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펜로즈 삼각형에 대해 알아야 할 사항은 무엇입니까? 펜로즈 삼각형. 불가능한 삼각형 만들기 불가능한 삼각형 환상을 만드는 방법

인사말 친애하는 독자들블로그 사이트. Rustam Zakirov가 연락을 취하고 또 다른 기사가 있습니다. 주제는 Penrose 삼각형을 그리는 방법입니다. 오늘 저는 불가능한 삼각형을 그리는 것이 얼마나 쉬운지 보여드리고자 합니다. 이 삼각형의 두 그림을 그릴 것입니다. 하나는 평범하고 두 번째는 실제 3D 그림입니다. 그리고 이 모든 것은 놀라울 정도로 간단할 것입니다. 이 삼각형의 실제 3D 도면을 얻을 수 있습니다. 이것이 다른 곳에서 당신에게 보여질 것 같지 않으므로 기사를 끝까지 매우 주의 깊게 읽으십시오.

도면에는 항상 그렇듯이 다음이 필요합니다. 종이 한 장 간단한 연필(바람직하게는 하나의 "중간", "기타 소프트") 및 색연필 또는 펠트 펜 몇 개.

3D 도면을 그리는 것이 얼마나 쉬운지.

인터넷에서 방금 찾은 이 평범한 사진에서 이 불가능한 삼각형을 꺼냈습니다. 여기 있습니다.

그런 다음 몇 분 안에 도움을 받아 3D로 번역했습니다. . 따라서 거의 모든 이미지를 3D로 변환할 수 있습니다. 같은 것을 배우고 싶은 분들은 여기를 클릭하세요.

그리고 우리는 그림으로 넘어갑니다.

우리는 일반적인 삼각형 그림을 그립니다.

1 단계. 모니터 화면에서 번역합니다.

삼각형을 그리려면 다음을 수행해야 합니다. 종이 한 장을 모니터 화면의 삼각형에 기대어 번역하면 됩니다.

그리고 우리의 삼각형은 전혀 복잡하지 않기 때문에 모든 모서리에 요점만 놓는 것으로 충분합니다.

그런 다음 원본을 보고 이 점을 자로 연결합니다. 나는 이렇게 얻었다.

모든 삼각형이 준비되었습니다. 그대로 두어도 되지만 조금 더 꾸며보자. 색연필로 했어요. 삼각형을 완전히 칠한 후 간단한 부드러운 연필로 다시 윤곽을 그립니다.

이것에 대해 일반적인 Penrose 삼각형이 완전히 준비되었으며 동일한 삼각형으로 이동합니다.

삼각형의 3D 도면을 그립니다.

1 단계. 우리는 번역합니다.

우리는 일반적인 패턴과 동일한 계획에 따라 행동합니다. 이미 3D 형식으로 번역된 기성품 삼각형을 드립니다. 여기 있습니다.

그리고 당신은 그것을 번역합니다. 일반 그림과 같은 방식으로 모든 작업을 수행합니다. 시트를 가져다가 모니터 화면에 기대면 시트가 빛나고 완성된 3D 도면을 시트로 옮기기만 하면 됩니다.

여기 나에게 일어난 일이 있습니다.

삼각형의 크기는 늘리거나 줄일 수 있습니다. 이렇게 하려면 모니터의 배율을 변경하기만 하면 됩니다. Ctrl 키를 누른 상태에서 마우스 휠을 굴립니다.

3D 도면이 이미 준비되었다고 안전하게 말할 수 있습니다. 하는데 3분정도 걸렸습니다. 이것에 대해 원칙적으로 안전하게 끝낼 수 있지만 삼각형을 다시 장식합시다.

드미트리 라코프

우리의 눈은 볼 수 없습니다
물체의 성질.
그러니 그들을 강요하지 마세요
정신적 망상.

티투스 루크레티우스 자동차

"눈 속임"이라는 일반적인 표현은 본질적으로 잘못된 것입니다. 눈은 우리를 속일 수 없습니다. 눈은 물체와 인간의 뇌 사이의 중간 연결 고리일 뿐이기 때문입니다. 시각적 속임수는 일반적으로 우리가 보는 것 때문이 아니라 무의식적으로 추론하고 무의식적으로 실수하기 때문에 발생합니다. "눈이 아닌 눈을 통해 마음은 세상을 보는 방법을 압니다."

옵티컬 아트(op-art)의 예술적 흐름에서 가장 눈부신 경향 중 하나는 불가능한 형상의 이미지를 기반으로 하는 임프 아트(imp-art, impable art)이다. 임파서블 오브젝트는 평면(모든 평면은 2차원)에 그린 그림으로 실제 3차원 세계에서는 존재할 수 없는 3차원 구조를 묘사한 것입니다. 고전적이고 가장 단순한 모양 중 하나는 불가능한 삼각형입니다.

불가능한 삼각형에서 각 모서리는 자체적으로 가능하지만 전체로 보면 역설이 발생합니다. 삼각형의 측면은 보는 사람을 향하고 보는 사람에게서 멀어지므로 개별 부분이 실제 3차원 개체를 형성할 수 없습니다.

사실 우리의 뇌는 평면 위의 그림을 3차원 모델로 해석합니다. 의식은 이미지의 각 지점이 위치한 "깊이"를 설정합니다. 실제 세계에 대한 우리의 생각은 약간의 불일치와 함께 상충되며 몇 가지 가정을 해야 합니다.

직선 2D 선은 직선 3D 선으로 해석됩니다.
2차원 평행선 3차원 평행선으로 해석됩니다.
예각과 둔각은 원근법에서 직각으로 해석됩니다.
외부 라인양식의 경계로 간주됩니다. 이 외부 경계는 완전한 이미지를 구축하는 데 매우 중요합니다.

인간의 마음은 먼저 대상의 일반적인 이미지를 만든 다음 개별 부분을 검사합니다. 각 각도는 공간적 관점과 호환되지만 재결합하면 공간적 역설을 형성합니다. 삼각형의 모서리 중 하나를 닫으면 불가능이 사라집니다.

불가능한 수치의 역사

공간 구성의 오류는 천년 전 예술가들에게 발생했습니다. 그러나 불가능한 물체를 만들고 분석한 최초의 사람은 1934년에 9개의 큐브로 구성된 최초의 불가능한 삼각형을 그린 스웨덴 예술가 Oscar Reutersvärd로 간주됩니다.


		"모스크바", 그래픽 (잉크, 연필), 50x70cm, 2003

Reutersvaerd와는 별도로 영국의 수학자이자 물리학자인 Roger Penrose는 불가능한 삼각형을 재발견하고 1958년 British Psychology Journal에 그 이미지를 게시합니다. 환상은 "거짓 관점"을 사용합니다. 그림의 깊이가 "모호"할 때 유사한 그림 그리기 방식이 중국 예술가의 작품에서 종종 발견되기 때문에 때때로 이러한 관점을 중국어라고합니다.

