namai › Variklis › Ką reikia žinoti apie Penrose trikampį? Penrose trikampis. Sukurkite neįmanomą trikampį Kaip sukurti neįmanomą trikampio iliuziją

Ką reikia žinoti apie Penrose trikampį? Penrose trikampis. Sukurkite neįmanomą trikampį Kaip sukurti neįmanomą trikampio iliuziją

Sveikinimai mieli skaitytojai tinklaraščio svetainė. Rustamas Zakirovas susisiekia ir turiu jums dar vieną straipsnį, kurio tema – kaip nupiešti Penrose trikampį. Šiandien noriu parodyti, kaip lengva nupiešti neįmanomą trikampį. Nupiešime du šio trikampio brėžinius, vienas bus paprastas, o antrasis bus tikras 3D piešinys. Ir visa tai bus stebėtinai paprasta. Galite gauti tikrą šio trikampio 3D piešinį. Abejoju, ar tai jums bus parodyta kur nors kitur, todėl perskaitykite straipsnį iki galo ir labai atidžiai.

Mūsų piešiniams, kaip visada, mums reikia: popieriaus lapo paprasti pieštukai(geriausia vienas „vidutinis“, „kitas minkštas“) ir keli spalvoti pieštukai arba flomasteriai.

Kaip lengva piešti bet kokius 3D brėžinius.

Iš šio įprasto paveikslėlio, kurį ką tik radau internete, ištraukiau šį neįmanomą trikampį. Štai ji.

Ir tada per porą minučių su pagalba išverčiau jį į 3D . Taigi beveik bet kurį vaizdą galite išversti į 3D. Tiems, kurie nori išmokti to paties, spauskite čia.

Ir mes pereiname prie savo piešinio.

Nupiešiame įprastą trikampio piešinį.

1 ŽINGSNIS. Verčiame iš monitoriaus ekrano.

Norėdami nupiešti trikampį, turėsite atlikti šiuos veiksmus. Jūs paimate popieriaus lapą ir atsiremiate į trikampį monitoriaus ekrane ir tiesiog išverčiate.

Ir kadangi mūsų trikampis visai nesudėtingas, pakanka visuose jo kampuose sudėti tik pagrindinius taškus.

Tada žiūrime į originalą ir sujungiame šiuos taškus liniuote. Gavau taip.

Visas mūsų trikampis yra paruoštas. Galima ir taip palikti, bet papuošime dar šiek tiek. Aš tai padariau su spalvotais pieštukais. Visiškai nudažę trikampį, vėl jį visiškai nubrėžiame paprastu minkštu pieštuku.

Šiuo atžvilgiu mūsų įprastas Penrose trikampis yra visiškai paruoštas, ir mes pereiname prie to paties trikampio.

Nubraižome 3D trikampio brėžinį.

1 ŽINGSNIS. Mes verčiame.

Mes veikiame pagal tą pačią schemą, kaip ir su įprastu modeliu. Pateikiu jums paruoštą trikampį, jau išverstą į 3D formatą. Štai jis.

Ir tu išversk. Viską darome taip pat, kaip ir su įprastu piešiniu. Jūs paimate savo lapą, atsiremiate į monitoriaus ekraną, lapas šviečia, o jūs tiesiog perkeliate gatavą 3D piešinį ant savo lapo.

Štai kas man atsitiko.

Trikampio dydis gali būti padidintas arba sumažintas. Norėdami tai padaryti, tereikia pakeisti monitoriaus skalę. Laikykite nuspaudę klavišą Ctrl ir pasukite pelės ratuką.

Galime drąsiai teigti, kad mūsų 3D piešinys jau paruoštas. Tai padaryti man prireikė maždaug 3 minučių. Tuo iš esmės galime saugiai baigti, bet dar kartą papuoškime savo trikampį.

Dmitrijus Rakovas

Mūsų akys nemato
objektų prigimtis.
Taigi neverskite jų
psichiniai kliedesiai.

Titas Lukrecijus Kar

Dažnas posakis „akių apgaulė“ iš esmės yra klaidingas. Akys negali mūsų apgauti, nes jos yra tik tarpinė grandis tarp objekto ir žmogaus smegenų. Optinė apgaulė dažniausiai kyla ne dėl to, ką matome, o dėl to, kad nesąmoningai samprotaujame ir nevalingai klystame: „pro akis, o ne akimis, protas moka žiūrėti į pasaulį“.

Viena įspūdingiausių optinio meno (op-art) meninio srauto tendencijų yra imp-art (imp-art, neįmanoma menas), paremta neįmanomų figūrų įvaizdžiu. Neįmanomi objektai – tai piešiniai plokštumoje (bet kuri plokštuma yra dvimatė), vaizduojantys erdvines struktūras, kurių egzistavimas realiame trimačiame pasaulyje neįmanomas. Klasikinė ir viena iš paprasčiausių formų yra neįmanomas trikampis.

Neįmanomame trikampyje kiekvienas kampas yra pats savaime įmanomas, tačiau iškyla paradoksas, kai žiūrime į jį kaip į visumą. Trikampio kraštinės nukreiptos ir į žiūrovą, ir nuo jo, todėl atskiros jo dalys negali suformuoti tikro trimačio objekto.

Tiesą sakant, mūsų smegenys piešinį plokštumoje interpretuoja kaip trimatį modelį. Sąmonė nustato „gylį“, kuriame yra kiekvienas vaizdo taškas. Mūsų idėjos apie realų pasaulį prieštarauja tam tikram nenuoseklumui, todėl turime daryti kai kurias prielaidas:

tiesios 2D linijos interpretuojamos kaip tiesios 3D linijos;
dvimatis lygiagrečios linijos interpretuojamos kaip trimatės lygiagrečios tiesės;
smailieji ir bukieji kampai interpretuojami kaip stačiai perspektyvoje;
išorinės linijos laikomi formos riba. Ši išorinė riba yra labai svarbi kuriant išsamų vaizdą.

Žmogaus protas pirmiausia sukuria bendrą objekto vaizdą, o paskui tiria atskiras dalis. Kiekvienas kampas yra suderinamas su erdvine perspektyva, tačiau susijungę jie sudaro erdvinį paradoksą. Jei uždarysite bet kurį iš trikampio kampų, tai neįmanoma.

Neįmanomų figūrų istorija

Su erdvinio konstravimo klaidomis menininkai susidūrė prieš tūkstantį metų. Tačiau pirmuoju neįmanomus objektus konstruojusiu ir analizavusiu laikomas švedų menininkas Oscaras Reutersvärdas, 1934 metais nupiešęs pirmąjį neįmanomą trikampį, kurį sudarė devyni kubeliai.


		„Maskva“, grafika (rašalas, pieštukas), 50x70 cm, 2003 m

Nepriklausomai nuo Reutersvaerdo, anglų matematikas ir fizikas Rogeris Penrose'as iš naujo atranda neįmanomą trikampį ir 1958 m. paskelbia jo atvaizdą British Psychology Journal. Iliuzijai naudojama „klaidinga perspektyva“. Kartais tokia perspektyva vadinama kiniška, nes panašus piešimo būdas, kai piešinio gylis yra „dviprasmiškas“, dažnai buvo aptiktas kinų menininkų darbuose.

