene.

Adeno virus

Det gylne snitt i strukturen til virus ble først oppdaget på 1950-tallet. forskere fra Birkbeck College London A. Klug og D. Kaspar. Polyo-viruset var det første som viste en logaritmisk form. Formen til dette viruset ble funnet å være lik den til neshornviruset.

Spørsmålet oppstår: hvordan danner virus så komplekse tredimensjonale former, hvis struktur inneholder det gyldne snitt, som er ganske vanskelig å konstruere selv med vårt menneskelige sinn? Oppdageren av disse virusformene, virolog A. Klug, gir følgende kommentar: «Dr. Kaspar og jeg viste at for det sfæriske skallet til viruset er den mest optimale formen symmetri som icosahedron-formen. Denne rekkefølgen minimerer antall forbindende elementer... De fleste av Buckminster Fullers geodesiske halvkuleformede terninger er bygget på et lignende geometrisk prinsipp. Installasjonen av slike kuber krever et ekstremt presist og detaljert forklaringsdiagram, mens ubevisste virus selv konstruerer et så komplekst skall fra elastiske, fleksible proteincelleenheter.»

Klugs kommentar minner oss nok en gang om en ekstremt åpenbar sannhet: i strukturen til selv en mikroskopisk organisme som forskerne klassifiserer som "den mest primitive livsformen", i dette tilfellet et virus, er det en klar plan og en intelligent design implementert. Dette prosjektet er uforlignelig i sin perfeksjon og presisjon i utførelse med de mest avanserte arkitektoniske prosjektene laget av mennesker. For eksempel prosjekter laget av den strålende arkitekten Buckminster Fuller.

Tredimensjonale modeller av dodecahedron og icosahedron er også til stede i strukturen til skjelettene til encellede marine mikroorganismer radiolarians (rayfish), hvis skjelett er laget av silika.

Radiolarians danner kroppene sine av veldig utsøkt, uvanlig skjønnhet. Formen deres er en vanlig dodekaeder, og fra hvert av hjørnene spirer en pseudo-forlengelse-lem og andre uvanlige former-vekster.

MENNESKEREKROPPEN OG DET GYLNE FORHOLD

Alle menneskelige bein holdes i forhold til det gylne snitt. Proporsjoner ulike deler kroppen vår er et tall som er veldig nær det gylne snitt. Hvis disse proporsjonene faller sammen med formelen for det gyldne snitt, anses personens utseende eller kropp som ideelt proporsjonert.

Gylne proporsjoner i deler av menneskekroppen

Hvis vi tar navlepunktet som sentrum av menneskekroppen, og avstanden mellom en persons fot og navlepunktet som en måleenhet, tilsvarer en persons høyde tallet 1,618.

avstanden fra skuldernivå til kronen på hodet og størrelsen på hodet er 1:1.618;
avstanden fra navlepunktet til hodets krone og fra skuldernivået til hodets krone er 1:1.618;
avstanden fra navlepunktet til knærne og fra knærne til føttene er 1:1.618;
avstanden fra tuppen av haken til tuppen av overleppen og fra tuppen av overleppen til neseborene er 1:1.618;
den faktiske eksakte tilstedeværelsen av den gylne proporsjonen i en persons ansikt er skjønnhetsidealet for det menneskelige blikket;
avstanden fra haketuppen til den øvre linjen på øyenbrynene og fra den øvre linjen på øyenbrynene til kronen er 1:1.618;
ansiktshøyde/ansiktsbredde;
det sentrale punktet for koblingen av leppene til nesebunnen/neselengden;
ansiktshøyde/avstand fra haketuppen til det sentrale punktet der leppene møtes;
munnbredde/nesebredde;
nesebredde/avstand mellom neseborene;
avstand mellom pupiller/avstand mellom øyenbryn.

Det er nok bare å bringe håndflaten nærmere deg og se nøye på pekefinger, og du vil umiddelbart finne formelen for det gylne snitt i den.

Hver finger på hånden vår består av tre phalanges. Summen av lengdene til de to første phalanges av fingeren i forhold til hele lengden av fingeren gir nummeret på det gylne snitt (med unntak av tommelen).

I tillegg er forholdet mellom langfinger og lillefinger også lik det gylne snitt.

En person har 2 hender, fingrene på hver hånd består av 3 falanger (bortsett fra tommelen). Det er 5 fingre på hver hånd, det vil si 10 totalt, men med unntak av to to-phalanx tomler, er det bare 8 fingre som er laget etter prinsippet om det gylne snitt. Mens alle disse tallene 2, 3, 5 og 8 er Fibonacci-sekvensnumre.

Også verdt å merke seg er det faktum at for de fleste er avstanden mellom endene av de utstrakte armene lik høyden.

Sannhetene om det gylne snitt er i oss og i vårt rom. Det særegne til bronkiene som utgjør de menneskelige lungene ligger i deres asymmetri. Bronkiene består av to hovedluftveier, hvorav den ene (den venstre) er lengre og den andre (den høyre) er kortere. Det ble funnet at denne asymmetrien fortsetter i grenene til bronkiene, i alle de mindre luftveiene. Dessuten er forholdet mellom lengdene til korte og lange bronkier også det gylne forholdet og er lik 1:1,618.

I det menneskelige indre øret er det et organ kalt Cochlea ("Snegl"), som utfører funksjonen å overføre lydvibrasjoner. Denne beinstrukturen er fylt med væske og er også formet som en snegl, som inneholder en stabil logaritmisk spiralform =73 0 43".