"Three Snails" 도면에서 크고 작은 입방체는 일반적인 등각투영 뷰에서 방향이 지정되지 않습니다. 작은 정육면체는 앞면과 뒷면에서 큰 정육면체와 짝을 이룹니다. 즉, 3차원 논리에 따라 어떤 면은 큰 면과 같은 치수를 가집니다. 처음에는 그림이 고체의 실제 표현인 것처럼 보이지만 분석이 진행됨에 따라 이 객체의 논리적 모순이 드러납니다.

"Three snails"를 그리는 것은 두 번째로 유명한 불가능한 인물인 불가능한 큐브(상자)의 전통을 이어갑니다.


"IQ", 그래픽 (잉크, 연필), 50x70cm, 2001		"위아래로", M. 에셔

서로 다른 물체의 조합은 그다지 심각하지 않은 "IQ"(지능 지수) 수치에서도 찾을 수 있습니다. 어떤 사람들은 그들의 의식이 평면 그림과 3차원 물체를 식별할 수 없다는 사실 때문에 불가능한 물체를 인식하지 못한다는 것이 흥미롭습니다.

Donald E. Simanek은 시각적 역설을 이해하는 것이 그러한 종류의 특징 중 하나라고 말했습니다. 창의성최고의 수학자, 과학자 및 예술가가 소유하고 있습니다. 역설적 대상에 대한 많은 작업은 "지적 수학 게임"에 기인할 수 있습니다. 현대 과학세계의 7차원 또는 26차원 모델을 말합니다. 수학 공식의 도움을 통해서만 그러한 세계를 모델링하는 것이 가능하며 사람은 단순히 그것을 상상할 수 없습니다. 그리고 여기서 그들은 유용합니다. 불가능한 수치. 철학적 관점에서 그것들은 모든 현상(시스템 분석, 과학, 정치, 경제 등)이 모든 복잡하고 명확하지 않은 관계에서 고려되어야 한다는 것을 상기시키는 역할을 합니다.

불가능한 (그리고 가능한) 다양한 물체가 "불가능한 알파벳"이라는 그림에 제시되어 있습니다.

세 번째로 인기있는 불가능한 인물은 Penrose가 만든 놀라운 계단입니다. 계속해서 상승(반시계 방향)하거나 하강(시계 방향)합니다. Penrose 모델이 기초를 형성했습니다. 유명한 그림 M. Escher "위아래"( "오름차순 및 내림차순").

구현할 수 없는 다른 개체 그룹이 있습니다. 고전적인 인물은 불가능한 삼지창 또는 "악마의 포크"입니다.

그림을 자세히 살펴보면 세 개의 치아가 점차 두 개로 바뀌어 충돌이 발생하는 것을 볼 수 있습니다. 위와 아래의 치아 수를 비교하고 개체가 불가능하다는 결론에 도달합니다.

마인드 게임보다 불가능한 그림을 더 많이 사용하는 것이 있습니까? 일부 병원에서는 검사가 환자를 오랫동안 차지할 수 있기 때문에 불가능한 물체의 이미지가 특별히 걸려 있습니다. 매표소, 경찰서, 자기 차례를 기다리는 데 시간이 오래 걸리는 다른 장소에 그러한 그림을 걸어두는 것이 논리적일 것입니다. 도면은 일종의 "크로노파지" 역할을 할 수 있습니다. 시간을 낭비하게 만드는 사람들.

불가능한 삼각형은 놀라운 수학적 역설 중 하나입니다. 그를 보면 한시도 의심할 수 없다. 실제 존재. 그러나 이것은 환상일 뿐이고, 속임수일 뿐입니다. 그리고 그러한 환상의 가능성은 수학으로 설명될 것입니다!

펜로즈의 발견

1958년 British Psychological Journal은 L. Penrose와 R. Penrose의 기사를 발표했습니다. 새로운 유형그들이 "불가능한 삼각형"이라고 부르는 착시 현상.

시각적으로 불가능한 삼각형은 3차원 공간에 실제로 존재하는 구조로 인식되며 직사각형 막대로 구성됩니다. 그러나 이것은 착시 현상일 뿐입니다. 불가능한 삼각형의 실제 모델을 만드는 것은 불가능합니다.

Penrose 기사에는 불가능한 삼각형을 묘사하기 위한 몇 가지 옵션이 포함되어 있습니다. - "클래식" 프레젠테이션.

불가능한 삼각형을 구성하는 요소는 무엇입니까?

더 정확하게는 어떤 요소로 우리가 만든 것 같습니까? 디자인은 두 개의 동일한 직사각형 막대를 직각으로 연결하여 얻은 직사각형 모서리를 기반으로 합니다. 세 개의 이러한 모서리가 필요하므로 막대는 6개입니다. 이러한 모서리는 닫힌 체인을 형성하도록 특정 방식으로 서로 시각적으로 "연결"되어야 합니다. 불가능한 삼각형이 발생합니다.

첫 번째 모서리를 수평면에 배치합니다. 가장자리 중 하나를 위로 향하게하여 두 번째 모서리를 부착합니다. 마지막으로 이 두 번째 모서리에 세 번째 모서리를 추가하여 모서리가 원래 수평면과 평행하도록 합니다. 이 경우 첫 번째 모서리와 세 번째 모서리의 두 모서리는 평행하고 서로 다른 방향을 향합니다.

막대를 단위 길이의 세그먼트로 간주하면 첫 번째 모서리의 막대 끝은 좌표를 가지며 두 번째 모서리는 , 세 번째 모서리는 , 및 입니다. 3차원 공간에 실제로 존재하는 "뒤틀린" 구조가 있습니다.

이제 정신적으로 그것을 보도록 노력합시다. 다른 점공간. 한 지점, 다른 지점, 세 번째 지점에서 어떻게 보이는지 상상해 보세요. 관찰 지점을 변경할 때 모서리의 두 "끝"가장자리가 서로 상대적으로 움직이는 것처럼 보입니다. 그들이 연결될 위치를 찾는 것은 어렵지 않습니다.

그러나 리브 사이의 거리가 모서리에서 우리가 구조를 보고 있는 지점까지의 거리보다 훨씬 작다면 두 리브는 동일한 두께를 갖게 되며 이 두 리브가 실제로는 하나라는 생각이 떠오를 것입니다. 서로의 연속. 이 상황은 4에 나와 있습니다.

그건 그렇고, 거울에 비친 구조의 반사를 동시에 보면 거기에 폐회로가 보이지 않을 것입니다.

그리고 선택된 관찰 지점에서 우리는 일어난 기적을 우리 눈으로 직접 봅니다. 세 모서리의 닫힌 사슬이 있습니다. 이 환상이 무너지지 않도록 관찰 지점을 변경하지 마십시오. 이제 보이는 물체를 그리거나 카메라 렌즈를 찾은 지점에 놓고 불가능한 물체의 사진을 얻을 수 있습니다.