„Trijų sraigių“ brėžinyje maži ir dideli kubeliai nėra orientuoti įprastu izometriniu vaizdu. Mažesnis kubas dera su didesniu priekinėje ir galinėje pusėse, o tai reiškia, kad, vadovaujantis trimate logika, kai kurių kraštinių matmenys yra tokie patys kaip ir didžiojo. Iš pradžių atrodo, kad piešinys yra tikras kieto kūno atvaizdas, tačiau analizuojant atsiskleidžia loginiai šio objekto prieštaravimai.

Piešimas „Trys sraigės“ tęsia antrosios garsios neįmanomos figūros – neįmanomo kubo (dėžutės) – tradicijas.


"IQ", grafika (rašalas, pieštukas), 50x70 cm, 2001 m		"Į viršų ir žemyn", M. Escher

Įvairių objektų derinį galima rasti ir ne itin rimtoje „IQ“ (intelekto koeficiento) figūroje. Įdomu tai, kad kai kurie žmonės neįmanomų objektų nesuvokia dėl to, kad jų sąmonė nesugeba atpažinti plokščių paveikslų su trimačiais objektais.

Donaldas E. Simanekas teigė, kad vizualinių paradoksų supratimas yra vienas iš tokio pobūdžio bruožų kūrybiškumas turi geriausi matematikai, mokslininkai ir menininkai. Daugelis kūrinių su paradoksaliais objektais gali būti priskirti „intelektualiems matematiniams žaidimams“. šiuolaikinis mokslas kalba apie 7 arba 26 dimensijų pasaulio modelį. Sumodeliuoti tokį pasaulį įmanoma tik matematinėmis formulėmis, žmogus tiesiog neįsivaizduoja. Ir čia jie yra naudingi. neįmanomos figūros. Filosofiniu požiūriu jie primena, kad bet kokie reiškiniai (sistemų analizėje, moksle, politikoje, ekonomikoje ir kt.) turi būti nagrinėjami visais sudėtingais ir neakivaizdžiais santykiais.

Paveiksle „Neįmanoma abėcėlė“ pristatomi įvairūs neįmanomi (ir galimi) objektai.

Trečioji populiari neįmanoma figūra – neįtikėtini Penrose'o sukurti laiptai. Jūs nuolatos kilsite (prieš laikrodžio rodyklę) arba leiskitės (pagal laikrodžio rodyklę). Penrose modelis sudarė pagrindą garsus paveikslas M. Escher "Aukštyn ir žemyn" ("Ascending and Descending").

Yra dar viena objektų grupė, kurios negalima įgyvendinti. Klasikinė figūra – neįmanomas trišakis, arba „velnio šakutė“.

Atidžiai ištyrus paveikslėlį, matosi, kad trys dantys pamažu virsta dviem vienu pagrindu, o tai sukelia konfliktą. Palyginame dantų skaičių iš viršaus ir apačios ir darome išvadą, kad objektas neįmanomas.

Ar neįmanomiems piešiniams yra daugiau naudos nei proto žaidimams? Kai kuriose ligoninėse neįmanomų objektų vaizdai yra specialiai pakabinami, nes jų tyrimas pacientus gali užimti ilgą laiką. Būtų logiška tokius piešinius kabinti prie kasų, policijoje ir kitose vietose, kur laukti savo eilės kartais užtrunka amžinai. Piešiniai galėtų veikti kaip savotiški „chronofagai“, t.y. laiko švaistytojai.

Neįmanomas trikampis yra vienas iš nuostabių matematinių paradoksų. Iš pirmo žvilgsnio į jį negalite abejoti nė sekundės. tikroji egzistencija. Tačiau tai tik iliuzija, apgaulė. O pačią tokios iliuzijos galimybę mums paaiškins matematika!

Penrosų atradimas

1958 m. British Psychological Journal paskelbė L. Penrose ir R. Penrose straipsnį, kuriame jie supažindino su naujo tipo optinė iliuzija, kurią jie pavadino „neįmanomu trikampiu“.

Vizualiai neįmanomas trikampis suvokiamas kaip struktūra, kuri iš tikrųjų egzistuoja trimatėje erdvėje ir susideda iš stačiakampių strypų. Bet tai tik optinė apgaulė. Neįmanoma sukurti tikro neįmanomo trikampio modelio.

Penrose'o straipsnyje buvo keletas neįmanomo trikampio vaizdavimo variantų. - jos „klasikinis“ pristatymas.

Kokie elementai sudaro neįmanomą trikampį?

Tiksliau, iš kokių elementų jis mums atrodo pastatytas? Dizainas pagrįstas stačiakampiu kampu, kuris gaunamas sujungiant du vienodus stačiakampius strypus stačiu kampu. Reikalingi trys tokie kampai, taigi ir strypai šeši vienetai. Šie kampai turi būti vizualiai „sujungti“ vienas su kitu tam tikru būdu, kad sudarytų uždarą grandinę. Tai, kas atsitinka, yra neįmanomas trikampis.

Padėkite pirmąjį kampą horizontalioje plokštumoje. Prie jo pritvirtinsime antrąjį kampą, nukreipdami vieną iš jo kraštų aukštyn. Galiausiai prie šio antrojo kampo pridedame trečią kampą, kad jo kraštas būtų lygiagretus pradinei horizontaliai plokštumai. Tokiu atveju du pirmojo ir trečiojo kampų kraštai bus lygiagrečiai ir nukreipti skirtingomis kryptimis.

Jei juostą laikysime vienetinio ilgio segmentu, tada pirmojo kampo strypų galai turi koordinates, o antrojo kampo - , o trečiojo - , ir. Gavome „susuktą“ struktūrą, kuri iš tikrųjų egzistuoja trimatėje erdvėje.

O dabar pabandykime į tai pažvelgti mintyse skirtingus taškus erdvė. Įsivaizduokite, kaip tai atrodo iš vieno taško, iš kito, iš trečio. Keičiant stebėjimo tašką, atrodys, kad du mūsų kampų „galiniai“ kraštai juda vienas kito atžvilgiu. Nesunku rasti poziciją, kurioje jie susijungs.

Bet jei atstumas tarp briaunų yra daug mažesnis nei atstumas nuo kampų iki taško, iš kurio mes žiūrime į savo struktūrą, tada abu šonkauliai mums bus vienodo storio ir kils mintis, kad šie du šonkauliai iš tikrųjų yra vienas kito tęsinys. Ši situacija parodyta 4.

Beje, jei vienu metu žiūrėsime į konstrukcijos atspindį veidrodyje, tai uždaros grandinės ten nepamatysime.

O iš pasirinkto stebėjimo taško savo akimis matome įvykusį stebuklą: yra uždara trijų kampų grandinė. Tik nekeisk stebėjimo taško, kad ši iliuzija nesugriūtų. Dabar galite nupiešti objektą, kurį matote, arba įdėti fotoaparato objektyvą į rastą tašką ir gauti neįmanomo objekto nuotrauką.