Blodtrykket endres når hjertet fungerer. Den når sin høyeste verdi i hjertets venstre ventrikkel i øyeblikket av dets kompresjon (systole). I arteriene, under systolen i hjertets ventrikler, når blodtrykket en maksimal verdi lik 115-125 mmHg hos en ung, frisk person. I øyeblikket av avslapning av hjertemuskelen (diastole), synker trykket til 70-80 mm Hg. Forholdet mellom maksimalt (systolisk) og minimum (diastolisk) trykk er i gjennomsnitt 1,6, det vil si nær det gylne snitt.

Hvis vi tar det gjennomsnittlige blodtrykket i aorta som en enhet, er det systoliske blodtrykket i aorta 0,382, og det diastoliske trykket er 0,618, det vil si at forholdet deres tilsvarer den gylne proporsjonen. Dette betyr at hjertets arbeid i forhold til tidssykluser og endringer i blodtrykket er optimalisert etter samme prinsipp, loven om den gylne proporsjon.

DNA-molekylet består av to vertikalt sammenvevde helikser. Lengden på hver av disse spiralene er 34 ångstrøm og bredden er 21 ångstrøm. (1 ångstrøm er en hundre milliondels centimeter).

Strukturen til helixdelen av DNA-molekylet

Så 21 og 34 er tall som følger hverandre i sekvensen av Fibonacci-tall, det vil si at forholdet mellom lengden og bredden til den logaritmiske spiralen til DNA-molekylet bærer formelen til det gylne forholdet 1:1,618.

GYLDNE FORHOLD I SKULPTUR

Skulpturelle strukturer og monumenter er reist for å forevige betydningsfulle hendelser, bevar i minnet til etterkommere navnene på kjente personer, deres bedrifter og gjerninger. Det er kjent at selv i antikken var grunnlaget for skulpturen teorien om proporsjoner. Forholdet mellom delene av menneskekroppen var assosiert med formelen for det gyldne snitt. Proporsjonene til den "gyldne delen" skaper inntrykk av harmoni og skjønnhet, og det er grunnen til at skulptører brukte dem i sine arbeider. Skulptører hevder at midjen deler den perfekte menneskekroppen i forhold til det "gyldne snittet". For eksempel, kjent statue Apollo Belvedere består av deler delt inn etter gylne snitt. Den store antikke greske billedhuggeren Phidias brukte ofte det "gyldne snittet" i sine arbeider. De mest kjente av dem var statuen av Olympian Zeus (som ble ansett som et av verdens underverker) og Parthenon i Athen.

Den gyldne andelen av statuen av Apollo Belvedere er kjent: høyden til den avbildede personen er delt av navlelinjen i det gylne snitt.

GYLDNE FORHOLD I ARKITEKTUR

I bøker om det "gyldne snitt" kan du finne bemerkningen om at i arkitektur, som i maleri, avhenger alt av observatørens posisjon, og hvis noen proporsjoner i en bygning fra den ene siden ser ut til å danne det "gyldne snitt", så fra andre synspunkter vil de se annerledes ut. "Golden Ratio" gir det mest avslappede forholdet mellom størrelsene på visse lengder.

Et av de vakreste verkene i gammel gresk arkitektur er Parthenon (5. århundre f.Kr.).

Synlig på bildene hele linjen mønstre knyttet til det gylne snitt. Proporsjonene til bygningen kan uttrykkes gjennom forskjellige potenser av tallet Ф=0,618...

Parthenon har 8 søyler på kortsidene og 17 på langsidene. Fremspringene er utelukkende laget av firkanter av pentileansk marmor. Adelen av materialet som templet ble bygget av gjorde det mulig å begrense bruken av fargelegging, som er vanlig i gresk arkitektur; det understreker bare detaljene og danner en farget bakgrunn (blå og rød) for skulpturen. Forholdet mellom bygningens høyde og lengden er 0,618. Hvis vi deler Parthenon i henhold til den "gyldne delen", vil vi få visse fremspring av fasaden.

De "gyldne rektanglene" kan også sees på planløsningen til Parthenon.

Vi kan se det gylne snitt i katedralbygningen Notre Dame i Paris(Notre Dame de Paris), og i Cheops-pyramiden.

Ikke bare de egyptiske pyramidene ble bygget i samsvar med de perfekte proporsjoner av det gylne snitt; det samme fenomenet ble funnet i de meksikanske pyramidene.

I lang tid mente at arkitektene Det gamle Russland De bygde alt "etter øye", uten noen spesielle matematiske beregninger. Den siste forskningen har imidlertid vist at russiske arkitekter var godt klar over matematiske proporsjoner, noe som fremgår av analysen av geometrien til gamle templer.

Den berømte russiske arkitekten M. Kazakov brukte mye "det gylne snittet" i sitt arbeid. Talentet hans var mangefasettert, men det ble avslørt i større grad i de mange fullførte prosjektene til boligbygg og eiendommer. For eksempel kan det "gyldne snittet" finnes i arkitekturen til senatbygningen i Kreml. I følge prosjektet til M. Kazakov ble Golitsyn-sykehuset bygget i Moskva, som for tiden kalles det første klinisk sykehus oppkalt etter N.I. Pirogov.

Petrovsky-palasset i Moskva. Bygget etter design av M.F. Kazakova

Et annet arkitektonisk mesterverk i Moskva - Pashkov-huset - er et av de mest perfekte arkitekturverkene av V. Bazhenov.