Penroses는이 현상에 처음으로 관심을 갖게되었습니다. 그들은 3차원 공간과 3차원 물체를 2차원 평면에 매핑할 때 발생하는 가능성을 사용했고 일부 디자인 불확실성에 주목했습니다. 세 모서리의 열린 구성은 닫힌 체인으로 인식될 수 있습니다.

펜로즈 삼각형의 불가능성 증명

평면에 있는 3차원 물체의 2차원 이미지의 특징을 분석하여 이 디스플레이의 특징이 어떻게 불가능한 삼각형으로 이어지는지 이해했습니다. 아마도 누군가는 순전히 수학적 증명에 관심을 가질 것입니다.

불가능한 삼각형이 존재하지 않는다는 것을 증명하는 것은 매우 쉽습니다. 각 각이 옳고 그 합이 180도가 아니라 270도이기 때문입니다.

또한 90도 미만의 모서리에서 함께 붙인 불가능한 삼각형을 고려하더라도 이 경우 불가능한 삼각형이 존재하지 않는다는 것을 증명할 수 있습니다.

세 개의 평평한 면이 보입니다. 그들은 직선을 따라 쌍으로 교차합니다. 이 면을 포함하는 평면은 쌍으로 직교하므로 한 점에서 교차합니다.

또한 평면의 상호 교차선은 이 지점을 통과해야 합니다. 따라서 직선 1, 2, 3은 한 점에서 교차해야 합니다.

하지만 그렇지 않습니다. 따라서 제시된 시공은 불가능하다.

"불가능" 예술

이것 또는 저 아이디어의 운명 - 과학적, 기술적, 정치적 -은 많은 상황에 달려 있습니다. 그리고 이 아이디어가 제시될 형식, 일반 대중에게 어떤 이미지로 나타날지에 대해서도 마찬가지입니다. 구체화가 무미건조하고 인식하기 어려울지 아니면 반대로 아이디어의 표현이 밝아서 우리의 의지에 반하여 우리의 관심을 끌 것입니다.

불가능한 삼각형에는 행복한 운명이 있습니다. 1961년 네덜란드 화가 Moritz Escher는 The Waterfall이라는 석판화를 완성했습니다. 예술가는 불가능한 삼각형이라는 아이디어에서 놀라운 예술적 구체화에 이르기까지 길지만 빠른 길을 왔습니다. Penrose 기사가 1958년에 나온 것을 기억하십시오.

"폭포"의 중심에는 두 개의 불가능한 삼각형이 있습니다. 하나의 삼각형은 크고 다른 삼각형은 그 안에 있습니다. 세 개의 동일한 불가능한 삼각형이 묘사된 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 이것은 요점이 아닙니다. 제시된 디자인은 상당히 복잡합니다.

제시된 모든 연결이 가능하기 때문에 겉보기에 그 부조리가 모든 사람에게 즉시 표시되지는 않습니다. 그들이 말했듯이 로컬, 즉 도면의 작은 영역에서 이러한 디자인이 가능합니다 ... 그러나 일반적으로 불가능합니다! 개별 조각이 서로 맞지 않고 서로 일치하지 않습니다.

그리고 이것을 이해하기 위해서는 특정한 지적, 시각적 노력을 기울여야 합니다.

구조물의 가장자리를 따라 여행을 떠나자. 이 경로는 우리에게 보이는 것처럼 수평면에 대한 레벨이 변경되지 않은 상태로 유지된다는 점에서 놀랍습니다. 이 길을 따라 이동하면 올라가지도 내려가지도 않습니다.

그리고 경로의 끝, 즉 지점에서 시작점과 관련하여 우리가 어떻게 든 신비롭게 상상할 수 없을 정도로 수직으로 올라 갔다는 것을 찾지 못하면 모든 것이 잘되고 친숙 할 것입니다!

이런 역설적인 결과가 나오려면 이 경로를 선택해야 하고, 수평면을 기준으로 레벨까지 모니터링해야 하는데... 쉽지 않은 작업입니다. 그녀의 결정에서 Escher는 물을 구했습니다. Franz Schubert의 멋진 보컬 사이클 "The Beautiful Miller's Woman"에서 움직임에 대한 노래를 기억해 봅시다.

그리고 처음에는 상상 속에서 그리고 훌륭한 주인의 손에 의해 맨손으로 건조한 구조물이 깨끗하고 빠른 물줄기가 흐르는 수로로 변합니다. 그들의 움직임은 우리의 시선을 사로 잡았고 이제 우리는 우리의 의지에 반하여 경로의 모든 굴곡과 굴곡을 따라 하류로 돌진하고 우리가 부수는 개울과 함께 물 방앗간 블레이드에 떨어진 다음 다시 하류로 돌진합니다 .. .

우리는이 길을 한 번, 두 번, 세 번째로 돌고 나서야 깨닫습니다. 아래로 이동하고 s, 우리는 어떻게 든 환상적인 방법으로위로 올라가자! 초기의 놀라움은 일종의 지적 불편함으로 발전합니다. 우리는 어떤 종류의 장난의 희생자가 된 것 같고, 아직 이해되지 않은 어떤 종류의 농담의 대상이 된 것 같습니다.

그리고 다시 우리는 이상한 도관을 따라 이 길을 반복합니다. 이제 천천히, 마치 역설적인 그림에서 포착되는 것을 두려워하는 것처럼 조심스럽게 이 신비한 길에서 일어나는 모든 일을 비판적으로 인식합니다.

우리를 놀라게 한 미스터리를 풀기 위해 노력하고 있으며, 그 근저에 놓여 상상할 수 없는 회오리바람을 끊임없이 움직이게 하는 숨겨진 샘을 찾을 때까지 우리는 그 포로에서 벗어날 수 없습니다.

작가는 자신의 그림이 실제 3차원 물체의 이미지라는 인식을 구체적으로 강조하고 부과한다. 3차원성은 타워의 실제 다면체 이미지, 수로 벽의 각 벽돌을 가장 정확하게 표현한 벽돌, 배경에 정원이 있는 상승 테라스로 강조됩니다. 모든 것은 시청자에게 일어나고 있는 일의 현실을 확신시키도록 설계되었습니다. 그리고 예술과 뛰어난 기술 덕분에 이 목표를 달성했습니다.

의식이 떨어지는 포로에서 벗어날 때 우리는 비교, 비교, 분석을 시작하고이 그림의 출처가 디자인 기능에 숨겨져 있음을 발견합니다.

그리고 우리는 "불가능한 삼각형"의 불가능성에 대한 "물리적"증거를 하나 더 얻었습니다. 그러한 삼각형이 존재한다면 본질적으로 영구 운동 기계 인 Escher의 "폭포"도 존재할 것입니다. 그러나 영구 운동 기계는 불가능하므로 "불가능한 삼각형"도 불가능합니다. 그리고 아마도이 "증거"가 가장 설득력이 있습니다.