Penrose'ai pirmieji susidomėjo šiuo reiškiniu. Jie pasinaudojo galimybėmis, kurios atsiranda trimatę erdvę ir trimačius objektus atvaizduojant dvimatėje plokštumoje ir atkreipė dėmesį į tam tikrą dizaino neapibrėžtumą – atvira trijų kampų konstrukcija gali būti suvokiama kaip uždara grandinė.

Penrose trikampio neįmanomumo įrodymas

Analizuodami dvimačio trimačių objektų vaizdo plokštumoje ypatybes, supratome, kaip šio ekrano ypatybės veda į neįmanomą trikampį. Galbūt kam nors bus įdomus grynai matematinis įrodymas.

Įrodyti, kad neįmanomas trikampis neegzistuoja, nepaprastai lengva, nes kiekvienas jo kampas yra tiesus, o jų suma yra 270 laipsnių vietoj „padėto“ 180 laipsnių.

Be to, net jei laikysime neįmanomą trikampį, suklijuotą iš kampų, mažesnių nei 90 laipsnių, tokiu atveju galime įrodyti, kad neįmanomas trikampis neegzistuoja.

Matome tris plokščius veidus. Jie susikerta poromis tiesiomis linijomis. Plokštumos, kuriose yra šie paviršiai, yra poromis statmenos, todėl susikerta viename taške.

Be to, per šį tašką turi eiti plokštumų tarpusavio susikirtimo linijos. Todėl tiesės 1, 2, 3 turi susikirsti viename taške.

Bet taip nėra. Todėl pateikta konstrukcija neįmanoma.

„Neįmanoma“ str

Tos ar kitos idėjos likimas – mokslinis, techninis, politinis – priklauso nuo daugelio aplinkybių. Ir ne mažiau svarbu, kokia forma ši idėja bus pristatyta, kokiu vaizdu ji pasirodys plačiajai visuomenei. Ar įsikūnijimas bus sausas ir sunkiai suvokiamas, ar, priešingai, idėjos pasireiškimas bus ryškus, patraukiantis mūsų dėmesį net prieš mūsų valią.

Neįmanomas trikampis turi laimingą likimą. 1961 metais Olandų tapytojas Moritzas Escheris užbaigė litografiją, kurią pavadino kriokliu. Menininkas nuėjo ilgą, bet greitą kelią nuo neįmanomo trikampio idėjos iki nuostabaus meninio jo įkūnijimo. Prisiminkite, kad Penrose'o straipsnis pasirodė 1958 m.

„Krioklio“ centre yra du neįmanomi trikampiai. Vienas trikampis yra didelis, kitas trikampis yra jo viduje. Gali atrodyti, kad pavaizduoti trys vienodi neįmanomi trikampiai. Bet tai ne esmė, pateiktas dizainas yra gana sudėtingas.

Žvilgtelėjus paviršutiniškai, jo absurdiškumas iš karto nebus matomas visiems, nes galimas kiekvienas pateiktas ryšys. kaip sakoma, vietoje, tai yra, nedideliame piešinio plote, toks dizainas yra įmanomas ... Bet apskritai tai neįmanoma! Atskiros jos detalės nedera tarpusavyje, nesutampa viena su kita.

Ir norėdami tai suprasti, turime skirti tam tikrų intelektualinių ir vizualinių pastangų.

Leiskitės į kelionę palei konstrukcijos kraštus. Šis kelias yra nuostabus tuo, kad išilgai jo, kaip mums atrodo, lygis horizontalios plokštumos atžvilgiu išlieka nepakitęs. Judėdami šiuo keliu, nei aukštyn, nei žemyn nesileidžiame.

Ir viskas būtų gerai, pažįstama, jei tako pabaigoje - būtent taške - nerastume, kad, palyginti su pradiniu tašku, kažkaip paslaptingai nesuvokiamai pakilome į vertikalę!

Norėdami pasiekti šį paradoksalį rezultatą, turime pasirinkti šį kelią ir netgi stebėti lygį, palyginti su horizontalia plokštuma... Nelengva užduotis. Savo sprendimu Escher atėjo į pagalbą ... vandens. Prisiminkime dainą apie judesį iš nuostabaus Franzo Schuberto vokalinio ciklo „Gražioji Millerio moteris“:

Ir iš pradžių vaizduotėje, o paskui nuostabaus meistro rankose plikos ir sausos konstrukcijos virsta akvedukais, kuriais teka švarios ir sraunios vandens srovės. Jų judėjimas užfiksuoja mūsų žvilgsnį, o dabar, prieš savo valią, skubame pasroviui, sekdami visus tako posūkius ir vingius, kartu su upeliu lūžtame, krentame ant vandens malūno menčių, o paskui vėl veržiamės pasroviui. .

Apeiname šį kelią vieną, du, trečią... ir tik tada suprantame: judame žemyn ir s, kažkaip fantastišku būdu kilsim į viršų! Pirminis netikėtumas perauga į tam tikrą intelektualinį diskomfortą. Atrodo, tapome kažkokių išdaigų auka, kažkokio dar nesuprasto pokšto objektu.

Ir vėl mes kartojame šį kelią keistu kanalu, dabar lėtai, atsargiai, tarsi bijodami pagauti paradoksalaus paveikslo, kritiškai suvokdami viską, kas vyksta šiame paslaptingame kelyje.

Bandome įminti mus nustebinusią paslaptį ir negalime ištrūkti iš jos nelaisvės tol, kol nerandame paslėptos versmės, kuri slypi jos pagrindu ir įtraukia neįsivaizduojamą sūkurį į nenutrūkstamą judėjimą.

Menininkas ypatingai pabrėžia, primeta mums savo paveikslų suvokimą kaip tikrų trimačių objektų atvaizdus. Erdviškumą pabrėžia gana tikrų daugiakampių vaizdas ant bokštų, plytų mūras su tiksliausiu kiekvienos plytos atvaizdavimu akveduko sienose, kylančios terasos su sodais fone. Viskas sukurta tam, kad įtikintų žiūrovą apie tai, kas vyksta. O meno ir puikių technologijų dėka šis tikslas buvo pasiektas.

Išsiveržę iš nelaisvės, į kurią patenka mūsų sąmonė, pradedame lyginti, lyginti, analizuoti, pastebime, kad šio paveikslo pagrindas, šaltinis slypi dizaino ypatybėse.

Ir gavome dar vieną – „fizinį“ „neįmanomo trikampio“ neįmanomumo įrodymą: jei toks trikampis egzistuotų, tai egzistuotų ir Escherio „Krioklys“, kuris iš esmės yra amžinasis variklis. Tačiau amžinasis variklis neįmanomas, todėl neįmanomas ir „neįmanomas trikampis“. Ir, ko gero, šis „įrodymas“ yra įtikinamiausias.