Pashkov hus

Den fantastiske skapelsen av V. Bazhenov har gått inn i ensemblet til sentrum av det moderne Moskva og beriket det. Husets eksteriør har holdt seg nesten uendret frem til i dag, til tross for at det ble kraftig brent i 1812. Under restaureringen fikk bygningen mer massive former. Byggets innvendige planløsning er ikke bevart, noe som kun kan sees på tegningen av underetasjen.

Mange av arkitektens uttalelser fortjener oppmerksomhet i dag. Om sin favorittkunst sa V. Bazhenov: «Arkitektur har tre hovedobjekter: skjønnhet, ro og styrke til bygningen... For å oppnå dette fungerer kunnskapen om proporsjoner, perspektiv, mekanikk eller fysikk generelt som en guide, og den felles lederen for dem alle er fornuften.»

GYLDNE FORHOLD I MUSIKK

Ethvert musikkstykke har en tidsmessig forlengelse og er delt av visse "estetiske milepæler" i separate deler som tiltrekker seg oppmerksomhet og letter persepsjonen som helhet. Disse milepælene kan være de dynamiske og intonasjonsmessige klimaksene til et musikalsk verk. Separate tidsintervaller for et musikalsk verk, forbundet med en "klimakshendelse", er som regel i det gylne snitt.

Tilbake i 1925, kunstkritiker L.L. Sabaneev, etter å ha analysert 1770 musikkverk av 42 forfattere, viste at det store flertallet av fremragende verk lett kan deles inn i deler enten etter tema, eller etter intonasjonsstruktur, eller etter modal struktur, som er relatert til hverandre i forhold til det gylne. forhold. Dessuten, jo mer talentfull komponisten er, jo flere gyldne snitt finnes i verkene hans. Ifølge Sabaneev fører det gyldne snitt til inntrykk av spesiell harmoni musikalsk komposisjon. Sabaneev sjekket dette resultatet på alle de 27 Chopin-etudene. Han oppdaget 178 gylne snitt i dem. Det viste seg at ikke bare store deler av studiene er delt etter varighet i forhold til det gylne snitt, men også deler av studiene inne er ofte delt i samme forhold.

Komponist og vitenskapsmann M.A. Marutaev telte antall takter i den berømte sonaten "Appassionata" og fant en rekke interessante numeriske sammenhenger. Spesielt i utviklingen - sonatens sentrale strukturelle enhet, hvor temaer utvikler seg intensivt og toner erstatter hverandre - er det to hovedseksjoner. I den første - 43,25 mål, i den andre - 26,75. Forholdet 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 gir det gylne snitt.

Det største antallet verk der det gylne snitt er til stede er av Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%).

Hvis musikk er den harmoniske ordenen av lyder, så er poesi den harmoniske ordenen av talen. En klar rytme, en naturlig veksling av stressede og ubetonede stavelser, en ordnet meter med dikt, og deres følelsesmessige rikdom gjør poesi søster musikalske verk. Det gylne snitt i poesi manifesterer seg først og fremst som tilstedeværelsen av et bestemt øyeblikk i diktet (kulminasjon, semantisk vendepunkt, hovedide produkt) i linjen ved delingspunktet totalt antall linjer av et dikt i gylden proporsjon. Så hvis et dikt inneholder 100 linjer, faller det første punktet i det gylne snittet på den 62. linjen (62%), den andre på den 38. (38%), etc. Verkene til Alexander Sergeevich Pushkin, inkludert "Eugene Onegin", er den fineste korrespondansen til den gylne proporsjonen! Verk av Shota Rustaveli og M.Yu. Lermontov er også bygget i henhold til prinsippet om det gylne snitt.

Stradivari skrev at han brukte det gylne snitt for å bestemme plasseringene for f-formede hakk på kroppene til hans berømte fioliner.

GYLDNE FORHOLD I POESI

Forskning poetiske verk Disse stillingene er bare begynnelsen. Og du må begynne med poesien til A.S. Pushkin. Tross alt er verkene hans et eksempel på de mest fremragende kreasjonene av russisk kultur, et eksempel det høyeste nivået harmoni. Fra poesien til A.S. Pushkin, vi vil begynne søket etter den gylne proporsjonen - målet for harmoni og skjønnhet.

Mye i strukturen til poetiske verk gjør at denne kunstformen ligner på musikk. En klar rytme, en naturlig veksling av stressede og ubetonede stavelser, en ordnet meter med dikt, og deres følelsesmessige rikdom gjør poesien til søsteren til musikalske verker. Hvert vers har sitt eget musikalsk form, med sin rytme og melodi. Det kan forventes at noen trekk ved musikkverk, mønstre, vil dukke opp i diktstrukturen. musikalsk harmoni, og derfor det gylne snitt.

La oss starte med størrelsen på diktet, det vil si antall linjer i det. Det ser ut til at denne parameteren i diktet kan endres vilkårlig. Det viste seg imidlertid at dette ikke var tilfelle. For eksempel N. Vasyutinskys analyse av diktene til A.S. Pushkina viste at størrelsene på dikt er fordelt veldig ujevnt; det viste seg at Pushkin klart foretrekker størrelsene 5, 8, 13, 21 og 34 linjer (Fibonacci-tall).

Mange forskere har lagt merke til at dikt ligner musikalske verk; de har også kulmineringspunkter som deler diktet i forhold til det gylne snitt. Tenk for eksempel på diktet av A.S. Pushkins "Skomaker":

La oss analysere denne lignelsen. Diktet består av 13 linjer. Den har to semantiske deler: den første på 8 linjer og den andre (lignelsens moral) på 5 linjer (13, 8, 5 er Fibonacci-tall).