무엇이 모리츠 에셔를 현상, 즉 예술의 명백한 선구자가 없고 모방할 수 없는 독특한 인물로 만들었습니까? 평면과 볼륨의 조합입니다. 세심한 주의기괴한 형태의 마이크로 세계-살아있는 것과 살아 있지 않은 것, 평범한 것에 대한 특이한 관점까지. 그의 구성의 주요 효과는 친숙한 대상 사이의 불가능한 관계의 출현 효과입니다. 첫눈에 이러한 상황은 두렵고 미소를 지을 수 있습니다. 작가가 선사하는 재미를 흐뭇하게 바라볼 수도 있고, 변증법의 깊이에 진지하게 빠져들 수도 있다.

Moritz Escher는 세상이 우리가 보는 것과 전혀 다를 수 있으며 인식하는 데 익숙하다는 것을 보여주었습니다. 단지 다른 새로운 각도에서 세상을 바라보기만 하면 됩니다!

모리츠 에셔

Moritz Escher는 예술가보다 과학자로서 더 운이 좋았습니다. 그의 판화와 석판화는 상식을 거스르는 정리나 원래의 반례를 증명하는 열쇠로 여겨졌습니다. 최악의 경우 결정학, 그룹 이론, 인지 심리학 또는 컴퓨터 그래픽에 관한 과학 논문의 훌륭한 삽화로 인식되었습니다. Moritz Escher는 시공간 관계와 그 정체성 분야에서 일했으며 모자이크의 기본 패턴을 사용하여 변형을 적용했습니다. 이것 거장 착시. Escher의 판화는 공식의 세계가 아니라 세상의 아름다움을 묘사합니다. 그들의 지적 창고는 근본적으로 초현실주의자들의 비논리적인 창작물에 반대됩니다.

네덜란드 예술가 Moritz Cornelius Escher는 1898년 6월 17일 네덜란드 지방에서 태어났습니다. Escher가 태어난 집은 현재 박물관입니다.

1907년부터 Moritz는 목공과 피아노 연주를 공부했으며 고등학교. 모리츠는 그림을 제외한 모든 과목에서 성적이 좋지 않았다. 미술 선생님은 소년의 재능을 알아차리고 그에게 목판화 만드는 법을 가르쳤습니다.

1916년, 에셔는 그의 아버지 G. A. 에셔의 초상화인 보라색 리놀륨 판화로 첫 번째 그래픽 작업을 수행합니다. 그는 인쇄기를 가지고 있던 예술가 Gert Stiegemann의 작업장을 방문합니다. Escher의 첫 판화는 이 기계로 인쇄되었습니다.

1918-1919년에 Escher는 네덜란드 도시인 Delft에 있는 Technical College에 다녔습니다. 그는 학업을 계속하기 위해 병역을 유예 받았지만 건강이 좋지 않아 Moritz는 대처할 수 없었습니다. 과정, 퇴학당했습니다. 결과적으로 받은 적이 없다. 고등 교육. 그는 하를렘의 건축 및 장식 학교에서 공부하며 Escher의 삶과 작품에 조형적인 영향을 준 Samuel Jeserin de Mesquite에게서 드로잉 레슨을 받습니다.

1921년에 에셔 가족은 리비에라와 이탈리아를 방문했습니다. 지중해 기후의 초목과 꽃에 매료된 Moritz는 선인장과 올리브 나무를 자세히 그렸습니다. 그는 나중에 그의 작업의 기초가 된 산 풍경의 많은 스케치를 스케치했습니다. 나중에 그는 끊임없이 이탈리아로 돌아와 그에게 영감의 원천이 될 것입니다.

Escher는 자신을 위해 새로운 방향으로 실험을 시작하지만 그의 작품에는 거울 이미지, 수정 모양 및 구체가 있습니다.

20년대 말은 Moritz에게 매우 유익한 시기였습니다. 그의 작품은 네덜란드의 여러 전시회에서 선보였으며 1929년까지 그의 인기는 네덜란드와 스위스에서 1년에 5번의 개인전이 열릴 정도로 인기를 끌었습니다. Escher의 그림이 처음으로 기계적이고 "논리적"이라고 불린 것은 이 기간 동안이었습니다.

Asher는 여행을 많이 합니다. 이탈리아와 스위스, 벨기에에 거주합니다. 그는 무어 모자이크를 연구하고 석판화, 판화를 만듭니다. 여행 스케치를 바탕으로 그는 불가능한 현실에 대한 첫 번째 그림을 만듭니다. 거리가 있는 정물.

30년대 후반에 Escher는 계속해서 모자이크와 변형을 실험했습니다. 그는 그림 "낮과 밤"의 기초가 된 서로를 향해 날아가는 두 마리의 새 형태로 모자이크를 만듭니다.

1940년 5월 나치는 네덜란드와 벨기에를 점령했고, 5월 17일에는 당시 에셔와 그의 가족이 살던 브뤼셀도 점령지로 함락되었다. 그들은 바르나에서 집을 찾아 1941년 2월에 그곳으로 이사합니다. 그의 생애가 끝날 때까지 Escher는 이 도시에 살 것입니다.

1946년 에셔는 그라비어 인쇄 기술에 관심을 갖게 되었습니다. 그리고 이 기술은 이전에 Escher가 사용했던 것보다 훨씬 더 복잡하고 그림을 만드는 데 더 많은 시간이 필요했지만 결과는 인상적이었습니다. 가는 선과 정확한 그림자 재현입니다. 가장 많은 것 중 하나 유명한 작품그라비아 인쇄에서 "Dewdrop"은 1948년에 완성되었습니다.

1950년 Moritz Escher는 강사로 인기를 얻었습니다. 그러다가 1950년 미국에서 첫 개인전을 열면서 그의 작품이 팔리기 시작했다. 1955년 4월 27일 모리츠 에셔는 기사 작위를 받고 귀족이 됩니다.

1950년대 중반, 에셔는 무한대에 이르는 형상과 모자이크를 결합합니다.

60년대 초, 에셔의 작품이 수록된 첫 번째 책인 Grafiek en Tekeningen이 출판되었으며, 여기에는 작가 자신이 76개의 작품에 대해 논평했습니다. 이 책은 러시아와 캐나다의 일부를 포함하여 수학자 및 결정학자의 이해를 돕는 데 도움이 되었습니다.

1960년 8월 에셔는 케임브리지 대학에서 결정학 강의를 했다. Escher 작업의 수학적 및 결정학적 측면은 매우 인기를 얻고 있습니다.

이후 1970년 새로운 시리즈 Escher의 작업은 다음으로 이전되었습니다. 새 집작업실이 있었지만 건강이 좋지 않아 열심히 일할 수 없었습니다.