Kas padarė Moritzą Escherį fenomenu, unikaliu žmogumi, kuris neturėjo akivaizdžių pirmtakų mene ir kurio negalima mėgdžioti? Tai plokštumų ir tūrių derinys, atidus dėmesysį keistas mikropasaulio formas – gyvas ir negyvąsias, į neįprastus požiūrius į įprastus dalykus. Pagrindinis jo kompozicijų efektas – neįmanomų santykių tarp pažįstamų objektų atsiradimo efektas. Šios situacijos iš pirmo žvilgsnio gali ir išgąsdinti, ir sukelti šypseną. Galite su džiaugsmu žiūrėti į menininko siūlomas linksmybes arba galite rimtai pasinerti į dialektikos gelmes.

Moritzas Escheris parodė, kad pasaulis gali būti visai ne toks, kokį mes jį matome ir esame įpratę jį suvokti – tereikia pažvelgti į jį kitu, nauju žvilgsniu!

Moricas Escheris

Moritzui Escheriui labiau pasisekė kaip mokslininkui nei kaip menininkui. Jo graviūros ir litografijos buvo laikomos raktais, įrodančiais teoremas arba originalius priešpriešinius pavyzdžius, kurie nepaisė sveiko proto. Blogiausiu atveju jie buvo suvokiami kaip puikios iliustracijos moksliniams kristalografijos, grupių teorijos, kognityvinės psichologijos ar kompiuterinės grafikos traktatams. Moritzas Escheris dirbo erdvės ir laiko santykių bei jų tapatumo srityje, naudojo pagrindinius mozaikų modelius, taikydamas joms transformacijas. Tai Puikus meistras Optines iliuzijos. Escherio graviūrose vaizduojamas ne formulių pasaulis, o pasaulio grožis. Jų intelektualinis sandėlis iš esmės prieštarauja nelogiškam siurrealistų kūriniui.

Olandų menininkas Moritzas Cornelius Escheris gimė 1898 m. birželio 17 d. Olandijos provincijoje. Namas, kuriame gimė Escheris, dabar yra muziejus.

Nuo 1907 m. Moritzas mokėsi dailidės ir groja fortepijonu, mokėsi pas vidurinė mokykla. Moritzo pažymiai iš visų dalykų buvo prasti, išskyrus piešimą. Dailės mokytojas pastebėjo berniuko talentą ir išmokė jį daryti medžio raižinius.

1916 metais Escheris atlieka savo pirmąjį grafikos darbą, graviūrą ant purpurinio linoleumo – savo tėvo G. A. Escherio portretą. Jis lankosi dailininko Gerto Stiegemanno dirbtuvėse, kuri turėjo spaustuvę. Šioje mašinoje buvo išspausdintos pirmosios Escher graviūros.

1918–1919 m. Escheris lankė technikos koledžą Olandijos mieste Delfte. Jis gauna atidėjimą nuo karo tarnybos, kad galėtų tęsti studijas, tačiau dėl prastos sveikatos Moritzas negalėjo susidoroti su mokymo planas, ir buvo pašalintas. Dėl to jis niekada negavo Aukštasis išsilavinimas. Jis studijuoja Architektūros ir ornamentikos mokykloje Harleme, kur ima piešimo pamokas iš Samuelio Jeserino de Mesquite'o, kuris turėjo formuojančios įtakos Escherio gyvenimui ir kūrybai.

1921 m. Escherių šeima lankėsi Rivjeroje ir Italijoje. Susižavėjęs Viduržemio jūros klimato augmenija ir gėlėmis, Moritzas padarė išsamius kaktusų ir alyvmedžių piešinius. Jis nupiešė daugybę kalnų peizažų eskizų, kurie vėliau buvo jo darbo pagrindas. Vėliau jis nuolat grįždavo į Italiją, kuri jam tapdavo įkvėpimo šaltiniu.

Escheris pradeda eksperimentuoti sau nauja kryptimi, net tada jo darbuose yra veidrodžių, krištolo figūrų ir sferų.

Dvidešimtojo dešimtmečio pabaiga Moritzui buvo labai vaisingas laikotarpis. Jo darbai buvo rodomi daugelyje parodų Olandijoje, o iki 1929 m. jo populiarumas pasiekė tokį lygį, kad per vienerius metus buvo surengtos penkios personalinės parodos Olandijoje ir Šveicarijoje. Būtent šiuo laikotarpiu Escherio paveikslai pirmą kartą buvo pavadinti mechaniniais ir „loginiais“.

Ašeris daug keliauja. Gyvena Italijoje ir Šveicarijoje, Belgijoje. Studijuoja maurų mozaikas, daro litografijas, graviūras. Remdamasis kelionių eskizais, jis sukuria savo pirmąjį neįmanomos realybės paveikslą Natiurmortas su gatve.

Trečiojo dešimtmečio pabaigoje Escher toliau eksperimentavo su mozaikomis ir transformacijomis. Jis kuria dviejų vienas kito link skrendančių paukščių pavidalo mozaiką, kuri sudarė paveikslo „Diena ir naktis“ pagrindą.

1940 metų gegužę naciai užėmė Olandiją ir Belgiją, o gegužės 17 dieną į okupacinę zoną pateko ir Briuselis, kur tuo metu gyveno Escheris ir jo šeima. Jie randa namus Varnoje ir ten persikelia 1941 m. vasarį. Iki savo dienų pabaigos Escheris gyvens šiame mieste.

1946 metais Escheris susidomėjo giliaspaudės spaudos technologija. Ir nors ši technologija buvo daug sudėtingesnė nei anksčiau naudota Escher, o paveikslui sukurti prireikė daugiau laiko, rezultatai buvo įspūdingi – plonos linijos ir tikslus šešėlių atkūrimas. Vienas is labiausiai žinomų kūrinių giliaspaude „Rasos lašas“ baigtas 1948 m.

1950 m. Moritzas Escheris išpopuliarėjo kaip dėstytojas. Tada, 1950 m., JAV buvo surengta pirmoji jo personalinė paroda ir jo darbai buvo pradėti pirkti. 1955 m. balandžio 27 d. Moritzas Escheris įšventinamas į riterius ir tampa bajoru.

Šeštojo dešimtmečio viduryje Escher derina mozaikas su figūromis, siekiančiomis begalybę.

60-ųjų pradžioje buvo išleista pirmoji knyga su Escherio darbais „Grafiek en Tekeningen“, kurioje pats autorius pakomentavo 76 kūrinius. Ši knyga padėjo įgyti supratimo tarp matematikų ir kristalografų, įskaitant kai kuriuos iš Rusijos ir Kanados.

1960 m. rugpjūčio mėn. Escheris Kembridže skaitė paskaitą apie kristalografiją. Escherio darbo matematiniai ir kristalografiniai aspektai tampa labai populiarūs.

Po 1970 m nauja serija Escherio operacijos persikėlė į naujas namas Larene, kuris turėjo studiją, tačiau dėl blogos sveikatos sunku dirbti.

Moritzas Escheris mirė 1971 m., sulaukęs 73 metų. Escheris gyveno pakankamai ilgai, kad pamatytų, kaip buvo išverstas „M.C. Escher“ pasaulis Anglų kalba ir buvo tuo labai patenkintas.