Et av Pushkins siste dikt, "Jeg verdsetter ikke høylytte rettigheter ..." består av 21 linjer og det er to semantiske deler i det: 13 og 8 linjer:

Jeg verdsetter ikke høylytte rettigheter høyt,

Noe som får mer enn ett hode til å snurre.

Jeg klager ikke over at gudene nektet

Det er min søte skjebne å utfordre skatter

Eller hindre konger i å kjempe mot hverandre;

Og det er ikke nok for meg å bekymre meg om pressen er fri

Dumme idioter, eller sensitiv sensur

I magasinplaner er jokeren flau.

Alt dette, skjønner du, er ord, ord, ord.

Andre, bedre rettigheter er kjære for meg:

Jeg trenger en annen, bedre frihet:

Avhengig av kongen, avhengig av folket -

Bryr vi oss? Gud være med dem.

Ikke gi en rapport, bare til deg selv

Å tjene og behage; for kraft, for livery

Ikke bøy samvittigheten, tankene, nakken;

Å vandre her og der etter eget ønske,

Å beundre naturens guddommelige skjønnhet,

Og før kreasjonene av kunst og inspirasjon

Skjelver av glede i ømhetens henrykkelse,

Hvilken lykke! Det er riktig...

Det er karakteristisk at den første delen av dette verset (13 linjer), i henhold til dets semantiske innhold, er delt inn i 8 og 5 linjer, det vil si at hele diktet er strukturert i henhold til lovene i den gylne proporsjonen.

Analysen av romanen "Eugene Onegin" laget av N. Vasyutinsky er av utvilsomt interesse. Denne romanen består av 8 kapitler, hver med et gjennomsnitt på rundt 50 vers. Det åttende kapittelet er det mest perfekte, mest polerte og følelsesmessig rike. Den har 51 vers. Sammen med Eugenes brev til Tatiana (60 linjer), tilsvarer dette Fibonacci-tallet 55!

N. Vasyutinsky uttaler: "Kulminasjonen av kapitlet er Evgenys kjærlighetserklæring til Tatyana - linjen "Å bli blek og visne bort ... dette er lykke!" Denne linjen deler hele det åttende kapittelet i to deler: den første har 477 linjer, og den andre har 295 linjer. Forholdet deres er 1,617! Den fineste korrespondanse til verdien av den gylne proporsjonen! Dette er et stort mirakel av harmoni utført av geniet til Pushkin!»

E. Rosenov analyserte mange av de poetiske verkene til M.Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoy og oppdaget også det "gyldne snittet" i dem.

Lermontovs berømte dikt "Borodino" er delt inn i to deler: en introduksjon adressert til fortelleren, som bare opptar en strofe ("Fortell meg, onkel, det er ikke uten grunn ..."), og hoveddel, som representerer en uavhengig helhet som deler seg i to like deler. Den første av dem beskriver, med økende spenning, forventningen til slaget, den andre beskriver selve slaget, med en gradvis nedgang i spenningen mot slutten av diktet. Grensen mellom disse delene er verkets kulminasjonspunkt og faller nøyaktig ved inndelingen av det gylne snitt.

Hoveddelen av diktet består av 13 syvlinjers linjer, det vil si 91 linjer. Etter å ha delt det med det gylne snitt (91:1.618=56.238), er vi overbevist om at delingspunktet er i begynnelsen av det 57. verset, der det er en kort setning: "Vel, det var en dag!" Det er denne frasen som representerer "kulminasjonspunktet for spent forventning", fullfører den første delen av diktet (forventning av slaget) og åpner den andre delen (beskrivelse av slaget).

Dermed spiller det gyldne snitt en veldig meningsfull rolle i poesi, og fremhever diktets klimaks.

Mange forskere av Shota Rustavelis dikt "The Knight in the Skin of a Tiger" legger merke til den eksepsjonelle harmonien og melodien i verset hans. Disse egenskapene til diktet av den georgiske vitenskapsmannen, akademikeren G.V. Tsereteli tilskrives dikterens bevisste bruk av det gylne snitt både i dannelsen av diktets form og i konstruksjonen av versene.

Rustavelis dikt består av 1587 strofer, som hver består av fire linjer. Hver linje består av 16 stavelser og er delt inn i to like deler på 8 stavelser i hver hemistich. Alle hemistikker er delt inn i to segmenter av to typer: A - hemistich med like segmenter og et partall stavelser (4+4); B er en hemistich med en asymmetrisk inndeling i to ulike deler (5+3 eller 3+5). Således, i hemistich B er forholdet 3:5:8, som er en tilnærming til den gylne proporsjonen.

Det er fastslått at i Rustavelis dikt, av 1587 strofer, er mer enn halvparten (863) konstruert etter prinsippet om det gylne snitt.

I vår tid ble en ny form for kunst født - kino, som absorberte dramaet med action, maleri og musikk. Det er legitimt å se etter manifestasjoner av det gylne snitt i fremragende kinoverk. Den første som gjorde dette var skaperen av verdenskinomesterverket "Battleship Potemkin", filmregissør Sergei Eisenstein. Ved å konstruere dette bildet klarte han å legemliggjøre det grunnleggende prinsippet om harmoni - det gylne snitt. Som Eisenstein selv bemerker, vaier det røde flagget på masten til det myteriske slagskipet (filmens klimaks) ved det gyldne snitt, regnet fra slutten av filmen.