Moritz Escher는 1971년 73세의 나이로 사망했습니다. Escher는 The World of M.C. Escher가 다음으로 번역되는 것을 볼 수 있을 만큼 오래 살았습니다. 영어그리고 그것에 매우 만족했습니다.

수학자 및 프로그래머의 웹 사이트에서 다양한 불가능한 그림을 찾을 수 있습니다. 최대 풀 버전우리가 본 것 중 우리 의견으로는 Vlad Alekseev의 사이트입니다.

이 사이트는 다양한 유명한 그림, M. Escher뿐만 아니라 애니메이션 이미지, 불가능한 동물의 재미있는 그림, 동전, 우표 등 이 사이트는 살아 있으며 주기적으로 업데이트되고 놀라운 그림으로 보충됩니다.

사다리, 삼각형 및 x- 갈래와 같은 몇 가지 불가능한 수치가 발명되었습니다. 이 수치는 실제로 3차원 이미지에서 상당히 실제적입니다. 그러나 예술가가 종이에 볼륨을 투사하면 물체는 불가능해 보입니다. "트라이바"라고도 불리는 삼각형은 노력하면 불가능이 어떻게 가능해 지는지를 보여주는 훌륭한 예가 되었습니다.

이 모든 수치는 아름다운 환상입니다. 인간 천재의 업적은 임프 아트 스타일로 그림을 그리는 예술가들이 사용합니다.

불가능한 것은 없습니다. Penrose Triangle에 대해서도 마찬가지입니다. 이것은 요소를 연결할 수 없는 기하학적으로 불가능한 도형입니다. 그래도 불가능한 삼각형이 가능해졌습니다. 스웨덴 화가 오스카 로이터스베르드는 1934년 불가능한 정육면체 삼각형을 세상에 선보였습니다. O. Reutersvärd는 이 착시의 발견자로 간주됩니다. 이 행사를 기념하여, 우표스웨덴은 나중에 이 그림을 인쇄했습니다.

그리고 1958년에 수학자 로저 펜로즈는 불가능한 숫자에 관한 출판물을 영문 저널에 발표했습니다. 환상의 과학적 모델을 만든 사람은 바로 그 사람이었습니다. Roger Penrose는 놀라운 과학자였습니다. 그는 상대성 이론과 매혹적인 양자 이론을 연구했습니다. 그는 S. Hawking과 함께 Wolf Prize를 수상했습니다.

이 기사의 영향을 받아 예술가 Maurits Escher가 그의 놀라운 작품 인 석판화 "폭포"를 그린 것으로 알려져 있습니다. 그러나 펜로즈 삼각형을 만드는 것이 가능합니까? 가능하다면 어떻게 할까요?

부족과 현실

그 수치는 불가능한 것으로 간주되지만 자신의 손으로 펜로즈 삼각형을 만드는 것이 그 어느 때보 다 쉬워졌습니다. 종이로 만들 수 있습니다. 종이 접기 애호가는 트라이 바를 무시할 수 없었지만 이전에는 과학자의 터무니없는 환상처럼 보였던 것을 만들고 손에 쥐는 방법을 찾았습니다.

그러나 세 개의 수직선에서 입체 물체의 투영을 볼 때 우리는 자신의 눈에 속습니다. 실제로는 그렇지 않지만 관찰자에게는 삼각형이 보이는 것 같습니다.

DIY 기하학

말했듯이 Tribar 삼각형은 실제로 삼각형이 아닙니다. 펜로즈 삼각형은 환상입니다. 특정 각도에서만 개체가 정삼각형처럼 보입니다. 그러나 자연 형태의 물체는 정육면체의 3면입니다. 이러한 등각투영에서는 두 개의 각도가 평면에서 일치합니다. 관찰자로부터 가장 가까운 각도와 먼 각도입니다.

물론 착시 현상은 이 물체를 집는 순간 빠르게 드러납니다. 그리고 그림자는 또한 착시를 드러내는데, 트라이바의 그림자는 현실에서 각도가 일치하지 않음을 분명히 보여주기 때문입니다.

종이 트라이바. 계획

자신의 손으로 종이에서 펜로즈 삼각형을 만드는 방법은 무엇입니까? 이 모델에 대한 회로도가 있습니까? 지금까지 이러한 불가능한 삼각형을 접기 위해 2가지 레이아웃이 발명되었습니다. 기하학의 기초는 물체를 접는 방법을 정확하게 알려줍니다.

자신의 손으로 Penrose 삼각형을 접으려면 10-20 분만 할당하면됩니다. 다이어그램이 인쇄되는 여러 컷 및 종이에 대한 접착제, 가위를 준비해야합니다.

이러한 공백에서 가장 인기있는 불가능한 삼각형을 얻습니다. 종이접기 공예는 만들기가 그리 어렵지 않습니다. 따라서 기하학을 공부하기 시작한 남학생에게도 처음으로 확실히 나올 것입니다.

보시다시피 아주 멋진 공예품으로 밝혀졌습니다. 두 번째 공백은 다르게 보이고 다르게 접히지만 Penrose 삼각형 자체는 결국 동일하게 보입니다.

종이 펜로즈 삼각형을 만드는 단계.

2개의 공란 중 편리한 것을 선택하고 파일을 복사한 후 인쇄하십시오. 여기서는 조금 더 쉽게 수행되는 두 번째 레이아웃 모델의 예를 제공합니다.

Tribar 종이접기 블랭크 자체에는 이미 필요한 모든 팁이 포함되어 있습니다. 실제로 회로에 대한 지침은 필요하지 않습니다. 두꺼운 종이 캐리어에 다운로드하는 것만으로도 충분합니다. 그렇지 않으면 작업이 불편하고 그림이 작동하지 않습니다. 판지에 즉시 인쇄하는 것이 불가능한 경우 새 재료에 스케치를 첨부하고 윤곽선을 따라 그림을 잘라야 합니다. 편의상 종이 클립으로 고정할 수 있습니다.

다음에 무엇을할지? 자신의 손으로 Penrose 삼각형을 단계별로 접는 방법은 무엇입니까? 다음 실행 계획을 따라야 합니다.

우리는 지시 반대쪽지침에 따라 구부리려는 선을 가위로 자릅니다. 모든 선 구부리기
필요한 경우 절단합니다.
우리는 PVA의 도움으로 부품을 하나의 전체로 고정시키려는 조각을 붙입니다.

완성 된 모델은 어떤 색상으로도 다시 칠할 수 있으며 미리 작업을 위해 컬러 판지를 가져갈 수 있습니다. 하지만 그 물건이 백지로 만들어졌다고 해도 어쨌든 처음으로 거실에 들어오는 모든 사람들은 그런 공예품에 확실히 낙담할 것입니다.

삼각형 패턴

펜로즈 삼각형을 그리는 방법? 모든 사람이 종이 접기를 좋아하는 것은 아니지만 많은 사람들이 그림 그리기를 좋아합니다.