Įvairios neįmanomos nuotraukos randamos matematikų ir programuotojų svetainėse. dauguma pilna versija iš tų, kuriuos žiūrėjome, mūsų nuomone, yra Vlado Aleksejevo vieta

Ši svetainė pristato ne tik platų garsūs paveikslai, įskaitant M. Escherį, bet ir animuotus vaizdus, juokingus neįmanomų gyvūnų piešinius, monetas, pašto ženklus ir kt. Ši svetainė gyvuoja, ji periodiškai atnaujinama ir papildoma nuostabiais piešiniais.

Buvo išrastos kelios neįmanomos figūros – kopėčios, trikampis ir x-šakė. Šios figūros iš tikrųjų yra gana tikroviškos trimačiame vaizde. Tačiau kai menininkas projektuoja tūrį ant popieriaus, objektai atrodo neįmanomi. Trikampis, dar vadinamas „tribaru“, tapo nuostabiu pavyzdžiu, kaip pasistengus neįmanoma tampa įmanoma.

Visos šios figūros yra gražios iliuzijos. Žmogaus genijaus laimėjimais naudojasi menininkai, piešiantys imp art stiliumi.

Nieko nėra neįmanomo. Tą patį galima pasakyti ir apie Penrose trikampį. Tai geometriškai neįmanoma figūra, kurios elementai negali būti sujungti. Vis dėlto neįmanomas trikampis tapo įmanomas. Švedų tapytojas Oscaras Reutersvärdas 1934 metais pasauliui padovanojo neįmanomą kubų trikampį. O. Reutersvärdas laikomas šios vizualinės iliuzijos atradėju. Šio įvykio garbei, pašto ženklasŠvedija šį piešinį išspausdino vėliau.

O 1958 metais matematikas Rogeris Penrose'as paskelbė publikaciją anglų žurnale apie neįmanomus skaičius. Būtent jis sukūrė mokslinį iliuzijos modelį. Rogeris Penrose'as buvo neįtikėtinas mokslininkas. Jis tyrinėjo reliatyvumo teoriją, taip pat žavią kvantinę teoriją. Kartu su S.Hawkingu jam įteikta Vilko premija.

Yra žinoma, kad dailininkas Mauritsas Escheris, šio straipsnio įtakoje, nutapė savo nuostabų kūrinį – litografiją „Krioklys“. Bet ar įmanoma padaryti Penrose trikampį? Kaip tai padaryti, jei įmanoma?

Gentis ir realybė

Nors figūra laikoma neįmanoma, savo rankomis padaryti Penrose trikampį yra lengviau nei bet kada. Jis gali būti pagamintas iš popieriaus. Origami mėgėjai tiesiog negalėjo ignoruoti trijuosčių ir vis dėlto rado būdą, kaip sukurti ir laikyti savo rankose daiktą, kuris anksčiau atrodė kaip siaubinga mokslininko fantazija.

Tačiau mus apgauna savo akis, kai žiūrime į trimačio objekto projekciją iš trijų statmenų linijų. Stebėtojui atrodo, kad jis mato trikampį, nors iš tikrųjų taip nėra.

DIY geometrija

Trikampis trikampis, kaip sakoma, iš tikrųjų nėra trikampis. Penrose trikampis yra iliuzija. Tik tam tikru kampu objektas atrodo kaip lygiakraštis trikampis. Tačiau natūralios formos objektas yra 3 kubo veidai. Tokioje izometrinėje projekcijoje plokštumoje sutampa 2 kampai: artimiausias nuo žiūrinčiojo ir tolimas.

Optinė apgaulė, žinoma, greitai atsiskleidžia vos paėmus šį objektą. O šešėlis taip pat atskleidžia iliuziją, nes genties šešėlis aiškiai parodo, kad kampai nesutampa realybėje.

Popierinis tribaras. Schema

Kaip savo rankomis iš popieriaus padaryti Penrose trikampį? Ar yra kokių nors šio modelio schemų? Iki šiol buvo išrasti 2 išdėstymai, kad būtų galima sulankstyti tokį neįmanomą trikampį. Geometrijos pagrindai tiksliai nurodo, kaip sulankstyti objektą.

Norėdami sulenkti Penrose trikampį savo rankomis, turėsite skirti tik 10-20 minučių. Jums reikia paruošti klijus, žirkles keliems pjūviams ir popierių, ant kurio atspausdinama diagrama.

Iš tokio ruošinio gaunamas populiariausias neįmanomas trikampis. Padaryti origami amatą nėra taip sunku. Todėl tai tikrai pasirodys pirmą kartą ir net ką tik pradėjusiam mokytis geometrijos moksleiviui.

Kaip matote, tai pasirodo labai gražus amatas. Antrasis ruošinys atrodo kitaip ir susilanksto kitaip, tačiau pats Penrose trikampis atrodo taip pat.

Popierinio Penrose trikampio kūrimo žingsniai.

Pasirinkite vieną iš 2 jums patogių ruošinių, nukopijuokite failą ir atsispausdinkite. Pateikiame antrojo išdėstymo modelio pavyzdį, kuris atliekamas šiek tiek lengviau.

Pačiame Tribar origami ruošinyje jau yra visi reikalingi patarimai. Tiesą sakant, grandinės instrukcijos nėra būtinos. Pakanka tik atsisiųsti jį ant storo popieriaus laikiklio, kitaip bus nepatogu dirbti ir figūra neveiks. Jei neįmanoma iš karto spausdinti ant kartono, tada prie naujos medžiagos turite pritvirtinti eskizą ir iškirpti piešinį išilgai kontūro. Patogumui galite užsegti sąvaržėlėmis.

Ką daryti toliau? Kaip etapais savo rankomis sulankstyti Penrose trikampį? Turite laikytis šio veiksmų plano:

Mes nukreipiame išvirkščia pusėžirklėmis tas linijas, kur norisi lenkti, pagal instrukcijas. Sulenkite visas linijas
Kur reikia, darome pjūvius.
Suklijuojame PVA pagalba tas drožles, kurios skirtos detalei sutvirtinti į vientisą visumą.

Paruoštą modelį galima perdažyti bet kokia spalva arba iš anksto darbui pasiimti spalvotą kartoną. Bet net jei objektas pagamintas iš balto popieriaus, bet kokiu atveju kiekvieną, pirmą kartą įžengusį į jūsų kambarį, toks amatas tikrai atgrasys.

Trikampio raštas

Kaip nupiešti Penrose trikampį? Ne visi mėgsta origami, bet daugelis žmonių mėgsta piešti.

Pirmiausia pavaizduotas įprastas bet kokio dydžio kvadratas. Tada viduje nubrėžiamas trikampis, kurio pagrindas yra apatinė kvadrato pusė. Kiekviename kampe telpa mažas stačiakampis, kurio visos pusės yra ištrintos; lieka tik tos kraštinės, kurios yra greta trikampio. Tai būtina, kad linijos būtų tiesios. Pasirodo, trikampis su nupjautais kampais.