GYLDNE FORHOLD I FONT OG HUSHOLDNINGSARTIKLER

Spesiell utsikt visuell kunst Antikkens Hellas Produksjon og maling av alle typer fartøy bør fremheves. I en elegant form er proporsjonene til det gyldne snitt lett gjettet.

I maleri og skulptur av templer, og på husholdningsartikler, avbildet de gamle egypterne oftest guder og faraoer. Kanonene for å fremstille en person som står, går, sitter osv. ble etablert. Kunstnere ble pålagt å huske individuelle former og bildemønstre ved hjelp av tabeller og prøver. Kunstnerne i det antikke Hellas foretok spesielle turer til Egypt for å lære å bruke kanonen.

OPTIMALE FYSISKE PARAMETRE FOR DET YTRE MILJØ

Det er kjent at maksimum lydvolum, som forårsaker smerte, er lik 130 desibel. Hvis vi deler dette intervallet med det gylne snittet på 1,618, får vi 80 desibel, som er typiske for volumet til et menneskeskrik. Hvis vi nå deler 80 desibel på det gylne snitt, får vi 50 desibel, som tilsvarer volumet av menneskelig tale. Til slutt, hvis vi deler 50 desibel med kvadratet av det gylne snitt 2,618, får vi 20 desibel, som tilsvarer en menneskelig hvisking. Dermed er alle karakteristiske parametere for lydvolum sammenkoblet gjennom den gyldne proporsjonen.

Ved en temperatur på 18-20 0 C intervall luftfuktighet 40-60 % anses som optimalt. Grensene for det optimale fuktighetsområdet kan oppnås hvis den absolutte fuktigheten på 100 % deles to ganger med det gylne snitt: 100/2,618 = 38,2 % (nedre grense); 100/1,618=61,8 % (øvre grense).

På Lufttrykk 0,5 MPa en person opplever ubehagelige opplevelser, hans fysiske og psykologisk aktivitet. Ved et trykk på 0,3-0,35 MPa tillates kun kortvarig arbeid, og ved et trykk på 0,2 MPa tillates arbeid i ikke mer enn 8 minutter. Alle disse karakteristiske parametrene er relatert til hverandre ved den gyldne proporsjonen: 0,5/1,618 = 0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Grenseparametere utelufttemperatur, der den normale eksistensen (og viktigst av alt, opprinnelsen er blitt mulig) for en person er mulig, er temperaturområdet fra 0 til + (57-58) 0 C. Det er åpenbart ikke nødvendig å gi forklaringer på første grense.

La oss dele det angitte området av positive temperaturer med det gyldne snitt. I dette tilfellet får vi to grenser (begge grenser er temperaturer som er karakteristiske for menneskekroppen): den første tilsvarer temperaturen, den andre grensen tilsvarer den maksimalt mulige utelufttemperaturen for menneskekroppen.

GYLDNE FORHOLD I MALERI

Tilbake i renessansen oppdaget kunstnere at ethvert bilde har visse punkter som ufrivillig vekker vår oppmerksomhet, de såkalte visuelle sentrene. I dette tilfellet spiller det ingen rolle hvilket format bildet har - horisontalt eller vertikalt. Det er bare fire slike punkter, og de er plassert i en avstand på 3/8 og 5/8 fra de tilsvarende kantene på flyet.

Denne oppdagelsen ble kalt det "gyldne forholdet" av maleriet av kunstnere på den tiden.

Går vi videre til eksempler på det "gyldne snittet" i maleri, kan man ikke unngå å fokusere på arbeidet til Leonardo da Vinci. Hans personlighet er et av historiens mysterier. Leonardo da Vinci sa selv: "La ingen som ikke er matematiker våge å lese verkene mine."

Han fikk berømmelse som en uovertruffen kunstner, en stor vitenskapsmann, et geni som forutså mange oppfinnelser som ikke ble realisert før på 1900-tallet.

Det er ingen tvil om at Leonardo da Vinci var en stor kunstner, dette ble allerede anerkjent av hans samtidige, men hans personlighet og aktiviteter vil forbli innhyllet i mystikk, siden han ikke overlot til sine etterkommere en sammenhengende presentasjon av ideene sine, men bare mange håndskrevne skisser, notater som sier "om alt i verden."

Han skrev fra høyre til venstre med uleselig håndskrift og med venstre hånd. Dette er det mest kjente eksisterende eksemplet på speilskrift.

Portrettet av Monna Lisa (La Gioconda) har tiltrukket seg oppmerksomheten til forskere i mange år, som oppdaget at komposisjonen av bildet er basert på gylne trekanter, som er deler av en vanlig stjerneformet femkant. Det er mange versjoner om historien til dette portrettet. Her er en av dem.

En dag mottok Leonardo da Vinci en ordre fra bankmannen Francesco dele Giocondo om å male et portrett av en ung kvinne, bankmannens kone, Monna Lisa. Kvinnen var ikke vakker, men hun ble tiltrukket av enkelheten og naturligheten i utseendet hennes. Leonardo gikk med på å male portrettet. Modellen hans var trist og trist, men Leonardo fortalte henne et eventyr, etter å ha hørt at hun ble livlig og interessant.