우선 모든 크기의 일반 사각형이 표시됩니다. 그런 다음 내부에 삼각형이 그려지며 그 기초는 사각형의 아래쪽입니다. 작은 직사각형이 각 모서리에 맞고 모든면이 지워집니다. 삼각형에 인접한 면만 남습니다. 이것은 선을 똑바로 유지하는 데 필요합니다. 모서리가 잘린 삼각형이 나옵니다.

다음 단계는 두 번째 차원의 이미지입니다. 상단 하단 모서리의 왼쪽에서 엄격한 직선이 그려집니다. 동일한 선을 왼쪽 하단 모서리부터 시작하여 첫 번째 측정 선 2까지 약간 가져오지 않습니다. 또 다른 선은 주요 그림의 아래쪽에 평행한 오른쪽 모서리에서 그립니다.

마지막 단계는 세 개의 작은 선을 더 사용하여 두 번째 차원 안에 세 번째 차원을 그리는 것입니다. 작은 선들은 2차원의 선에서 시작하여 3차원 볼륨의 이미지를 완성한다.

다른 펜로즈 수치

같은 비유로 정사각형이나 육각형과 같은 다른 모양을 그릴 수 있습니다. 환상이 유지됩니다. 그러나 여전히 이러한 수치는 더 이상 그렇게 놀랍지 않습니다. 이러한 폴리곤은 심하게 뒤틀린 것처럼 보입니다. 최신 그래픽을 사용하면 유명한 삼각형의 더 흥미로운 버전을 만들 수 있습니다.

삼각형 외에도 펜로즈 계단도 세계적으로 유명합니다. 아이디어는 사람이 시계 방향으로 움직일 때 계속 위쪽으로 움직이고 시계 반대 방향으로 움직이면 아래쪽으로 움직이는 것처럼 보이도록 눈을 속이는 것입니다.

연속 계단은 M. Escher의 그림 Ascending and Descent와 관련하여 더 잘 알려져 있습니다. 흥미롭게도, 사람이 이 환상적인 계단의 4개 층을 모두 통과할 때, 그는 항상 출발한 곳에서 끝납니다.

불가능한 막대와 같은 다른 물체는 인간의 마음을 오도하는 것으로 알려져 있습니다. 또는 모서리가 교차하는 동일한 착시 법칙에 따라 만들어진 상자. 그러나이 모든 물체는 놀라운 과학자 인 Roger Penrose의 기사를 기반으로 이미 발명되었습니다.

퍼스의 불가능한 삼각형

수학자 이름을 딴 그림이 존경받습니다. 그녀는 기념비를 세웠습니다. 1999년 호주(퍼스)의 한 도시에 높이 13m의 대형 알루미늄 펜로즈 삼각형이 설치되었습니다. 관광객들은 알루미늄 거인 옆에서 기꺼이 사진을 찍습니다. 그러나 사진에 대해 다른 각도를 선택하면 속임수가 분명해집니다.

감독자

수학 교사

1. 소개 .........................................................................................3

2. 역사적 배경...........................................................4

3. 주요 부분 ..................................................7

4. 펜로즈 삼각형의 불가능성 증명 ...... 9

5. 결론 ..................................................................................11

6. 문헌 .................................................................. 12

관련성:수학은 처음부터 끝까지 공부하는 과목입니다. 졸업반. 많은 학생들이 그것이 어렵고 흥미롭지 않으며 불필요하다고 생각합니다. 그러나 교과서 페이지 너머를보고 추가 문헌, 수학적 궤변 및 역설을 읽으면 수학에 대한 아이디어가 바뀌고 학교 수학 과정에서 공부하는 것보다 더 많이 공부하고 싶은 욕구가 생길 것입니다.

작업의 목표:

불가능한 도형의 존재가 시야를 넓히고 공간적 상상력을 키울 수 있음을 보여주기 위해 수학자뿐만 아니라 예술가들도 사용합니다.

작업 :

1. 이 주제에 관한 문헌을 연구하십시오.

2. 불가능한 도형을 고려하고, 불가능한 삼각형의 모델을 만들고, 불가능한 삼각형이 평면에 존재하지 않음을 증명합니다.

3. 불가능한 삼각형을 펼치십시오.

4. 미술에서 불가능한 삼각형을 사용하는 예를 고려하십시오.

소개

역사적으로 수학은 시각 예술, 특히 평면 캔버스나 종이에 3차원 장면을 사실적으로 묘사하는 관점의 묘사에서 중요한 역할을 했습니다. 현대의 견해에 따르면, 수학과 미술서로 매우 먼 분야, 첫 번째는 분석적, 두 번째는 감정적입니다. 수학은 대부분의 직업에서 분명한 역할을 하지 않습니다. 현대 미술사실, 많은 예술가들은 원근법을 거의 또는 전혀 사용하지 않습니다. 그러나 수학에 집중하는 예술가들이 많이 있습니다. 시각 예술 분야의 몇몇 중요한 인물들이 이들을 위한 길을 닦았습니다.

실제로 사용에 대한 규칙이나 제한은 없습니다. 다양한 주제불가능한 도형, 뫼비우스의 띠, 왜곡 또는 특이한 원근법, 프랙탈과 같은 수학 예술에서.

불가능한 수치의 역사

불가능한 수치는 불규칙한 복합물에 연결된 규칙적인 조각으로 구성된 일종의 수학적 역설입니다. "불가능한 물체"라는 용어의 정의를 공식화하려고 하면 아마도 다음과 같이 들릴 것입니다. 물리적으로 가능한 수치가 불가능한 형태로 조립됩니다. 그러나 그것들을 보는 것이 훨씬 더 즐겁고 정의를 작성합니다.

공간 구성의 오류는 천년 전 예술가들에게 발생했습니다. 그러나 불가능한 물체를 만들고 분석한 최초의 사람은 1934년에 그림을 그린 스웨덴 예술가 Oscar Reutersvärd로 간주됩니다. 9개의 큐브로 구성된 첫 번째 불가능한 삼각형.

Reutersvärd 삼각형

Reutersvaerd와는 별도로 영국의 수학자이자 물리학자인 Roger Penrose는 불가능한 삼각형을 재발견하고 1958년 British Psychological Journal에 그 이미지를 게시합니다. 환상은 "거짓 관점"을 사용합니다. 때로는 그러한 관점을 중국어라고 하는데, 드로잉의 깊이가 "모호"할 때 유사한 드로잉 방식이 중국 예술가의 작품에서 종종 발견되기 때문입니다.

에셔 폭포

1961년 네덜란드인 M. Escher, 영감 불가능한 삼각형 Penrose는 유명한 석판화 "폭포"를 만듭니다. 그림 속 물은 끝없이 흐르고, 물레방아를 지나면 더 나아가 원점으로 다시 떨어진다. 사실 이것은 영구 운동 기계의 이미지이지만 실제로 이러한 디자인을 구축하려는 시도는 실패할 운명입니다.