Kitas etapas yra antrosios dimensijos vaizdas. Iš kairės viršutinio apatinio kampo pusės nubrėžiama griežtai tiesi linija. Ta pati linija brėžiama pradedant nuo apatinio kairiojo kampo ir šiek tiek nenukrenta iki pirmosios matavimo linijos 2. Kita linija nubrėžta iš dešiniojo kampo lygiagrečiai apatinei pagrindinės figūros pusei.

Paskutinis žingsnis yra nubrėžti trečiąjį matmenį antrojo matmens viduje, naudojant dar tris mažas linijas. Mažos linijos prasideda nuo antrojo matmens linijų ir užbaigia trimačio tūrio vaizdą.

Kitos Penrose figūrėlės

Pagal tą pačią analogiją galite piešti ir kitas figūras – kvadratą arba šešiakampį. Iliuzija bus išlaikyta. Tačiau vis tiek šie skaičiai nebėra tokie nuostabūs. Tokie daugiakampiai tiesiog atrodo stipriai susukti. Šiuolaikinė grafika leidžia padaryti įdomesnes garsiojo trikampio versijas.

Be trikampio, Penrose laiptai taip pat yra žinomi visame pasaulyje. Idėja yra apgauti akį taip, kad atrodytų, jog žmogus judėdamas pagal laikrodžio rodyklę nuolat juda aukštyn, o jei prieš, tai žemyn.

Ištisiniai laiptai labiau žinomi siejant su M. Escher paveikslu „Ascending and Descent“. Įdomu tai, kad kai žmogus praeina visus 4 šių iliuzinių laiptų skrydžius, jis visada atsiduria ten, kur ir pradėjo.

Yra žinoma, kad kiti objektai, pavyzdžiui, neįmanoma juosta, klaidina žmogaus protą. Arba pagal tuos pačius iliuzijos dėsnius pagaminta dėžė su susikertančiomis briaunomis. Tačiau visi šie objektai jau buvo išrasti remiantis nepaprasto mokslininko Rogerio Penrose'o straipsniu.

Neįmanomas trikampis Perte

Matematiko vardu pavadinta figūra yra pagerbta. Ji pastatė paminklą. 1999 metais viename iš Australijos miestų (Pertas) buvo sumontuotas didelis aliuminio Penrose trikampis, kurio aukštis yra 13 metrų. Turistai mielai fotografuojasi šalia aliuminio milžino. Bet jei fotografuojant pasirenkamas kitoks matymo kampas, apgaulė tampa akivaizdi.

prižiūrėtojas

matematikos mokytojas

1. Įvadas ………………………………………………….……3

2. Istorinis pagrindas…………………………………………………

3. Pagrindinė dalis…………………………………………………….7

4. Penrose trikampio neįmanomumo įrodymas ...... 9

5. Išvados………………………………………………..……………11

6. Literatūra……………………………………………….…… 12

Aktualumas: Matematika yra dalykas, studijuojamas nuo pirmųjų iki baigimo klasė. Daugeliui studentų tai atrodo sunku, neįdomu ir nereikalinga. Bet jei pažvelgsite už vadovėlio puslapių, skaitysite papildomos literatūros, matematinių sofizmų ir paradoksų, tada matematikos idėja pasikeis, atsiras noras mokytis daugiau, nei mokoma mokykliniame matematikos kurse.

Darbo tikslas:

parodyti, kad neįmanomų figūrų egzistavimas praplės akiratį, lavins erdvinę vaizduotę, naudojasi ne tik matematikai, bet ir menininkai.

Užduotys :

1. Išstudijuokite literatūrą šia tema.

2. Apsvarstykite neįmanomas figūras, sukurkite neįmanomo trikampio modelį, įrodykite, kad neįmanomas trikampis plokštumoje neegzistuoja.

3. Išskleiskite neįmanomą trikampį.

4. Apsvarstykite neįmanomo trikampio panaudojimo vaizduojamajame mene pavyzdžius.

Įvadas

Istoriškai matematika vaidino svarbų vaidmenį vizualiajame mene, ypač vaizduojant perspektyvą, kuri apima tikrovišką trimatės scenos vaizdavimą ant plokščios drobės ar popieriaus lapo. Remiantis šiuolaikinėmis pažiūromis, matematika ir str labai nutolusios viena nuo kitos disciplinos, pirmoji – analitinė, antroji – emocinė. Daugumoje darbų matematika neatlieka akivaizdaus vaidmens šiuolaikinis menas ir, tiesą sakant, daugelis menininkų retai arba net nenaudoja perspektyvos. Tačiau yra daug menininkų, kurie daugiausia dėmesio skiria matematikai. Keli reikšmingi vaizduojamojo meno veikėjai atvėrė kelią šiems asmenims.

Tiesą sakant, nėra jokių naudojimo taisyklių ar apribojimų įvairiomis temomis matematiniuose menuose, pavyzdžiui, neįmanomos figūros, Möbius juosta, iškraipymai ar neįprastos perspektyvos sistemos ir fraktalai.

Neįmanomų figūrų istorija

Neįmanomos figūros yra tam tikras matematinis paradoksas, susidedantis iš taisyklingų gabalų, sujungtų į netaisyklingą kompleksą. Jei pabandytumėte suformuluoti sąvokos „neįmanomi objektai“ apibrėžimą, tai tikriausiai skambėtų maždaug taip – fiziškai įmanomos figūros, surinktos neįmanomu pavidalu. Tačiau žiūrėti į juos yra daug maloniau, sudaryti apibrėžimus.

Su erdvinio konstravimo klaidomis menininkai susidūrė prieš tūkstantį metų. Tačiau pirmuoju neįmanomus objektus statyti ir analizuoti laikomas švedų menininkas Oscaras Reutersvärdas, tapęs 1934 m. pirmasis neįmanomas trikampis, susidedantis iš devynių kubelių.

Reutersvärd trikampis

Nepriklausomas nuo Reutersvaerd, anglų matematikas ir fizikas Rogeris Penrose'as iš naujo atranda neįmanomą trikampį ir 1958 m. paskelbia jo įvaizdį Britų psichologijos žurnale. Iliuzija naudoja „klaidingą perspektyvą“. Kartais tokia perspektyva vadinama kinietiška, nes panašus piešimo būdas, kai piešinio gylis yra „dviprasmiškas“, dažnai buvo aptiktas kinų menininkų darbuose.

Escher krioklys

1961 metais Olandas M. Escheris, įkvėptas neįmanomas trikampis Penrose'as, sukuria garsiąją litografiją „Krioklys“. Vanduo paveikslėlyje teka be galo, po vandens rato pravažiuoja toliau ir nukrenta atgal į pradinį tašką. Tiesą sakant, tai yra amžinojo judesio mašinos vaizdas, tačiau bet koks bandymas iš tikrųjų sukurti šį dizainą yra pasmerktas nesėkmei.

Kitas neįmanomų figūrų pavyzdys pateiktas piešinyje „Maskva“, kuriame pavaizduota neįprasta Maskvos metro schema. Iš pradžių vaizdą suvokiame kaip visumą, tačiau akimis atsekdami atskiras linijas įsitikiname jų egzistavimo neįmanomumu.