EVENTYR. Det var en gang en fattig mann, han hadde fire sønner: tre var smarte, og en av dem var den og den. Og så kom døden for faren. Før han mistet livet, kalte han barna til seg og sa: «Mine sønner, jeg skal snart dø. Så snart du begraver meg, lås hytta og dra til verdens ende for å finne lykken for deg selv. La hver av dere lære noe slik at dere kan brødfø dere selv.» Faren døde, og sønnene spredte seg rundt i verden, og gikk med på å vende tilbake til rydningen av deres hjemlige lund tre år senere. Den første broren kom, som lærte å snekre, hogge ned et tre og hogge det, laget en kvinne av det, gikk litt bort og ventet. Den andre broren kom tilbake, så trekvinnen og, siden han var skredder, kledde han på henne på ett minutt: hvordan dyktig håndverker han laget vakre silkeklær til henne. Den tredje sønnen dekorerte kvinnen med gull og dyrebare steiner– han var tross alt gullsmed. Endelig kom den fjerde broren. Han visste ikke hvordan han skulle snekre eller sy, han visste bare å lytte til hva jorden, trærne, gresset, dyrene og fuglene sa, han kjente himmellegemenes bevegelser og visste også hvordan han skulle synge fantastiske sanger. Han sang en sang som fikk brødrene som gjemte seg bak buskene til å gråte. Med denne sangen gjenopplivet han kvinnen, hun smilte og sukket. Brødrene skyndte seg til henne og ropte det samme: «Du må være min kone.» Men kvinnen svarte: «Du skapte meg - vær min far. Du kledde meg, og du pyntet meg - vær mine brødre. Og du, som pustet sjelen min inn i meg og lærte meg å nyte livet, du er den eneste jeg trenger for resten av livet.»

Etter å ha fullført historien, så Leonardo på Monna Lisa, ansiktet lyst opp av lys, øynene hennes lyste. Så, som om hun våknet av en drøm, sukket hun, førte hånden over ansiktet og gikk uten et ord til plassen hennes, foldet hendene og inntok sin vanlige positur. Men jobben var gjort - kunstneren vekket den likegyldige statuen; et smil av lykke, som sakte forsvant fra ansiktet hennes, ble værende i munnvikene og skalv, og ga ansiktet hennes et fantastisk, mystisk og litt lurt uttrykk, som det til en person som har lært en hemmelighet og som nøye holder på den, ikke kan inneholde sin triumf. Leonardo jobbet stille, redd for å gå glipp av dette øyeblikket, denne solstrålen som lyste opp hans kjedelige modell...

Det er vanskelig å si hva som ble lagt merke til i dette kunstmesterverket, men alle snakket om Leonardos dype kunnskap om strukturen til menneskekroppen, takket være at han var i stand til å fange dette tilsynelatende mystiske smilet. De snakket om uttrykksevnen til individuelle deler av bildet og om landskapet, en enestående følgesvenn til portrettet. De snakket om naturligheten i uttrykket, enkelheten i posituren, skjønnheten i hendene. Kunstneren gjorde noe enestående: bildet viser luft, det omslutter figuren i en gjennomsiktig dis. Til tross for suksessen var Leonardo dyster; situasjonen i Firenze virket smertefull for kunstneren; han gjorde seg klar til å gå på veien. Påminnelser om ordreinngangen hjalp ham ikke.

Det gylne snitt i maleriet av I.I. Shishkin "Pine Grove". I dette berømte maleriet av I.I. Shishkin viser tydelig motivene til det gylne snitt. Et sterkt solbelyst furutre (står i forgrunnen) deler lengden på bildet i henhold til det gylne snitt. Til høyre for furutreet er en solbelyst ås. Den deler høyre side av bildet horisontalt i henhold til det gylne snitt. Til venstre for hovedfuruen er det mange furu - hvis du ønsker det, kan du med hell fortsette å dele bildet i henhold til det gylne snitt ytterligere.

Pine Grove

Tilstedeværelsen i bildet av lyse vertikaler og horisontaler, som deler det i forhold til det gylne snitt, gir det en karakter av balanse og ro i samsvar med kunstnerens intensjon. Når kunstnerens intensjon er annerledes, hvis han for eksempel skaper et bilde med raskt utviklende handling, blir et slikt geometrisk komposisjonsskjema (med en overvekt av vertikaler og horisontale) uakseptabelt.

I OG. Surikov. "Boyaryna Morozova"

Hennes rolle er gitt til den midtre delen av bildet. Det er bundet av punktet for den høyeste stigningen og punktet for den laveste nedgangen av plottet til bildet: stigningen av Morozovas hånd med det dobbeltfingrede korset som det høyeste punktet; en hånd hjelpeløst utstrakt til samme adelsdame, men denne gangen hånden til en gammel kvinne - en tiggervandrer, en hånd underfra som sammen med siste håp Enden av sleden glir ut for å redde deg.

Hva med " høyeste punkt"? Ved første øyekast har vi en tilsynelatende selvmotsigelse: tross alt, seksjon A 1 B 1, med avstand på 0,618... fra høyre kant av bildet, går ikke gjennom hånden, ikke engang gjennom hodet eller øyet til adelskvinnen, men havner et sted foran adelskvinnens munn.

Det gylne snitt skjærer virkelig til det viktigste her. I den, og nettopp i den - største makt Morozova.

Det er ikke noe maleri som er mer poetisk enn Botticelli Sandro, og den store Sandro har intet maleri mer kjent enn hans "Venus". For Botticelli er Venus legemliggjørelsen av en idé universell harmoni"gyldent snitt" som er rådende i naturen. Den proporsjonale analysen av Venus overbeviser oss om dette.

Venus

Raphael "The School of Athens". Raphael var ingen matematiker, men, som mange kunstnere fra den tiden, hadde han betydelig kunnskap om geometri. I den berømte fresken "The School of Athens", hvor det i vitenskapens tempel er et samfunn av antikkens store filosofer, trekkes vår oppmerksomhet mot gruppen Euclid, den største antikke greske matematikeren, som analyserer en kompleks tegning.