불가능한 인물의 또 다른 예는 모스크바 지하철의 특이한 계획을 묘사하는 그림 "모스크바"에 나와 있습니다. 처음에는 이미지를 전체적으로 인식하지만 개별 선을 눈으로 추적하면 그 존재가 불가능하다는 것을 확신합니다.

« 모스크바”, 그래픽(잉크, 연필), 50x70 cm, 2003

"Three snails"를 그리는 것은 두 번째로 유명한 불가능한 인물인 불가능한 입방체(상자)의 전통을 이어갑니다.

"세마리 달팽이" 임파서블 큐브

다양한 사물의 조합은 그다지 심각하지 않은 "IQ"(지능 지수) 수치에서도 찾아볼 수 있습니다. 어떤 사람들은 그들의 의식이 평면 그림과 3차원 물체를 식별할 수 없다는 사실 때문에 불가능한 물체를 인식하지 못한다는 것이 흥미롭습니다.

Donald Simanek은 시각적 역설을 이해하는 것이 최고의 수학자, 과학자 및 예술가가 소유한 창의성의 특징 중 하나라고 말했습니다. 역설적 개체를 사용한 많은 작업은 "지적 수학 게임"으로 분류할 수 있습니다. 현대 과학은 세계의 7차원 또는 26차원 모델을 말합니다. 수학 공식의 도움을 통해서만 그러한 세계를 모델링하는 것이 가능하며 사람은 단순히 그것을 상상할 수 없습니다. 이것은 불가능한 수치가 유용한 곳입니다.

세 번째로 인기있는 불가능한 인물은 Penrose가 만든 놀라운 계단입니다. 계속해서 상승(반시계 방향)하거나 하강(시계 방향)합니다. 펜로즈 모델은 M. Escher "Up and Down"의 유명한 그림의 기초를 형성했습니다. 놀라운 펜로즈 계단

임파서블 트라이던트

"망할 포크"

구현할 수 없는 다른 개체 그룹이 있습니다. 고전적인 인물은 불가능한 삼지창 또는 "악마의 포크"입니다. 그림을 자세히 살펴보면 세 개의 치아가 점차 두 개로 바뀌어 충돌이 발생하는 것을 볼 수 있습니다. 위와 아래의 치아 수를 비교하고 개체가 불가능하다는 결론에 도달합니다. 손으로 삼지창의 윗부분을 닫으면 완전히 보입니다. 진짜 그림- 3개의 둥근 이빨. 삼지창의 아래쪽 부분을 닫으면 두 개의 직사각형 이빨이라는 실제 그림도 볼 수 있습니다. 그러나 전체 그림을 전체적으로 보면 세 개의 둥근 이빨이 점차 두 개의 직사각형 이빨로 변하는 것으로 나타났습니다.

따라서 전면과 배경이 수치는 충돌합니다. 즉, 원래 있던 전경뒤로 이동하고 배경(가운데 치아)이 앞으로 기어갑니다. 전경과 배경을 변경하는 것 외에도 이 그림에는 또 다른 효과가 있습니다. 삼지창 상단의 평평한 가장자리가 하단에서 둥글게 됩니다.

주요 부분.

삼각형- 3개의 인접한 부분으로 구성된 그림으로, 이러한 부분의 용납할 수 없는 연결을 통해 수학적 관점에서 불가능한 구조의 환상을 만듭니다. 다른 방법으로, 이 세 개의 막대는 또한 호출됩니다. 정사각형 펜로즈

이 환상의 그래픽 원리는 심리학자와 물리학자인 그의 아들 로저에 의해 공식화되었습니다. Penrouze 사각형은 3 개의 막대로 구성됩니다. 정사각형 섹션 3개의 상호 수직 방향에 위치; 각각은 다음 직각으로 연결되며 모두 3차원 공간에 맞습니다. 다음은 펜로즈 사각형의 아이소메트릭 뷰를 그리는 방법에 대한 간단한 레시피입니다.

측면에 평행한 선을 따라 정삼각형의 모서리를 자릅니다.

자른 삼각형 내부의 변에 평행선을 그립니다.

모서리를 다시 다듬습니다.

다시 한 번 평행선 내부를 그립니다.

· 모서리 중 하나에 있는 두 개의 큐브 중 하나를 상상해 보십시오.

· L자 모양의 "물건"으로 계속하십시오.

이 디자인을 원으로 실행하십시오.

다른 정육면체를 선택하면 정방형이 다른 방향으로 "비틀어질" 것입니다. .

불가능한 삼각형의 개발.

브레이크 라인

절단선

불가능한 삼각형을 구성하는 요소는 무엇입니까? 보다 정확하게는 어떤 요소에서 우리에게 보이는 것입니까? (보이는 것 같습니다!) 내장? 디자인은 두 개의 동일한 직사각형 막대를 직각으로 연결하여 얻은 직사각형 모서리를 기반으로 합니다. 세 개의 이러한 모서리가 필요하므로 막대는 6개입니다. 이러한 모서리는 닫힌 체인을 형성하도록 특정 방식으로 서로 시각적으로 "연결"되어야 합니다. 불가능한 삼각형이 발생합니다.

이제 공간의 다른 지점에서 그림을 비눗물처럼 보도록 합시다(또는 실제 와이어 모델을 만드십시오). 한 지점에서 다른 지점에서 세 번째 지점에서 어떻게 보이는지 상상해보십시오 ... 관측 지점을 변경할 때 (또는-동일한-구조가 공간에서 회전 할 때) 두 개의 "끝"가장자리가 우리의 모서리는 서로 상대적으로 움직입니다. 연결될 위치를 찾는 것은 어렵지 않습니다 (물론이 경우 가까운 모서리가 긴 모서리보다 두껍게 보일 것입니다).

그러나 리브 사이의 거리가 모서리에서 우리가 구조를 보고 있는 지점까지의 거리보다 훨씬 작다면 두 리브는 동일한 두께를 갖게 되며 이 두 리브가 실제로는 하나라는 생각이 떠오를 것입니다. 서로의 연속.

그건 그렇고, 거울의 구조 표시를 동시에 보면 거기에 폐쇄 회로가 표시되지 않습니다.

그리고 선택된 관찰 지점에서 우리는 일어난 기적을 우리 눈으로 직접 봅니다. 세 모서리의 닫힌 사슬이 있습니다. 이 환상 (사실 환상입니다!) 이 무너지지 않도록 관찰 지점을 변경하지 마십시오. 이제 보이는 물체를 그리거나 카메라 렌즈를 찾은 지점에 놓고 불가능한 물체의 사진을 얻을 수 있습니다.

Penroses는이 현상에 처음으로 관심을 갖게되었습니다. 그들은 3차원 공간과 3차원 물체를 2차원 평면에 매핑할 때(즉, 디자인할 때) 발생하는 가능성을 사용하고 일부 디자인 불확실성에 주목했습니다. 세 모서리의 열린 디자인은 닫힌 것으로 인식될 수 있습니다. 회로.

이미 언급했듯이 가장 간단한 모델은 와이어로 쉽게 만들 수 있으며 이는 원칙적으로 관찰된 효과를 설명합니다. 곧은 철사 조각을 3등분으로 나눕니다. 그런 다음 중간 부분과 직각을 이루도록 극단 부분을 구부리고 서로에 대해 900도 회전합니다. 이제 이 조각상을 돌려 한 눈으로 관찰하십시오. 특정 위치에서는 닫힌 와이어 조각으로 형성된 것처럼 보입니다. 테이블 램프를 켜면 공간에서 그림의 특정 위치에서 삼각형으로 변하는 테이블에 그림자가 떨어지는 것을 볼 수 있습니다.

그러나이 디자인 기능은 다른 상황에서 볼 수 있습니다. 와이어 링을 만든 다음 다른 방향으로 펼치면 원통형 나선형이 한 번 회전합니다. 이 루프는 물론 열려 있습니다. 하지만 평면에 투사하면 닫힌 선이 생길 수 있습니다.

우리는 다시 한 번 평면에 대한 투영이 도면에 따라 입체적인 모습이 모호하게 복원되는 것을 보았습니다. 즉, 투영에는 "불가능한 삼각형"을 발생시키는 약간의 모호함과 절제가 포함되어 있습니다.

그리고 다른 많은 사람들과 마찬가지로 Penroses의 "불가능한 삼각형"이라고 말할 수 있습니다. 착시, 일치합니다 논리적 역설그리고 말장난.

펜로즈 삼각형의 불가능성 증명

평면에 있는 3차원 물체의 2차원 이미지의 특징을 분석하여 이 디스플레이의 특징이 어떻게 불가능한 삼각형으로 이어지는지 이해했습니다.

불가능한 삼각형이 존재하지 않는다는 것을 증명하는 것은 매우 쉽습니다. 각 각이 옳고 그 합이 "배치된" 1800이 아니라 2700이기 때문입니다.

또한 900도 미만의 꼭지점에서 붙인 불가능한 삼각형을 고려하더라도 이 경우 불가능한 삼각형이 존재하지 않는다는 것을 증명할 수 있습니다.

여러 부분으로 구성된 또 다른 삼각형을 고려하십시오. 구성 요소가 다르게 배열되면 정확히 동일한 삼각형을 얻을 수 있지만 작은 결함이 하나 있습니다. 사각형 하나가 누락됩니다. 이것이 어떻게 가능한지? 아니면 그저 착각일 뿐인가.

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지각 현상을 이용하여

불가능 효과를 높일 수 있는 방법이 있습니까? 일부 개체는 다른 개체보다 "불가능"합니까? 그리고 여기에서 기능이 구출됩니다. 인간의 지각. 심리학자들은 눈이 왼쪽 아래 모서리에서 물체(그림)를 조사하기 시작한 다음 시선이 오른쪽 중앙으로 미끄러져 그림의 오른쪽 아래 모서리로 내려간다는 사실을 확인했습니다. 그러한 궤적은 우리 조상들이 적을 만났을 때 먼저 가장 위험한 오른손을 본 다음 시선이 왼쪽, 얼굴과 그림으로 이동했기 때문일 수 있습니다. 따라서, 예술적 인식그림의 구성이 어떻게 구성되는지에 따라 크게 달라집니다. 중세의 이 특징은 태피스트리 제조에서 분명히 나타났습니다. 미러 이미지태피스트리와 원본의 인상이 다릅니다.

이 속성은 "불가능한 정도"를 높이거나 낮추면서 불가능한 개체로 생성을 만들 때 성공적으로 사용할 수 있습니다. 또한 다음과 같은 전망을 열어줍니다. 흥미로운 구성컴퓨터 기술을 사용하거나 여러 그림을 회전하여(아마도 다른 종류의대칭) 하나는 다른 하나에 상대적으로 대상에 대한 다른 인상을 만들고 개념의 본질에 대한 더 깊은 이해를 생성하거나 특정 각도에서 간단한 메커니즘의 도움으로 회전하는 것에서 (지속적으로 또는 갑작스럽게) 회전합니다.

이러한 방향을 다각형(polygonal)이라고 할 수 있습니다. 그림은 서로 상대적으로 회전된 이미지를 보여줍니다. 구성은 다음과 같이 생성되었습니다. 잉크와 연필로 만든 종이에 그림을 스캔하고 디지털화하여 그래픽 편집기. 규칙성을 확인할 수 있습니다. 회전된 그림은 원래 그림보다 "불가능한 정도"가 더 큽니다. 이것은 쉽게 설명됩니다. 작업 과정에서 아티스트는 "올바른"이미지를 만들기 위해 무의식적으로 노력합니다.

결론

다양한 수학적 수치와 법칙의 사용은 위의 예에 국한되지 않습니다. 위의 모든 수치를 주의 깊게 연구하면 이 기사에 언급되지 않은 다른 수치를 찾을 수 있습니다. 기하학체또는 수학적 법칙의 시각적 해석.

오늘날 수학적 시각 예술이 번성하고 있으며 많은 예술가들이 Escher 스타일과 자신의 방식으로 그림을 만듭니다. 자기 스타일. 이 예술가들은 조각, 평면 및 3차원 표면에 페인팅, 석판 인쇄 및 컴퓨터 그래픽. 그리고 수학적 예술의 가장 인기 있는 주제는 다면체, 불가능한 도형, 뫼비우스 띠, 왜곡된 원근법 및 프랙탈입니다.

결론:

1. 따라서 불가능한 형상에 대한 고려는 우리의 공간적 상상력을 발전시키고 평면에서 3차원 공간으로 "나가는" 데 도움이 되어 입체 측정 연구에 도움이 될 것입니다.

2. 불가능한 도형의 모형은 평면에 대한 투영을 고려하는 데 도움이 됩니다.

3. 수학적 궤변과 역설에 대한 고찰은 수학에 대한 흥미를 불러일으킨다.

이 작업을 할 때

1. 불가능한 도형이 어떻게, 언제, 어디서, 누구에 의해 처음으로 고려되었는지, 그런 도형이 많다는 것을 알게 되었고, 예술가들은 끊임없이 이러한 도형을 묘사하려고 노력하고 있습니다.

2. 나는 아빠와 함께 불가능한 삼각형의 모델을 만들고 평면에 투영된 것을 조사하고 이 그림의 역설을 보았습니다.

3. 이 인물들을 묘사한 예술가들의 복제품 검토

4. 내 공부는 급우들에게 관심이 있었다.

앞으로는 습득한 지식을 수학 수업에 활용하고 관심이 있었는데 다른 패러독스도 있나요?

문학

1. 후보자 기술 과학 D. 라코프 불가능한 수치의 역사