« Maskva“, grafika (tušas, pieštukas), 50x70 cm, 2003 m

Piešimas „Trys sraigės“ tęsia antrosios garsios neįmanomos figūros – neįmanomo kubo (dėžutės) – tradicijas.

"Trys sraigės" Neįmanomas kubas

Įvairių objektų derinį galima rasti ir nelabai rimtoje „IQ“ (intelekto koeficiento) figūroje. Įdomu tai, kad kai kurie žmonės neįmanomų objektų nesuvokia dėl to, kad jų sąmonė nesugeba atpažinti plokščių paveikslų su trimačiais objektais.

Donaldas Simanekas teigė, kad vizualinių paradoksų supratimas yra vienas iš geriausių matematikų, mokslininkų ir menininkų kūrybiškumo bruožų. Daugelį darbų su paradoksaliais objektais galima priskirti prie „intelektualinių matematinių žaidimų“. Šiuolaikinis mokslas kalba apie 7 arba 26 dimensijų pasaulio modelį. Sumodeliuoti tokį pasaulį įmanoma tik matematinėmis formulėmis, žmogus tiesiog neįsivaizduoja. Čia praverčia neįmanomos figūros.

Trečioji populiari neįmanoma figūra – neįtikėtini Penrose'o sukurti laiptai. Jūs nuolatos kilsite (prieš laikrodžio rodyklę) arba leiskitės (pagal laikrodžio rodyklę). Penrose modelis sudarė garsiojo M. Escher paveikslo „Aukštyn ir žemyn“ pagrindą. Neįtikėtini Penrose laiptai

Neįmanomas trišakis

„Prakeikta šakutė“

Yra dar viena objektų grupė, kurios negalima įgyvendinti. Klasikinė figūra – neįmanomas trišakis, arba „velnio šakutė“. Atidžiai ištyrus paveikslėlį, matosi, kad trys dantys pamažu virsta dviem vienu pagrindu, o tai sukelia konfliktą. Palyginame dantų skaičių iš viršaus ir apačios ir darome išvadą, kad objektas neįmanomas. Jei ranka uždarysite viršutinę trišakio dalį, pamatysime visiškai tikras vaizdas- trys apvalūs dantys. Jei užversime apatinę trišakio dalį, tada pamatysime ir tikrą vaizdą – du stačiakampius dantis. Bet jei apsvarstysime visą figūrą kaip visumą, paaiškėja, kad trys apvalūs dantys palaipsniui virsta dviem stačiakampiais.

Taigi matyti, kad priekinis ir fonešis skaičius prieštarauja. Tai yra, kas buvo iš pradžių priekinio plano grįžta atgal, o fonas (vidurinis dantis) šliaužia į priekį. Šis piešinys ne tik keičia priekinį planą ir foną, bet ir turi dar vieną efektą – viršutinės trišakio dalies plokščios briaunos apačioje tampa apvalios.

Pagrindinė dalis.

Trikampis- figūra, susidedanti iš 3 gretimų dalių, kuri, pasitelkdama nepriimtinus šių dalių ryšius, sukuria matematiniu požiūriu neįmanomos struktūros iliuziją. Kitu būdu šis trijų barų dar vadinamas kvadratas Penrose'as

Grafinis šios iliuzijos principas yra suformuluotas psichologui ir jo sūnui fizikui Rogeriui. Penrouze aikštė susideda iš 3 barų kvadratinė dalis esantis 3 viena kitai statmenomis kryptimis; kiekvienas jungiasi prie kito stačiu kampu, kurie visi telpa į trimatę erdvę. Štai paprastas receptas, kaip nupiešti šį izometrinį Penrose kvadrato vaizdą:

Lygiakraščio trikampio kampus apkarpykite išilgai linijų, lygiagrečių kraštams;

Nubrėžkite lygiagrečias su kraštinėmis apkarpyto trikampio viduje;

Dar kartą nupjaukite kampus

Dar kartą nubrėžkite paralelių viduje;

· Įsivaizduokite vieną iš dviejų galimų kubelių viename iš kampų;

· Tęskite jį su L formos „daikčiuku“;

Vykdykite šį dizainą ratu.

Jei pasirinktume kitą kubą, tai kvadratas būtų „suktas“ kita kryptimi .

Neįmanomo trikampio raida.

lūžio linija

pjovimo linija

Kokie elementai sudaro neįmanomą trikampį? Tiksliau, iš kokių elementų jis mums atrodo (atrodo!) Pastatytas? Dizainas pagrįstas stačiakampiu kampu, kuris gaunamas sujungiant du vienodus stačiakampius strypus stačiu kampu. Reikalingi trys tokie kampai, taigi ir strypai šeši vienetai. Šie kampai turi būti vizualiai „sujungti“ vienas su kitu tam tikru būdu, kad sudarytų uždarą grandinę. Tai, kas atsitinka, yra neįmanomas trikampis.

O dabar pabandykime muilu pažvelgti į figūrą iš skirtingų erdvės taškų (arba pasigaminti tikrą vielos modelį). Įsivaizduokite, kaip atrodo iš vieno taško, iš kito, iš trečio... Keičiant stebėjimo tašką (arba – kas yra tas pats – kai konstrukcija sukasi erdvėje), atrodys, kad dvi „galinės“ briaunos mūsų kampai juda vienas kito atžvilgiu. Nesunku rasti poziciją, kurioje jie susijungs (žinoma, tokiu atveju artimas kampas mums atrodys storesnis nei ilgesnis).

Beje, jei vienu metu žiūrėsime į konstrukcijos ekraną veidrodyje, tada ten nematysime uždaros grandinės.

O iš pasirinkto stebėjimo taško savo akimis matome įvykusį stebuklą: yra uždara trijų kampų grandinė. Tik nekeiskite stebėjimo taško, kad ši iliuzija (iš tikrųjų tai yra iliuzija!) nesugriūtų. Dabar galite nupiešti objektą, kurį matote, arba įdėti fotoaparato objektyvą į rastą tašką ir gauti neįmanomo objekto nuotrauką.

Penrose'ai pirmieji susidomėjo šiuo reiškiniu. Jie pasinaudojo galimybėmis, atsirandančiomis trimatę erdvę ir trimačius objektus atvaizduojant dvimatėje plokštumoje (ty projektuojant) ir atkreipė dėmesį į tam tikrą dizaino neapibrėžtumą – atviras trijų kampų dizainas gali būti suvokiamas kaip uždaras. grandinė.

Kaip jau minėta, paprasčiausias modelis gali būti lengvai pagamintas iš vielos, o tai iš esmės paaiškina pastebėtą efektą. Paimkite tiesią vielos gabalą ir padalykite jį į tris lygias dalis. Tada sulenkite kraštutines dalis taip, kad jos sudarytų stačiu kampu su vidurine dalimi, ir pasukite viena kitos atžvilgiu 900 laipsnių. Dabar pasukite šią figūrėlę ir stebėkite ją viena akimi. Tam tikroje padėtyje atrodys, kad jis suformuotas iš uždaros vielos gabalo. Įjungus stalinę lempą galima stebėti ant stalo krentantį šešėlį, kuris tam tikroje figūros vietoje erdvėje virsta ir trikampiu.