Den geniale kombinasjonen av to trekanter er også konstruert i samsvar med andelen av det gylne snitt: det kan skrives inn i et rektangel med sideforholdet 5/8. Denne tegningen er overraskende enkel å sette inn i den øverste delen av arkitekturen. Øverste hjørne trekanten hviler på hjørnesteinen til buen i området nærmest betrakteren, den nedre - på perspektivenes forsvinningspunkt, og sideseksjonen angir proporsjonene til det romlige gapet mellom de to delene av buene.

Gylden spiral i Raphaels maleri "Massacre of the Innocents". I motsetning til det gylne snitt, manifesteres følelsen av dynamikk og spenning, kanskje sterkest i en annen enkel geometrisk figur - en spiral. Multifigurkomposisjonen, utført i 1509 - 1510 av Raphael, da den berømte maleren skapte sine fresker i Vatikanet, utmerker seg nettopp av dynamikken og dramatikken i handlingen. Raphael fullførte aldri planen sin, men skissen hans ble gravert av den ukjente italienske grafikeren Marcantinio Raimondi, som basert på denne skissen laget graveringen "Massacre of the Innocents".

Massakre på de uskyldige

Hvis vi i Raphaels forberedende skisse mentalt tegner linjer som løper fra det semantiske sentrum av komposisjonen - punktet der krigerens fingre lukket seg rundt barnets ankel, langs figurene til barnet, kvinnen som holder ham inntil, krigeren med en hevet sverd, og deretter langs figurene til samme gruppe på høyre side skisse (i figuren er disse linjene tegnet i rødt), og koble deretter disse brikkene med en buet stiplet linje, så oppnås med meget stor nøyaktighet en gylden spiral. Dette kan kontrolleres ved å måle forholdet mellom lengdene til segmentene kuttet av en spiral på rette linjer som går gjennom begynnelsen av kurven.

GYLDNE FORHOLD OG BILDEOPPfatning

Evnen til den menneskelige visuelle analysatoren til å identifisere objekter konstruert ved hjelp av det gylne snitt-algoritmen som vakre, attraktive og harmoniske har vært kjent i lang tid. Det gylne snitt gir følelsen av den mest perfekte helhet. Formatet på mange bøker følger det gylne snitt. Det er valgt for vinduer, malerier og konvolutter, frimerker, visittkort. En person vet kanskje ikke noe om tallet F, men i strukturen til gjenstander, så vel som i hendelsesforløpet, finner han ubevisst elementer av den gyldne proporsjonen.

Det er utført studier der forsøkspersonene ble bedt om å velge og kopiere rektangler av ulike proporsjoner. Det var tre rektangler å velge mellom: et kvadrat (40:40 mm), et "gyldent forhold" rektangel med et sideforhold på 1:1,62 (31:50 mm) og et rektangel med langstrakte proporsjoner 1:2,31 (26:60) mm).

Når du velger rektangler i normal tilstand, gis i 1/2 av tilfellene preferanse til kvadratet. Den høyre hjernehalvdelen foretrekker det gylne snittet og avviser det langstrakte rektangelet. Tvert imot, den venstre hjernehalvdelen graviterer mot langstrakte proporsjoner og avviser det gylne snitt.

Ved kopiering av disse rektanglene ble følgende observert: når høyre hjernehalvdel var aktiv, ble proporsjonene i kopiene opprettholdt mest nøyaktig; når venstre halvkule var aktiv, ble proporsjonene til alle rektanglene forvrengt, rektanglene ble forlenget (firkanten ble tegnet som et rektangel med et sideforhold på 1:1,2; proporsjonene til det langstrakte rektangelet økte kraftig og nådde 1:2,8) . Proporsjonene til det "gyldne" rektangelet var mest forvrengt; proporsjonene i kopier ble proporsjonene til et rektangel 1:2,08.

Når du tegner dine egne bilder, råder proporsjoner nær det gylne snitt og langstrakte. I gjennomsnitt er proporsjonene 1:2, med den høyre hjernehalvdelen som foretrekker proporsjonene til det gylne snittet, den venstre hjernehalvdelen beveger seg bort fra proporsjonene til det gylne snittet og tegner mønsteret.

Tegn nå noen rektangler, mål sidene deres og finn sideforholdet. Hvilken halvkule er dominerende for deg?

GYLDNE FORHOLD I FOTOGRAFI

Et eksempel på bruken av det gylne snitt i fotografering er plassering av nøkkelkomponenter i rammen på punkter som er plassert 3/8 og 5/8 fra kantene på rammen. Dette kan illustreres med følgende eksempel: et fotografi av en katt, som er plassert på et vilkårlig sted i rammen.

La oss nå betinget dele rammen inn i segmenter, i forhold til 1,62 totale lengder fra hver side av rammen. I skjæringspunktet mellom segmentene vil det være de viktigste "visuelle sentrene", der det er verdt å plassere de nødvendige nøkkelelementer Bilder. La oss flytte katten vår til punktene til de "visuelle sentrene".

GYLDNE FORHOLD OG PLASS

Fra astronomiens historie er det kjent at I. Titius, en tysk astronom på 1700-tallet, ved hjelp av denne serien fant et mønster og rekkefølge i avstandene mellom planetene i solsystemet.