Tačiau šią dizaino savybę galima pastebėti kitoje situacijoje. Jei pagaminsite vielos žiedą ir paskleiskite jį skirtingomis kryptimis, gausite vieną cilindrinės spiralės apsisukimą. Ši kilpa, žinoma, yra atvira. Bet projektuojant jį į plokštumą galima gauti uždarą liniją.

Dar kartą pamatėme, kad projekcija į plokštumą, pagal brėžinį, trimatė figūra atkurta dviprasmiškai. Tai reiškia, kad projekcijoje yra tam tikras dviprasmiškumas, nepakankamas įvertinimas, dėl kurio susidaro „neįmanomas trikampis“.

Ir galima sakyti, kad Penrosų „neįmanomas trikampis“, kaip ir daugelis kitų Optines iliuzijos, atitinka loginiai paradoksai ir kalambūras.

Penrose trikampio neįmanomumo įrodymas

Analizuodami dvimačio trimačių objektų vaizdo plokštumoje ypatybes, supratome, kaip šio ekrano ypatybės veda į neįmanomą trikampį.

Įrodyti, kad neįmanomas trikampis neegzistuoja, nepaprastai lengva, nes kiekvienas jo kampas yra stačias, o jų suma yra 2700, o ne „padėtas“ 1800.

Be to, net jei laikysime neįmanomą trikampį, suklijuotą iš kampų, mažesnių nei 900, tada šiuo atveju galima įrodyti, kad neįmanomas trikampis neegzistuoja.

Apsvarstykite kitą trikampį, kurį sudaro kelios dalys. Jei dalys, iš kurių jis susideda, yra išdėstytos skirtingai, tada bus gautas lygiai toks pat trikampis, bet su vienu nedideliu trūkumu. Trūks vieno kvadrato. Kaip tai įmanoma? Arba tai tik iliuzija.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="Neįmanomas trikampis" width="298" height="161">!}

Naudojant suvokimo fenomeną

Ar yra koks nors būdas padidinti neįmanomumo efektą? Ar vieni objektai „neįmanomi“ nei kiti? Ir čia į pagalbą ateina funkcijos. žmogaus suvokimas. Psichologai nustatė, kad akis pradeda tyrinėti objektą (paveikslėlį) nuo apatinio kairiojo kampo, tada žvilgsnis slysta į dešinę į centrą ir nusileidžia į apatinį dešinįjį paveikslo kampą. Tokia trajektorija gali būti dėl to, kad mūsų protėviai, susitikdami su priešu, iš pradžių žiūrėjo į pavojingiausią dešinę ranką, o po to jų žvilgsnis nukrypo į kairę – į veidą ir figūrą. Taigi, meninis suvokimas labai priklausys nuo to, kaip bus sukurta paveikslo kompozicija. Ši savybė viduramžiais aiškiai pasireiškė gaminant gobelenus: jų raštas buvo veidrodinis vaizdas originalus, o gobelenų ir originalų daromas įspūdis skiriasi.

Šią savybę galima sėkmingai panaudoti kuriant kūrinius su neįmanomais objektais, didinant ar mažinant „neįmanomumo laipsnį“. Tai taip pat atveria perspektyvą įdomios kompozicijos naudojant kompiuterines technologijas arba iš kelių pasuktų paveikslų (galbūt naudojant skirtingos rūšies simetrijos) vienas kito atžvilgiu, sukuriantis skirtingą objekto įspūdį ir gilesnį sąvokos esmės supratimą, arba iš tokio, kuris sukasi (nuolat ar trūkčiojančiai) paprasto mechanizmo pagalba tam tikrais kampais.

Tokia kryptis gali būti vadinama daugiakampe (daugiakampe). Iliustracijose rodomi vaizdai, pasukti vienas kito atžvilgiu. Kompozicija sukurta taip: piešinys ant popieriaus, padarytas tušu ir pieštuku, nuskenuotas, suskaitmenintas ir apdorotas grafikos redaktorius. Galime pastebėti dėsningumą – pasuktas paveikslėlis turi didesnį „neįmanomumo laipsnį“ nei originalus. Tai nesunkiai paaiškinama: darbo procese menininkas pasąmoningai siekia sukurti „teisingą“ vaizdą.

Išvada

Įvairių matematinių figūrų ir dėsnių naudojimas neapsiriboja aukščiau pateiktais pavyzdžiais. Atidžiai išstudijavę visus aukščiau pateiktus skaičius, galite rasti kitus šiame straipsnyje nepaminėtus, geometriniai kūnai arba vizualinis matematinių dėsnių aiškinimas.

Matematinis vizualinis menas šiandien klesti, ir daugelis menininkų kuria paveikslus Escherio stiliumi ir savo savo stilių. Šie menininkai dirba įvairiomis terpėmis, įskaitant skulptūrą, tapybą ant plokščių ir trimačių paviršių, litografiją ir Kompiuterinė grafika. O populiariausios matematinio meno temos – daugiakampiai, neįmanomos figūros, Mėbijaus juostos, iškreiptos perspektyvos sistemos ir fraktalai.

Išvados:

1. Taigi neįmanomų figūrų svarstymas lavina mūsų erdvinę vaizduotę, padeda „išlipti“ iš plokštumos į trimatę erdvę, o tai padės studijuojant stereometriją.

2. Neįmanomų figūrų modeliai padeda apsvarstyti projekcijas plokštumoje.

3. Matematinių sofizmų ir paradoksų svarstymas skatina domėtis matematika.

Atliekant šį darbą

1. Sužinojau, kaip, kada, kur ir kas pirmą kartą pavertė neįmanomomis figūromis, kad tokių figūrų yra daug, menininkai nuolat stengiasi šias figūras pavaizduoti.

2. Kartu su tėčiu padariau neįmanomo trikampio maketą, ištyriau jo projekcijas plokštumoje, pamačiau šios figūros paradoksą.

3. Išnagrinėjo menininkų reprodukcijas, kuriose pavaizduotos šios figūros

4. Mano studijos sudomino kurso draugus.

Ateityje įgytas žinias panaudosiu matematikos pamokose ir domėjausi, bet ar yra kitų paradoksų?

LITERATŪRA

1. Kandidatas technikos mokslai D. RAKOVAS Neįmanomų figūrų istorija

2. Ruteswardas O. Neįmanomos figūros.- M.: Stroyizdat, 1990 m.

3. V. Aleksejevo svetainė Iliuzijos · 7 komentarai

4. J. Timothy Anrach. - Nuostabios figūros.
(LLC „Leidykla AST“, LLC „Leidykla Astrel“, 2002, 168 p.)

5. . - Grafikos menas.
(Meno pavasaris, 2001 m.)

6. Douglasas Hofstadteris. - Gödelis, Escheris, Bachas: ši begalinė girlianda. ( Leidykla„Bahrakh-M“, 2001 m.)

7. A. Konenko – Neįmanomų figūrų paslaptys
(Omskas: Lefty, 199)