Men ett tilfelle som så ut til å motsi loven: det var ingen planet mellom Mars og Jupiter. Fokusert observasjon av denne delen av himmelen førte til oppdagelsen av asteroidebeltet. Dette skjedde etter Titius død på begynnelsen av 1800-tallet. Fibonacci-serien er mye brukt: den brukes til å representere arkitekturen til levende vesener, menneskeskapte strukturer og strukturen til galakser. Disse fakta er bevis på uavhengigheten til tallserien fra betingelsene for dens manifestasjon, som er et av tegnene på dens universalitet.

De to gylne spiralene i galaksen er kompatible med Davidsstjernen.

Legg merke til stjernene som dukker opp fra galaksen i en hvit spiral. Nøyaktig 180 0 fra en av spiralene dukker en annen utfoldende spiral opp... Lenge trodde astronomer ganske enkelt at alt som er der er det vi ser; hvis noe er synlig, så eksisterer det. De var enten helt uvitende om den usynlige delen av virkeligheten, eller så anså de det ikke som viktig. Men den usynlige siden av virkeligheten vår er faktisk mye større enn den synlige siden og er sannsynligvis viktigere... Med andre ord er den synlige delen av virkeligheten mye mindre enn én prosent av helheten – nesten ingenting. Faktisk er vårt virkelige hjem det usynlige universet...

I universet eksisterer alle galakser kjent for menneskeheten og alle kroppene i dem i form av en spiral, tilsvarende formelen til det gylne snitt. Det gyldne snitt ligger i spiralen til galaksen vår

KONKLUSJON

Naturen, forstått som hele verden i mangfoldet av dens former, består så å si av to deler: levende og livløs natur. Skapelser av livløs natur er preget av høy stabilitet og lav variabilitet, bedømt på omfanget av menneskeliv. En person blir født, lever, eldes, dør, men granittfjellene forblir de samme og planetene kretser rundt solen på samme måte som på Pythagoras tid.

Den levende naturens verden fremstår for oss helt annerledes - mobil, foranderlig og overraskende mangfoldig. Livet viser oss et fantastisk karneval av mangfold og unike kreative kombinasjoner! Den livløse naturens verden er for det første en verden av symmetri, som gir hans kreasjoner stabilitet og skjønnhet. Den naturlige verden er for det første en verden av harmoni, der "loven om det gylne snitt" fungerer.

I den moderne verden er vitenskap av spesiell betydning på grunn av menneskets økende innvirkning på naturen. Viktige oppgaver på det nåværende stadiet er jakten på nye måter for sameksistens mellom menneske og natur, studiet av filosofiske, sosiale, økonomiske, pedagogiske og andre problemer samfunnet står overfor.

Dette arbeidet undersøkte påvirkningen av egenskapene til det "gyldne snittet" på levende og ikke-levende dyreliv, om det historiske utviklingsforløpet til menneskehetens historie og planeten som helhet. Ved å analysere alt det ovennevnte, kan du igjen undre deg over omfanget av prosessen med å forstå verden, oppdagelsen av dens stadig nye mønstre og konkludere: prinsippet om det gylne snitt er den høyeste manifestasjonen av den strukturelle og funksjonelle perfeksjonen til helheten og dens deler innen kunst, vitenskap, teknologi og natur. Det kan forventes at utviklingslovene for ulike naturlige systemer, vekstlovene, ikke er veldig forskjellige og kan spores i en lang rekke formasjoner. Det er her naturens enhet manifesteres. Ideen om en slik enhet, basert på manifestasjonen av de samme mønstrene i heterogene naturfenomener, har beholdt sin relevans fra Pythagoras til i dag.

Etter å ha gjort dette antikke instrument, vil du få muligheten til å lage flotte prosjekter.

"Det gylne snitt" ble brukt av de gamle grekerne og egypterne ved beregning av bygninger og som en modell for å oppnå perfekte proporsjoner.

Du kan også bruke den i prosjektene dine, bevæpnet med en Fibonacci-måler.

For å ha din egen måler, start med å lage en tegning av instrumentet i henhold til dimensjonene gitt på figuren.

Fra hardt tre som er 1,6 mm tykt (en god tykk finér vil du gjøre), skjær ut emnene og bearbeid tre armer A, B, C til ønsket bredde og form. (Vi brukte lønn, men andre tresorter vil fungere fint.)

Overfør midten av hullene fra tegningen i full størrelse til armene på måleren. Bor et 5,5 mm hull der vist og fullfør hver skulder.

Sett sammen bitene ved å feste dem med klemskruer og tilsette lim for å forhindre at de løsner over tid.

Basert på materialer fra magasinet "Wood-Master"

Komfortabelt og vakkert sengetøy har en spesiell magisk kraft. Og hvor deilig det er å våkne opp hver morgen i en luftig seng som ikke slipper deg ut av omfavnelsen. Det er enda mer behagelig når sengetøyet er sydd
Gi ekstra stemning til måltidet ditt ved å lage et sett med salt- og pepperbøsse med en fin rund form. Hvis du ønsker å motta et slikt sett i dag, velg materialet (fra
Jeg tilbyr en enkel enhet som vil hjelpe når du trenger å bore et vertikalt hull i enden av en lang del.
Hvorfor legge treblokker på en arbeidsbenk slik at du om nødvendig kan plassere arbeidsstykket på dem, når det er spesielle stativer? Sett sammen skapmøbler på dem ved å bruke hull til svamper
Lag et dusin eller to av bøssingklemmene som musikkinstrumentprodusenter elsker, og du kan jevnt fordele trykket på en hvilken som helst buet kant.

Populært i kategorien: